Cálculo Integral e Diferencial 2 Avaliando aprendizado

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a: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II 
	Período Acad.: 2017.1 (G) / EX
	
	
	
		1.
		Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2).
	
	
	
	
	
	2√(π^2+ 1)
	
	 
	√(π^2+ 1)
	
	
	5√(π^2+ 1)
	
	
	4√(π^2+ 1)
	
	
	3√(π^2+ 1)
	
		2.
		Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2).
	
	
	
	
	
	-2
	
	 
	1
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	0
	
		3.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	
	0 
	
	
	   -1
	
	
	 -2  
	
	 
	 2   
	
	
	1   
	
	
		4.
		Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
	
	
	
	
	
	12
	
	 
	16
	
	
	20
	
	
	14
	
	
	10
	
	
	
		5.
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	 
	xy cos xy + sen xy
	
	
	
		6.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	2π3
	
	 
	2π2
	
	
	3π2
	
	
	2π
	
	
	π2
	
		7.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
		8.
		Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z  para  0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale:
	
	
	
	
	
	128π3
	
	
	64π
	
	
	32π3
	
	
	36π
	
	 
	128π
	
		1.
		A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será:
	
	
	
	
	
	-37/7
	
	
	12/7
	
	
	-51/7
	
	
	26/7
	
	 
	40/7
	
		2.
		Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x
	
	
	
	
	
	- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x)
	
	
	x3.cos(x) +y3.sen(x)
	
	
	(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x)
	
	
	3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x)
	
	 
	3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x)
	
		3.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	 
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
		4.
		Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π).
	
	
	
	
	
	3√3
	
	 
	√3
	
	
	√3/3
	
	
	2√3
	
	
	√3/2
	
	
		5.
		Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1).
	
	
	
	
	
	0,58
	
	
	0,38
	
	 
	0,48
	
	
	0,28
	
	
	0,18
	
		6.
		Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗
	
	
	
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	
		7.
		Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0.
	
	
	
	
	
	- 3i
	
	
	i + j + 2k
	
	
	- 3j + 2k
	
	 
	- 3i + 2k
	
	
	3i + 2k
	
	
	
		8.
		Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1
	
	
	
	
	
	- 9 E 15
	
	 
	- 8 E 14
	
	
	- 6 E 12
	
	
	- 10 E 16
	
	 
	- 7 E 13
		1.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	
	e-1
	
	 
	 7e-7
	
	
	7e
	
	
	7
	
	
	e7
	
	
	
		2.
		Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
	
	
	
	
	 
	60PI
	
	 
	80PI
	
	
	100PI
	
	
	40PI
	
	
	20PI
	
		3.
		Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2.
	
	
	
	
	
	V = 1/4 u.v.
	
	
	V = 3/4 u.v
	
	 
	V=2/3 u.v
	
	
	V = 21 u.v.
	
	
	V = 1/3 u.v
	
		4.
		O valor da integral é
	
	
	
	
	 
	-1/12
	
	
	1/12
	
	
	-2/3
	
	
	0
	
	
	2/3
	
		5.
		Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j.
	
	
	
	
	
	- 3x - 2y
	
	
	- 3x + 2y
	
	
	3x + 2y
	
	 
	3x - 2y
	
	
	2x - 3y
	
	
		6.
		Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).
	
	
	
	
	 
	-7/2
	
	
	1/2
	
	
	0
	
	
	-1/2
	
	
	7/2
	
	
		7.
		Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2)
	
	
	
	
	
	-4
	
	
	4
	
	 
	6
	
	
	-2
	
	
	2
	
		8.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	1
	
	
	20
	
	 
	16
	
	
	10
	
	
	2
	
	1.
		
	
	
	
	
	 
	25, 33
	
	
	34,67
	
	
	32,59
	
	
	33,19
	
	
	53,52
	
	
		2.
		Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira .
 
	
	
	
	
	-3
	
	
	-1
	
	
	3
	
	 
	6
	
	 
	-6
	
		3.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	 
	1,3,4
	
	
	1,2,3
	
	
	1,2,5
	
	
	1,2,4
	
	
	1,3,5
	
		4.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	0
	
	
	13
	
	
	14
	
	 
	12
	
	
	15
		5.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	-2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	-10
		6.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	
	
	1
	
	
	2
	
	 
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	
		7.
		Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de   f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por    r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
	
	
	
	
	 
	423
	
	
	233
	
	
	1
	
	
	324
	
	
	2
	
		8.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	14u.c.
	
	 
	 21u.c.
	
	
	7u.c.
	
	
	 28u.c.
	
	
	 49u.c.
		1.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
		
	
	
	0
	
	 
	3t2 i  + 2t j
	
	
	  2t j
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	t2 i + 2 j
		2.
		Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
A função f(t) é contínua para t = 0;
A função g(t) é descontínua para t = 0;
A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
		
	
	
	I
	
	 
	I e II
	
	
	II
	
	
	I, II e III
	
	
	III
	
		3.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	
	x=1+t ; y=2+5t
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
		4.
		Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
		
	
	 
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
	
	r'(t)=v(t)=15i - 3j
	
	
	r'(t)=v(t)=32i - j
	
	
	r'(t)=v(t)=14i + j
	
	
	r'(t)=v(t)=13i - 2j
	
	
		5.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
		
	
	
	
	
	-cost j + t2 k + C
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
	2senti + cost j - t2 k + C
		6.
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(0,-1,-1)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(0,0,2)
	
	
	(0, 1,-2)
	
	 
	(0,-1,2)
	
		7.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
		
	
	
	
	
	ti+2j
	
	 
	6ti+2j
	
	
	6ti -2j
	
	
	6i+2j
	
	
	6ti+j
	
		8.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k
		
	
	
	j + k
	
	
	j
	
	
	i - j + k
	
	 
	k
	
	
	j - k
		1.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	
	
	
	(1-cost,sent,1)
	
	
	(1-sent,sent,0)
	
	 
	(1-cost,sent,0)
	
	
	(1 +cost,sent,0)
	
	
	(1-cost,0,0)
	
		2.
		Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t pertencente a R. As coordenadas de seu vetor velocidade em t = 0 são:
	
	
	
	(2; -3; 3)
	
	
	(1; -2; -1)
	
	 
	(2; 0; 3)
	
	
	(2; -6; -3)
	
	
	(0; 8; 4)
	
		3.
		Sendo C(x, y) = 200 + 3x + 2y a função custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, o custo para fabricar 20 unidades de A e 15 unidades de B é:
	
	
	
	270
	
	 
	250
	
	
	300
	
	 
	290
	
	
	280
	
	
		4.
		O custo conjunto para fabricar x unidades de um produto A e y unidades de um produto B é dado por C(x, y) = 200 + 3x + 2y. Ao custo total de 270 e fabricando 20 unidades de B, quantas unidades de A podem ser fabricadas?
	
	
	
	15
	
	
	20
	
	 
	10
	
	
	25
	
	
	5
		5.
		A equação paramétrica da reta tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5] em t0=2 é:
	
	
	
	x = 4 - 4t; y = 19 -16 t
	
	
	x = 4 + 2t; y = 16 +19 t
	
	 
	x = 2 + 4t; y = 19 +16 t
	
	
	x = 2 - 4t; y = 19 +16 t
	
	
	x = -2 + 4t; y = -19 +16 t
	
	
		6.
		Um objeto em movimento descreve sua trajetória segundo a função S(t) = (2t; 8-3t2; 3t+4), para t pertencente a R. As coordenadas de seu vetor aceleração em t = 0 são:
	
	
	
	(-2; 6; 2)
	
	
	(1; -2; 0)
	
	
	(0; 8; 4)
	
	 
	(0; -6; 0)
	
	
	(2; -3; 3)
	
	
		7.
		Dada a equação da velocidade v(t)=(sent)i+t2j, o vetor aceleração no instante t=0 tem módulo:
	
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	2
		8.
		Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
	
	
	
	-0,25i - 7j - 1,5k
	
	
	-0,25i + 7j + 1,5k
	
	 
	0,25i + 7j + 1,5k
	
	
	0,25i + 7j - 1,5k
	
	
	0,25i - 7j + 1,5k
		1.
		Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2.
		
	
	
	
	
	fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2
	
	 
	fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2
	
	
	fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0
	
	
	fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4
	
	
	fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4
	
	
	
		2.
		Encontre a derivada direcional da função f(x,y)= x^2 y^3-4 y no ponto (2,-1) na direção do vetor v=2i+5j.
		
	
	
	
	
	(32)/29
	
	 
	(32√29)/29
	
	
	(32√29)/9
	
	
	(3√29)/2
	
	
	(√29)/29
	
		3.
		Considerando a função f(x,y) = 2.x3.3y2, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(-1;2) e fy(-2,1) são, respectivamente.
		
	
	
	18 e 6
	
	
	72 e -24
	
	
	18 e - 54
	
	
	36 e -96
	
	 
	72 e -96
	
		4.
		Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
		
	
	
	36 e -60
	
	
	36 e 60
	
	
	18 e -30
	
	
	9 e 15
	
	 
	0 e 0
	
		5.
		Calcule e marque a única resposta correta para as derivadas parciais de f(x,y,z)=x3yz2+x+2y+4.
		
	
	
	
	
	fx=3x2yz2+1; fy=x3yz2-2; fz=2x3yz.
	
	
	fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz.
	
	
	fx=3x2yz2; fy=x3z2+2; fz=2x3yz2.
	
	
	fx=2x3yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz.
	
	 
	fx=3x2yz2+1; fy=x3z2+2; fz=2x3yz.
	
	
	
		6.
		Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = (x2 + y3).senx.
		
	
	 
	fx = 2x.senx + 2x.cosx   e fy = 3y.senx
	
	
	fx = 2x.cosx + (2x2 + y3).senx   e fy = 3y2.senx
	
	 
	fx = 2x.senx + (x2 + y3).cosx   e fy = 3y2.senx
	
	
	fx = x.senx + (x2 + y3).cosx   e fy = 3y2.senx + x2
	
	
	fx = 2x.senx + (x2 + 3y).cosx   e fy = 3y2
	
		7.
		Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = (x2 + 2xy)3, paralela ao eixo x, no ponto P = (1;2).
		
	
	
	200
	
	
	320
	
	
	150
	
	
	125
	
	 
	450
	
		8.
		Determine o coeficiente angular da retatangente à função f(x,y) = 4xy2, paralela ao eixo x, no ponto P = (5;4).
		
	
	
	160
	
	
	32
	
	
	135
	
	 
	64
	
	
	26
		1.
		Encontre o lim┬(t→3)⁡〖(3t^2 i-(2e^2t-1)j-cos⁡(tπ)k)〗
		
	
	
	
	 
	27i - (2e^6 - 1)j + k
	
	
	27i - (2e^6 - 1)j - k
	
	
	27i - (2e^3 + 1)j - k
	
	
	27i - (2e^3 - 1)j - k
	
	
	27i + (2e^6 - 1)j - k
	
	
	
		2.
		Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função f(x,y) = ln(x2 + 2xy), o valor de fx e fy será:
		
	
	
	
	
	fx = 2/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy)
	
	
	fx = 1/(x2 + 2xy) e fy = 2/(x2 + 2xy)
	
	 
	fx = (2x+2y)/(x2 + 2xy) e fy = 2x/(x2 + 2xy)
	
	
	fx = (2x+2y) e fy = e(x + 2xy)
	
	
	fx = (x+y)/(x2 + 2xy)2 e fy = x/(x2 + 2xy)2
		3.
		Considerando fx e fy as derivadas parciais de uma função f(x,y), para a função f(x,y) = (x2 + y2).sen(x), o valor de fx e fy será:
		
	
	
	fx = sen(x) + cos(x) e fy = 2y
	
	
	fx = 2x.sen(x) - cos(x) e fy = y.cos(x)
	
	 
	fx = 2x.sen(x) + (x2 + y2).cos(x) e fy = 2y.sen(x)
	
	
	fx = 2x.cos(x) - (x2 + y2).sen(x) e fy = 2y.cos(x)
	
	
	fx = 2x.sen(x) e fy = 2y.sen(x)
	
		4.
		Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y.
		
	
	
	z / (yz + 1)
	
	
	z / y
	
	
	z / (y - 1)
	
	 
	z / (yz - 1)
	
	
	z / ( z - 1)
	
		5.
		Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = 3x2y, paralela ao eixo y, no ponto P = (10;15).
		
	
	
	900
	
	
	500
	
	 
	300
	
	
	700
	
	
	200
	
		6.
		Encontre a diferencial total da função z= e^(x^2+ y^2 ) (senx)^2 das três variáveis x, y e z.
		
	
	
	dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+cos2zdx)
	
	
	dz= e^(x^2+ y^2 )(2sen^2 zdx+2sen^2 zdy+sen2zdx)
	
	 
	dz= e^(x^2+ y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx)
	
	
	dz= e^(y^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy+sen2zdx)
	
	
	dz= e^(x^2 )(2xsen^2 zdx+2ysen^2 zdy + sen2zdx)
	
		7.
		Determine o coeficiente angular da reta tangente à função f(x,y) = x2 + 3y2, paralela ao eixo y, no ponto P = (3;2).
		
	
	
	-8
	
	
	18
	
	
	6
	
	
	3
	
	 
	12
	
		8.
		Sabendo que uma partícula se move ao longo de uma curva no espaço, com velocidade v = (2t;-4t; 1) e que a sua posição no instante t=0 era (1;1;0), qual é sua posição em qualquer t maior que zero.
		
	
	
	s (t) = (t^2; 1 - 2t^2; t)
	
	
	s (t) = (t^2+1; 1 - 4t^2; t)
	
	 
	s (t) = (t^2 +1; 1 - 2t^2; t)
	
	
	Nenhuma das alternativas anteriores
	
	
	s (t) = (t^2; 1 - 4t^2; t)
		1.
		Calcule a integral dupla:
∫24 ∫12 (x2 + y2) dydx
	
	
	
	
	
	70/13
	
	
	70/15
	
	
	70/9
	
	
	70/11
	
	 
	70/3
	
	
	
		2.
		Encontrando Primitivas.
Seja  ∫((cost)i + 3t2)j dt,
qual a  resposta correta?
	
	
	
	
	
	(cost)i - 3tj
	
	 
	(sent)i + t³j
	
	
	-(sent)i -3tj
	
	
	(cost)i - sentj + 3tk
	
	
	(cost)i + 3tj
	
	
	
		3.
		Calcule a Integral Dupla: 
	
	
	
	
	 
	-1/2
	
	
	2/3
	
	
	1/3
	
	
	5/2
	
	
	1/2
	
	
	
		4.
		Marque apenas a alternativa correta:
	
	
	
	
	
	Todas as opções são verdadeiras.
	
	 
	Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y.
	
	 
	Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
	
	
	Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%.
	
	
	Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2.
	
		5.
		Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
	
	
	
	2i + 2j
	
	 
	2j
	
	
	2i
	
	
	2i + j
	
	
	i/2 + j/2
	
		6.
		
	
	
	
	41
	
	
	22
	
	 
	27/2
	
	
	33/19
	
	
	18/5
	
		7.
		Determine e indique a única resposta correta para  fx,fy,fz, se f(x,y,z)=exylnz.
	
	
	
	fy=yexylnz; fx=xexylnz; fz=eyz
	
	
	fx=zyexylnz; fy=xyexylnz; fz=xyexyz
	
	 
	fx=yexylnz; fy=xexylnz; fz=exyz
	
	
	fx=exylnz; fy=exylnz; fz=xyexyz
	
	
	fx=yexylnyz; fy=xexylny; fz=exyx
	
		8.
		Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y  (x + y)dxdy
	
	
	
	13
	
	
	15
	
	
	16
	
	
	12
	
	 
	14
		1.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1)
		
	
	
	
	 
	∇f=<-e,-e,-e>
	
	
	∇f=<-1,-1,-1>
	
	
	∇f=<-e,-1,-e>
	
	
	∇f=<-e,-e, e>
	
	
	 ∇f=<e, e,-e>
	
	
	
		2.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	
		3.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	
		4.
		Considerando que a equação define y como uma função diferenciável de x, use a Diferenciação Implícita para encontrar o valor de dydx no ponto dado.
 x3 - 2y2 + xy = 0, (1,1).
		
	
	
	
	
	3/4
	
	
	-3/4
	
	
	-4/3
	
	 
	4/3
	
	
	1/2
	
	
	
		5.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=ex+y+z, no ponto P0(ln2,ln2,ln2).
		
	
	
	
	
	∇f=<-8,8,8>
	
	
	∇f=<-8,-8,-8>
	
	 
	∇f=<8,8,8>
	
	
	∇f=<8,8,-8>
	
	
	∇f=<8,-8,8>
	
	
	
		6.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(2,et,(1+t)et)
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	 
	(t,et,(2+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	
	
		7.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=-e-x-e-y-e-z no ponto P0(1,1,1).
		
	
	
	
	 
	∇f=<1e,1e,1e>
	
	
	∇f=<1e,-1e,1e>
	
	
	∇f=<-1e,1e,1e>
	
	
	∇f=<1e,1e,-1e>
	
	
	∇f=<2e,3e,4e>
	
	
	
		8.
		Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.
		
	
	
	
	
	2bcotgt + tgt
	
	
	2/t + 2bcotgt
	
	
	2/t + 2bt + tgt
	
	 
	2/t + 2bcotgt + tgt
	
	
	2/t + 2btgt + cotgt
	 1a Questão (Ref.: 201503237643)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio=2 cm e altura=5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm^2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se : Qual o valor exatodo acréscimo no custo da caixa?
		
	
	R$ 19,30
	
	R$ 25,17
	 
	R$ 10,47
	
	R$ 10,00
	
	R$ 11,21
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201503089530)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O valor de ∫012∫0yx dx dy é
		
	
	64
	
	144
	
	128
	 
	288
	
	328
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201503062832)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x).
		
	 
	y = 7 + 2x + 0,25x²
	
	y = x - 7x² + 5
	
	y = 7 + 2x -  0,25x²
	
	y = x² -7x - 1
	
	y = x³ -5x² -3
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201503132313)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcule a derivada de 2ª Ordem D2f/dxdy da função f(x,y) = (y/2)e2x+xln(2y)
		
	 
	e2x+ln(2y)
	
	ye2x+ln(2y)
	 
	e2x+(2/y)
	
	ye2x+(2/y)
	
	e2x+(1/y)
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201502819614)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
		
	
	5/6
	
	2/3
	 
	7/6
	
	1/2
	 
	1/6
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201503092636)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	
		
	 
	27/2
	
	12
	
	15/17
	
	18/35
	
	14
	
	
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201503095516)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Determine a área limitada da região limitada entre as curvas, y = x + 6 e y = x².
		
	
	13/2
	
	49/6
	
	22/3
	 
	125/6
	
	27/2
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201502818830)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) na direção de v = 3i - 4j usando o gradiente.
		
	
	8/5
	 
	-1
	
	1
	
	3/5
	
	-4/5
	1a Questão (Ref.: 201502836809)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
		
	
	1-z
	
	0
	 
	1
	
	2-2z
	
	2
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201503089604)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4  e  y=x2 é
		
	
	8/3
	
	2/3
	
	4/3
	
	1/3
	 
	16/3
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201502825407)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	
		
	
	50 π
	
	73,37 π
	
	33,37 π
	 
	37,33 π
	
	60 π
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201503089957)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
		
	
	244π
	
	188π
	 
	288π
	
	144π
	
	36π
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201503241396)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Calcule a integral de linha   ∮c (x2 ydx (x-2y)dy, onde a curva "c" é o segmento da parábola  y = x2 de (0,0) a (1,1)
		
	
	-2/5
	
	-3/5
	
	-1/5
	
	-1/15
	 
	-2/15
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201503241422)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja Ψ (x,y,z) = sen x + 2xy + zy, calcule o laplaciano de Ψ
		
	
	- sen (x) - 6
	
	- cos x - 3
	 
	- sen(x) + 6
	
	6
	
	-cos ( x) + 3
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201503203769)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	
		
	
	10 u.v
	
	16/3 u.v
	
	24/5 u.v
	
	18 u.v
	 
	9/2 u.v
	
	
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201503000412)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre o volume de uma região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2.
		
	
	e) 25 /5
	
	c) 89 / 5
	
	b) 85/ 2
	 
	a) 86 / 3
	
	d) 82 /3
		1.
		Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2).
	
	
	
	
	
	4√(π^2+ 1)
	
	 
	√(π^2+ 1)
	
	
	5√(π^2+ 1)
	
	
	3√(π^2+ 1)
	
	
	2√(π^2+ 1)
	
	
	
		2.
		Encontre a derivada direcional máxima da função w(x, y, z) = e^(xy )cosz no ponto (0, 1, π/2).
	
	
	
	
	
	0
	
	
	2
	
	 
	-2
	
	
	-1
	
	 
	1
	
	
	
		3.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	
	   -1
	
	
	0 
	
	
	 -2  
	
	 
	 2   
	
	 
	1   
	
	
	
		4.
		Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
	
	
	
	
	
	10
	
	 
	16
	
	
	20
	
	
	14
	
	
	12
	
	
	
		5.
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	 
	xy cos xy + sen xy
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	
	
		6.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	2π3
	
	
	π2
	
	
	2π
	
	 
	2π2
	
	
	3π2
	
	
	
		7.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	
		8.
		Em coordenadas cilíndricas, a integral tripla de f(r,θ,z)=2z  para  0≤r≤4,0≤θ≤π e 0≤z≤4 , vale:
	
	
	
	
	
	64π
	
	 
	128π
	
	
	32π3
	
	
	128π3
	
	
	36π
		1.
		Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		2.
		Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π).
	
	
	
	
	
	2√3
	
	 
	√3
	
	
	3√3
	
	
	√3/2
	
	
	√3/3
	
	
	
		3.
		Encontre os valores de df/(dx ) e df/dy, no ponto ( 4 , -5) se f (x,y) = x^2 + 3xy + y ¿ 1
	
	
	
	
	 
	- 10 E 16
	
	
	- 9 E 15
	
	
	- 8 E 14
	
	 
	- 7 E 13
	
	
	- 6 E 12
	
	
	
		4.
		Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x
	
	
	
	
	
	- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x)
	
	 
	3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x)
	
	
	(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x)
	
	 
	x3.cos(x) +y3.sen(x)
	
	
	3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x)
	
	
	
		5.
		A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será:
	
	
	
	
	
	12/7
	
	 
	26/7
	
	 
	40/7
	
	
	-51/7
	
	
	-37/7
	
	
	
		6.
		Encontre o trabalho realizado por F = (y - x2)i + (z -y2)j + (x - z2)k sobre a curva r(t) = ti +t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1 partindo de (0, 0, 0), passando por (1, 1, 0) e chegando em (1, 1, 1).
	
	
	
	
	
	0,18
	
	
	0,380,48
	
	
	0,58
	
	
	0,28
		7.
		Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy eliminado pelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano f (x,y) = 3 ¿x ¿ y. V = ∫_0^1▒∫_0^x▒〖(3 ¿x ¿ y)dydx .〗
	
	
	
	
	
	5
	
	
	4
	
	 
	1
	
	
	3
	
	
	2
		8.
		Considere r(t) = (3cost)i + (3sent)j + t^2.k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no espaço em qualquer instante t de 0 a 6,28. Calcule o vetor aceleração para t = 0.
	
	
	
	
	 
	- 3i + 2k
	
	
	3i + 2k
	
	
	- 3j + 2k
	
	
	i + j + 2k
	
	
	- 3i
		1.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	
	7e
	
	 
	 7e-7
	
	
	7
	
	
	e7
	
	
	e-1
		2.
		Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
	
	
	
	
	
	20PI
	
	 
	60PI
	
	
	40PI
	
	
	80PI
	
	
	100PI
		3.
		Calcule o volume do conjunto de pontos (x,y,z),tais que, 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e 0 < z < x^2+y^2.
	
	
	
	
	
	V = 1/3 u.v
	
	
	V = 1/4 u.v.
	
	
	V = 21 u.v.
	
	
	V = 3/4 u.v
	
	 
	V=2/3 u.v
		4.
		O valor da integral é
	
	
	
	
	
	0
	
	
	-2/3
	
	
	1/12
	
	 
	-1/12
	
	
	2/3
		5.
		Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j.
	
	
	
	
	
	3x + 2y
	
	
	2x - 3y
	
	 
	3x - 2y
	
	 
	- 3x - 2y
	
	
	- 3x + 2y
		6.
		Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).
	
	
	
	
	
	0
	
	 
	-7/2
	
	
	1/2
	
	
	7/2
	
	 
	-1/2
		7.
		Determine a integral de linha de F=(2xy-4x,x2-6y) entre do ponto (1,-1) até (2,2)
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	4
	
	 
	6
	
	 
	-4
	
	
	2
	
		8.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	20
	
	
	2
	
	 
	16
	
	
	1
	
	 
	10
		1.
		
	
	
	
	
	
	33,19
	
	
	32,59
	
	
	53,52
	
	
	34,67
	
	 
	25, 33
		2.
		Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira .
 
	
	
	
	
	
	-3
	
	
	3
	
	 
	-6
	
	
	-1
	
	
	6
	
	
	
		3.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	
	
	1,2,5
	
	
	1,2,3
	
	 
	1,3,5
	
	
	1,2,4
	
	 
	1,3,4
	
	
	
		4.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	
	
	14
	
	
	0
	
	
	13
	
	 
	12
	
	
	15
	
	
	
		5.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	-2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	-10
		6.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0
	
	
	
	
	
	3
	
	
	4
	
	 
	0
	
	
	2
	
	
	1
	
		7.
		Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k ,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de   f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por    r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
	
	
	
	
	
	2
	
	
	324
	
	 
	423
	
	
	1
	
	
	233
	
		8.
		Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa  r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,  a≤t≤b é dada pela fórmula
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt ,
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	7u.c.
	
	 
	 21u.c.
	
	
	 28u.c.
	
	
	14u.c.
	
	
	 49u.c.