Resumo probabilidade

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Resumo para Segunda Prova de
Probabilidade e Estat́ıstica
1 Ferramentas de Matemática Básica
Muitas vezes, a dificuldade em probabilidade não está no conceito, mas no desenvolvi-
mento matemático. Para garantir que você não trave na hora da prova, revise estes
conceitos fundamentais:
1.1 O Fatorial (!)
O fatorial de um número indica que você deve multiplicá-lo por todos os seus antecessores
inteiros e positivos.
• 4! = 4× 3× 2× 1 = 24
• 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120
Dica Importante
Regras fixas e Simplificação: Lembre-se sempre que 0! = 1 e 1! = 1. Além
disso, se você se deparar com frações como 8!
6!
, não calcule tudo. Abra o número
maior até chegar no menor e corte:
8!
6!
=
8× 7× 6!
6!
= 8× 7 = 56
1.2 A Combinação (
(
n
x
)
)
A combinação calcula de quantas maneiras podemos escolher x elementos de um total de
n, sem que a ordem importe. (Na calculadora, procure o botão nCr).(
n
x
)
=
n!
x!(n− x)!
Exemplo prático: De 6 camundongos (n = 6), de quantas formas posso escolher 2 (x = 2)?(
6
2
)
=
6!
2!(6− 2)!
=
6× 5× 4!
2!× 4!
=
30
2
= 15 formas.
1
1.3 A Constante de Euler (e)
Utilizada na distribuição de Poisson, a letra e não é uma incógnita, mas sim uma constante
matemática irracional (assim como o π).
e ≈ 2, 71828
Na calculadora cient́ıfica, utilize a função ex. Para calcular e−3, o resultado será aproxi-
madamente 0, 049787.
1.4 A Estratégia do Complementar (”Pelo Menos 1”)
Em probabilidade, a soma de todas as chances de um experimento é sempre 1 (ou 100%).
Quando uma questão pedir a chance de um evento acontecer ”pelo menos uma vez”
(1, 2, 3, 4...), o caminho mais rápido é calcular a chance de ele NUNCA acontecer (0
vezes) e subtrair do total.
P (Pelo menos 1) = 1− P (X = 0)
2
2 Conceitos Fundamentais de Probabilidade
Para entender as fórmulas, precisamos dominar a linguagem da probabilidade.
2.1 Definições Iniciais
• Experimento Aleatório (E): Qualquer procedimento que, repetido nas mesmas
condições, pode gerar resultados diferentes (ex: lançar um dado, observar se uma
semente germina).
• Espaço Amostral (Ω): É o conjunto de todos os resultados posśıveis do experi-
mento. (Ex: No lançamento de um dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
• Evento (A, B, C...): É qualquer subconjunto do espaço amostral. É aquilo
que você quer que aconteça. (Ex: O evento A ser ”cair um número par”, logo
A = {2, 4, 6}).
2.2 Relação entre Eventos
• Eventos Mutuamente Exclusivos (Disjuntos): São eventos que não podem
acontecer ao mesmo tempo. A intersecção entre eles é vazia (A∩B = ∅). Exemplo:
Um animal não pode ser um mamı́fero e uma ave simultaneamente.
• Eventos Complementares (Ac): Se A é o evento de uma planta germinar, o
complementar Ac é o evento de ela NÃO germinar. A soma das probabilidades de
um evento e seu complementar é sempre 1.
2.3 Axiomas e Operações Básicas
A probabilidade é uma medida de incerteza (P ) que obedece a três regras (axiomas):
1. A probabilidade de qualquer evento está sempre entre 0 e 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1.
2. A probabilidade do espaço amostral inteiro (o evento certo) é 1: P (Ω) = 1.
3. Regra da Adição (Conectivo ”OU”/ União): Se os eventos NÃO forem mu-
tuamente exclusivos, você soma as probabilidades e subtrai a intersecção (para não
contar duas vezes):
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
3
3 Probabilidade Condicional e Independência
3.1 A Probabilidade Condicional
Dois eventos são condicionados quando a ocorrência de um altera a probabilidade do
outro. A pergunta clássica é: ”Qual a probabilidade de A acontecer, sabendo que B
já aconteceu?”. Na prática, a condição (B) reduz o seu espaço amostral apenas para os
casos onde B é verdade.
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
3.2 Eventos Independentes e o Teorema do Produto
Se a ocorrência do evento B não muda em nada a chance do evento A acontecer, dizemos
que eles são Independentes (ou seja, P (A|B) = P (A)). Nesse caso, a probabilidade de
os dois ocorrerem ao mesmo tempo (Conectivo ”E”/ Intersecção) é a simples multiplicação
das probabilidades:
P (A ∩B) = P (A)× P (B)
Observação / Cuidado!
Não confunda ”Mutuamente Exclusivo”com ”Independente”:
• Mutuamente Exclusivo: Ocorrência de um IMPEDE o outro. Grau
máximo de dependência. (Ex: A moeda dá Cara; logo, é imposśıvel dar
Coroa).
• Independente: A ocorrência de um NÃO AFETA o outro. (Ex: Lançar duas
moedas diferentes. Dar Cara na primeira não muda a chance da segunda).
4 Teoremas: Probabilidade Total e Bayes
Esses teoremas são amplamente usados em diagnósticos e identificação de origens de
eventos.
4.1 Teorema da Probabilidade Total
Se um evento de interesse A (ex: encontrar um animal com uma doença) pode ocorrer
em diferentes cenários ou subgrupos B1, B2, B3 (ex: diferentes áreas da floresta), a pro-
babilidade total de A é a soma das probabilidades dele ocorrer em cada um dos cenários.
P (A) = [P (B1)× P (A|B1)] + [P (B2)× P (A|B2)] + . . .
4.2 Teorema de Bayes
Se a Probabilidade Total calcula a chance de um ”efeito”geral, o Teorema de Bayes calcula
a chance de uma ”causa”sabendo que o efeito ocorreu. (Exemplo: O peixe testou positivo
para a doença. Qual a chance de ele realmente ser do grupo doente?).
P (B1|A) =
P (B1)× P (A|B1)
P (A)
4
Em palavras: A chance da causa (B1) dado o resultado (A) é igual à (Chance isolada da
causa × Chance do resultado ocorrer naquela causa) dividida pela (Probabilidade Total
do resultado ocorrer).
Exemplo Resolvido
Um v́ırus afeta 5% da população de sapos. Um teste foi desenvolvido: se o sapo for
doente, o teste dá positivo 90% das vezes. Se for saudável, o teste dá falso positivo
5% das vezes. Um sapo é testado ao acaso e o resultado é positivo. Qual a chance
de ele estar realmente doente?
1. Organizando os dados:
• Chance de estar Doente: P (D) = 0, 05
• Chance de estar Saudável (Complementar): P (S) = 1− 0, 05 = 0, 95
• Teste Positivo sabendo que é Doente: P (+|D) = 0, 90
• Falso Positivo (Positivo sabendo que é Saudável): P (+|S) = 0, 05
2. Probabilidade Total de dar Positivo P (+):
É a soma dos dois cenários (estar doente E testar positivo + estar saudável E testar
positivo):
P (+) = (0, 05× 0, 90) + (0, 95× 0, 05) = 0, 045 + 0, 0475 = 0, 0925
3. Aplicando Bayes P (D|+):
Pegamos a porção de ”doentes que testaram positivo”e dividimos pelo total de
positivos:
P (D|+) =
0, 045
0, 0925
≈ 0, 4864 ou 48, 64%
5
5 Distribuições de Probabilidade Discretas
As distribuições são modelos matemáticos que preveem o comportamento de variáveis. O
segredo na prova é saber identificar qual distribuição usar pelo enunciado.
5.1 1. Distribuição de Bernoulli
Quando usar: Ocorre em um ÚNICO experimento que possui apenas duas respostas:
”Sucesso”ou ”Fracasso”.
• Parâmetro: p (probabilidade de sucesso).
• A Média/Esperança E(X) é igual a p. A Variância V ar(X) é p× (1− p).
5.2 2. Distribuição Binomial
Quando usar: É a repetição da Bernoulli. Ocorre quando você repete um evento inde-
pendente n vezes (você tem um número total de tentativas/amostras) e a probabilidade
de sucesso p é sempre a mesma. Você quer saber a chance de obter exatamente x sucessos.
Exemplo Resolvido
Cenário (Eficácia de tratamentos, cruzamentos):
Um antibiótico tem 80% de eficácia (p = 0, 80) em curar ratos. Um grupo de 6
ratos (n = 6) recebe o tratamento. Qual a probabilidade de exatamente 4 ratos
serem curados (x = 4)?
Fórmula: P (X = x) =
(
n
x
)
× px × (1− p)n−x
Passo a Passo:
P (X = 4) =
(
6
4
)
× (0, 80)4 × (1− 0, 80)6−4
P (X = 4) =
6!
4!× 2!
× (0, 80)4 × (0, 20)2
P (X = 4) = 15× 0, 4096× 0, 04 ≈ 0, 2457 ou 24, 57%
5.3 3. Distribuição de Poisson
Quando usar: Modela a contagem de eventos raros que ocorrem em um intervalo
cont́ınuo (tempo, área, volume, etc). Diferente da binomial, não existe um número
máximo de tentativas n; você trabalha apenas com uma taxa média de ocorrência chamada
λ (Lambda).
Dica Importante
RelaçãoBinomial → Poisson:
Quando o número de ensaios (n) for muito grande e a probabilidade de sucesso (p)
for muito pequena, resolver a Binomial na mão é quase imposśıvel. Nesses casos,
usamos a Poisson como aproximação, onde: λ = n× p.
6
Exemplo Resolvido
Cenário (Contagem por área/tempo, mutações no DNA):
Em uma floresta, encontram-se em média 3 ninhos de pássaros por hectare (λ =
3). Qual a probabilidade de um pesquisador encontrar exatamente 5 ninhos em 1
hectare (x = 5)?
Fórmula: P (X = x) = e−λ×λx
x!
Passo a Passo:
P (X = 5) =
e−3 × 35
5!
P (X = 5) =
0, 049787× 243
120
=
12, 09824
120
≈ 0, 1008 ou 10, 08%
Cuidado com a Unidade! Se a pergunta fosse ”qual a chance de achar 5 ninhos
em 2 hectares?”, você teria que ajustar a média antes de calcular: O novo λ seria
3× 2 = 6.
7
6 Formulário Prático
Este é o resumo direto das fórmulas para consulta rápida. Identifique a equação e o
significado exato de cada variável.
6.1 Probabilidades e Teoremas
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A ∪B) – Probabilidade de ocorrer o evento A OU o evento B (União).
P (A) – Probabilidade do evento A isolado.
P (B) – Probabilidade do evento B isolado.
P (A ∩B) – Probabilidade de ocorrer A E B simultaneamente (Intersecção).
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
P (A|B) – Probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu (Condicional).
P (A ∩B) – Probabilidade da intersecção entre A e B.
P (B) – Probabilidade da condição (evento B).
P (B1|A) =
P (B1)× P (A|B1)
P (A)
(Teorema de Bayes)
P (B1|A) – Probabilidade da causa (cenário inicial) B1, sabendo que o efeito A ocorreu.
P (B1) – Probabilidade da causa B1 isolada.
P (A|B1) – Probabilidade do efeito A ocorrer dentro do cenário B1.
P (A) – Probabilidade Total do efeito A ocorrer em todos os cenários posśıveis.
6.2 Distribuições Discretas
Distribuição Binomial
P (X = x) =
(
n
x
)
× px × (1− p)n−x
P (X = x) – Probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos.(
n
x
)
– Fórmula de combinação n!
x!(n−x)!
.
n – Número total de ensaios, amostras ou tentativas.
x – Número exato de sucessos desejados.
p – Probabilidade de sucesso em uma única tentativa (em decimal).
1− p – Probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
E(X) = n× p – Média ou Valor Esperado na Binomial.
V ar(X) = n× p× (1− p) – Variância na Binomial.
Distribuição de Poisson
P (X = x) =
e−λ × λx
x!
8
P (X = x) – Probabilidade do evento raro acontecer exatamente x vezes.
e – Constante de Euler (≈ 2, 71828).
λ – Taxa média esperada de ocorrências no intervalo (espaço/tempo).
x – Número de ocorrências desejadas.
x! – Fatorial do número de ocorrências.
E(X) = λ – Média ou Valor Esperado na Poisson.
V ar(X) = λ – Variância na Poisson (é igual à média).
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