Fatorial e Números Triangulares

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PMO v.14, n.1, 2026
ISSN: 2319-023X
https://doi.org/10.21711/2319023x2026/pmo1406
Quando o fatorial encontra os números triangulares
Gabriel Moreno Vascon Mustapha Rachidi Irene M. Craveiro
Resumo
Este trabalho tem como objetivo mostrar aos professores dos Ensinos Fundamental e Médio que a Matemática
pode ir muito além do que é apresentado nos livros didáticos ou nas apostilas padronizadas adotadas
nas escolas. Propomos explorar o conceito de fatorial de forma ampliada, evidenciando que ele não se
restringe aos números naturais, podendo ser estendido para os reais (como ocorre na Função Gama) e até
mesmo definido a partir de sequências numéricas arbitrárias. No Ensino Médio, o estudo de sequências
- como progressões aritméticas, geométricas e a sequência dos números triangulares - oferece um terreno
fértil para essa abordagem. Nessas sequências, é possível investigar padrões geométricos, algébricos e
recorrentes, permitindo a construção de versões generalizadas do fatorial. Além disso, mostramos que essa
noção de “fatorial generalizado"conecta-se a conceitos presentes na Matemática do Ensino Superior com
aplicações recentes. Em particular, destacamos sua relação com as sequências dos números de Catalan e de
Narayana, ampliando o repertório matemático escolar e aproximando a educação básica de ideias modernas
da Combinatória.
Palavras-chave: Números triangulares; Números de Catalan, Números de Narayana; Coeficiente binomial
generalizado
Abstract
This work aims to show teachers of Elementary and High School that Mathematics can go far beyond what
is usually presented in textbooks or standardized materials adopted in schools. We propose to explore the
concept of the factorial in a broader sense, highlighting that it is not restricted to natural numbers, but can
be extended to the real numbers (as in the Gamma Function) and even defined from arbitrary numerical
sequences. In High School the study of sequences — such as arithmetic and geometric progressions, as well
as the sequence of triangular numbers — offers fertile ground for this approach. Within these sequences,
one can investigate geometric, algebraic, and recurrent patterns, allowing the construction of generalized
versions of the factorial. Furthermore, we show that this notion of a “generalized factorial” connects to
concepts found in Higher Mathematics with recent applications. In particular, we highlight its relationship
with the sequences of Catalan and Narayana numbers, thereby broadening the mathematical repertoire in
schools and bringing basic education closer to modern ideas in Combinatorics.
Keywords: Triangular numbers, Catalan numbers, Narayana numbers, Generalized binomial coefficient.
1. Introdução
A matemática não termina no limite imposto pelos livros. Existe vida além de definições que damos a alguns
conceitos que podem ser extendidos para um campo maior. E em certas situações já fomos pegos de surpresa
68
https://doi.org/10.21711/2319023x2026/pmo1406
https://orcid.org/0000-0002-8576-8080
https://orcid.org/0000-0002-8210-7383
https://orcid.org/0000-0003-2839-2598
Vascon, Rachidi e Craveiro
com perguntas de alunos que nos deixam intrigados: Por que não posso definir o número 1 ou -1 como
número primo? Em uma dessas questões percebemos que ao ensinar o conceito de fatorial de forma recursiva,
fazendo 0! = 1 e n! = n(n − 1), com n um natural n ≥ 1. Já fomos questionados se não podíamos colocar
uma fração
1
2
, já que definimos recursivamente. Entretanto, a definição de n! = n× (n− 1) × · · · × 3× 2× 1.
Será que isso pode ser descoberto pelos alunos por meio da investigação de padrões? De acordo com [1],
A notação de fatorial (n!), introduzida por Kramp, não apenas resistiu às críticas contemporâneas, como
também se consolidou ao longo do tempo, tornando-se o padrão universalmente adotado na linguagem
matemática moderna.
Atualmente, o fatorial está presente nos mais diversos contextos, por vezes de maneira explícita, outras de
forma implícita. Para muitos estudantes, o primeiro contato com esse conceito ocorre no início do estudo
da Análise Combinatória, ao se depararem com problemas cujo objetivo é determinar de quantas maneiras
distintas se podem ordenar certos objetos, quando apenas a disposição importa. Nesses casos, a quantidade
total de ordenações possíveis de n objetos distintos é dada por n!. Por exemplo, de quantas maneiras podemos
organizar três pessoas em fila? A resposta é 3! = 6. O fatorial clássico é definido para n ∈ N por
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1, 0! := 1.
A resposta da possibilidade do cálculo do fatorial de um número fatorial ficaria bem definida por meio
da função Gama que estende coerentemente o fatorial para números reais (e complexos) não inteiros.
Para ℜ(z) > 0, define-se Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1e−t dt. Essa definição satisfaz a recorrência Γ(z + 1) =
zΓ(z) e Γ(1) = 1, de modo que, para n ∈ N temos Γ(n) = (n−1)!. Assim, é natural definir x! = Γ(x+1),
para x > −1, o que permite atribuir sentido a fatoriais fracionários, assim
(
1
2
)
! =
√
𝜋
2
. Para aprofundamento
no tema, sugerimos como leitura o material didático presente em [1]. Também há uma teoria de pesquisa
que envolve esse conceito e séries hipergemétricas, caso tenham interesse, consulte [2].
Este artigo apresenta uma pesquisa sobre uma classe de coeficientes binomiais generalizados já explorada na
literatura. No entanto, destacamos aqui uma abordagem particular, evidenciando essa generalização a partir
de um caso específico do coeficiente de Fontené, definido de forma mais ampla em 1915. Além disso, o
artigo também apresenta uma formulação para os números de Narayana a partir dos números triangulares e
explora suas propriedades algébricas e combinatórias. Destaca-se a expressão desses números por meio de
coeficientes binomiais e suas conexões com os números de Catalan e os números triangulares, evidenciando
resultados clássicos e recentes da combinatória. Além disso, discute-se a importância desses conceitos na
formação do pensamento combinatório, reforçando sua relevância pedagógica no contexto da Base Nacional
Comum Curricular [6], que valoriza a resolução de problemas. O estudo integra aspectos teóricos, históricos
e didáticos, apontando possibilidades para o ensino e a divulgação da Matemática.
O trabalho está estruturado em setes seções. Na Introdução, são apresentadas as motivações e inquietações
dos autores. Em seguida, a segunda seção traz um breve histórico e algumas curiosidades envolvendo os
números de Narayana. A terceira seção descreve o coeficiente binomial generalizado construído a partir
dos números triangulares, e na quarta seção é apresentada uma fórmula explícita para esse coeficiente,
demonstrando sua equivalência com expressões já conhecidas na literatura.
Nas seções seguintes, são desenvolvidas e comprovadas propriedades que permitem a construção de um
triângulo numérico, no qual se destacam relações e simetrias notáveis. Por fim, o artigo aborda os números
centrais de Narayana, evidenciando os casos em que esses números são quadrados perfeitos.
69
Vascon, Rachidi e Craveiro
2. Um breve Histórico
2.1. Coeficiente binomial- percursores de sua generalização
Em 1915, Georges Fontené (1848–1928) publicou uma breve nota propondo uma generalização dos coefi-
cientes binomiais ao substituir os números naturais por uma sequência arbitrária A = {An}n≥0 de números
reais ou complexos. Nessa nota, o autor apresentou a relação de recorrência fundamental para tais coeficien-
tes generalizados e observou que, paraAn = n, recuperam-se os coeficientes binomiais usuais, enquanto para
{An (q)}n≥1, com An (q) = qn−1
q−1 obtêm-se os coeficientes q-binomiais (caso queira se aprofundar consulte,
[22]) estudados por Gauss (bem como por Euler, Cauchy, F. H. Jackson e diversos outros posteriormente). O
termo coeficiente binomial foi introduzido pelo matemático alemão Michael Stifel (1486–1567), enquanto a
notação atual com parênteses foi proposta posteriormente por Andreas von Ettinghausen (1796–1878 [20].Mais tarde, esses coeficientes generalizados de Fontené foram redescobertos por Morgan Ward (1901–1963)
em um artigo breve, mas notável, publicado em 1936, no qual desenvolveu um cálculo simbólico para
sequências. Como Ward não mencionou Fontené e não foram encontrados outros precursores, adotou-se —
conforme indicado em [4] — a denominação coeficientes binomiais generalizados de Fontené–Ward.
De modo geral, dados n, k ∈ N com 0 ≤ k ≤ n, os coeficientes binomiais generalizados associados à
sequência A = {An}n≥1 são definidos por(
n
k
)
A
=
An An−1 · · ·An−k+1
A1 A2 · · ·Ak
com
(
n
0
)
A
= 1.
Gostaríamos de enfatizar que essa definição reduz-se aos coeficientes binomiais clássicos quando An = n,
e produz os coeficientes q-binomiais ao se tomar An =
qn − 1
q − 1
. Outras escolhas para A = {An}n≥0, como
por exemplo An = Fn (número de Fibonacci), dão origem aos chamados coeficientes fibonomiais, objeto de
crescente interesse a partir da década de 1960, ([4]).
A partir dessa definição, [4] apresenta o chamado Triângulo de Ward-Fontené, ilustrado na Figura 1.
Figura 1: Triângulo de Ward–Fontené
70
Vascon, Rachidi e Craveiro
2.2. Curiosidades: Os Números de Narayana
Os números de Narayana, representados como N(n, r), formam um triângulo de números naturais que
surgem em diversos problemas de contagem na matemática combinatória. O nome desses números é uma
homenagem ao matemático canadense de origem indiana Tadepalli Venkata Narayana (1930-1987), em
reconhecimento à sua significativa contribuição ao destacar a importância desses números, particularmente
em sua obra sobre a teoria dos caminhos reticulados e suas amplas aplicações em combinatória.
Embora os números que compõem este triângulo possam ter aparecido implicitamente em trabalhos anteri-
ores, foi o trabalho de T. V. Narayana que consolidou seu estudo e demonstrou sua relevância em diversos
contextos combinatórios. Suas pesquisas trouxeram à luz as conexões desses números com problemas como
a contagem de caminhos de Dyck com um número específico de picos e a enumeração de certas estruturas
arbóreas.
Segundo [13], o grande legado de Narayana, apesar de estatístico, está no campo da combinatória enumera-
tiva. Na década de 50, ele publicou um trabalho pioneiro em combinatória de caminhos reticulados, donde
resultou uma fórmula explícita para o número de caminhos de (0, 0) a (n, n) que não cruzam a linha x = y.
Esses números ficaram, mais tarde, conhecidos como “Números de Narayana". Embora a paixão de Narayana
pela combinatória fosse evidente, há uma ironia em seu caminho: apesar de seu grande interesse por essa
área, ele também se envolveu no campo dos desenhos adaptativos em estatística. Em sua tese de doutorado,
ele apresentou dois modelos sequenciais para estimar a mediana, mas essas ideias não foram publicadas
nem exploradas mais a fundo, conforme é apontado por [13]. Como resultado, ficaram pouco discutidas
nas abordagens atuais sobre métodos adaptativos na estatística, contrastando com o impacto perene de sua
combinatória.
Narayana alcançou uma reputação internacional como grande pesquisador em análise combinatória e es-
tatística. Seus trabalhos envolvendo teoria dos torneios, composições, planos de amostragem e caminhos
reticulados o estabeleceram como uma autoridade nesses campos da matemática.
Segundo [5], os números de Narayana são utilizados na contagem de caminhos de Dyck. Um caminho de
Dyck de comprimento 2n é um caminho no plano cartesiano que começa no ponto (0, 0) e termina no ponto
(2n, 0). Nele, em cada passo, os caminhos são definidos partindo do ponto (m, n) e se deslocando para
(m + 1, n + 1) ou (m + 1, n − 1). A primeira opção pode ser chamada de passo ascendente (U) e a segunda
de passo descendente (D).
Os números N(n, r) são utilizados para calcular o número de caminhos de Dyck com exatamente r picos.
Um pico em um caminho de Dyck é um ponto onde um passo ascendente é imediatamente seguido por um
passo descendente. Graficamente, é um “topo"da trajetória do caminho.
Para n = 3, temos que os caminhos de Dyck de comprimento 6 são: UUUDDD (1 pico), UUDUDD (2 picos),
UUDDUD (2 picos), UDUUDD (2 picos) e UDUDUD (3 picos). No capítulo seguinte será introduzida uma
fórmula explícita para os números de Narayana que garante que N(3, 1) = 1 (corresponde a UUUDDD),
N(3, 2) = 3 (corresponde a UUDUDD, UUDDUD, UDUUDD) e N(3, 3) = 1 (corresponde a UDUDUD).
Os caminhos de Dyck, por sua vez, possuem outras aplicações, o que também implica a relação dos números
de Narayana e dos números de Catalan com essas aplicações [3]. Um exemplo é o número de maneiras de
formar triângulos em um polígono convexo de n + 2 lados que é dado pelo n-ésimo número de Catalan, e
cada triangulação pode ser codificada por um caminho de Dyck.
Os números de Narayana N(n, r) também possuem uma aplicação interessante na contagem de árvores
enraizadas planas (ordered rooted trees) com n vértices e exatamente r folhas [15]. Uma árvore enraizada
plana é uma árvore enraizada onde a ordem dos filhos de cada nó é significativa. Uma folha é um vértice de
71
Vascon, Rachidi e Craveiro
grau 1 (exceto possivelmente a raiz, se a árvore tiver apenas um vértice ou se a raiz tiver grau 1 e n > 1).
Como exemplo, considere árvores enraizadas planas com n = 4 vértices. Os números de Narayana para
n = 4 são: N(4, 1) = 1 (1 árvore com 1 folha - um caminho linear), N(4, 2) = 6 (6 árvores com 2 folhas),
N(4, 3) = 6 (6 árvores com 3 folhas) e N(4, 4) = 1 (1 árvore com 4 folhas - todos os nós internos têm grau
2).
É crucial distinguir os conceitos de Sequência de Narayana e Números de Narayana (objeto de estudo desse
trabalho), que são dois objetos distintos na matemática combinatória, apesar de compartilharem o nome
“Narayana".
Segundo [14], a sequência de Narayana, que tem suas origens no trabalho do matemático indiano Narayana
Pandit no século XIV. Trata-se de uma sequência de inteiros {bn}n≥0 definida pela relação de recorrência
linear de terceira ordem:
bn+1 = bn + bn−2,
com b0 = 0, b1 = 1 e b2 = 1. Os primeiros termos da sequência são 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, ...., Esta sequência
tornou-se conhecida por meio do Problema da Vaca ([19], [7]), uma formulação análoga ao famoso Problema
dos Coelhos de Fibonacci. Além do mais, aparece em diversos problemas combinatórios, como a contagem
de maneiras de ladrilhar um retângulo 2×n com dominós 1×2 e triminós 1×3, [16].
Os Números de Narayana, como já mencionado, tem esse nome devido a Tadepalli Venkata Narayana. Tais
números formam um triângulo de números naturais que possui propriedades similares ao triângulo de Pascal
e diversas relações com os números binomiais e os números de Catalan.
Confundir a sequência de Narayana com os números de Narayana pode levar a erros e mal-entendidos signi-
ficativos ao trabalhar em problemas de combinatória ou ao ler literatura sobre o assunto. As propriedades,
as fórmulas de recorrência (no caso da sequência e do triângulo), e as aplicações de cada um são distintas.
A sequência é unidimensional, gerada por uma relação de recorrência envolvendo os três termos precedentes,
enquanto os números formam uma estrutura bidimensional (um triângulo) e obedecem a uma relação de
recorrência diferente.
É essencial estar atento ao contexto para determinar a qual dos dois se está referindo. Ao discutir esses
conceitos, é útil especificar “a sequência de Narayana (de Narayana Pandit)"ou “os números de Narayana
(de Tadepalli V. Narayana)"para evitar qualquer ambiguidade.
Em resumo, embora ambos os conceitos sejam importantes na combinatória, eles representam objetos mate-
máticos distintos com diferentes origens, definições e aplicações. A clareza na terminologia é fundamental
para uma compreensão precisa.
3. O coeficiente binomial via números triangulares e números de Narayana
Na literatura matemática, os números de Narayana são frequentemente introduzidos e definidos a partir de
sua fórmulas explícitas, por exemplo,
Definição 1. Seja n > 0 inteiro e 1 ≤ r ≤ n, os números de Narayanasão dados por
N(n, r) = 1
r
(
n
r − 1
) (
n − 1
r − 1
)
,
com N(0, 0) = 1.
72
Vascon, Rachidi e Craveiro
De acordo com [17], é possível definir os números de Narayana partindo do conceito de números triangulares.
O propósito do presente trabalho é definir os números de Narayana dessa maneira. Inspirados nessa
construção, vamos dar a definição de coeficiente binomial generalizado triangular, ou seja, partindo das
ideias de Fontene e fazendo T = {Tn}n≥0 , onde Tn é o n−ésimo número triangular. O fatorial do n−
ésimo número triangular é dado recursivamente por T0! = 1, Tn! = TnTn−1! se n ≥ 1. Por exemplo,
T1! = T1T0! = 1.e Tn!.
Definição 2. Os números formados a partir de dois inteiros n e r com n ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ n dados por(
n
r
)
T
=
Tn!
Tr! · Tn−r!
, (1)
são chamados de números binomiais triangulares, ou ainda, binomiais generalizados dos números triangu-
lares.
Um fato interessante que iremos desenvolver nesse trabalho é estabelecer outra maneira de descrever os
números de Narayana, partindo da definição binomial generalizado dos números triangulares e, para isso,
uma fórmula explícita para
(
n
r
)
T
. Entretanto, segue algumas propriedades que seguem direto da definição
2, como por exemplo, o Teorema 1.
Teorema 1. O coeficiente binomial genralizado triangular
(
n
r
)
T
satisfaz a relação de recorrência(
n
r
)
T
=
Tn
Tr
·
(
n − 1
r − 1
)
T
(2)
Demonstração. De (1), temos que (
n
r
)
T
=
Tn!
Tr! · Tn−r!
.
Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por Tr, obtém-se(
n
r
)
T
· Tr =
Tn!
Tr−1! · Tn−r!
=
Tn−1!
Tr−1! · Tn−r!
· Tn =
(
n − 1
r − 1
)
T
· Tn.
Logo, temos
(
n
r
)
T
=
Tn
Tr
·
(
n − 1
r − 1
)
T
. □
Assim como nos números binomiais, é possível verificar uma relação de simetria entre o coeficiente binomial
generalizado triangular. Observe o Teorema 2.
Teorema 2. O coeficiente binomial generalizado triangular satisfaz a seguinte relação simétrica(
n
r
)
T
=
(
n
n − r
)
T
Demonstração. Segue de (1) que(
n
r
)
T
=
Tn!
Tr! · Tn−r!
=
Tn!
Tn−r! · Tr!
=
Tn!
Tn−r! · T(n−(n−r) ) !
=
(
n
n − r
)
T
. □
A estreita relação do coeficiente binomial e os números triangulares é dada no seguinte teorema.
73
Vascon, Rachidi e Craveiro
Teorema 3. A segunda diagonal do triângulo do coeficiente binomial generalizado triangular é formada
por números triangulares, isto é, triangular (
n
r
)
T
= Tn
A prova desta expressão segue direto da definição, isto é, temos
(
n
1
)
T
=
Tn!
T1! · Tn−1!
=
TnTn−1!
T1! · Tn−1!
= Tn.
O próximo resultado estabelece uma classe de coeficientes binomiais generalizados triangulares
(
n
r
)
T
que
são divisíveis por um número triangular Tn.
Teorema 4. Sejam n e r inteiros positivos. Se mdc(Tn, Tr) = 1, então Tn |
(
n
r
)
T
.
Demonstração. De fato, segue do Teorema 1 que(
n
r
)
T
=
Tn
Tr
· N(n − 1, r − 1) =⇒ Tr ·
(
n
r
)
T
= Tn ·
(
n − 1
r − 1
)
T
.
Então, Tn | Tr ·
(
n
r
)
T
. Como mdc(Tn, Tr) = 1, segue que
Tn |
(
n
r
)
T
.
Como aplicação do Teorema 4, tome os números triangularesT6 = 21 eT4 = 10. Temos quemdc(21, 10) =
1. Logo 21 = T6 | N(6, 4) = 105 = 5 × 21..
4. Uma fórmula explícita para
(
n
r
)
T
O Teorema 5 introduz outra fórmula explícita para o coeficiente binomial generalizado triangular, baseada
nos números triangulares e, novamente, em termos do coeficiente binomial.
Teorema 5. Sejam n ≥ 0 inteiro e 0 ≤ r ≤ n, o coeficiente binomial generalizado satisfaz a seguinte relação(
n
r
)
T
=
1
n − r + 1
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
. (3)
Demonstração. Segue de (1) que
(
n
r
)
T
=
Tn!
Tr! · Tn−r!
=
Tn−r! · Tn−r+1 · Tn−r+2 · ... · Tn−1 · Tn
Tr! · Tn−r!
, ou
seja, (
n
r
)
T
=
Tn · Tn−1 · ... · Tn−r+2 · Tn−r+1
Tr · Tr−1 · ... · T2 · T1
=
(n+1)n
2 · n(n−1)
2 · ... · (n−r+2) (n−r+1)
2
(r+1)r
2 · r(r−1)
2 · ... · 3·2
2 · 2·1
2
Logo, temos (
n
r
)
T
=
(n + 1)2 · n2 · (n − 1)2 · ... · (n − r + 2)2 · (n − r + 1)
(r + 1) · r2 · (r − 1)2 · ... · 32 · 22 · 12 ;
74
Vascon, Rachidi e Craveiro
=
(n + 1) · n · (n − 1) · ... · (n − r + 1)
(r + 1) · r · (r − 1) · ... · 3 · 2 · 1 · n · (n − 1) · ... · (n − r + 1)
r · (r − 1) · ... · 3 · 2 · 1 · 1
n − r + 1
=
(
n + 1
r + 1
)
·
(
n
r
)
· 1
n − r + 1
.
Logo, obtemos
(
n
r
)
T
=
1
n − r + 1
·
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
. □
Considerando o Teorema 5, podemos obter o seguinte resultado.
Teorema 6. As fórmulas explícitas da Definição 1 e do Teorema 5 são equivalentes, isto é, temos(
n − 1
r − 1
)
T
=
1
r
(
n
r − 1
) (
n − 1
r − 1
)
, ou seja, N(n + 1, r + 1) =
(
n
r
)
T
.
Demonstração. Aplicando a simetria do coeficiente binomial na fórmula do Teorema 5, temos(
n
r
)
T
=
1
n + 1
·
(
n + 1
n − r + 1
)
·
(
n + 1
r + 1
)
.
Ou seja, temos que (
n
r
)
T
=
1
n + 1
(
n + 1
n − r + 1
)
· n + 1
r + 1
(
n
r
)
=
1
r + 1
(
n + 1
n − r + 1
) (
n
r
)
=
1
r + 1
(
n + 1
n + 1 − (n − r + 1)
) (
n
r
)
=
1
r + 1
(
n + 1
r
) (
n
r
)
= N(n + 1, r + 1).
Fazendo r = 0, temos
N(n + 1, 1) = 1
1 + 0
(
n + 1
0
) (
n
0
)
= 1 =
(
n
0
)
T
.
Para r = n, obtemos
N(n + 1, r + 1) = 1
n + 1
(
n + 1
n
) (
n
n
)
= 1 =
(
n
r
)
T
.
Logo, para n ≥ 1 e 1 ≤ r ≤ n, vale que(
n − 1
r − 1
)
T
= N(n − 1 + 1, r − 1 + 1) = N(n, r) = 1
r
(
n
r − 1
) (
n − 1
r − 1
)
.
Portanto, obtemos a formula que deve ser demonstrada. □
Em [21], os números de Narayana são definidos como
Nn,r =
1
n
(
n
r
) (
n
r + 1
)
,
para n ≥ 1 e 0 ≤ r ≤ n. Observe que
Nn,r =
1
n
(
n
r
) (
n
r + 1
)
=
1
n
· n!
r!(n − r)! ·
n!
(r + 1)!(n − r − 1)!
75
Vascon, Rachidi e Craveiro
=
1
n
· n(n − 1)!
r!(n − r)! ·
n!
(r + 1)r! · (n − r − 1)! =
1
r + 1
· n!
r!(n − r)! ·
(n − 1)!
r!(n − r − 1)!
=
1
r + 1
(
n
r
) (
n − 1
r
)
.
Logo, deduzimos Nn,r = N(n + 1, r + 1).
5. Algumas Propriedades e Aplicações
Os números de Catalan formam uma sequência muito importante na combinatória. Eles aparecem em
inúmeros problemas de contagem, especialmente aqueles que envolvem estruturas recursivas. Para mais
detalhes sobre esses números, veja [12]. Podemos defini-los por
Cn =
1
n + 1
(
2n
n
)
, para natural n ≥ 0. (4)
Já no Teorema 7, fica estabelecida uma relação mais direta e explícita entre os números de Narayana e os
números de Catalan.
Teorema 7. A soma das entradas de cada linha do triângulo de Narayana é um número de Catalan. Em
particular, temos
n∑︁
r=0
N(n + 1, r + 1) = Cn+1.
Demonstração. Do Teorema 5, temos que
n∑︁
r=0
N(n + 1, r + 1) =
n∑︁
r=0
(
n
r
)
T
=
n∑︁
r=0
1
n − r + 1
·
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
.
Da simetria inerente do coeficiente binomial podemos escrever
1
n + 1
(
n + 1
n − k + 1
)
=
1
n + 1
(
n + 1
n − k + 1
)
=
1
n − k + 1
(
n
n − k
)
=
1
n − k + 1
(
n
k
)
.
Dessa forma, novamente com a simetria do coenficente binomial, temos
n∑︁
r=0
N(n + 1, r + 1) =
n∑︁
r=0
1
n − r + 1
·
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
=
n∑︁
r=0
1
n + 1
·
(
n + 1
n − r + 1
)
·
(
n + 1
r + 1
)
.
Portanto, deduzimos
n∑︁
r=0
N(n + 1, r + 1) = 1
n + 1
·
n∑︁
r=0
(
n + 1
n − r + 1
)
·
(
n + 1
n − r
)
=
=
1
n + 1
·
(
2n + 2
n + 2
)
= Cn+1. □
O número Cn+1 dado pela soma das entradas da n-ésima linha do triângulo de Narayana também indica o
número de caminhos de Dyck de comprimento 2n, conforme [12].
76
Vascon, Rachidi e Craveiro
Teorema 8. O coeficiente binomial generalizado dos números triangulares,
(
n
r
)
T
é um número inteiro.
Demonstração. De fato,
(
n
r
)
T
=
1
n − r + 1
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
=(
n
r
) (
n + 1
r + 1
)
·
[
1
n − r + 1
]
=
(
n
r
) (
n + 1
r + 1
)
·
[
1 − (n − r)
n − r + 1
]
=
(
n
r
) (
n + 1
r + 1
)
− (n − r) ·
(
n
r
)
· (n + 1)!
(r + 1)!(n − r)!(n − r + 1)
=
(
n
r
) (
n + 1
r + 1
)
− (n)!
(r + 1)!(n − r − 1)! ·
(n + r − 1)!
(r + 1)!(n − r + 1)!
=
(
n
r
) (
n + 1
r + 1
)
−
(
n + 1
r + 1
) (
n + 1
r
)
.
Como os coeficientes binomiais são inteiros, então segue que
(
n
r
)
T
é um número inteiro. □
O Teorema 9 apresenta uma propriedade análoga àquela observadanos coeficientes binomiais, já que sua
disposição e simetria lembram a configuração da Estrela de David, em que dois triângulos equiláteros se
sobrepõem formando um hexagrama. Essa semelhança reflete a natureza combinatória simétrica presente
nos coeficientes envolvidos. Para mais detalhes, veja [12].
Teorema 9. Dados n e r inteiros com n ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ n, temos que
N(n, r + 1) · N(n + 1, r) · N(n + 2, r + 2) = N(n, r) · N(n + 1, r + 2) · N(n + 2, r + 1).
Demonstração. Segue do Teorema 5 que
N(n, r + 1) · N(n + 1, r) · N(n + 2, r + 2) =
=
1
n − r
·
(
n
r + 1
)
·
(
n + 1
r + 2
)
· 1
n − r + 2
·
(
n + 1
r
)
·
(
n + 2
r + 1
)
· 1
n − r + 1
·
(
n + 2
r + 2
)
·
(
n + 3
r + 3
)
=
(
n
r + 1
)
· 1
n − r + 2
·
(
n + 1
r
)
·
(
n + 2
r + 1
)
· 1
n − r + 1
·
(
n + 2
r + 2
)
· 1
n − r
·
(
n + 1
r + 2
)
·
(
n + 3
r + 3
)
=
(
n
r + 1
)
· 1
n − r + 2
·
(
n + 1
r
)
·
(
n + 2
r + 1
)
· 1
n − r + 1
·
(
n + 2
r + 2
)
· 1
n − r
·
(
n + 1
r + 2
)
·
(
n + 2
r + 3
)
· n + 3
n − r
(5)
Como
1
n − r
·
(
n + 1
r + 2
)
·
(
n + 2
r + 3
)
= N(n + 1, r + 2), segue, em (5), que
N(n, r + 1) · N(n + 1, r) · N(n + 2, r + 2) =
=
(
n
r + 1
)
· 1
n − r + 2
·
(
n + 1
r
)
·
(
n + 2
r + 1
)
· 1
n − r + 1
·
(
n + 2
r + 2
)
· n + 3
n − r
· N(n + 1, r + 2)
77
Vascon, Rachidi e Craveiro
=
(
n
r + 1
)
· 1
n − r + 2
· (n + 1)!
r!(n − r + 1)! ·
(
n + 2
r + 1
)
· 1
n − r + 1
· (n + 2)!
(r + 2)!(n − r)! ·
n + 3
n − r
· N(n + 1, r + 2). (6)
Note que
(n + 1)!
r!(n − r + 1)! ·
(n + 2)!
(r + 2)!(n − r)! ·
n + 3
n − r
=
(
n + 3
r + 2
)
(n + 1)!
r!(n − r) (n − r)!
e
1
n − r + 2
·
(
n + 2
r + 1
)
·
(
n + 3
r + 2
)
= N(n + 2, r + 1).
Assim, considerando (6) deduzimos que temos
N(n, r + 1) · N(n + 1, r) · N(n + 2, r + 2) = 1
n−r+1 ·
( n
r+1
)
· (n+1)!
r!(n−r) (n−r)! · N(n + 1, r + 2) · N(n + 2, r + 1)
=
1
n − r + 1
· n!
(r + 1)!(n − r − 1)! ·
(n + 1)!
r!(n − r) (n − r)! · N(n + 1, r + 2) · N(n + 2, r + 1)
=
1
n − r + 1
n!
(n − r)! ·
(n + 1)!
(r + 1)!(n − r)! · N(n + 1, r + 2) · N(n + 2, r + 1)
=
1
n − r + 1
·
(
n
r
)
·
(
n + 1
r + 1
)
· N(n + 1, r + 2) · N(n + 2, r + 1).
Portanto, obtemos a expressão
N(n, r + 1)N(n + 1, r)N(n + 2, r + 2) = N(n, r)N(n + 1, r + 2)N(n + 2, r + 1).
□
6. O triângulo de Narayana
O triângulo de Narayana é uma disposição triangular de números inteiros que estende a ideia dos números de
Narayana, de modo análogo ao papel do triângulo de Pascal na organização dos coeficientes binomiais. Cada
entrada desse triângulo corresponde a uma contagem combinatória particular, frequentemente associada à
enumeração de árvores, caminhos reticulados ou partições de conjuntos. Sua estrutura evidencia padrões
simétricos e recorrências que surgem de forma natural em diversos problemas de combinatória enumerativa.
Dados dois números inteiros n e r com n ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ n, a partir dos números de Narayana N(n, r), é
possível obter o chamado triângulo de Narayana. Para cada valor de n, teremos r = 0, 1, 2, ..., n.
Para a primeira linha, fixamos n = 0. Desse modo, temos que r = 0 e utilizando o Teorema 5, temos
N(n, r) = N(0, 0) = 1.
Para a segunda linha, se n = 1, então r = 0 ou r = 1, donde
N(1, 0) =
(
1 + 1
0 + 1
)
·
(
1
0
)
· 1
1 − 0 + 1
=
(
2
1
)
·
(
1
0
)
· 1
2
= 1,
N(1, 1) =
(
1 + 1
1 + 1
)
·
(
1
1
)
· 1
1 − 1 + 1
=
(
2
2
)
·
(
1
1
)
= 1.
78
Vascon, Rachidi e Craveiro
Na terceira linha, se n = 2, segue que r = 0, r = 1 ou r = 2. Assim,
N(2, 0) =
(
3
1
)
·
(
2
0
)
· 1
3
= 3 · 1 · 1
3
= 1,
N(2, 1) =
(
3
2
)
·
(
2
1
)
· 1
2
= 3 · 2 · 1
2
= 3,
N(2, 2) =
(
3
3
)
·
(
2
2
)
= 1.
Na quarta linha, para n = 3, temos r = 0, r = 1, r = 2 ou r = 3. Segue que
N(3, 0) =
(
4
1
)
·
(
3
0
)
· 1
4
= 4 · 1 · 1
4
= 1, N(3, 1) =
(
4
2
)
·
(
3
1
)
· 1
3
= 6 · 3 · 1
3
= 6,
N(3, 2) =
(
4
3
)
·
(
3
2
)
· 1
2
= 4 · 3 · 1
2
= 6, N(3, 3) = 1.
Prosseguindo desse modo, obtém-se as entradas para as linhas do triângulo de Narayana.
Além disso, o Teorema 3 apresenta um resultado referente aos números da sequência 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...,
ou seja, os números da forma N(n, 1), que compõem a segunda diagonal do triângulo de Narayana.
Figura 1: Triângulo de Narayana
n = 0 1 → 1
n = 1 1 1 → 2
n = 2 1 3 1 → 5
n = 3 1 6 6 1 → 14
n = 4 1 10 20 10 1 → 42
n = 5 1 15 50 50 15 1 → 132
n = 6 1 21 105 175 105 21 1 → 429
Fonte: Elaborado pelo autor. Os números em azul são os números de Catalan Cn+1.
Se lidos da esquerda para a direita e seguindo a ordem das linhas, os números 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 6, 1, 1,
10, 20, 10, 15, 50, 50, 15, 1, ... que aparecem no triângulo formam exatamente a sequência dos números de
Narayana.
É possível observar, de forma ilustrativa, que os números que formam o triângulo de Narayana da Figura
2 são simétricos com relação a linha vertical central. Esse resultado segue do Teorema 2. Além disso, os
números triangulares também aparecem, de acordo com o Teorema 3.
79
Vascon, Rachidi e Craveiro
Figura 2: O caso particular Número triangulares: Tn =
(
n
1
)
T
.
7. Números de Narayana e quadrados perfeitos
O Teorema 10 estabelece uma condição para que um número de Narayana seja um quadrado perfeito. Na
demonstração desse resultado, os números de Catalan surgem naturalmente.
Teorema 10. Os números centrais de Narayana serão quadrados se, e somente se, 2n+ 1 for um quadrado.
Demonstração. Primeiramente, note que os números centrais de Narayana são da forma N(2n, n). Segue
do Teorema 5 que
N(2n, n) = 1
2n − n + 1
·
(
2n
n
)
·
(
2n + 1
n + 1
)
=
1
n + 1
·
(
2n
n
)
· (2n + 1)!
(n + 1)! · n!
=
1
n + 1
·
(
2n
n
)
· (2n + 1) · 1
n + 1
· (2n)!
n! · n!
= (2n + 1) · 1
n + 1
·
(
2n
n
)
· 1
n + 1
·
(
2n
n
)
= (2n + 1) · C2
n,
onde Cn é o n-ésimo número de Catalan, 4. Assim, os números centrais de Narayana são dados pelo produto
(2n + 1) ·C2
n, onde o segundo termo já é um quadrado. Logo, N(2n, n) será um quadrado se, e somente se,
(2n + 1) for um quadrado.
A tabela abaixo ilustra o resultado do Teorema 10, com os respectivos números centrais de Narayana para
os primeiros quadrados da forma 2n + 1.
80
Vascon, Rachidi e Craveiro
Tabela 7: Números Centrais de Narayana Quadrados Perfeitos
n Cn C2
n 2n + 1 (2n + 1) · C2
n = N(2n, n)
0 1 1 1 1 = 12
1 1 1 3 3
2 2 4 5 20
3 5 25 7 175
4 14 196 9 1764 = 422
... ... ... ... ...
12 208012 43268992144 25 1081724803600 = 10400602
... ... ... ... ...
Fonte: Elaborado pelo autor
Considerações Finais
Ao realizar essa pesquisa percebemos que o conceito de fatorial e números triangulares podem ser ampliados
de maneira significativa no contexto da Educação Básica, permitindo estabelecer conexões entre conteúdos do
Ensino Médio e temas matemáticos mais avançados. Ao integrar sequências numéricas, padrões algébricos e
recorrências com ideias como a Função Gama, os números de Catalan e os números de Narayana, reforçamos
a compreensão da Matemática como um campo vivo, articulado e em permanente evolução.
Do ponto de vista pedagógico, essa abordagem oferece ao professor a oportunidade de enriquecer sua prática
com atividades exploratórias e investigativas que estimulam o pensamento crítico e a construção ativa do
conhecimento. Nesse cenário, destacam-se as possibilidades de projetos de iniciação científica desenvol-
vidos por estudantes do Ensino Médio, que favorecem a exploração de modelos combinatórios, a análise
de recorrências e a formulação de argumentos matemáticos, promovendo autonomia e aprofundamento
conceitual.
Desse modo, o estudo contribui tanto para o fortalecimento do repertório docente quanto para a criação
de ambientes de aprendizagem mais investigativos e conectados à produção contemporânea da Matemática.
Além disso, evidencia o potencial de aproximar a sala de aula de processos autênticos de pesquisa, valorizando
a Matemática como área essencial para a formação acadêmica e para o esenvolvimento científico.
Referências
[1] CARNEIRO , M. S.; FERNANDES, M. A. e MAZZINI, K. S. Por que 0! = 1? Quantoé 1/2!? Existe fatorial de número negativo? PMO, v. 13, n. 2, 2025. ISSN 2319-023X.
https://doi.org/10.21711/2319023x2025/pmo1311
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Applications, Series Number 71. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
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Disponível em 06 de outubro de 2025.
82
https://doi.org/10.1007/978-1-4939-3091-3
Vascon, Rachidi e Craveiro
Gabriel Moreno Vascon
PROFMAT-UFGD-FACET
Mustapha Rachidi
INMA, Federal University of Mato Grosso do Sul - UFMS, Campo Grande, MS
Irene M. Craveiro
UFGD - Universidade Federal da Grande Dourados
Recebido: 10/10/2025
Publicado: 13/01/2026
83
gabrielmorenovascon@gmail.com 
mustapha.rachidi@ufms.br 
irenecraveiro@ufgd.edu.br
	Introdução
	Um breve Histórico
	Coeficiente binomial- percursores de sua generalização
	Curiosidades: Os Números de Narayana 
	O coeficiente binomial via números triangulares e números de Narayana 
	Uma fórmula explícita para ( c n r )T
	Algumas Propriedades e Aplicações
	O triângulo de Narayana
	Números de Narayana e quadrados perfeitos