Estática dos Fluidos

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Estática dos Fluidos
Prof. Leonardo Duarte Batista da Silva
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: IT 503 – FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA
Seropédica - RJ
❑ Introdução e Princípios Básicos;
❑ Propriedades Físicas dos Fluidos;
❑ Estática dos Fluidos;
❑ Hidrodinâmica;
❑ Hidrometria;
❑ Condutos Forçados;
❑ Bombas Hidráulicas; e,
❑ Condutos Livres.
Programa da Disciplina
Escada hidráulica
❑ Estática de Fluidos;
❑ Pressão e Empuxo;
❑ Lei de Pascal;
❑ Lei de Stevin;
❑ Manometria:
- Experiência de Torricelli;
- Escalas de Pressão.
Tópicos da Aula 
É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso,
bem como as forças que podem ser aplicadas em corpos
neles submersos.
Um fluido em equilíbrio não pode estar sob a ação de forças
tangenciais ou cisalhantes. Portanto, todas as forças atuantes
em um fluido em repouso fazem-no perpendicularmente a
sua superfície livre.
Estática de Fluidos 
Pressão e Empuxo
Empuxo (E): É a força resultante originada quando se considera o somatório
das pressões elementares atuantes. Também denominada de pressão total,
matematicamente pode ser obtida pela integral abaixo:
𝐸 = න
𝐴
𝑝𝑑𝐴 𝐸 = 𝑝𝐴
Se a pressão for a mesma em toda área
(exemplo: superfícies horizontais)
Pressão (p): É a força que um líquido exerce sobre a unidade de área de
uma superfície.
𝑝 =
𝑑𝐹
𝑑𝐴
p – pressão, Pa, kgf m-2, atm, PSI, m.c.a ; e,
dF – elemento infinitesimal de força, L2;
dA – elemento infinitesimal de área, MLT-2;
Relação entre as Unidades de Pressão
Considerando a “Atmosfera técnica”
1 atm = 1 kgf.cm-2 = 1 bar = 10 mca = 103 mbar = 104 kgf.m-2 = 105 Pa = 106 dyn .cm-2 =
= 14,7 psi = 735 mmHg
Observação: dyn é abreviação de dina (unidade de força do CGS)
Relembrando
Unidade de pressão: libra-força por polegada quadrada, lbf/in²;
Unidade de pressão: psi
Unidade de pressão: pound force per square inch
lbf/in² = psi
pc
Highlight
Lei de Pascal
Blaise Pascal
* Clermont-Ferrand, França 19 de junho de 1623
+ Paris, França 19 de agosto de 1662. 39 anos.
Foi um físico, matemático, filósofo e teólogo francês.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
https://pt.wikipedia.org/wiki/19_de_junho
https://pt.wikipedia.org/wiki/1623
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paris
https://pt.wikipedia.org/wiki/19_de_agosto
https://pt.wikipedia.org/wiki/1662
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a
Lei de Pascal
“Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a
mesma em todas as direções”
Enuncia-se:
Para a demonstração dessa lei isola-se
um prisma com altura dy, largura dx e
comprimento unitário.
Como as forças atuantes estão em
equilíbrio, tem-se que:
Figura 1. Forças atuantes em um prisma no interior 
de um líquido em repouso.
AZEVEDO NETTO et al. (1998).
෍𝐹𝑋 = 0 ෍𝐹𝑌 = 0
Após dedução 
matemática 
obtem-se:
𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 𝑝𝑠
Lei de Pascal
“Qualquer alteração na pressão aplicada em um pequeno volume de
um fluido confinado e incompressível é transmitida integralmente a
todos os pontos do fluido, bem como às paredes do recipiente que o
mantém confinado”
Uma leitura mais abrangente do princípio de Pascal é a seguinte (PERES, 2006):
Aplicações: os freios, os elevadores, e as prensas hidráulicas são
fundamentados nessa lei.
Lei de Pascal
Lei de Pascal
No caso da prensa hidráulica (ou macaco hidráulico) tem-se que:
𝐹2 =
𝐹1
𝐴1
𝑥𝐴2
CARVALHO (2012).
Outro princípio creditado a Pascal estabelece que:
“Um fluido confinado em um recipiente de paredes sólidas, a pressão
exercida pelo fluido no recipiente atua perpendicularmente as suas
paredes”
PERES. (2006).
Lei de Pascal
Exemplo 1: Calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor da
prensa hidráulica da Figura 9, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada
no êmbolo maior. Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade 0,75
e as seções dos êmbolos são, respectivamente, 40 e 4000 cm2
1. Determinar o peso específico do óleo:
𝑑 =
𝛾ó𝑙𝑒𝑜
𝛾á𝑔𝑢𝑎
𝛾ó𝑙𝑒𝑜= 0,75𝑥1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚
−3 = 750𝑘𝑔𝑓 𝑚−3
2. Determinar a força P:
෍𝐹𝑌 = 0
෍𝐹𝑌 =
𝑃
𝐴
+ 𝛾ó𝑙𝑒𝑜ℎ −
𝑄
𝐴
𝑃
0,004𝑚2 + 750
𝑘𝑔𝑓
𝑚3 𝑥0,4𝑚 =
4400𝑘𝑔𝑓
0,4 𝑚2
𝑃 = 11000
𝑘𝑔𝑓
𝑚2 − 300
𝑘𝑔𝑓
𝑚2 0,004𝑚2 = 42,8𝑘𝑔𝑓
Lei de Pascal
Exemplo 2: O freio hidráulico de um automóvel tem o pistão em contato
com o pedal de área igual a 1 cm2. Cada um dos pistões que acionam as
lonas do freio tem área de 10 cm2. Quando o motorista aciona o freio com
uma força de 20 N, que força cada lona exerce sobre as rodas do
automóvel?
Aplicando-se a lei de Pascal, tem-se:
𝐹2 =
𝐹1
𝐴1
𝑥𝐴2
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
𝐹2 =
20 𝑁
1 𝑐𝑚2 𝑥10 𝑐𝑚
2 = 200 𝑁
Lei de Stevin
Simon Stevin
* Bruges, Flandres (atual Bélgica). 1548
+ (Haia ou Leiden) Bélgica. 1620. 72 anos.
Foi um engenheiro, físico e matemático belga.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bruges
http://pt.wikipedia.org/wiki/Circa
http://pt.wikipedia.org/wiki/1548
https://pt.wikipedia.org/wiki/Haia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leiden
http://pt.wikipedia.org/wiki/Circa
http://pt.wikipedia.org/wiki/1620
http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
Lei de Stevin
“A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em
equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso
específico do fluido”
Enuncia-se:
Considerando-se que atuam nesse prisma na
direção vertical, tem-se que:
෍𝐹𝑌 = 0
𝑝1𝐴 + 𝜌𝑔ℎ𝐴 − 𝑝2𝐴 = 0
𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌𝑔ℎ
Cancelando a área na expressão acima,
𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾ℎ
Maior profundidade = maior pressão
Lei de Stevin
Exemplo 3: A pressão da água na da torneira A, quando a mesma encontra-
se fechada, é de 0,28 kgf cm-2. Sabe-se que a diferença entre a saída da
torneira e o fundo da caixa d’água é de 2 m. Pede-se: a) a altura do nível de
água na caixa d’água? b) Qual a pressão na torneira B, fechada, situada a
três metros abaixo da torneira A?
1. Dados:
hTOTAL
𝑝𝐴 = 0,28
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2 𝑥
10000𝑐𝑚2
𝑚2 = 2800
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3
a) 𝑝𝐴 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝛾𝐻 2800 𝑘𝑔𝑓 𝑚−2 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3 ℎ + 2 𝑚
ℎ =
2800 𝑘𝑔𝑓 𝑚−2
1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3 − 2 𝑚 = 0,8 𝑚
b) ℎ𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 0,8 + 2 + 3 𝑚 = 5,8 𝑚
𝑝𝐵 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝛾ℎ𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑝𝐵 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3𝑥 5,8 𝑚 = 5800 𝑘𝑔𝑓 𝑚−2
𝑝𝐵 = 0,58 𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚−2
Manometria
Evangelista Torricelli
* Faenza, 15 de outubro de 1608
+ Florença, 25 de outubro de 1647. 39 anos.
Foi um físico e matemático italiano, mais
conhecido pela invenção do barômetro e por
descobertas na área de óptica.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Faenza
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1608
http://pt.wikipedia.org/wiki/Floren%C3%A7a
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1647
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/It%C3%A1lia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bar%C3%B4metro
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica
Manometria
a) Experiência de Torricelli (1642)
Patm Patm
Para determinar o valor da pressão
atmosférica, Torricelli utilizou um tubo de vidro
com um metro de comprimento, fechado em
uma das extremidades e cheio de mercúrio
(Hg). Ao colocar a extremidade livre do tubo
num recipiente contendo o mesmo líquido, ao
nível do mar (g = 9,81 m s-2), e temperatura de
0 °C, ele verificou que a coluna de Hg no tubo
alcançou 76 cm (762 mm).
1 𝑎𝑡𝑚 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 (atmosfera física)
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 10,33 −
0,12
100
𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑐𝑎𝑙 = ⋯𝑚. 𝑐. 𝑎.
Manometria
b) Escalas de pressão: pressão absoluta e pressão relativa
A pressão pode ser expressa utilizando-se dois referenciais: o vácuo
absoluto e apressão atmosférica local. Assim:
✓ Quando a pressão é expressa como sendo a diferença entre seu valor
medido e o vácuo absoluto denomina-se pressão absoluta;
✓ Quando a pressão é expressa como sendo a diferença entre seu valor
medido e a pressão atmosférica local denomina-se pressão relativa. A
pressão relativa também é chamada de pressão manométrica e pressão
efetiva;
Matematicamente são relacionadas por:
𝑝𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑝𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 + 𝑝𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
Manometria
b) Escalas de pressão: pressão absoluta e pressão relativa
(1)
(2)
(3)
(4)
Manometria
❑ Controlar a vazão que escoa em uma tubulação;
❑ Conhecer as condições de operação de um conjunto moto-bomba;
❑ Determinar a vazão e o raio de alcance emitido por um emissor;
❑ Calcular o esforço necessário para abrir comportas e o esforço
exercido sobre as paredes de um reservatório;
❑ Determinar o potencial matricial de água no solo.
A determinação da pressão tem as seguintes finalidades:
Manometria
c) Medidores de Pressão
❑ Os equipamentos que medem a pressão nos fluidos são denominados
manômetros, e indicam as pressões relativas, manométricas ou
efetivas;
❑ Os manômetros que medem somente pressões relativas negativas são
chamados de vacuômetros. Os que possuem escala positiva e negativa
são conhecidos como manovacuômetros.
Os principais tipos de manômetros serão descritos a seguir:
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
São aqueles que indicam a pressão atuante por meio da altura formada
pela coluna de líquido no interior de tubos transparentes. A seguir serão
apresentados os diversos tipos que se agrupam nessa categoria.
Manometria
- Qualquer posição em torno do perímetro da tubulação
indicará o mesmo valor de pressão;
- Mede pressões positivas; e,
- Não é apropriado para medir pressões elevadas (1 atm
equivale a 10,33 m.c.a.).
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
Consiste em um tudo transparente inserido no local onde se pretende
medir a pressão. O líquido circulante se elevará a uma altura h, que
corrigida do efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de
coluna líquida.
1. Piezômetro
𝑝𝐴 = 𝛾ℎ pA – pressão em A, kgf m-2 ou N m-2; 
γ – peso específico do líquido, N m-3 ou kg m-3;
h – altura da coluna líquida acima de A, m;
CARVALHO (2012).
Manometria
Exemplo 1: Qual a pressão máxima que pode ser medida com um piezômetro
de 3 m de altura, instalado em uma tubulação conduzindo: a) água (ρ = 1000 kg
m-3); b) óleo (ρ = 850 kg m-3)?
Manometria
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
❑ É utilizado quando a pressão a ser medida tem um
valor grande ou muito pequeno, para tanto é
necessário o uso de líquidos manométricos que
permitem reduzir ou ampliar as alturas da coluna
líquida;
❑ Pode ser utilizado para medir a pressão em líquidos
ou gases. Medem pressões relativas positivas e
negativas.
❑ O líquido manométrico deve atender aos requisitos:
2. Manômetro de tudo em U
- Não ser miscível com o fluido escoante;
- Formar meniscos bem definidos; e,
- Possuir densidade bem definida.
Manometria
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
❑ Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são:
água, cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de
acetileno e benzina;
❑ Para grandes pressões o líquidos manométrico mais adotado é o
mercúrio.
2. Manômetro de tudo em U
AZEVEDO NETTO et al (2006).
Para se determinar a pressão em D, tem-se que:
𝑝𝐶 = 𝑝𝐵
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 + 𝛾𝑧
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾′ℎ
Sabendo que PA = Patm, e substituindo (2) e (3) em (1)
(1)
(2)
(3)
𝑝𝐷 = 𝛾′ℎ − 𝛾𝑧
Manometria
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
2. Manômetro de tudo em U
Para se obter a pressão em função da densidade dos fluidos envolvidos,
basta dividir todos os termos da equação geral para manômetros de tubo
em U pelo peso específico da água. Assim:
𝑝𝐴 = 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
=
𝛾2ℎ2
𝛾𝐻2𝑂
−
𝛾1ℎ1
𝛾𝐻2𝑂
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
= 𝑑2ℎ2 − 𝑑1ℎ1
AZEVEDO NETTO et al (1998).
O termo
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
corresponde a energia de pressão por
unidade de peso, sendo expressa em m.c.a. (metro de
coluna de água).
pc
Highlight
Manometria
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
3. Manômetro diferencial
É o aparelho utilizado para medir a diferença de pressão entre dois pontos.
CARVALHO (2012).
𝑝1 = 𝑝2
𝑝1 = 𝑝𝐴 + 𝛾1(𝑥 + 𝑦 + ℎ)
𝑝2 = 𝑝𝐵 + 𝛾2𝑦 + 𝛾3ℎ
Substituindo (2) e (3) em (1)
(1)
(2)
(3)
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2𝑦 + 𝛾3ℎ − [𝛾1(𝑥 + 𝑦 + ℎ)]
Ou, fazendo-se o Σ p, tem-se:
𝑝𝐴 + 𝛾1 𝑥 + 𝑦 + ℎ − 𝛾3ℎ − 𝛾2𝑦 = 𝑝𝐵
Manometria
Exemplo 2: Um manômetro diferencial de mercúrio (d = 13,6) é utilizado
como indicador do nível de uma caixa d’água, conforme ilustra a figura ao
lado. Qual o nível da água na caixa (h1) sabendo-se que h2 = 15 m e h3 = 1,3 m?
 
h 1 
h 2 
h 3 
Patm 
Patm 
Manometria
Manômetro de líquido ou de coluna líquida
3. Manômetro diferencial (caso especial)
Pode-se utilizar um manômetro diferencial para medir a diferença de
pressão correspondente a perda de energia (perda de carga) entre dois
pontos de uma mesma tubulação. Nesse caso, tem-se:
PERES (2006).
h3
h1
𝑝𝐴 + 𝛾1ℎ3 − 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 + 𝛾1(ℎ1 + ℎ2) − 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1 = 𝑝𝐵
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = +𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ2
Manometria
Manômetro metálico tipo Bourdon
São os medidores de pressão mais utilizados. Permitem a leitura direta da
pressão e um mostrador. São utilizados para medir grandes pressões.
As pressões são determinadas pela deformação de uma haste metálica oca,
provocada pela pressão do líquido na mesma. A deformação movimenta
um ponteiro que se desloca em uma escala.
Manometria
Manômetro metálico tipo Bourdon
É constituído de um tubo
metálico transversal (seção reta)
elíptica que tende a se deformar
quando a pressão P aumenta.
A calibração é realizada com um manômetro de peso morto.
A pressão é obtida pela colocação de massas
conhecidas e padronizadas sobre um êmbolo
com área também conhecida. Para uma
determinada força-peso sobre o êmbolo pode-
se calcular a pressão exercida.
Manometria
Manômetros digitais (eletrônico)
Manômetro metálico tipo Bourdon
Ocasionalmente pode ser instalado a uma distância (acima ou abaixo) do
ponto em que se interesse conhecer a pressão. Se o manômetro for instalado
abaixo do ponto de medição, indicará uma pressão maior do que a vigente.
Caso seja instalado acima do ponto de interesse indicará uma pressão menor
do que a vigente.
A pressão ou diferença de pressão
provoca a deformação de uma
resistência especial (strain gage).
Tais deformações alteram a
resistência elétrica atuante, a qual
é relacionada a pressão por uma
equação de empírica.
Manometria
Exemplo 4: Um manômetro metálico posicionado a 2,5 m acima do centro de
uma tubulação conduzindo água indica uma pressão de 14 kgf cm-2. Qual a
pressão reinante no centro da tubulação?
Manometria
Caso especial: Tensiômetro
São equipamentos de campo utilizados para determinar diretamente o
potencial matricial de água no solo. Esse potencial é relacionado a
umidade do solo por meio de equação.
Consiste em uma cápsula porosa conectada a um tubo de PVC rígido, e a
um manômetro de mercúrio, ou, a um vacuômetro.
𝑝𝐴 − 𝛾𝐻2𝑂 𝑧 + ℎ𝑐 + ℎ + 𝛾𝐻𝑔ℎ = 𝑝𝐵
A
z
hc
h
x
A
B
m P=
(m)
(m)
(m)
(m)
A
z
hc
h
x
A
B
m P=
(m)
(m)
(m)
(m)
Superfície 
do solo
B
21
𝑝𝐴 = − 𝛾𝐻𝑔ℎ + 𝛾𝐻2𝑂 𝑧 + ℎ𝑐 + ℎ
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
= −12,6ℎ + ℎ𝑐 + 𝑧
“Dê ao mundo o melhor de você. Mas isso pode não
ser o bastante. Dê o melhor de você assim mesmo.
Veja você que, no final das contas, é tudo entre
VOCÊ e DEUS. Nunca foi entre você e os outros ”
Madre Teresa de Calcutá