Cálculo (IL10405) - AVA1 Maycom Sales

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAYCOM SALES DE CASTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo (IL10405) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Niterói 
2025 
DESENVOLVIMENTO E RESPOSTA 
Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de 
várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o 
conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do 
conhecimento. 
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da 
longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O 
tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro. 
(a) Qual o significado das derivadas parciais 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
,
𝜕𝑇
𝜕𝑦
 𝑒
𝜕𝑇
𝜕𝑡
? 
𝝏𝑻
𝝏𝒙
 – É a taxa de variação da temperatura quando longitude varia, mas a latitude e 
o tempo permanecem constantes. 
𝝏𝑻
𝝏𝒚
 – É a taxa de variação da temperatura quando a latitude varia, mas a longitude 
e o tempo permanecem constantes. 
 
𝝏𝑻
𝝏𝒕
 – É a taxa de variação da temperatura quando o tempo varia, mas a longitude e 
a latitude permanecem constantes. 
 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas 
em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a 
oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria 
fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. 
(Atenção para o fato de as longitudes serem contadas a partir do meridiano 
central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)). 
A parábola apresentada é abaixo da longitude e direcionada para cima. Portanto, 
levando em conta as coordenadas e o vento que está mais quente a oeste, dessa 
forma, concluímos que: 
Longitude fx(158,21,9) > 0 (maior que zero sendo positiva.) 
Latitude fy(158,21,9) 0 (maior que zero sendo positiva.) 
 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja 
dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧. 
(a) Qual o domínio da função V? 
Dominio é x, y, z quando z, y, z são pertencentes aos números reais . Portanto, para 
achar a função temos que derivar a função de acordo com a variável. 
D = {(x,y,z) | x, y, z } 
V (x,y,z) = (5x)² - 3xy + xyz = 10x – 3y + yz = -3x + xz = xy 
 
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor �̂�+ 𝒋 ̂+�̂�. 
Substituindo os valores (P(3,4,5)): 
= 10x – 3y +yz – (10*3) –(3*4) + (4*5) = 30 -12 + 20 = 38 
= -3x + xz = (-3*3) + (3*5) = -9 + 15 = 6~ 
= xy = 3*4 = 12 
V = i + j + k 
V= (1,1,1) 
DV(P) ( 38 , 6 , 12) * (1,1,1) 
 
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P? 
Dvf (x, y, z) = f*cos 
Cos =1 
Dvf(x,y,z) máximo = |f| * cos 
Dvf(x,y,z) máximo = |f| * 1 
Dvf(x,y,z) máximo= |f| 
Dvf(x,y,z) máximo = (38, 6, 12) 
Conclusão: A direção em que V varia mais rapidamente em P é a direção do gradiente 
no ponto P. 
 
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. 
Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de 
papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, 
logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular) 
X= base 
Y= altura 
Volume da caixa -> V=volume x²*y -> 32000= x²*y 
Y= 32000/x² 
Area da caixa -> base + altura 
A=x²+4xy 
A= x²+4x*(32000/x²) 
A= x²+128000/x 
Minimizando -> A’ (x)=0 
A(x)=2x³ - (128000/x²) 
2x³-128000 = 0 
X³ =128000/2 
X³ = 64000 
X=40 
y=32000/X² 
y=32000/40² 
y=32000/1600 
y=20 
Chegamos à conclusão de que, de acordo com os cálculos, a dimensão da caixa 
para que seja minimizada a quantidade de papelão será de 40 x 40 x 20.