Conceitos Básicos de Bioestatística

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MATERIAL DE APOIO
Profa. Me Rebeca Meirelles das Chagas
BIOESTATÍSTICA
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Alguns Conceitos Necessários ao Estudo da Estatística
Razão, Proporção e Porcentagem
a) Razão e proporção
Ex. Vamos supor que foram entrevistados 150 pessoas de uma região e foram obtidos os 
seguintes resultados, sobre a preferência por três programas de jornal:
Programa de Jornal No. de pessoas que assistem
A 90
B 40
C 20
Total 150
A razão 150
90
 indica que a cada 150 entrevistados, 90 preferem o jornal A, ou 
seja, por uma simplificação da fração, a cada 5 entrevistados, 3 preferem o jornal A. 
Esta fração expressa assim, uma comparação entre o número de pessoas que preferem o 
jornal A e o número total de entrevistados.
Proporção é a igualdade entre duas razões.
150
90
= 5
3
15
9

Mantida esta proporção, em 300 entrevistados, quantos dirão que preferem o 
jornal A?
Obs: Não esquecer de verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais.
b) Porcentagem: quando uma razão é expressa por uma fração centesimal 
(denominador igual a 100)
Ex.: Um cartaz diz: “Liquidação! Descontos de 40%”, isso significa que em cada R$ 
100,00 do preço houve redução de R$ 40,00. A razão estabelecida é 40/100.
Índice, Coeficiente e Taxa
Para a comparação entre duas grandezas, podemos estabelecer uma razão entre 
elas. Algumas dessas razões têm uso bastante significativo na Estatística.
 Índice: usado para medir quantitativamente variações ocorridas ao longo do 
tempo. É usada por vários profissionais para comparar grupos de variáveis 
relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças 
significativas em áreas relacionadas, como preços de matérias-primas, preços de 
produtos acabados, volume físico de produto etc. Mediante o emprego de 
índices, é possível estabelecer comparações entre lugares; diferenças entre 
categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, organizações etc.
Ex.: QI = idade mental / idade cronológica
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Densidade Demográfica = população total / superfície total
 Coeficiente: medida obtida pela comparação entre duas quantidades que 
expressam uma mesma grandeza (relação parte/todo). Por exemplo, um 
coeficiente determinado pela razão entre o número de observações de um 
determinado fato estatístico e o número total considerado para as possibilidades 
de ocorrências desse fato.
Ex.: Coeficiente de mortalidade = números de óbitos / população total
Coeficiente de aproveitamento escolar = número de aprovados / total de alunos
 Taxa: um tipo de razão que é expressa em frações cujo denominador é uma 
potência de 10, como, por exemplo, uma porcentagem. 
Ex. número de óbitos = 80.080
População total = 520.000
Taxa de mortalidade = 
Exercícios
Tabela 1 Dados relativos às cidades de Sorocaba, São Paulo e Porto Feliz
Cidade População Área
Sorocaba 578068 hab. 456 km2
São Paulo 10434252 hab. 1525 km2
Porto Feliz 45515 hab. 558 km2
Considere os dados da tabela acima e responda:
a) O que é densidade demográfica?
b) Qual é a densidade demográfica dessas cidades? Comente.
c) Esses números representam uma taxa, um índice ou um coeficiente?
d) Qual é a taxa de desempenho turístico de Sorocaba, sabendo-se que a cidade tem 
2500 leitos?
2. Considerando que em uma região: População = 1 784 327 habitantes; Superfície = 
137 420 km2; Nascimento em 1 ano = 42 327 nascidos vivos; Mortes em 1 ano = 16 230 
óbitos.
Calcular:
a) Coeficiente de natalidade e taxa de natalidade (por mil habitantes)
b) Coeficiente de mortalidade e taxa de mortalidade (por dez mil habitantes)
c) Índice da densidade demográfica.
Critérios de Arredondamento
 Se o primeiro algarismo a ser abandonado for menor ou igual a 4, o último a 
permanecer fica inalterado.
 Se o primeiro algarismo a ser abandonado for maior ou igual a 5, o último a 
permanecer é acrescido de uma unidade.
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Somatório
Para indicar a soma de todos os valores atribuídos a uma variável em estudo, é 
comum utilizar a letra grega sigma maiúscula , que significa soma. Por exemplo, se 
quisermos representar a soma do quadrado de três termos de uma seqüência, podemos 
escrever:
 


3
1
2
3
2
2
2
1
2
i
i xxxx
Exercícios
1) Use o critério do IBGE para arredondar com duas casas decimais os seguintes 
valores:
a.
b. 45,244
c. 6,1743
d. 8,112
e. 0,131
f. 46,866
g. 28,089
h. 48,999
i. 48,989
j. 0,999055
k. 3,20202
2) O preço cobrado por uma diária de um hotel era R$ 190,00. O preço da diária foi 
reajustado em 5%. Qual é o preço atual?
3) Numa pesquisa sobre preferência por dois restaurantes (I e II) que servem comidas 
típicas, foram entrevistadas 137 pessoas. Do total, 92 afirmaram preferir o 
restaurante II. Considerando que a proporção se mantém quando os grupos 
escolhidos têm as mesmas características, quantos entrevistados devemos encontrar 
preferindo o restaurante II, se forem consultadas 600 pessoas?
4) Uma reportagem de jornalismo na TV no mês de julho último informou que 45% 
das pessoas que compram a prazo numa cidade do interior paulista estão 
inadimplentes. Atoladas em dívidas, elas foram presa fácil do consumismo. 
Informou ainda essa reportagem que 25% dos inadimplentes estavam com 40% da 
renda sendo consumida por juros. Considerando que nessa cidade havia 1 milhão de 
adultos que compraram a prazo, com renda de R$ 4000,00, na época da pesquisa, 
calcule:
a. Quantas pessoas nesse grupo estão inadimplentes?
b. Quantas pessoas nesse grupo têm 40% da renda consumida por juros?
c. Quanto sobra da renda para outras despesas, para essas pessoas que pagam 
40% de sua renda só de juros?
5) Estatísticas publicadas nos jornais de grande circulação apontam que a Polícia 
Federal apreende 8 toneladas de cocaína por ano no Brasil. Informam ainda que essa 
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quantia representa 10% do que é consumido no país. Com base nessas informações, 
qual é o total estimado de cocaína consumido no Brasil?
COMO AS IDÉIAS ESTATÍSTICAS PODEM SER ABORDADAS
Ao longo da história da civilização, por interesse político, militar, econômico ou 
social, encontramos muitos exemplos da utilização de ideias de caráter estatístico, 
como, por exemplo, os recenseamentos ordenados na antiguidade romana. 
Com o desenvolvimento de ferramentas mais adequadas de análise de dados, nos 
dias de hoje, torna-se cada vez mais relevante o papel da Estatística em praticamente 
todas as áreas do conhecimento. Ela é ferramenta fundamental na interpretação e análise 
de dados, fornece elementos de controle, gestão e melhoria constante de processos e 
serviços.
Iniciamos por um breve levantamento sobre a definição de Estatística encontrada 
em alguns livros.
Começamos por Magalhães e Lima (2004, p. 1), que traduzem a Estatística 
como “um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, 
descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, 
realizados em qualquer área do conhecimento”.
De forma simples, Martins e Donaire (1990, p. 17) sugerem a definição de Dugé 
de Bernonville: “Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que 
serve para estudar e medir os fenômenos coletivos.”
Porém Novaes e Coutinho (2009) apresentam uma definição que se aproxima da 
forma como a Estatística deve ser empregada pelos diversos profissionais, que é a 
definição dada por Barnett: “Estatística é o estudo de como a informação deveria ser 
empregada para reflexão e ação em uma situação prática envolvendo incerteza”, isto 
é, as autoras consideram a Estatística como sendo a ciência que abarca o número em 
contexto, que é de fundamental importância para analisar o resultado de um problema.
Para muitas pessoas, a Estatística traz à lembrança a idéia de números e censo. A 
Estatística trata, indubitavelmente, de contagem e de medições, mas Estatística não é 
apenas um “monte” de números; é sim um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa 
que entre outros tópicos envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a 
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coleta qualificada dos dados,a descrição, o processamento e análise das informações e 
serve de base de apoio para decisões nas mais variadas áreas.
A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA PARA AS ÁREAS MÉDICAS E 
BIOLÓGICAS
 Coletam-se dados de pessoas, de animais experimentais e de fenômenos físicos e 
químicos.
 Identificar carências e potencialidades de uma região;
 Dados sobre mortalidade infantil;
 Eficiência de medicamentos;
 Incidência de doenças;
 Causas de morte.
A utilização da Estatística pelas diversas áreas Biomédicas tem crescido de 
forma significativa nos últimos anos ao ponto de ter dado origem ao termo 
Bioestatística. Assim, toda pesquisa científica nessa área apresenta o cálculo de uma 
média, um gráfico, o resultado de um teste ou outra ferramenta estatística adequada para 
o problema específico.
A própria Estatística tem se desenvolvido a passos agigantados ao ponto de 
muitos dos recentes avanços ainda não serem conhecidos pelos profissionais da área 
Biomédica, o que sugere a necessidade de uma interação constante com os estatísticos.
A interação mencionada anteriormente exige uma compreensão dos conceitos 
básicos da Bioestatística de forma a facilitar a troca de informação com os estatísticos, o 
que resultará num melhor planejamento da pesquisa e uma melhor utilização dos dados 
coletados.
Conceitos Iniciais
Diariamente, os meios de comunicação apresentam informações estatísticas 
provenientes de pesquisas científicas, porém, diversos graus de confiabilidade devem 
ser atribuídos a essas estatísticas, já que existem diversos fatores que não são incluídos 
nos relatórios lidos pela população.
A palavra pesquisa tem uma conotação poderosa, ficando implícita a 
confiabilidade dos resultados apresentados por ela. Sendo assim, poucas pessoas que 
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não estão envolvidas com a pesquisa estão interessadas com os detalhes dela, 
importando-se apenas com os resultados finais. Por outro lado, pode se assumir que é 
possível replicar qualquer pesquisa em igualdade de condições, questionando se os 
resultados obtidos seriam os mesmos em cada uma das replicações. Pelo exposto 
anteriormente, toda pesquisa apresenta um ingrediente que foge do controle dos 
envolvidos e que pode ser chamado de incerteza. A análise estatística permite colocar 
limites a esta incerteza.
Nas pesquisas em ciências biomédicas, geralmente são coletados dados de 
alguns indivíduos para fazer afirmações sobre grupos maiores, sem interesse particular 
nesses indivíduos. Então, a informação proveniente de amostras de indivíduos é 
utilizada para fazer inferência sobre uma população que contém esses mesmos 
indivíduos. Dessa forma, os conceitos de amostra e população estão ligados com a 
pesquisa que está sendo desenvolvida. Em algumas situações, geralmente de interesse 
governamental, é necessária a observação das características de interesse em todos os 
indivíduos que formam uma população. Isto constitui um censo.
A Estatística aparece nas diversas áreas que um profissional da área de Ciências 
da Vida pode atuar. Por exemplo, a distribuição Normal padrão, que será vista 
posteriormente, é utilizada para determinar o estado nutricional de crianças. Os modelos 
de regressão são utilizados para avaliar e quantificar a influência de fatores 
socioeconômicos e biológicos sobre algumas variáveis de interesse como peso ao 
nascer, estado nutricional, nível de albumina, entre outros.
De forma geral, uma população é um conjunto de indivíduos que apresentam 
uma característica de interesse. Uma amostra é qualquer subconjunto de indivíduos de 
uma população.
Para realizar uma pesquisa que leve a fazer afirmações sobre a população de 
interesse é necessário seguir os seguintes passos:
1. Planejamento e desenho
2. Execução (coleta de dados)
3. Processamento de dados
4. Análise de dados
5. Interpretação, apresentação e publicação de resultados.
1. Planejamento de uma pesquisa
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É necessário apresentar as diversas formas que se pode realizar um trabalho 
científico com a finalidade de obter os resultados apropriados ao interesse da pesquisa 
de forma adequada. Estes estudos serão apresentados de forma a mostrar suas principais 
características.
1.1 Estudos observacionais e experimentais
Em um estudo observacional, o pesquisador coleta a informação sobre os 
atributos ou faz as medições necessárias, mas não influência as unidades amostrais. Por 
exemplo, quando se pretende determinar o estado nutricional de uma certa população.
Em um estudo experimental, o pesquisador deliberadamente influencia os 
indivíduos e pesquisa o efeito da intervenção. Estudos em que se pretende conhecer o 
efeito de uma nova dieta sobre a rapidez em aumentar os níveis de cálcio são exemplos 
de estudos experimentais.
De forma geral, inferências mais fortes são obtidas de estudos experimentais 
porque estes pressupõem um maior controle das unidades amostrais.
1.2 Estudos prospectivos e retrospectivos
Existe uma clara diferença entre estudos prospectivos e retrospectivos. Os 
estudos prospectivos são utilizados quando se pretende conhecer o efeito de algum 
fator, sendo os dados gerados a partir do início do estudo. Já os estudos retrospectivos 
são utilizados quando se conhece o efeito de algum fator, sendo os dados referentes a 
eventos passados e obtidos de recursos já existentes como prontuários. Nos 
retrospectivos, geralmente já se conhece o efeito e quer se identificar qual foi a causa, o 
fator gerador do efeito estudado.
O efeito de uma nova dieta precisaria ser estudado através de um estudo 
prospectivo, enquanto que os fatores que levam à obesidade mórbida serão estudados 
mediante um estudo retrospectivo. No primeiro são recrutados voluntários que irão fazer 
a dieta e no segundo são levantados os prontuários de sujeitos com obesidade mórbida 
para estudar seu histórico médico.
1.3 Estudos longitudinais e de corte transversal
Estudos longitudinais são aqueles que estudam mudanças ao longo do tempo, 
possivelmente com relação a uma intervenção ou característica. Ensaios clínicos são 
exemplos de estudos longitudinais porque eles estudam o efeito de um fator, 
comparando medições efetuadas em, pelo menos, duas oportunidades.
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Estudos transversais são aqueles em que grupos de indivíduos são observados 
uma única vez, coma intenção de estudar a situação naquele instante em que são feitas 
as observações.
1.4 Estudos de caso-controle e coorte
Estudo caso-controle é uma forma de pesquisa que visa verificar se indivíduos 
que foram selecionados porque têm uma característica ou doença, chamados de casos, 
diferem significativamente de um grupo de indivíduos comparáveis, mas que não 
possuem a característica ou doença, os controles, em relação à exposição a um dado 
fator de risco. Um exemplo deste tipo de estudo ocorre quando se avalia o efeito de um 
determinado composto químico administrado em comprimidos sobre o número de 
cigarros fumados diariamente; para isto, é necessário um grupo de fumantes que receba 
o composto e outro grupo de fumantes que receba um placebo.
No estudo de coorte se identifica um grupo de indivíduos de interesse e se faz 
um seguimento dos mesmos, até um certo momento, para estudar o seu desfecho. Este 
tipo de estudo pode levar muito tempo e, por este motivo, não é aplicado no estudo de 
eventos raros.
Definição de Variável
Um conceito importante é o de variável estatística, que é a característica que se 
quer observar dos elementos de um conjunto (população / amostra), ou melhor, é uma 
função que associa a cada resultado do meu fenômeno um valor, portanto essa função 
que é variável. 
Uma variável pode representar características de diversos tipos, depende do que 
queremos observar. Coutinho (2009) exemplifica: “num grupo de turistas que 
escolheram o dito pacote aéreo, podemos querer observar não apenas o estado civil, mas 
também o grau de escolaridade, a idade, o número de pessoas que moram na mesma 
residência etc”.Perceber essas diferenças existentes entre essas categorias de variáveis 
são importantes, pois auxiliarão na definição das formas com as quais os dados 
estatísticos relativos a essas variáveis serão tratados.
A variável Qualitativa revela certo tipo de característica relacionada ao grupo 
pesquisado, que não pode ser mensurada numericamente, como, por exemplo, gênero 
(masculino ou feminino), alimentos arrecadados na campanha solidária, grau de 
satisfação, etc. Estas variáveis podem ainda ser identificadas em subcategorias: nominal 
ou ordinal. 
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Segue a definição dada por Coutinho (2009, p. 24):
Uma variável qualitativa se diz nominal quando não se pode 
estabelecer uma relação de ordem ou de hierarquia entre os 
possíveis valores a serem assumidos pela variável. Exemplo: cor 
dos olhos, causa de morte, grupo sanguínio etc. O mesmo não 
ocorre com a variável qualitativa ordinal, que permite que se 
estabeleça uma hierarquia coerente ou uma relação de ordem entre 
os valores assumidos. Exemplos: os níveis de escolaridade, o grau 
de satisfação dos clientes de um restaurante, o grau de aceitação 
expresso em uma escala (concordo plenamente, concordo, discordo, 
discordo plenamente), estágio da doença etc.
Já as variáveis quantitativas podem ser mensuradas numericamente, tal como a 
idade, o número de pessoas que moram em uma mesma residência etc. Ela pode ser 
discreta ou contínua. Segue as definições dada por Coutinho (2009):
 As variáveis quantitativas discretas são aquelas que o conjunto de valores 
que ela assume admite unidade mínima, indivisível (notas de alunos 
(0,01 ou 0,1)) ou é oriundo de uma contagem, ou seja, entre dois valores 
consecutivos da variável não podemos inserir nenhum outro valor. 
Exemplo: número de alunos da classe X, número de pessoas nas famílias 
de uma determinada cidade, quantidade de livros da biblioteca da escola, 
número de batimentos cardíacos por minuto, salários (contagem em 
números de salários mínimos ou mesmo contagem de R$ 0,01 em R$ 
0,01 – o centavo é a unidade mínima do Real, pois entre R$ 0,01 e R$ 
0,02 não podemos inserir nenhum outro valor, oficialmente). 
 As variáveis quantitativas contínuas assumem valores em intervalos dos 
números reais e, geralmente, não é possível enumerar todos os valores. 
Em outras palavras, entre dois valores consecutivos, sempre podemos 
inserir um novo valor. Exemplo: o peso e a altura dos alunos da classe, 
pressão arterial, temperatura corporal, lucro das empresas e a idade 
(medida de tempo que não tem unidade mínima).
Existem algumas dificuldades para se distinguir entre uma grandeza discreta e 
uma contínua, por exemplo, o tempo é considerado uma variável quantitativa contínua, 
porém podemos dar a esta um tratamento de discreta de acordo com a mensuração. 
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Exercício 
Classifique, justificando, as variáveis envolvidas em cada uma das questões propostas 
na pesquisa abaixo, que contém parte do questionário sobre a análise da atuação do 
profissional de turismo, realizada com profissionais que trabalhavam em agências 
ligadas ao ecoturismo de São Paulo.
1. Gênero:
( ) Feminino
( ) Masculino
Resp.: Qualitativa Nominal
2. Qual a sua faixa etária?
( ) [18;24[
( ) [24;30[
( ) [30;36[
( ) [36;42[
( ) 42 ou mais
Resp.: Quantitativa Contínua
3. Peso ao nascer:
( ) Adequado
( ) Baixo
( ) Não soube informar
Resp.: Qualitativa Ordinal
4. Classifique os seguintes dados:
(a) Estado de Fluorose Dentária em crianças de 12 anos de idade (muito leve, leve, 
moderada e grave são as possíveis respostas). Resp.: Qualitativa Ordinal
(b) Tempo para atingir uma perda de peso de 5%. Resp: Quantitativa Contínua
(c) Número de horas de estudo para uma prova de estatística. Resp: Quantitativa 
Contínua
(d) Número de consultas médicas feitas por ano por um associado ao plano de saúde. 
Resp: Quantitativa Discreta
(e) Ocorrência de hipertensão pré-natal em grávidas com mais de 35 anos (sim e não são 
possíveis respostas para a variável). Resp: Qualitativa Nominal
(f) Perda de peso de maratonistas, em quilos. Resp: Quantitativa Contínua
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5. Assinale a alternativa que corresponde ao número aproximado de horas que você 
trabalha por dia:
( ) até 4 horas
( ) 6 horas
( ) 8 horas 
( ) Mais de 8 horas
Resp.: Quantitativa Contínua
 Definição da amostra ou população;
Analisaremos a diferença entre população e amostra.
Para Magalhães e Lima (2004), população é um conjunto de dados que contém a 
característica que temos interesse. População refere-se não somente a uma coleção de 
idivíduos, mas também ao alvo sobre o qual reside nosso interesse. Por exemplo, uma 
empresa deseja controlar sua produção, e para isso faz um levantamento do total 
de peças produzidas durante o período de 12 meses consecutivos, quanto ao total 
produzido por cada um dos seus setores. Nesse caso, a população é formada pelo 
conjunto a ser observado, ou seja, o conjunto de setores da empresa. Caso o 
objetivo fosse observar a presença ou não de defeitos nas peças, a população seria o 
conjunto formado por todas as peças produzidas nessa empresa.
Tendo-se em vista as dificuldades de várias naturezas (custo, tempo etc) para se 
observar todos os elementos da população, toma-se alguns deles para formar um grupo 
a ser estudado. Este subconjunto da população, com dimensão sensivelmente menor e 
finita, é denominado amostra.
Exemplo: O número de cobaias existentes no mundo em determinado período de 
tempo é, matematicamente, finito, mas as pesquisas que usam cobaias só podem ser 
feitas com amostras, porque nenhum pesquisador dispõe de todas as cobaias do mundo 
para seu trabalho.
 Amostragem
Amostragem é o processo de fixar critérios para a composição de uma amostra 
que tenha representatividade necessária no estudo em questão. O critério escolhido deve 
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garantir que todos os elementos da população tenham a mesma probabilidade de serem 
sorteados.
Tipos de amostragem:
 Aleatória simples;
 Estratificada.
Aleatória simples: quando todos os elementos da população têm a mesma 
probabilidade igual a 1/N de ser escolhidos.
Exemplo: Suponha que o litoral norte de São Paulo possua 120 hotéis cinco estrelas. 
Selecione uma amostra de 10% desses hotéis para conhecer os preços das diárias 
praticadas nos mesmos.
* No excel digitar =aleatório()*120 (trará 12 possibilidades de visitas)
Amostra Estratificada: dividimos a população de N indivíduos em K subpopulações 
ou estratos, atendendo a critérios que podem ser importantes para o estudo, por 
exemplo, homens e mulheres, classe social, anos de escolaridade, renda mensal etc. 
Dentro de cada estrato, fazemos amostras aleatórias simples.
Exemplo 2: Supondo agora que desses 120 hotéis, 16 estão em Caraguatatuba, 34 em 
São Sebastião e 70 em Ubatuba. 
Fazer...
Começa-se por determinar a proporção necessária.
São muitas as situações em que separar a população em estratos aumenta a 
representatividade da amostra, pois a variável em estudo pode apresentar um 
comportamento diferente de um estrato para o outro. 
Amostra sistemática: quando os elementos da população estão ordenados em uma 
lista. Saltando elementos de k em k, a partir de m, considerando que ela é circular. 
Amostra por conglomerado: quando fazemos um estudo sobre os habitantes de uma 
cidade, a amostra aleatória pode ter um custo muito alto, já que estudar uma amostra de 
tamanho n implica enviar os entrevistadores a n pontos da cidade, de forma que em cada 
ponto só se realiza uma entrevista. Neste caso é mais econômico fazer a denominada 
“amostra por conglomerado”, que consiste em eleger aleatoriamente certos bairros da 
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cidade, para depois eleger aleatoriamente, ruas e edifícios. Uma vez escolhido um 
edifício, faz-se entrevista com todos os vizinhos.
O tamanho da amostra (número de pessoas que devem ser consultadas) e a 
técnica de amostragem utilizada dependem muito mais de dois parâmetros estatísticos 
do que do tamanho da população: a margem de erroe o nível de confiança.
Cálculo do tamanho da amostra:
Existem numerosos procedimentos estatísticos, algoritmos e softwares (Sample 
Size Calculator) para o cálculo do tamanho da amostra. Quando o problema a ser 
estudado na pesquisa se refere a uma proporção (maioria das situações de pesquisa de 
opinião), existe uma fórmula que permite calcular o tamanho n da amostra em função da 
margem de erro e com um nível de confiança de 95%:
(I)
 
2
96,1
1








e
ppn
 O valor 1,96 é obtido na tabela da curva normal, para um nível de confiança de 
95%.
 p é a proporção de indivíduos da população que apresentam a característica que está 
sendo medida.
Quando não se conhece p, damos a ele o valor estimado 0,5, e a fórmula se reduz a:
(II)
2
96,1
25,0







e
n
Valores obtidos na tabela da curva normal de acordo com o nível de confiança:
NÍVEL DE CONFIANÇA VALORES NA TABELA DA CURVA 
NORMAL
90 1,64
95 1,96
15
99 2,58
Exemplo: Em uma pesquisa eleitoral para presidente, a disputa entre os candidatos 
está acirrada e difícil. Queremos trabalhar com um erro máximo de 1 ponto (1%) a um 
nível de confiança de 95%. Quantas pessoas devem ser entrevistadas?
Não conhecemos p. Usando (II), temos:







 2
96,1
01,0
25,0n
 
200051,0
25,0
n
=
 

00002601,0
25,0n
9.611 pessoas
Exercícios:
1) Repitam os cálculos dos tamanhos das amostras na situação do exemplo anterior 
com margens de erro de 0,5%, 2% e de 3%.
2) Determine a margem de erro de uma pesquisa com uma amostra de tamanho 150.
3) Em uma pesquisa eleitoral, queremos trabalhar com um erro máximo de 1 ponto 
(1%). Quantas pessoas devem ser entrevistadas se considerarmos o nível de 
confiança igual a:
a. 90%
b. 99%
4) Em uma localidade no Marrocos, aproximadamente 30% das crianças sofriam de má 
nutrição crônica. Esse percentual é resultado das estatísticas nacionais sobre a 
desnutrição no meio rural do Marrocos. Para realizar uma pesquisa com a população 
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de crianças mal nutridas, qual deve ser o tamanho da amostra para um nível de 
confiança de 95% e margem de erro de 5%?
Formas de coleta de dados:
 Observação direta
 Entrevista
 Auto-entrevista
Organização dos dados
O conjunto de valores assumidos por uma variável estatística pode ser 
representado por uma listagem simples, que respeite apenas a ordem de coleta. É o que 
chamamos de “conjunto de Dados Brutos”. Se alguma ordenação é feita (variáveis 
ordinais ou quantitativas), o conjunto aí representado chama-se Rol ou série de Rol. 
Outra forma possível de organização dos dados se faz por uma “Distribuição de 
freqüências”.
Uma distribuição de freqüências é uma função empírica que associa, a cada 
valor assumido pela variável, o número de vezes que esse valor é observado, ou seja, a 
freqüência absoluta desses valores. Ela é usualmente representada por uma tabela ou por 
um gráfico, sendo que cada tipo de variável e o objetivo da análise dos dados podem 
determinar a melhor representação. As freqüências também podem ser expressas em 
porcentagens, ao que chamamos “freqüência relativa”, que indica as porcentagens 
observadas no conjunto de dados estudado.
Para representar uma distribuição de freqüência por meio de uma tabela, existem 
normas pelas quais deve constar o título (que descreva o que a tabela representa), o 
cabeçalho, o corpo, rodapé e fonte, conforme o exemplo a seguir:
 Questão aberta
 Questão fechadaQuestionário
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Tabela X: Distribuição dos 120 alunos da Escola Z segundo as matérias 
preferidas, 2009.
Matérias preferidas
Número de alunos
(fi) (%)
Português 15 12,50
Matemática 12 10,00
Ciências 13 10,83
Inglês 10 8,33
Educação Física 29 24,17
Artes 13 10,83
História 11 9,17
Geografia 17 14,17
TOTAL 120 100
Fonte: Dados fictícios
Título da tabela: numerado seqüencialmente. Deve indicar ao
leitor o que a tabela representa: o quê, onde e quando.
Rodapé: devemos colocar legenda e fonte.
Cabeçalho: descreve o conteúdo do corpo da tabela. Geralmente, na 
primeira coluna encontramos a variável observada e nas colunas
seguintes as freqüências associadas a cada valor da variável (fi indica 
o número de vezes que tal valor foi observado e % indica esse número 
representado em porcentagem).
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Esquema 1: Ilustração dos elementos de uma Tabela de Distribuição de 
Freqüências
Ainda segundo as normas vigentes da ABNT, uma tabela deve possuir traços 
horizontais separando o cabeçalho, sem linhas de separação de dados e podem possuir 
traços verticais separando as colunas de dados, sem fechamento lateral.
Além da organização dos dados em forma de tabelas, como foi investigado 
anteriormente, podemos apresentar informações por meio de gráficos.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS
É uma série estatística específica, onde os dados encontram-se dispostos em 
classes ou categorias juntamente com as frequências correspondentes.
Complete a tabela:
Em uma escola do município de Niterói, foram avaliadas 145 crianças com idade entre 
6 e 10 anos, calculando-se o estado nutricional segundo os critérios da OMS. Para estas 
crianças, as tabelas de distribuição de frequências das variáveis estado nutricional e 
idade aparecem a seguir:
Categoria Fi Fac fi fi ac
Baixo peso 11
Normal 105
Sobrepeso 25
Obeso 4
Total 145
- Variável Discreta: pode-se enumerar todos os possíveis valores.
Xi = identifica as categorias em que o fato se subdivide.
Fi = Corresponde a freqüência absoluta, isto é, o número de vezes que cada uma das 
categorias ocorre.
Corpo da Tabela: descreve cada valor assumido pela variável, assim 
como as respectivas freqüências (absolutas e ou relativas ou
percentuais).
19
fi = frequência relativa n
Fifi 
Observe: 100.fi = %
N = soma dos Fi = total de elementos observados na população.
n = soma dos Fi = total de elementos observados na amostra.
- Variável Contínua: a variável assume valores em intervalos da reta real, não é 
possível enumerar todos os valores.
 A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que 
vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como exemplificação:
Classe Classe Fi
1 [2;4[ 4
2 [4;6[ 12
3 [6;8[ 10
4 [8;10[ 4
30
Dados Brutos: Aqueles que não foram numericamente organizados.
Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. 
Limites de classe: São os números extremos de cada classe; sendo assim, temos um 
limite inferior e um superior.
Ex.: [2;4[, l=2 e L=4.
Intervalo de classe: é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série estatística. 
No exemplo acima subdividimos a amplitude total em quatro classes, obtendo os 
intervalos de classe [2;4[
Amplitude Total: É a diferença entre o maior valor e o menor dado. 
At = maior valor – menor valor (10-2=8)
Amplitude do intervalo de classe: é a diferença entre o limite superior e o limite 
inferior da classe. Se usarmos h para representar a amplitude do intervalo de classe 
podemos estabelecer: h=L-l
Ponto Médio das Classes (Xi): média aritmética entre os limites inferior e superior da 
classe i.
 Número de classes (K): quantas classes serão necessárias para representar o fato? 
Existem vários critérios que podem ser utilizados a fim de possuirmos uma idéia do 
melhor número de classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e 
nunca como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor 
número, levando-se em conta o intervalo de classe e a facilidade para os posteriores 
cálculos numéricos.
Assim, podemos citar o critério que leva em consideração:
No. de elementos 
observados
Número de classes (k)
Mínimo máximo
Até 50 5 10
51 a 100 8 16
101 a 200 10 20
20
201 a 300 12 24
301 a 500 15 30
Mais de 500 20 40
 Fórmula de Sturges: K = no. de classes = 1 + 3,3.logN, onde N é o número de 
elementos observados.
Para verificar o Intervalo de classe devemos calcular: classesno
amplitudeh
.

Freqüência absoluta (Fi): quantidade de elementos que pertencem à classe i.Freqüência Relativa da Classe (fi): n
Fifi 
Observe: 100.fi = %
Freqüência Acumulada: corresponde à soma de frequências de determinada classe com 
as anteriores.
Exercício 1: Construa uma tabela de distribuição de frequências, usando intervalos de 
classes iguais, do tempo de internação, em dias, de pacientes acidentados no trabalho, 
em um dado hospital:
7 8 1 7 13 6
12 12 3 17 4 2
4 15 2 14 3 5
10 8 9 8 5 3
2 7 14 12 10 8
1 6 7 4 11 7
Com referência a esses dados, determinar:
a) O rol.
b) A distribuição de freqüência (calcular o intervalo de classes utilizando o critério de 
Sturges)
c) O maior e a menor tempo.
d) A amplitude total.
e) Qual a porcentagem dos pacientes que ficaram mais de 10 dias.
f) Qual o limite superior da 2ª. classe.
g) Qual o ponto médio da 3ª. classe.
h) Colocar a freqüência acumulada.
21
Representação gráfica (arquivo anexo)
Atividade sobre distribuição de freqüências e sua representação gráfica.
1) Dados do IBGE mostram que, em 1940, havia 4% da população brasileira com mais 
de 60 anos. As estatísticas apontam para um aumento na expectativa de vida da 
população. Complete a tabela abaixo e construa um histograma.
Idade (em anos) No. de pessoas Freq. acumulada Freq. Relativa
[0,10[ 03
[10,20[ 15
[20,30[ 32
[30,40[ 15
[40,50[ 42
[50,60[ 58
[60,70[ 29
[70,80[ 08
[80,90[ 03
Total 205
2. Uma pesquisa com moradores da cidade de São Paulo indagou sobre o número de 
refeições realizadas em casa. Foram entrevistadas 30 pessoas obtendo-se os seguintes 
números: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2 e 3.
a. Determine e classifique a variável.
b. Faça o Rol.
c. Organize uma tabela de frequência.
d. Admitindo que essa amostra represente bem o comportamento dos moradores da 
cidade de São Paulo, você acha que a porcentagem dos moradores que fazem mais 
de 1 refeição em casa é grande?
3) Construa uma tabela de distribuição de frequências com os dados apresentados 
na tabela abaixo. Depois faça um polígono de frequência.
Peso, em quilogramas, de cães
22
23,0 19,0 23,8 15,0 20,0
22,7 19,5 22,0 19,0 14,9
18,3 21,2 20,1 18,7 15,1
22,3 21,5 25,5 19,5 22,2
24,0 17,0 21,1 28,0 13,6
15,8 28,4 23,0 15,0 16,1
16,0 19,0 18,0 18,8 18,0
20,5 15,0 14,5 16,0 16,0
4) Os dados abaixo são as idades em que 30 indivíduos começaram o tratamento de uma 
certa insuficiência.
23 26 31 23 24 24
30 30 29 28 28 31
28 35 26 31 31 21
26 27 26 36 28 22
28 21 24 25 29 32
Construa uma tabela de distribuição de frequências considerando 6 classes. Construa 
um gráfico adequado para os dados.
23
Medidas-Resumo
Introdução
Quando trabalhamos com pesquisas que envolvem a coleta e análise de dados, como as 
pesquisas de opinião, as eleitorais, o estudo de uma ou mais características de uma população (não 
necessariamente de pessoas), temos uma tarefa logo após a coleta dos dados: elaborar uma análise 
descritiva dos mesmos, para conhecer melhor a população em estudo.
Por exemplo, se estamos estudando a estatura de pessoas adultas segundo o gênero (homem, 
mulher) e segundo a faixa etária, queremos conhecer o número de pessoas em cada categoria em 
relação ao total da população, e isso se obtém com as porcentagens, expressas em uma tabela de 
freqüências.
Diante dos dados, pergunto:
 Os dados se agrupam ao redor de que valor?
 Supondo que se agrupam em torno de um número, como se comportam? Muito 
concentrados em torno desse número? Muito dispersos?
Vamos pensar nos dados de uma amostra e estudar dois tipos de medidas associadas a eles.
 Medidas de tendência central
 Medidas de dispersão
Com essas medidas, é possível, por exemplo, comprar uma roupa para alguém, com pouca 
margem de erro. Podemos assim dizer que a análise das medidas de tendência central permite a 
construção de um “retrato” dos dados tratados, complementando as representações tabulares e 
gráficas. 
Medidas de tendência central
Elas respondem à primeira das questões propostas no parágrafo anterior: Os dados se 
agrupam ao redor de que valor? A medida mais evidente que podemos calcular para descrever um 
conjunto de dados observados é o seu valor médio.
Existem vários tipos de média, como: a média aritmética, média geométrica ou média 
harmônica. Abordaremos somente o procedimento de cálculo da média aritmética, por ser o mais 
utilizado nesse nível de estudo.
A média nada mais é do que a soma de todos os valores observados dividida pelo número 
total de observações.
Em linguagem matemática: usamos a letra grega  (pronuncia-se mi) para representar dados 
da população e no caso da média amostral usa-se a notação X .
N
xi
N
i



1

, onde xi representa cada um dos valores observados e N é o número de elementos 
da população. No caso de dados amostrais, teremos X= n
xi
n
i



1
Exemplo: Considere as idades, em anos, de uma amostra de 10 pessoas: 21, 32, 15, 59, 60, 
61, 64, 60, 71, 80.
A idade média dessas pessoas é

__
X
24
Para dados agrupados o algoritmo fica da seguinte forma: N
xf
N
i
ii


1
.

.
Média aritmética para dados agrupados em intervalos
O algoritmo para esse cálculo é o mesmo do item anterior. No entanto, para os valores 
tomaremos os pontos médios de cada uma das classes que compõem a distribuição de frequências 
estudada.
Tabela 1: Idade de 58 pessoas pesquisadas
Classes Fi Colunas auxiliares
Ponto 
médio(
[35, 45[ 5
[45, 55[ 12
[55, 65[ 18
[65, 75[ 14
[75, 85[ 6
[85, 95[ 3
58
SEPARATRIZES
Essas medidas fornecem uma rápida visualização da forma em que os dados estão 
distribuídos, onde existe uma maior concentração ou dispersão.
É possível dividir uma distribuição, ao interesse da pesquisa, em quantas partes desejar.
 Mediana: divide a distribuição em duas partes com o mesmo número de elementos.
 Quartis: dividem a distribuição em quatro partes com o mesmo número de 
elementos.
 Decis: dividem a distribuição em dez partes com o mesmo número de elementos.
 Percentis: dividem a distribuição em 100 partes com o mesmo número de elementos.
QUARTIS
Existem três quartis em um conjunto de dados:
O primeiro quartil (Q1) é o valor tal que 25% dos valores observados sejam menores ou 
iguais a ele. O segundo quartil (Q2) é o valor tal que 50% dos valores observados sejam menores ou 
iguais a ele (também recebe o nome de mediana Md). O terceiro Quartil (Q3) é o valor tal que 75% 
dos valores observados sejam menores ou iguais a ele.
Assim:
Exemplo1: Considere a seguinte distribuição das notas de 15 alunos em Estatística: 2; 2; 7; 
7; 7; 8; 3; 4; 4; 6; 9; 9; 4; 4; 7.
* Precisamos lembrar da Aplitude Total e dos valores máximo e mínimo.
At = Xmáximo – Xmínimo
Qual é a nota que divide o conjunto dos 15 valores apresentados em duas partes com 
exatamente o mesmo número de elementos em cada uma delas? Qual a posição dessa nota na série 
de Rol?
25% 25% 25% 25%
Mín Q1 Q2=Md MáxQ2
25
Inicialmente, colocamos a distribuição das notas em ordem crescente, com as respectivas 
posições ocupadas na série de Rol.
2 2 3 4 4 4 4 6 7 7 7 7 8 9 9
1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª. 7ª. 8ª. 9ª. 10ª. 11ª. 12ª. 13ª. 14ª. 15ª.
 
Observe que quando a distribuição está ordenada, a nota 6, que ocupa a oitava posição no 
Rol, divide a distribuição em duas partes, tais que sete notas são menores e sete notas são maiores. 
A nota 6 recebe o nome de Mediana (Md) ou segundo quartil (Q2).
Agora dividiremos cada conjunto obtido no processo descrito acima novamente em duas 
partes de mesmo número de elementos. Ou seja, a distribuição ficará dividida em quatro partes com 
o mesmo número de elementos:
2 2 3 4 4 4 4 6 7 7 7 7 8 9 9
1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª. 7ª. 8ª. 9ª. 10ª. 11ª. 12ª. 13ª. 14ª. 15ª.
As notas 4; 6 e 7 ocupam as posições procuradas, ou seja, as posições que dividem a 
distribuição 
Outra medida de tendência central, usada habitualmente, é a mediana: trata-se da 
observação que fica eqüidistante dos extremos, a observação que deixa metade das observações a 
sua esquerda e a outra metade a sua direita. Para determinar a mediana de umconjunto de dados, 
devemos ordená-los. No exemplo anterior, da idade de 10 pessoas, as observações ordenadas são: 
15, 21, 32, 59, 60, 60, 61, 64, 71, 80.
Como o número de observações é par (10), os valores que se encontram no meio dos dados 
são 60 e 60. Calculamos a média aritmética entre eles, que é 60, e esse valor é a mediana do 
conjunto.
Calcule a média e a mediana da amostra abaixo e posteriormente construa o histograma:
3, 15, 48, 61, 64, 65, 65, 68, 70, 71.
Vamos determinar a mediana para o caso de variável contínua. 
1. Passo: Calcula-se a ordem 2
n
2. Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md)
3. Utiliza-se a fórmula: MD
MD F
hfn
lMd
.
2









Onde: lmd = limite inferior da classe Md
n = tamanho da amostra
 f =soma das freqüências anteriores à classe Md
h = amplitude da classe Md
FMD = freqüência da classe Md
Exemplo: 
Classes Fi Fac
[35, 45[ 5 5
[45, 55[ 12 17
26
[55, 65[ 18 35
[65, 75[ 14 49
[75, 85[ 6 55
[85, 95[ 3 58
58
Outra medida de tendência central é a moda que é o valor que mais se repete na distribuição, 
tanto para variáveis quantitativas como para variáveis qualitativas.
Então de acordo com o primeiro exemplo a moda das idades é 60 anos, pois é o valor que 
mais se repete.
Obs.: Uma distribuição pode ser:
 Amodal;
 Ter mais de uma moda, se as frequências de mais de um valor observado da 
distribuição forem iguais.
Fórmula de Czuber para dados agrupados em intervalos (aplicar a fórmula após identificação da 
classe modal)
21
1.



hlmo
Onde: 
l =limite inferior da classe modal;
h amplitude da classe modal;
1 diferença entre freqüência da classe modal e a da classe imediatamente anterior;
 2 diferença entre freqüência da classe modal e a da classe imediatamente posterior;
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO PADRÃO
Estudo da Variabilidade nos Dados
Vimos que um conjunto de valores pode ser representado por tabelas, gráficos, e resumidos 
por medidas tais como média associada com mediana, intervalo interquartílico ou ainda a moda. No 
caso do uso da mediana, a associação com o intervalo interquartílico (Q3-Q1) pode ser muito útil na 
obtenção de informações relevantes a partir dos dados observados.
Mas para interpretar os dados coletados, pode ser insuficiente o uso de um único desses 
recursos. 
a) Variância: para o seu cálculo consideramos a mesma média dos desvios, e, para eliminar a 
possibilidade de essa soma ser nula, elevamos ao quadrado cada uma das parcelas. Veja esse 
cálculo para o exemplo abaixo:
Fórmula para o cálculo:
-----(Amostra)
-------(População)
b) Desvio Padrão é a raiz quadrada do valor da variância.
c) Coeficiente de Variação: o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos dados, portanto 
mede a dispersão absoluta.
Para analisar a variabilidade dos dados nessas situações, podemos usar o coeficiente de variação 
(CV), que é uma medida relativa de dispersão, ou seja, serve para comparação em termos relativos 
do grau de concentração em torno da média de distribuições diferentes.
Cv=(s/x).100
27
d) Amplitude Total: É o valor máximo observado menos o valor mínimo.
At = valor(máx) – valor(min)
Exercícios
1) Para os valores dos conjuntos seguintes, determine a média aritmética e o desvio padrão de cada um 
separadamente:
A={4,5,6,7,8}
28
B={1,4,6,7,12}
2) Comparando a média aritmética e o desvio padrão dos conjuntos, analisados anteriormente, discuta as diferenças 
e semelhanças desses resultados.
3) Considere duas amostras de 100 pessoas cada, em que todas responderam à pergunta: “Qual é seu número de 
horas diárias de sono?”
Amostra Média (horas) Desvio Padrão (horas)
A 6,5 1,2
B 6,9 0,8
Em qual das duas amostras, A ou B, os valores das horas diárias de sono das pessoas estão mais afastados da 
média? Por quê?
Para cada uma das questões a seguir, assinale a alternativa correta:
1. A média aritmética é a razão entre:
a)
b) ( ) o número de valores e o somatório deles;
c) ( ) o somatório dos valores e o número deles;
d) ( ) os valores extremos;
e) ( ) os dois valores centrais.
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50, a moda será:
a)
b) ( ) 50;
c) ( ) 60;
d) ( ) 66;
e) ( ) 90.
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é:
a)
b) ( ) a moda;
c) ( ) a média;
d) ( ) a mediana;
e) ( ) o lugar mediano.
4. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é:
a)
b) ( ) negativo;
c) ( ) positivo;
d) ( ) a unidade;
e) ( ) zero.
5. O desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será:
a)
b) ( ) 3;
c) ( ) 18;
d) ( ) 36;
e) ( ) 81.
6. Na série 60, 50, 80, 90, o valor 70 será:
a)
b) ( ) a média e a mediana;
c) ( ) a média e a moda;
d) ( ) a mediana e a moda;
e) ( ) a média, a mediana e a moda.
7. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos:
a)
29
b) ( ) a moda;
c) ( ) a mediana;
d) ( ) a média;
e) ( ) qualquer das anteriores.
8. Média, mediana e moda são medidas de:
a)
b) ( ) dispersão;
c) ( ) posição;
d) ( ) assimetria;
e) ( ) curtose.
9. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
a)
b) ( ) desvio padrão e média;
c) ( ) média e desvio padrão;
d) ( ) amplitude e mediana;
e) ( ) desvio padrão e moda.
10. O cálculo da variância supõe o conhecimento de:
a)
b) ( ) média;
c) ( ) ponto médio;
d) ( ) mediana;
e) ( ) moda.
11. Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80, a mediana será:
f)
g) ( ) 30;
h) ( ) 40;
i) ( ) 35;
j) ( ) 45.
12. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas. Os resultados foram os seguintes:
Turma A: média=5 e s=2,5
Turma B: média=4 e s=2
Com esses resultados podemos afirmar que:
a) ( ) a turma B apresentou maior dispersão absoluta;
b) ( ) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta;
c) ( ) tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B;
d) ( ) a dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas em termos relativos as duas turmas não diferem 
quanto ao grau de dispersão das notas.
13. Cinqüenta por cento dos dados da distribuição situam-se:
a)
b) ( ) abaixo da média;
c) ( ) acima da mediana;
d) ( ) abaixo da moda;
e) ( ) acima da média.
14. Os coeficientes de variação dos resultados a seguir são:
Estatística: média = 80 e s=16
História: média = 20 e s=5
k) ( ) 16% e 40%;
l) ( ) 20% e 25%;
m) ( ) 50% e 40%;
30
n) ( ) 80% e 40%.
15. Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio padrão de R$ 1.500,00, e o 
salário médio das mulheres é de R$ 3.000,00, com desvio padrão de R$ 1.200,00. A dispersão relativa dos 
salários é maior para os homens?
Lista de exercícios – Estatística Descritiva
1 – Um órgão do governo do estado está interessado em determinar padrões sobre o investimento em 
educação, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de dez cidades, foram 
obtidos os valores (codificados) na tabela abaixo:
Cidade A B C D E F G H I J
Investimento 26 16 14 10 19 15 19 16 19 18
(a) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação das observações.
(b) Receberão um programa especial as cidades com valores de investimento inferiores à média menos 
duas vezes o desvio padrão. Alguma cidade receberá o programa?
(c) Será considerado com investimento básico a média das observações compreendidas entre a média 
original menos dois desvios padrão e a média original mais dois desvios padrão. Calcule o investimento 
básico e compare com a média obtida no item (a). Justifique a diferença encontrada.
(d) Qual é o intervalo inter-quartil para esse conjunto de dados?
2 – Uma loja de departamentos está estudando o faturamento associado com a venda de seus produtos 
através de dois veículos: Dinheiro (D) e Cartão de Crédito (CC). Um levantamento de vendas (em 
milhares de reais) em períodos de tempo pré-determinados forneceu a seguinte tabela:
Faturamento consolidado (em milhares de reais)
D CC
46,00 70,25
40,50 86,65
47,47 103,11
38,64 76,6087,29
44,65
40,64
(a) Obtenha a média, mediana, variância e desvio padrão do faturamento para cada um dos modos 
de pagamento.
(b) Compare os dois grupos com base nas medidas obtidas no item (a).
3 - A capacidade pulmonar é medida através do volume expiratório forçado (litros). Para 13 jovens os 
valores observados deste parâmetro são: 2,3; 2,15; 3,5; 2,6; 2,75; 2,82; 4,05; 2,25; 2,68; 3,0; 4,02; 2,85; 
3,38. Calcular o desvio padrão destes dados. Calcular e interpretar a mediana.
4. Os níveis séricos de colesterol para 1067 homens, com idades entre 25 e 34 anos encontram-se na 
seguinte tabela:
mg/100ml No. De homens
80 - 120 13
31
120 - 160
160 - 200
200 - 240
240 - 280
280 - 320
320 - 360
360 - 400
150
442
299
115
34
9
5
 (a) Defina e classifique a variável de interesse.
(b) Construa um gráfico adequado para os níveis séricos de colesterol.
 (c) Calcule e interprete a mediana
5. Pacientes do Hospital Antônio Pedro fora submetidos a um teste de esforço quanto ao número de 
quilômetros que conseguiram caminhar sem parar. Os dados estão apresentados a seguir:
Quilômetros No. De pacientes
0 - 4
4 - 8
8 - 12
12 - 16
16 - 20
438
206
125
22
9
(a) Qual é a variável em estudo?
(b) Qual é a distância média caminhada pelos pacientes examinados?
(c) Calcule e interprete o valor da mediana.
(d) Calcule o desvio padrão da distância caminhada.
6 – Uma pesquisa sobre o consumo exagerado de cerveja com 235 adolescentes na faixa dos 14 aos 17 
anos mostrou o seguinte resultado:
Latinhas de 300 ml ou equivalente No. De adolescentes
[1;5[ 12
[5;9[ 08
[9;13[ 15
[13;17[ 50
[17;21[ 70
[21;25[ 80
Total 235
(a) Qual é o consumo médio de cerveja desses adolescentes?
(b) Qual é a quantidade de latinhas mais frequente observada nesse consumo?
(c) Calcule a mediana, o primeiro quartil e terceiro quartil, o valor máximo e o valor mínimo.
(d) Calcule o desvio padrão e o intervalo de normalidade.
(e) Construa um histograma e marque nele o intervalo definido nos itens c e d.
(f) O que se pode dizer sobre o consumo de cerveja desses jovens?
(g) Considerando que cada duas latinhas de cerveja equivalem a uma dose de vodca, e o intervalo 
definido no item d, qual seria o equivalente dessa bebida que esses jovens estão consumindo 
semanalmente?
7) Uma microempresa tem nove funcionários, cujos salários são: R$ 900,00; R$ 900,00; 
R$ 900,00; R$ 950,00; R$ 1.120,00; R$ 1.200,00; R$ 1.200,00; R$ 6000,00 e R$ 
10.000,00.
32
a) Calcule a média, a moda, a mediana e a amplitude total dos salários desses 
funcionários.
b) O valor encontrado para a média é um bom representante para o conjunto de 
todos os salários? Justifique, relacionando com o valor da amplitude total.