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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
PEDRO CASALS 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Aula 1: CONJUNTOS. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Conceitos sobre conjuntos 
• O conceito de conjunto é primitivo, 
isto é, não definível. Conjunto nos 
traz a ideia de coleção de 
elementos. 
• Chamamos de elemento ao 
componente de um conjunto. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Representação de um conjunto 
Temos três diferentes formas para representar um 
conjunto 
• Representação tabular. 
• Representação por diagrama de Venn. 
• Representação por meio de uma propriedade 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Relação de pertinência 
• Considere os conjuntos A e B. 
• Veja que “i” é um elemento de B, mas não é 
elemento de A e representamos: 
• i  B (i pertence a B) 
• i  A (i não pertence a A) 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Tipos de Conjunto 
• Conjunto unitário. 
• Conjunto vazio. 
• Conjunto finito. 
• Conjunto infinito. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Conjuntos iguais 
• A = B 
• A  C 
• B  C 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Conjunto universo (U) 
O conjunto universo de um estudo é 
aquele ao qual pertencem todos os 
elementos desse estudo. 
• Considere, por exemplo, os 
números menores do que 6. 
• Se o conjunto universo é o conjunto 
dos números naturais. 
• Se o conjunto universo é o conjunto 
dos números naturais pares. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Aula 2: SUBCONJUNTOS, OPERAÇÕES 
ENTRE CONJUNTOS, CONJUNTOS 
NUMÉRICOS, FORMAS DE REPRESENTAÇÃO. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Subconjunto 
Sendo A e B dois conjuntos, dizemos que A 
é subconjunto de B se, e somente se, todos 
os elementos de A pertencem a B. 
• A  B (A está contido em B) ou 
• B  A (B contém A) 
• O conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto. 
• Todo conjunto é subconjunto de si 
mesmo. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Operações com conjuntos: interseção 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de 
interseção de A com B ao conjunto formado pelos 
elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto 
B. 
• A  B (A interseção B) ou 
• A  B = {x| xA e xB} 
• Se B  A; então, A  B = B 
• A  B = B  A (propriedade comutativa). 
• (A  B)  C = A  (B  C) (propriedade associativa) 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Operações com conjuntos: união 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de união 
de A com B ao conjunto formado pelos elementos 
que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 
• A  B (A união B) ou 
• A  B = {x| xA ou xB} 
• Se B  A; então, A  B = A 
• A  B = B  A (propriedade comutativa). 
• (A  B)  C = A  (B  C) (propriedade associativa) 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Operações com conjuntos: Diferença 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de 
diferença entre A e B ao conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto A e que 
não pertencem ao conjunto B. 
• A - B (A menos B) ou 
• A - B = {x| xA e xB} 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Conjuntos numéricos 
• Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} 
• Conjunto dos números naturais não nulos: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} 
• Conjunto dos números inteiros: Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
• Inteiros negativos: Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
• Inteiros positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
• Inteiros negativos não nulos: Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
• Inteiros positivos não nulos: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} 
 
 
Conjuntos numéricos 
Conjuntos numéricos 
Conjunto dos números reais (R): 
corresponde à união do conjunto 
dos números racionais com o 
conjunto dos números 
irracionais. 
 
 
Formas de representação numérica e transformação: 
forma fracionária e forma decimal 
 
• Os números decimais originam-se nas frações decimais (aquelas cujo 
denominador é uma potência de 10): 1/10, 3/100, 25/1000, etc. 
• Por exemplo: a fração ½ equivale à fração 5/10 que, por sua vez, 
equivale ao número decimal 0,5. 
• Podemos representar uma fração decimal por um número decimal ou 
transformar um número decimal em fração decimal. 
• Exemplo: 25/100 = 0,25 e 7,345 = 7345/1000 
 
 
 
Intervalos numéricos 
Podemos representar o conjunto dos 
números reais associando cada 
número a um ponto localizado sobre 
uma linha reta. 
Adotando uma unidade e um sentido 
para esta reta, teremos uma reta 
denominada de reta orientada. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Intervalos numéricos 
Considere dois números reais a e b (a < b); são 
subconjuntos de R os seguintes intervalos: 
• Intervalo fechado: conjunto dos números reais 
maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. 
• Intervalo aberto: conjunto dos números reais 
maiores do que a e menores do que b. 
• Intervalo fechado à esquerda: conjunto dos 
números reais maiores ou iguais a a e menores 
do que b. 
• Intervalo fechado à direita: conjunto dos 
números reais maiores do que a e menores ou 
iguais a b. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Intervalos numéricos 
Considere dois números reais a e b (a < b); são 
subconjuntos de R os seguintes intervalos: 
 
• Semi-reta esquerda, fechada, de origem em b. 
 
• Semi-reta esquerda, aberta, de origem em b. 
 
• Semi-reta direita, fechada, de origem em a. 
 
• Semi-reta direita, aberta, de origem em a. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Aula 3: Potenciação, radiciação, 
expressões algébricas, operações com 
expressões algébricas, fatoração e 
produtos notáveis. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Potenciação 
 
• A potência do expoente n (n  N e n > 1) do número a equivale ao produto de n 
fatores iguais a a. 
• O número a é chamado de base e o número n de expoente. 
• Notação: na 
 
• Toda potência de base a (a  0) elevada a um expoente par é positiva. 
• Toda potência de base a (a  0) elevada a um expoente ímpar, tem o mesmo sinal da 
base. 
• Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Operações com potências 
 
• Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os 
expoentes. 
• Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes. 
• Potenciação do produto. 
• Potenciação do quociente. 
• Todo número a (a0) elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse 
número elevado ao simétrico do expoente. 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Radiciação 
 
• A raiz de índice n de um número a é o número b quando . 
• O número a é chamado de base e o número n de expoente. 
• Notação: na 
• O índice n é um número inteiro maior do que 1. 
• O número a é chamado de radicando. 
• Quando o expoente é fracionário, podemos escrever: 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Propriedades dos radicais 
 
• Raiz do produto: 
 
• Raiz de uma divisão: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Expressões algébricas 
 
• Termo algébrico (monômio) é o produto entre incógnitas ou entre 
números e incógnitas. Exemplo: 3.x.y.z 
• Grau de um monômio é a soma dos expoentes quando todos os 
expoentes são números inteiros. Exemplo: 
 
• Expressão algébrica é a soma ou subtração de termos algébricos. 
• Valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido quando 
atribuímos valores às incógnitas. Exemplo: Para x = 3 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Expressõesalgébricas 
 
• Monômios semelhantes têm mesma parte literal. 
• Adição ou subtração de monômios semelhantes: repetimos a parte 
literal e somamos ou subtraímos os coeficientes. 
• Multiplicação ou divisão de monômios semelhantes: multiplicamos ou 
dividimos tanto as partes literais quanto os coeficientes. 
• Expressões algébricas classificam-se em: 
• Racionais; 
• Racionais inteiras; 
• Racionais fracionárias; 
• Irracionais. 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Polinômios 
 
• Polinômios são expressões algébricas racionais inteiras. 
• Adição ou subtração de polinômios: adicionamos ou subtraímos os 
termos semelhantes. 
• Multiplicação: multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os 
termos do outro polinômio e, a seguir, reduzimos os termos 
semelhantes. 
• Divisão: dividimos cada termos de um polinômio por todos os termos do 
outro polinômio e, a seguir, reduzimos os termos. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Produtos notáveis 
 
• Quadrado da soma: 
 
• Quadrado da diferença: 
 
• Produto da soma pela diferença: 
 
• Quadrado da soma de três termos: 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Produtos notáveis 
 
• Cubo de uma soma: 
 
• Cubo de uma diferença: 
 
• Soma do cubo de dois termos: 
 
• Diferença do cubo de dois termos: 
Produtos de Stevin 
 
• 
 
• Quando n for ímpar: 
 
 
• 
 
• Onde r1 e r2 são as raízes da equação. 
 
Fatoração 
 
• Fatorar é transformar a soma de uma ou mais parcelas em um produto 
de um ou mais fatores. 
 
• Fator comum (evidência): 
 
• Agrupamento: 
 
 
Aula 4: Razão e proporção, propriedades 
das proporções, regra de três simples e 
composta e percentagem. 
 
 
Razão 
 
• A razão entre dois números a e b é o quociente a/b. 
• A razão compara quantidades por meio do quociente entre elas e 
dizemos: a está para b. 
• O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da 
razão. 
• Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as 
representam são equivalentes. Exemplo: 3/5 = 12/20 
• Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao 
consequente da outra. 
Proporção 
 
• Proporção é a igualdade entre razões. 
 
• K é a constante da proporção. 
• a e d são os extremos da proporção 
• b e c são os meios da proporção. 
Propriedades das proporções 
 
• Seja a proporção a/b = c/d. 
• O produto dos meios é igual ao produto dos extremos: a.d = b.c. 
• A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim 
como cada antecedente está para seu consequente. 
 
 
 
Grandezas proporcionais 
 
• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando multiplicando o valor de uma delas 
por um número positivo, o valor da outra também fica multiplicado por esse mesmo 
número positivo. 
• Exemplo: Se uma bala custa R$1,00; duas balas custarão R$2,00 e 5 balas custarão 
R$5,00; assim, o preço cobrado pelas balas é diretamente proporcional à quantidade 
comprada. 
• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando o valor de uma 
delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número 
positivo. 
• Exemplo: Se eu percorro uma distância de 100Km a 50Km/h, levarei duas horas; se eu 
percorro a mesma distância a 100Km/h eu levarei apenas uma hora; assim, velocidade e 
tempo gasto para percorrer uma distância são inversamente proporcionais. 
Regra de três simples 
 
• A regra de três simples serve para calcularmos o quarto termo de uma 
proporção quando conhecemos os outros três termos e há apenas duas 
grandezas envolvidas. 
• Para resolver uma regra de três simples basta que identifiquemos se as 
grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. 
• Se as grandezas forem diretamente proporcionais, mantemos as 
razões e montamos a proporção entre essas razões. 
• Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma 
das razões e montamos a proporção entre essas razões. 
Regra de três simples: exemplo 
 
• Uma máquina fabrica três peças em 20 minutos. Quantas peças ela 
produzirá em oito horas de trabalho? 
• Solução: 
Primeiro, devemos transformar a unidade tempo para minutos; assim teremos uma 
única grandeza associada à variável tempo: 8 horas = 480 minutos. 
Se temos mais tempo, a máquina faz mais peças; logo, as grandezas são 
diretamente proporcionais e temos: 
 
Logo: 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
Regra de três composta 
 
• A regra de três composta envolve três ou mais grandezas. 
• O primeiro passo para resolver uma regra de três composta é organizar 
as grandezas em uma tabela, identificando se as grandezas envolvidas 
são direta ou inversamente proporcionais, relacionando cada grandeza 
com aquela cujo valor é desconhecido (x). 
Regra de três composta: exemplo 
 
• Um grupo de 10 trabalhadores descarrega 210 caixas em 3 horas. Quantas horas são 
necessárias para que 25 trabalhadores descarreguem 350 caixas? 
 
 
 
 
• Inicialmente, marcamos o valor conhecido na coluna do valor desconhecido (horas). 
• Se aumentamos os trabalhadores, diminui o número de horas; assim essas grandezas são 
inversamente proporcionais; logo marcamos o valor que está em oposto em linha ao valor 
desconhecido. 
• Se aumentarmos o número de caixas, aumenta o número de horas; logo, essas grandezas 
são diretamente proporcionais; assim, marcamos o valor que está em linha com o valor 
desconhecido. 
Trabalhadores Caixas Horas 
10 210 3 
25 350 x 
Regra de três composta: exemplo 
 
 
 
 
 
• Assim, montamos a seguinte equação: 
 
 
 
 
Trabalhadores Caixas Horas 
10 210 3 
25 350 x 
Percentagem 
 
• Considere uma pizza dividida em 100 pedaços. Cada pedaço dessa pizza 
corresponderá a um por cento ou 0,01, ou 1/100 ou, ainda, 1%. 
 
 
 
Aula 5: Relações e funções. 
 
 
Plano Cartesiano 
 
• O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas auxilia na determinação 
de um ponto por meio de um conjunto de informações. 
• Para determinarmos um ponto de um plano, precisamos fixar nesse 
plano dois eixos reais x e y perpendiculares entre si. 
 
 
 
 
 
• O plano que contém este sistema é chamado de plano cartesiano. 
Coordenadas de um ponto no plano Cartesiano 
 
• Dado um ponto P no plano cartesiano, chamamos de projeção ortogonal de P 
sobre um dos eixos (x ou y) à interseção desse eixo com a perpendicular a ele 
traçada, por P. 
Par ordenado 
 
• Para indicar que um ponto possui abcissa a e ordenada b, representamos: 
• O símbolo P(a,b) é chamado de par ordenado. 
Produto cartesiano 
• Sejam A e B dois conjuntos, consideremos o conjunto AxB = {(x,y)| xA e yB}. 
• Chamamos ao conjunto AxB de produto cartesiano de A por B. 
Relações 
 
• Seja R um conjunto e supondo que todos os elementos de R sejam pares 
ordenados, podemos dizer que R é uma relação. 
• Se (x,y) R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) 
por meio de R. 
• Assim, o produto cartesiano AxB é uma relação de A em B dada por 
 R = {(x,y)|xA e yB} . 
• Se R é uma relação de A em B, então chamamos A de conjunto de 
partida (domínio) e B de conjunto de chegada (imagem). 
 
 
 
 
• O plano que contém este sistema é chamado de plano cartesiano. 
Funções 
 
• Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos que possui 
uma propriedade especial. 
• Sejam A e B dois conjuntos e R uma relação de A em B, se a cada 
elemento xA corresponde um único elemento yB, podemos afirmarque R é uma função de A em B. 
• SejamA e B dois conjuntos não vazios, uma relação f de A em B é função 
se, e somente se, todo elemento de A estiver associado a um único 
elemento de B por meio de f. 
 
 
 
 
Aula 6: Funções e seus gráficos. 
 
 
Imagem de um elemento 
 
• Considere a função mostrada no diagrama abaixo. Se um elemento y de 
B estiver associado a um elemento x de A por meio da função f, 
podemos dizer que y é a imagem de x através de f. 
• Indicamos: y = f(x) 
Imagem de um elemento 
 
• Considere o gráfico da função y = f(x) abaixo. Cada ponto (x,y) do gráfico 
deve ser interpretado como (x, f(x)) ou, em outras palavras, a ordenada é 
a imagem ada abcissa por meio de f. 
Função crescente – Função decrescente 
 
• Uma função f(x) é considerada crescente em um intervalo numérico no 
qual é definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse 
intervalo e com x1 < x2, f(x2) > f(x1). 
• Uma função f(x) é considerada decrescente em um intervalo numérico 
no qual é definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse 
intervalo e com x1 < x2, f(x2) < f(x1). 
• Uma função f(x) é constante em um intervalo numérico no qual é 
definida e, para dois valores quaisquer x1 e x2, dentro desse intervalo e 
com x1 diferente de x2, f(x2) = f(x1).