Cw1 - Circuitos Elétricos Avançados

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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Nesta aula, exploraremos o que significa e como se define um sinal de corrente alternada com formato de
onda senoidal. Examinaremos alguns elementos fundamentais que descrevem tais sinais, incluindo velocidade
angular, valor de pico, período e frequência. Em seguida, abordaremos as relações de fase em circuitos
elétricos de corrente alternada (CA), que se tornam evidentes quando uma onda não inicia no valor zero no
instante t=0. Por fim, discutiremos dois conceitos essenciais: valor eficaz e valor médio. O valor eficaz é usado
para representar sinais CA de forma fasorial, denotando um valor de tensão contínua (V ) que fornece a
mesma potência que a onda alternada. Por outro lado, o valor médio de uma tensão ou corrente CA deve ser
zero. Caso contrário, existe a presença de uma componente de corrente contínua no sinal CA, o que pode ser
indesejado.
Está preparado para esta jornada de estudo e aprendizado? Então, vamos lá!
cc
Aula 1
TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS
Olá, estudante! Nesta aula, exploraremos o que significa e como se define um sinal de corrente alternada
com formato de onda senoidal.
INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM
CORRENTE ALTERNADA
 Aula 1 - Tensão e corrente alternadas
 Aula 2 - Fasores e impedância
 Aula 3 - Análise de circuitos em regime permanente senoidal I
 Aula 4 - Análise de circuitos em regime permanente senoidal II
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE SINAIS ALTERNADOS
Um sinal de corrente alternada é definido, geralmente, como um sinal que muda ao longo do tempo,
oscilando entre valores negativos e positivos em intervalos simétricos de tempo. Isso corresponde a uma
forma de onda que se replica em cada ciclo completo e pode assumir diferentes formatos, como o senoidal, o
triangular ou o quadrado (Svoboda; Dorf, 2016). Especificamente, a onda senoidal desempenha um papel
crucial na análise de sistemas elétricos, visto que essa forma de sinal é amplamente produzida nas usinas de
energia em todo o mundo, servindo como fonte de alimentação para uma variedade de dispositivos
eletrônicos, industriais e de comunicação. Em virtude disso, quando nos referimos a uma tensão ou corrente
com formato senoidal, a denominamos como tensão ou corrente alternada (CA), e os circuitos que operam
com fontes de CA são chamados de circuitos CA.
A grandeza Frequência Angular, representada por ω (ômega), é uma medida da taxa de variação angular de
uma onda senoidal. Ela está relacionada à frequência, mas é expressa em radianos por segundo (rad/s). Já o
Período (T) de uma onda senoidal é o tempo (em segundos) necessário para a onda completar um ciclo
completo, sendo o inverso da frequência. A Frequência (f), medida em hertz (Hz), indica quantos ciclos
completos da onda ocorrem por segundo, sendo representada pelo inverso do período. Por fim, o
Deslocamento Angular, representado por Φ (phi), refere-se ao ângulo pelo qual uma onda senoidal é
deslocada em relação a uma posição de referência. Um deslocamento angular diferente resulta em uma
mudança na posição relativa da onda senoidal (Castelo Branco Filho, 2017).
No que tange aos valores de pico, de pico a pico e de valor eficaz de uma onda senoidal, podemos definir que
o valor de pico ( ou ) é o valor máximo positivo que um sinal de corrente alternada atinge em um ciclo.
Em outras palavras, é a magnitude máxima positiva da onda. No caso de uma onda senoidal, o valor de pico é
igual ao valor absoluto do ponto mais alto da onda. Para uma onda perfeitamente simétrica, o valor de pico é
o mesmo tanto para os valores positivos quanto para os valores negativos da onda. Já o valor pico a pico (
ou ), representa a diferença entre o valor máximo positivo e o valor mínimo negativo alcançado por um
sinal de corrente alternada durante um ciclo completo.
No contexto de uma onda senoidal simétrica, o valor de pico a pico é duas vezes o valor de Pico, uma vez que
a onda sobe de seu valor mínimo para seu valor máximo e, depois, desce de volta ao valor mínimo em um
ciclo completo. Por último, temos o valor eficaz (RMS), frequentemente chamado de valor RMS (Root Mean
Square). Esse valor é uma medida estatística que representa a magnitude eficaz de um sinal de corrente
alternada. Ele é usado para calcular a potência real em circuitos CA. Para uma onda senoidal, o valor eficaz é
igual à magnitude que uma corrente contínua (CC) teria que ter para dissipar a mesma quantidade de energia
em uma carga resistiva que o sinal CA dissiparia (Alexander; Sadiku, 2013).
Vp Ip
Vpp
Ipp
ANÁLISE E EQUACIONAMENTO DE VARIÁVEIS DE SINAIS SENOIDAIS
No bloco anterior, aprendemos que existem diferentes tipos de sinais alternados, ou seja, senoidal, triangular
ou quadrada. A Figura 1 apresenta os tipos de ondas supracitadas. Observe!
Figura 1 - Lorem ipsum dolor sit amet
Fonte: adaptada de Svoboda e Dorf (2016).
A senoide pode ser representada em função da frequência angular e do tempo (ωt), ou simplesmente em
função do tempo (t). Uma tensão instantânea em corrente alternada, conforme é mostrada na Figura 2, é
expressa matematicamente pela Equação 1.
Figura 2 | Ilustração de uma onda senoidal: (a) em função de ωt e (b) em função de t
Fonte: Moraco, Araújo e Fernandes (2018, p. 13).
(1)
Em que:
é o valor instantâneo da tensão, que corresponde a uma amplitude da forma de onda.
é o valor da amplitude da senoide, denominada valor de pico .
é a frequência angular do sinal, representada em radianos por segundo (rad/s).
Além de considerar o valor de pico e o valor instantâneo , podemos também observar, na Figura 2(a), o
valor de pico a pico da onda, denotado como . Esse valor representa a diferença entre os picos positivos e
negativos da onda, ou seja, é a soma das amplitudes absolutas dos valores de pico positivos e negativos. Se
estamos lidando com uma senoide pura, conforme indicado na Equação 1, podemos expressar, conforme a
Equação 2, o valor pico a pico da seguinte forma:
= 2 (2)
Para compreender o significado da frequência angular do sinal, podemos observar, na Figura 2(b), que a onda
se repete regularmente a cada período T do sinal, conforme expresso na Equação 3.
v(t)  = Vmsenωt
v(t)
Vm Vp
ω
Vp v(t)
Vpp
Vpp =  Vp + |−Vp. | Vp
(3)
O período T é o intervalo de tempo que o sinal leva para percorrer um ciclo completo, indo de 0 a 2π (do início
ao fim de uma volta completa), antes de iniciar novamente o padrão de oscilação. Essa condição é ilustrada na
Figura 3. Observe!
Figura 3 | Demonstração da medida de 1 ciclo de onda senoidal
Fonte: Moraco, Araújo e Fernandes (2018, p. 14).
De uma outra forma, o período T é a quantidade de segundos necessária para completar um ciclo da onda, e
o inverso desse valor representa quantos ciclos ocorrem por segundo, ou seja, a frequência da onda (em
Hertz), como indicado na Equação 4.
(4)
Ao substituir a Equação 3 na Equação 4, obtemos uma expressão para a frequência angular (conhecida
também como velocidade angular) ω (em radianos por segundo, rad/s) em termos da frequência f (em Hz),
conforme é mostrado na Equação 5.
(5)
A Equação 5 relaciona a frequência angular e a frequência elétrica convencional da onda, sendo
utilizada também para converter radianos por segundo em hertz, e vice-versa. Interessante, não é?
Compreender esses parâmetros que caracterizam a forma da onda senoidal, como o valor de pico, de pico a
pico, frequência, frequência angular e período, é de extrema relevância. Em sistemas elétricos, por exemplo,
esses parâmetros são utilizados para avaliar a qualidade da energia gerada e fornecida aos consumidores.
Nas indústrias e no campo da eletrônica, essas medidas são empregadas como especificações técnicas
essenciais para o dimensionamento e o funcionamento adequado dos equipamentos.
APLICAÇÃO DOS CONHECIMENTOS EM SINAIS SENOIDAIS
Prezado estudante, agora, colocaremos em prática os conhecimentos e conceitos adquiridos até aqui. Mãos à
obra!
Com base na formaEducacional S.A., 2018. 264 p.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
AMGH, 2014.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. C. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
Aula 5
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
CASTELO BRANCO FILHO, J. F. Circuitos elétricos básicos: análise e projetos em regime permanente. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
HAYT, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2014.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORACO, A. G.; ARAUJO, R. A. de; FERNANDES, T. R. Circuitos elétricos II. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018. 264 p.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
AMGH, 2014.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. C. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/de onda senoidal ilustrada na Figura 4, calcule os seguintes parâmetros: frequência,
frequência angular, valor de pico, valor de pico a pico e período.
Figura 4 | Forma de onda de tensão senoidal
T = 2π
ω
f = 1
T
ω = 2πf
(ω) (f)
Fonte: adaptada de Svoboda e Dorf (2016).
Resolução:
Analisando o gráfico, notamos que o valor de pico, que corresponde ao maior valor que o sinal pode
assumir, ou seja, o valor máximo da onda, é de 12 V. Logo, temos que:
O valor do pico positivo corresponde a 12 V, que é também igual ao valor de pico negativo, ou seja,
. Desta forma, a partir deste valor, podemos calcular o valor de pico a pico:
Agora, analisaremos a curva em função do tempo para obter o valor do período. Analisando a Figura 4,
observe que existem dois ciclos da onda representados, e um ciclo demora um tempo de 200 ms (ou 0,2 s)
para ser concluído. Esse valor indica o período T, assim temos que: T = 0,20 s.
Em certos cenários, a forma de onda senoidal pode apresentar um valor distinto de zero no instante t = 0
segundos. Quando isso ocorre, podemos descrever a onda como tendo uma alteração na posição relativa ao
eixo vertical, que pode se manifestar indo para a esquerda (ilustrado na Figura 5(a)) ou para a direita
(conforme mostrado na Figura 5(b)).
Figura 5 | Deslocamento de fase de sinais senoidais: (a) à esquerda e (b) à direita
Fonte: adaptada de Svoboda e Dorf (2016).
Como evidenciado na Figura 5, essa mudança de posição, chamada de deslocamento de fase, ou
simplesmente fase, é expressa em termos de um ângulo ∅, que pode ser medido em radianos ou graus. A
descrição matemática da onda senoidal representada na Figura 5 é fornecida pela Equação 6 a seguir:
(6)
Isso acontece quando o sinal assume valores positivos quando a curva está inclinada para a esquerda, como
visto na Figura 5(a), e valores negativos quando a curva está inclinada para a direita, como ilustrado na Figura
5(b). Adicionalmente, a fórmula da Equação 6 representa a forma mais abrangente de uma senoide.
v(t)
Vp = 12 V
Vp =   ± 12 V
Vpp = 12 + 12 = 24 V
v(t)  = Vmsen(ωt ± ∅) 
Na Figura 6, podemos identificar duas ondas senoidais com deslocamentos de fase diferentes, sendo que
cada uma delas pode ser matematicamente descrita por meio das Equações 7 e 8, respectivamente:
(7)
(8)
Em que corresponde à defasagem entre e .
Figura 6 | Defasagem entre duas ondas
Fonte: adaptada de Castelo Branco Filho (2017).
Podemos afirmar que as formas de onda e estão deslocadas em relação uma à outra. Para ser
mais específico, é perceptível que a curva começa sua variação no tempo antes da curva ; em
outras palavras, = 0 para tO matemático suíço
Leonhard Euler contribuiu significativamente para o desenvolvimento dos números complexos, introduzindo a
famosa identidade de Euler, que relaciona números complexos com funções trigonométricas (Hayt; Kemmerly;
Durbin, 2014).
Figura 1 | Representação gráfica dos números complexos
Fonte: elaborada pelo autor.
Na análise de circuitos e sistemas elétricos, compreender as representações no domínio do tempo e da
frequência é um critério relevante para a sua modelagem. O domínio do tempo descreve o comportamento
de um sistema ao longo do tempo, permitindo observar como os sinais variam. O domínio da frequência, por
outro lado, revela os componentes de frequência presentes em um sinal. A transformada de Fourier,
desenvolvida por Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma ferramenta fundamental que nos permite traduzir os
sinais entre esses dois domínios.
Outro tema crucial em análise de circuitos elétricos avançados são os fasores. Um fasor é uma representação
vetorial de uma grandeza senoidal, incluindo sua amplitude e fase. A análise de circuitos senoidais é
simplificada usando fasores, e é onde entram as relações entre fasores. A impedância e a admitância são
conceitos-chave nesse contexto. A impedância (Z) é a oposição que um elemento de circuito oferece à
passagem de uma corrente senoidal, enquanto a admitância (Y) é o inverso da impedância, descrevendo a
facilidade com que a corrente elétrica flui em um sistema elétrico (Alexander; Sadiku, 2013).
As relações entre fasores para impedância e admitância são essenciais para determinar como os
componentes de circuito interferem os sinais senoidais. Isso inclui resistores, indutores e capacitores, cada
um com sua própria expressão de impedância ou admitância em termos de magnitude e fase. Estudar essas
relações é imprescindível para a análise e o projeto de circuitos elétricos.
Esses conhecimentos supracitados formam a base para uma compreensão sólida da teoria elétrica e são
importantes para aqueles que desejam projetar e analisar circuitos e sistemas elétricos. À medida que
prosseguimos, lembre-se de que esses conceitos estão interconectados e desempenham um papel primário
na resolução de problemas complexos.
ENTENDENDO A ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM REGIME PERMANENTE
Quando um circuito elétrico é energizado por uma fonte de corrente alternada (CA), os primeiros momentos
são dominados por uma resposta transitória que é governada pelas equações diferenciais presentes no
modelo completo do sistema. Após o término desse período transitório, as tensões e correntes no circuito
podem ser completamente descritas como funções senoidais, marcando o início do regime permanente.
Para simplificar a análise matemática de circuitos elétricos operando em regime permanente de CA, utilizamos
uma representação especial conhecida como fasor, conforme já mencionado no bloco anterior, para
descrever a função senoidal. Essa representação considera uma amplitude de pico ( ), uma frequência
angular (ω) e uma fase (∅), que são parâmetros constantes ao longo do tempo. A Equação (1) é uma
generalização das equações senoidais para tensão e corrente apresentadas na aula 1. Observe!
) (1)
Agora, imagine um vetor em rotação constante no plano complexo, com uma velocidade angular (ω) e uma
amplitude constante ( ). Esse vetor está representado dentro do círculo na Figura 2. Conforme o tempo
passa, a extremidade desse vetor cria a forma de onda senoidal descrita na Equação (1). Em um momento
específico, quando , a magnitude do vetor pode ser expressa como , e a amplitude da função
nesse momento corresponde à projeção desse vetor no eixo imaginário. Em outras palavras,
, como ilustrado na Figura 2.
Figura 2 | Vetor em rotação que resulta na formação de uma onda senoidal
Fonte: adaptada de Moraco, Araujo e Fernandes (2018).
Perceba, na Figura 1, que, à medida que o tempo avança, o vetor gira no sentido anti-horário, assumindo
diferentes ângulos de inclinação. Por exemplo, no momento de pico positivo, o vetor está posicionado em 
∠90°, o que corresponde a 90° ou π/2 radianos. Já no instante de pico negativo, o vetor está em ∠270°, o
Ap
a(t)  =  Ap sen (ωt +  ∅
Ap
t  =  τ Ap∠α
a(t) 
a(t =  τ)  =  Ap sen (α)
Ap
Ap
que é equivalente a 270° ou 3π/2 radianos. Portanto, essa representação vetorial oferece uma maneira mais
simples de descrever uma forma de onda senoidal e serve como a base para a notação fasorial em circuitos
de CA.
Essa notação envolve representar a forma de onda senoidal usando um vetor estático, cujo comprimento (ou
magnitude) é o valor eficaz da grandeza elétrica, que pode ser tensão, corrente, potência etc., representado
como . Além disso, o ângulo que o vetor forma com o eixo real em t = 0s corresponde à defasagem do
sinal, conhecido também como fase (θ), conforme descrito na Equação (2).
A utilização do valor eficaz é essencial, pois corresponde ao valor medido por instrumentos, como
multímetros, sendo amplamente utilizado na análise de circuitos de corrente alternada. A representação do
sinal senoidal, de acordo com a Equação (2) em t = 0s, está exemplificada na Figura 2 para diferentes sinais
senoidais.
(2)
Observe que a frequência angular não precisa ser explicitamente representada, uma vez que, no regime
permanente, a frequência do sinal resultante permanece constante e é a mesma para todos os componentes
do sistema. Portanto, a conversão de uma tensão senoidal (ou cossenoidal) no domínio do tempo para o
domínio da frequência é direta e uniforme para todos os elementos do circuito, conforme exemplificam as
equações (3) e (4) e é ilustrado na Figura 3.
) (domínio do tempo) (3)
(Equivalência da Equação 3 no domínio da frequência) (4)
Figura 3 | Apresentação dos fasores para distintos sinais senoidais: (a) com um ângulo de fase (θ) e (b) sem ângulo de fase
Fonte: adaptada de Moraco, Araujo e Fernandes (2018).
ANALISANDO NÚMEROS COMPLEXOS E FASORES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Ap /√2
A =
Ap
√2
 ∠θ–
V (t)  = √2 Vef sen (ωt +  ∅
V = Vef ∠θ–
A associação feita na seção anterior, demonstrada pelas equações (3) e (4), é aplicável igualmente a outras
propriedades elétricas, como corrente e potência. A partir de agora, estudaremos a teoria avançada de
números complexos e fasores. Então, vamos em frente!
É importante notar que o fasor representado pela Equação (5), que é descrito por uma magnitude e um
ângulo, é, na verdade, um número complexo expresso em coordenadas polares. No entanto, também é
possível representá-lo em coordenadas retangulares. Suponha um número complexo genérico na forma
polar, em que , em que é a magnitude (ou amplitude) e θ é o ângulo de inclinação. A
representação em coordenadas retangulares desse número complexo seria , em que é a
parte real e é a parte imaginária. A relação entre as formas polar e retangular pode ser visualizada na Figura
3, e as equações que relacionam r, θ, x e y são dadas nas equações (5) e (6).
(5)
(6) 
Já no que tange às operações com números complexos, é importante mencionar que são fundamentais em
diversas áreas da matemática e engenharia, especialmente quando lidamos com fenômenos que envolvem
componentes elétricos, ondas e oscilações. Esses números podem ser representados de duas formas
principais: na forma polar e na forma retangular. N Quadro 1, podemos explorar como realizar essas
operações. Vamos conferir?
Quadro 1 | Operações de conversões de números complexos retangular e polar
Adição e Subtração Multiplicação Divisão
Na forma
retangular
Basta somar ou subtrair
suas partes reais e partes
imaginárias separadamente.
Por exemplo, se você quiser
somar z = 3 + 2j e z = 1 -
4j, a soma seria: z + z = (3
+ 1) + (2 - 4)j = 4 - 2j.
Aplique a distributiva e
lembre-se de que i² = -1. Por
exemplo, para multiplicar z =
3 + 2j e z = 1 - 4j, faça: z * z
= (3 + 2j)(1 - 4j) = 3 + 2j - 12j -
8j² = (3 + 8) + (-10 - 12)j = 11 -
22j.
Multiplique o numerador e o
denominador pelo conjugado
do denominador.Veja, para
dividir z = 3 + 2j por z = 1 - 4j,
faça: (z / z ) = (3 + 2j)(1 + 4j) /
(1 - 4j)(1 + 4j) = (3 + 14j) / (1 +
16) = (3/17) + (14/17)j.
Na forma
polar
Transforme para retangular
e some ou subtraia as
partes reais e imaginárias.
Veja, para somar z = 4∠30°
e z = 3∠45°, faça: z + z =
(3,46 + j2) + (2,12 + j2,12 =
5,58 + j4,12 = 6,94∠36,44°.
Multiplique suas magnitudes
e some os ângulos. Por
exemplo, para multiplicar z =
4∠30° por z = 3∠45°, faça:
z *z = 4* 3∠(30°+45°)=
12∠75°.
Divida suas magnitudes e
subtraia os ângulos. Por
exemplo, para dividir z =4∠30°
por z =2∠15°, faça: (z / z ) =
(4/2)∠(30°-15°) = 2∠15°.
Fonte: elaborado pelo autor.
z  =  r∠θ r
z  =  x  +  jy x 
y
r =  √x2 +  y2      
∅ =  tg−1 x
y x =  r cos ∅ y =  r sen ∅
1 2
1 2
1
2 1 2 1 2
1 2
1
2 1 2
1
2
1 2
1
2 1 2
Portanto, podem ser feitas operações com números complexos tanto na forma retangular quanto na forma
polar. A escolha entre as duas formas depende da situação e das preferências pessoais, mas ambas são
igualmente válidas e úteis em diferentes contextos no campo da engenharia.
O comportamento dos componentes em um circuito de CA pode ser descrito em termos de sua relação com a
variação da corrente elétrica e da tensão. O indutor, quando presente em um circuito CA, age como uma
resistência à mudança na corrente elétrica, o que resulta em um atraso de 90° na corrente em relação à
tensão. Por outro lado, o capacitor em um circuito CA opõe-se às variações de tensão, fazendo com que a
corrente esteja adiantada em 90° em relação à tensão. Por fim, o resistor em um circuito CA produz uma
queda de tensão que está em fase com a corrente que o atravessa. Na Figura 4, é mostrado o diagrama
fasorial de um circuito CA resistivo, indutivo, capacitivo.
Figura 4 | Representação fasorial de um circuito CA de carga (A) resistiva, (B) indutiva e (C) capacitiva
Fonte: elaborada pelo autor.
Assim, estabelecemos as conexões entre os fasores de tensão e de corrente para os elementos resistor,
indutor e capacitor da seguinte forma:
, e (7)
Expressando essas relações em termos da razão entre a tensão e a corrente , podemos relacionar as
equações resultantes com a lei de Ohm, conforme as equações (8) e (9):
(8)
Ou seja,
(9)
Nesse contexto, a quantidade Z é referida como a impedância do circuito, medida em Ohms (Ω). Portanto,
obtemos as impedâncias para resistores, indutores e capacitores da seguinte maneira: para um resistor, a
impedância é ; para um indutor, a impedância é ; para um
capacitor, a impedância é -90°.
A interação entre componentes que possuem resistência, indutância e capacitância resulta em uma
impedância representada pela seguinte equação: Ω (magnitude e ângulo), em
que:
(10)
V =  RI––V =  jωLI––V   =  
I–
jwC–
( V
I–
)
¯
Z  =   V
I–
V   =  ZI––
ZR  =  R ZL  =  jωL =  jXL = XL ∠90°
ZC =   1
jωC
=   − jXC= XC∠
Z  =  R  +  jX  =  |Z| ∠θ
|Z|  =  √R2  +  X2    θ = tg−1  X
R
(11)
Da mesma forma que a impedância Z simboliza a resistência ao fluxo de CA, a capacidade de um condutor
para conduzir CA é denominada admitância , medida em Siemens (S). A admitância é calculada como:
(12)
Em que representa a condutância em Siemens (S) e representa a susceptância do circuito em Siemens
(S).
VÍDEO RESUMO
Olá, estudante! Os números complexos são fundamentais para a análise de circuitos. Neste vídeo, você
descobrirá como representá-los e compreenderá sua representação e como eles são usados para descrever
fenômenos elétricos. Além disso, explorará como os números complexos podem ser aplicados tanto no
domínio do tempo quanto no domínio da frequência para analisar sinais elétricos. Você também entenderá
como essa representação pode simplificar a análise de circuitos complexos. Por fim, aprenderá sobre a
importância dos fasores, especialmente quando se trata de elementos de circuito. Descubra como calcular e
usar a impedância e a admitância para simplificar o estudo de circuitos elétricos.
 Saiba mais
Olá, estudante!
Convidamos você a se aperfeiçoar na análise de circuitos em corrente alternada. Para isso, leia o Capítulo
4, Operação das Linhas de Transmissão em Regime Permanente, do livro indicado a seguir:
MOURA, A. P. de; MOURA, A. A. F. de; ROCHA, E. P. da. Transmissão de Energia Elétrica em Corrente
Alternada. Fortaleza: Edições UFC, 2019.
Boa leitura!
R  =  |Z| cos θ    X =  |Z| sen θ
Y
Y   =   1
Z = G + jB
G B
Aula 3
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE
SENOIDAL I
Olá, estudante! Até o momento, exploramos as características de um sinal senoidal e sua representação
por meio de fasores. 
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Até o momento, exploramos as características de um sinal senoidal e sua representação por meio de fasores.
Também, observamos que, de maneira semelhante aos circuitos de corrente contínua (CC), as leis de Ohm e
Kirchhoff são aplicáveis aos circuitos de corrente alternada (CA). Para analisar um circuito com uma única
fonte de CA nessas situações, basta calcular a impedância equivalente do circuito, seguindo um processo
semelhante ao utilizado em circuitos de CC. No entanto, em circuitos que possuem múltiplas fontes de tensão
ou corrente que não estão conectadas em série ou paralelo, precisamos aplicar métodos de análise
específicos, que serão abordados nesta seção. Esses métodos incluem: análise nodal, análise de malhas e
teorema da superposição. Essas técnicas são fundamentais para analisar circuitos complexos com várias
fontes de CA e nos permitem compreender seu comportamento de forma mais eficaz.
Está preparado para esta jornada de muito aprendizado? Então, vamos lá!
TÓPICOS CONCEITUAIS DE TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
Para aplicar os teoremas de análise de circuito em corrente alternada (CA), é de suma importância estudar as
definições de alguns elementos essenciais, tais como malhas, ramos, nós e fontes. Esses são conceitos
fundamentais em circuitos elétricos, incluindo aqueles em CA, e desempenham papéis-chave na análise e no
projeto de circuitos elétricos complexos. A seguir, exploraremos esses conceitos em detalhes.
Uma malha é uma trajetória fechada em um circuito elétrico. Ela é formada por uma série de ramos
conectados em sequência, de modo que não haja nenhum nó interno dentro da malha. De outra forma,
também podemos definir que uma malha é uma trajetória pela qual uma corrente pode circular sem se
dividir. Malhas são úteis para a análise de circuitos, pois permitem a aplicação direta da Lei de Kirchhoff das
Tensões, que estabelece que a soma das tensões em uma malha fechada é igual a zero. Ao identificá-la em um
circuito, podemos criar equações que nos ajudam a determinar as correntes e tensões em várias partes do
circuito (Alexander; Sadiku, 2013).
Já um ramo é um trecho de um circuito que está conectado entre dois nós. Nós são pontos de conexão em um
circuito onde três ou mais condutores se encontram. Um ramo é caracterizado por ter apenas dois nós, um
em cada extremidade, e pode conter diversos elementos elétricos, como resistores, capacitores, indutores e
fontes de energia. Os ramos são os elementos básicos que compõem o circuito e podem ser analisados
individualmente usando as leis de Ohm e Kirchhoff. Em um nó, a corrente total que entra deve ser igual à
corrente total que sai, de acordo com a Lei de Kirchhoff das Correntes. Os nós são identificados como pontos
de interesse em um circuito, onde as correntes se dividem ou se combinam, e são cruciais para a análise do
equilíbrio das correntes em um sistema elétrico (Castelo Branco Filho, 2017).
Nos estudos de circuitos de CA, esses conceitos continuam sendo fundamentais. A principal diferença é que,
em vez de trabalharmos com valores de tensão e corrente constantes, usamos valores que variam com o
tempo, geralmente em forma de ondas senoidais. As leis de Ohm e Kirchhoff ainda são aplicáveis, mas os
cálculos podem envolver números complexos devido à natureza oscilatória das grandezas elétricas em CA.Por fim, temos as fontes de tensão e corrente que fornecem a energia elétrica necessária para o
funcionamento do circuito. Vamos conceituá-las separadamente. Primeiro, a fonte de tensão em CA: é um
dispositivo ou componente elétrico que gera uma diferença de potencial elétrico que varia com o tempo de
acordo com uma forma de onda senoidal ou outra forma de onda periódica. Ela é representada por uma
notação que inclui um valor eficaz (RMS) e uma frequência. A tensão alternada é caracterizada por inverter
periodicamente a polaridade, indo de um valor positivo para um valor negativo e vice-versa. As fontes de
tensão CA são usadas para alimentar dispositivos elétricos e eletrônicos em sistemas de energia elétrica e
circuitos CA. Já a fonte de corrente é um dispositivo ou componente elétrico que fornece uma corrente elétrica
que varia com o tempo de acordo com uma forma de onda senoidal ou outra forma de onda periódica. Assim
como as fontes de tensão CA, as fontes de corrente CA também são representadas por um valor eficaz (RMS) e
uma frequência (Irwin; Nelms, 2017).  
ENTENDENDO OS TEOREMAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA
Geralmente, ao lidar com um circuito elétrico ou ao realizar um projeto relacionado, é crucial ter
conhecimento das tensões e correntes presentes em todas as partes do circuito, incluindo malhas, ramos e
nós. Isso é essencial para garantir que os valores estejam dentro dos limites permitidos e estejam em
conformidade com as especificações estabelecidas. Por exemplo, em sistemas elétricos de potência (SEP) que
envolvem várias fontes de geração de energia, a análise se torna mais complicada, pois não podemos
simplificar o circuito em uma única impedância equivalente alimentada por uma única fonte. Desta forma, é
necessário aplicar técnicas de análise mais específicas, tais como análise de malhas, análise nodal, teoremas
de superposição, as quais serão discutidas nesta aula.
Se o circuito CA for apresentado com fontes no domínio do tempo, é necessário, primeiro, convertê-lo para o
domínio de fasores ou frequência. Em seguida, os cálculos são realizados usando uma das técnicas de análise
adequadas. Para uma compreensão mais clara desse processo de análise de circuitos de CA, observe o
circuito elétrico genérico mostrado na Figura 1.
Figura 1 | Ilustração em um circuito genérico das correntes de malha
Fonte: elaborada pelo autor.
Para calcular as tensões e correntes em todos os componentes do circuito representado na Figura 1, podemos
empregar o método da análise de malhas, que se fundamenta na aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões
(LKT). Vejamos, no Quadro 1, o passo a passo para realizar uma análise de malhas.
Quadro 1 | Passo a passo para análise utilizando o teorema das malhas
Passo Descrição do passo
1 – Identificação das malhas. Identifique todas as malhas existentes no circuito.
2 – Atribuição do sentido das correntes nas
malhas.
Atribuir uma corrente no sentido horário para cada malha,
conforme mostrado na Figura 2.
3 – Formulação das equações no contexto
dos fasores.
Para cada malha, formule uma equação no contexto dos
fasores, em que somamos todas as impedâncias encontradas
ao longo do percurso percorrido pela corrente naquela malha
e multiplicamos pelo valor da corrente nessa malha
específica. Vejamos, nas equações (1) e (2), como fica para as
malhas um e dois do circuito mostrado na Figura 2,
respectivamente.
4 – Dedução da impedância.
Dentro de cada equação, é necessário deduzir a impedância
atravessada por uma corrente de outra malha, multiplicada
pela sua própria corrente correspondente. Vejamos nas
equações (2) e (3) como para as malhas um e dois da Figura 2.
5 – Realização da adição das fontes de tensão
na malha.
Por último, realizamos a adição das fontes de tensão na
malha, levando em consideração a polaridade e, em
conformidade com a direção em que a corrente flui,
alinhamos com cada equação de malha. O procedimento aqui
segue a seguinte regra para análise: se a corrente assumida
sai do terminal negativo da fonte, subtrai-se o valor da
tensão. Quando a corrente assumida sai do terminal positivo
da fonte, adiciona-se o valor da tensão. Observamos as
equações (5) e (6) para as malhas um e dois do exemplo
supracitado.
Fonte: elaborado pelo autor.
Figura 2 | Indicação das orientações das correntes de malha
Fonte: elaborada pelo autor.
(1)
(2)
(Z1 + Z2)I–1
(Z2 + Z3)I–2
(3)
(4)
(5)
(6)
Na sequência, se o circuito possui mais de uma malha (o que é comum), você terá um sistema de equações
resultante, uma para cada malha. Portanto, resolva esse sistema de equações simultaneamente para
encontrar as correntes de malha desconhecidas.
De forma análoga, a Lei das Correntes de Kirchhoff (LKC) serve como o fundamento para a análise nodal em
sistemas elétricos. Tome como exemplo o circuito genérico apresentado na Figura 3.
Figura 3 | Circuito CA genérico para análise nodal
Para realizar a análise nodal de sistemas elétricos, você pode seguir os passos mostrados no Quadro 2.
Para realizar a análise nodal de sistemas elétricos, você pode seguir os passos mostrados no Quadro 2.
Quadro 2 | Descrição dos passos para análise nodal
Passo Descrição do passo
1 – Escolher um nó de referência.
Selecionar um nó de referência e designar um valor de tensão para
cada um dos outros nós no circuito, como ilustrado na Figura 4
para o circuito de exemplo.
2 – Escrever cada equação em termos
fasoriais.
Para cada nó, formule uma equação utilizando representações
fasoriais. No caso de uma equação para um nó específico, é
necessário somar todas as admitâncias que estão conectadas a
esse nó e, em seguida, multiplicar o resultado pela tensão
associada a esse nó. Observe as equações (7) e (8).
3 – Subtrair a admitância conectada aos
outros nós.
Realize a subtração da admitância ligada aos demais nós,
multiplicando-a pelas tensões correspondentes associadas a essas
admitância, conforme feito nas equações (9) e (10).
4 – Somar as fontes de corrente.
Do lado direito das equações (11) e (12), encontra-se a adição
algébrica das correntes provenientes das fontes ligadas ao nó de
interesse. Essas correntes têm sinal positivo quando fluem para
dentro do nó e sinal negativo quando saem do nó.
(Z1 + Z2)I–1 − Z2I–2 
(Z2 + Z3)I–2 − Z2I–1
(Z1 + Z2)I–1 − Z2I–2 = V 1–
(Z2 + Z3)I–2 − Z2I–1 = − V 2–
Fonte: elaborado pelo autor.
Figura 4 | Ilustração das tensões nodais
Fonte: elaborada pelo autor.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Assim como acontece na análise de malhas, a solução das equações que resultam pode ser realizada através
de substituição, escalonamento ou usando o método matricial baseado em determinantes. Por fim, o teorema
da superposição nos permite analisar separadamente o efeito de cada fonte no circuito, seja para calcular
correntes ou tensões em terminais específicos. As análises são realizadas independentemente, e a solução
final é a soma algébrica das contribuições de todas as fontes.
Ao aplicar o teorema da superposição, consideramos os efeitos de uma fonte por vez, seja de tensão ou
corrente. Se houver apenas fontes independentes no circuito, ao analisar uma fonte específica, as demais
fontes são "desligadas" seguindo esses critérios: fontes de tensão independentes são substituídas por curtos-
circuitos, e fontes de corrente independentes são substituídas por circuitos abertos.
Após a eliminação das demais fontes de acordo com esses critérios, calculamos a tensão entre os terminais
desejados. Em seguida, somamos algebricamente as tensões, respeitando suas polaridades.
No caso de fontes dependentes ou controladas, cuja variável de controle não é determinada pelo circuito ao
qual o teorema é aplicado, elas podem ser analisadas como fontes independentes. No entanto, a solução
dependerá da variável de controle. Se a variável de controle for determinada pelo circuito, ela não pode ser
removida. Se houver fontes com frequências diferentes no circuito, as respostasindividuais devem ser
somadas no domínio do tempo, pois não é possível somar fasores com frequências diferentes.
(Y1 + Y2) V n1–
(Y2 + Y3) V n2–
(Y1 + Y2) V n1 − Y2. V n2––
(Y2 + Y3) V n2 − Y2. V n1––
(Y1 + Y2) V n1 − Y2. V n2 = I–1––
(Y2 + Y3) V n2 − Y2. V n1 = I–2––
APLICANDO OS TEOREMAS DE ANÁLISE DE MALHAS, NODAL E SUPERPOSIÇÃO
Olá, estudante! Agora, aplicaremos os teoremas aprendidos para resolver as questões a seguir, utilizando, na
primeira questão, a análise de malhas; na segunda questão, a análise nodal; na terceira questão, o teorema da
superposição. Vamos lá!
1. Com base no circuito apresentado na Figura 5, calcule a corrente que circula pelo indutor j4.
Figura 5 | Circuito CA com duas malhas
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolução: primeiro, analisaremos a malha I. Podemos concluir que a corrente que circula por ela é a mesma
fornecida pela fonte de corrente, ou seja, a corrente é a mesma da fonte. 
Para a malha II, temos a seguinte análise de malha para calcular :
Resolvendo o sistema de equações, temos:
Portanto, calculamos da seguinte maneira:
2. Para o circuito representado na Figura 6, calcule todas as tensões de todos os nós do circuito de corrente
alternada (CA).
Ix
I–a I–a = 5∠30°= 4,33 + j2,5 A
I–b
8 + 3I–b + j4 (I–b − I–a) − j5 I–2 = 0 
−j4I–a + (3 − j)I–b = −8
I–a = 4,33 + j2,5 −j4I–a + (3 − j)I–b = −8
−j4(4,33 + j2,5) + (3 − j)I–b = −8
(3 − j)I–b =   − 8 − 10 + j17,32
I–b =   −18+j17,32
(3−j) =   24,98∠136,1°
3,16∠−18,43° = 7,9∠154,54°A = 7,13 + j3,4 A
I–x
I–x = I–a −  I–b
I–x = 4,33 + j2,5 − (−7,13 + j3,4)
I–x = 11,46 − j0,9 A
Figura 6 | Circuito CA para resolução da questão 2
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolução: o primeiro passo é identificar os nós, sendo um deles o de referência, e os demais devemos
indicar as tensões, conforme é visto na Figura 7.
Figura 7 | Identificação dos nós e tensões em cada um deles
Fonte: elaborada pelo autor.
O passo dois é aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) para os nós 1, 2 e 3, ou seja, identificar as
correntes em cada nó do circuito, conforme apresentado na Figura 8.
Figura 8 | Identificação das correntes em cada nó
Fonte: elaborada pelo autor.
LKC para o nó 1:
LKC para o nó 2:
Para o nó 3, a tensão é a própria tensão da fonte. Portanto, temos que:
O último passo é organizar e resolver o sistema linear usando a matemática. Vejamos:
Organizando a equação do nó 1:
Organizando a equação do nó 2:
Resolvendo o sistema de equações:
Substitua na equação do nó 2:
Portanto, substituindo na equação do nó 1, temos que:
3. Utilizando o mesmo circuito da questão 2, calcule a tensão em cima da impedância 
aplicando o teorema da superposição.
Figura 9 | Circuito CA para resolução pelo teorema da superposição
I–1 = I–2  =  5∠30°=  
V 1 −  V 2 
10  ––
I–2 = I–3 +  I–4 =  5∠30°=  
V 2 
5+j10 +  
V 2 −  V 3 
j5  –––
V 3–
V 3 = 10 V–
4,33 + j2,5 =  
V 1 −  V 2 
10 =   V 1  −   V 2  = 43,3 + j25 ––––
4,33 + j2,5 =  
j5 × V 2 +(5+j10)( V 2 − V 3 )
j5(5+j10)
–––
(5 + j15) V 2  − (5 + j10) V 3  = −279 − j16,75––
V 1  −   V 2  = 43,3 + j25––
(5 + j15) V 2  − (5 + j10) V 3  = −279 − j16,75––
V 3 = 10 V–
V 3 –
(5 + j15) V 2  − (5 + j10) V 3  = −279 − j16,75––
(5 + j15)10 − (5 + j10) V 3  = −279 − j16,75–
(5 + j15) V 2  − (5 + j10) V 3  = −279 − j16,75––V 2  = 15,4∠88,4° V  –
V 2 –
V 1  −  15,4∠88,4°= 43,3 + j25 V 1  = 59,54∠42,74°V––
V 1 –5 + j10
Fonte: elaborada pelo autor.
Primeiro, você deve saber que a tensão sofrerá influência das fontes de corrente e de tensão. Sabendo
disso, calculamos, inicialmente, a influência apenas da fonte de corrente, curto-circuitando a fonte de tensão,
conforme é mostrado na Figura 10.
Figura 10 | Circuito CA com a fonte de tensão curto-circuitada
Fonte: elaborada pelo autor.
Agora, calculamos a impedância equivalente entre a impedância 5+j10 e j5:
O circuito equivalente após calcular fica de acordo com a Figura 11.
Figura 11 | Circuito equivalente após o cálculo de 
Fonte: elaborada pelo autor.
Portanto:
V 1–
Zeq
Zeq = (5+j10)j5 
(5+j10)+j5) = 0,5 + j3,5 Ω
Zeq
Zeq
Agora, calcularemos a tensão com a contribuição da fonte de tensão. Para que você não confunda,
chamaremos de Vamos lá!
Primeiro, deixe a fonte corrente em circuito aberto, conforme a Figura 12.
Figura 12 | Circuito CA com a fonte de corrente aberta
Fonte: elaborada pelo autor.
Como a corrente na resistência de 2Ω é zero, logo a tensão em seus terminais é zero. Assim, podemos calcular
por divisor de tensão, ou seja:
Por fim, devemos somar as tensões de contribuição e , ou seja:
Observe que a tensão encontrada foi a mesma obtida pela análise nodal feita na questão 2.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Você está prestes a embarcar em uma jornada de aprendizado sobre análise nodal, análise de
malhas e teorema da superposição. A análise nodal é uma técnica fundamental em circuitos elétricos, que se
concentra na determinação das tensões em pontos específicos (nós) de um circuito. A análise de malhas é
outra técnica valiosa na análise de circuitos, a qual se baseia na aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões em
cada malha de um circuito. Por fim, o teorema da superposição é uma ferramenta poderosa para analisar
circuitos lineares com múltiplas fontes de tensão ou de corrente. Este vídeo desvendará os segredos por trás
desses conceitos fundamentais. Prepare-se para uma exploração aprofundada e clara do conteúdo, que será
seu guia para dominar essas técnicas fundamentais para a análise e a modelagem de circuitos elétricos.
Vamos começar!
V 1 = (0,5 + j3,5 Ω) × 5∠30°=   − 6,59 + j16,4 V–
V 1–
V 1–V 2–
V 2–
V 2 =
(5+j10)
(5+j10)+j5 × 10 =  7 − j1 V–
V 1–V 2–
V 1 +   V 2 = (−6,59 + j16,4) + (7 − j1) =  0,42 + j15,41 V  ou 15,41∠88,4° V  ––
 Saiba mais
Olá, estudante!
Convidamos você a pesquisar sobre as demais propriedades básicas dos números complexos e
operações matemáticas na referência a seguir:
SADIKU, M. N. O.; ALEXANDER, C. K. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH,
2013. p. 828-832.
Boa leitura!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Na aula anterior, estudamos os teoremas da análise nodal, de malhas e da superposição. Nesta aula,
aprenderemos sobre os teoremas da Transformação de Fontes, de Thévenin e de Norton. Nesses teoremas,
observaremos também que, de maneira semelhante aos circuitos de corrente contínua (CC), as leis de Ohm e
Kirchhoff são aplicáveis aos circuitos de corrente alternada (CA).
O teorema da Transformação de Fontes, o teorema de Thévenin e o teorema de Norton são conceitos
fundamentais na teoria de circuitos elétricos, que simplificam a análise e o projeto de circuitos complexos.
Eles permitem substituir partes complicadas de um circuito por modelos equivalentes mais simples,
simplificando, assim, o processo de resolução de problemas elétricos e a compreensão do comportamento
dos circuitos.
Está preparado para mais uma etapa de muito conhecimento? Então, vamos lá!
CONTEXTO HISTÓRICO DOS TEOREMAS DA TRANSFORMAÇÃO DE FONTES, DE THÉVENIN E DE
NORTON
Os teoremas da Transformação de Fontes, de Thévenin e de Norton têm raízes históricas que remontam ao
século XIX e ao início do século XX. No final do século XIX, com o rápido crescimento da eletrificação e o
desenvolvimento da tecnologia elétrica, tornou-se essencial entender e analisar circuitos elétricos complexos.
Naquela época, a eletricidade estava se tornando uma parte integral da vida cotidiana, impulsionando o
Aula 4
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE
SENOIDAL II
Olá, estudante! Na aula anterior, estudamos os teoremas da análise nodal, de malhas e da
superposição. 
desenvolvimento de sistemas de iluminação, telecomunicações e motores elétricos (Sadiku; Musa; Alexander,
2014).
A origem do Teorema da Transformação de Fontes está relacionada ao desenvolvimento de técnicas para
análise de circuitos com diferentes fontes de energia, como geradores e baterias. No início do século XX, os
engenheiros e cientistas começarama perceber que poderiam simplificar a análise de circuitos ao converter
fontes de tensão em fontes de corrente, e vice-versa. Isso tornou a análise de circuitos mais versátil e
eficiente.
Já segundo Irwin e Nelms (2017), o Teorema de Thévenin é nomeado em homenagem ao engenheiro francês
Léon Charles Thévenin, que desenvolveu seus princípios no final do século XIX. Thévenin estava trabalhando
na análise de linhas telegráficas longas, um desafio técnico significativo na época. Ele percebeu que poderia
simplificar circuitos complexos usando uma abordagem de equivalência, representando um circuito complexo
por um circuito mais simples com uma fonte de tensão e uma resistência equivalente. Isso se tornou uma
técnica poderosa para a análise de circuitos lineares.
Por fim, o Teorema de Norton recebeu seu nome em homenagem ao engenheiro norte-americano Edward
Lawry Norton, que desenvolveu conceitos semelhantes aos de Thévenin na década de 1920. Ele também
percebeu que era possível simplificar circuitos complexos usando uma fonte de corrente em paralelo com
uma resistência equivalente (Castelo Branco Filho, 2017). O Teorema de Norton é particularmente útil quando
o foco está na corrente que flui através de um terminal de carga.
Esses teoremas revolucionaram a maneira como os engenheiros analisam circuitos e projetam sistemas
elétricos. Eles permitiram uma abordagem mais sistemática e simplificada para a resolução de problemas
elétricos, facilitando o projeto de circuitos complexos e contribuindo para o rápido avanço da eletrônica e da
engenharia elétrica ao longo do século XX.
Hoje, esses teoremas ainda mostram como esses conceitos continuam a ser fundamentais na análise e no
projeto de circuitos elétricos, desempenhando um papel essencial na era da eletrônica avançada e das
tecnologias emergentes, por exemplo, na integração na eletrônica moderna. Com o avanço da eletrônica, os
teoremas de circuitos se tornaram ainda mais relevantes. Eles são usados extensivamente na análise de
circuitos integrados, que estão presentes em praticamente todos os dispositivos eletrônicos, desde
smartphones até sistemas de controle automotivo e computadores.
A capacidade de simplificar circuitos complexos é crucial para projetar componentes eletrônicos menores e
mais eficientes. No setor de eficiência energética e energias renováveis, à medida que a eficiência energética
se torna uma prioridade global e as energias renováveis ganham destaque, os teoremas de circuitos
desempenham um papel fundamental no projeto de sistemas de conversão de energia, como painéis solares
e turbinas eólicas. Eles são usados para otimizar a transferência de energia de forma eficiente e confiável.
ANÁLISE E ESTRATIFICAÇÃO DOS TEOREMAS
Em ocasiões específicas, a mudança no estilo da fonte pode simplificar os procedimentos de cálculo. De
maneira geral, a conversão entre fontes de tensão e corrente pode ser vista na Figura 1.
Figura 1 | Transformação entre fontes independentes
Fonte: elaborada pelo autor.
Nos casos em que estamos lidando com um circuito elétrico de corrente alternada (CA) de grande porte e
desejamos simplificá-lo para um circuito equivalente com apenas dois componentes, uma fonte e uma
impedância, em um ponto específico, podemos aplicar os teoremas de Thévenin e Norton.
Esses teoremas se baseiam na ideia de que qualquer circuito linear, conectado a dois terminais, pode ser
representado por uma fonte de tensão e uma impedância em série (equivalente de Thévenin) ou por uma
fonte de corrente e uma impedância em paralelo (equivalente de Norton), conforme ilustrado nas figuras 2(a)
e 2(b), respectivamente (Moraco; Araujo; Fernandes, 2018). As duas configurações equivalentes estão
relacionadas pelas equações (1) e (2).
(1)
(2)
Em que:
e são a tensão e a impedância de Thévenin.
e são a corrente e a impedância de Norton.
Figura 2 | Representação de um sistema pelo seu circuito equivalente (a) de Thévenin e (b) de Norton
Fonte: Moraco, Araujo e Fernandes (2018, p. 61).
O processo para obter o circuito equivalente de Thévenin em um circuito CA segue uma abordagem
semelhante à aplicada em circuitos CC, com a única diferença sendo a substituição de "R" por "Z". Para derivar
o circuito equivalente de Thévenin, deve-se seguir estas etapas (Alexander; Sadiku, 2013):
1. Elimine todos os componentes que não serão incorporados no circuito equivalente de Thévenin.
2. Identifique os dois terminais do circuito resultante, para os quais você deseja obter o circuito equivalente.
3. Calcule a impedância equivalente de Thévenin, denotada como , eliminando todas as fontes
independentes. As fontes de tensão são trocadas por curtos-circuitos, e as fontes de corrente são
trocadas por circuitos abertos. Em seguida, determine a impedância resultante entre os dois terminais
destacados.
Vth = ZNI N̄̄
Zth = ZN
Vth̄ Zth
I N̄ ZN
Zth
4. Reintroduza as fontes de tensão e corrente e, se necessário, utilize o teorema da superposição para
calcular a tensão entre os terminais destacados, que corresponde à tensão de Thévenin, chamada de 
Para efetuar a conversão de um circuito linear para o equivalente de Norton, é imprescindível adquirir os
valores de e . é calculado do mesmo modo que , ou seja, a impedância equivalente do circuito
inativo é igual a . Um ponto crucial a ser destacado é que, por meio da transformação de fontes, podemos
concluir que as impedâncias de Thévenin e Norton são idênticas, conforme foi mostrado na Equação (2).
A fim de encontrar a corrente de Norton, , é necessário criar um curto-circuito nos terminais a e b do
circuito representados na Figura 2(b). Portanto, temos que a corrente de curto-circuito resultante é . Para
que a equivalência de circuito seja válida, essa corrente precisa ser igual à corrente de curto-circuito ( )
medida entre os terminais a e b. Assim, temos que:
(3)
Como temos que , pode-se observar que:
(4)
Segundo Moraco, Araujo e Fernandes (2018), para obter os parâmetros do circuito equivalente de Norton,
deve-se seguir estes passos:
1. Isolar a parte do circuito da qual você deseja encontrar o equivalente de Norton.
2. Para calcular , proceda da mesma maneira que faria para :
a. Desative todas as fontes independentes, substituindo fontes de tensão por curtos-circuitos e fontes
de corrente por circuitos abertos.
b. Calcule a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos.
3. Calcule da seguinte forma:
a. Reintroduza os valores das fontes de tensão e corrente no circuito.
b. Determine a corrente que flui entre os dois terminais escolhidos para análise quando estes estão em
curto-circuito.
APLICANDO OS TEOREMAS DE TRANSFORMAÇÃO DE FONTES, THÉVENIN E NORTON
Agora que você já estudou os procedimentos para as análises dos teoremas de Transformação de Fontes,
Thévenin e Norton, vamos aplicar todos esses conceitos em exercícios práticos? Então, vamos lá!
Resolva a primeira questão descrita a seguir, aplicando os teoremas aprendidos.
1. Obtenha o circuito equivalente de Thévenin entre os terminais a e b do circuito da Figura 3. Ao final, após
encontrar o equivalente de Thévenin, aplique a transformação de fontes e converta o circuito para o
equivalente de Norton. Calcule a corrente e a resistência de Norton.
Figura 3 | Circuito elétrico RLC de corrente alternada
Vth̄
IN ZN ZN Zth
ZN
IN
IN
ICC
IN = ICC
Zth = ZN
IN = Vth
Zth
ZN Zth
IN
Fonte: Moraco, Araujo e Fernandes (2018, p. 62).
Resolução: para determinar o circuito Thévenin equivalente deste sistema, inicialmente, removeremos a
carga e identificaremos os terminais nos quais o circuito equivalente deve ser calculado, conforme
ilustrado na Figura 4.
Figura 4 | Circuito elétrico de corrente alternada RLC sem a carga 
Fonte: Moraco, Araujo e Fernandes (2018, p. 62).
Para determinar a resistência de Thévenin, é necessário eliminar as fontes presentes no circuito. Uma vez que
existe somente uma fonte de tensão, esta será substituída por um curto-circuito, como representadona
Figura 5.
Figura 5 | Circuito elétrico de corrente alternada RLC sem fonte
Fonte: Moraco, Araujo e Fernandes (2018, p. 62).
Neste arranjo de circuito, a resistência R de valor 2 KΩ está conectada em paralelo com a impedância indutiva
de valor 6 KΩ. A impedância equivalente entre R e está em série com a impedância capacitiva de
valor 3 KΩ. Na Figura 5, apenas os valores absolutos dessas impedâncias estão exibidos, portanto:
Voltando ao circuito da Figura 3, calcula-se a tensão de Thévenin entre os pontos a e b. Uma vez que esses
pontos estão desconectados, não há fluxo de corrente através do capacitor. Portanto, a tensão de Thévenin é
igual à tensão no indutor. Assim, temos que:
ZL
ZL
XL XL XC
Rth =   R.jXL
R+jXL
+ (−jXC)
Rth =   J12.106
2.103+j6.103 + (−j3.103)
Rth =  1,8 + j2,4 KΩ
I =   20∠0°
(2+j6).103 = 1 − j3 mĀ
Vth =  I. jXL = (1 − j3).103. j6.103 ̄
A representação final do circuito equivalente de Thévenin pode ser observada na Figura 6, com as indicações
da tensão e resistência de Thévenin e, conectado aos terminais a e b, a impedância da carga.
Figura 6 | Circuito equivalente de Thévenin
Fonte: Moraco, Araujo e Fernandes (2018, p. 63).
Para obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de Thévenin, deve-se usar o
Teorema de Transformação de Fontes. Desta forma, após aplicar o teorema, o circuito equivalente de Norton
fica conforme ilustrado na Figura 7.
mA
Figura 7 | Circuito equivalente de Norton
Fonte: elaborada pelo autor.
Após estudar os procedimentos para análises dos teoremas de Transformação de Fontes, Thévenin e Norton,
aplicamos esses conceitos em um exercício prático envolvendo um circuito elétrico RLC de corrente alternada
(CA). Inicialmente, determinamos o circuito equivalente de Thévenin, calculando sua resistência e tensão de
Thévenin. Em seguida, aplicamos a transformação de fontes para encontrar o circuito equivalente de Norton,
obtendo a resistência e a corrente de Norton. Assim, agora, temos uma representação simplificada desse
circuito complexo, o que facilita a análise e o projeto de sistemas elétricos.
Bons estudos e até a Unidade 2!
VIDEO RESUMO
Olá, estudante! Se você está pronto para aprofundar seus conhecimentos em circuitos elétricos, você está no
lugar certo. No vídeo resumo desta aula, você verá uma exploração detalhada dos teoremas de
Transformação de Fontes, de Thévenin e de Norton. O Teorema da Transformação de Fontes é uma
ferramenta poderosa para simplificar circuitos elétricos. Ele nos permite trocar uma fonte de tensão por uma
Vth =  18 + j6 V  ̄
Vth =  18,97∠18,43° V̄
Rth = RN =  1,8 + j2,4 = 3∠53,13° KΩ
I N = Vth
Rth
= 18,97∠18,43°  
3∠53,13° = 6,32∠ − 34,7°̄
¯
fonte de corrente equivalente, e vice-versa, mantendo as características elétricas do circuito inalteradas. Já o
Teorema de Thévenin é uma técnica que nos permite representar um circuito complexo por um circuito
equivalente mais simples, composto por uma única fonte de tensão e uma única resistência. Por fim, o
Teorema de Norton é semelhante ao de Thévenin, porém utiliza uma fonte de corrente equivalente em vez de
tensão. Ele fornece uma maneira conveniente de simplificar circuitos e analisar o comportamento de um
dispositivo, especialmente quando se trata de cargas variáveis. Portanto, neste vídeo, você analisará esses
conceitos fundamentais, que são de suma importância para a compreensão de circuitos elétricos avançados.
Prepare-se para desvendar os segredos por trás dessas transformações e simplificações de circuitos. Vamos
começar!
 Saiba mais
Olá, estudante!
Convidamos você a ler, como forma de revisão e aprofundamento do conteúdo estudado, o Capítulo 10
do livro dos autores Alexander e Sadiku, que trata de análise em regime estacionário senoidal (páginas
369 a 392). Sugerimos, ainda, que leia o resumo posto na página 393 e faça as questões para revisão e os
problemas propostos nas páginas 394 e 395.
Referência completa:
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
Bons estudos!
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA
Estudar a eletricidade é fundamental em nossa vida cotidiana, e entender os conceitos relacionados a
circuitos elétricos é essencial para engenheiros, eletricistas e cientistas. Nesta aula de revisão, você
recapitulará uma série de tópicos-chave no estudo dos circuitos elétricos em corrente alternada (CA), desde
senoides até teoremas importantes.
As senoides são formas de onda que desempenham uma função importante na análise de circuitos elétricos.
Elas são caracterizadas por sua natureza sinusoidal, que pode ser representada em função do tempo. O
deslocamento angular é uma medida da posição relativa em uma onda senoidal e é expresso em graus ou
radianos. A frequência angular, por sua vez, está relacionada à taxa de variação temporal da onda e é medida
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
em radianos por segundo (Castelo Branco Filho, 2017).
Uma ferramenta poderosa na análise de circuitos elétricos é a representação de números complexos.
Números complexos são usados para representar grandezas, como tensão e corrente, em circuitos senoidais.
Eles têm uma parte real e uma parte imaginária e são fundamentais para a análise de domínio do tempo e da
frequência. No domínio do tempo, as grandezas elétricas, como tensão e corrente, são representadas como
funções do tempo. No domínio da frequência, as mesmas grandezas são analisadas em termos de frequência
angular.
Outro aspecto importante que estudamos é que a análise de circuitos elétricos envolve as relações entre
fasores para elementos de circuito, como impedância e admitância. Os fasores são representações complexas
de grandezas senoidais e são usados para simplificar a análise de circuitos CA. A impedância é a oposição que
um elemento oferece à passagem de corrente senoidal, enquanto a admitância é a recíproca da impedância.
Para analisar circuitos mais complexos, existem várias técnicas, incluindo análise nodal e análise de malhas. A
análise nodal é usada para encontrar as tensões nos nós de um circuito, enquanto a análise de malhas é
usada para encontrar as correntes nas malhas do circuito. Essas técnicas são fundamentais para resolver
circuitos complexos de forma eficiente (Svoboda; Dorf, 2016).
Além disso, existem teoremas que simplificam a análise de circuitos, como o Teorema da Superposição, que
permite analisar um circuito com várias fontes independentes separadamente e, em seguida, somar as
contribuições individuais. O Teorema da Transformação de Fontes permite substituir uma parte do circuito
por uma fonte equivalente, simplificando a análise.
Por fim, estudamos os teoremas de Thévenin e Norton, que permitem simplificar circuitos complexos para
análise. O Teorema de Thévenin substitui uma parte do circuito por uma fonte de tensão equivalente e uma
resistência equivalente, enquanto o Teorema de Norton substitui por uma fonte de corrente equivalente e
uma resistência equivalente. Esses teoremas são valiosos na resolução de circuitos de grande porte (Irwin;
Nelms, 2017).
O estudo de circuitos elétricos envolve uma série de conceitos e técnicas, desde senoides e números
complexos até teoremas importantes, como o de Thévenin e Norton. Compreender esses princípios é
essencial para a análise e o projeto eficiente de sistemas elétricos.
REVISÃO DA UNIDADE
Olá, estudante! Está preparado para explorar o mundo da análise de circuitos em corrente alternada (CA)?
Nosso vídeo é um convite para você revisar os conteúdos relacionados a senoides, deslocamento angular,
frequência angular e números complexos. Relembraremos a representação no domínio do tempo e
frequência, entenderemos as relações entre fasores em circuitos e recapitularemos sobre análise nodal,
análise de malhas e teoremas essenciais, como os de Thévenin e Norton.
ESTUDO DE CASO
Imagine você, estudante, responsável técnico pelo projeto elétrico e pela manutenção de um circuitointerno
em uma fábrica do ramo alimentício (Figura 1). Como tarefa (desafio), é necessário a proteção elétrica e o
dimensionamento de um disjuntor para garantir o funcionamento seguro do sistema. Nesse cenário, a análise
e o cálculo são fundamentais para determinar a corrente nominal do equipamento de proteção. O circuito
ilustrado na Figura 1 é composto por quatro equipamentos elétricos, identificados como Z1 (equipamentos 1),
Z2 (equipamentos 2), Z3 (equipamentos 3) e Z4 (equipamentos 4). Além disso, há uma fonte de corrente
alternada (CA) com uma tensão nominal de 220 volts. O objetivo é dimensionar um disjuntor de proteção por
sobrecorrentes que seja capaz de manter o circuito seguro em todas as condições de operação. Para atingir
esse objetivo, é importante levar em consideração a corrente nominal do circuito. A corrente nominal do
circuito é a corrente que ele deve suportar de forma contínua (regime permanente), sem causar danos ou
interrupções no funcionamento dos equipamentos. Para determinar a corrente nominal do disjuntor,
devemos considerar o pior cenário possível, ou seja, a corrente do circuito quando todos os quatro
equipamentos (Z1, Z2, Z3 e Z4) estão operando simultaneamente, demandando a maior corrente possível no
condutor do ramal de entrada. A corrente nominal do circuito será determinada pela soma das correntes
nominais de todos os equipamentos em funcionamento simultâneo, levando em conta que cada equipamento
possui uma classificação específica de corrente nominal. Essa corrente total é o valor crítico que o disjuntor
deve ser capaz de suportar sem disparar. Considere que, no contexto desse problema, as perdas elétricas por
efeito Joule nos condutores elétricos foram negligenciadas. Isso significa que não precisamos considerar a
queda de tensão devido à resistência dos condutores.
Para determinar a corrente nominal do equipamento de proteção, ou seja, o disjuntor, como você procederia
com base nas informações fornecidas no circuito?
Figura 1 | Circuito de alimentação e cargas protegidas por um disjuntor em uma fábrica do ramo alimentício
Fonte: elaborada pelo autor.
 Reflita
Olá, estudante!
Os números complexos são uma ferramenta fundamental para a análise de circuitos em corrente
alternada (CA), pois permitem representar grandezas com componentes reais e imaginários, o que é
essencial para descrever correntes, tensões e impedâncias em circuitos CA. Isso é importante na
representação no domínio do tempo e da frequência, em que você analisará como os sinais se
comportam ao longo do tempo e em diferentes frequências.
Em relação aos circuitos, entender as relações entre fasores, impedância e admitância é vital para
calcular correntes e tensões em circuitos CA. A análise nodal e de malhas são técnicas que você usará
para resolver circuitos complexos, enquanto o Teorema da Superposição ajudará a simplificar a análise
de circuitos com múltiplas fontes.
Os Teoremas de Thévenin e Norton são essenciais para simplificar circuitos complexos em componentes
mais simples, facilitando a resolução de problemas práticos.
Lembre-se de que esses conhecimentos serão valiosos para a solução de nosso estudo de caso e para
sua vida profissional como engenheiro eletricista, em que você aplicará esses conceitos para projetar e
solucionar problemas do mundo real. Continue estudando e praticando, pois essas habilidades são
fundamentais para sua jornada profissional.
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Neste estudo de caso, temos duas formas de resolver e que nos levam ao mesmo resultado. A primeira delas
envolve o cálculo da admitância total do circuito e a aplicação da Lei de Ohm para determinar a corrente da
fonte de alimentação principal. A segunda alternativa requer a obtenção das correntes individuais das cargas
(Z1, Z2, Z3 e Z4), aplicando a Lei de Ohm a cada uma, seguida pelo uso da Lei de Kirchhoff dos Nós para
encontrar a corrente total do circuito.
Convidamos você, estudante, a seguir o primeiro método, mas também incentivamos a exploração do
segundo. Começaremos convertendo as cargas para forma polar. Para calcular as admitâncias, basta aplicar a
seguinte equação:
Neste sentido, temos:
Aplicando a Lei de Ohm:
Portanto, conclui-se que, para este circuito interno da indústria, a corrente nominal que deve ser levada em
consideração para o dimensionamento do disjuntor é . Tendo em vista que não existe
disjuntor comercial com esse valor, o mais conveniente é o mais próximo; assim, o disjuntor de 25 A deve ser
Yi = 1/Zi.
Y1 = 35,7∠0° mS
Y2 = 1
30,8∠76,86° = 32,46∠ − 76,86°= 7,38 − j31,61 mS
Y3 = 1
25,55∠−30,58° = 39,13∠30,58°= 33,68 + j19,90 mS
Y4 = 16,66∠0° mS
YT = Y1 +  Y2 +  Y3 +  Y4
YT = (35,7) + (7,38 − j31,61) + (33,68 + j19,90) + (16,66)
YT = 93,42 − j11,71 mS
YT = 94,15∠ − 7,14 mS
I =
V
ZT
= V  . YT̄
–̄
I =̄ (220∠40°) .  (94,15∠ − 7,14) 
I = 20,71∠32,86° Ā
IAN =  20,71 A
o escolhido para a proteção.
RESUMO VISUAL
Fonte: elaborado pelo autor.
Aula 1
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
CASTELO BRANCO FILHO, J. F. Circuitos elétricos básicos: análise e projetos em regime permanente. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
HAYT, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2014.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORACO, A. G.; ARAÚJO, R. A. de; FERNANDES, T. R. Circuitos elétricos II. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018. 264 p.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
AMGH, 2014.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. C. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
REFERÊNCIAS
Aula 2
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
CASTELO BRANCO FILHO, J. F. Circuitos elétricos básicos: análise e projetos em regime permanente. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
HAYT, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2014.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORACO, A. G.; ARAUJO, R. A. de; FERNANDES, T. R. Circuitos elétricos II. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018. 264 p.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
AMGH, 2014.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. C. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Aula 3
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
CASTELO BRANCO FILHO, J. F. Circuitos elétricos básicos: análise e projetos em regime permanente. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
HAYT, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2014.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORACO, A. G.; ARAUJO, R. A. de; FERNANDES, T. R. Circuitos elétricos II. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S.A., 2018. 264 p.
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. Porto Alegre:
AMGH, 2014.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. C. Introdução aos circuitos elétricos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
Aula 4
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
CASTELO BRANCO FILHO, J. F. Circuitos elétricos básicos: análise e projetos em regime permanente. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
HAYT, W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2014.
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORACO, A. G.; ARAUJO, R. A. de; FERNANDES, T. R. Circuitos elétricos II. Londrina: Editora e Distribuidora