Aula 6 02 Prêmios Carregados

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Matemática Atuarial I 
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Prêmios carregados
Nas aulas anteriores aprendemos como calcular o Prêmio Puro Único 
e o prêmio nivelado. Nos dois casos estamos calculando o prêmio 
de risco, ou seja, o prêmio a ser cobrado do segurado para que a 
seguradora consiga pagar todas as indenizações relativas a 
sinistros ocorridos.
No entanto, nenhum dos prêmios cobrados será suficiente para pagar 
despesas administrativas da seguradora (ou fundo de pensão).
Veremos agora como incluir no prêmio as despesas da seguradora.
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Prêmios carregados
Para incluirmos as despesas da seguradora no 
prêmio puro devemos inicialmente dividir as 
despesas no que diz respeito à incidência 
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Prêmios carregados
Algumas despesas irão ocorrer apenas no 
momento da aquisição do contrato como: 
comissão de corretagem, despesas com 
médicos examinadores, ordenado com 
empregados ligados à aquisição da apólice.
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Prêmios carregados
Em contrapartida, algumas despesas incidem 
enquanto o segurado estiver ligação com a 
empresa (período de pagamento de prêmio ou 
recebimento de benefício). Algumas dessas 
despesas são: salários de funcionários, 
despesas com informática, correspondência, 
aluguel, impostos, etc.
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Prêmios carregados
Sobre o prêmio puro, pode-se adicionar 
carregamentos de segurabilidade para 
diminuir o risco de insolvência da seguradora 
a partir da Teoria do Risco de Ruína.
Até o final do curso, estudaremos os 
carregamentos relativos às despesas 
apresentadas anteriormente.
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Prêmios carregados
Dividiremos os Prêmios carregados em:
a) Prêmio de Iinventário
b) Prêmio “Zillmerado”
c) Prêmio Comercial ou de tarifa
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Prêmios carregados
a) Prêmio de Inventário
O prêmio de inventário deve ser mensurado 
para atender às despesas de administração e 
demais despesas que incidem ao longo do 
contrato de seguro (além do prêmio de risco).
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Prêmios carregados
Para exemplificar este tipo de seguro, 
pensemos em uma pessoa de idade x que 
contrata um seguro de vida inteira que paga 
R$ 1,00 no fim do ano de morte deste 
segurado. Sabemos que o prêmio puro único 
seria dado por:
Ax=∑
k=0
∞
v
k+1k px qx+k
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Prêmios carregados
Caso o segurado tenha interesse em fazer 
pagamentos nivelado até o momento de 
morte, então o prêmio seria:
P= Ax
a¨ x
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Prêmios carregados
Queremos calcular o prêmio (de inventário) que 
faça frente às despesas administrativas que 
incidem ao longo do período de vigência do 
contrato.
Em outras palavras, queremos cobrar um prêmio 
do segurado que, em média, seja suficiente 
para cobrir os riscos (prêmio puro) e as 
despesas da seguradora. Ou seja, queremos 
calcular o Prêmio P' tal que E(L) = 0
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Prêmios carregados
Vejam que a teoria já vista é extremamente 
importante para calcularmos o prêmio com 
este carregamento. Lembremos que:
L = Z – Y
em que Z é a obrigação da seguradora e Y é a 
obrigação do segurado.
A obrigação da seguradora, agora, é diferente 
do que havíamos calculado anteriormente.
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Prêmios carregados
A obrigação da segurado é, além de pagar as 
indenizações, pagar também as despesas 
com administrativas para seu funcionamento 
(durante o período de vigência do contrato).
Neste caso, Z é uma v.a. cuja função (em 
relação ao tempo de vida adicional) pode ser 
descrita como:
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Prêmios carregados
Obrigação da seguradora com o segurado:
E qual a obrigação do segurado? 
vk+1 +γ { a¨ k∣
¿
sek≥0
¿
Z= {0 ¿casocontrário ¿}
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Prêmios carregados
O segurado se compromete a pagar o prêmio 
enquanto estiver vivo. Mantendo a notação, P' 
é o prêmio que assume essas despesas da 
seguradora, então:
P' { a¨k∣
¿
sek≥0
¿
Y= {0 ¿casocontrário ¿}
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Prêmios carregados
Quase nenhum esforço adicional é necessário. 
Veja que queremos calcular P' tal que E(L) = 
0, então: 
0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y )
E (Z )−E (Y )=Ax +γ { a¨ x−P' { a¨¿x=0¿
P' { a¨x =A x+γ { a¨¿x⇔P'=
Ax+γ { a¨ x
a¨x
¿¿
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Prêmios carregados
P'=
Ax
a¨ x
+
γ a¨ x
a¨ x
P'=
Ax
a¨ x
+γ
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Prêmios carregados
Lembremos que o prêmio puro (nivelado) seria 
calculado pela fórmula:
ou seja, o prêmio de inventário é calculado pela 
soma do prêmio puro mais a parte das 
despesas que é gerada periodicamente pelo 
segurado. De outra forma:
P=
Ax
a¨ x
P'=P+γ
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Prêmios carregados
Exemplo 1: Seja uma pessoa de 40 anos que 
queira comprar um seguro de vida inteiro que 
paga R$ 1,00 ao final do ano de morte. Para 
isso, o segurado deseja pagar durante a 
vigência do contrato um prêmio fixo. Qual o 
valor do Prêmio a ser pago pelo segurado 
considerando-se a tabela AT-49 e uma taxa de 
juros i = 0,05? Considere, para o cálculo do 
prêmio, que o segurado deve pagar uma 
quantia anual de R$ 0,005 relativos a gastos 
administrativos.
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Prêmios carregados
Solução: Já vimos no exemplo 4 dos slides de 
Prêmios e Reservas que o prêmio de risco (ou 
prêmio puro) é de R$ 0,0129. Utilizando a 
fórmula:
temos: 
P'=P+γ
P'=0,0129+0,005=0,0179
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Prêmios carregados
Exemplo 2: Seja uma pessoa de 40 anos que 
queira comprar um seguro de vida temporário 
por 5 anos. Para isso, o segurado deseja pagar 
durante a vigência do contrato um prêmio fixo. 
Qual o valor do Prêmio a ser pago pelo 
segurado considerando-se a tabela AT-49 e 
uma taxa de juros i = 0,05 considerando, para o 
cálculo do prêmio, que o segurado deve pagar 
uma quantia anual de R$ 0,0005 relativos a 
gastos administrativos.
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Prêmios carregados
Solução: Este exemplo está inspirado no 
exemplo 3 de Prêmios e Benefícios. Veja que 
queremos calcular um prêmio que contemple 
os gastos administrativos tal que E(L) = 0.
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Prêmios carregados
0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y )
E (Z )−E (Y )=Ax :5∣+γ { a¨ x :5∣−P' { a¨¿x :5∣=0¿
P' { a¨x :5∣=A x : 5∣+γ { a¨¿x :5∣⇔P'=
Ax :5∣+γ { a¨x :5∣
a¨ x :5∣
¿¿
P'=
Ax :5∣
a¨ x :5∣
+
γ a¨ x :5∣
a¨ x :5∣
P'=P+γ
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Prêmios carregados
O valor de P já foi calculado no exemplo 3.
P = 0,002518, então:
P'=0,002518+0,0005=0,003018
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Prêmios carregados
Caso o interesse seja calcular o prêmio para 
produtos atuariais diferentes e forma de 
pagamento diferentes devem ser feito de 
forma similar aos exemplos anteriores.
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Prêmios carregados
b) Prêmio Zillmerado (Zillmer, 1863)
Este tipo de prêmio considera despesas de 
aquisição, quando esta é cara o suficiente 
para que o segurado deseja pagá-la em um 
período bem menor do que o período de 
vigência do contrato.
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Prêmios carregados
Neste caso, o segurado irá pagar um prêmio P' 
durante um período até o pagamento relativo 
às despesas de aquisição e, em seguida, 
pagará um prêmio P relativo ao risco. 
Calculando, então esses prêmios tais que E(L) = 
0, teremos:
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Prêmios carregados
mas qual é nesse caso a obrigação do 
segurador? Quanto ele gastará, em média, 
com esse segurado?
Podemos dizer que o gasto será relativo ao 
seguro e à despesa que a seguradora terá no 
momento de aquisição do contrato, então:
0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y )
E (Z )=Ax +α
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Prêmios carregados
Em que α é o gasto inicial da seguradora.
Vamos identificar agora o compromisso do 
segurado.
E (Y )=P' { a¨ x : s∣+P s∣a¨ x ¿
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Prêmios carregados
Como queremos calcular o prêmio tal que E(L) = 
0, o resultado fica:
Relembrando que 
P' { a¨
E (Z )−E (Y )=(Ax +α)−(¿¿ x :s∣+P s∣a¨ x )=0
s∣a¨x=a¨ x−a¨ x :s∣
P'=
Ax
a¨x :s∣
+ α
a¨ x :s∣
−
P s∣a¨x
a¨x :s∣
P'=
Ax
a¨x :s∣
+ α
a¨ x :s∣
−
P ( a¨ x−a¨ x :s∣)
a¨ x : s∣
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Prêmios carregados
P'=
Ax
a¨x :s∣
+ α
a¨ x :s∣
−
P a¨ x
a¨ x :s∣
+P
P'=
Ax−P a¨x
a¨ x : s∣
+ α
a¨x : s∣
+P
P'=P+ α
a¨ x : s∣
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Prêmios carregados
c) Prêmio Comercial ou de tarifa
O prêmio comercial é o prêmio que contempla 
as duas despesas apontadas anteriormente.
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Referências
Foi utilizado como importante material de apoio 
as notas de aula do prof. Renato Assunção
(site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/)
além dos livros indicados no plano de ensino.
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	Slide 33