2.Tração+e+Compressão

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Tração e Compressão
Profa: Natasha Amador
Mecânica dos Sólidos I
Tensão
Tensão
 Resistência dos Materiais: A força por unidade de área ou a
intensidade das forças distribuídas numa certa seção transversal é
chamada de Tensão atuante, e é indicada pela letra grega σ
(Sigma). A tensão em uma barra de seção transversal A, sujeita a
uma força axial P, é obtida dividindo-se o módulo P da força pela
área A:
𝜎 =
𝑃
𝐴
 Deformação: O alongamento total de uma barra que suporta uma
força axial, será designado pela letra grega δ (Delta). Assim, o
alongamento por unidade de comprimento, ou alongamento
específico, denominado deformação específica representada pela
letra grega ε (Epsilon), é calculada pela equação :
Onde L é o comprimento total da barras. Note-se que a deformação ε é
uma quantidade adimensional.
Se a barra estiver sobre tração, será uma deformação de tração,
representando um alongamento do material. Se a barra estiver
sobre compressão, tem-se um deformação de compressão, o que
significa que as seções transversais adjacentes irão se aproximar.
Deformação
𝜀 =
𝛿
𝐿
𝛿 = 𝐿 − 𝐿0
Propriedades Mecânicas
Teste de Tração:
• A relação entre as tensões e as deformações, para um
determinado material, é encontrada por meio de um teste de
tração;
• Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é
colocado na máquina de testar e sujeito à tração;
• A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à
proporção que a carga aumenta;
• As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção
transversal da barra e a deformação específica dividindo-se o
alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a
deformação.
𝜎 =
𝑃
𝐴
𝜀 =
𝛿
𝐿
𝛿 = 𝐿 − 𝐿0
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
• As tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é linear;
• O Limite de Elasticidade é onde o ponto máximo onde, se a carga for removida, o 
corpo de prova ainda voltará à sua forma original.
Limite de 
Elasticidade
𝜎𝑙𝑝
Tensão Limite de 
Proporcionalidade 
Linear
Comportamento Elástico
Propriedades Mecânicas
• Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará no
colapso do material e fará com que ele se deforme permanentemente;
• Uma vez alcançado o ponto de escoamento, o corpo de prova continuará a
alongar-se (deformar-se) sem qualquer aumento na carga;
• Material perfeitamente plástico. Deformação Plástica.
𝜎𝑙𝑒=Tensão de 
Escoamento
Escoamento
Propriedades Mecânicas
• Durante todo o ensaio, enquanto o corpo se alonga, sua seção transversal diminui.
Essa redução na área é razoavelmente uniforme por todo o comprimento de
referência do corpo de prova, até mesmo a deformação que corresponde ao limite
de resistência.
𝜎𝑙𝑟=Tensão 
Limite de 
Resistência
Endurecimento por Deformação / Encruamento
Propriedades Mecânicas
• No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma
região localizada do corpo de prova, em vez de em todo o seu comprimento.
Como resultado, tende a formar-se uma constrição, ou “ estricção”, gradativa
nessa região, à medida que o corpo de prova se alonga cada vez mais.
𝜎𝑟𝑢𝑝=Tensão 
de Ruptura
Estricção
Propriedades Mecânicas
𝜎𝑟𝑢𝑝=Tensão 
de Ruptura
Estricção
Propriedades Mecânicas
Propriedades Mecânicas
 Materiais podem sofrer grandes deformações antes da ruptura, sendo 
classificados como dúcteis. Ex: Aços e ligas de alumínio;
 materiais frágeis ou quebradiços quebram com valores relativamente baixos
das deformações. Ex: cerâmicas, ferro fundido, concreto, certas ligas
metálicas e o vidro.
Propriedades Mecânicas
Elasticidade
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos
materiais, quando carregados por tração (ou compressão). Quando um
corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade
do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é
denominada elasticidade.
Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é
perfeitamente elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é
parcialmente elástico. Nesse caso, a deformação que permanece
depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.
O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser
repetido sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À
tensão cujo descarregamento acarrete uma deformação residual
permanente, chama-se limite elástico.
Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de
proporcionalidade são aproximadamente coincidentes. Materiais
semelhantes à borracha possuem uma propriedade – a elasticidade –
que pode continuar muito além do limite de proporcionalidade.
Elasticidade
LEI DE HOOKE
Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma
região inicial de comportamento elástico e linear.
A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em
tração, pode ser expressa por:
𝜎 = 𝐸. 𝜀
E = Módulo de Elasticidade do Material / Módulo de Young
𝑃
𝐴
𝛿
𝐿
𝛿 =
𝑃. 𝐿
𝐸. 𝐴
Lei de Hooke
Esta equação mostra que
o alongamento de uma
barra linearmente elástica
é diretamente proporcional
à carga e ao seu
comprimento e
inversamente proporcional
ao módulo de elasticidade
e à área da seção
transversal.
 𝑬. 𝑨 é a Rigidez Axial da Barra,

𝑳
𝑬.𝑨
é a Flexibilidade, definida
como a deformação decorrente
de uma carga unitária;

𝑬𝑨
𝑳
é a Rijeza da barra, e é
definida como a força
necessária para produzir uma
deformação unitária.
Elasticidade
LEI DE HOOKE
Elasticidade
COEFICIENTE DE POISSON – Variação Volumétrica
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por
uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu comprimento
cresce.
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro
da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson;
dada por:
𝜈 =
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
0 ≤ 𝜈 ≤ 0,5
Δ𝑉
𝑉
= 𝜀 1 − 2𝜈
Esta equação pode ser
usada para calcular a
variação do volume de
uma barra tracionada,
desde que se conheçam
a deformação ε e o
coeficiente de Poisson ν.
Elasticidade
COEFICIENTE DE POISSON – Variação Volumétrica
COEF. 
POISSON
DEFORMAÇÃO 
LATERAL
DEFORMAÇÃ
O AXIAL
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento
longitudinal (deformação positiva) provoca contração
lateral ( deformação negativa) e vice-versa.
Elasticidade
COEFICIENTE DE POISSON – Variação Volumétrica
O coeficiente de Poisson é 
adimensional e seu valor se 
encontra entre zero e meio. 
 Coeficiente de Poisson
Elasticidade
Princípio de Saint-Venant
O principio de Saint–Venant permite analisar diferentes formas de
carregamento (aplicação de cargas) de uma mesma maneira, desde que, em
uma situação de cargas concentradas, se desconsidere a distribuição das
tensões nas regiões próximas ao ponto de aplicação. Isto por que nessas
condições o perfil de tensão nas proximidades do ponto de aplicação da força
é de difícil análise, sendo necessários métodos matemáticos avançados para
a determinação dessas tensões. No entanto, à medida que nos afastamos
dessa região pode-se considerar distribuição uniforme de tensões.
Quanto mais próximas do
ponto de aplicação da carga
estão as tensões a serem
analisadas, menos uniformetende a ser sua distribuição
numa determinada seção
transversal.
Elasticidade
Princípio de Saint-Venant
Elasticidade
Princípio de Saint-Venant
Exemplos da Utilidade Prática do Princípio de Saint-Venant:
O princípio de Saint-Venant tem sido largamente utilizado por
engenheiros civis, pois a partir desse princípio pode-se classificar, por
exemplo, um bloco de fundação em rígido ou flexível, podendo-se então dar
o tratamento matemático mais adequado aos blocos de fundação entre duas
estacas em uma estrutura construída onde a visualização desses blocos não
seja possível. Conforme o enunciado do princípio de Saint-Venant, é
previsível que as tensões na proximidade do ponto de aplicação são
altamente concentradas, isto é, não uniformes, além de diminuírem conforme
nos afastamos desse ponto de aplicação. Essa evidência é de fundamental
importância no estudo de sistemas mecânicos em geral e em ortopedia,
quanto à colocação de próteses. Embora nesses casos, o Princípio de Saint
Venant não possa ser utilizado como um artifício facilitador de cálculos, essa
constatação é de fundamental importância, pois revela a necessidade da
introdução de fatores de correção às equações de distribuição de tensões.
Deformação elástica de um elemento com 
carregamento axial
A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e
deformação , pode-se desenvolver uma equação para determinar a
deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
Deformação elástica de um elemento com 
carregamento axial
Deformação elástica de um elemento com 
carregamento axial
Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A;
o material será homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força
externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura,
então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será
constante.
Deformação elástica de um elemento com 
carregamento axial
Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou,
ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem
abruptamente de uma região para outra da barra, deve-se calcular o
deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição
algébrica dos deslocamentos de cada segmento.
Tensão Admissível ou Tensão-Limite
Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas
variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente
de segurança.
Elasticidade
COEFICIENTE DE POISSON
Estado Múltiplo de Carregamento
𝜀𝑥 = +
𝜎𝑥
𝐸
−
𝜈𝜎𝑦
𝐸
−
𝜈𝜎𝑧
𝐸
𝜀𝑦 = −
𝜈𝜎𝑥
𝐸
+
𝜎𝑦
𝐸
−
𝜈𝜎𝑧
𝐸
𝜀𝑧 = −
𝜈𝜎𝑥
𝐸
− 𝜈
𝜎𝑦
𝐸
+
𝜈𝜎𝑧
𝐸
Referência Bibliográfica
• BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russell. Resistência dos 
materiais. 3. ed., São Paulo: McGraw-Hill, 2008.
• HIBBELER, Russell C. Resistência dos materiais. São Paulo: Prentice-Hall, 
2006.
• GERE, Jame M. Mecânica dos materiais. São Paulo: CENGAGE, 2010.