2° Lista de Exercicio Resolvido

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Exercícios Resolvidos –unidade 2
1)A equação de uma onda transversal progressiva em uma corda é dada por:
y=sen (0,02 p x+4pt)
onde x e y são expressos em centimetros e t em segundos. Determinar:
a) O sentido de propagação da onda
b) A amplitude
c) O comprimento de onda
d) A velocidade de propagação
e) A frequência
SOLUÇÃO
a) O sentido de propagação da onda é para a esquerda, visto que o sinal do segundo termo entre 
parêntese é positivo.
b)Comparando as equações:
y= ym sen [2p/ l (x+vt)]
y=6 sen(0,02 p x+4p t) , temos: ym=6 cm
c)A comparação das mesmas equações, fornece: 2p / l=0,02 p
l=2p /0,02 p=100 cm
d)Ainda pela comparação das equações anteriores, temos: 2pv / l=4p
v=4pl /2p=2p=2 x100=200 cm / s
e) Temos: l=v / f
f =v / l=200/100=2Hz
2) Dois apitos de mesmo comprimento sendo um fechado em uma das extremidades e o outro 
aberto,são soprados emitindo sons fundamentais. Qual dos dois apitos emitirá o som mais agudo?
SOLUÇÃO
Emitirá o som mais agudo o apito que tiver maior frequência. Temos:
. f =nv /4l , n = 1,3,5,7,..... para o apito fechado e,
f =nv /2l , n = 1,2,3,..... para o apito aberto.
Como os apitos emitem sons (frequências) fundamentais (n = 1), teremos:
f 1=v / 4l , para o apito fechado e
f 1 '=v /2l , para o apito aberto
Comparando f'1 e f1 : f 1 ' / f 1=(v /2l) x (4l /v)=2
f 1 '=2 f 1
 Isto é, a frequência do som emitido pelo apito aberto é o dobro da frequência do som emitido pelo 
apito fechado, ou seja, emitirá o som mais agudo o apito aberto.
3)Uma onda senoidal transversal em uma corda tem um período T= 25,0 ms e se desloca no sentido 
negativo de x com uma velocidade de 30 m/s. Em t = 0, uma partícula da corda em x=0 tem um 
deslocamento de 2,0 cm e está se deslocando para baixo com uma velocidade de 2,0 m/s. a) Qual é 
a amplitude da onda? b) Qual é o ângulo de fase inicial? c) Qual é a velocidade transversal máxima 
da corda? d) Escreva a função de onda para essa onda?
SOLUÇÃO:
y (x ,t )=Asen (kx+ω+ϕ)
y (0,0)=Asen(ϕ)=0,0200 m
dy
dt
=Aωcos(ϕ)=−2,00 m / s
Assim,
ω=2π
T
= 2π
0,0250 s
=80 π
s
A²=x i ²+(
v i
ω ) ²=(0,0200 m) ²+(
2,00 m /s
80,00π/ s
) ²
A=0,0215m
b) A sen (ϕ)
A cos(ϕ)
= 0,0200
−2/80,0π
=−2,51=tg (ϕ)
Usando a calculadora obtem-se que arc tg (-2,51) = -1,19 rad
ϕ=π−1,19 rad=1,95 rad
c) v y ,máx=Aω=0,0215m(80,0π/ s)=5,41m /s
d) λ=vx T=(30,0m / s)(0,0250 s)=0,750 m
k=2π
λ
= 2π
0,750 /m
=8,38m ω=80,0π/ s
y (x ,t )(0,0215 m) sen(8,38 x rad /m+80,0 π t rad / s+1,95 rad )
4)Um fio de aço de 30,0 m e um fio de cobre de 20,0m, ambos com diâmetro de 1,00 mm, estão 
conectados por suas extremidades e esticados sob uma tensão de 150N. Quanto tempo uma onda 
transversal levará para se deslocar através de todo o comprimento dos dois fios?
SOLUÇÃO:
Em cada fio, temos:
t= L
v
=L√( μT )
A massa dos fios podem ser escrita como m =ρV = ρAL e também como m = μL
Então, Temos:
μ=ρ A=πρd²
4
 então,
t=L=(πρd²
4T
)
1 /2
Para o cobre, t=(20,0)=[((π)(8920)(1,00 x 10⁻
3) ²
(4)(150)
)]
1 /2
=0,137 s
Para o aço, t=(30,0)=[( (π)(7860)(1,00 x 10⁻
3) ²
(4)(150)
)]
1/2
=0,192s
O tempo total é:
0,137 s+0,192 s=0,329 s
5)Uma corda leve com massa por unidade de comprimento de 8,00 g/m tem suas extremidades 
ligadas a duas paredes separadas por uma distância igual a três quartos do comprimento da corda 
(Figura). Um corpo de massa m está suspenso no centro da corda, criando tensão nela. a) Encontre 
uma expressão para a velocidade da onda transversal na corda em função da massa suspensa. b) 
Quanta massa deveria ser suspensa pela corda para produzir uma velocidade de onda de 60,0 m/s?
SOLUÇÃO:
A partir do diagrama de corpo livre, temos
mg = 2Tsenθ
T = mg/2senθ
O ângulo θ encontrado é:
cosθ=
3L
8
L
2
=
3
4 θ=41,4
º
a) v=√Tμ=√ mg2μ sen41,4 º =√ 9,8m /s²2(8x10−3 kg /m) sen(41,4) √m
ou v=(30,4 m / s
√kg
)√m
b) v=60,0=30,4√m
m=3,84 kg
6)Dois pulsos propagando-se na mesma corda são descritos por 
y1=
5
[(3x−4t )2+2]
 
e
y2=
−5
[(3x−4t−6)2+2]
a) Em que sentido se propaga cada pulso? b) Em que instante os dois pulsos se cancelam em toda 
parte? c) Em que ponto as duas ondas sempre se cancelam?
SOLUÇÃO:
a) y1 = f(x – vt), assim a onda 1 propaga-se na direção +x
 
y2 = f(x + vt), a onda 2 propaga-se na direção -x
b)Cancelam-se, y1 + y2 = 0
5
[(3x−4t)2+2]
= +5
[(3x+4t−6)2+2 ]
(3x−4t)2=(3x+4t−6)2
3x−4t=±(3x+4t−6) , para raiz positiva
8t=6
t=0,75 s , as ondas cancelam-se.
c) para raiz negativa
6x=6
x=1m , as ondas cancelam-se.
7) Dois alto-falantes são colocados em uma parede a 2,00m um do outro. Um ouvinte está parado a 
3,00 m da parede, diretamente na frente de um dos alto-falantes. Um único oscilador está excitando 
os alto-falantes em fase a uma frequência de 300 Hz.a) Qual é a diferença de fase entre as duas 
ondas quando alcançam o observador? b)Qual é a frequência mais próxima de 300 Hz a que o 
oscilador pode ser ajustado de maneira que o observador ouça um som mínimo?
SOLUÇÃO:
∆ x=9.00+4.00− 3.00=13−3.00=0.606 m
O comprimento de onda é: λ= v
f
=343 m / s
300 Hz
=1,14 m
Δ x
λ
=0,606
1,14
=0,530 deuma onda
ou
Δθ=2π(0,530)=3,33 rad
b) Para interferência destrutiva, nós encontramos que: 
Δ x
λ
=0,500= f Δ x
v
f = v
2Δ x
= 343
2(0,606)
=283 Hz
8) Verifique por meio da substituição direta que a função de onda para uma onda estacionária dada 
na Equação
y = (2A sem kx)cosωt
é uma solução da equação de onda linear geral, Equação
(∂ ²y )
(∂ x² )
= 1
v²
(∂ ²y)
(∂ t² )
SOLUÇÃO:
y=2A0sin kx cosωt
(∂ ²y )
(∂ x² )
=−2A0 k² sen kxcosω t
(∂ ²y )
(∂ t² )
=−2A0ω ² sen kx cosω t
Substituindo na equação de onda dada:
−2A0 k² sen kx cosω t=
1
v²
−2A0ω ² sen kx cosω t
Desde que satisfaça, temos
v=ω
k
9)Uma corda vibrando que tem uma densidade de massa linear uniforme exibe um padrão de onda 
estacionária com uma única volta com uma frequência de 800 Hz. a)Se a tensão na corda for 
alterada para reduzir a frequência fundamental a 500 Hz, determine a razão entre a tensão nova e a 
antiga.b) Alternativamente, se a tensão original na corda for aumentada por um fator de 4, 
determine a nova frequência fundamental.
SOLUÇÃO:
Assumindo que a corda não estica, assim μ e L são constantes.
f o=
vo
λ
=√(T oμ 12L )
a)Então,
f a=√(T aμ 12L )
e
f a
f o
=√(T aT o )
T a
T o
=(
f a
f o
) ²=[
(500 Hz )
(800Hz)
] ²=0,391
b)
f b=√(T bμ 12L )
f b
f o
=√(T bT o )=√( 4ToT o )=2
f b=2 f o=2 (800 Hz)=1,60 kHz
10)Como mostra a Figura, a água é bombeada para dentro de um cilindro vertical alto com uma taxa 
de fluxo volumétrico R. O raio do cilindro é r e na extremidade superior aberta do cilindro um 
diapasão vibra com uma frequência f. À medida que a água sobe, quanto tempo passa entre as 
ressonâncias sucessivas?
SOLUÇÃO:
O comprimento de onda do som é:
λ= v
f
a distancia entre os niveis de agua na ressonancia é: d= v
2f
Rt=π r²d
Rt=π r² v
2f
 e
t=(π r² v )
2Rf
Bom Estudo!