Variáveis Aleatórias Unidimensionais

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Variáveis aleatórias unidimensionais
Neste conteúdo, apresentaremos o conceito de variáveis aleatórias unidimensionais, além de funções de
probabilidade e distribuição acumulada, propriedades de variáveis aleatórias e momentos estatísticos e
suas propriedades.
Profa. Maria Eduarda Barroso Perpétuo de Souza
1. Itens iniciais
Propósito
O conhecimento amplo sobre as variáveis aleatórias unidimensionais para a aplicação de suas propriedades
em diferentes tipos de problemas é indispensável aos profissionais de ciências exatas. 
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de ter papel e lápis por perto para anotar os exemplos e as
demonstrações.
Objetivos
Identificar as variáveis aleatórias e suas propriedades.
 
Identificar os principais momentos estatísticos.
Introdução
Quando descrevemos o espaço amostral de um experimento, muitas vezes, os resultados individuais não são
numéricos. Por exemplo, ao jogar uma moeda, o resultado pode ser cara ou coroa. Ao coletar informações
sobre o clima, podemos registrar se choveu ou não.
Em experimentos é comum querermos medir algo e registrar o valor como um número. Algumas vezes, esse
registro quantitativo é intuitivo, em outras, precisamos pensar em como fazer essa quantificação. Nos
exemplos citados, podemos registrar o índice pluviométrico em determinada região, ou atribuir o número 1 se
o resultado for cara e 0 se for coroa. Ou seja, podemos atribuir números a cada um dos resultados possíveis.
Veremos como fazer isso por meio de um conceito fundamental em probabilidade e estatística: variável
aleatória. A partir da definição de variável aleatória, vamos estudar as funções de probabilidade e distribuição
acumulada e seus cálculos. Usaremos, ao longo do conteúdo, conceitos de probabilidade e matemática
básica. Vamos lá!
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1. Variável aleatória
Introdução a variáveis aleatórias
Definição
Uma variável aleatória (v.a) é uma forma de associar números a resultados de um experimento. Pense nela
como uma função que atribui um valor numérico a cada possível resultado. Por exemplo, ao jogar um dado,
nós usamos uma variável aleatória para representar seus lados com os números de 1 a 6.
De maneira formal, uma variável aleatória é uma função real definida da seguinte maneira:
ω é um ponto que pertence a S, o espaço amostral de um experimento. A variável aleatória X associa a cada
ponto ω em S um número real x = X(ω).
Assim, em um experimento aleatório com o espaço amostral S, podemos pensar na variável aleatória como
uma regra que associa a cada elemento de S um número real. 
Não se assuste com o linguajar matemático! Com um exemplo fica mais fácil compreender os conceitos
apresentados. Veja!
Exemplo
Vamos imaginar o experimento em que duas moedas são jogadas em sequência. Quais são os possíveis
resultados ω desse experimento?
A primeira moeda resulta em cara e a segunda moeda resulta em cara.
A primeira moeda resulta em cara e a segunda moeda resulta em coroa.
A primeira moeda resulta em coroa e a segunda moeda resulta em cara.
A primeira moeda resulta em coroa e a segunda moeda resulta em coroa.
Então, qual será o espaço amostral S desse experimento?
Ora, S será o conjunto formado por todos os possíveis resultados ω desse experimento.
Vamos aprofundar essa explicação!
S={[cara,cara],[cara,coroa],[coroa,cara],[coroa,coroa]}
Uma variável aleatória (representada por um X maiúsculo) é uma regra que atribui um número real
(representado por um x minúsculo) a cada um dos resultados desse experimento.
Como uma das possíveis variáveis aleatórias para esse experimento, temos a contagem de quantas moedas
resultaram em cara. Portanto, para essa variável aleatória X, teremos:
X (cara, cara)=2, X (cara, coroa)=1, X (coroa, cara)=1 e X (coroa, coroa)=0.
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Variáveis aleatórias discretas e contínuas
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as contínuas.
Uma função X definida no espaço amostral e que pode assumir uma quantidade contável de valores é
intitulada variável aleatória discreta.
Quantidade contável de valores
Em outras palavras, podemos contar um a um quais são os valores que uma variável aleatória discreta
pode assumir. Isso não impossibilita que a variável aleatória discreta possa assumir infinitos possíveis
valores, pois é possível contar até o infinito de um em um, basta ficar contando para sempre. 
Exemplo
O número de caras observadas após cinco lançamentos de uma moeda, o número de crianças em uma
região e o número de vezes que uma ação subiu de preço em um dia. 
Por outro lado, uma função X definida sobre o espaço amostral e assumindo valores em um intervalo de
números reais, é uma variável aleatória contínua.
Exemplo
A temperatura média durante o dia e o preço de uma ação. 
Como o estudo mais aprofundado de variáveis aleatórias contínuas exige o uso de ferramentas como limite,
derivada e integral (aprendidas em cursos de cálculo), neste conteúdo direcionaremos nossos estudos para as
variáveis aleatórias discretas.
Função de probabilidade P(X=x)
Associa a cada valor possível x de uma variável aleatória discreta X a sua probabilidade. Formalmente,
chamamos de função de probabilidade da v.a. discreta X, que assume os valores x1,x2,...,xn,...., a função
{(xi,p(xi),i=1,2,...}, que a cada valor de Xi associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é:
Novamente, não precisa se assustar com a notação matemática. Vamos voltar para o nosso exemplo para
compreender os conceitos apresentados.
Voltando ao caso em que jogamos duas moedas em sequência e contamos o número de caras. Se chamarmos
os possíveis valores que essa v.a. pode assumir - 0, 1 e 2 - respectivamente de x1, x2 e x3, podemos escrever
a probabilidade de ambas as moedas terem resultado em coroa de diversas formas equivalentes. Veja!
E para cada um dos possíveis valores que essa v.a. aleatória pode assumir, teremos a seguinte probabilidade
de ocorrência associada: 
Se alguma dessas propriedades não for atendida, não podemos dizer que temos uma função de
probabilidade!
Variáveis aleatórias
Confira neste vídeo a definição de variáveis aleatórias e seus diferentes tipos, e explore a função de
probabilidade e suas características.
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Função de distribuição acumulada
Descreve como as probabilidades estão relacionadas aos valores de uma variável aleatória. A função de
distribuição acumulada representa a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um valor
específico. 
A função de distribuição acumulada F(x) associa, a cada valor x∈R, a probabilidade de que X seja menor ou
igual a x, ou seja, P(X≤x).
 
Retomando ao caso em que jogamos duas moedas em sequência e contamos o número de caras, você
saberia dizer a função de distribuição acumulada dessa v.a.? É simples, veja!
Dito de outra forma, a função de distribuição acumulada vai assumir o valor 0 quando x for menor do que 0,
vai assumir o valor 0,25 quando x for maior ou igual a 0 e menor do que 1, vai assumir o valor 0,75 quando x
for maior ou igual a 1 e menor do que 2, e vai assumir o valor 1 quando x for maior ou igual a 2.
A função de distribuição acumulada possui as seguintes propriedades:
 
(1) 
(2) 
(3) é contínua à direita
Vamos interpretar cada uma dessas propriedades. A primeira propriedade nos diz que a função de distribuição
acumulada vai se aproximando de zero quando x é muito pequeno. Isso é intuitivo: qual é a probabilidade de
que a variável aleatória tenha um valor menor que x, se x já é muito pequeno? Essa probabilidade deve ser
baixa: no limite, quando x tende a menos infinito, deve ser igual a zero. Da mesma forma, é provável que a
variável aleatória tenha um valor menor que x se x é grande: no limite, quando x tende a infinito, essa
probabilidade é igual a 1.
O que significa dizer que a variável aleatória discreta é “contínua à direita”?
Vamos avaliar o que acontece quando aumentamos o valor de x. Há duas possibilidades: ou passamos apenas
porvalores para os quais a função de probabilidade assume valor zero (e, portanto, a função de distribuição
se mantém constante), ou chegamos a um primeiro valor em que a função de probabilidade assume um valor
estritamente positivo (e, portanto, a função de distribuição aumenta subitamente, “dá um salto”, e depois se
mantém novamente constante até chegarmos a outro ponto em que a função de probabilidade assume um
valor maior que zero).
Nos pontos em que a função dá um salto, ela é descontínua, mas como depois do salto ela fica constante, ela
é contínua à direita (porque uma função constante é contínua).
Agora, vamos conceituar os termos contínua à direita e contínua!
Contínua à direita
Uma função é assim denominada em um ponto
se, ao nos aproximarmos desse ponto vindo da
direita (valores maiores), a função variar
suavemente sem saltos. Imagine-se
aproximando de um ponto em uma linha
desenhada no papel vindo apenas da direita e a
linha não apresentar quebras nesse ponto.
Contínua
Uma função assim denominada é aquela em
que pequenas mudanças na entrada resultam
em pequenas mudanças na saída, sem saltos
ou quebras. Imagine por exemplo uma linha
desenhada no papel sem levantar o lápis. Essa
linha representa uma função contínua.
Função de distribuição acumulada
Neste vídeo, explicamos a função de distribuição acumulada, suas propriedades e como ela descreve a
probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a determinado valor. Acompanhe!
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Distribuição da função de uma variável aleatória
Podemos definir o conceito de eventos equivalentes como dois eventos que sempre ocorrem juntos.
Exemplo
Sejam A e B eventos equivalentes: Quando A ocorre, B ocorre, assim como quando B ocorre, A ocorre.
Assim, dois eventos são considerados equivalentes se, e somente se, ocorrerem conjuntamente. 
Suponha que temos uma variável aleatória discreta X. Agora, se aplicarmos uma função H a esses valores,
vamos chamar o resultado de Y, ou seja, Y = H(X). Então, esse Y também é uma variável aleatória.
 
Seja RX o conjunto de todos os possíveis valores que X pode assumir, e de RY o conjunto de todos os possíveis
valores que Y pode assumir.
 
Pela definição de evento equivalente, podemos entender que a probabilidade de um evento A associado aos
possíveis resultados de Y é definida como a probabilidade do evento correspondente em termos de X. Em
outras palavras, se soubermos a probabilidade dos resultados de X e pudermos determinar quais resultados
de X correspondem a A, então podemos calcular a probabilidade de A em termos de Y.
 
Seja X uma variável aleatória discreta e Y = H(X). Então, Y é uma função da variável aleatória discreta X, e,
portanto, segue uma distribuição discreta. Podemos enumerar os possíveis valores assumidos por X como x1,
x2, x3,..., xn e por Y como y1, y2, y3..., yn.
 
Sendo x1, x2, x3,..., xn os valores possíveis de X, temos que p(xi)=P(X = xi). Seja H uma função tal que cada
valor de y corresponde exatamente a um valor de x. Obtemos a distribuição de probabilidade de Y da seguinte
maneira:
Valores possíveis de Y
yi = H(xi), i = 1,2,3,...,n
Probabilidades de Y
q(yi)=P(Y=yi)=p(xi)
Para ajudar, vamos retornar ao exemplo já mencionado. Lembre-se que nesse exemplo jogamos duas moedas
em sequência e contamos o número de caras. A partir disso, definimos uma variável aleatória X que pode
assumir os valores 0, 1 e 2, chamados respectivamente de x1,x2 e x3.
 
Agora considere também a função H(x)=x+3.
 
Podemos usar a nossa v.a. X e a função H para criar uma nova variável Y=H (X).
 
Repare que a nova variável Y depende de X, que é aleatória. Portanto, Y também será uma variável aleatória.
Quais valores Y pode assumir?
Ora, Y poderá assumir os valores 3, 4 e 5, os quais chamaremos respectivamente de y1, y2 e y3 . Além disso,
como essa é uma quantidade contável de valores que Y pode assumir, sabemos que Y é uma v.a. discreta.
Como fazemos para saber qual probabilidade a v.a. Y associa a um evento como A=[5] ? Basta reparar que o
evento do valor 5 só ocorre se H(x)=5, o que por sua vez somente ocorrerá se X=2. Como sabemos que X(
cara, cara )=2, então temos equivalência entre os eventos A= [5] e ω=[ cara, cara]. Como P(X=2)=0,25,
sabemos que P(Y=5)=0,25. Ou seja, para obtermos a probabilidade do evento, encontramos os eventos
equivalentes em termos de X e somamos todas as probabilidades correspondentes.
 
E se mudarmos nossa função de v.a. H(X) para H(x)=x2−3x+2, como fazemos para encontrar P(Y=0)?
 
Repare que agora passamos a ter dois valores x para os quais H(x)=0, sendo eles x=1 e x=2.
 
É simples, basta somarmos as probabilidades de ocorrência de ambos os valores. Em outras palavras:
Distribuição da função de uma variável aleatória
Neste vídeo, exploramos como definir e calcular a distribuição da função de uma variável aleatória,
considerando eventos equivalentes e como a probabilidade é distribuída nos casos de variáveis aleatórias
discretas e contínuas. Acompanhe!
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Mão na massa
Questão 1
Quais das alternativas a seguir apresenta, respectivamente, uma variável aleatória discreta e uma variável
aleatória contínua?
A O número de páginas em um livro, a altura de estudantes em uma turma.
B A temperatura medida em graus Celsius, o tempo gasto para completar uma corrida.
C A quantidade de chuva em milímetros em um dia específico, a velocidade do vento em quilômetros por
hora.
D O número de irmãos de uma pessoa, o número de gols marcados em uma partida de futebol.
E A quantidade de açúcar em gramas em uma xícara de café, o peso de um saco de batatas.
A alternativa A está correta.
O número de páginas em um livro é uma variável aleatória discreta, porque pode ser contada (inteiros
positivos). A altura de estudantes em uma turma é uma variável aleatória contínua, porque pode assumir
qualquer valor em um intervalo contínuo (por exemplo, 150,3 cm, 160,7 cm etc.).
A temperatura em graus Celsius pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo, assim como o
tempo gasto para completar uma corrida, que também é medido em um intervalo contínuo (segundos,
frações de segundos etc.).
A quantidade de chuva pode ser medida em milímetros contínuos, e a velocidade do vento também pode
assumir qualquer valor em um intervalo contínuo.
O número de irmãos de uma pessoa e o número de gols marcados em uma partida de futebol são contáveis
e assumem valores inteiros (0, 1, 2, 3 etc.).
A quantidade de açúcar em gramas e o peso de um saco de batatas podem assumir qualquer valor em um
intervalo contínuo (por exemplo, 10,5 gramas, 2,3 kg etc.).
Questão 2
Mariana, após estudar conceitos básicos de probabilidade, decidiu realizar o seguinte experimento: lançar três
moedas e observar o número de caras. Seja X o número de caras observadas, qual é a probabilidade de
Mariana obter 3 caras
A 1/4
B 1/2
C 3/8
D 5/8
E 1/8
A alternativa E está correta.
Para obtermos a probabilidade de Mariana obter 3 caras, vamos usar a distribuição de probabilidade de X,
a variável aleatória que representa o número observado de caras. Essa variável aleatória pode assumir
qualquer valor no conjunto {0,1,2,3}. Para obtermos X=3, devemos ter 3 caras. Cada uma tem probabilidade
igual a 1/2 e os lançamentos são independentes. Portanto, P(X=3)=(1/2)3=1/8. A distribuição completa de X
é:
Distribuição de probabilidade de X.
Questão 3
Considere uma variável aleatória discreta Y com a seguinte função de probabilidade:
Sabendo que Y é uma variável aleatória discreta, determine o valor de p e qual é a probabilidade de Y ser um
número positivo.
A P = 0,2 e a probabilidade de Y ser um número positivo é 0,3.
B P= 0,1 e a probabilidade de Y ser um número positivo é 0,3.
C P= 0,1 e a probabilidade de Y ser um número positivo é 0,4.
D P= 0,1 e a probabilidade de Y ser um número positivo é 0,3.
E P= 0,2 e a probabilidade de Y ser um número positivo é 0,5.
A alternativaC está correta.
Primeiro vamos calcular o valor de p. Sabendo que a soma das probabilidades deve ser igual a 1, temos:
Agora vamos calcular a probabilidade de ser um número positivo:
Portanto, a alternativa correta é a C.
Questão 4
Considere uma variável aleatória discreta Y com a seguinte função de probabilidade:
 
 
Sendo F(y) a função de distribuição acumulada (FDA) de Y, qual das alternativas a seguir não apresenta um
valor correto de F(y)?
A
se 
B
se 
C
se 
D
se 
E
se 
A alternativa C está correta.
A alternativa incorreta é a letra C.
Para encontrarmos a função distribuição acumulada , somamos as probabilidades até o valor y:
Questão 5
Considere uma variável aleatória discreta X que pode assumir os valores 0, 1 e 2 com as seguintes
probabilidades:
 
 
Defina a função , na qual é a variável aleatória resultante da aplicação dessa função linear aos
valores de X. Qual é a distribuição de probabilidades de , ou seja, quais são os valores e as probabilidades
associadas a ?
A
B
C
D
E
Para Para Para 
 Para 1 
 Para 
A alternativa D está correta.
Para determinar a distribuição de probabilidades de $Y=2 X$, aplicamos a função linear aos valores
possíveis de X e encontramos a distribuição de Y através dos eventos equivalentes:
Questão 6
Seja X uma variável aleatória contínua, tal que f(x) =1 e 0aleatória.
A variância é o valor esperado do quadrado do desvio em relação à média, ou seja: 
 também pode ser escrito como .
Ou seja, primeiro calculamos a esperança, e depois elevamos ao quadrado. Para calcular , é o
contrário: primeiro elevamos a variável aleatória ao quadrado e depois calculamos a esperança.
A partir das propriedades do valor esperado, vamos chegar juntos a este resultado: 
A variância possui algumas propriedades importantes. A demonstração de cada uma delas é semelhante às da
propriedade da esperança: basta partir da definição. Vejamos algumas situações!
Seja C uma constante V(C)=0
Para demonstrar esse resultado, basta lembrar que a esperança da constante é a própria constante. A
variância se torna:
Seja C uma constante então V(CX)=C2 V(X)
Vamos partir da seguinte forma de escrever a variância que vimos antes: 
Na igualdade marcada em vermelho, usamos o fato de que a esperança é um operador linear para reescrever
o primeiro termo. Na igualdade marcada em verde, notamos apenas que o que aparece entre colchetes do
lado esquerdo é exatamente a expressão para a variância de .
Seja B uma constante então V(X+B)=V(X)
Para obter esse resultado, vamos partir novamente da definição de variância:
Na igualdade em azul, usamos novamente o fato de que a esperança é um operador linear. 
Comentário
Observe como essa propriedade é importante, ela já apareceu várias vezes nas nossas demonstrações! 
Outra medida de dispersão bastante utilizada é o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da variância: 
A variância nos dá uma ideia de quão distantes os valores estão da média, mas ela é expressa em unidades ao
quadrado. Para torná-la mais compreensível e na mesma escala dos dados originais, tiramos a raiz quadrada,
o que nos dá o desvio-padrão. Isso nos dá uma medida da dispersão dos dados em relação à média, em
unidades de medida originais. Então, o desvio-padrão é como uma versão mais fácil de entender da variância,
que nos ajuda a entender melhor a dispersão dos dados.
Variância
Acompanhe neste vídeo o conceito de variância e suas propriedades, e entenda como ela mede a dispersão
dos valores de uma variável aleatória em relação ao seu valor esperado. Aprenda também a calcular a
variância e o desvio-padrão para melhor interpretar a variabilidade dos dados.
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Mão na massa
Questão 1
Considere uma variável aleatória discreta X que pode assumir os valores inteiros de 1 a 5, com as seguintes
probabilidades:
 
P(X=1)=0,1 
P(X=2)=0,2
P(X=3)=0,4 
P(X=4)=0,2
P(X=5)=0,1
 
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A A média de X é 3,5, a mediana é 3, e a moda é 2.
B A média de X é 3, a mediana é 3, e a moda é 3.
C A média de X é 3, a mediana é 3,5, e a moda é 3.
D A média de X é 3, a mediana é 3, e a moda é 4.
E A média de X é 3, a mediana é 2, e a moda é 3.
A alternativa B está correta.
Calculando a média de X, encontramos:
A mediana é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Como e 
, sabemos que a mediana é 3 , pois é o primeiro a exceder 0,5 .
A moda é o valor de maior probabilidade. é a maior probabilidade.
Questão 2
Considere uma variável aleatória discreta X com determinada distribuição de probabilidade.
 
Com base nas propriedades de média, moda e mediana, identifique a alternativa correta.
A A média é a soma ponderada dos valores de X com probabilidades iguais.
B A mediana é o valor que divide a distribuição de X em duas partes, uma parte com probabilidade maior
e outra com probabilidade menor.
C A moda é o valor de X com a maior probabilidade.
D A mediana sempre será diferente à média em uma distribuição simétrica.
E A média sempre será um dos valores que X pode assumir.
A alternativa C está correta.
A média de uma variável aleatória discreta é calculada como , na qual são
os valores de são as probabilidades associadas.
A mediana é o valor que divide a distribuição de X em duas partes com de probabilidade acumulada
em cada parte.
A moda é o valor de que ocorre com a maior probabilidade. Em uma distribuição simétrica, a mediana é
igual à média.
A média de uma variável aleatória discreta não necessariamente precisa ser um valor que pode assumir.
Questão 3
Considere uma variável aleatória X que pode assumir os valores 1 e 0 (zero), cada um com probabilidade 0.5.
Calcule a média e a variância de X.
A E(X)=0.5, V(X)=0.25
B E(X)=0.25, V(X)=0.25
C E(X)=0.25, V(X)=0.5
D E(X)=0.5, V(X)=0.5
E E(X)=0, V(X)=0.25
A alternativa A está correta.
A alternativa correta é "A".
Logo:
Questão 4
Considere uma variável aleatória X que assume o valor a com probabilidade p e o valor b com probabilidade
(1-p). Calcule a variância de X em função de a, b e p.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Observe inicialmente que . Logo:
Além disso:
Temos, então:
Questão 5
Qual é a média e a variância de um dado justo de 6 faces?
A A média é igual a 3 e a variância é igual a 9.
B A média é igual a 3 e a variância é igual a aproximadamente 6,17.
C A média é igual a 3,5 e a variância é igual a 12,25.
D A média é igual a 3,5 e a variância é igual a aproximadamente 2,92.
E A média é igual a 4 e a variância é igual a 16.
A alternativa D está correta.
Seja X a variável aleatória referente ao jogar do dado. Vamos primeiro calcular a média.
Para calcular a variância, vamos primeiro calcular .
Agora, vamos calcular a variância usando a fórmula .
Questão 6
Considere uma variável aleatória qualquer. Agora, assinale a alternativa correta.
A A esperança do quadrado é maior ou igual ao quadrado da esperança.
B Se o quadrado da esperança for maior que a esperança do quadrado, a variância é negativa.
C Se a variável aleatória for constante, a esperança do quadrado é maior que o quadrado da esperança.
D Se duas variáveis aleatórias têm a mesma média, elas devem ter o mesmo desvio-padrão.
E Quanto maior é a variância, menor é o desvio-padrão.
A alternativa A está correta.
A diferença entre a esperança do quadrado e o quadrado da esperança é simplesmente a variância, que é
não negativa porque é a esperança de um valor elevado ao quadrado (e o quadrado de qualquer número
real é não negativo).
Teoria na prática
O lucro diário L de uma corretora (em milhões de R$) é L= 2L1+3L22, em que L1, o lucro da área industrial, é
uma variável aleatória com média 5 e variância 16, e L2, o lucro da área comercial é outra variável aleatória
com média e variância iguais a 4. L1 e L2 são independentes.
Chave de resposta
Primeiro, ela decide começar pelo valor esperado.
Pela propriedade da esperança, sabemos que . Assim:
Portanto, o lucro esperado da corretora é de 22 milhões de reais. A gerente, agora interessada no
desviopadrão, calcula a variância:
Pelas propriedades vistas sobre variância, sabemos que, sendo a uma constante, temos que 
. Assim, podemos aplicar a propriedade e obteremos:
Portanto, a variância do lucro da corretora é igual a 100 milhões de reais. Por fim, para obter o desvio-
padrão do lucro, a gerente utiliza a seguinte fórmula:
Sendo, então, o desvio-padrão do lucro da corretora 10 milhões de reais.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere um produto importado cujo preço, em dólares, apresenta, ao longo de um período, média 80 e
desvio-padrão 8. Se a taxa de câmbio for de dois reais por dólar, o desvio-padrão do preço em reais é:
A R$ 8,00
B R$ 16,00
C R$ 64,00
D R$ 256,00
E R$ 10,00
A alternativa B está correta.
Seja o preço do produto em dólares.
Então:
 e .
Seja o preço do produto em reais. .
Assim,
 e
Questão 2
Considere o mesmo produto importado da atividade anterior, cujo preço em dólares apresenta, ao longo de
um período, média 80 e desvio-padrão 8. Se o preço do produto aumenta em 10 dólares, calcule a média e a
variância do preço (em dólares) após o aumento.
A Média igual a 10 e variância igual a 16.
B Média igual a 90 e variância igual a 8.
C Média igual a 80 e variância igual a 256.
D Média iguala 10 e variância igual a 64.
E Média igual a 90 e variância igual a 64.
A alternativa E está correta.
Seja Z o preço em dólares após o aumento. Então: Z=X+10.
Logo, dólares e dólares.
3. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, apresentamos um conceito fundamental da probabilidade: a variável aleatória. Vimos que as
variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Estudamos suas principais propriedades, como a
função de probabilidade e a função de distribuição acumulada.
Esses conceitos são úteis em muitas situações cotidianas. Podemos usá-los para calcular a média da
temperatura ao longo de um dia, avaliar o risco de um investimento no mercado financeiro ou entender as
notas de um estudante em uma turma. Enfim, são muitas as possibilidades!
Explore +
Neste conteúdo, demos mais um passo no estudo sobre probabilidade, aprendendo como se dá a variável
aleatória. Caso queira se aprofundar em outras aplicações, pesquise sobre crescimento econômico e
compreenda as variáveis aleatórias que mudam ao longo do tempo.
 
Além disso, você encontrará mais aplicações em diversos bons livros de estatística, como Estatística básica,
de Bussab e Morettin (2017), e Aplicações à estatística, de Meyer (1987). Você ainda poderá encontrar
diversos exercícios resolvidos em Estatística: questões comentadas dos concursos de 2006 a 2015, de
Schmidt (2015).
Referências
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
 
MEYER, P. Aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 1987.
 
SCHMIDT, C. A. J. (org.). Estatística: questões comentadas dos concursos de 2006 a 2015. 5. ed. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2015.
	Variáveis aleatórias unidimensionais
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	1. Variável aleatória
	Introdução a variáveis aleatórias
	Definição
	Exemplo
	Variáveis aleatórias discretas e contínuas
	Exemplo
	Exemplo
	Função de probabilidade P(X=x)
	Variáveis aleatórias
	Conteúdo interativo
	Função de distribuição acumulada
	Contínua à direita
	Contínua
	Função de distribuição acumulada
	Conteúdo interativo
	Distribuição da função de uma variável aleatória
	Exemplo
	Valores possíveis de Y
	Probabilidades de Y
	Distribuição da função de uma variável aleatória
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 3
	Teoria na Prática
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	2. Medidas de posição e dispersão
	Valor esperado de uma variável aleatória X
	Primeira propriedade
	Segunda propriedade
	Terceira propriedade
	Quarta propriedade
	Moda
	Mediana
	Valor esperado
	Conteúdo interativo
	Variância
	Seja C uma constante V(C)=0
	Seja C uma constante então V(CX)=C2 V(X)
	Seja B uma constante então V(X+B)=V(X)
	Comentário
	Variância
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Explore +
	Referências