Lista 3_GABARITO

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: Bruno Komatsu e Otávio Sidone 
 
LISTA 03 
Questão 01 
Os três tipos de relação de agregação entre as elasticidades, presente no capítulo 5 do 
Nicholson podem ser generalizadas para qualquer número de bens (no livro o autor faz as 
agregações para dois bens). Suponha que haja n bens e que a parcela da renda destinada ao 
gasto desse bem seja ( 
 
 
) e considere as seguintes definições: 
 
 
 
 
⁄ ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que: 
a) ∑ 
 
 
b) ∑ 
 
 
c) ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
a) Dado um bem inferior, o que ocorre quando, ceteris paribus, a renda do consumidor 
aumenta e o preços desse bem cai? 
a) Dado que o bem é inferior, por definição um aumento na renda do consumidor implica na 
redução do consumo desse bem. 
b) Qual a relação entre bens de Giffen e bens inferiores? Justifique através da Equação de 
Slutsky. 
b) Todo bem de Giffen é um bem inferior. Entretanto, nem todo bem inferior é de Giffen. 
Pela equação de Slutsky: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o termo do lado esquerdo é o efeito total, o 1º termo do lado direito é o efeito substituição e o 
2º é o efeito renda. Sabemos que o efeito substituição é sempre negativo. Contudo, o efeito 
renda pode assumir qualquer sinal (positivo ou negativo). O caso dos bens de Giffen consiste 
naquela situação onde o efeito renda é positivo, e com magnitude maior do que o efeito 
substituição, de tal maneira que o efeito total é positivo. Assim, é condição necessária para a 
ocorrência de bens de Giffen que o efeito renda seja positivo, o que ocorre se, e somente se, 
 
 
 
 
Que é precisamente a definição de um bem inferior. 
Questão 03 
Considere a função de utilidade quasi-linear . 
a) Calcule o efeito renda e a elasticidade renda para cada um dos bens. 
b) Calcule o efeito substituição e a elasticidade-preço da demanda compensada para 
cada um dos bens. 
c) Mostre que a equação de Slutsky vale para esta utilidade 
d) Mostre que a equação de Slutsky em forma de elasticidade também vale para esta 
função. É possível notar alguma característica especial desta função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 
A função dispêndio de um consumidor é dada por : 
 ( ) 
 
 
a) Derive a demanda hicksiana, a função utilidade indireta e a demanda marshalliana para esse 
consumidor. 
b) Existem restrições sobre os parâmetros para que as funções sejam 
consistentes com a maximização de utilidade? Em caso afirmativo, explicite-as. 
 
 
 
 
 
Parte I 
 
 
 
 
Parte II 
 
 
Questão 05 
Dada a utilidade abaixo, encontre a demanda marshalliana e função utilidade indireta. 
 
 
 
 
Parte I 
 
 
 
Parte II 
 
Questão 06 
a) Obtenha as funções de demanda de Marshall e Hicks para a função de utilidade: 
 ( ) 
 
 
 
a) Para encontrarmos as demandas marshallianas teremos que maximizar a função 
 ( ) 
 
 
 , sujeito à restrição orçamentária: . 
Montando o problema: 
 
{ }
 
 
 
 
 
O Lagrangiano será: 
 
 
 
CPO: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por : 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (IV) em , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (IV), vem que: 
 
 
 
 
 
 
Já para encontrarmos as demandas hicksianas teremos que minimizar a função , 
sujeito à restrição 
 
 
 
Montando o problema: 
 
{ }
 
 
 
 
 
O Lagrangiano será: 
 
 
 
 
CPO: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por : 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (IV) em , temos: 
 
 
 
 [
 
 
]
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
b) Calcule os valores dos multiplicadores de Lagrange. 
Substituindo os valores de 
 e 
 na expressão na 1ª equação das CPO do problema de 
maximização de utilidade, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, o multiplicador do problema de minimização do gasto será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, temos que: 
 
 
 
 
c) mostre que a demanda de Marshall é homogênea de grau zero em , enquanto que 
a demanda de Hicks é homogênea de grau zero em . 
 As demandas marshallianas são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificando a homogeneidade na demanda pelo bem 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as demandas marshallianas são homogêneas de grau zero em . 
Já as demandas hickisianas são: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
Verificando a homogeneidade na demanda pelo bem 1: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
Analogamente: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
Portanto, as demandas hickisianas são homogêneas de grau zero em . 
d) Esboce as curvas de renda-consumo para cada bem. 
A curva de renda-consumo é representa combinação da demanda pelos dois bens para 
diferentes níveis de renda no plano ( ). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde a inclinação é dada por: 
 
 
 
e) Esboce as curvas de Engel para cada bem. 
A Curva de Engel expressa a quantidade demandada em função da renda. Assim, a Curva de 
Engel para o bem 1 é desenhada no plano ( ), enquanto que para o bem 2 é desenhada no 
plano ( ). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde as inclinações das curvas são dadas por: 
 
 
 
 e 
 
 
 
. 
 
 
 
m 
 
m 
f) Encontre a função utilidade indireta , e sua derivada com respeito à M. Compare 
com o resultado obtido em b). Por que isso ocorre? 
A função valor utilidade indireta é obtida colocando as demandas nos respectivos 
lugares da função utilidade: 
 
 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 
Derivando com respeito a m, vem: 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 
Nota-se que esse valor é idêntico ao valor de . Tal fato é conhecido como Teorema do 
Envelope. 
g) Encontre a função dispêndio . O que ocorre quando ela é calculada sob a 
utilidade da função de utilidade indireta? Qual é o significado disso para a análise do problema 
dual? 
A função dispêndio é a função valor mínimo que mostra o dispêndio mínimo necessário para 
obter o nível de utilidade u. Ela é obtida pela introduçãodas demandas hicksianas na função 
de gasto do consumidor, ou seja: 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
Se tomarmos as duas primeiras equações dos dois sistemas de CPOs (do problema de 
maximização da utilidade e da minimização do gasto) e dividirmos uma pela outra, obteremos 
as mesmas condições de tangência em ambos os problemas, onde o consumidor escolhe o 
conjunto ótimo no qual a inclinação da curva de indiferença é idêntica à inclinação da restrição 
orçamentária. 
Assim, se o nível visado no problema de minimização u for igualado ao valor u obtido do 
problema de maximização, obteremos: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as soluções para o problema de maximização serão idênticas às obtidas através do 
problema dual, de minimização, mas escritas como função de variáveis exógenas diferentes. 
Também ocorre que o dispêndio minimizado no problema dual é igual à renda do problema 
principal, ou seja: 
 
 
Questão 07 
Sabemos que o problema de maximização da utilidade nos fornece a demanda Marshalliana e 
o problema de minimização de gasto nos fornece a demanda Hickisiana (compensada). A partir 
da condição de dualidade descrita abaixo, derive a equação de Slutsky ( 
⁄ 
 
 
⁄ 
 ⁄ ) e identifique o efeito renda e o efeito substituição para o bem x. 
 ( 
 ) ( 
 ) 
Onde é a demanda compensada e é um nível de utilidade qualquer fixo. 
Dica: derive os dois lados em relação a e aplique o teorema do envelope para calcular 
 
 
⁄ . 
 
 
Questão 08 
Encontre as demandas Marshallianas e Hicksianas (compensadas) do consumidor que tenha 
preferências descritas por , enfrenta preços para os bens x e y 
respectivamente e possua renda M. Suponha que , 
esboce os gráficos das demandas Marshallianas e Hicksianas. Explique porque neste caso a 
demanda Marshalliana é menos inclinada que a demanda Hicksiana. Em que situação ocorreria 
o inverso, isto é, a demanda Marshalliana seria mais inclinada que a Hickisiana? 
 
 
Questão 09 
Seja a função utilidade de um consumidor e sua restrição 
orçamentária. 
(a) Ache as funções de demanda não-compensadas e compute as funções de utilidade indireta 
e dispêndio. 
(b) Use a função dispêndio calculada no item (a) junto com o Lema de Shephard para obter a 
função de demanda compensada para o bem x. 
(c) Usando os resultados das partes (a) e (b) e o efeito substituição de Hicks, mostre que a 
equação de Slutsky vale para o bem x. 
 
 
Questão 10 
Suponha que o consumidor tenha preferências descritas pela função utilidade U 
 e que sejam a renda, o preço do bem x e o preço 
do bem y, respectivamente. Se o preço do bem y quadruplicar, qual é a variação de renda que 
esse indivíduo deve sofrer de acordo com a variação compensatória? E de acordo com a 
variação equivalente? 
 
 
Questão 11 
Suponha que um consumidor com utilidade tem um dotação inicial , de 
forma que sua restrição orçamentária é . 
(a) Derive a fórmula da equação de Slutsky com dotações. 
 
Na situação descrita no enunciado, no lugar de uma renda inicial, temos dotações dos bens, as 
quais podem ser vendidas no mercado. Com essa configuração, em adição aos efeitos 
substituição e renda, uma variação no preço exercerá um efeito adicional sobre as demandas. 
A variação nos preços alterará diretamente o poder aquisitivo do consumidor, pois poderá 
aumentar ou reduzir o valor monetário de sua dotação. 
Na situação em que há dois bens ( e ), o consumidor possui uma renda inicial , a 
equação de Slutsky era dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde , j , e 
 
 
 
 é o efeito substituição com compensação de renda. 
Na situação em que temos a dotação inicial, a renda monetária do indivíduo é dada por 
 . Dessa forma, renda varia diretamente de acordo com o preço, além do 
efeito renda comum, de acordo com a taxa: 
 
 
 
Então, o efeito renda adicional sobre a dotação é expresso pelo quanto a demanda varia com a 
renda multiplicado pelo quanto a renda varia diretamente com o preço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a equação de Slutsky é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para e . 
 
 
(b) Suponha que , são tais que o consumo (demanda bruta) é exatamente igual à dotação 
inicial. Mostre que 
 
 
 
 
 
 nesse caso especial. 
A restrição orçamentária com as dotações é dada por: . 
Quando a demanda bruta é igual à dotação, então temos: e . A variação da 
demanda de um bem quando o preço de outro bem varia na sua versão cruzada com variações 
infinitesimais é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, onde e . Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, nesse caso especial a variação da demanda não possui o efeito renda, somente o 
efeito substituição com a renda compensada. Mas sabemos que a matriz dos efeitos 
substituição com relação aos preços, ou seja, a matriz de Slutsky é simétrica para demandas 
funções de demanda geradas pela maximização de utilidade no caso de 2 bens. Dessa forma, 
 
 
 
 
 
 
 
 e, portanto, 
 
 
 
 
 
. 
 
Questão 12 
A matriz abaixo contém os efeitos de substituição da demanda marshalliana para um 
consumidor cujas preferências são racionais e que está consumindo três bens aos preços 
 , e 
[
 
 
 
] 
 
Complete os elementos faltantes utilizando as propriedades da matriz de Slutsky. 
Vamos chamar de a matriz de Slutsky e de o vetor de preços. As 
propriedades da matriz de Slutsky são: 
i. A matriz é simétrica; 
ii. , ou seja, o produto entre o vetor e a matriz é igual ao vetor de zeros 
 (que é o vetor de zeros transposto); 
iii. , ou seja, o produto entre a matriz e o vetor é igual ao vetor de zeros 
 – lembre-se de que com matrizes e vetores, a ordem do produto pode 
mudar o resultado; 
iv. A matriz é negativa semi-definida – não iremos usar essa propriedade; 
Vamos utilizar somente as propriedades i. e ii. Vamos reescrever a matriz como: 
[
 
 
 
] 
Pela propriedade i., sabemos que ; Então, . 
Pela propriedade ii., temos: 
 [
 
 
 
] (
 
 
 
) 
Os preços são dados no enunciado: , e . Então o vetor de preços é: 
 . Então a equação acima fica: 
 [
 
 
 
] (
 
 
 
) 
Como , então, temos: 
(
 
 
 
) (
 
 
 
) {
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Mas novamente pela propriedade i., de simetria, sabemos que e . Então, 
temos: 
 
Além disso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a matriz é dada por: 
 [
 
 
 
 
 
] 
 
Questão 13 
Um consumidor tem preferências de Leontief sobre o consumo de café e açúcar, na proporção 
de 1 unidade (xícara) de café para 2 unidades (colheres) de açúcar. Seja o preço do café e 
 o preço do açúcar. 
1. Esboce o gráfico da restrição orçamentária (para uma renda igual a ) e da curva de 
indiferença que caracterizam a solução para o problema desse consumidor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Suponha que o preço do café aumente para 
 . Como seria o efeito substituição nesse 
caso? Explique. 
Se considerarmos o efeito substituiçãocom uma compensação de renda que restitui o poder 
do compra original do consumidor, a restrição orçamentária irá girar em torno da cesta 
inicialmente escolhida (ver gráfico abaixo, reta laranja). Mas com esse efeito substituição a 
escolha ótima será a mesma cesta escolhida originalmente. Isso significa que o efeito 
substituição é nulo (ou seja, a variação da demanda com relação ao preço se deve 
inteiramente ao efeito renda). Note que se considerássemos o efeito substituição que mantém 
o consumidor no mesmo nível de utilidade, teríamos o mesmo resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico mostra a reta orçamentária original (linha segmentada), a restrição sujeita ao efeito 
substituição (linha laranja) e a reta orçamentária final (reta vermelha sólida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Suponha que compensemos o consumidor com uma variação na sua renda , de 
modo que ele retorne à sua curva de indiferença original. Nesse caso, qual será a sua 
demanda ao novo preço 
 e à nova renda ? Porque esse resultado 
ocorre? 
 
Se fizermos a compensação de renda, iremos levar a reta orçamentária à posição em que 
estava antes de computarmos o efeito renda. Nesse caso, a nova demanda será igual a 
demanda original, sem que houvesse variação de preços. Isso ocorre, porque, como 
mencionamos no item anterior, o efeito substituição é nulo para bens complementares 
perfeitos. 
 
Questão 14 
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique. 
a) A curva de preço-consumo é representada graficamente pela relação entre o preço 
do bem (medido no eixo vertical) e a quantidade consumida daquele bem (medida no eixo 
horizontal) 
b) A Curva de Engel possui sempre inclinação positiva 
c) Para bens normais, o efeito-renda é sempre menor (em valor absoluto) que o efeito-
substituição 
d) Para os bens de Giffen, o efeito-renda é sempre maior (em valor absoluto) que o 
efeito substituição. 
 a) (FALSA) Numa economia com dois bens, a curva de preço-consumo é representada 
no plano , sendo formada pelas combinações ótimas do consumo dos bens para 
diferentes preços relativos entre os dois bens. 
 b) (FALSA) A Curva de Engel expressa a quantidade demandada em função da renda. 
Para bens inferiores a Curva de Engel possui inclinação negativa, uma vez que a quantidade 
demandada do bem diminui quando a renda aumenta. 
 c) (FALSA) Para os bens normais, o efeito-renda possui o mesmo sinal que o efeito-
substituição, contudo não se fazer referências à magnitude desses efeitos na caracterização 
dos bens normais. 
 d) (VERDADEIRA) No caso dos bens de Giffen, a relação entre a variação do preço e a 
da quantidade é sempre positiva, ou seja, se há um aumento no preço, a quantidade 
demandada aumenta. Comoo efeito-substituição é sempre negativo, no caso dos bens de 
Giffen o aumento na quantidade demandada decorre do efeito-renda. Como os bens de Giffen 
são inferiores, com o aumento do preço que ocasiona uma redução do poder de compra 
temos uma elevação da demanda. Nesse sentido, o aumento da demanda observado é 
determinado pelo efeito-renda, que é maior em valor absoluto que o efeito-substituição. 
Assim, esse efeito-renda mais que compensa o efeito-substituição negativo, e o efeito total é 
positivo, caracterizando os bens de Giffen. 
 
Questão 15 
Diga qual dos efeitos, substituição ou renda, é predominante nos dois casos abaixo. Explique o 
porquê. 
1. substitutos perfeitos 
2. complementares perfeitos 
 
 
 
Questão 16 
 
Num período de três anos um indivíduo consumiu as seguintes quantidades dos bens x e y: 
Ano Px Py x y 
1 3 3 7 4 
2 4 2 6 6 
3 5 1 7 3 
 
Esse comportamento é consistente com o axioma forte das preferências reveladas (AFoPR)? 
Justifique.