Interpolação Polinomial por B-Spline

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Lara Dornelas de Campos
Tatiusce Martins de Melo
Interpolação Polinomial 
por B-Spline
Rio Verde
2025
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1. INTRODUÇÃO
	A interpolação é uma técnica fundamental na matemática aplicada e na computação, usada para estimar valores entre pontos conhecidos. Entre os métodos mais eficientes para interpolação suave e precisa está a interpolação por B-Splines (Basis Splines), que utiliza funções base polinomiais definidas por partes para construir curvas suaves.
2. OBJETIVO
	Determinar um polinômio de segunda ordem para cada intervalo entre os pontos de dados.
3. DEFINIÇÃO DO MÉTODO 
	A interpolação polinomial por B-Spline é um método numérico que utiliza funções base polinomiais segmentadas, chamadas de B-Splines (Basis Splines), para construir uma curva suave que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Ao contrário da interpolação polinomial global (como a de Lagrange), a B-Spline utiliza polinômios de baixo grau definidos por partes, o que oferece maior estabilidade numérica e suavidade na curva resultante.
	Formalmente, a curva interpoladora S(x) é construída como uma combinação linear de funções base B-Spline (x):
S(x)= 
Onde:
· k é o grau da B-Spline (geralmente 3 para cúbicas),
· · Ni,k(x) são as funções base B-Spline de grau kkk,
· · ci são os coeficientes a serem determinados de modo que S(xi)=yi,
· · ti é o vetor de nós (ou knots), que define os intervalos entre os polinômios.
2.1 Características importantes:
Segmentada: A função é composta por múltiplos polinômios, cada um atuando em um intervalo específico.
Contínua e Suave: Possui continuidade de derivadas até a ordem k−1k-1k−1, garantindo transições suaves entre segmentos.
Controle Local: Alterações em um ponto de controle afetam apenas uma parte da curva.
Estável Numericamente: Evita oscilações extremas comuns em interpolação polinomial de alto grau.
Em resumo, a interpolação por B-Spline cria curvas suaves, estáveis e com controle local, o que a torna ideal para modelagem em engenharia, gráficos por computador e análise de dados.
4. B-Splines: Conceito
B- Splines (Basis Splines) são uma classe especial de splines construídas a partir de uma base polinomial de funções. Elas são definidas recursivamente e controladas por:
Grau do polinômio (k): determina a suavidade da curva.
Vetor de nós (knots): sequência crescente que define os pontos de transição entre os segmentos polinomiais.
5. Definição Matemática
4.1. Funções base de B-Spline
As funções base Ni,0(x) de grau 0 (funções degrau):
6. Propriedades das B-Splines
Suporte compacto: Cada Ni,k(x) é diferente de zero apenas em um intervalo limitado.
Suavidade: Curvas B-Spline são Ck−1 contínuas (ou seja, têm derivadas contínuas até a ordem k−1).
Controle local: Mudar um ponto de controle afeta apenas parte da curva.
Evita oscilações globais.
7. APLICAÇÕES
· Computação Gráfica: modelagem de curvas e superfícies.
· CAD/CAM: construção de peças com geometrias complexas.
· Processamento de Imagens: suavização e reconstrução.
· Análise de Dados: suavização de séries temporais.
8. EXEMPLOS SIMPLES:
Seja um conjunto de pontos (0,0),(1,2),(2,0). Podemos construir uma B-Spline cúbica (grau 3) com vetor de nós apropriado e determinar os coeficientes ci para interpolar esses pontos. Esse processo envolve a montagem de um sistema linear a partir das equações S(xi)=yi.
A principal desvantagem da spline linear é que elas não são suaves. Nos pontos dados ocorre o encotnro de duas splines (chamados de nós), e ocorre variações abruptas.  A primeira derivada da função é descontínua nos nós. Usando splines polinomiais de ordem superior garante suavidade nos nós igualando derivados nesses pontos.
9. COMPARAÇÃO COM OUTROS MÉTODOS:
	Método
	Vantagens
	Desvantagens
	Lagrange
	Simples para poucos pontos
	Oscila muito para muitos pontos
	Spline Linear
	Simples e rápido
	Não é suave
	B-Spline
	Suave, localmente controlável
	Mais complexa de implementar
10. CONCLUSÃO 
	A interpolação por B-Spline é uma ferramenta poderosa para construção de curvas suaves, oferecendo controle e precisão superior em comparação a métodos polinomiais clássicos. É amplamente usada em aplicações industriais e científicas devido à sua flexibilidade e estabilidade numérica.
11. REFERÊNCIAS
· Burden, R.L., & Faires, J.D. Análise Numérica.
· Piegl, L., & Tiller, W. The NURBS Book.
· Farin, G. Curves and Surfaces for CAGD.
· Wikipedia: B-Spline https://en.wikipedia.org/wiki/B-spline
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