Física

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Carlos Eduardo 
Física 
I) GRANDEZAS FÍSICAS: são características de um fenômeno físico que podem ser 
medidas e quantificadas. Elas são fundamentais na física, pois permitem descrever e analisar 
diferentes aspectos do mundo físico. As grandezas podem ser classificadas em duas categorias 
principais: 
1) GRANDEZAS ESCALARES: São aquelas que são completamente descritas por um 
número (valor) e uma unidade de medida. Exemplos incluem: 
Massa (m): Medida da quantidade de matéria em um objeto. Unidade: quilograma (kg). 
Tempo (t): Duração de um evento. Unidade: segundo (s). 
Temperatura (T): Medida da energia térmica de um sistema. Unidade: grau Celsius (°C) ou 
Kelvin (K). 
Pressão (P): Força exercida por unidade de área. Unidade: pascal (Pa). 
Energia (E): Capacidade de realizar trabalho. Unidades: joule (J), quilowatt-hora (kWh). 
Trabalho (W): Energia transferida quando uma força é aplicada sobre um objeto. Unidade: 
joule (J). 
Carga elétrica (Q): Propriedade de partículas que causa interação eletromagnética. Unidade: 
coulomb (C). 
Comprimento (L): Medida da extensão de um objeto. Unidade: metro (m). 
Densidade (ρ): Massa por unidade de volume. Unidade: quilograma por metro cúbico (kg/m³). 
Velocidade (v): Medida da variação da posição em relação ao tempo. Unidade: metro por 
segundo (m/s). 
Frequência (f): Número de ciclos por unidade de tempo. Unidade: hertz (Hz). 
Capacitância (C): Capacidade de um componente em armazenar carga elétrica. Unidade: 
farad (F). 
Indutância (L): Medida da oposição de um circuito à variação da corrente elétrica. Unidade: 
henry (H). 
Energia potencial (U): Energia armazenada em um sistema devido à sua posição ou estado. 
Unidade: joule (J). 
Entropia (S): Medida da desordem ou aleatoriedade em um sistema. Unidade: joule por kelvin 
(J/K). 
 
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2) GRANDEZAS VETORIAIS: São aquelas que possuem uma magnitude e uma direção. 
Para descrever essas grandezas, é necessário indicar não apenas o valor e a unidade, mas 
também a direção. 
Deslocamento (�⃗� ): Mudança na posição de um objeto. Unidade: metro (m). 
Velocidade (�⃗⃗� ): Variação do deslocamento em relação ao tempo, indicando direção. Unidade: 
metro por segundo (m/s). 
Aceleração (�⃗⃗� ): Taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Unidade: metro por 
segundo ao quadrado (m/s²). 
Força (�⃗⃗� ): Interação que pode mudar o estado de movimento de um objeto. Unidade: newton 
(N). 
Momento linear (�⃗⃗� ): Produto da massa pela velocidade de um objeto. Unidade: quilograma 
metro por segundo (kg·m/s). 
Momento de força (torque, �⃗� ): Tendência de uma força causar rotação em torno de um eixo. 
Unidade: newton metro (N·m). 
Campo elétrico (�⃗⃗� ): Força por unidade de carga elétrica em um ponto no espaço. Unidade: 
volt por metro (V/m). 
Campo magnético (�⃗⃗� ): Força magnética que age sobre cargas em movimento. Unidade: tesla 
(T). 
Impulso (𝑱 ): Alteração do momento linear de um objeto devido a uma força aplicada durante 
um intervalo de tempo. Unidade: newton segundo (N·s). 
Gradiente de temperatura (𝑻)⃗⃗⃗⃗ : Taxa de variação da temperatura em relação à distância. 
Unidade: grau Celsius por metro (°C/m). 
Aceleração centrípeta (�⃗⃗� 𝒄): Aceleração que manutenção de um objeto em movimento 
circular. Unidade: metro por segundo ao quadrado (m/s²). 
Velocidade angular (�⃗⃗⃗� ): Taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Unidade: radianos 
por segundo (rad/s). 
Força de atrito (�⃗⃗� 𝒂𝒕: Força que se opõe ao movimento entre duas superfícies. Unidade: 
newton (N). 
 
 
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II VETORES: são entidades matemáticas que possuem tanto uma magnitude (tamanho) 
quanto uma direção. Eles são usados para representar grandezas que são influenciadas por 
essas duas características. 
1) REPRESENTAÇÃO VETORIAL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Módulo ou Norma: É o tamanho do vetor, representando sua magnitude ou intensidade. 
Para calcularmos o módulo de um vetor ser for um ângulo de 90º usaremos o Teorema de 
Pitágoras caso o ângulo não seja de 90º usaremos esta fórmula: v² = x² + y² + 2xycos𝜃 
b) Sentido: Indica para onde o vetor está apontando, que é mostrado pela direção da seta. Se 
for horizontal será da esquerda para direita ou da direita para esquerda. Caso seja vertical será 
de baixo para cima ou de cima para baixo. 
c) Direção: Refere-se à linha ao longo da qual o vetor age, frequentemente descrita em relação 
a um sistema de coordenadas, que pode ser: horizontal, vertical ou inclinado. 
 
2) MÓDULO ou NORMA: 
 
 
 
 
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Ex.: Calcule o módulo dos seguintes vetores: 
1) �⃗⃗� = (3, – 4) 2) �⃗⃗� = (2, – 2, 1) 
‖�⃗� ‖2 = 3² + (– 4)² ‖�⃗� ‖2 = 2² + (– 2)² + 1² 
‖�⃗� ‖2 = 9 + 16 ‖�⃗� ‖2 = 4 + 4 + 1 
‖�⃗� ‖2 = 25 ‖�⃗� ‖2 = 9 
‖�⃗� ‖ = √25 ‖�⃗� ‖ = √9 
‖�⃗� ‖ = 5 u.c. ‖�⃗� ‖ = 3 u.c. 
 
3) Duas forças concorrentes, F1 e F2, de intensidades 4 N e 3 N, atuam num mesmo ponto 
material, formando um ângulo 𝛼 entrei si. Determine a intensidade da força resultante para o 
valor de 𝛼 60° 
 
 
 
 
 
 
Fr² = F1² + F2² + 2.F1.F2.cons𝛼 
Fr² = 4² + 3² + 2.4.3.cos60º 
Fr² = 16 + 9 + 12 
Fr² = 
Fr = √37 N 
OBSERVAÇÃO: Caso tenham mais de uma força atuando em terminado sistema para 
calcularmos a FORÇA RESULTANTE devemos utilizar a somatória das forças, ou seja, somar 
todas as forças x, y e z. 
FR = (∑𝐹𝑥)�̂� + (∑𝐹𝑦)𝑗 ̂+ (∑𝐹𝑧)�̂� 
 
 
 
 
 
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3) OPERAÇÕES VETORIAIS: Dado os vetores: f(x) = (x1, y1, z1) e g(x) = (x2, y2, z2) 
a) SOMA: f(x) + g(x) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) 
b) SUBTRAÇÃO: f(x) – g(x) = (x1 – x2, y1 – y2, z1 – z2) 
 f(x) . g(x) = (x1.x2, y1.y2, z1.z3) 
 
c) MULTIPLICAÇÃO 
 f(x) x g(x) = [
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
] deve-se calcular determinante. 
1º EXEMPLO: Dada as funções vetoriais: 𝑓 𝑡 = e 𝑔 𝑡 = . Calcular: 
a) 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 = ⟨3t, 2t² + 1,3t³ – 3t⟩ 
b) 𝑓 𝑡 – 𝑔 𝑡 = ⟨– t, 2t2– 1, 3t3 + 3t⟩ 
c) 𝑓 𝑡 x 𝑔 𝑡 = ⟨6𝑡4 − 3𝑡3, 3𝑡3 + 6𝑡4, t − 4𝑡3⟩ 
d) lim
𝑡 → 1
(𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑡) = ⟨−1, 3𝑡3, 1, 6⟩ 
e) lim
𝑡 → 0
(𝑓 𝑡 . 𝑔 𝑡) = e) lim
𝑡 → 0
(𝑓 𝑡 ∙ 𝑔 𝑡) = t.2t, 2t².1, 3t³.(– 3t²) = 2t² + 2t² – 9t5 = 4t² – 9t5 
 
2º EXEMPLO: Dados os vetores U⃗⃗ = e = V⃗⃗ . Calcule: 
a) U⃗⃗ + V⃗⃗ = ⟨4𝑖, 9𝑗, 12𝑘⟩ 
b) U⃗⃗ – V⃗⃗ = ⟨2𝑖, 𝑗, 12𝑘⟩ 
c) U⃗⃗ . V⃗⃗ = ⟨3𝑖2, 20𝑗2, 35𝑘²⟩ 
d) U⃗⃗ x V⃗⃗ = ⟨3𝑖, −16 𝑗, 11𝑘⟩ 
 
3) DECOMPOSIÇÃO VETORIAL: 
Vetor unitário é representado: 𝐹 = Fx. �̂� + Fy.𝑗̂ 
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Caso o plano cartesiano seja em 3d o vetor unitário será: 𝐹 = Fx. �̂� + Fy.𝑗̂ + Fz. 𝑗̂, sendo: 𝐹 = 
F.cos𝜃𝑥 �̂� + F.cos𝜃𝑦𝑗̂ + F.cos𝜃𝑧 �̂̂� 
1º EXEMPLO: Quatro força atuam no parafuso A, como mostra na figura. Utilizando o 
método de decomposição de vetores decomponha 𝐹 1, 𝐹 2, 𝐹 3 e 𝐹 4 em termos dos vetores 
unitários. Dados: cos 30º = 0,87, sen 30º = 0,5 / cos 20º = 0,94 sen 20º = 0,34 / cos 15º = 0,97 
e sem 15º = 026 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
F1
𝐹 x = 𝐹 1.cos30º 𝐹 y = 𝐹 1.sen30º 
𝐹 x =150.0,87 𝐹 y =150.0,5 
𝐹 x =130,5N 𝐹 y = 75N 𝐹 = 130,5. �̂� + 75.𝑗̂ 
F2 
𝐹 x = – 𝐹 2.sen20º 𝐹 y = 𝐹 2.cos20º 
𝐹 x = – 80.0,34 𝐹 y = 80.0,94 
𝐹 x = – 27,2N 𝐹 y = 75,2N 𝐹 = – 27,2�̂� + 75,2𝑗̂ 
F3 
𝐹 x = 𝐹 3.cos90º 𝐹 y = – 𝐹 3.sen90º 
𝐹 x =110.0 𝐹 y = – 110.1 
𝐹 x = 0 N 𝐹 y = – 110 N 𝐹 = 0�̂� – 110 𝑗̂ 
F4 
𝐹 x = 𝐹 4.cos15º 𝐹 y = – 𝐹 4.sen15º 
𝐹 x =100.0,97 𝐹 y = – 100.0,26 
𝐹 x = 97 N 𝐹 y = – 26 N 𝐹 = 97𝑖̂ – 26 𝑗̂ 
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2º EXEMPLO: Expresse uma força F de 5 kN como um vetor em termos dos vetores unitários 
�̂� , 𝑗̂ e �̂�. 
 
RESOLUÇÃO:
𝐹 = F.cos𝜃𝑥 �̂� + F.cos𝜃𝑦𝑗̂ + F.cos𝜃𝑧 �̂̂� 
𝐹 = 5.cos30º�̂� + 5.cos35º𝑗 ̂+ 5.cos35º �̂̂� 
𝐹 = 5.0,87�̂� + 5.0,5𝑗̂ + 5.0,82�̂�𝐹 = 4.35�̂� + 2,5𝑗̂ + 4,1�̂� 
 
3º EXEMPLO: Um cabo de sustentação de uma torre está ancorada por meio de um parafuso 
em A. A tração no cabo é 2500N. Determine (a) as componentes da força que atua sobre o 
parafuso e (b) os ângulos diretores que definem a direção da força.
 
 
 
 
 
 
 
Carlos Eduardo 
RESOLUÇÃO: RESOLVENDO A LETRA A: 
1º PASSO: Para escrevermos o verto unitário utilizaremos o seguinte procedimento: 
T⃗⃗ AB = TAB . λ⃗ AB. Com isso deveremos encontrar o vetor λ⃗ AB 
 
2º PASSO: Para encontrarmos o λ⃗ AB devemos escrever os eixos na figura. Note que não temos 
o sistema cartesiano, então devemos marcá-lo e sempre escolheremos o eixo x e a partir desse 
o primeiro no sentido anti-horário será o eixo y e o outro o eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
3º PASSO: Devemos marcar os pontos A e B, pois são esses dois pontos que temos no sistema. 
A (40, 0, – 30) 
B (0, 80, 0) 
 
4º PASSO: Agora vamos escrever o vetor AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (xB – xA) + (yB – yA) + (zB – zA) = (– 40�̂� + 80𝑗̂ + 30�̂�) 
 
5º PASSO: Para calcularmos o vetor unitário sem ter nos dados os ângulos basta usarmos a 
seguinte fórmula: 
AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
. 
 
 
x 
y 
z 
Carlos Eduardo 
6º PASSO: Calcular o módulo, ou seja, |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗|. 
|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−40)2 + 802 + 302 = √1600 + 6400 + 900 = √8900 = 94,3398 m 
 
7º PASSO: Agora vamos escrever o λ⃗ AB. 
λ⃗ AB = 
−40î + 80j ̂+ 30ẑ
94,3398
 
 
8º PASSO: Agora vamos lá na fórmula do 1º passo: 
T⃗⃗ AB = TAB . λ⃗ AB 
T⃗⃗ AB = 
2500 ∙ (−40î + 80j ̂+ 30z)̂
94,3398
 = 26,4999 (−40î + 80j ̂ + 30z)̂ = 
(−1059,996î + 2119,992j ̂ + 794,997z)̂ 
 
 RESOLVENDO A LETRA B: 
Fx = F . cos θx ⇒ cos θx = 
Fx
F
 = θx = cos– 1 = (
Fx
F
) = 
−1059,996
2500
 = 115,0872 
Fy = F . cos θy ⇒ cos θy = 
Fy
F
 = θy = cos– 1 = (
Fy
F
) = 
2119,992
2500
 = 32,0055º 
Fz = F . cos θz ⇒ cos θz = 
Fz
F
 = θz = cos– 1 = (
Fz
F
) = 
794,997
2500
 = 71,4580º 
 
4º EXEMPLO: Determine o ângulo teta e a intensidade de F1 de modo que a resultante das 
forças seja orientada ao longo do eixo “y” positivo e tenha intensidade de 950 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%87%92
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Carlos Eduardo 
RESOLUÇÃO: A FR é a soma de todas as forças, então como já nos deu o valor dessa força, 
pois a intensidade é 950 N, basta montarmos uma tabela e encontrar o F1. 
1º PASSO: Vou chamar a Força de 600 N de F2 e a Força de 400 N de F3. 
2º PASSO: Montar a tabela: 
FORÇA X Y 
F1 133,60 390 
F2 – 480 360 
F3 346,40 200 
FR 0 950 
 
3º PASSO: Encontrar o F2 e F3 e completarmos a tabela encontrando os valores de F1. E; para 
isso devemos notar que tem um triângulo retângulo no vetor que chamamos de F2, sempre que 
isso acontecer devemos pegar a força e dividir pelo valor dado na hipotenusa, depois basta 
multiplicarmos por cada cateto. 
600 : 5 = 120 N 
120 x 3 = 360 N 
120 x 4 = 480 N 
 Agora iremos encontrar o F3 e como temos o ângulo e a força, basta jogarmos nas 
fórmulas: 
Fx = F3 . cos 30º Fy = F3. sen 30º 
Fx = 400.0,8660 Fy = 400.05 
Fx = 346,40 N Fy = 200 N 
4º PASSO: Agora encontraremos o que o problema pede: 
Intensidade de F1 Ângulo 𝜃 
F1
2 = x² + y² tg θ = 
co
ca
 
F1
2 = 17848,96 + 152100 tg θ = 
133,60
390
 
F1
2 = 169948,96 tg θ = 0,3426
F1 = √169948,96 tg θ = 18,9114º
F1 = 412,2487 N 
 
 
Carlos Eduardo 
 
TABELA TRIGONOMÉTRICA 
 
ângulo seno cosseno tangente ângulo seno cosseno tangente 
0º 0 1 0 180º 0 -1 0 
5º 0,0872 0,9962 0,0875 185º 0,0872 -0,9962 -0,0875 
10º 0,1736 0,9848 0,1736 190º 0,1736 -0,9848 -0,1736 
15º 0,2588 0,9659 0,2679 195º 0,2588 -0,9659 -0,2679 
20º 0,3420 0,9397 0,3639 200º 0,3420 -1 0 
25º 0,4339 0,9063 0,4663 205º 0,4339 -0,7660 0,7874 
30º 0,5000 0,8660 0,5774 210º 0,5000 -0,8660 -0,5000 
35º 0,5736 0,8192 0,7002 215º 0,5736 -0,5736 1,0000 
40º 0,6428 0,7660 0,8391 220º 0,6428 -0,7660 1,7321 
45º 0,7071 0,7071 1 225º 0,7071 -0,7071 1 
50º 0,7660 0,6428 1,3764 230º 0,7660 -0,8660 -1 
55º 0,8192 0,5736 1,4321 235º 0,8192 -0,8192 1,0806 
60º 0,8660 0,5000 1,7321 240º 0,8660 -1 0 
65º 0,9063 0,4339 2,1445 245º 0,9063 -0,8192 1,4332 
70º 0,9397 0,3420 2,7475 250º 0,9397 -0,8660 0,5366 
75º 0,9659 0,2588 3,7321 255º 0,9659 -0,2588 3,7321 
80º 0,9848 0,1736 5,6713 260º 0,9848 -0,1736 5,6713 
85º 0,9962 0,0872 11,4301 265º 0,9962 -0,0872 11,4301 
90º 1 0 indefinido 270º 1 0 Indefinido 
95º 0,9962 -0,0872 -11,4301 275º 0,9962 -0,9962 -11,4301 
100º 0,9877 -0,1736 5,6713 280º 0,9877 -0,8660 11.000 
105º 0,9659 -0,2588 1,3301 285º 0,9659 -0,2588 1.3301 
110º 0,9397 -0.3420 1,7322 290º 0,9397 -0.5000 1.7322 
115º 0,9063 -0.4339 1.5000 295º 0,9063 -0.7660 1.5000 
120º 0,5000 -0.5000 0 300º 0,5000 -1 0 
125º 0,8192 -0.6428 0,5366 305º 0,8192 -0.6428 0.5366 
130º 0,7660 -0.7660 -1 310º 0,7660 -0.8660 0.1000 
135º 0,7071 -0.7071 -1 315º 0,7071 -0.7071 -1 
140º 0,6428 -0.7660 -1 320º 0,6428 -0.7660 -1 
145º 0,5736 -0.8192 -1 325º 0,5736 -0.5736 -1 
150º 0,5000 -0.8660 0 330º 0,5000 -0.8660 0 
155º 0,2588 -0.9063 3,7321 335º 0,2588 -0.8192 3,7321 
160º 0,1736 -0.9397 5,6713 340º 0,1736 -1 0 
165º 0,0872 -0.9962 11,4301 345º 0,0872 -0,9962 11,4301 
170º 0 -0,9848 0,1736 350º 0 1 0 
175º 0 -0,9962 0,0872 355º 0 1 0 
180º 0 -1 0 360º 0 1 0 
Carlos Eduardo 
Exercícios Propostos 
1) Forças atuam em um sistema conforme as figuras abaixo. Para estes sistemas, determine: 
a) Todas as forças em termos dos vetores unitários; 
b) O vetor força resultante; 
c) Esboce o gráfico e calcule a intensidade da força resultante; 
d) A medida do ângulo no sentido anti-horário, a partir do eixo x positivo. 
Dado utilize 4 casas decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 
 
 
 
1.2 
1.3 
1.4 
Carlos Eduardo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma caixa de 75 kg está sendo içada de 
um caminhão. Ela está amarrada 
verticalmente na junção A, conectada a duas cordas que passam pelas polias B e C, ligadas nos 
prédios próximos. Determine as tensões nas cordas AB e AC, necessárias no equilíbrio da 
caixa. 
 
 
1.2 
1.4 
Carlos Eduardo 
3) Dado o desenho abaixo expresse F vetorialmente em termos dos vetores unitários �̂�, 𝑗̂ e �̂� e 
determine o ângulo entre F e o eixo y. 
 
4) Uma seção de um muro de concreto é temporariamente segurado pelos cabos mostrados na 
figura. Sabendo que a tração é 3780 N no cabo AB e 5400 N no cabo AC, determine a 
intensidade e a direção da resultante das forças exercidas pelos AB e AC na estaca A. 
5) A caixa de 100 kg mostrado na figura abaixo é suportada por três cordas, uma delas é 
acoplada na mola mostrada. Determine a força nas cordas AC e AD e a deformação da mola. 
Use g = 9,81 m/s². 
Carlos Eduardo 
Gabarito 
1.1) 
a) F1 = 424,2640�̂� + 424,2640𝑗̂ F2 = – 792,8203�̂� + 400𝑗̂ F3 = – 434,6666�̂� – 116,4685𝑗̂ 
b) 𝐹 𝑅 = – 703,2229�̂� + 707,955𝑗̂ c) 997,7459 N d) 134,8144º 
1.2) 
a) F1 = 70�̂� + 0𝑗̂ F2 = 43,3�̂� – 25𝑗̂ F3 = – 45,9615�̂� – 45,9615𝑗̂ 
b) 𝐹 𝑅 = 67,3385�̂� – 70,9615𝑗̂ c) FR = 97,8264N d) 316,5007º 
1.3) 
a) 
F80 = 61,28�̂� + 51,424𝑗̂ F120 = 41,04�̂� + 112,764𝑗̂ F150 = – 122,88�̂� + 86,04𝑗̂ 
b) 𝐹 𝑅 = – 20,56�̂� + 250,228𝑗̂ c) 251,0712N d) 94,6972º 
1.4) 
a) F1 = 96,59�̂� + 25,88𝑗̂ F2 = 26,04�̂� + 147,72𝑗̂ 
b) 𝐹 𝑅 = 122,63�̂� + 173,60𝑗̂ c) FR = 212,5442N d) 54,7628º 
 
Carlos Eduardo 
2) 
TAB = 659,6306 N 
TAC = 489,5118 N 
 
3) 𝐹 = 18,86�̂� – 23,6𝑗̂ + 51,9�̂� 
𝜃𝑦 = 113,1º
 
4) Fr = 7423,7726 N
 𝜃𝑥 = 102,6043º 𝜃𝑦 = 150,7940º 𝜃𝑧 = 64,1233º 
5) FAC = 812,7589 N FAD = 862,0933 N 
 x = 0,4624 m