Controle de Sistemas 3

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CONTROLE DE SISTEMASCONTROLE DE SISTEMAS
SISTEMAS DE CONTROLE,SISTEMAS DE CONTROLE,
MÉTODO DO LUGARMÉTODO DO LUGAR
GEOMÉTRICO DAS RAÍZES EGEOMÉTRICO DAS RAÍZES E
DIAGRAMA DE BODEDIAGRAMA DE BODE
Au to r ( a ) : M a . S o f i a M a r i a Am o r i m Fa l c o R o d r i g u e s
R ev i s o r : M e . Ed e r s o n Pa u l o Vo g e l
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 30 minutos.
Introdução
Olá, estudante! Iniciaremos nossos estudos discorrendo sobre o projeto de controladores PID
(proporcional, integral e derivativo) — que pode ser realizado, de maneira facilitada, a partir de
diversos tipos de abordagens. Entre esses enfoques, podemos destacar o método do Lugar
Geométrico das Raízes (LGR), uma das possíveis formas de representação de sistemas de
controle, com polos e zeros, além do Diagrama de Bode, outra importante ferramenta para a
representação da resposta no domínio da frequência de um dado sistema. Nesse sentido,
estudaremos, inicialmente, a partir de uma visão geral e, a título de exemplificação, analisaremos
alguns exemplos práticos do método do Lugar Geométrico das Raízes. Essa técnica pode ser
utilizada na representação de um sistema real, pois é utilizada para o desenvolvimento do projeto
de um controlador PID. Por fim, encerraremos esse material de estudo aprofundando nossos
conhecimentos através do desenvolvimento do Diagrama de Bode e suas possibilidades de
utilização na prática, além da sua utilização no projeto de um controlador PID, enfatizando sobre o
papel dos software e dos algoritmos nesse tipo de técnica.
Bons estudos!
Você sabia que o lugar geométrico das raízes é uma possibilidade usual na representação gráfica
de um sistema de controle, mais precisamente dos polos em malha fechada, considerando a
variação de um dos parâmetros deste sistema? Com isto, torna-se viável o projeto de um sistema
de controle, permitindo, também, analisar a estabilidade e a resposta transitória do sistema
Método do Lugar
Geométrico das Raízes
controlado. Com base nessas informações, começaremos nossa análise a partir da familiarização
com a representação para, em seguida, analisarmos, através de exemplos práticos, como é obtido
o esboço à mão e o delineamento computacional do processo.
Visão Geral
A representação gráfica da técnica do Lugar Geométrico das Raízes utiliza, como base, a
representação vetorial de números complexos. Nesse sentido, precisamos saber a distância dos
polos e a distância dos zeros, bem como os ângulos formados. Além disso, cabe a utilização de
software para a obtenção facilitada dessas representações. Falaremos mais sobre esse assunto
adiante.
O lugar geométrico das raízes pode ser obtido por meio de uma varredura no plano s, cuja soma
dos ângulos resultam em um múltiplo ímpar de 180°. Posteriormente, à mão, é feito um esboço
um pouco mais simplificado para facilitar a compreensão. A utilização de assíntotas pode ser
significativamente facilitadora nesse processo.
REPRESENTAÇÃO PELO MÉTODO DO
LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES
Fonte: nartgraphic [Adaptado] / 123RF.
#PraCegoVer: o infográfico interativo, intitulado “Representação pelo método do Lugar Geométrico das
Raízes”, possui cinco botões interativos, alinhados verticalmente. O primeiro botão interativo, intitulado
“Número de ramos”, ao ser clicado, apresenta o texto “correspondente ao número de polos em malha
fechada”. O segundo botão interativo, intitulado “Simetria”, ao ser clicado, apresenta o texto “o lugar
geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo real”. O terceiro botão interativo, intitulado
“Segmentos do eixo real”, ao ser clicado, apresenta o texto “para K > 0, o lugar geométrico das raízes
existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros em malha aberta, no eixo real”. O quarto
botão interativo, intitulado “Pontos de início e término”, ao ser clicado, apresenta o texto “início nos polos
finitos e infinitos de G(s)H(s) e término nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s)”. O quinto botão
interativo, intitulado “Comportamento no infinito”, ao ser clicado, apresenta o texto “o lugar geométrico
das raízes tende às assíntotas quando tender ao infinito. As equações dessas retas são dadas pela
interseção com o eixo real e os ângulos formados, que em radianos são calculados como:
; ”.
Como regras adicionais, que podem ser utilizadas para o refinamento do esboço, devemos ter
atenção aos pontos de entrada e de saída do eixo real. Vale a pena lembrar que o lugar das raízes
sai do eixo real em um ponto — ganho máximo, e retorna nesse mesmo eixo — ganho mínimo.
Podem ser calculados, com maior precisão, os cruzamentos no eixo imaginário a partir da
informação de fase.
Por fim, deve-se considerar os ângulos de partida e de chegada. Sendo assim, o ganho K será
dado por:
Exemplos
Agora, considere a obtenção do lugar geométrico das raízes no sistema prático a seguir.
=ϕa
polos finitos −  zeros finitos∑ ∑
#polos finitos − #zeros finitos
=θa
(2k+1)π
#polos finitos − #zeros finitos
/_G (s)H (s) = (2k + 1) 180∘
K = = =
1
|G (s)H (s)|
1
M
dist ncias at  os polos finitos∏ â é
dist ncias at  os zeros finitos∏ â é
Figura 3.1 - Sistema a ser representado pelo lugar das raízes
Fonte: Nise (2018, p. 612).
#PraCegoVer: entrada R(s): junção de soma. O bloco da planta, ,
com saída C(s) e realimentação na junção de soma.
Para o sistema, o segmento do eixo real será determinado de acordo com os polos, entre -2 e -4.
Em seguida, devemos nos lembrar que o lugar geométrico das raízes inicia nos polos de malha
aberta e encerra nos zeros da malha fechada. Com isso, temos o seguinte esboço:
K ( − 4s + 20) / (s + 2) (s + 4)s2
Figura 3.2 - Lugar geométrico das raízes
Fonte: Nise (2018, p. 612).
#PraCegoVer: o plano s com o eixo real e o eixo imaginário . Em seguida, são marcados os pontos
2 + j4 e 2 - j4 e, posteriormente, desenha-se um semicírculo entre eles. Além disso, são marcados, com
um X, os pontos -4 e -2 no eixo real, e tem-se a reta partindo da origem .
Como exemplificação, suponhamos que haja a necessidade de saber qual o ponto exato em que o
lugar geométrico das raízes cruza a reta estabelecida, sendo o amortecimento 0,45. Para isso, é
possível desenvolver o processo de procura computacionalmente, mas o ângulo nesse caso será:
Através das coordenadas polares, percebemos que o ponto será: 3,4/_116,7°, com ganho de 0,417.
Já para saber a faixa em que o sistema é estável, podemos considerar , ponto no qual os
ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180°. Todavia, ao buscarmos através das coordenadas
polares, percebemos que o lugar geométrico das raízes cruza o eixo imaginário, com um ganho de
K = 1,5. Nesse tipo de situação, é interessante termos o auxílio de um software, pois auxiliará no
projeto do sistema de controle, tornando possível sua conclusão. Vale lembrar, também, que o
ganho K pode ser ajustado entre 0 e 1,5.
O processo de obtenção do lugar geométrico das raízes é relativamente simples por meio
computacional. Via software MATLAB, por exemplo, pode ser feito de forma muito fácil.
σ jω
ς = 0, 45
θ = 180 − co 0, 45 = 116, 7∘ s−1 ∘
θ = 90∘
Considerando a seguinte função de transferência, temos:
Nesse caso, poderíamos dar os seguintes comandos: sys = tf([2 5 1],[1 2 3]); rlocus(sys). O gráfico
seria gerado e, além disso, tornaria possível obter o vetor de ganhos da malha fechada e a
localização das raízes complexas, como saída desta última função.
A seguir, veja como é possível utilizar a representação através do método do lugar geométrico das
raízes para o projeto de um controlador P, PI, PD ou PID, atendendo às diversas especificações de
projeto.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
G (s)   =  
2 + 5s + 1s2
+ 2s + 3s2
REFLITA
Um sistema estável, instável ou marginalmente estável possuirá
representações características obtidas através do método do
lugar geométrico das raízes. Desta forma, você consegue
imaginar como poderíamos trazer certas característicaspara o
sistema físico real, representado através deste método,
auxiliando, assim, no projeto de um sistema de controle? Dica:
podemos estabelecer condições, em alguns casos possíveis,
para obtê-lo na prática a partir da localização dos polos e dos
zeros, tornando o sistema estável.
O lugar geométrico das raízes pode ser compreendido, basicamente, como o percurso realizado
pelas raízes da equação característica, traçado através do plano s, considerando a variação de
um dado parâmetro, como um ganho K, por exemplo.
A partir dessa informação, é correto afirmar que:
a) A quantidade de ramos no lugar geométrico das raízes corresponde ao número de
zeros em malha fechada.
b) O lugar geométrico das raízes de um dado sistema será estabelecido simetricamente
em relação ao eixo imaginário.
c) O ganho K maior que zero implica, consequentemente, que o lugar geométrico das
raízes existirá do lado esquerdo aos polos e/ou zeros de malha fechada.
d) O ganho K maior que zero implica, por consequência, que o lugar geométrico das
raízes existirá do lado direito aos polos e/ou zeros de malha fechada.
e) O lugar geométrico das raízes inicia nos polos de G(s)H(s) e é finalizado nos zeros de
G(s)H(s).
Agora, caro(a) estudante, veremos como empregar esta importante metodologia de representação
na prática, aplicando os conhecimentos, até aqui adquiridos, para a elaboração do projeto de um
sistema de controle. Iniciaremos com uma visão geral e, depois, apresentarei o passo a passo
através de exemplos práticos. Vamos lá?
Visão Geral
O projeto de um sistema de controle, no contexto da utilização do método do lugar geométrico das
raízes, poderá atender a questões específicas, como a escolha de um dado ganho adequado,
considerando a especificação estabelecida para a resposta transitória do sistema, por exemplo.
Projeto de Controle pelo
Lugar das Raízes
Todavia, devemos nos atentar para o estabelecimento de um sistema de controle que, nesse caso,
estará limitado às respostas obtidas ao longo do lugar geométrico das raízes em questão. Isto
ficará mais claro ao longo dos nossos estudos.
Para visualizar como se configura o avanço, suponhamos um polo, um zero e um ponto qualquer
no plano complexo. Por meio da configuração dos ângulos, em que há um ângulo positivo
resultante das diferenças entre eles, teremos, por consequência, um avanço de fase. Vejamos, na
figura abaixo, como ficou a representação do polo e do zero do compensador através da situação
descrita anteriormente.
Um controlador que proporciona o avanço ou o atraso de fase para controle do
sistema, também denominado compensador, possuirá pelo menos um zero e um polo
conforme a função de transferência. 
Figura 3.3 - Compensador em avanço: polo e zero
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: representação no plano s, com o eixo x sendo o real e o eixo y o imaginário. O polo possui
menor magnitude e está localizado sobre o eixo real, com o zero localizado um pouco mais à frente,
nesse mesmo eixo. O polo faz um ângulo de para a projeção no ponto P, no eixo imaginário, e o zero o
ângulo , mais aberto, para a projeção nesse mesmo ponto.
Considera-se o desenvolvimento do projeto dada a especificação de um determinado ponto
desejável para o polo do sistema. Geralmente, escolhemos, de forma arbitrária, o polo ou o zero e
determinamos, a partir disso, a contribuição angular deste ponto, junto aos pontos já existentes de
malha aberta — polo(s) e zero(s) do sistema controlado.
Levando em conta um compensador em atraso, o contrário irá acontecer. Esse tipo de controlador,
pelo fato do módulo zero, neste caso, ser maior que o do polo, poderá, ainda, ser representado e
compreendido. Além disso, possui um funcionamento semelhante a um circuito passa-baixa. O
processo de compensação, nesse caso em específico, proporcionará efeitos positivos em regime
permanente, embora ocorra, em alguns casos, um frequente aumento no tempo de estabilização
do sistema. Vejamos, agora, o lugar geométrico das raízes, considerando a presença ou não da
compensação por atraso de fase.
ϕ1
θ1
Figura 3.4 - Diferença do lugar geométrico das raízes, com e sem compensação por atraso de fase
Fonte: Nise (2018, p. 689).
#PraCegoVer: do lado esquerdo, tem-se o plano s, com o eixo real e o eixo imaginário . Esse plano é
representado por três pontos no eixo real, marcados com x. Em seguida, é traçado um semicírculo, que
cruza o eixo real entre o segundo e o terceiro ponto marcado e com as setas saindo desses pontos,
convergindo para um ponto P no semicírculo. Do lado direito, tem-se o plano s, com o eixo real e o eixo
imaginário . Esse plano é representado por três pontos no eixo real, marcados com x. Em seguida, é
traçado um semicírculo, que cruza o eixo real entre o segundo e o terceiro ponto marcado e com setas
saindo desses pontos, convergindo para um ponto P no semicírculo. Além disso, ainda nesse mesmo
plano, tem-se, agora, outros dois pontos mais à frente: o primeiro marcado com uma bola, denominado -
zc e o segundo, com outro x, denominado -pc, também com retas apontando para o ponto P.
Por fim, temos o compensador em avanço e em atraso de fase, que atua combinando as duas
ações (de avanço e de atraso de fase), objetivando o controle do sistema. A função de
transferência será:
Logo, o compensador poderá ser representado da seguinte forma:
σ jω
σ
jω
(s) =Gc Kc
(s + )z1
(s + )p1
(s + )z2
(s + )p2
Figura 3.5 - Polos e zeros do compensador em avanço e em atraso de fase
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: plano s, com o eixo real e o eixo imaginário, sendo dois polos e dois zeros, localizados no
eixo real. Em ordem crescente de magnitude, tem-se o polo 1, formando o ângulo considerando a
projeção do ponto P no eixo imaginário. O zero 1 forma o ângulo , com esse mesmo ponto, seguido
pelo zero 2, com o ângulo nesse mesmo ponto de referência e, por fim, o polo 2, com o ângulo ,
com relação ao ponto P.
A seguir, veremos o passo a passo de como proceder com o projeto de um controlador, mais
especificamente um tipo de compensador em avanço de fase, para um processo modelado a
partir de uma função de transferência e com especificações práticas.
Exemplos Práticos
Considere então, como exemplo prático, que desejamos projetar um sistema de controle para a
compensação de um sistema, visando aperfeiçoar o regime permanente em 10 vezes, além de
considerar o fator de amortecimento em 0,174.
ϕ1
θ1
θ2 ϕ2
Figura 3.6 - Sistema a ser controlado
Fonte: Adaptada de Nise (2018).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com R(s) de entrada, uma junção de soma, o erro E(s), o bloco ganho
K, a planta , que é representada por um bloco, e a saída C(s), que está
conectada à junção em realimentação unitária.
Tem-se, ainda, o lugar geométrico das raízes desse sistema, que pode ser visto na figura a seguir.
1/ (s + 1) (s + 2) (s + 10)
Figura 3.7 - Lugar geométrico das raízes
Fonte: Nise (2018, p. 685).
#PraCegoVer: plano s, com o eixo real e o eixo imaginário . São representados os polos em malha
aberta em negrito, com x em -10, -2 e -1, os polos em malha fechada, -11,61, -0,694 + j3,926 e -0,694 -
j3,926, com um semicírculo entre eles. A reta forma um ângulo de 100,02° com o eixo real.
O primeiro passo será estabelecer o erro sem a compensação. Considerando o fator de
amortecimento em 0,174, constata-se, através do lugar geométrico das raízes, que existirão os
polos dominantes, , para um dado ganho de 164,6. O terceiro polo dominante
será encontrado de forma semelhante e, para o caso apresentado, -11,61, o que resulta em um
ganho Kp = 8,23, permitindo calcular o erro em regime permanente. Vale lembrar que, novamente,
a utilização de software será de fundamental importância.
Uma melhoria em 10 vezes significará um erro em regime permanente de 0,0108, o que nos levaria
a um ganho de:
σ jω
ς = 0, 174
−0, 694 ± j3, 926
e (∞) = = 0, 108
1
1 + Kp
= = 91, 59Kp
1 − 0, 0108
0, 0108
Além disso, comparando o sistema(sem e com o compensador), a relação é proposta, permitindo
estabelecer o zero do compensador em função de seu polo, ou vice-versa. Veja:
Tendo pc = 0,01, obtemos:
Assim, a função de transferência do compensador será:
Além disso, comparando o sistema compensado e o não compensado, mais especificamente o
lugar geométrico das raízes do sistema em malha aberta resultante, pós-compensação, fica fácil
perceber o efeito da inserção de polos e de zeros, estabelecidos através da colocação do
compensador no sistema controlado. Logo, teremos:
=
zc
pc
Kpcomp
Kpsem
= = 11, 13 = 0, 111zc
91, 59
8, 23
pc pc
(s) =Gc
K (s + 0, 111)
(s + 0, 01)
Figura 3.8 - Lugar geométrico das raízes do sistema compensado
Fonte: Nise (2018, p. 691).
#PraCegoVer: plano s, com o eixo real e o eixo imaginário . Desenha-se os polos em malha fechada,
em malha aberta e os zeros, além de considerar K = 158,1 e . Os polos em malha aberta são:
-10, -2, -1 e -0,101. Os polos em malha fechada são: -11,55, -0,01, -0,678 + j3,836 e -0,678 - j3,836. A reta
dada por faz um ângulo de 100,02° com o eixo real.
Lembre-se que a obtenção do lugar geométrico das raízes para o sistema compensado segue os
mesmos passos vistos anteriormente. Ademais, processos semelhantes poderão ser realizados
para o projeto de um compensador em avanço de fase ou, até mesmo, para um compensador em
avanço e em atraso. Além disso, será de fundamental importância, como você já deve ter
percebido, a validação da presença do compensador, pois, em alguns casos, outros ajustes
poderão ser necessários, visando ao desenvolvimento final do sistema de controle.
praticar
σ jω
ς − 0, 174
ς = 0, 174
Vamos Praticar
Considere, para análise prática e interpretação de possíveis efeitos proporcionados pelo sistema
de controle, o exemplo visto anteriormente: projeto de um compensador em atraso de fase.
Para tomar a decisão final, devemos ponderar alguns aspectos. Caso o compensador seja ou não
uma boa opção para uso na prática, a análise do lugar das raízes deverá ser feita e, como vimos
anteriormente, a utilização de software poderá contribuir de maneira significativa nesse
processo. Pensando nisso, analise o resultado permitido pelo sistema compensado. Qual foi o
efeito conseguido com a inserção do compensador? Utilize, em sua explicação, os polos e os
zeros do sistema, além do seu erro em regime permanente.
Iniciaremos nossos estudos a partir de uma visão geral, entendendo o desenvolvimento do
diagrama, para que, posteriormente, possamos compreender, através de exemplos práticos, a
justificativa para a utilização dos software como, por exemplo, a acessibilidade para a obtenção
dessas análises, bem como a criação de um critério de estabilidade. Vamos lá?
Visão Geral
O Diagrama de Bode é um tipo de gráfico logarítmico utilizado para a representação de um dado
sistema de controle, ou de um processo ou de uma planta, no domínio da frequência.
Diagrama de Bode
Na verdade, essa representação logarítmica ocorre através de duas performances que, em
conjunto, denotam a resposta completa em frequência. Um Diagrama de Bode é formado a partir
da resposta do módulo e da fase da função de transferência, capaz de representar
matematicamente o sistema a ser estudado. Sendo uma função de transferência qualquer, será
interessante transformá-la de acordo com a exemplificação a seguir, evidenciando os n polos e m
zeros,
Nesse caso, K pode ser um ganho presente (ou não, em alguns casos). Além disso,
representaremos o sistema em malha aberta — o motivo para essa escolha ficará claro no nosso
primeiro exemplo prático do uso do Diagrama de Bode, no próximo tópico.
No domínio da frequência, podemos tornar a função escrita na forma . Assim, a magnitude
da resposta será:
Já a fase, por sua vez, é calculada a partir do número em sua forma complexa. O Diagrama de
Bode será, ainda, o resultado de um esboço “otimizado”, frente às aproximações/referências.
Como exemplo para compreensão, considere a seguinte função de transferência.
Logo, considerando e normalizando a função, temos:
Fonte: kudryashka /123RF.
G (s)   =  
K (s + ) (s + ) . . . (s + )z1 z2 zm
(s + ) (s + ) . . . (s + )p1 p2 pn
G (jω)
magnitude  =  20log |G (jω)|
G (s)   =  
10 (s + 3)
s (s + 2) ( + s + 2)s2
G (jω) = =
3.10( + 1)jω
3
2.2 (jω)( + 1) [ + + 1]jω
2
(jω)2
2
jω
2
37, 5( + 1)jω
3
(jω)( + 1) [ + + 1]jω
2
(jω)2
2
jω
2
Agora, precisaremos definir as assíntotas de curvas retas, que servirão de referência para o
desenho, de acordo com o formato da função. Nesse caso em específico, teremos:
O próximo passo é definir as frequências de canto, pontos nos quais haverá mudanças de
inclinação da curva de resposta, tanto para a magnitude quanto para a fase. Esses valores são
definidos a partir dos polos e dos zeros, de acordo com o exemplo apresentado abaixo:
Com todos esses parâmetros, poderemos traçar as assíntotas no Diagrama de Bode, que servirão
para a obtenção da curva real, tanto para a magnitude quanto para a fase. Vejamos, mais
detalhadamente, no exemplo a seguir.
1  ass ntota :  7, 5;  2  ass ntota :  1/jω;  3  ass ntota :   + 1;  4  ass ntota :  a í a í a í
jω
3
a í
1
+ 1jω
2
5  ass ntota :  a í
1
+ + 1
(jω)2
2
jω
2
= 3 rad/s;   = 2 rad/s;   = rad/s;ω1 ω2 ω3 2–√
Figura 3.9 - Assíntotas
Fonte: Adaptada de Ogata (2010).
#PraCegoVer: do lado esquerdo, tem-se o gráfico de magnitude, em e dB, com cinco curvas traçadas.
A primeira é uma linha reta, abaixo de 20 dB. A segunda é uma linha de 0 dB até 1 rad/s. A terceira é uma
linha de 0 dB até 3 rad/s. A quarta é uma linha de 0 dB até 2 rad/s e a quinta é uma linha de 0 dB até 
rad/s. Do lado direito, tem-se o gráfico de fase, em e , com cinco curvas traçadas. A primeira é uma
reta em 0°, a segunda é uma reta em -90°, a terceira é constante em 0° até 1 rad/s, a quarta começa em
0° e decai, especialmente a partir de 2 rad/s, para próximo de -90° e a quinta começa em 0° e decai,
especialmente a partir de rad/s, quando está em -90° e, depois, assume -180°.
Cada reta corresponde a um fator da função. Traçando as assíntotas do gráfico de magnitude,
nota-se que, abaixo de ,a inclinação deverá assumir seu primeiro valor: -20 dB por
década de variação da frequência. Lembremo-nos que, nesse caso, iremos contabilizar um fator
10 de variação. Por exemplo: se a frequência é 2 rad/s, logo, uma década abaixo, 0,2 rad/s, uma
acima, 20 rad/s. Já entre e 2 rad/s, temos uma nova variação, em detrimento da mudança da
frequência de corte e da inclinação, tornando-se -60 dB/década, entre 2 e 3 rad/s. Em seguida,
passaremos para a inclinação máxima, -80 dB/década, sendo que, após 3 rad/s, a inclinação
retornará para -60 dB/década. As mesmas observações são válidas com relação ao diagrama de
fase, e com cada um dos fatores, para a construção da curva.
Por fim, será possível obter as curvas reais, conquistadas através da soma das curvas assíntotas,
com pequenos desvios. Vejamos:
ω
2
–√
ω ϕ
2
–√
 rad/s2
–√
2
–√
Figura 3.10 - Curva real
Fonte: Adaptada de Ogata (2010).
#PraCegoVer: do lado esquerdo, tem-se o gráfico de magnitude, em e dB, com seis curvas traçadas. A
primeira é uma linha reta, abaixo de 20 dB. A segunda é uma linha de 0 dB até 1 rad/s. A terceira é uma
linha de 0 dB até 3 rad/s. A quarta é uma linha de 0 dB até 2 rad/s e a quinta é uma linha de 0 dB até 
rad/s. O entorno de cada uma dessas curvas representa as curvas reais, que contém pequenos desvios
em torno das frequências de canto e a sexta curva é a curva exata, resultado da soma das outras cinco,
junto a sua curva real. Do lado direito, tem-se o gráfico de fase, em e , com seis curvas traçadas. A
primeira é uma reta em 0°, a segunda é uma reta em -90°, a terceira é constante em 0° até 1 rad/s, a
quarta começa em 0° e decai, especialmente a partir de 2 rad/s, para próximo, de -90°, e a quinta começa
em 0° e decai, especialmente a partir de rad/s, quando está em -90° e, depois, assume -180°. Alémdisso, representando a curva , temos a sexta curva, que sai de -90° e decai, especialmente a partir
de 1 rad/s, até atingir -270°.
Para fatores de primeira ordem, do tipo , a correção sugerida para a curva real, aplicada na
frequência de canto, é de 3 dB e 1 dB para as frequências, uma oitava abaixo e uma acima da
frequência de canto. Já as correções para fatores de segunda ordem (ou quadráticos, como
também são conhecidos), do tipo , são dadas conforme o valor
calculado de coeficiente de amortecimento. A título de exemplificação de estudo, esse tipo de
ω
2
–√
ω ϕ
2
–√
G (jω)
[jω]±1
[ + 2ς ( ) + 1]( )jω
ωn
2
jω
ωn
±1
correção pode ser visualizado com mais detalhes na referência de Ogata (2010). Todavia, para o
sistema apresentado, devemos seguir o seguinte cálculo:
A seguir, apresentarei exemplos práticos de como podemos utilizar o Diagrama de Bode em
análises e, também, como é possível obter as importantes representações de um dado sistema
qualquer através do uso de software.
Exemplos Práticos
Você deve estar se perguntando: por que representar o sistema no domínio da frequência? Outro
questionamento plausível seria: por que devemos representar sua resposta e quais seriam as
possíveis vantagens? A estabilidade de um dado sistema de controle, ou mesmo de um processo
— característica tão desejada na prática, levando em consideração que são modelados no domínio
da frequência, pode ser analisada através de ferramentas de representação gráfica da resposta do
sistema. Assim, a partir da metodologia, será estabelecida as condições para a estabilidade de um
sistema, como é o caso do Critério de Estabilidade de Nyquist. Logo, teremos a facilitação da
análise através do Diagrama de Bode. O Critério de Estabilidade de Nyquist é estabelecido para
relacionar a estabilidade de um sistema em malha fechada e sua resposta, em malha aberta, no
domínio da frequência, além da posição de seus polos, em malha aberta. Portanto, correlaciona-se
o conhecimento acerca da resposta em frequência, em malha aberta, para determinar questões
importantes de estabilidade do sistema, em malha fechada. O Critério de Estabilidade de Nyquist
também permitirá afirmar que os polos de 1 + G(s)H(s) são os mesmos que os do resultado de
G(s)H(s) (a malha aberta) e que os zeros de 1 + G(s)H(s) correspondem aos polos da função de
transferência em malha fechada (OGATA, 2010; NISE, 2018). Para um melhor entendimento,
vejamos a figura a seguir:
= 0, 353
1
/22
–√
Figura 3.11 - Sistema de controle genérico em malha fechada
Fonte: Nise (2018, p. 824).
#PraCegoVer: diagrama de blocos com: R(s) na entrada, uma junção de soma, bloco G(s), realimentação
feita através do bloco H(s), conectado à junção e à saída C(s).
Ademais, temos outro ponto importante: o Diagrama de Bode pode ser utilizado na
implementação do Critério de Estabilidade de Nyquist para a análise de estabilidade de um dado
sistema. Isso ocorre a partir da determinação de parâmetros importantes, como a margem de
ganho e a margem de fase do sistema. A margem de ganho ( ) é expressa em dB, sendo
definida, nesse caso específico, a partir do quanto o ganho, em malha aberta, irá variar com uma
defasagem de 180°, para que o sistema, configurado em malha fechada, torne-se instável. Já a
margem de fase ( ), por sua vez, é a variação da defasagem do sistema em malha aberta,
considerando, como base, um ganho unitário. Esse valor é capaz de fazer com que este sistema,
em malha fechada, torne-se instável (NISE, 2018). Desta forma, os parâmetros são duas medidas
de estabilidade e, além disso, existe uma relação com o lugar geométrico das raízes, visto que
quanto mais os polos do sistema estão distantes do eixo , mais estável ele será e, por
consequência, apto às variações nas margens.
Como exemplo, considere o seguinte sistema.
GM
ϕM
jω
Figura 3.12 - Sistema para exemplo
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: diagrama de blocos com: R(s) de entrada, uma junção de soma, bloco da planta (G(s)) e a
saída C(s), que está conectada à entrada pela junção, em um ramo sozinho.
Logo, objetivando analisar a estabilidade, a planta a ser controlada possui a seguinte função de
transferência:
Assim, o objetivo, será determinar uma faixa de K em um sistema estável. Partindo da
determinação dos polos em malha aberta do sistema, obtemos:
As raízes do polinômio do denominador são -2, -3 e -4, todas localizadas no semiplano esquerdo
do plano s. Com isto, é possível afirmar que o sistema em malha aberta é estável e, pelo Critério
de Estabilidade de Nyquist, sabemos, ainda, que o sistema em malha fechada será estável caso a
resposta, em frequência do sistema em malha aberta, apresente ganho menor que 1, sendo a fase
180°. Portanto, o próximo passo será determinar o Diagrama de Bode para o sistema em malha
aberta, tendo o ganho unitário. Logo, calculamos o valor de K, em que s = 0. Veja:
G (s)   =  
K
(s + 2) (s + 3) (s + 4)
G (s)H (s)   =   .1 =
K
(s + 2) (s + 3) (s + 4)
K
(s + 2) (s + 3) (s + 4)
Desta forma, fazendo K = 24, o Diagrama de Bode começa em 0 dB e 0°. Para o esboço do gráfico
de magnitude, lembre-se que a cada frequência de canto, a inclinação muda. Na 1ª frequência de
canto ( ), a inclinação é modificada para -20 dB/década e mantém-se até
 (2ª frequência de canto). A partir deste ponto, a inclinação será -40 dB/década e
mantém-se até (3ª frequência de canto), ponto onde passa a ser -60 dB/década.
Para o diagrama de fase, como mencionado, a curva começará em 0° e mantém-se neste valor até
uma década antes da 1ª frequência de canto (0,2 rad/s), ponto onde a inclinação se torna
-45°/década, até uma década antes da 2ª frequência de canto (0,3 rad/s). Neste último, a
inclinação muda -45°/década e passa a ser -90°/década até uma década antes da 3ª frequência
de canto (0,4 rad/s), onde temos a maior inclinação, -135°/década. Por fim, para as décadas
posteriores às frequências de canto, percebe-se, então, que em 20 rad/s a curva assume
-90°/década até 30 rad/s, quando passa a ter -45°/década até 40 rad/s, quando se torna sem
inclinação. O resultado do Diagrama de Bode é visto, a seguir, com a curva real e com a
aproximação que utilizamos, assim como no exemplo anteriormente apresentado (ver subtópico
3.3.1).
= 1  →  K  =  24
K
(0 + 2) (0 + 3) (0 + 4)
ω = 2 rad/s
ω = 3 rad/s
ω = 4 rad/s
Figura 3.13 - Diagrama de Bode do sistema
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: diagrama superior com a frequência em rad/s e a magnitude em dB, sendo representado
de 0 a 1000 rad/s e -140 a 0 dB. A curva começa em 0, por volta de 0 rad/s e permanece constante até
cerca de 3 rad/s, quando o decaimento é maior e chega a zero pouco depois de 500 rad/s. São
representados, também, os valores vistos para decaimento, nas frequências de canto, 2, 3 e 4 rad/s. Na
parte de baixo, tem-se o diagrama de frequência em rad/s por fase, em graus, variando de 0 a 1000 rad/s
e -300 a 0°. Começamos a curva em 0 e 0 rad/s, aproximadamente, e decai, especialmente a partir de 0,4
rad/s, até se tornar quase constante em 20, 30 e 40 rad/s e indefinidamente, próximo a -300°.
De acordo com Nise (2018), se um contorno A — que envolve todo o semiplano da direita, for
mapeado através de G(s)H(s), por conseguinte, o número de polos em malha fechada Z, no
semiplano da direita, será igual ao número de polos em malha aberta P, que estão no semiplano da
direita — menos o número de voltas do mapeamento no sentido anti-horário N, em torno de −1;
isto é, Z = P − N.
Assim, para que o sistema seja estável, precisaremos evitar que a resposta dê voltas ao redor de
-1. Em termos específicos do Diagrama de Bode, que analisa a estabilidade, percebemos que:
quando a fase é -180°, temos cerca de 6 rad/s e -20 dB de magnitude, o que permite concluir que o
ganho pode aumentar em até 20 dB sem que o sistema se torne instável. Sendo K = 24, no nosso
caso, e o ganho de 20 dB, implica, em escala real, um ganho igual a 10. O ganho máximo para
estabilidadeserá: 24 x 10 = 240. Assim, o sistema será estável com 0 1
(s)   =  Gc Kc
( s + 1)τ1
(( /α) s + 1)τ1
( s + 1)τ2
(( /α) s + 1)τ2
α > 1 e  |p|Kc
(s + z)
(s + p)
G (s)   =   =
100.3, 6
s (s + 100) (s + 36)
360
s (s + 100) (s + 36)
ς = → ς ≈ 0, 6
−ln (sobressinal/100)
+ ln (sobressinal/100)π2−−√ 2
= t ( ) → ≈ 59, 2ϕM g−1 2ς
−2 +ς 2 1 + 4ς 4− −−−−−√
ϕM
∘
Assim, a resposta do sistema em malha aberta, será:
Figura 3.17 - Diagrama de Bode em malha aberta
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: na parte superior, tem-seo diagrama de amplitude, com a frequência em rad/s no eixo x e
a magnitude em dB no y. A curva de resposta começa próximo a 0 dB e decai ao longo da variação de
frequência, especialmente a partir de 10 rad/s. Na parte de baixo, tem-se o diagrama de fase, com a
frequência em rad/s no eixo x e a fase em graus no y, sendo a curva -100° até 10 rad/s, quando decai
bruscamente para -250°.
Agora, buscaremos, no Diagrama de Bode, para qual frequência é estabelecida a fase de 59,2°,
sendo que este cálculo deve ser feito tomando 2180° - , resultando em 2120,8°. A frequência,
que gera esta margem, pode ser calculada pela seguinte relação, onde obtemos 14,8 rad/s:
Outrossim, ao projetar no gráfico a magnitude, vemos que será 244 dB, porém para que tenhamos
a margem de fase requerida, adotaremos 0 dB a partir do deslocamento promovido pelo ganho K
estabelecido, assim como o sobressinal desejado, de 9,5%. Ou seja:
ϕM
/_G (jω) = −90 − t∘ g−1
−2 +ς 2 4 + 1ς 4− −−−−−√
− −−−−−−−−−−−−−
√
2ς
20log (x)   =  44 dB  →  x ≈ 162
K = 3,6.162 = 538,2
A função de transferência em malha aberta será:
O resultado obtido pode ser visto pelo seguinte Diagrama de Bode:
Figura 3.18 - Diagrama de Bode da atual resposta em malha aberta
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: diagrama superior de frequência, em rad/s e magnitude, em dB. A curva apresentada parte
constante, em 50 dB, para as frequências menores, com queda, que se acentua a partir de 10 rad/s, até
menos de -100 dB. O diagrama inferior apresenta a frequência, em rad/s e a fase, em graus, com a curva
constante em -100° até 10 rad/s e começa a decair, atingindo cerca de -200° em 100 rad/s.
Agora, de fato, obteremos a função de transferência do compensador para que, posteriormente,
possa ser validado e, então, implementado. Com a solicitação apresentada do erro de regime
permanente, o seguinte ganho é encontrado.
G (s)   =  
53820
s (s + 100) (s + 36)
= = 1  →   = 16, 2Kv
53820
s (0 + 100) (0 + 36)
Kv
Mas, com a melhoria de 10x do erro de regime permanente, conclui-se que Kv= 162. Logo, em
malha aberta, tem-se que:
E, em malha fechada, temos:
Como o erro em regime permanente melhorará em 10 vezes, a margem de fase deve ser
aumentada em um fator de 10. Sendo assim: 59,2° + 10° = 69,2°. A frequência correspondente
deve ser encontrada: 2180° - 69,2° = 2110,8°, o que resulta em 9,8 rad/s, aproximadamente. Em
seguida, estabelece-se um ganho para que, a essa frequência, o diagrama de magnitude esteja em
0 dB. Portanto, conclui-se que o compensador em projeto deverá ser capaz de fornecer 224dB
para atenuação da curva de magnitude, passando de 9,8 rad/s para 0 dB.
Primeiramente, iniciaremos traçando uma assíntota de alta frequência, de acordo com o
fornecimento do compensador que, no nosso caso, será em 224dB. Em seguida, deve-se escolher
a frequência de canto superior que, usualmente, é estabelecida em uma década inferior à
frequência encontrada para a margem de fase — no exemplo, em 0,98 rad/s. O próximo passo é
interligar o ponto desejado (0 dB) até onde estamos (224dB), traçando uma reta que, nesse caso
específico, terá uma inclinação aproximada de 220 dB/década. Como o ganho Kv era de 16,2, faz-
se este menos o fator de 10 — 0,062 rad/s e, em seguida, escolhemos a frequência de canto
inferior, uma década abaixo. Para determinar o ganho do compensador, devemos considerar o
desejo de manter o valor já especificado, K = 5832. O resultado, considerando o fator de 10, será
G (s) =
5382
s (s + 100) (s + 36)
G (s) =
538200
s (s + 100) (s + 36)
Para obter a função de transferência doPara obter a função de transferência do
controlador projetado, começaremos acontrolador projetado, começaremos a
desenvolver alguns passos básicos comdesenvolver alguns passos básicos com
as informações que temos. Vamos lá?as informações que temos. Vamos lá?
Fonte: macrovector /123RF.
de 0,062, já que o ganho estático do compensador deve ser unitário para manter os demais
ganhos especificados (NISE, 2018). Sendo assim, a função de transferência do compensador será:
O próximo passo é obter a validação do compensador. Para isto, a utilização de software será
fundamental, facilitando a obtenção da resposta em frequência e, assim, permitindo analisar o
comportamento do sistema com esse compensador.
praticar
Vamos Praticar
Considerando o sistema apresentado no exemplo anterior, o próximo passo é validá-lo na
prática. Contudo, devemos validar a resposta no compensador, certo? Para isto, podemos obter
a resposta através do sistema compensado, configurado em malha aberta, por exemplo.
Assim, suponhamos que isso seja feito. Neste caso, qual seria a resposta em frequência do
sistema?
(s)   =  0, 062.Gc
s + 0, 98
s + 0, 062
Material
Complementar
WEB
Projeto LR: Controlador PID
Canal: Luis Antônio Aguirre
Comentário: Como vimos, o projeto de um controlador pode ser realizado
através de diversas técnicas de representação do sistema e, também,
através da análise da resposta. Nessa videoaula, é possível ver mais
detalhes sobre o projeto de um controlador PID através do lugar das raízes,
incluindo a utilização do software MATLAB.
Disponível em:
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=OGLD_nBk0ro
LIVRO
Controle Automático
Autores: Plínio de Lauro Castrucci, Anselmo Bittar e Roberto Moura Sales
Editora: LTC
Capítulo: 4
Ano: 2018
ISBN: 9788521635611
Comentário: O livro possui uma ótima abordagem acerca do controle
automático de sistemas. Sugiro a leitura, especificamente da seção 4.6,
sobre o processo de compensação por meio do lugar das raízes. Neste
capítulo, é mostrado exemplos de controladores compensadores nas mais
diversas situações práticas.
Disponível na Minha Biblioteca.
Conclusão
Caro estudante, chegamos ao final dos nossos estudos. Todavia, tenho certeza de que você deve estar
refletindo a respeito dos usos dos software e do desenvolvimento de algoritmos — fundamentais para o
projeto de um controlador PID, juntamente com o método de representação do Lugar Geométrico das
Raízes e o Diagrama de Bode, tendo, inclusive, ideias de projetos na prática. Além disso, ao longo da
nossa aprendizagem, foi possível perceber o quanto estas formas de representação já auxiliam, por si
só, no entendimento do sistema físico real representado, respondendo antes mesmo de utilizarmos um
controlador. Ademais, outra facilidade, que também foi possível perceber, é que através do lugar
geométrico das raízes e do Diagrama de Bode podemos visualizar possíveis especificações para o
sistema de controle e, assim, buscar atendê-las no controlador projetado. Espero que você tenha
conseguido obter uma visão prática acerca destas diferentes técnicas, propondo-se a projetar um
sistema de controle.
Até mais!
Referências
CASTRUCCI, P. L.; BITTAR, A.; SALES, R. M.
Controle Automático. Rio de Janeiro: Editora LTC,
2018. (Disponível na Minha Biblioteca).
DORF, R. C. Sistemas de controle moderno. 13.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
FRANCHI, C. M. Controle de processos industriais: princípios e aplicações. São Paulo: Editora Ética,
2011. (Disponível na Biblioteca Virtual).
IDENTIFICAÇÃO da resposta em frequência. [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (20m). Publicado pelo canal Luís
Antônio Aguirre. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ouuQRtHph3A. Acesso em: 05 abr.
2022.
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. (Disponível na
Biblioteca Virtual).
https://www.youtube.com/watch?v=ouuQRtHph3A
PROJETO LR: controlador PID. [S. l.: s. n.], 2022. 1 vídeo (20m). Publicado pelo canal Luís Antônio Aguirre.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=OGLD_nBk0ro. Acesso em: 05 abr. 2022.
https://www.youtube.com/watch?v=OGLD_nBk0ro