03 FOC T2

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J U R O S C O M P O S T O S
FOC T2
1
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Juro e Montante
No regime de juros compostos, o juro gerado pela
aplicação será incorporado à mesma passando a
participar da geração de juros no período seguinte.
Diz-se que os juros são capitalizados, e como não só
o capital inicial rende juros mas estes são devidos
também sobre os juros formados anteriormente,
temos o nome de juros compostos.
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
2
Diferença entre os regimes de capitalização
3
n
Juros Simples Juros Compostos
Juro por período Montante Juro por período Montante
1 1.000 x 0,2 = 200,00 $ 1.200 1.000 x 0,2 = 200,00 $ 1.200
2 1.000 x 0,2 = 200,00 $ 1.400 1.200 x 0,2 = 240,00 $ 1.440
3 1.000 x 0,2 = 200,00 $ 1.600 1.440 x 0,2 = 288,00 $ 1.728
4 1.000 x 0,2 = 200,00 $ 1.800 1.728 x 0,2 = 345,60 $ 2.074
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Diferença entre os regimes de capitalização
4
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
$ 0
$ 500
$ 1,000
$ 1,500
$ 2,000
$ 2,500
0 1 2 3 4
Juros Simples
Juros Compostos
Montante
5
n
Juros Compostos
Cálculo do Montante
1 $ 1.000 × 1,2 = $ 1.200
2 $ 1.200 × 1,2 = $ 1.440
3 $ 1.440 × 1,2 = $ 1.728
4 $ 1.728 × 1,2 = $ 2.074
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Montante
6
Nessa fórmula, a taxa de juros i refere-se à mesma
medida de tempo utilizada para os n períodos, e deve
ser expressa em sua forma unitária.
n
0n
4
04
3
3434
3
03
2
2323
2
020212
01
)i1.(CC
(...)
)i1.(CC)i1.()i1.(CC)i1.(CC
)i1.(CC)i1.()i1.(CC)i1.(CC
)i1.(CC)i1).(i1.(CC)i1.(CC
)i1.(CC





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Cálculo do juro
7
O juro Jn é calculado pela diferença entre o montante
Cn em um período n e o capital inicial C0.
 1)i1(.CJC)i1.(CJCCJ
107410002074JCCJ
72810001728JCCJ
44010001440JCCJ
20010001200JCCJ
n
0n0
n
0n0nn
1044
1033
2022
1011





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Cálculo do juro
8
A separação entre juros e principal apresenta aspectos
práticos importantes, por exemplo, nos abatimentos fiscais
que os juros geram para as pessoas física e jurídica.
Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à
taxa de juros compostos de 2% a.m. pelo prazo de 10
meses?
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Valor atual e valor nominal
9
 Valor atual: corresponde ao valor da aplicação em 
uma data inferior à do vencimento;
 Valor nominal: é o valor do título na data de seu 
vencimento.
Sejam:
V = valor atual na data zero (C0);
N = valor nominal na data n (Cn);
Tem-se que:
n
n
)i1(
N
V)i1.(VN


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Exemplos
10
a) Por quanto devo comprar um título vencível daqui
a 5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a
taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.?
b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence
daqui a 1 ano, com valor nominal de $1.344,89.
Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro,
vencível daqui a 3 meses e no valor de $1.080,00.
Sabendo que a taxa corrente no mercado é de 2,5%
a.m., pergunta-se se a proposta é vantajosa.
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Taxas equivalentes
11
 Duas taxas são equivalentes se, considerados o
mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for
indiferente aplicar em uma ou outra.
 De outro modo, considerando-se um mesmo capital
aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada
uma das taxas, ambas as taxas produzirão um
mesmo montante se forem equivalentes.
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Taxas equivalentes
12
Sejam:
I = referente a um intervalo de tempo p;
Iq = referente a um intervalo de tempo igual à fração 
própria p/q (q>p).
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Taxas equivalentes
13
 O capital C0 pode ser aplicado a duas taxa i e iq que 
teremos o mesmo montante:
   
1i1i
i1i1i1)i1(
)i1(i1)i1.(C)i1.(C
)i1.(CC
)i1.(CC
q
q
q
qq
1
q
1
q
q
q
q
q
q0
1
0q
q0q
1
01








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Exemplos
14
a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre,
determinar a taxa de juros compostos equivalente
mensal.
b) Suponha que:
C0 = $ 1.000,00
iq = 2 % a.m.
i = 26,824 % a.a.
n = 1 ano
Verifique se i e iq são equivalentes.
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Exemplos
15
c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às
taxas de 10 % a.a. ou de 33,1 % ao triênio,
determinar a melhor aplicação.
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Períodos não-inteiros
16
 Convenção exponencial
Os juros do período não-inteiro são calculados
utilizando-se a taxa equivalente.
Procede-se em duas etapas:
 1ª etapa: Calcula-se o montante correspondente à parte inteira
de períodos, aplicando-se a fórmula de montante para juros
compostos.
 2ª etapa: Na fração de tempo não-inteiro restante, admite-se
uma formação exponencial dos juros.
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Exemplo
17
 Um capital de $ 1.000,00 é emprestado à taxa de
juros compostos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6
meses. Tendo por base a capitalização anual, qual
será o montante?
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Taxa efetiva e taxa nominal
18
 Temos uma taxa de juro nominal quando o prazo de
formação e incorporação de juros ao capital inicial
não coincide com aquele a que a taxa se refere.
Nesse caso, é comum adotar-se a convenção
de que a taxa por período de capitalização
seja proporcional à taxa nominal.
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Exemplo
19
 Um banco faz empréstimos à taxa de 5 % a.a., mas
adotando a capitalização semestral dos juros. Qual
seria o juro pago por um empréstimo de $10.000,00,
feito por 1 ano?
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Taxa efetiva
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 Sendo
 i = taxa nominal
 if = taxa efetiva
 k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal
 n = número de períodos de capitalizações da taxa nominal
 C0 = principal
 Cnk = montante
1
k
i
1i
k
f 




 
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n.k
0nk
k
i
1.CC 




 
Exemplos
21
Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à
taxa de 10% a.a. com capitalização semestral.
Calcular o montante e a taxa efetiva da operação.
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Exemplos
22
 Sabendo-se que a taxa nominal de 12 % a.a. é
capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva.
 Um banco emprestou a importância de $ 1.000,00
por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12
% a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a
taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido
ao final de 1 ano.
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Exercícios propostos
23
1. Qual é o montante gerado por um capital de $ 
1.000,00 aplicado pelos prazos e taxas abaixo: 
a) 1%a.m.—12 meses 
b) 1,5% a.m. —3 anos 
c) 3% a.t. — 18 meses 
d) 10%a.a. — 120 meses 
e) 5% a.s. — 5 anos 
f) 1% a.a. —2 anos 
g) 100% a. dia — 1 semana 
h) 250% a quinzena — 2 meses 
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Exercícios
24
2. Que juro receberá uma pessoa que aplique $ 
1.000,00 conforme as hipóteses abaixo 
a) 2% a.m. — 1 ano 
b) 1,5% a.t. — 2 anos 
c) 7% a.s. — 36 meses 
d) 1.000% cada dez dias — 1 mês 
e) 150% a semana — 21 dias 
f) 10% cada primavera — 3 anos 
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Exercícios
25
3. Certa pessoa pretende comprar uma casa por $ 
500.000,00, daqui a 6 anos. Quanto deve aplicar 
esta pessoa hoje para que possa comprar a casa no 
valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for: 
a) 3% a.t.
b) 1%a.m.
c) 15% a.a.
d) 50% a.s.
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Exercícios
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4. Para ter $ 100.000,00 quanto devo aplicar hoje, se 
as taxas e prazos são os seguintes: 
a) 2,5% a.m. — 1 semestre 
b) 15°/ a.q. -4 anos 
c) 50% ao dia - 10 dias 
d) 0% a.m. - 2 meses 
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Exercícios
27
5. O preço de um carro é $ 11.261,62, podendo este 
valor ser pago ate o prazo máximo de 6 meses. Quem 
optar pelo pagamento a vista beneficia-se de um 
desconto de 11,2%. Qual é a taxa de juro cobrada 
nesta operação?
6. O banco X anuncia que sua taxa para empréstimo 
pessoal é de 2,5% a.m. Um cliente retirou $ 
20.000,00 e quando foi saldar sua dívida o gerente 
lhe disse que esta importava em $ 31.193,17. Quanto 
tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? 
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Exercícios
28
7. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 
3O% do valor da mercadoria a vista como entrada e o 
restante a ser liquidado em até 3 meses. Neste caso, o 
valor da mercadoria sofre um acréscimo de 1 O%, que 
será pago na segunda parcela. Qual e a taxa de juros 
desta loja para este período? 
8. Um sítio é posto a venda por $ 50.000,00 de entrada e $ 
100,000,00 em 1 ano. Como opção o vendedor pede $ 
124.000,00 a vista. Se a taxa de juros de mercado e de 
2,5% a.m., qual a melhor alternativa? 
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Exercícios
29
9. Um investidor troca um título de $ 10.000,00, 
vencível em 3 meses, por outro de $ 13.500,00, 
vencível em 1 ano. Sabendo-se que a taxa de mercado 
é de 3% a.m., este investidor fez bom negócio? Que 
taxa ganhou por mês? 
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Exercícios
30
10. Um terreno é vendido por $ 200.000,00 a vista. A 
prazo, o vendedor oferece dois planos
a) $ 50.000,00 de entrada 
$55.181,96 em 6 meses 
$126.824,18 em 12 meses 
b) $ 60.000,00 de entrada 
$102.480,77 em 6 meses 
$63.412,09 em 12 meses 
Se a taxa de juro corrente for de 2% a.m., qual será a 
melhor alternativa? 
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Sugestão: Calcular a 
soma dos valores atuais, 
descontados para a data 
zero e à taxa dada, nas 
hipóteses de 
financiamento. 
Exercícios
31
11. Entre suas aplicações o Sr. Paulo tem um título com o
valor de resgate de $ 3.000,00 e outro com o valor de
$ 3.183,00, vencíveis, respectivamente, em 180 e 240
dias. Se a aplicação tivesse sido feita hoje, qual das duas
seria a melhor, na hipótese de mesmo capital aplicado e
taxa de mercado 3% a.a.?
12. Qual é a taxa equivalente anual às seguintes taxas:
a) 1%a.m.
b) 2% ao bimestre
c) S% ao trimestre
d) 2,5% ao quadrimestre
e) 8% a.s.
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Exercícios
32
13. Que taxas são equivalentes a 25% a.a., se os prazos 
respectivos forem: 
a) 6 meses (semestral) 
b) 4 meses (quadrimestral) 
c) 3 meses (trimestral) 
d) 2 meses (bimestral) 
e) 1 mês (mensal) 
f) 8 meses 
g) 9 meses 
h) 11 meses 
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Exercícios
33
14. Em 20X5 a rentabilidade das Cadernetas de
Poupança foi de 31,66% a.a. Qual a taxa de
rentabilidade trimestral?
15. Certa loja vende um conjunto de som por $ 1
0.000,00, podendo o pagamento ser efetuado sem
nenhum acréscimo daqui a 4 meses. Contudo, se o
cliente optar pelo pagamento a vista será bonificado
com um abatimento de 10%. O custo de um
empréstimo pessoal e de 2,7% a.m.; nestas condições
vale a pena comprar a prazo?
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Exercícios
34
16. Um grande magazine anuncia a venda de um jogo 
de rodas de magnésio por $ 5 000,00 a vista ou $ 
1.000,00 de entrada e dois pagamentos mensais de $ 
2.120,78. Se a taxa de juros de mercado for de 
42,58% a.a., compensa a compra a vista? 
 Sugestão: A mesma do problema n 10, sendo 
desconhecida a taxa. Ao resolver a equação de 2 
grau, considerar a raiz positiva. 
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Exercícios
35
17. O Produto Nacional Bruto de um país cresceu em 200% 
em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual? 
18. Em quanto tempo dobra uma população que cresce 
2,82% a.a.? 
19. Um investidor aplicou $ 5.000,00 por 30 meses à taxa 
de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido? 
(Convenção exponencial.) 
20. Com a finalidade de comprar um carro no valor de $ 
7.500,00, um rapaz aplica $ 6.000,00 a taxa de 3% a.m.
Quanto tempo levou para obter o valor do carro? 
(Convenção exponencial.) 
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Exercícios
36
21. Qual é o montante auferido em um investimento de 
$1 0.000.00 por 4 anos e 9 meses à taxa de 10% a.a.? 
(Convenção exponencial.) 
22. Uma aplicação em Caderneta de Poupança rende $ 
500,00 sobre um capital de $ 800,00 em 1 ano e 3 
meses. Qual é a taxa de rentabilidade anual 
(Convenção exponencial.) 
23. Tendo investido $ 25.000,00 na Bolsa de Valores, 
João esperava ganhar 100% a.a. Qual seria o lucro 
recebido por ele ao fim de 1 ano e 8 meses, caso tal 
rentabilidade ocorresse? (Convenção exponencial.) 
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Exercícios
37
24. A rentabilidade de uma aplicação é de 25% a.a.
Sabendo-se que uma pessoa lucrou $ 980,00 sobre 
um capital de $ 2.500,00, pergunta-se quanto tempo 
ficou o dinheiro aplicado? (Convenção exponencial.) 
25. Qual é a taxa de juros para 13 meses, nas hipóteses 
(Convenção exponencial): 
a) 27% a.a.
b) 6% as. 
c) 5%a.q.
d) 10%a.t.
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Exercícios
38
26. Qual é a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo? 
Taxa Nominal Capitalização 
a) 24% a.a. mensal 
b) 28% a.a. trimestral 
c) 21% a.a. quadrimestral 
d) 40% a.a. semestral 
e) 30% a.a. anual 
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Exercícios
39
27. Se o banco deseja ganhar 3O% a.a. como taxa 
efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada 
hipótese de capitalização abaixo: 
a) mensal 
b) trimestral 
c) quadrimestral 
d) semestral 
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Exercícios
40
28. O Banco Alfa propõe a um cliente a taxa de juros
de 4º% a.a., sendo a capitalização anual O cliente,
entretanto, opta pelo financiamento de outro banco,
pois sua taxa é de 36,5% a.a., considerando ano civil
de 365 dias. Como detalhe deste segundo
financiamento deve- se acrescentar que sua
capitalização é diária. Qual é a melhor taxa?
29. Uma empresa toma emprestado $ 100.000,00 pelo
prazo de 2 anos. Se a taxa do banco for de 28% a.a.,
com capitalização trimestral, qual será o montante
devolvido ?
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Exercícios
41
30. Se uma empresa deseja ganhar a taxa efetiva de 
5O% a.m., que capitalizacao deverá exigir para uma 
taxa nominal de 41,38% a.m.? (Nota: Solução por 
tentativa e erro.) 
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Respostas
42
1. a) $1.126,83 
b $1.709,14 
c) 5 1.194,05 
d) $ 2.593,74 
e) $ 1 .628,89 
f) $ 1.020,10 
g) S 128.000,00 
h) $ 1 50.062,50 
2. a) $ 268,24 
b) 5 126,49 
c) $ 500,73 
d) $1 .330.000,00 
e) $ 14.625,00 
f) $331,00 
3 a) $ 245.966,88 
b) $ 244.248,08 
c) $216.163,78 
d) $ 3.853,67 
4 a) $ 86.229,72 
b) $ 18.690,72 
c) 5 1.734,15 
d) $100.000,00 
5. 2%a.m.
6. 18 meses. 
7. 70,60°/o a.a 
8. Comprar a vista, pois o valor atual da outra 
alternativa e de $ 124.355,58. 
9 Sim Ganhou 3,39% a.m.
10. O plano a), pois possui menor valor atual 
11 A aplicação para 240 dias e melhor, pois e 
superior em qualquer data de 
comparação. 
12. a) 12,6825% a.a 
b) 12,6152% a.a.
c) 21,5506% a.a.
d) 7,6891% a.a.
e) 16,6400% a.a.
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Respostas
43
13. a) 11 ,803399% a.a. 
b) 7,721735% a.q. 
c) 5,7371 26% a.t. 
d) 3,789082% a.b. 
e) 1,876927%a.m.
f) 16,040% em 8 meses 
g) 18,218% em 9 meses 
h) 22,697% em 11 meses 14. 
7,1182% a.t.
15. Sim, pois a taxa é de 2,669% a.m 
16. Sim, pois a taxa da loja é de 4% 
a.m. equivalendo a 60,10% a.a.
17. 1161 23% a.a.
18. 24,9 anos 
19. $ 6.345,29 (convenção 
exponencial) 
20. 7 meses e 16 dias (convenção 
exponencial) 
21. $15.725,89 (convenção 
exponencial) 
22. 47,46% a.a.
23. $ 54.370,05 (convenção 
exponencial) 
24. 1 ano, 5 meses e 24 dias 
(convenção exponencial) 
25. Convenção exponencial 
a) 29,5550% 
b) 1 3,4565% 
c) 17,1832% 
d) 51,1361%
Respostas
44
 26. a) 26,82% a.a.
 b) 31,08%a.a.
 c) 22,50% a.a.
 d) 44,00% a.a.
 e) 30,00%a.a.
 27. a) 26,53% a.a.
 b) 27,12% a.a.
 c) 27,42% a.a.
 d) 28,04% a.a.
 28. A melhor taxa é a do Banco 
Alfa, pois é de 40,00% a.a., 
enquanto que a taxa efetiva do 
outro banco é de 44,03% a.a.
 29. $171.818,60 
 30. Capitalização a cada 3 dias.