Produtos Notáveis e Fatoração

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MATEMÁTICA 
COMPUTACIONAL
UNIDADE I
Produtos Notáveis, 
Fatoração e Aplicações 
do Cálculo Algébrico 
Marina Vargas R. P. Gonçalves
Matemática 
Computacional
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Apresentação
Na disciplina de Matemática Computacional, vamos percorrer uma série de tópicos 
fundamentais da matemática com foco em aplicações ou como base na área 
computacional. Inicialmente, exploraremos Produtos Notáveis, na sequência, nos 
aprofundaremos na Fatoração e no Cálculo Algébrico. Avançaremos para as funções 
do 1º e 2º grau. Em seguida, exploraremos os conceitos de Matrizes, Vetores e 
Espaços Vetoriais, também abordaremos a Trigonometria e, por fim, exploraremos 
a forma cartesiana e polar de Números Complexos e a Fórmula de Moivre, que são 
cruciais para a compreensão profunda dos desafios e aplicações em Matemática 
Computacional.
Produtos Notáveis, 
Fatoração e Aplicações do 
Cálculo Algébrico 
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Introdução
Nesta unidade de aprendizagem, exploraremos conceitos fundamentais da álgebra que 
são a base para muitas áreas da matemática, incluindo a matemática computacional. 
Começaremos com os produtos notáveis, incluindo o estudo dos quadrados da 
soma e diferença, e o produto da soma pela diferença. Em seguida, mergulharemos 
na fatoração, abordando o fator comum, agrupamento e trinômios quadrados 
perfeitos. Finalmente, aplicaremos esses conceitos ao cálculo algébrico, focando 
a simplificação de frações algébricas e a resolução de equações e sistemas de 
equações fracionárias. 
Esses tópicos são essenciais para o entendimento de conceitos mais avançados e 
têm aplicações práticas em diversas áreas do conhecimento.
Objetivos da Aprendizagem
Ao final do conteúdo, esperamos que você seja capaz de:
• Compreender e aplicar técnicas de produtos notáveis e fatoração.
• Resolver problemas práticos utilizando cálculo algébrico.
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Produtos Notáveis
Vamos discutir os tópicos de quadrados da soma e da diferença, produto da soma pela 
diferença e cubos da soma e da diferença aplicando o teor matemático necessário e 
mantendo em mente o contexto da matemática computacional.
Quadrados da Soma e da Diferença
Os quadrados da soma e da diferença são fórmulas que permitem simplificar 
expressões do tipo (a + b)² e (a – b)²
• Quadrado da soma: (a + b)²= a² + 2ab + b²
• Quadrado da diferença: (a – b)²= a² – 2ab + b²
Essas fórmulas são úteis em computação para otimizar cálculos, especialmente 
quando se trabalha com grandes conjuntos de dados.
Em Python, podemos representar os produtos notáveis de maneira muito similar ao 
modo como fazemos algebricamente. 
Python é uma linguagem de programação amplamente utilizada 
em campos científicos e educacionais. Sua sintaxe clara e legível 
torna a escrita e a compreensão de códigos muito acessível. 
Curiosidade
Vamos analisar como fica essa resolução em Python:
def quadrado_soma (a, b):
 return (a + b) ** 2
def quadrado_diferenca (a, b):
 return (a - b) ** 2
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Para pensar geometricamente, podemos imaginar os quadrados da soma e da 
diferença como áreas de quadrados. Para o quadrado da soma, podemos imaginar a 
fórmula (a + b)² = a² + 2ab + b² como um quadrado grande dividido em áreas menores 
representando os termos individuais.
Vamos analisar outra representação na sequência:
Quadrado da soma
Quadrado da Soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
a² ab 
ab b²
a 
+ 
b
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
a b
b
a 
0-1 81 2 3 4 5 6
a + b
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Fonte: elaborada pela autora (2023).
#pratodosverem: ilustração de um quadrado grande dividido em áreas menores 
representando os termos individuais. O quadrado menor, a², está em azul. Os 
retângulos, ab, estão em verde. O quadrado maior, b², está em vermelho.
Produto da soma pela diferença
O produto da soma pela diferença é uma fórmula que simplifica a multiplicação de 
duas expressões, uma sendo a soma e a outra a diferença dos mesmos termos. A 
fórmula é:
Essa fórmula é frequentemente usada em algoritmos para 
reduzir a complexidade computacional, tornando os cálculos mais eficientes. Em 
Python, teremos:
def produto_soma_diferenca(a, b):
 return (a + b) * (a – b)
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Na decomposição geométrica para a obtenção do retângulo desejado, partimos de um 
quadrado de lado a, em que retiramos um pequeno quadrado de lado b. Trabalhando 
sobre os retângulos obtidos, chegamos a um retângulo de lados e e, 
portanto, de área igual a .
Representação geométrica do produto da soma pela diferença
Fonte: © Navigatr85, Wikipedia (2011).
#pratodosverem: imagine um quadrado grande com lado de comprimento "a". 
Dentro desse quadrado, há um quadrado menor com lado de comprimento "b", 
posicionado de tal forma que um dos seus vértices toca o centro do quadrado 
maior. Agora, imagine cortar esse quadrado menor, deixando quatro retângulos 
ao redor dele, cada um com lados de comprimento "a" e "b". Ao rearranjar esses 
quatro retângulos, você pode formar um novo retângulo com lados de compri-
mento "(a + b)" e "(a - b)". A área desse retângulo é igual a (a - b)(a + b)=a² - b², 
que é a diferença dos quadrados dos lados "a" e "b”.
Cubos da Soma e da Diferença
Os cubos da soma e da diferença são fórmulas que permitem simplificar expressões 
do tipo (a + b)³ e (a – b)³.
• Cubo da soma: 
• Cubo da diferença: 
Podemos obter os resultados para ambos os casos de maneira bastante simples 
usando uma linguagem de programação de alto nível, como Python. A seguir, temos 
esse resultado.
def cubo_soma(a, b):
 return (a + b) ** 3
def cubo_diferenca(a, b):
 return (a – b) ** 3
Observe geometricamente a explicação do conceito “cubo da soma de dois termos”.
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Representação geométrica do cubo da soma
b³
a³
a²b
a²b
(a+b)³ = 
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a b
Fonte: © Drini, Wikipedia (2008).
#pratodosverem: imagine um cubo grande que representa (a+b)^3. Esse cubo é 
composto de várias partes menores. Primeiro, há um cubo menor dentro dele, 
de cor azul, representando a^3. Ao lado desse cubo azul, há três paralelepípe-
dos verdes, cada um representando a^2 b. Em outra direção, há três paralelepí-
pedos laranja, cada um representando ab^2. Finalmente, há um cubo menor 
de cor vermelha, representando b^3. Juntos, esses componentes formam o 
cubo maior, e suas cores ajudam a distinguir as diferentes partes da expressão 
(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3. A disposição dessas partes forma uma repre-
sentação tridimensional e colorida do cubo da soma de dois termos.
Essas fórmulas são importantes em simulações e modelagens, em que a eficiência 
computacional é vital.
No site Geogebra, é possível interagir com cubos e paralelepípedos 
que se encaixam para formar um cubo maior de lado (a+b). É uma 
experiência matemática envolvente, que traz o conceito à vida.
Saiba mais
Esses conceitos são fundamentais na matemática computacional, pois permitem 
simplificar e otimizar cálculos. Eles são aplicados em diversas áreas da tecnologia, 
incluindo otimização de algoritmos, processamento de dados e simulações, tornando-
os essenciais para qualquer pessoa que trabalhe com computação.
Fatoração
Vamos discutir os tópicos relacionados à fatoração, que é um conceito fundamental na 
álgebra e desempenha um papel importante na resolução de equações e simplificação 
de expressões.
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Fatoração
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: em formato ilustração, quatro pessoas fazem cálculos usan-
do um quadro negro, uma calculadora, um jogo de sudoku e outros elementos.
Fator Comum
A fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um 
número ou uma expressão como produto de fatores.
Fatores são as partes de uma multiplicação, portanto queremos identificar os fatores 
comuns, para que possamos colocá-los em evidência.
A fatoração pelo fator comum envolve identificar um termo que é um fator comum a 
todos os termos de uma expressão e, em seguida, colocá-lo em evidência. 
Por exemplo, na expressão 6x+9y, o número 3 é um fator comum que pode ser colocado 
em evidência, resultando em 3 (2x + 3y). 
Isso simplifica a expressãoe pode facilitar a manipulação em cálculos subsequentes.
Com Python, podemos usar a biblioteca SymPy para fatorar uma expressão polinomial. 
Vamos a um exemplo.
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from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
expression = 6*x + 9
common_factor = factor(expression)
print("Fator comum:", common_factor)
Esse código identifica e extrai o fator comum da expressão dada.
Lembre-se de que a ordem dos fatores não altera o produto.
Atenção
Agrupamento
A fatoração por agrupamento é uma técnica que pode ser usada quando uma 
expressão tem vários termos, e alguns deles têm fatores comuns. A ideia é rearranjar 
e agrupar os termos de modo que os fatores comuns possam ser identificados e 
colocados em evidência. 
Por exemplo, na expressão , podemos agrupar os termos para 
obter .
Essa técnica é particularmente útil quando se lida com polinômios de grau 
mais elevado.
Trinômios Quadrados Perfeitos
Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial que pode ser escrita 
como o quadrado de um binômio. Por exemplo, o trinômio x² + 2xy + y² é um trinômio 
quadrado perfeito, pois pode ser escrito como (x + y)². 
Identificar trinômios quadrados perfeitos é útil na resolução de equações quadráticas 
e na simplificação de expressões complexas.
Aplicações do Cálculo Algébrico
Depois de explorar os fundamentos da fatoração e dos produtos notáveis, vamos 
agora mergulhar nas aplicações práticas do cálculo algébrico. Essas técnicas não 
são apenas teóricas, elas têm aplicações reais e significativas em várias áreas da 
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matemática e da ciência. Uma dessas aplicações vitais é a simplificação de frações 
algébricas, um processo que nos permite reduzir expressões complexas a uma forma 
mais gerenciável. Essa habilidade é fundamental na resolução de problemas e na 
compreensão de conceitos matemáticos mais profundos. Vamos explorar isso em 
detalhes na sequência.
Simplificação de Frações Algébricas
Já estudamos diversos exemplos de expressões algébricas, mas agora vamos 
entender como realizar simplificações nessas expressões quando elas aparecem em 
forma de fração. 
Segue um passo a passo para analisarmos uma fração algébrica. Na sequência, 
analisaremos exemplos.
Para simplificar frações algébricas (Iezzi; Dolce; Murakami, 2013).
• Monômios: se os termos forem monômios, cancelamos os fatores comuns.
• Polinômios: se forem polinômios, fatoramos o numerador e/ou o denomina-
dor e, depois, cancelamos os fatores comuns.
• Fatoração: para fatorar o numerador e/ou o denominador, usamos a seguinte or-
dem.
1. Primeiramente, colocamos o(s) fator(es) comum(comuns) em evidência.
2. Depois:
a. se obtivermos um binômio, verificamos se é uma diferença de dois qua-
drados e o fatoramos;
b. se for um trinômio, verificamos se é um trinômio do quadrado perfeito e 
o fatoramos; e
c. se tiver quatro termos ou mais, verificamos se é possível realizar o agru-
pamento.
A análise do denominador de uma fração algébrica é crucial, pois seu valor numérico 
deve ser sempre diferente de zero.
Você já se perguntou o que acontece com a expressão quando ? Essa é 
uma questão importante a se considerar, já que o denominador não pode ser zero.
Além disso, é importante saber que uma fração que não pode ser simplificada é 
conhecida como irredutível. Essa é uma característica fundamental na manipulação 
de expressões fracionárias.
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A simplificação de frações algébricas pode ser realizada facilmente com a função 
simplify do SymPy.
from sympy import symbols, simplify
x = symbols(‘x’) # Definindo a variável simbólica x
expression. = (x**2 – 4)/(x – 2)
simplified_expression = simplify(expression.)
print(“Expressão simplificada:”, simplified_expression)
Esse código simplifica a fração algébrica fornecida.
A seguir, mais alguns exemplos: 
1. 
2. 
3. 
Para aprofundar ainda mais o seu entendimento sobre produtos 
notáveis de binômios, explore o bloco de atividades da Khan 
Academy dedicado a esse tópico. 
Saiba mais
Assim, a habilidade de manipular expressões algébricas, seja simplificando, fatorando 
ou aplicando outras operações, permite-nos uma aplicação versátil em vários 
contextos. Essas técnicas não são apenas fundamentais na matemática, mas também 
têm relevância em diversas áreas fora dela.
Resolução de Equações Fracionárias
Equações fracionárias são aquelas que contêm frações algébricas e sua 
resolução pode ser um pouco mais complexa do que as equações tradicionais. 
No entanto, com uma abordagem sistemática, podemos simplificar e resolver 
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essas equações eficientemente.
Identificar o denominador comum
Primeiro, encontramos o denominador comum de todas as frações na equação.
Eliminar os denominadores
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para 
eliminar os denominadores, transformando a equação fracionária em uma 
equação polinomial.
Resolver a equação polinomial
Utilizamos métodos tradicionais de resolução de equações polinomiais, como 
fatoração ou a fórmula quadrática, se necessário.
Verificar as soluções
Algumas soluções podem ser extremamente, ou seja, não são válidas na 
equação original. É importante verificar as soluções na equação original.
Seguindo essa estrutura, resolveremos um exemplo prático.
Vamos resolver a equação fracionária 
x
2
= 3
4
x
3
= + 1 .
• Identificar o denominador comum: o denominador comum é 12.
• Eliminar os denominadores: multiplicamos ambos os lados por 12: 6x – 9 = 4x 
+ 12.
• Resolver a equação polinomial: subtraímos 4x de ambos os lados e obtemos 
2x = 21, logo x = 
21
2 . 
• Verificar as soluções: substituímos x na equação original para verificar.
A habilidade de resolver equações fracionárias é essencial em muitos campos, 
incluindo a otimização de algoritmos e a modelagem de sistemas físicos.
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Resolução de Sistemas de Equações Fracionárias
A resolução de sistemas de equações fracionárias envolve encontrar as soluções que 
satisfazem simultaneamente duas ou mais equações fracionárias. É um passo além 
da resolução de equações fracionárias individuais e requer uma compreensão sólida 
de álgebra linear e métodos de resolução de sistemas.
Resolução de sistemas de equações fracionárias 
Simplificar as equações
Assim como na resolução de uma única equação fracionária, 
começamos simplificando as equações, encontrando o 
denominador comum e eliminando os denominadores.
Utilizar um método de 
resolução de sistemas 
Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou a 
regra de Cramer para resolver o sistema de equações polinomiais 
resultante.
Verificar as soluções Assim como antes, é vital verificar as soluções no sistema original 
para garantir que elas sejam válidas.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
#pratodosverem: quadro descrevendo os passos para a resolução de sistemas 
equações fracionárias.
Seguindo essa estrutura, resolveremos um exemplo prático.
Vamos resolver o sistema de equações fracionárias
• Simplificar as equações: o denominador comum é 12, então multiplicamos as 
equações por 12:
• Utilizar um método de resolução de sistemas: podemos usar o método da 
substituição. Resolvendo a segunda equação para x = 2y + 4, e substituímos 
na primeira:
 Substituímos de volta para encontrar x=7.
x
2
+ y
3
4=
x
4
 – y
2
1={
{ 6x + 4y = 48
3x – 6y = 12
{ 6 (2y + 4) + 4y = 48
y = 3/2
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• Verificar as soluções: substituímos x e y no sistema original para verificar.
Resolver sistemas de equações é uma tarefa comum em matemática. Podemos usar 
as bibliotecas SciPy ou NumPy para resolver sistemas de equações de forma eficiente
.
from scipy.linalg import solve
A = [[6, 4], [3, -6]]
b = [48, 12]
solution = solve(A, b)
print("Solução do sistema:", solution)
Esse código resolve o sistema de equações linear fornecido.
Para colocar em prática os códigos sugeridos, utilize o Google 
Colab. É uma plataforma gratuita que permite escrever e executar 
código Python diretamente no seu navegador. 
Saiba mais
https://colab.research.google.com/?utm_source=scs-indexhttps://colab.research.google.com/?utm_source=scs-index
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Conclusão
Ao concluir esta unidade de Matemática Computacional, você adquiriu 
habilidades essenciais que formam a base para muitos campos da ciência da 
computação e tecnologia. 
Os produtos notáveis, que exploramos, fornecem uma compreensão profunda de 
como as expressões algébricas são manipuladas, sendo essencial para a otimização e 
eficiência em algoritmos. A fatoração nos ensinou métodos para decompor problemas 
complexos em partes mais simples, uma habilidade crucial na programação e análise 
de dados. Nas aplicações do cálculo algébrico, estudamos como esses conceitos 
se aplicam na resolução de problemas computacionais, incluindo a manipulação de 
equações fracionárias. Esses tópicos são fundamentais na modelagem, simulação e 
resolução de problemas em diversas áreas da tecnologia. 
Continue a explorar e a aplicar esses conceitos, pois eles são a chave para o 
desenvolvimento de soluções inovadoras e eficientes em computação.
Referências
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar. São 
Paulo: Atual, 2013. v. 1.