Circuitos ressonantes

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Guias de Telecomunicações 
 
 
Wander Rodrigues 
 
CEFET – MG 2005 
 
 
 
Sumário 
 
 
 
 
 
Apresentação do Laboratório de Telecomunicações ............................................... 04 
Circuitos ressonantes ............................................................................................... 28 
Circuitos osciladores de onda senoidal – oscilador Hartley ..................................... 56 
Circuitos osciladores de onda senoidal – oscilador Colpitts ..................................... 66 
Circuitos osciladores de onda senoidal – oscilador a cristal .................................... 78 
Multiplicador de freqüência ....................................................................................... 89 
Amplificador de radiofreqüência ............................................................................. 106 
Modulador em amplitude valvulado – modulação em alto nível ............................. 119 
Modulador em amplitude transistorizado – modulação em baixo nível .................. 140 
Modulador balanceado ........................................................................................... 154 
Modulador em freqüência a diodo varicap ............................................................. 166 
Conversor de freqüência em audiofreqüência ........................................................ 178 
Amplificador de freqüência intermediária e detector .............................................. 187 
Detector a diodo e controle automático de ganho .................................................. 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limitador de amplitude para sinais de freqüência modulada ................................. 212 
Detecção de freqüência modulada - detector de inclinação ................................. 226 
Detecção de freqüência modulada – circuito discriminador ................................... 237 
Análise de um receptor de AM - DSB - FC ou AM - A3 .......................................... 248 
Análise de um transceptor de AM - SSB ou AM - A3J .......................................... 259 
Análise de um transceptor de VHF - FM ................................................................ 267 
Anexos .................................................................................................................... 278 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 28
 
 
 
 
 
 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
Prática de Laboratório de Telecomunicações 
Prof. Wander Rodrigues - 3o e 4o Módulos de Eletrônica - 2003 
 
EXPERIÊNCIA No 2 
TÍTULO: Circuitos ressonantes 
 
Os circuitos que apresentam uma variação marcante em suas caracterís-
ticas de resposta sobre uma faixa de freqüência são chamados de circuitos sintoni-
zados ou circuitos ressonantes, e esse fenômeno é conhecido como ressonância. 
Os circuitos sintonizados são usualmente utilizados em todas as situa-
ções onde existem a necessidade de discriminação entre sinais de diferentes fre-
qüências. Em rádio, ou TV, os circuitos sintonizados são utilizados para separar os 
sinais das estações transmissoras. 
 
01 - Ressonância série 
Investigaremos o tão conhecido fenômeno da ressonância série. 
Considere o circuito série da FIG. 01. A impedância da parte à direita dos 
terminais ab é: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
C
LjRZ Lab ωω
1 
Equação 01
Em uma freqüência angular ωr o termo reativo será igual a zero e a impe-
dância, com característica puramente resistiva. Esta condição é conhecida como 
ressonância série, e ωr ou ωo ou fr é a sua freqüência de ressonância angular ou fre-
qüência de ressonância. 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 29
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 - Circuito Série. 
Na forma polar, a expressão geral para a impedância, "olhando" a partir 
dos terminais ab, é: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= −
L
Lab R
C
L
tg
C
LRZ
ωω
ωω
1
1 1
2
2 
Equação 02
e a corrente será: 
( )abg ZZ
EI += 
 
( )
C
LjRR
EI
Lg ωω
1−++
= 
Equação 03
Se a resistência do gerador (Rg = 0), então: 
abZ
EI = 
Da equação 01 podemos ver que Zab exibirá uma impedância mínima i-
gual a RL ohms. Se a fonte de impedância Rg é puramente resistiva, como indicado, 
então a corrente está em fase com a tensão aplicada. 
Se Rg é diferente de zero ele pode ser adicionado a RL para fornecer um 
circuito equivalente total Rt, como segue: 
gLt RRR += 
Equação 04
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 30
 
 
 
 
 
 
A freqüência de ressonância série pode ser expressa em termos dos pa-
râmetros do circuito igualando-se o termo reativo da equação 01 a zero, como se-
gue: 
01 =−
C
L ωω 
 
012 =−LCω 
LC
12 =ω Equação 05
LCor
1=== ωωω Equação 06
LC
fff or π2
1=== Equação 07
Nota-se que ωr é independente da resistência do circuito e depende ape-
nas dos valores de L e de C. O resistor RL representa a resistência total entre os 
pontos ab. Isto inclui a resistência CC do enrolamento mais a resistência CA que 
depende das perdas no núcleo e do efeito Skin ou peculiar. 
Uma representação da maneira pela qual jXL, -jXC e j(XL-XC) variam com 
a freqüência está mostrada na FIG. 02. Para ωr, a distância positiva X é igual à dis-
tância negativa X, e a reatância resultante é zero. A maneira pela qual a corrente va-
ria com a freqüência é a conhecida Curva de Ressonância, mostrada na FIG. 03. A 
corrente é máxima para ωr, porque Zab é mínima e igual a RL, se Rg = 0. 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 31
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02 - Variação da reatância com a freqüência. 
 
 
 
Figura 03 - Curva de Ressonância. 
 
02 - Largura de faixa de um circuito ressonante série 
 
Seria interessante termos algum meio de descrever a inclinação da Curva 
de Ressonância, uma vez que isso indicaria com que precisão poderíamos selecio-
narmos uma freqüência desejada dentre as freqüências adjacentes. O método usa-
do está baseado nas seguintes considerações: Na ressonância, a potência dissipada 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 32
 
 
 
 
 
 
em um circuito ressonante está em um máximo. Existirão então duas freqüências, 
uma de cada lado de fr, onde a potência dissipada é a metade da potência na resso-
nância. Essas duas freqüências são chamadas freqüência superior (f2) e freqüência 
inferior (f1) de meia potência. Lembre-se que, quando falarmos de potência, estamos 
nos referindo à potência real que é dissipada nos elementos resistivos. 
Para fr: trr RxIP
2=
Em f2 22
rPP = 
Todavia, 
2
2
2
2
tr
t
RxIRxI = 
 rr Ix
II 707,0
22
== 
De maneira similar podemos mostrar que para f1, 
r
r IxII 707,0
21
== 
Agora pode ser desejável determinar a largura de faixa do circuito sintoni-
zado pela inspeção dos parâmetros, ao invés de medidas diretas em um circuito re-
al. Podemos facilmente estabelecer as proporções seguintes, uma vez que temos 
desenvolvida a relação entre I na freqüência de ressonância, Ir e I na freqüência de 
meia potência I12. O índice 12 é usado para designar um ponto de meia potência o-
correndo em ω1 e ω2. 
2
112 =
rI
I
 
t
t
r
R
E
XR
E
I
I 212
2
12 += 
2
12
22
1
XR
R
t
t
+
= Equação 08
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 33
 
 
 
 
 
 
2
12
2
2
2
1
XR
R
t
t
+= 
Resolvendo para a relação entre X12 e Rt, obtemos: 
Notamos que a reatância resultante é igual à resistência resultante nos 
pontos de meia potência. Isso também nos mostra que o ângulo de fase é de mais 
ou menos
tRX ±=12 
 45o.Para ω2, o circuito comporta-se como indutivo e o ângulo de fase é 
45o enquanto que para ω1 a reatância resultante é capacitiva e a corrente avança 
45o em relação à tensão. A reatância resultante pode ser expressa em termos de L, 
C e ω como segue: 
tRC
LX ±=−=
12
1212
1
ωω 
CRLC t12
2
12 1 ωω ±=− 
0112
2
12 =−± ωω CRLC t 
Portanto 
LC
LCCRCR tt
2
422 +±±=ω 
Uma vez que o radical é visivelmente muito maior que RtC, o caso onde o 
radical é precedido por um sinal negativo resultará em uma freqüência negativa. 
Uma freqü
12
ência negativa é sem importância para nós e nesse caso é desconsidera-
do. Com apenas o sinal positivo antes do radical, temos duas freqüências possíveis: 
LC
LCCRCR tt
2
422
12
++±=ω 
As duas raízes são então: 
LC21
= LCCRCRfx tt 42
22
1
++−=ωπ
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 34
 
 
 
 
 
 
LC
LCCRCR
fx tt
2
4
2
22
22
+++==ωπ 
Temos agora três fórmulas desenvolvidas, que nos permitem determinar a 
freqüência de ressonância e as freqüências de meia potência, em termos dos parâ-
metros do
cia da bobina permanece constante, aproximadamente, 
dentro da 
. Se multiplicarmos ω1 e ω2, o 
resultado é
 circuito. A faixa de freqüência entre ω1 e ω2 é denominada Largura de 
Faixa, Bw. O que significa que Bw = ω2 - ω1. Uma palavra de atenção nesta oportuni-
dade: a quantidade Rt inclui as resistências do gerador e da bobina. A resistência da 
bobina varia com a freqüência, devido ao efeito Skin etc., o que significa que Rt de-
vida a RL também varia com a freqüência. O valor de RL não será necessariamente 
o mesmo em F1, Fr, ou F2. 
Embora a resistência CA da bobina varie com a freqüência, a relação en-
tre a reatância e a resistên
largura de faixa, na maioria dos casos. Como RL aumenta com a freqüên-
cia, da mesma forma que XL, a relação de XL para RL permanece aproximadamente 
constante. A quantidade XL/RL é conhecida como sendo o Q da bobina, ou QL e 
permite-nos analisar de forma conveniente o circuito sintonizado. Enquanto os fabri-
cantes de bobinas não têm comumente gráficos de RL versus freqüência, as curvas 
de QL versus freqüência são facilmente disponíveis. 
Vejamos se podemos relacionar as freqüências de ressonância e de meia 
potência diretamente com os parâmetros do circuito
: 
LCCL
CRLCCR tt 14
2222
21 =−+=ωω 4 22 
Mas 
LCr
1=ω ; 
Portanto 
= 
rf . Isto é o mesmo que escrever 
2
21 rωωω
2Ou 21 ff =
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 35
 
 
 
 
 
 
2
1
f
f
f
f r
r
= Equação 09
O termo largura de faixa, como temos usado até agora, não nos diz real-
mente muito, a menos que a freqüência de ressonância seja especific
xemplo, se você diss
ada. Por e-
esse que a largura de faixa de um circuito ressonante série é 
100 Hz, poderia assegurar que o circuito é também de características aguda de sin-
tonia? Certamente, não. Se fr é 500 Hz, 100 Hz seria uma grande porcentagem de 
fr, resultado em uma curva achatada de resposta, baixa seletividade. Se fr fosse 1 
MHz, a sintonia seria muito aguda. Portanto, o que realmente necessitamos como 
um indicador de mérito, para julgarmos a seletividade de um circuito sintonizado, é a 
relação de largura de faixa com a freqüência de ressonância. Esta relação algumas 
vezes referida por unidade de largura de faixa ou apenas por largura de faixa, Bw. 
Podemos, assim, definir: 
w
rr
Bdeunidadepor
f
ff =−=− 1212ω
ωω
 Equação 10
e ωωω ∆=− 12 como largura de faixa. 
Portanto, vamos desenvolver uma relação simples entre a expressão an-
ramos que: terior e os parâmetros do circuito. Most
LC
LCCRt
2
422
2
++=ω CRt+ Equação 11
LC
LCCRCR tt
2
422
1
++−=ω Equação 12
LCr
1=ω Equação 13
Em geral, f2 - fr é diferente de fr - f1. Ou seja, as freqüências de meia po-
tência não são igualmente espaçadas em relação à freqüência de ress
todavia, o 
onância. Se 
Q total do circuito, Qt é 10, o erro é desprezível e as freqüências de meia 
potência podem ser consideradas igualmente espaçadas de fr. Portanto se conhe-
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 36
 
 
 
 
 
 
cermos o Q do circuito, podemos escrever, quando Qt >= 10: 
t
r
r
w
r Q
B
222
ωωωω +=+= Equação 14
t
r
r
w
r Q
B
221
ωωωω −=−= Equação 15
Se o Q do circuito é cerca de 10 ou mais, a tensão através de 
também máxima em ωr e apresentará uma curva de resposta de freqüência similar 
aquela da
3 - AUMENTO DA TENSÃO RESSONANTE 
Um fenômeno interessante e útil relacionado com os circuitos ressonantes 
s de L e C para ωr quando Qr 
é grande. 
mas na ressonância 
L ou C será 
 corrente. A mesma largura de faixa, Q e outras relações podem ser usa-
das. Por exemplo, o Q do circuito pode ser avaliado medindo pontos de tensão igual 
a 0,707 da tensão máxima. 
 
 
0
série é o grande aumento da tensão que ocorre atravé
Podemos provar este fato da seguinte maneira. 
A amplitude da tensão através do capacitor é 
cc XxIE = 
R
EII == 
Portanto, 
r
R
XxE
E cr= , 
mas para ωr, ou 
cr
Lrcr XX =
tr
Lr
cr QxER
XxE
 Equação 16
onde Qtr é o Q do circuito na ressonância. 
E ==
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 37
 
 
 
 
 
 
Notavelmente, a tensão no indutor ou capacitor na ressonância pode ser 
Qtr vezes maior do que a tensão aplicada. Se uma tensão de 10 Volts é aplicada a 
 = 100, a tensão no indutor ou capacitor 
será de 1000 Volts. Quando c
um circuito ressonante série tendo um Qtr
ircuitos desse tipo são projetados, a tensão de trabalho 
do capacitor deve ser determinada nessa base. Realmente, ωr não é exatamente a 
freqüência para a qual EL ou Ec é um máximo, mas a diferença é pequena, se Qtr é 
maior ou igual a 10. A freqüência exata para a qual Ec é um máximo é: 
22
11
tr
r Q
x −=ωω Equação 17
que resulta aproximadamente abaixo de ωr. Se Qtr = 10, essa freqüência é essenci-
almente a mesma que ωr e a tensão máxima do capacitor será aproximadamente 
igual à tensão do capacitor na ressonância. 
A tensão através da bobina na ressonância, EL é complicada pelo fato 
que L tem uma resistência RL associada. Portanto, usaremos ZL ao invés de XL. 
( )22 LRZ LL ω+= 
uma vez que RL não é usualmente especificada, mas QL é especificada, podemos 
escrever: 
⎟⎟⎠⎝⎠⎝ LL ωω
⎞
⎜⎜
⎛ +=⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ += 122
2
22
22
222
22 RLLRLZ LLL ωω ω
112 += xLZ ω
Lr
L Q
 
112 +==
Lr
r
LrrLr QR
LxEZxIE ω 
112 +=
Lr
trLr Q
QxEE 
trLr QxEE ≅ quando Equação 1810≥LrQ 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 38
 
 
 
 
 
 
A freqüência exata para a qual a tensão da bobina é máxima é ligeira-
mente superior a ωr e é dada por: 
2
11
tr
r
Q
−
= ωω Equação 19
outra vez, se Qtr é maior ou igual a 10, a tensão da bobina pode ser considerada 
máxima para ωr. 
Uma nota de alerta: Sempre que se fizer qualquer cálculo envolvendo o Q 
da bobina nas proximidades de ωr, esteja certo de usar o valor de Q correspondendo 
a ωr. QL pode variar largamente sobre uma grande faixa de freqüências, e portanto, 
é melhor medir o Q da bobina para a freqüência de interesse, ou usar os dados do 
fabricante, que podem representar QL versus freqüência. 
 
 
04 - ANTI - RESSONÃNCIA PARALELA 
Investigaremos, em seguida, o fenômeno da ressonância paralela, ou anti 
- ressonância, como ele é algumas vezes chamado. O circuito da FIG. 04 ilustra 
completamente um circuito geral anti - ressonante. 
A impedância vista olhando a partir dos terminais ab pode variar muito, 
dependendo do Q dos circuitos indutivos e capacitivos. Para freqüências abaixo da 
freqüênciade ressonância, a impedância do ramo indutivo é pequena e uma grande 
corrente fluirá através da bobina. A corrente através do ramo capacitivo será peque-
na, porque XC é grande para baixas freqüências. A corrente da linha fluindo nos ter-
minais é, portanto, grande. Em altas freqüências, o ramo indutivo oferece uma alta 
impedância, mas o ramo capacitivo tem uma baixa impedância, novamente, a cor-
rente da linha é relativamente alta. Qualquer freqüência intermediária, a impedância 
de entrada será maior e a corrente da linha será mínima. Essa não é necessaria-
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 39
 
 
 
 
 
 
mente a m
5, mesmo assim, o erro está em torno de 1,0 % e, 
portanto, a impedância máxima será considerada como que ocorrendo à mesma fre-
qüência, que resulta em um fator de potência unitário. Então para uma determinada 
freqüência que se defini como a freqüência anti – ressonante, far, a impedância vista 
a partir dos terminais ab é puramente resistiva. Nosso primeiro objetivo é determinar 
esma freqüência para a qual a corrente está em fase com a tensão apli-
cada. Se Q for baixo, da ordem de 
como esta freqüência está relacionada com os parâmetros do circuito. 
 
 
Figura 04 - Circuito ressonante paralelo. 
ito paralelo, é mais conveni-
ente traba
 
Uma vez que estamos tratando com um circu
lhar com as admitâncias. 
ccLLcLen
en jXRjXRZZZ
Y −++=+==
11111 
Racionalizando cada termo, obtemos: 
2222
CC
CC
LL
LL
en XR
JXR
XR
jXRY +
+++
−= 
Separando e então agrupando as componentes resistivas e reativa, 
22222222
LL
L
CC
C
CC
C
LL
L
en XR
Xj
XR
Xj
XR
R
XR
RY +−+++++= 
Para Yen ser puramente resistiva, a componente reativa -_ susceptância __ 
de Yen deve ser nula. Portanto, vamos igualar a susceptância a zero e resolver para 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 40
 
 
 
 
 
 
aquele valor de ω, para o qual a afirmação anterior é verdadeira. 
02222 =+−+ LL
L
CC
C
XR
X
XR
X
 
( ) ( ) 02222 =+−+ CCLLLC XRXXRX 
( ) 011 222222 =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−+ CRLLRC CL ωωωω 
multiplicando ambos os lados por ωC temos: 
0
1
22
222
2222 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+
C
RCLCLR CL ω
ωωω 
Colocando todos os termos sobre o mesmo denominador, temos: 
( )
0
1
22
2222224222
=+−+
C
RCLCCLRC CL
ω
ωωωω 
( ) 012222224222 =+−+ CL RCLCCLRC ωωωω 
Fatorando ω2C fora de cada termo, temos: 
( )[ ] 012222222 ==−+ CL RCLCLCRC ωωω 
( ) 012222 =+− CRCLC ω 
Expandindo e coletando os termos, 
22 +L LCR ω
0222222 =−−+ LRLCCLCR CL ωω 
( ) 022222 =−+− LCRRLCCL LCω 
( ) 222 LC CRLRC −= 22 LCL −ω
( )2
2
222
2
2
C
L
C
L
CRLLC
C
−
RL
RLCCL
CRL −=−
−=ω 
( )2
2
LCR 
CCRLLC
L
−
−=ω
2
21
C
 
L
CRL
CRLx
LC −
−=ω Equação 20
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 41
 
 
 
 
 
 
Nota-se que a freqüência anti - ressonante paralela é realmente depen-
dente das resistências do circuito. Nos circuitos série, a freqüência de ressonância 
era independente das resistências do circuito. A equação 20 é bastante interessante. 
Ela indica que a ressonância pode ser estabelecida não apenas variando ω, L ou C, 
mas também pelo controle de RL ou RC. Isso, entretanto, raramente é feito na práti-
ca, visto que RL e RC tendem a deteriorar a seletividade do circuito. 
nicações, a resistência no ramo capa-
citivo é desprezível e a do ramo indutivo é pequena se o Q da bobina é razoavel-
mente alto. Então, L será usualmente maior do que CRL2 ou CRC2, e a equação 20 
Na maioria dos circuitos para comu
se reduz a: 
LCar
1=ω 
que é a mesma do circuito ressonante série. Se CRL2 ou CRC2 forem maiores do que 
, o que resulta em um valor imaginário de 
ωar. Isto é alguma coisa que não podemos gerar fisicamente e portanto, não tem ou-
tro significado, a não ser o de que não existirá a condição de ressonância em qual-
ob o radical é igual a 1 e, portanto, 
L, a quantidade sob o radical será negativa
quer freqüência. Se RL = RC, a quantidade s
LCar
1=ω 
LC , para este caso. Se RL igualar a RC e também igualar a ωar é indeterminado e 
o circuito aparece resistivo para todas as freqüências. 
Em circuitos anti - ressonantes práticos, a resistência no ramo capacitivo 
é usualmente desprezível e a equação 20 reduz-se a: 
L
CRLx
LC
L
ar
21 −=ω 
que pode ser manipulada em: 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 42
 
 
 
 
 
 
2
22
L
LCRLx
LC
L
ar
−
 
elevando ao quadrado ambos os lados e substituindo a freqüência de ressonante 
série ω
1=ω
r por LC
1 , obteremos: 
22 1
2
22
RL −
2L
L
rar
ωωω = r 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 22
2
22 1
L
R
r
L
rar ωωω 
L
L
R QR
L =ω , temos: e desde que 
2
11
L
Rsar Q
−=ωω Equação 21
ue indica que as freqüências ressonantes série e paralela são quase idênticas 
quando Q
q
QL Q
ωr e não para ωar. Uma expressão ligeiramente diferente para ωar é obtida se o Q da 
bobina para ωar é introduzido. Elevando ao quadrado ambos os lados temos: 
L é grande nas proximidades da ressonância. 
Note que o valor de na equação 21 está baseado no da bobina para 
2
22
2 1
L
LCRLx
LCar
−=ω 
Substituindo ωr2 por 1/LC e separando o termo entre parenteses em dois 
termos, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 2
2
22
2
2
2
2
2
2
22 1
L
R
L
L
L
LCR
L
L
r
rrar ωωωω 
Multiplicando numerador e denominador do termo R2/L2 por ωar2
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 43
 
 
 
 
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= 222
22
22 1
L
R
arr
ar
rar ωω
ωωω 
⎟⎟
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
2
22 1 arrar
ωωω 
⎠22 Lr Qω
onde QL agora é o Q da bobina determinado para ωar. Resolvendo para ωar, obtemos 
2
2
11
L
r
ar
Q
−
= ωω Equação 22
Comparando as equações 21 e 22, vemos que, embora o Q da bobina pa-
ra ωr possa diferir daquele para ωar, a freqüência anti-ressonante ωar é ainda essen-
ωr se QL
Uma interpretação física das condições do circuito para ωar po
da da FIG. 04. A corrente em cada ramo é determinada pela impedância deste ramo. 
em fase e outra em quadra-
tura. IL.cos ϕ e I .sen ϕ , respectivamente. Para ω , as amplitudes e os ângulos de 
fase de I 
r C C L L
C C L L ia vista 
olhando a partir dos terminais ab da FIG. 04 para ωar é então uma quantidade finita 
igual à tensão aplicada dividida pela corrente resultante em fase. 
istência no mesmo ramo do circuito, as correntes em quadratu-
ra serão muito maiores que as correntes em fase. Isso está ilustrado na FIG. 05, di-
agramas de corrente. A corrente resultante em fase para ωar é entretanto baixa, o 
que signif lta que o 
mais alto Q do circuito. Para ωar, as correntes do circuito podem ser bastante gran-
cialmente igual a está em torno de 10 ou mais. 
de ser obti-
A corrente no ramo capacitivo, IC adiantará da tensão aplicada de um ângulo ϕL. Po-
demos também resolver IL através de uma componente 
L L L ar
L e IC não precisam ser os mesmos, uma vez que RL e RC podem ser dife-
entes. As componentes em quadratura I .sen ϕ e I .sen ϕ se cancelam, o que re-
sulta em uma corrente total em fase de I .cos ϕ mais I .cos ϕ . A impedânc
Quando o Q de cada ramo é alto, de forma que a reatância do ramo é 
muito maior que a res
ica que a impedância de entrada na anti-ressonância é mais a
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 44
 
 
 
 
 
 
des, mas a sua soma vetorial, se Q é alto, resulta em uma corrente de linha peque-
na. 
 
 
Figura 05 - Diagramas de Corrente. 
 
 
05 - CIRCUITO ANTI-RESSOANTE PRÁTICO 
A FIG. 06ilustra um circuito anti-ressonante prático comumente usado em 
trabalhos de comunicação. Temos desenvolvida a equação 21, que expressa a fre-
qüência ressonante da FIG. 04. Isto, com RC = 0, é o mesmo que a FIG. 06 uma vez 
que de nossos objetivos primários é obter experiências na manipulação e interpreta-
ção das equações com números complexos, vamos iniciar de leve a nossa análise 
da FIG. 06. Vamos primeiro verificar a equação 21. 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 45
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 06 - Circuito anti-ressonante prático. 
( ) CLLenen jXjXRZY −++==
111 
CLL
LL
en X
j
XR
jXRY 122 ++
−= 
⎟⎟⎠
⎞X
⎜⎜⎝
⎛
+−++= 2222
1
LL
L
CLL
L
en XRX
j
XR
R
 
+= 
Y
Y jBGen
( ) ⎟⎠⎜⎝ + 222 LLCL XRXX
Para Z
⎟⎜++= 2
CLLL
L
L
en jR
Y 
Equação 23⎞⎛ −+ 22 XXXRR
en ser puramente resistiva, a componente reativa de Yen deve ser 
igual a zero. Isto é: 
( ) 022
22
=+
−+
LLC
CLLL
XRX
XXXR 
a expressão anterior é verdadeira quando o numerador é zero ou 
. 
Resolvendo para o valor de ω que faz a expressão igual a zero, 
022 =−+ CLLL XXXR
0222 =−+
C
LLRL ω
ωω 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 46
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2 1
L
R
LCL
R
CL
L LL −=−=ω 
2
21
L
R
LC
L
ar −== ωω 
Isto pode ser manipulado na forma da equação 21 se fazemos novamente 
L
Lr R
LQe
LC
ωω == 12 
22
22
2
L
R
r
Lr
raa ω
ωωω −= 
2
2
2
L
r
raa Q
ωωω −= 
2
11
L
raa Q
−=ωω 
que verifica a equação 21. 
 
 
06 – IMPEDÂNCIA DE ENTRADA NA RESSONÂNCIA 
ncia para ωar, vista olhando a partir dos terminais ab da FIG. 05, 
é facilmente determinada examinando-se a equação 23. Para ωar, a componente re-
ativa de Yen é zero, o que faz a admitância de entrada igual a G. Por outro lado, Zen 
= Zar = Rar = 1/G; onde Rar é a impedância anti-ressonante. 
A impedâ
LL
L
L
L
2 ⎟⎟⎠
LL
XQX 2
L
LL
ar
Q
R
X
R
R
XRR
1
111 222 +
=
+⎞⎜⎜⎝
⎛
=+= 
Todas as reatâncias são tomadas para ωar. 
2
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 47
 
 
 
 
 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 211
L
LLar Q
QXR Equação 24
se QL é grande, digamos 10 ou mais, 
ar C
to prático anti-ressonante para XC e podemos, em conseqüência, obter: 
LLar QXR ≈ 
Podemos expressar R em termos de X resolvendo a equação do circui-
022 =−+ CLLL XXXR 
L
L
L
L
LL
C
X
X
R
X
RXX
1
1 2
2
22 +
=+= 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 211
L
LC Q
XX Equação 26
emos que XC não pode mais igualar a XL em ωar, mas a 
e QL é grande. Resolvendo para XL a equação 26, obtemos: 
Da equação 26 v
diferença é pequena s
⎟⎟
⎟⎜⎜= 1
1
CL XX Eq
⎟⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ 21
uação 27
A equação 28 pode ser usada para expressar Rar diretamente em termos 
dos parâmetros do circuito como segue: 
⎠LQ
e substituindo na equação 24, resulta 
LCar QXR = Equação 28
CR
L
R
Lx
C
QXR
LL
ar
ar
LCar === ωω
1 Equação 29
s úteis expressando Rar podem ser deri-
vadas, por exemplo: 
Da equação 29, formas adicionai
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 48
 
 
 
 
 
 
LL
L
L
L
C
L
LC
ar RQR
X
R
X
R
XXR 2
22
=≈≈= Equação 30
Se a resistência está presente no ramo capacitivo, ela poderia ser adicio-
nada a RL quando determinamos Rar. Por exemplo, 
( ) CL
C
CL
L
CL
LC
CL
ar RR
X
RR
X
RR
XX
CRR
L
+=+=+=+
22
 R = Equação 31
A equação 31 não é exata, mas é suficientemente precisa quando os fato-
res de mérito do circuito são em torno de 10 ou mais. 
O Q total do circuito paralelo quando a resistência está presente em am-
bos os ramos pode ser tomado como: 
CL
L
t RR
XQ += Equação 32
quando Qr
s 
correntes dos ramos são aproximadamente Qt vezes a corrente da linha para ωar. 
Façamos Is igual à corrente de linha forçada por alguma fonte Eg a partir dos termi-
nais ab da FIG. 05. Podemos escrever as seguintes expressões: 
 é 10 ou mais. 
Com a ajuda das várias expressões para Rar pode ser mostrado que a
ar
gI
g R
E = 
L
g
g Z
I
E = 
se Qt é alto, portanto, 
t
L
Lt
L
ar
g
L Q
X
XQ
Z
R
I
I =≈= Equação 32
Desde que XL ≈ XC para ωar, quando Qt é grande, vemos que: 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 49
 
 
 
 
 
 
t
g
L Q
I
I ≈ Equação 34
 
Observações pessoais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 50
 
 
 
 
 
 
Questionário da Exp. No 02 
 
ome: __________________________________________ No _____ Turma: _____ 
etermine: a freqüência de ressonância, a largura 
de faixa, a corrente na ressonância se a tensão de entrada é de 15 Volts a 0o, e 
a potência dissipada no resistor de 60 ohms na ressonância. 
N
 
01 - Dado o circuito série abaixo, d
 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 51
 
 
 
 
 
 
02 - Dado o circuito ressonante abaixo, determine: a freqüência de ressonância, a 
corrente na ressonância e as freqüências de meia potência. 
 
 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 52
 
 
 
 
 
 
03 - Dado o circuito sintonizado paralelo abaixo, determine: a freqüência de anti-
ressonância, a tensão de saída, a corrente na indutância, a potência dissipada 
no circuito tanque, a largura de faixa e o fator de mérito do circuito. 
 
 
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 53
 
 
 
 
 
 
04 - Para o circuito sintonizado paralelo, determine: a freqüência de ressonância, a 
corrente no gerador na ressonância, a largura de faixa e o fator de mérito do 
circuito. 
 
 
 
CEFET-MG 
 
 
CIRCUITOS RESSONANTES 54
 
 
 
 
 
 
05 - Represente eo versus freqüência para o circuito abaixo. Explique a função do 
circuito. 
 
 
onsidere: C1 = 0,1 µF C2 = 0,02 µF L1 = 1H L2 = 0,6H 
 
C
CEFET-MG 
 
 
WANDER RODRIGUES 55
 
 
 
 
 
 
06 - Projete um circuito de filtro que selecione a freqüência de 10kHZ e faça o blo-
queio da segunda harmônica, utilizando o princípio da ressonância. 
 
 
 
CEFET-MG 
 
	Guias de Telecomunicações
	Wander Rodrigues
	CEFET – MG 2005
	Equação 04
	Equação 05
	Equação 06
	Equação 07
	Equação 08
	Equação 09
	Equação 10
	Equação 11
	Equação 13
	Equação 14
	Equação 15
	A amplitude da tensão através do capacitor é
	Equação 16
	Equação 17
	Equação 18
	Equação 19
	Equação 20
	Equação 21
	Equação 22
	Equação 23
	Equação 24
	Equação 26
	Equação 27
	Equação 28
	Equação 29
	Equação 30
	Equação 31
	Equação 32
	Equação 32
	Equação 34