Aula 01 - impressao

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS II 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Patricia Fontana 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Na disciplina de Teoria das Estruturas I, foram analisadas as estruturas 
isostáticas, que são aquelas que possuem a quantidade de incógnitas igual à 
quantidade de equações do equilíbrio da estática. Para essas estruturas, a 
determinação das reações de apoio ocorre de maneira simples, com a aplicação 
direta das equações do equilíbrio da estática. 
Nas estruturas hiperestáticas há uma redundância de vínculos, ou seja, a 
estrutura possui mais apoios do que a quantidade necessária para garantia do 
equilíbrio. Dessa forma, não é possível solucionar o problema com o uso apenas 
das equações do equilíbrio. Portanto, neste estudo, estudaremos os 
procedimentos de cálculo necessários para serem aplicados no estudo dessas 
estruturas. 
Além disso, serão apresentados conceitos da análise e projeto estrutural, 
a fim de introduzir os alunos no estudo das estruturas e prepará-los para as 
próximas disciplinas que abordarão sobre as construções e seus 
comportamentos do ponto de vista estrutural. 
TEMA 1 – INTRODUÇÃO AO PROJETO DE ESTRUTURAS 
O desenvolvimento de um projeto de estruturas, assim como a 
compreensão do comportamento dos sistemas estruturais depende do bom 
entendimento sobre o fluxo de desenvolvimento de um projeto e dos conceitos 
envolvidos em cada uma das etapas, como já visto no capítulo I da Disciplina de 
Teoria das Estruturas I. 
Figura 1 – Fluxo de desenvolvimento de um projeto estrutural 
 
Fonte: Fontana, 2023. 
 
 
3 
Aprofundando mais sobre o assunto, são apresentados a seguir os 
conceitos relacionados a cada uma das etapas descritas na Figura 1 e como eles 
se vinculam com os temas que serão abordados neste estudo. 
1.1 Concepção estrutural 
A concepção estrutural consiste em uma das etapas mais importantes e 
que exige maior conhecimento do profissional de engenharia. Ela deve prever a 
posição e a dimensão dos elementos estruturais, quais os materiais a serem 
utilizados, o esquema resistente para cargas horizontais e verticais, quais são 
as fases construtivas, a compatibilidade com os demais projetos, além da análise 
financeira. 
O entendimento sobre o comportamento estrutural de pórticos, grelhas, 
vigas contínuas e isostáticas, que envolve conhecimento sobre os tipos de 
vinculação, rigidez dos elementos, fluxo de cargas e desenvolvimento dos 
esforços solicitantes, é essencial para que seja possível realizar uma concepção 
estrutural (ou lançamento estrutural) eficiente e que atenda tanto aos parâmetros 
de segurança e desempenho necessários quanto às necessidades do cliente. 
É importante comentar que o domínio desses conhecimentos não deve 
ser exclusividade do profissional que desenvolve o projeto estrutural, mas que 
também o profissional responsável pela execução deve ser capaz de 
compreender sobre os conceitos associados a essa etapa para garantir que a 
estrutura executada possua a capacidade resistente necessária. 
Após a definição da geometria dos elementos estruturas e o esquema 
resistente para as cargas, a estrutura deve ser modelada para posterior estudo 
dos esforços solicitantes. 
1.2 Modelos estruturais 
Maiores informações sobre os tipos de modelos estruturais já foram 
apresentadas no tema 1.2 da Aula 1 de Teoria das Estruturas I. 
1.3 Análise estrutural 
A determinação dos esforços solicitantes faz parte da etapa 3 descrita na 
Figura 1, que consiste na análise estrutural. É importante destacar que essa 
etapa envolve o desenvolvimento de muitos cálculos, os quais podem ser 
 
 
4 
realizados com o auxílio de softwares, mas cuja interpretação dos resultados 
sempre será dependente do(a) engenheiro(a) civil. 
Na disciplina de Teoria das Estruturas I foi realizada a análise estrutural 
de diversos sistemas estruturais e de elementos estruturais isolados, como 
vigas, pórticos e treliças, todos isostáticos, ou seja, que poderiam ser analisados 
com os cálculos e conceitos associados às condições de equilíbrio dos corpos 
rígidos (∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; ∑M = 0). 
Já neste estudo, que iniciamos com esta etapa, serão estudadas as 
estruturas hiperestáticas (ou estruturas estaticamente indeterminadas), ou seja, 
aquelas que possuem mais incógnitas de forças que a quantidade de equações 
do equilíbrio da estática, sendo necessários outros conhecimentos para permitir 
o cálculo das reações de apoio e, consequentemente, dos esforços solicitantes. 
1.4 Dimensionamento e detalhamento 
Para finalizar o desenvolvimento de um projeto estrutural, temos as 
etapas de dimensionamento e de detalhamento, as quais dependem do 
conhecimento sobre as particularidades de cada um dos materiais estruturais 
disponíveis no mercado (concreto, metálica, madeira, bambu etc.), assim como 
dos critérios normativos relacionados com cada um dos sistemas estruturais 
possíveis. Os conceitos relacionados a essas últimas duas etapas serão 
abordados nas disciplinas específicas que serão vistas nos próximos semestres, 
quais sejam: estruturas de concreto, metálicas e madeiras. 
Saiba mais 
 
Quer saber mais sobre os sistemas estruturais em concreto armado, 
metálicas ou madeiras? 
A seguir, há uma listagem das principais normas técnicas vigentes que 
abordam as estruturas executadas com esses materiais: 
 
 
5 
• ABNT NBR 6118/2014 – Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento; 
• ABNT NBR 7190/2022 – Projeto de estruturas de madeira; 
• ABNT NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de 
aço e concreto de edifícios. 
TEMA 2 – RELEMBRANDO CONCEITOS IMPORTANTES DA ANÁLISE 
ESTRUTURAL 
A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a 
idealização do comportamento da estrutura e que tem como objetivo a 
determinação de esforços internos e externos (ações e reações de apoio), assim 
como o cálculo dos deslocamentos da estrutura em estudo (Martha, 2010). 
Para permitir que sejam realizados os estudos descritos, torna-se 
necessário o entendimento sobre os tipos de elementos estruturais e sobre a 
forma que tais elementos podem ser vinculados a fim de resultar em um sistema 
estrutural. 
Para a análise de uma estrutura, é necessário que tenha sido elaborado 
um modelo estrutural, que pode ser um modelo composto por elementos de 
barras, de placas ou de sólidos. Na Figura 2 é apresentado um exemplo de uma 
estrutura de pórtico que pode ser modelada com elementos de barras. 
Figura 2 – Exemplo de modelo estrutural composto por elementos de barras 
 
 
 
 
6 
Figura 3 – Exemplo de modelo estrutural composto por elementos de barras 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
Nos itens que seguem são apresentados os conceitos relacionados aos 
tipos de elementos e de sistemas estruturais, para melhor compreensão sobre o 
assunto. 
2.1 Elementos estruturais 
A elaboração de um modelo estrutural consiste na idealização do 
comportamento de uma estrutura real, em que se adota uma série de hipóteses 
simplificadoras (Martha, 2010). 
As hipóteses simplificadoras citadas são necessárias pelo fato de que as 
estruturas reais apresentam um elevado grau de complexidade, ou seja, o 
cálculo do comportamento real, sem simplificações, exigiria cálculos complexos 
que demandariam grande tempo de trabalho para se obterem informações sobre 
os esforços e tensões atuantes nos elementos estruturais. 
Assim, para viabilizar a análise das estruturas, foram desenvolvidas as 
hipóteses simplificadoras e teorias correspondentes aos diferentes tipos de 
elementos estruturais, sendo 3 os tipos: elementos lineares, de superfície e 
sólidos, os quais são descritos nos itens que seguem. 
O entendimento sobre o comportamento estrutural desses tipos de 
elementos estruturais (ou seja, entendimento sobre o desenvolvimento das 
tensões internas nas peças) é essencial para garantir que as estruturais reais7 
sejam representadas nos modelos de maneira adequada e, então, que a análise 
estrutural baseada nas teorias e hipóteses simplificadora contribua para a 
determinação dos esforços solicitantes corretos na estrutura em estudo. 
Os 3 tipos de elementos estruturais básicos são definidos com base nas 
dimensões relativas de cada parte de uma estrutura, sendo descritos nos itens 
que seguem os conceitos que orientam a forma de classificação desses 
elementos. 
2.1.1 Elementos lineares 
 Segundo apresentado na norma ABNT NBR 6118:2014, elementos 
lineares “são aqueles em que o comprimento longitudinal supera pelo menos 3 
vezes a maior dimensão da seção transversal” (ABNT, 2014) 
Como exemplo de elementos de barras, tem-se os seguintes: 
• Vigas: peças que tem como esforço de flexão preponderante, além da 
atuação de esforços de cisalhamento e de torção. 
Em vigas protendidas ainda pode ser observada a atuação de esforços 
normais em decorrência da introdução desses esforços por conta da força de 
protensão. 
• Pilares: elemento estrutural com forças normais de compressão 
preponderantes, podendo ser solicitados, ainda, por esforços de flexão e 
de cisalhamento; 
• Tirantes: elemento submetido a uma força normal de tração 
preponderante; 
• Quando um tirante é flexível, pode ser nomeado também como cabo. 
• Arcos: elementos curvos que possuem uma solicitação preponderante por 
forças normais de compressão. 
 São elementos que possuem as teorias e hipóteses simplificadoras 
demonstradas pela resistência dos materiais. 
2.1.2 Elementos de superfície 
 Trata-se dos “elementos em que uma dimensão, usualmente chamada 
espessura, é relativamente pequena em face das demais” (ABNT, 2014). 
 
 
8 
 Os elementos de superfície podem ser classificados conforme o sentido 
das ações atuantes: 
• Chapas e lâminas: estruturas bidimensionais formadas por dois planos 
paralelos e próximos, estando as forças situadas no plano médio. Como 
exemplo tem-se os pilares paredes e as vigas paredes; 
• Placas: estruturas superficiais onde as cargas agem em plano 
perpendicular ao plano médio, como, por exemplo, as lajes; 
• Cascas: estruturas formadas por superfícies curvas, com cargas atuando 
em qualquer plano. 
 Na Figura 3 são apresentadas as representações dos elementos de 
superfície. 
Figura 4 – Tipos de elementos de superfície 
 
Trata-se de elementos que possuem teorias específicas para estudo, 
sendo que apenas os conceitos vistos na resistência dos materiais não são 
suficientes para estudos das solicitações atuantes. São necessários conceitos 
complementares, como a teoria das placas, teoria das chapas e teoria da 
elasticidade. 
2.1.3 Elementos sólidos 
Elementos em que todas as dimensões são relevantes e possuem como 
teoria principal a mecânica dos sólidos. Blocos e sapatas de fundações são 
exemplos de elementos sólidos. 
Nas figuras que seguem são apresentadas imagens do bloco de fundação 
de um viaduto para o qual foi necessária a modelagem com uso de modelo de 
elementos sólidos. 
 
 
9 
Figura 5 – Indicação do bloco de fundação de um viaduto 
 
Crédito: Patrícia Fontana. 
Figura 6 – Exemplo de modelagem de um bloco de fundação como um elemento 
sólido – Modelo elaborado no Programa SAP 2000 
 
Fonte: Fontana, 2023. 
 
 
10 
2.2 Sistemas estruturais 
Sistema estrutural é toda a combinação de elementos estruturais, sendo 
3 os tipos básicos de estruturas que podem ser combinados formando as 
construções, quais sejam: 
a. Treliças: sistema estrutural composto por elementos de barras dispostos 
de maneira triangular. Nesse sistema as peças são submetidas 
exclusivamente a esforços normais de tração e de compressão. Por conta 
desse comportamento estrutural e da elevação rigidez a flexão, trata-se 
de um sistema estrutural que possui como principal vantagem a 
possibilidade de vencer grandes vãos; 
b. Pórticos: sistema estrutural composto por vigas e pilares vinculados por 
ligações flexíveis, rígidas ou semirrígidas. Estendem-se em duas ou três 
dimensões (Hibbeler, 2013); 
c. Grelhas: sistema estrutural composto por elementos de barras submetidos 
a ações verticais, geralmente usado para o estudo dos pavimentos das 
estruturas compostas por lajes. 
Figura 7 – Exemplo de uma estrutura de um pavimento que pode ser 
representado como uma grelha 
 
Crédito: Elias Aleixo. 
 
 
 
11 
Figura 8 – Exemplo de modelagem de um pavimento de um edifício como uma 
grelha 
 
Fonte: Fontana, 2023. 
Um sistema estrutural pode ser constituído por diferentes tipos de 
materiais: concreto, aço, madeira, entre outros. 
TEMA 3 – CARGAS EM ESTRUTURAS 
No Tema 3 da aula 1 da Disciplina de Teoria das Estruturas I foram 
apresentados os tipos de cargas em estruturas, sendo abordadas as diferenças 
entre cargas pontuais e cargas distribuídas linearmente e uniformemente 
variável. Essas são as cargas que atuam nos elementos ditos lineares, que são 
aqueles que possuem uma medida (usualmente o comprimento) preponderante 
em relação à seção transversal da peça. 
 
 
 
12 
Figura 9 – Representação de carga pontual e carga distribuída linearmente que 
atuam em elementos lineares 
 
Figura 10 – Exemplo de cargas distribuídas linearmente e cargas pontuais em 
estruturas 
 
Além desse tipo de carga, em elementos estruturais superficiais são 
observadas as cargas distribuídas superficialmente. Como o nome já informa, a 
carga é distribuída em uma superfície, ou seja, em uma área. Portanto, a unidade 
 
 
13 
desse tipo de carga será uma medida de força dividida por uma medida de área 
(por exemplo: kN/m²). 
Figura 11 – Carga distribuída superficialmente em uma laje 
 
 As cargas que atuam nas superfícies das lajes das edificações são 
divididas em cargas permanentes e acidentais, segundo a norma ANBT NBR 
6120:2019, Ações para o cálculo de estruturas de edificações (ABNT, 2019). 
 Ações permanentes são aquelas que “ocorrem com valores constantes ou 
de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida 
da construção. A variabilidade das ações permanentes é medida num conjunto 
de construções análogas” (ABNT NBR 8681) (ABNT, 2003, p. 2). 
 Nas edificações, as principais ações permanentes atuantes se referem ao 
peso próprio da estrutura e ao peso próprio dos demais materiais da construção, 
como paredes de vedação, forros, revestimentos, entre outros. Essas ações são 
definidas levando em consideração o peso específico dos materiais, os quais 
podem ser vistos nas tabelas apresentadas no capítulo 5 da norma ANBT NBR 
6120:2019 (ABNT, 2019). 
 As cargas acidentais (ou variáveis) são “ações que ocorrem com valores 
que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida 
da construção” (ABNT, 2003, p. 2). As principais cargas acidentais em estruturas 
consistem no uso da edificação e seus valores são definidos na Tabela 10 da 
norma ANBT NBR 6120:2019 de acordo com o tipo de uso da edificação (ABNT, 
2019). 
 
 
14 
 Na Figura 12 é transposta uma parte da Tabela 10 citada a fim de 
demonstrar a forma de apresentação dos valores das cargas acidentais de uso 
que atuam nas construções. 
Figura 12 – Trecho da Tabela 10 da ABNT NBR 6120:2019 
 
Fonte: ABNT, 2019. 
Observa-se que ambientes que tendem a ter maior densidade de pessoas 
possuem cargas acidentais de maior intensidade. A situação pode ser melhor 
compreendida com a imagem apresentada na Figura 13. 
 
 
 
15 
Figura 13 – Representação de sobrecargas em estruturas 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
3.1 Distribuição de cargas de pisos em vigas 
 A forma como as cargas que atuam em piso de uma estrutura de 
distribuem até as vigas de suporte desse piso (laje) depende do tipo de sistema 
estrutural adotado (disposição dos elementos estruturais e tipo de material). 
 Durante as disciplinas específicas de estruturas de concreto, metálicase 
madeiras serão apresentados conceitos mais aprofundados sobre o 
comportamento dos elementos estruturais para cada um desses materiais, no 
entanto, para já permitir o melhor entendimento sobre o encaminhamento das 
cargas em estruturas, são apresentados a seguir dois exemplos de distribuição 
de cargas em vigas. 
3.1.1 Exemplo 1.1 
Considere a estrutura apresentada na Figura 14, que consiste em uma 
laje do tipo steel deck que se apoia em vigas metálicas com seção transversal I. 
Na laje indicada atua uma carga distribuída superficialmente de 4,8 kN/m². 
 
 
 
 
16 
Figura 14 – Estrutura de análise 
 
Crédito: Elias Aleixo. 
O piso da estrutura indicada é composto por dois panos de laje, uma vez 
que são observadas 3 vigas de apoio. 
Figura 15 – Exemplo de uma estrutura metálica composta por lajes do tipo steel 
deck que se apoiam em vigas metálicas seção I 
 
Crédito: Patrícia Fontana. 
 
 
17 
 As lajes steek deck consistem em um sistema de piso que tem um 
comportamento unidirecional, ou seja, a transmissão das cargas do piso para as 
vigas ocorre em apenas um sentido. Outros exemplos de lajes que têm o mesmo 
comportamento são as lajes pré-moldadas e as lajes alveolares. 
 Quando a laje possui comportamento de distribuição de ações 
unidirecional, sabe-se que metade da carga da laje é distribuída para uma viga 
e a outra metade para a outra viga. Dessa forma, surge o conceito de largura de 
influência do tamanho da laje que distribui cargas para uma determinada viga. 
 No caso em estudo, para a viga central, que é a mais solicitada da 
estrutura indicada, a largura de influência é dada por: 
ℓinf = 0,75 + 0,75 = 1,50 metros (ver região hachurada na Figura 16). 
Figura 16 – Indicação da largura de influência da laje para a viga central 
 
Fonte: Hibbeler, 2013. 
 Então, a carga que se distribui da laje para a viga central é dada pela 
multiplicação da carga distribuída na laje pela largura de influência: 
 
 
18 
gviga central = 4,8 x 1,50 = 7,2 kN/m 
 kN/m² ℓinf 
 Observe que, com a multiplicação das unidades da fórmula indicada tem 
como resultado a medida 7,2 em kN/m, o que era de se esperar, uma vez que a 
viga consiste em um elemento de barra e que, então, a carga atuante nesse 
elemento deve ser linear. 
 O modelo de análise da viga central fica, então, conforme indicado na 
Figura 17. 
Figura 17 – Modelo de análise da viga metálica central de suporte das lajes 
 
 Como as vigas do piso, chamadas também como vigas secundárias, se 
apoiam em outra viga, nomeada como viga principal, torna-se necessário 
também modelar essa viga, a qual recebe pontualmente as cargas que advêm 
das vigas do piso. O modelo de análise da viga principal é apresentado na Figura 
18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Figura 18 – Modelo de análise da viga principal (viga mestra) que recebe as 
cargas das vigas do piso (vigas secundárias) 
 
3.1.2 Exemplo 1.2 
A próxima estrutura de análise consiste em um piso composto por lajes e 
vigas de concreto armado convencional. 
Figura 19 – Estrutura de concreto armado de análise 
 
Crédito: Elias Aleixo. 
 
 
20 
As lajes de concreto armado possuem um comportamento particular de 
distribuição das cargas. 
 Lajes que possuam relação de vão L2 / L1 > 2, com L2 e L1 (medida dos 
lados de uma laje retangular) possuem um comportamento unidirecional, por 
isso a solução de distribuição das cargas das lajes para as vigas se dá como 
indicado no exemplo 1. 
 Já lajes que possuam relação de vão L2 / L1 ≤ 2 possuem um 
comportamento bidirecional, ou seja, as cargas são distribuídas nas duas 
direções principais da laje. 
 Nesse segundo caso, para o cálculo das reações de apoio das lajes 
maciças nas vigas pode ser realizada uma aproximação que é descrita no item 
14.7.6 da norma ABNT NBR 6118:2014, que consiste em traçar retas inclinadas 
a partir dos vértices da laje com ângulos de 60º ou 45º (ABNT, 2014). Detalhes 
sobre a indicação de cada ângulo serão vistos com mais profundidade na 
disciplina de concreto armado. 
 Por ora, adotaremos o ângulo de 45º, o qual é utilizado quando as 
condições de vinculação entre as lajes e as vigas são as mesmas para todas as 
vigas que compõem o sistema estrutural, que é o caso do exemplo de estudo. 
 Dessa forma, tem-se que cada área indicada na Figura 20 tem uma 
contribuição para a viga de borda adjacente. 
Figura 20 – Indicação da área de distribuição das cargas das lajes nas vigas de 
apoio 
 
 
 
 
21 
Considerando a distribuição indicada na Figura 20, a carga na viga 
apresentaria um formato triangular, como indicado na Figura 21, com máxima 
intensidade igual a 4,8 kN/m² x 3 metros = 7,2 kN/m e valor nulo nos extremos 
da viga. 
Figura 21 – Modelo de análise da viga de apoio da laje em estudo 
 
No entanto, segundo apresentado no item 14.7.6.1 da ABNT NBR 
6118:2014, as reações das lajes nas vigas “podem ser, de maneira aproximada, 
consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que 
lhes servem de apoio” (ABNT, 2014). 
 Ou seja, o modelo de análise pode ser simplificado para o modelo indicado 
na imagem que segue: 
Figura 22 – Modelo de análise simplificado da viga de apoio da laje em estudo 
 
 
 
22 
 A carga indicada no modelo foi obtida por meio da informação da carga 
total que atua na área hachurada da Figura 20: 
gtotal = 4,8 x ( 3 x 1,5/2 ) = 10,8 kN 
 kN/m² A 
 Para obter a carga distribuída na viga esse valor deve ser dividido pelo 
comprimento da viga: 
gviga = 10,8 / 3 = 3,6 kN/m 
TEMA 4 – CONCEITOS DE COMPATIBILIDADE E DE EQUILÍBRIO 
Conforme já apresentado anteriormente, a análise estrutural ocorre com 
a idealização do comportamento de uma estrutura real em que se adota uma 
série de hipóteses simplificadoras. No caso de estruturas de barras, hipóteses 
baseadas nos conceitos apresentados na resistência dos materiais. 
Neste estudo, serão analisados apenas sistemas estruturais compostos 
por elementos de barras, dessa forma, os modelos estruturais elaborados devem 
atender às seguintes condições matemáticas: 
• Condições de equilíbrio; 
• Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações. 
• Condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a 
estrutura (leis constitutivas dos materiais). 
 Segundo apresentado por Martha (2010, p. 21), “as condições de 
compatibilidade entre deslocamentos e deformações são condições geométricas 
que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, 
permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com 
seus vínculos externos”. Ou seja, é garantir, por exemplo, que as reações de 
apoio vertical e horizontal em um apoio articulado fixo sejam nulas, como prevê 
a definição de tal tipo de apoio. 
 Já as leis constitutivas são aquelas estudas na resistência dos materiais 
e consistem em um “conjunto de relações matemáticas entre tensões e 
deformações [...] que contêm parâmetros que definem o comportamento dos 
materiais.” (Martha, 2010, p. 23). Um exemplo de uma lei constitutiva é a Lei de 
Hooke, que relaciona tensões normais e deformações normais. 
 
 
23 
 Por fim, para relembrar, condições de equilíbrio são condições que 
garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da 
estrutura como um todo. No caso de uma estrutura no plano, temos: 
∑FH = 0 ∑FV = 0 ∑M = 0 
TEMA 5 – ESTRUTURAS INDETERMINADAS ESTATICAMENTE 
 Estruturas estaticamente indeterminadas são aquelas que possuem uma 
quantidade de reações desconhecidas ou forças internas que excedem o 
número de equações do equilíbrio da estática. 
 A definição se uma estrutura é determinada ou indeterminada 
estaticamente dependem do grau de hiperestaticidade, que pode ser obtido 
através da seguinte equação. 
gh = (n. de incógnitas do problema estático) – (n. de equaçõesde equilíbrio). 
onde 
• gh 0 condição necessária para o modelo hiperestático e estável. 
 Segundo apresentado por Hibbeler (2013), apesar de uma estrutura 
hiperestática ser mais complicada de ser analisada do ponto de vista de cálculo 
do que uma estrutura isostática, existem diversas vantagens na escolha por 
projetar estruturas com esse tipo de sistema indeterminado estaticamente. 
 Em geral, para uma mesma determinada carga, as tensões solicitantes e 
a deflexão (deslocamento) máximas são menores em estruturas hiperestáticas, 
uma vez que, a vinculação das barras que compõem esse tipo de estrutura 
permite a distribuição dos esforços entre as barras que compõem a estrutura ou 
para os vínculos existentes. 
 Por exemplo, a viga hiperestática da Figura 23a, que possui dois engastes 
de apoio, ou seja, uma redundância de 3 vínculos, será solicitada por um 
momento máximo no meio do vão no valor de Mmáx = PL/8. Já a viga da Figura 
23b, que possui um apoio fixo e um apoio móvel, sendo, portanto, uma estrutura 
isostática, será solicitada na mesma seção por um momento de Mmáx = PL/4, ou 
seja, um momento duas vezes maior que no caso da estrutura hiperestática. 
 
 
24 
Segundo Hibbeler (2013), como resultado, a viga com apoios articulados (viga 
isostática) tem uma deflexão quatro vezes maior e uma tensão no centro do vão 
duas vezes maior, quando comparada à viga hiperestática. 
Figura 23 – Viga hiperestática, à esquerda (a), e viga isostática à direita (b) 
 
 (a) (b) 
Fonte: elaborada por Fontana, 2023, com uso do software Ftool. 
Nesse caso, a existência dos engaste permite que a viga distribua parte 
dos momentos que seriam gerados nela nesses apoios, fazendo uma 
redistribuição dos esforços por meio da mudança do tipo de vínculo. 
 Ainda, as estruturas hiperestáticas tendem a ser mais seguras, uma vez 
que da eventual ruptura total ou parcial de um elemento estrutural, a estrutura 
terá uma tendência de redistribuir sua carga para os apoios ou elementos 
redundantes e que se apresentem íntegros, sem danos. 
 Por outro lado, como as estruturas hiperestáticas possuem redundância 
de vínculos e, portanto, maior impedimento de movimentos, a existência de 
recalques de apoio ou a tendência de deslocamentos na estrutura devido aos 
efeitos da temperatura introduzirão tensões internas na estrutura, gerando 
esforços adicionais. 
 Nas estruturas isostáticas isso não acontece porque nesse tipo de sistema 
qualquer assentamento associado a um deslocamento externo não gera 
deformações forçadas na estrutura, sendo que esse tipo de estrutura tende a 
acomodar os eventuais movimentos que possam acontecer nela devido a 
mudanças de comprimentos dos membros por efeitos de temperatura, recalques 
ou erros de fabricação. 
 
 
25 
 Como dito anteriormente, as estruturas hiperestáticas apresentam suas 
vantagens, mas o procedimento de cálculo é mais complexo quando comparado 
ao cálculo de estruturas isostáticas. 
 São dois os métodos clássicos de análise das estruturas indeterminadas 
estaticamente, os quais serão descritos brevemente nos itens que seguem e 
estudados de maneira mais aprofundada nas próximas etapas. 
5.1 Métodos de análise 
O primeiro método a ser estudado é o método das forças ou método da 
compatibilidade. Nesse método, as incógnitas principais do problema são forças 
e momentos, que podem ser reações de apoio ou esforços internos. O conceito 
base consiste em buscar dentro do conjunto de soluções forças que satisfazem 
as condições de equilíbrio, como a solução que faz com que as condições de 
compatibilidade também sejam satisfeitas. 
 O segundo método se chama método dos deslocamentos, também 
chamado de método do equilíbrio. As incógnitas principais do problema são os 
deslocamentos, e o conceito base consiste em procurar, dentre todas as 
configurações deformadas que satisfazem a compatibilidade, aquela que 
também faz com que o equilíbrio fique satisfeito. 
FINALIZANDO 
 Nesta etapa, foram apresentados os conceitos relacionados ao 
desenvolvimento dos projetos de estruturas. Foi possível identificar que o estudo 
das estruturas, com a determinação dos esforços solicitantes e deslocamentos 
existente, consiste em apenas uma etapa de todo o procedimento de 
desenvolvimento de um projeto estrutural, mas que consiste em uma etapa que 
exige muita atenção e conhecimento para garantir a construção de edificações 
saudáveis, seguras e duráveis. 
 Além disso, foram apresentadas informações sobre as cargas atuantes 
em estruturas e como estas se desenvolvem em uma estrutura. 
 Por fim, foram retomados os conceitos sobre a classificação das 
estruturas do ponto de vista da estaticidade, sendo apresentadas as definições, 
vantagens e desvantagens das estruturas hiperestáticas e isostáticas. 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
_____. NBR 6120: Ações para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de 
Janeiro: ABNT, 2019. 
_____. NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro: ABNT, 
2003. 
HIBBELER, R. C. Análise de estruturas. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2013. 
LORIGGIO, D. D. Apostila de análise estrutural – Modelagem computacional. 
QISat, 201?. 
MARINGONI, H. M. Princípios de arquitetura em aço. 2. ed. Belo Horizonte: 
Perfis Gerdau Açominas, 2004. 
MARTHA, L. F. Análise de estruturas – Conceitos e métodos básicos. 2. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2010. 
REBELLO, Y. C.P. Sistemas estruturais em aço na arquitetura. Rio de 
Janeiro: IBS/CBCA, 2009. 
 
	Conversa inicial
	1.1 Concepção estrutural
	1.2 Modelos estruturais
	1.3 Análise estrutural
	1.4 Dimensionamento e detalhamento
	TEMA 2 – RELEMBRANDO CONCEITOS IMPORTANTES DA ANÁLISE ESTRUTURAL
	2.1 Elementos estruturais
	2.1.1 Elementos lineares
	2.1.2 Elementos de superfície
	2.1.3 Elementos sólidos
	TEMA 3 – CARGAS EM ESTRUTURAS
	3.1.1 Exemplo 1.1
	3.1.2 Exemplo 1.2
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS