AL-Imatrizes

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MSc. Olavo Ito
Álgebra Linear
Matrizes
 Uma matriz é uma estrutura matemática que consiste em uma coleção ordenada de números 
dispostos em linhas e colunas. Cada número em uma matriz é chamado de elemento. As 
matrizes são frequentemente usadas para representar dados organizados em uma forma 
tabular e para realizar uma variedade de operações matemáticas, como adição, subtração, 
multiplicação e inversão. Elas são amplamente utilizadas em diversas áreas, como álgebra 
linear, estatística, computação gráfica, ciência de dados e engenharia.
Venda supermercado representação
Definição de matriz
 Uma matriz mxn a tabela formada por números reais dispostos em m linhas e n colunas. A 
matrizes são nomeadas com uma letra maiúscula de nosso alfabeto
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
Matriz quadrada 3x3
Notação para matrizes: m x n (linha por 
coluna)
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31
Vetor coluna 3x1
Definição de Matriz
Representação
 Indica-se um elemento qualquer de uma matriz como ai j . Onde i representa a linha e j a 
coluna da posição do elemento
Matrizes especiais
 Considere uma matriz A = (aij )mxn . 
 Chamamos a matriz A de matriz quadrada somente se a quantidade de linhas for igual à 
quantidade de colunas, ou seja, m = n
Diagonal
 Os elementos, em uma matriz quadrada, em que i = j, formam a diagonal principal.
 Já os elementos em que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária
Matrizes especiais
Matriz diagonal
 Chamamos de matriz diagonal a matriz quadrada de ordem n ≥ 2 cujos elementos acima e 
abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero, ou seja, para todo i ≠ j, então, aij = 0
Matriz identidade
 Chamamos de matriz identidade, denotada por In a matriz diagonal cujos elementos da 
diagonal principal sejam todos iguais a 1, ou seja:
Matrizes especiais
Matriz nula
 chamamos de matriz nula a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. 
Matematicamente:
Importância: desempenha papel similar ao número 1 em álgebra de números
Matriz transposta
 Seja a matriz A de ordem mxn. Chamamos de matriz transposta de A e indicamos por At de 
ordem nxm, obtida transformando, ordenadamente, as linhas de A em colunas.
Operações com matrizes
Igualdade de matrizes
 Consideremos duas matrizes quaisquer de mesma ordem, por exemplo, A = (aij )2x3 e 
B = (bij )2x3
 A = B somente se os elementos que ocupam posições análogas forem iguais
 Sejam as matrizes A = (aij )mxn e B = (bij )mxn de mesma ordem. Então:
Exemplo
Soma e subtração
Sejam as matrizes A = (aij )mxn e B = (bij )mxn de mesma ordem. Denomina-se soma da matriz A 
com a matriz B, denotada por A + B, a matriz S, de ordem mxn, obtida somando-se os 
elementos de posição análoga de A e B. 
Dessa forma, se A = (aij )mxn e B = (bij )mxn , a soma de A + B é a matriz S = (sij )mxn , de modo 
que aij + bij = sij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Valendo as seguintes propriedades:
 • A + B = B + A 
 • (A + B) + C = A + (B + C) 
 • A + 0 (matriz nula) = A 
 • A + (-A) = 0 (matriz nula)
Soma e subtração
Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se 
tiverem a mesma dimensão
4 9
2 1 + 2 0
0 7 = 4 + 2 9 + 0
2 + 0 1 + 7 = 6 9
2 8
Resolva:
19 3
2 0 − 6 8
1 3 = 19 − 6 3 − 8
2 − 1 0 − 3 = 13 −5
1 −3
Multiplicação Escalar
 Considere uma matriz A = (aij )mxn e um número real (escalar) α. A matriz α . A terá a mesma 
ordem de A e seus elementos são αaij
7 3 −1
0 5 = 21 −7
0 35
Resolva:
19 3
2 0 − 2 6 8
1 3 = 19 − 2.6 3 − 2.8
2 − 2.1 0 − 2.3 = 7 −13
0 −6
Multiplicação de Matrizes
 Seja a matriz A = (aij )mxn e B = (bij )nxp , definimos a matriz produto A . B = C(cij )mxp , de forma 
que cada elemento cij é o resultado da soma dos produtos de cada linha i de A por cada 
coluna j de B
Se queremos multiplicar duas matrizes: AB
A coluna de A precisa ter a mesma dimensão da linha de B
Ex: A (1x2) e B (2x3)
𝐴𝐴 = 2 1 𝐵𝐵 = 3 4 0
2 0 1
A dimensão da matriz resultante de AB será 1x3
𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝑐𝑐11 𝑐𝑐12 𝑐𝑐13
Multiplicação de Matrizes
Multiplica-se cada linha de A por cada coluna de B
DADO: 𝐴𝐴 = 2 1 𝐵𝐵 = 3 4 0
2 0 1 𝐶𝐶 = 𝑐𝑐11 𝑐𝑐12 𝑐𝑐13
𝑐𝑐11 = 2.3 + 1.2 = 8
𝑐𝑐12 = 2.4 + 1.0 = 8
𝑐𝑐13 = 2.0 + 1.1 = 1
𝐶𝐶 = 8 8 1
Exemplo
 Uma indústria produz dois tipos de produtos, A e B. Para a produção desses produtos, a 
indústria utiliza três tipos de matéria-prima, X, Y, Z. Assim:
 Podemos representar essa tabela através da matriz A:
 Quero produzir 150 Cadeiras e 130 mesas: 
 Quanto de cada material eu preciso?
Produtos
A (Cadeira) B(mesa)
Material
X(Prego) 7 5
Y(Espuma) 6 3
Z(Taxinha) 5 4
Exemplo continuação
 Pensando da forma tradicional
 Equivale a fazer com matrizes
Exercício
Exercício
Exercício
Propriedades
 A . (BC) = (AB) . C
 A . (B + C) = AB + AC
 (B + C) . A = BA + CA
Matriz Identidade
Exemplo: Calcule IA
𝐼𝐼 = 1 0
0 1 𝐴𝐴 = 1 2 3
2 0 3
Resultado:
𝐼𝐼𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 = 1 2 3
2 0 3
Matriz Nula
É uma matriz quadrada com vários números 0 em todas suas 
posições e não precisa ser quadrada
0 = 0 0
0 0
0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Importância: ao multiplicarmos uma matriz por uma matriz nula, teremos 
uma matriz nula como resposta 
Matriz Inversa
 Introdução:
 um número real x, sabemos que seu inverso é 
1
𝑥𝑥
e que o produto 𝑥𝑥 1
𝑥𝑥
= 1
 dada uma matriz A de ordem n, é possível encontrar uma matriz B, também de ordem n, cujo 
produto AB = In (matriz identidade)? Se essa matriz B existir, a chamaremos de inversa de A 
e a indicaremos por A-1.
Matriz Inversa
 Determine, se possível, a matriz inversa de:
Exemplo 1
 Ache a matriz inversa de:
 Impossível achar a e b, portanto A não tem inversa
Matriz Inversa
 Só é possível calcular a Inversa, se a matriz é QUADRADA 
 Mas nem toda matriz quadrada tem inversa (condição necessária e não suficiente)
 Se possui inversa: matriz não-singular
 Se não possui: matriz singular
 Portanto, primeiro desafio: testar a não singularidade da matriz
Matriz Inversa
 Uma vez que a matriz é quadrada (condição necessária), precisamos saber se suas colunas 
(ou linhas) são independentes (condição suficiente)
 Podemos testar a não-singularidade de uma matriz utilizando-se de determinantes
Cofatores
Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, 
sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:
Considere que A seja uma matriz quadrada qualquer:
O cofator do elemento aij desta matriz A é obtido da seguinte forma:
O valor Aij é justamente o cofator do elemento aij da matriz A, enquanto que Dij será o 
determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz A 
os elementos da linha i e da coluna j
Exemplo
Determine os cofatores dos elementos a11, a22, a33 da matriz A.
 Cofator do elemento a1,1, elimina-se a linha e a coluna
 Cofator do elemento a2,2
 Cofator do elemento a3,3
Matriz de Cofatores
 Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por C a matriz formada por todos os 
cofatores de uma matriz original A.
 Seja A a matriz original dada a seguir:
 A matriz C, dos cofatores pode ser escrita como segue:
 Calculando os cofatores, obtemos:
 Portanto:
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/08/cofatores12.jpg
Determinante
Em uma matriz 2x2 o determinante é calculado fazendo o produto 
dos elementos da diagonal principal, e depois subtraindo do 
produto dos outros dois números
𝐴𝐴 = 10 4
8 5
Cálculo do determinante de segunda ordem (por ser uma matriz 2x2)
𝐴𝐴 = 10 4
8 5 = 10.5 − 8.4 = 18
Determinante
Em uma matriz 3x3 o determinante é calculado da seguinte forma:
𝐴𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
Cálculo do determinante de terceira ordem (por ser uma matriz 3x3)
𝐴𝐴 = 2.5.9 + 1.6.7 + 3.4.8 − 7.5.3 + 8.6.2 + 9.4.1 = −9
𝐴𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
2 1
4 5
7 8
Determinante
Em uma matriz 4x4 (ou maior) precisamos utilizar a expansão de Laplace(mas por ora, vamos continuar na matriz 3x3 só para explicitar o 
método):Vamos pegar o primeiro elemento e eliminar sua linha e sua coluna. Vamos 
achar o menor do elemento a11 (e assim para os outros elementos da linha)
𝐴𝐴 = 2 5.9 − 8.6 − 1 4.9 − 7.6 + 3(4.8 − 5.7) = −9
𝑀𝑀11 = 5 6
8 9𝐴𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
𝑀𝑀12 = 4 6
7 9 𝑀𝑀13 = 4 5
7 8
Cofator: será o sinal de Mij. Quando i+j é par o sinal de Mij será mantido, se a soma 
for ímpar, o sinal deverá ser invertido. No nosso caso, multiplicaremos cada menor 
pelo seu respectivo aij, e aplicaremos a regra de sinal de cofator. 
Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
𝐴𝐴 = −7 1.5 − 6.4 − 0 9.5 − 0.4 + 3(9.6 − 0.1) = 295
𝑀𝑀11 = 1 4
6 5
𝐴𝐴 =
−7 0 3
9 1 4
0 6 5
𝑀𝑀12 = 9 4
0 5 𝑀𝑀13 = 9 1
0 6
Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
𝐴𝐴 = 3 −75 − 4 −60 + 1 0 − 2 50 = −85
𝑀𝑀11 =
0 1 3
0 4 −3
5 1 0
𝑀𝑀12 =
−2 1 3
2 4 −3
4 1 0
𝑀𝑀13 =
−2 0 3
2 0 −3
4 5 0












−
−
=
0154
3402
3102
2143
A
𝑀𝑀14 =
−2 0 1
2 0 4
4 5 1
Voltando à Matriz Inversa
 Uma vez que a matriz é quadrada (condição necessária), precisamos saber se suas colunas 
(ou linhas) são independentes (condição suficiente)
 Podemos testar a não-singularidade de uma matriz utilizando-se de determinantes: se 𝐴𝐴 ≠
0
 Matriz é não-singular e sua inversa existe
Matriz Inversa
Vamos achar a inversa da seguinte matriz 𝐴𝐴 = 3 2
1 0
Já que 𝐴𝐴 ≠ 0 (ou seja 𝐴𝐴 = −2), isso significa que a inversa 𝐴𝐴−1 existe.
O próximo passo é criar uma matriz de cofatores C (escolhendo cada 
elemento aij, eliminando sua linha e coluna respectiva, e achando o 
determinante do restante dos elementos (e fazendo a regra do sinal). Como 
essa matriz é 2x2, o processo se torna mais fácil.
𝐶𝐶 = 0 −1
−2 3
Matriz Inversa
O próximo passo é TRANSPOR a matriz de cofatores, 
que denominaremos de Matriz Adjunta de A
Logo, transpondo C, temos:
Assim, a INVERSA de A será dada por:
𝐶𝐶 = 0 −1
−2 3
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 0 −2
−1 3
𝐴𝐴−1 =
1
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 =
1
−2
0 −2
−1 3 = 0 1
1/2 −3/2
Uma questão interessante...
Temos as duas matrizes 𝐴𝐴−1 = 0 1
1/2 −3/2𝐴𝐴 = 3 2
1 0
Multiplique as duas matrizes: 𝐴𝐴.𝐴𝐴−1
3.0 + (2.
1
2
) 3.1 + (2.−
3
2
)
1.0 + (0.
1
2
) 1.1 + (0.−
3
2
)
= 1 0
0 1 = 𝐼𝐼
Na álgebra com números, um número dividido por ele mesmo dá 1: a/a = 1
Que em outra notação ficaria a.a-1 = 1 
Em álgebra matricial, não é possível dividir matrizes. 
Mas se der para fazer uma analogia vemos que A.A-1 = I
Ou seja, a multiplicação de uma matriz por sua inversa dá uma coluna 
principal de 1 
Calcular a inversa de:
Calculando o determinante: 
𝐴𝐴 = 99𝐴𝐴 =
4 1 −1
0 3 2
3 0 7
Matriz de cofatores
𝐶𝐶 =
3 2
0 7 − 0 2
3 7
0 3
3 0
− 1 −1
0 7
4 −1
3 7 − 4 1
3 0
1 −1
3 2 − 4 −1
0 2
4 1
0 3
𝐶𝐶 =
21 6 −9
−7 31 3
5 −8 12
𝐴𝐴−1 =
1
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 =
1
99
21 −7 5
6 31 −8
−9 3 12
Calcular a inversa de:
Calculando o determinante: 
𝐴𝐴 = 1
𝐴𝐴 =
1 2 3
0 1 4
5 6 0
𝐶𝐶 =
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
𝐴𝐴−1 =
1
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 =
1
1
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
	Número do slide 1
	Matrizes
	Definição de matriz
	Número do slide 4
	Definição de Matriz
	Representação
	Matrizes especiais
	Diagonal
	Matrizes especiais
	Matrizes especiais
	Matriz transposta
	Número do slide 12
	Igualdade de matrizes
	Exemplo
	Soma e subtração
	Soma e subtração
	Multiplicação Escalar
	Multiplicação de Matrizes
	Multiplicação de Matrizes
	Exemplo
	Exemplo continuação
	Exercício
	Exercício
	Exercício
	Propriedades
	Matriz Identidade
	Matriz Nula
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Exemplo 1
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Cofatores
	Exemplo
	Número do slide 37
	Matriz de Cofatores
	Determinante
	Determinante
	Determinante
	Determinante
	Determinante
	Voltando à Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Matriz Inversa
	Uma questão interessante...
	Número do slide 48
	Número do slide 49