Exercícios de Torção

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Exercícios – Torção 
 
Exercícios 
1. Determinar as tensões de cisalhamento na face externa de cada trecho da barra da figura. 
T=2 kN.m
Diagrama de momento de torção
100 mm
0
-2
0
-6
100 mm
2
100 mm
T=4 kN.m
A
T=8 kN.m
B DC
medidas em milímetros
+ M -T
Trecho AB
ø50
M (kN.m)
T
Trecho CDTrecho BC
ø80 ø50
Seções Transversais
x
ø40 ø40
ø40
 
 
Solução 
Momento polar de inércia 
 
32
44 dD
I p



 
  4
44
, 25,36
32
45
cmI ABp 



 
  4
44
, 99,376
32
48
cmI BCp 



 
  4
44
, 25,36
32
45
cmI CDp 



 
 
Tensão de cisalhamento 
p
T
I
RM 
 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
AB 1388,13
25,36
5,2200
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
BC 7,6337,6
99,376
4600
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
CD 1388,13
25,36
5,2200
24


 
 
Respostas 
Trecho AB  AB = 138 MPa, Trecho BC  BC = 63,7 MPa, Trecho CD  CD = 138 MPa. 
 
OBS: As tensões máximas de cisalhamento ocorrem nos trechos AB e CD = 138 MPa. 
2 
 
2. Determinar as tensões de cisalhamento na face externa de cada trecho da barra da figura. 
M (kN.m)
Diagrama de momento de torção
120 mm
0
-4
120 mm
T0
-8
-2
120 mm
T=6 kN.mT=4 kN.m
BA
T=2 kN.m
D
x
C
ø100
Trecho BC
medidas em milímetros
+ M -T
Trecho AB
ø80
Trecho CD
ø50
Seções Transversais
ø40
ø40
 
 
Solução 
Momento polar de inércia 
32
4D
I p



 
 
32
44 dD
I p



 
4
4
, 75,981
32
10
cmI ABp 



 
  4
44
, 99,376
32
48
cmI BCp 



 
  4
44
, 25,36
32
45
cmI CDp 



 
 
Tensão de cisalhamento 
p
T
I
RM 
 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
AB 4,2004,2
75,981
0,5400
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
BC 855,8
99,376
4800
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
CD 1388,13
25,36
5,2200
24


 
 
Respostas 
Trecho AB  AB = 20,4 MPa, Trecho BC  BC = 85 MPa, Trecho CD  CD = 138 MPa. 
 
OBS: A tensão máxima de cisalhamento ocorre no trecho CD = 1138 MPa. 
 
3 
 
3. Determinar as tensões de cisalhamento em cada trecho da barra da figura. 
T=2 kN.m
Diagrama de momento de torção
0
-2
-6
2
0
80 mm
T=4 kN.m
A
80 mm 80 mm
B C D
T=8 kN.m
+ M -M (kN.m)T T
Seções Transversais
Trecho AB
ø50mm
x
Trecho CDTrecho BC
ø80mm ø50mm
 
 
Solução 
Momento polar de inércia 
32
4D
I p



 
4
4
, 36,61
32
5
cmI ABp 



 
4
4
, 12,402
32
8
cmI BCp 



 
4
4
, 36,61
32
5
cmI CDp 



 
 
Tensão de cisalhamento 
p
T
I
RM 
 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
AB 5,8115,8
36,61
5,2200
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
BC 7,5997,5
12,402
4600
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
CD 5,81158,8
36,61
5,2200
24


 
 
Respostas 
Trecho AB  AB = 81,5 MPa, Trecho BC  BC = 59,7 MPa, Trecho CD  CD = 81,5 MPa. 
 
OBS: As tensões máximas de cisalhamento ocorrem nos trechos AB e CD = 81,5 MPa. 
4 
 
4. Determinar as tensões de cisalhamento na face externa de cada trecho da barra da figura. 
M (kN.m)
Diagrama de momento de torção
0
T
6
0
2
90 mm
T=4 kN.m
90 mm
BA
T=6 kN.m
x
90 mm
T=2 kN.m
C D
Trecho AB Trecho BC Trecho CD
+ M -T
Seções Transversais
medidas em milímetros
ø60
ø30
ø80 ø40
ø30
 
 
Solução 
Momento polar de inércia 
32
4D
I p



 
 
32
44 dD
I p



 
4
4
, 12,402
32
8
cmI ABp 



 
  4
44
, 28,119
32
36
cmI BCp 



 
  4
44
, 18,17
32
34
cmI CDp 



 
 
Tensão de cisalhamento 
p
T
I
RM 
 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
AB 00
12,402
0,40
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
BC 9,15009,15
28,119
3600
24


 
MPa
cm
kN
cm
cmkNcm
CD 8,23228,23
18,17
0,2200
24


 
 
Respostas 
Trecho AB  AB = 0 MPa, Trecho BC  BC = 150,9 MPa, Trecho CD  CD = 232,8 MPa. 
 
OBS: A tensão máxima de cisalhamento ocorre no trecho CD = 232,8 MPa.