Tangência e concordância

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Universidade Federal de Santa Maria 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Expressão gráfica 
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Tangência e Concordância 
 
TANGENTE a uma curva é uma linha (reta ou não) que tem 
somente um ponto em comum com a curva dada. 
 
 
CONCORDÂNCIA entre duas linhas curvas ou de uma reta com 
uma curva é a ligação entre elas onde, em seu ponto de encontro, 
não haja ângulo, fratura ou inflexão. 
 
As concordâncias nada mais são do que tangências, em que o 
ponto de tangência passa a se chamar ponto de concordância. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Tangência e Concordância 
 
Princípios Fundamentais: 
 
• Reta tangente à Circunferência: 
Uma reta tangente a uma 
circunferência é perpendicular ao 
raio da mesma, no ponto de 
tangência. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Princípio fundamental da concordância 
 
Duas circunferências (ou dois arcos) são 
tangentes entre si quando os centros das duas 
circunferências e o ponto de tangência 
estiverem alinhados, ou seja, quando os dois 
centros e o ponto de tangência forem 
COLINEARES. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Tangente interior 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Exercício: 
 
Desenhar 1/2 circunferência de raio 4mm, na escala 
1:10, sobre uma linha horizontal, desenhe uma 
segunda circunferência tangente internamente a 
esta, com metade do seu diâmetro. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Tangente exterior 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Exercício: 
 
Desenhar 1/2 circunferência de raio 4mm, na escala 
1:10, sobre uma linha horizontal, desenhe uma 
segunda circunferência tangente externamente a 
esta, com metade do seu diâmetro. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
PASSOS: 
1. Traçar o raio, passando por um 
ponto qualquer (T) da 
circunferência; 
2. Em T, traçar uma reta 
perpendicular a reta OT; 
3. A reta perpendicular será a reta 
tangente. 
Traçar uma tangente à circunferência sendo conhecido o 
ponto de tangência 
T o 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Exercício: 
 
Desenhar uma circunferência de raio 3mm, na escala 
1:10, efetuando duas retas tangentes, uma do lado 
esquerdo e outra do lado direito, com comprimento 
de 8mm na mesma escala. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
PASSOS: 
1. Unir os pontos O e P; 
2. Mediatriz de OP, encontrando 
ponto M; 
3. Centro: M / Raio: OM - traçar um 
arco que cruza a circunferência 
nos pontos T1 e T2; 
4. T1 e T2 são os pontos de 
tangência; 
5. PT1 e PT2: tangentes. 
Traçar duas tangentes à circunferência passando por um 
ponto P fora da circunferência 
P 
o 
T1 
T2 
M 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Exercício: 
 
Desenhar uma circunferência de raio 5mm, na escala 
1:5; posicionar um ponto (P) a 100mm do centro e 
traçar duas tangentes à circunferência que passe por 
P. 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
PASSOS 
1. Une-se O a T e prolonga-se esta 
reta; 
2. Une-se agora T e E; 
3. Traça-se a mediatriz TE e o ponto 
O' onde esta mediatriz corta o 
prolongamento OT é o centro 
que satisfaz o problema. 
Dado uma circunferência, um ponto T sobre ela e um ponto E 
exterior a ela, traçar outra circunferência, tangente à primeira 
no ponto T e que passe pelo ponto E. 
O’ 
O 
T 
E 
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Desenho Básico I 
PASSOS 
1. Traça-se uma perpendicular a reta 
r por P e marca-se a distância P1 
igual ao raio da circunferência 
dada, O; 
2. Une-se 1 ao centro O; 
3. Traça-se a mediatriz de 1-O e onde 
esta linha encontrar o 
prolongamento de P1, teremos o 
ponto O’, centro da circunferência 
pedida. 
Traçar uma circunferência que seja tangente, simultaneamente, 
a uma reta em um ponto dado P desta e a uma outra 
circunferência na qual não se conhece o ponto de tangência 
r 
P O 
1 
O’ 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Dado um segmento de reta, concordar com esse segmento um 
arco que passe pelo ponto P. 
A B 
C P 
PASSOS 
1. Trace uma reta qualquer AB; 
2. Faça um ponto qualquer P; 
3. Una B a P; 
4. Trace uma perpendicular a AB 
pelo ponto B; 
5. Achar mediatriz de BP 
interceptando a perpendicular 
que passa por B, achando o 
ponto C; 
6. Use a medida CB como raio e 
trace o arco com centro em C; 
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Desenho Básico I 
PASSOS 
1. Traça-se uma linha que uma A a B; 
2. Divide-se esta linha em duas partes 
marcando o ponto O (mediatriz); 
3. Centro em O com raio AO ou BO, 
descreve-se a semicircunferência de 
concordância. 
Concordar dois segmentos de reta paralelos com um arco do 
tipo ROMANO ou PLENO. 
A B 
O 
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Desenho Básico I 
E
PASSOS: 
1. Traçar Mediatriz AB, achando-se o ponto C; 
2. Centro: C, Raio CA, Traçar um arco 
encontrando E sobre a mediatriz; 
3. Unir AE e BE; 
4. Centro: A, Raio: AB, arco até encontrar 
prolongamento da reta AE = ponto G; 
5. Centro: B, Raio BA, arco até encontrar 
prolongamento da reta BE = ponto F; 
6. Marcar AG = GI sobre prolongamento AE; 
7. BF = FH sobre prolongamento de BE; 
8. Centro: H, Raio: HF, Arco até encontrar a reta 
mediatriz de AB; 
9. Centro: I, Raio: IG, Arco até mediatriz de AB. 
A BC
GF
I
H
Concordar duas extremidades de um segmento de reta com um 
arco do tipo GÓTICO. 
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Desenho Básico I 
PASSOS 
1. Une-se A a C; 
2. Levanta-se uma perpendicular a CD 
passando por C, que vai cortar o segmento 
AB no ponto O; 
3. Prolonga-se CO para a esquerda e marca-se 
OE igual a AO; 
4. Divide-se ao meio o segmento de reta CE, 
determinando o ponto M; 
5. Pelo ponto A, traça-se uma paralela a CE, 
que irá cortar em 1 a mediatriz de CE; 
6. Com centro em M, raio MC, descreve-se o 
arco C2; 
7. Com centro em 1, raio 1A, descreve-se o 
arco 2A. 
Concordar dois segmentos de reta paralelos e de alturas 
diferentes com um arco do tipo AVIAJADO /ESCONSO / BOTANTE. 
B 
A 
D 
C 
O 
E 
M 
1 
2 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
PASSOS 
1. Une-se o ponto B ao C; 
2. Acha-se a mediatriz entre B e C; 
3. Une-se o ponto B ao centro O1 e 
prolonga-se a reta até encontrar a 
mediatriz, encontrando o centro 
O2; 
4. Ponta seca em O2 e abertura O2 B, 
encontra-se o arco de mesmo 
sentido passando por C. 
Concordar no ponto B de um arco dado AB, outro arco de 
mesmo sentido e que passe pelo ponto C. 
B 
A 
C 
O2 
O1 
Geometria plana e Desenho geométrico 
Desenho Básico I 
Concordar no ponto B de um arco dado AB, outro arco de 
sentido contrário e que passe pelo ponto C. 
PASSOS 
1. Une-se o ponto B ao C; 
2. Acha-se a mediatriz entre 
B e C; 
3. Une-se o ponto B ao 
centro O1 e prolonga-se a 
reta até encontrar a 
mediatriz, encontrando o 
centro O2; 
4. Ponta seca em O2 e 
abertura O2 B, encontra-se 
o arco de sentido 
contrário passando por C. 
B 
A 
C 
O2 
O1