Superfícies Estendidas e Aletas

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DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA
Ph.D Engº Mário Ventura Mondlane
113/06/2024
ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
SUPERFÍCIES ESTENDIDAS - ALETAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ROTEIRO
213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Conceito
Equação geral da aleta- Balanço energético 
Aletas com secção uniforme
Eficiência da aleta
Desempenho da aleta
Comprimento adequado da aleta
Superfícies Estendidas
313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
O termo superfície estendida é comumente usado em referência a um
sólido onde há transporte de energia térmica condutiva no interior de
suas fronteiras e transporte de energia térmica convectiva (e/ ou
radioativa) entre suas fronteiras e a vizinhança.
Em diversas condições de engenharia usam-se superfícies estendidas
para aumentar a eficiência de troca de calor, quer na colecta de
energia (colectores solares) quer na sua dissipação (motores).
Aletas são extensões acrescentadas à uma superfície para incrementar a área de
transmissão de calor, aumentando a quantidade total de calor transmitida.
Superfícies Estendidas
413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Superfícies Estendidas
513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
O principio físico que justifica o uso das aletas é simples. A taxa de
transferência de calor de uma superfície que está a uma temperatura Ts para o
meio circundante que está a T∞ é expressa pela Lei de resfriamento de
Newton como
Em que:
h - é o coeficiente de troca de calor convectiva;
As - é a área superficial;
Ts - é a temperatura superficial;
T∞ - é a temperatura do fluído ambiente
Superfícies Estendidas
613/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Note que:
Para aumentar a dissipação de calor pode-se aumentar h, As e o potencial
térmico.
O aumento de h pode-se conseguir com o aumento da velocidade do fluido (
através de convecção forçada).
Aumentar o potencial térmico pode-se conseguir com a redução da temperatura
ambiente.
A forma mais fácil de conseguir-se o aumento da dissipação de calor é
aumentando a área superficial.
Superfícies Estendidas
713/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transmissão de calor pelo
aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida (Ts) e o fluido
(T∞).
Superfícies Estendidas
813/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Aplicação de aletas-alguns exemplos:
A: camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a
ar, como os do fusca e motores de motocicletas;
B: carcaça de motores elétricos;
C: condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar
condicionado;
D: dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de
computadores;
E: orelhas de elefantes.
Superfícies Estendidas
913/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Tipos de aletas:
Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo 
com Kreith e Bohn. (a) aleta longitudinal de perfil 
retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil 
trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil 
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta 
radial; (f) tubo cilíndrico equipado com aleta radial 
com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) 
pino cônico truncado; (i) pino parabólico.
Equação Geral da Aleta
1013/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Balanço energético da aleta
Considere um elemento de volume em uma
aleta, na localização x, que tem comprimento
x, área de seção transversal Ac e perímetro p,
conforme mostrado na Fig. Sob condições
estacionárias, o balanço de energia sobre este
elemento de volume pode ser expresso como
Equação Geral da Aleta
1113/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Balanço energético da aleta
Premissas:
R.P e ausência de fontes internas;
Temperatura constante do fluído longe da aleta;
As propriedades térmicas do material não variam com a temperatura;
As aletas são finas, assim pode-se modelar a situação como unidimensional;
O coeficiente convectivo é constante ao longo da aleta;
A temperatura da superfície da base da aleta é a mesma que a da superfície
primária.
Superfícies Estendidas
1213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
(3-54)
onde
Calor que entra
por condução no
elemento em x
Calor que sai por
condução do
elemento em
x + Δx
Calor que sai
por convecção
do elemento
+=
 Sconv
Q hA T T

 
, ,cond x cond x x conv
Q Q Q
  

 
Superfícies Estendidas
1313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Substituindo e dividindo-se por Δx obtém-se:
(3-55)
Resolvendo-se o limite quando Δx → 0 obtém-se:
(3-56)
Da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
(3-57)
Índice
Superfícies Estendidas
1413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Substituindo em 3-56 obtém-se o seguinte:
ou
(3-58)
Índice
 
2
2
1 1
0c c
c c
dA dAd T dT h
T T
A dx dx A k dxdx

   
      
   
  0c
c
dAd dT h
A T T
dx dx k dx

 
   
 
Aletas com Seção Uniforme
1513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Daqui, deduz-se que:
Índice
0c
c
dA
dx
e
dA
p
dx


Aletas com Seção Uniforme
1613/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Portanto, a equação geral converte-se em:
(3-59)
(3-60)
(3-61)
Índice
 
    
2
2
0
:
c
d T h
T T
kAdx
Fazendo
x T x T
então
d dT
dx dx




  
 

Aletas com Seção Uniforme
1713/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Assumindo que:
(3-62)
A equação fica: 
(3-63)
A solução geral desta equação da segunda ordem é dada por:
(3-64)
A temperatura na base (x=0) é uma das condições essenciais: 
2
c
hP
m
kA

2
2
2
0
d
m
dx

 
1 2( ) mx mxx C e C e  
 (0) b bT T   
Aletas com Seção Uniforme
1813/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
A temperatura na base (x=0) é uma das condições essenciais:
Índice
Perda de calor desprezível da ponta da aleta
1913/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
As aletas, de modo geral, são expostas ao ambiente e, portanto, a condição de
contorno adequada para a ponta da aleta é a convecção, que também inclui os efeitos
da radiação. A equação da aleta pode ainda ser resolvida, neste caso, utilizando a
convecção na ponta da aleta como a segunda condição de contorno, mas a análise
torna-se complexa e resulta em expressões de distribuição da temperatura e da
transmissão de calor complicadas.
Em geral, a área da ponta da aleta é uma pequena fração da área total da superfície
da mesma, assim, as complexidades envolvidas na solução da equação, dificilmente
podem justificar uma melhora na exactidão.
Perda de calor desprezível da ponta da aleta
2013/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Para determinar as constantes C1 e C2 na Eq. 3-64, é necessário estabelecer as 
condições de contorno.
b f
Q Q
 
  ( )chA T L T
Perda de calor desprezível da ponta da aleta
2113/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
(3-65)
ou
(3-66)
desta feita
(3-67)
e
(3-68)
 ( )c c
x L
dT
hA T L T kA
dx


  
( )
x L
dT
h L k
dx


 
1 2b C C  
1 2 2 1( ) ( )mL mL mL mLh C e C e km C e C e   
Perda de calor desprezível da ponta da aleta
2213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
daí, a distribuição da temperatura é expressa por:
(3-69)
O calor perdido pela aleta determina-se por:
(3-70)
Resulta em:
(3-71)
Outra forma que inclui as perdas de calor por convecção é dada:
(3-72)
cosh ( ) ( )sinh ( )
cosh ( )sinhb
m L x h mk m L x
mL h mk mL


  


0 0
c cf b
x x
dT d
Q Q kA kA
dx dx
 
 
    
sinh ( )cosh
cosh ( )sinh
c bf
mL h mk mL
Q hPkA
mL h mk mL

 


 ( ) .
fA sf
Q h T x T dA

 
Aleta com a ponta isolada
2313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
As aletas não são susceptíveis de ser tão longas que a sua temperatura
se aproxime da temperatura ambiente na ponta. Uma situação mais
realista é a transmissão de calor da ponta da aleta ser desprezada dado
que a transmissão de calor da aleta é proporcional à sua superfície e a
superfície da ponta da aleta é geralmente uma fração insignificante da
área total da aleta. A ponta da aleta
pode ser considerada como
isolada.
Aleta com a ponta isolada
2413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
A condição de fronteira na ponta da aleta é expressa por:
(3-73)
então
(3-74) 
O perfil de temperaturas toma o seguinte aspecto:
(3-75)
O calor dissipado pela aleta avalia-se por:
(3-76)
0
x L
d
dx



1 2 0mL mLC e C e 
cosh ( )
coshb
m L x
mL




tanhc bf
Q hPkA mL


Aleta com a ponta isolada
2513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Quando refere-se a uma aleta cuja ponta encontra-se isolada, é muito frequente usar-
se o conceito de comprimento corrigido Lc que permite usar as expressões relativas
à aleta com convecção no seu extremo, com um erro não superior a 8%.
(3-77)
Usando as relações próprias de Ac e p para aletas de seção retangular e circular os
comprimentos corrigidos ficam respectivamente:
(3-78)
c
c
A
L L
p
 
, tan
2
c re gular
t
L L 
,
4
c circular
D
L L 
Aleta com a ponta isolada
2613/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
O comprimento corrigido Lc é
definido como o comprimento de
uma aleta com o extremo isolado,
que transfere o mesmo calor que
uma aleta de comprimento L com
convecção no extremo.
Aleta com temperatura prescrita na ponta
2713/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Se a temperatura da aleta no seu extremo for medida e igual a TL a segunda condição
de fronteira pode ser expressa como: em X = L, θ = θL.
Da condição de fronteira resulta:
(3-78)
O perfil de temperaturas é dado por:
(3-79)
O calor dissipado pela aleta é determinado de:
(3-80)
( ) ( )L T L 
( ) LL 
( / )sinh sinh ( )
sinh
L b
b
mx m L x
mL
 

 

cosh /
sinh
L b
c bf
mL
Q hPkA
mL
 

 

Aleta com comprimento infinito
2813/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Para a aletas suficientemente longas com seção transversal constante (Ac=cte), a
temperatura da aleta no seu extremo tenderá para a temperatura ambiente T∞ e
portanto θ tenderá para zero. Ou seja:
Da condição de fronteira resulta:
(3-81)
O perfil de temperaturas é dado por:
(3-82)
O calor dissipado pela aleta é determinado por:
(3-83)
( ) ( ) 0L T L T   
( ) 0L 
mx
b
e



c bf
Q hPkA


L 
Aleta com comprimento infinito
2913/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Aleta circular de seção
longa transversal uniforme
e a variação da temperatura
ao longo dele.
Eficiência da aleta
3013/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Distribuição ideal e
real de temperatura em
uma aleta.
Eficiência da aleta
3113/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Para o caso da aleta com ponta isolada pode-se escrever:
(3-84)
Se as aletas forem suficientemente delgadas para o fluxo de calor ser considerado
unidimensional pode-se escrever:
(3-85)
Em que: z - é a profundidade da aleta e t - a sua espessura.
tanh tanhb
aleta
b
hPkA mL mL
hPL mL



 
(2 2 )hP h z t
mL L L
kA kzt

 
Eficiência da aleta
3213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Partindo do princípio que a aleta é suficientemente delgada 2z>>2t, escreve-se:
(3-86)
Multiplicando o numerador e denominador por L(1/2) obtém-se:
Lt é a área do perfil da aleta que define-se como Am= Lt, assim:
(3-87)
2 2hz h
mL L L
ktz kt
 
3/ 22h
mL L
kLt

3/22
m
h
mL L
kA

Eficiência da aleta
3313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Eficiência da aleta
3413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Eficiência da aleta
3513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Para uma situação em que se 
tem um arranjo de várias 
aletas, tem de tomar-se em 
conta as áreas, com e sem 
aletas, para se fazer o cálculo 
da eficiência do arranjo.
Eficiência da aleta
3613/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
(3-88)
Sendo:
(3-89)
Ou por outra:
Onde: (3-90)
N - é o número de aletas
Aa= Af - área da aleta
Ab - área da superfície primária
t t
t
t b
máx
Q Q
hA
Q


 

 
t a bA N N 
 1 1a
t aleta
t
N
A
   
Eficiência da aleta
3713/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Eficiência da aleta
3813/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Desempenho da aleta
3913/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Desempenho da aleta
4013/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Em alguns casos um método válido para avaliar o desempenho de uma aleta é
comparar o calor transferido com a aleta com aquele que seria transferido sem a
aleta. A razão entre as quantidades é dada por:
(3-91)
Onde Aa é a área superficial total da aleta Ab a área da base da aleta. Para a aleta de
ponta isolada pode-se escrever:
e (3-92)
(3-93)
,
,
a bcom aleta a a
a
b b b
sem aleta
h A
hA A
Q A
Q
 



 

,
,
tanh
/
com aleta
sem aleta
mL
hA kP
Q
Q



aA pL bA A
Desempenho da aleta
4113/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
A taxa de transmissão de calor para uma aleta suficientemente longa consegue-se
substituindo na fórmula anterior a de transmissão de calor para essa situação dada
pela Eq. 3-82
(3-94)
Para determinar a taxa de transmissão de calor de uma região aletada tem de se ter
em consideração a parte da superfície que não está aletada bem como a área das
aletas.
(3-95)
,
,
,
com aleta a b
aleta longa
b b b
sem aleta
A hpk kp
hA hA
Q
Q




  

 , ,,
,
b a b a bñ a a ñ a aa total
ñ al al
h h hQ A A A AQ Q     
 
     
Desempenho da aleta
4213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
(3-96)
A eficácia global para uma
região aletada é dada pela
seguinte expressão:
 ,,
,
,
, ,
a bñ a atotal aleta
aleta total
bsem aleta
total sem aleta
h
h
Q A A
A
Q
 



 
 

Comprimento adequado da aleta
4313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Devido à queda gradual da
temperatura ao longo da aleta,
a região próxima à ponta
contribui pouco ou nada para
a transmissão de calor.
Comprimento adequado da aleta
4413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Para ter-se a sensibilidade do comprimento adequado de uma aleta, compara-se a
energia transferida pela aleta de comprimento finito com o de uma de comprimento
infinito às mesmas condições, que é dado pela expressão:
(3-97),
,
, ,
tanh
tanh
total aleta a b
aleta total
a b
total sem aleta
hpkA mL
mL
hpkA
Q
Q




  

Transmissão de Calor em Geometrias Usuais
4513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Até agora, foi considerada a transferência de calor em geometrias simples, como
grandes paredes planas, cilindros longos e esferas. Isso ocorreu porque a
transferência de calor em geometrias pode ser aproximada a unidimensional e
soluções analíticas simples podem ser facilmente obtidas. Mas muitos problemas na
prática, são de duas ou três dimensões e envolvem geometrias bastante complicadas
para as quais não há soluções simples disponíveis.
Uma importante classe de problemas de transferência de calor para os quais soluções
simples são obtidas, engloba aquelas que envolvem duas superfícies mantidas a
temperaturas constantes T1e T2. A taxa constante de transferência de calor entre as
duas superfícies é expresso como:
   1 2 ....Q Sk T T W 
Transmissão de Calor em Geometrias Usuais
4613/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Em que: S é o fator de forma de condução, que tem a dimensão de comprimento; e k
é a condutividade térmica do meio entre as superfícies. O fator de forma de
condução depende somente da geometria do sistema.
Fator de Forma de Condução
4713/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Fator de Forma de Condução
4814/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Fator de Forma de Condução
4914/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Fator de Forma de Condução
5014/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
5113/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
EXEMPLO
Problema 1:
5213/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Se o valor do coeficiente de convecção for grande a aleta pode originar uma redução na
transferência de calor porque a resistência à condução representa então um impedimento
maior ao fluxo de calor que a resistência à convecção.
Considere-se uma aleta de aço inoxidável
em forma de pino com k = 16 W/m·ºC, L=10 cm, d
= 1 cm exposta a uma situação de transferência de calor por convecção, de água em ebulição
onde h = 5000 W/m2 oC.
Solução 1:
Problema 2:
5313/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Num sistema de aquecimento, o vapor de água flui através de tubos cujo diâmetro externo é
D1=3 cm e cujas paredes são mantidas a uma temperatura de 120°C. Aletas circulares de
alumínio (k=180 W/m°C) com diâmetro externo D2=6 cm e espessura constante t=2 mm são
fixadas ao tubo, conforme mostrado na abaixo. O espaço entre as aletas é de 3 mm e, desta
forma, são 200 aletas por metro de comprimento do tubo. O calor é transferido para o ar
circundante que está a T∞=25°C, com um coeficiente de transferência de calor combinadode
calor de h 60 W/m2 · C. Determine o aumento de transmissão de calor.
Solução 2:
5413/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Solução 2:
5513/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Problema 3
5614/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Perda de calor em tubos enterrados de vapor de água
Um cano de água quente de um sistema de aquecimento municipal com 30 m de comprimento
e 10 cm de diâmetro está enterrado no solo, 50 cm abaixo da superfície do piso, conforme
mostrado na Figura 3-49. A temperatura da superfície externa do tubo é de 80°C. Si la
temperatura superficial de la tierra es 10°C y la conductividad térmica del suelo en ese lugar
es 0.9W/m · °C, determine la razón de la pérdida de calor del tubo.3-13 Pérdida De calor en
tubos enterrados de vapor de águaUm cano de água quente de um sistema de aquecimento
municipal com 30 m de comprimento e 10 cm de diâmetro está enterrado no solo, 50 cm
abaixo da superfície do piso, conforme mostrado na Figura 3-49. A temperatura da superfície
externa do tubo é de 80°C. Se a temperatura da superfície da Terra for 10°C e a condutividade
térmica do solo naquele local for 0,9 W/m · °C, determine a taxa de perda de calor do tubo.
Solução 3
5714/06/2024 ENGENHARIA TERMOTÉCNICA