2024 2-AD1-C1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e 
Educação Superior a Distância do Estado 
do Rio de Janeiro Centro de Educação 
Superior a Distância do Estado do Rio de 
Janeiro 
GABARITO - AD1 – CÁ LCULO I – 2/2024 
Código da Disciplina: 
EAD01005/EAD01083 
 
Questão 1 [3.0 pontos] Calcule os seguintes limites de funções: 
𝑎) lim
𝑥→−3
 
𝑥2 − 9
𝑥3 + 27
 
 
𝑏) lim
𝑥→4
√𝑥−2
𝑥−4
 
 
Solução: 
𝑎)O limite está indeterminado, uma vez que tanto o numerador quanto o 
denominador que definem a função se anulam em x = - 3. Para resolver esta 
indeterminação, fatoramos denominador e numerador: 
lim
𝑥→−3
 
𝑥2 − 9
𝑥3 + 27
= lim
𝑥→−3
 
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 9)
= lim
𝑥→−3
−6
9 + 9 + 9
= 
−2
9
 
 
𝑏) O limite está indeterminado, uma vez que tanto o numerador quanto o 
denominador que definem a função se anulam em x = 1. Para resolver esta 
indeterminação, multiplicamos denominador e numerador pelo conjugado do 
numerador: 
lim
𝑥→4
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(√𝑥 − 2). (√𝑥 + 2).
(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
𝑥 − 4.
(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
1
2 + 2
=
1
4
 
 
Questão 2 [3.0 pontos] Calcule os seguintes limites de funções: 
a) lim
𝑥→+∞
√𝑥2+1+3𝑥−2
5𝑥−7
 
b) lim
𝑥→0
1−cos(3𝑥)
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
 
Solução: 
𝑎) lim
𝑥→+∞
√𝑥2 + 1 + 3𝑥 − 2
5𝑥 − 7
= lim
𝑥→+∞
√𝑥2(1 +
1
𝑥2) + 3𝑥 − 2
5𝑥 − 7
= lim
𝑥→+∞
|𝑥|√(1 +
1
𝑥2) + 3𝑥 − 2
5𝑥 − 7
= lim
𝑥→+∞
𝑥√(1 +
1
𝑥2) + 3𝑥 − 2
𝑥(5 −
7
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
𝑥(√(1 +
1
𝑥2) + 3 −
2
𝑥)
𝑥(5 −
7
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
√(1 +
1
𝑥2) + 3 −
2
𝑥
5 −
7
𝑥
= lim
𝑥→+∞
1 + 3
5
=
4
5
 
𝑏) lim
𝑥→0
1−cos (3𝑥)
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
 = lim
𝑥→0
1−cos(3𝑥). 1
𝑥2⁄
𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥. 1
𝑥2⁄
=
 lim
𝑥→0
[1−cos(3𝑥)]. 1
𝑥2⁄ .[1+𝑐𝑜𝑠 (3𝑥)]
𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]
 =lim
𝑥→0
[1−𝑐𝑜𝑠2(3𝑥)]. 1
𝑥2⁄
 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 1
𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]
=
 lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2(3𝑥). 1
𝑥2⁄
 𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]
= lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)
𝑥
)2
 𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)] 
Utilizando o limite trigonométrico fundamental teremos: 
lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)
𝑥
)2.
1
 𝑠𝑒𝑛𝑥. 1
𝑥⁄ . [1 + cos(3𝑥)]
= (3)3.
1
1. (1 + 1)
=
9
2 
 
Questão 3 [ANULADA] Calcule as derivadas das funções a seguir: 
Questão 4 [3.0 pontos] Seja a função f(x) = x + 
1
𝑥
 definida no corpo dos reais, 
analise o comportamento de f: 
a) Nas vizinhanças de x = 0 
b) Quando x tende aos infinitos positivo e negativo (±∞) 
c) Verifique se f(x) tem assíntota obliqua 
Solução: 
a) Importante destacar que x = 0 não pertence ao domínio de f(x). Logo temos 
que observar o comportamento na vizinhança de 0, a saber: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎+
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝒙 +
𝟏
𝒙
 = 0+∞ = ∞ e 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎−
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝒙 +
𝟏
𝒙
 = 0 - ∞ = − ∞, 
 
Portanto, x = 0 é uma assíntota vertical da função. 
 
b) Comportamento de f em ±∞: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑥 +
1
𝑥
 = ∞ + 0 = +∞ , 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥= −∞
𝑥 +
1
𝑥
 = −∞ + 0 = −∞ 
 
Portanto f(x) não tem assíntota horizontal. 
 
c) Contudo, observe que, quando 𝑥 → ∞, f tem um comportamento parecido 
com a reta y = x pois o termo 
𝟏 
𝐱
 é próximo de zero (tende a zero). Isto é, tem 
assíntota oblíqua. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑥 +
1
𝑥
𝑥
= 1 
Também temos: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
(𝑥 +
1
𝑥
− 1. 𝑥) = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
(𝑥 +
1
𝑥
− 1. 𝑥) = 0 
 
Portanto y = ax + b conduz a função y = x, que é uma assíntota oblíqua de 
f(x). 
 
 
 
Questão 5 [1.0 pontos] Seja f: ℝ → ℝ a função definida por {
1−cos 𝑥
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
𝑎, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
 
Determine o valor de a ∈ ℝ, para qual f é uma função contínua. 
 
 
Solução: Calculando o limite dá função em x = 0 teremos, a partir da 
multiplicação do numerador e denominador pelo conjugado do numerador e sua 
simplificação teremos: 
 
2
1
)cos1(cos1
cos1
.
.
cos1
limlim
00
=
+
=
+
+−
→→ xx
senx
x
x
senxx
x
xx
 
Assim, para que f seja contínua em x = 0 é que a = 
1
2
 
Nesses termos temos que: 






=

−
=
0
2
1
0,
.
cos1
)(
xse
xse
senxx
x
xf