Cálculo Técnico Aplicado à Mecânica

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Cálculo Técnico Aplicado à Mecânica
Cálculo
Técnico Aplicado à Mecânica
Técnico em eletromecânica – PRONATEC
Sesi Senai SAMA
Cícera Ribeiro Barros
Coordenadora pedagógica
Luciano Jorge Menezes
Coordenador técnico
Josué Teixeira de Moura
Diretor unidade SESI SENAI SAMA
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Sumário
Introdução .................................................................................................................................... 2
Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 3
Operações e expressões numéricas ........................................................................................ 6
Unidades de medida .................................................................................................................. 11
Múltiplos e submúltiplos ............................................................................................................. 16
Cálculo RPM e Velocidade de corte .......................................................................................... 17
Transmissões............................................................................................................................. 18
Polias – Relação simples ....................................................................................................... 18
Relações múltiplas ................................................................................................................. 22
Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas..................................................... 24 Cálculo trigonométrico ............................................................................................................... 37
Área e Perímetro de Figuras Planas.......................................................................................... 40
Área dos Polígonos.............................................................................................................. 44
Finalizando................................................................................................................................. 54
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Introdução
Diariamente, docentes e alunos se utilizam das informações contidas nos materiais didáticos para transformá-los em conhecimentos, ampliar suas experiências, embasar e enriquecer sua vida profissional. O material didático torna-se, então, importante elemento no processo ensino-aprendizagem.
Compreende-se que quando o professor se apropria, desenvolve e adapta o material didático e o utiliza adaptando ao contexto dos alunos a aula resulta mais produtiva para o professor e para o aluno. Por isso, ao planejar, o docente observa possibilidades de uso destes, quer seja um filme, uma maquete, um jogo, ou mesmo um livro e, vai combinando estes em ação educativa visando o desenvolvimento de seus alunos e de seu próprio estilo de pedagogia.
No contexto educativo é fundamental estabelecer a estreita correlação entre os materiais didáticos, a criatividade e os objetivos educacionais. Nesta direção percebe-se que há muito ainda o que se fazer no que se refere a constituição de maior correlação entre o sistema de ensino, dimensão macro, possibilita e adota materiais didáticos padronizados e o contexto da sala de aula, sua dimensão micro.
Gleito Kunde
Instrutor de educação profissional
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Conceitos Básicos
Os conjuntos numéricos são uma forma de classificar os números segundo algumas características básicas, como propriedades e complexidade. Classificando os números você pode compreender melhor suas aplicações na Mecânica.
Conjunto dos Números Naturais, N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Os Números Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na contagem de alimentos, utensílios e pessoas. Sua forma primitiva não permite obter respostas negativas neste conjunto de cálculos, tais como 3 - 5 e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros conjuntos numéricos que você conhecerá a seguir.
Conjunto dos Números Inteiros, Z
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos bancos em representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você pode efetuar o seguinte cálculo, 3 - 5 = - 2.
Conjunto dos Números Racionais, Q
Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b sendo a e b Números Naturais e b diferente de zero.
Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 } Acompanhe a seguir alguns exemplos:
... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2 { Q = }
Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os números decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exemplo anterior:
Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}
O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do homem de representar divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 . 5
Conjunto dos Números Reais, R
O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que você conheceu anteriormente, e todos os outros números que não podem ser escritos na forma de fração, os chamados Irracionais:
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Irracionais = {...; - sen (34o) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...}
R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ... 2 3 2{}
Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da Reta Real.
Acompanhe a figura a seguir. :
Figura 1 - Reta Real - 3 -2 -1 0 1 2 3Ѵ2 e πR
Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada ponto da reta representa um número e vice-versa. Para qualquer número da reta, têm-se os números maiores que ele à direita e os menores à esquerda.
Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando o Diagrama de Venn, conheça-o a seguir:
Por meio do Diagrama de Venn você pode observar que os Naturais estão contidos nos Inteiros, que por sua vez estão contidos nos Racionais e os Reais englobam todos os Conjuntos.
Figura 2 –Diagrama de Venn. R IR Q Z N
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Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma de escrever os números. Este sistema é a evolução natural do sistema numérico indo-arábico. Trata-se de um sistema posicional, onde o algarismo vale não só por si, mas também pela sua posição.
No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada posição ele indica uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale 8.000 e assim por diante até o último que vale 0,008. O único que vale 8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo assim, cada número é uma soma, confira a seguir:
O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a unidade do décimo e o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos países de língua inglesa, que não utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a isso as calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade do décimo.
Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas com calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente com a vírgula, pois como colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser representada por ponto e os pontos não são representados.
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Operações e expressões numéricas
As operações com números decimais e com Números Naturais são básicas e possíveis de se resolver com o auxílio de calculadoras científicas e comuns. Portanto, o próximo passo de estudos são as operações no Conjunto dos Números Inteiros.
Adição de Números Inteiros
Quando dois números tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos conservando o sinal. Acompanhe os exemplos:
Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do maior valor absoluto. Observe os exemplos:
Subtração de Números Inteiros
Para efetuar a subtração entre Números Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e efetuar uma adição. Confira os exemplos a seguir:
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
A multiplicação e a divisão no Conjuntodos Números Inteiros possuem as mesmas regras de sinais. Observe os exemplos:
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As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Conjunto dos Números Reais.
Potenciação
Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multiplicações de fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a seguir:
Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma:
Observe a seguir algumas características desta operação:
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Nesta operação, dizemos que a base de uma potência é negativa quando ela está entre parênteses, caso contrário, quem está negativa é a potência.
Potências de Base negativa
Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potências?
Você pôde observar nos resultados que quando o expoente é par o resultado é positivo, e quando o expoente é ímpar o resultado tem o mesmo sinal da base.
Potências de Expoente Negativo
Quando uma potência possui expoente negativo, inverte-se a base (troca-se de posição o numerador e o denominador), como nos exemplos a seguir:
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Quando o expoente é zero e a base diferente de zero, o resultado é sempre 1. Veja alguns exemplos:
Radiciação
Você pode dizer que a potenciação possui duas operações inversas, uma é a radiciação e a outra é o logaritmo, veja o esquema apresentado a seguir:
O logaritmo é a operação que determina o expoente de uma potência. Entretanto, esta operação não será estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seção será a radiciação que possui grande aplicação na área de Mecânica.
Confira a seguir os entes das raízes:
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Após conhecer os entes das raízes, vamos aos exemplos:
Vale destacar que algumas raízes não possuem resultado no Conjunto dos Números Reais, os casos são:
índice par e radicando negativo:
índice zero, 0:
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Unidades de medida
Por muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso acabou gerando muitos problemas, principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de produtos.
Para resolver o problema, o Governo Republicano Francês, em 1789, pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Este sistema adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.
O sistema métrico decimal acabou sendo substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), mais complexo e sofisticado. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1998 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (Conmetro), tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.
Logo abaixo, você conhecerá as grandezas e suas unidades de medida. À direita da tabela, verá o símbolo da unidade e suas equilavências. No pé da página, confira os principais prefixos	do	sistema	internacional.
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Principais
Unidades
SI
	Grandeza	Nome	Plural	Símbolo
	Comprimento	Metro	Metros	m
	Área	metro quadrado	metros quadrados	m²
	Volume	metro cúbico	metros cúbicos	m³
	ângulo plano	Radiano	Radianos	rad
	Tempo	Segundo	Segundos	s
	Freqüência	Hertz	Hertz	Hz
	Velocidade	metro por segundo	metros por segundo	m/s
	Aceleração	metro	por	segundo	metros	por	segundo	m/s²
	Massa	Quilograma	quilogramas	kg
	massa específica	quilograma	por
metro cúbico	quilogramas	por
metro cúbico	kg/m³
	Vazão	metro	cúbico
por segundo	metros	cúbicos por segundo	m³/s
	quantidade de matéria	Mol	mols	mol
	Força	Newton	newtons	N
	Pressão	Pascal	pascals	Pa
	trabalho,	energia
quantidade de calor	Joule	joules	J
	potência, fluxo de energia	Watt	watts	W
	corrente elétrica	Ampère	ampères	A
	carga elétrica	Coulomb	coulombs	C
	tensão elétrica	Volt	volts	V
	resistência elétrica	Ohm	ohms	
	Condutância	Siemens	siemens	S
	Capacitância	Farad	farads	F
	temperatura Celsius	grau Celsius	graus Celsius	ºC
	temp. termodinâmica	Kelvin	kelvins	K
	intensidade luminosa	Candela	candelas	cd
	fluxo luminoso	Lúmen	lúmens	lm
	Iluminamento	Lux	lux	lx
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Algumas	Unidades	em	uso	com	o	SI,	sem	restrição	de	prazo
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	Grandeza	Nome	Plural	Símbolo	Equivalência
	volume	litro	Litros	l ou L	0,001 m³
	ângulo plano	grau	Graus	º	p/180 rad
	ângulo plano	minuto	Minutos	´	p/10 800 rad
	ângulo plano	segundo	segundos	´´	p/648 000 rad
	Massa	tonelada	toneladas	t	1 000 kg
	Tempo	minuto	Minutos	min	60 s
	Tempo	hora	Horas	h	3 600 s
	velocidade angular	rotação por minuto	rotações por minuto	rpm	p/30 rad/s
Algumas
Unidades
fora
do
SI,
admitidas
temporariamente
	Grandeza	Nome	Plural	Símbolo	Equivalência
	Pressão	atmosfera	atmosferas	atm	101 325 Pa
	Pressão	Bar	Bars	bar	Pa
	Pressão	milímetro de mercúrio	milímetros de mercúrio	mmHg	133,322	Pa
aprox.
	quantidade de calor	caloria	Calorias	cal	4,186 8 J
	Área	Hectare	Hectares	ha	m²
	Força	quilograma- força	quilogramas- força	kgf	9,806 65 N
	comprimento	milha marítima	milhas marítimas		1 852 m
	velocidade	Nó	Nós		(1852/3600)m/s
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Principais
prefixos
das
Unidades
SI
	Nome	Símbolo	Fator de multiplição da unidade
	tera	T	= 1 000 000 000 000
	giga	G	= 1 000 000 000
	mega	M	= 1 000 000
	quilo	K	10³ = 1000
	hecto	H	10² = 100
	deca	Da	10
	Unidade		
	deci	D	= 0,1
	centi	C	= 0,01
	mili	M	= 0,001
	micro	µ	= 0,000 001
	nano	N	= 0,000 000 001
	pico	P	= 0,000 000 000 001
	Massa	
	1	QUILOGRAMA
(kg)	1000 g
	1 TONELADA (T)	1000 kg
	1 QUILATE	0,205 g
	1 ONÇA (oz)	28,352 g
	1 LIBRA (lb)	16 oz
	1 LIBRA (lb)	453,6 g
	1 ARROBA	32,38 lb
	1 ARROBA	14,687 kg
	Distância	
	1 METRO	10O cm
	1	QUILÔMETRO
(km)	1000 m
	1 POLEGADA	2,54 cm
	1 PÉ	30,48 cm
	1 JARDA	0,914 m
	1 MILHA	1,6093 km
	1 MILHA MARÍTIMA	1,853 km
	1 BRAÇA	2,2 m
	Área	
	1 M²	10000 cm²
	1 CM²	100 mm²
	1 ARE (A)	100 m²
	1 HECTARE (HA)	100 A
	1 HECTARE (HA)	10000 m²
	1 ACRE	4064 m²
	1	ALQUEIRE
PAULISTA	24200 m²
	1	ALQUEIRE
MINEIRO	48400 m²
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Múltiplos e submúltiplos
A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa unidade deixa de ser prática. Se quisermos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento.
No Sistema Internacional de Medidas (SI) são usados múltiplos e divisões do metro:
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	Múltiplo	Nome	Símbolo		Submúltiplo	Nome	Símbolo
	100	Metro	m		100	metro	M
	10¹	decâmetro	dam		10−1	decímetro	DM
	10²	hectômetro	hm		10−2	centímetro	Cm
	103	quilômetro /	km		10−3	milímetro	Mm
	106	megametro	Mm		10−6	micrometro	µm
	109	Giametro	Gm		10−9	nanometro	Nm
	1012	Terametro	Tm		10−12	picometro	PM
	1015	petametro	Pm		10−15	femtômetro/fentómetro4	FM
	1018	Exametro	Em		10−18	attometro/atometro4	AM
	1021	zettametro/zetametro	Zm		10−21	zeptômetro	/
/ zeptómetro4	Zm
	1024	iotametro	Ym		10−24	yoctômetro	/
/ ioctómetro4	ym
Cálculo RPM e Velocidade de corte
O cálculo da rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando-se apenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.
Fórmulas:
Onde:
N = RPM
Vc = Velocidade de corte
D = Diâmetro usinado
N= Números de Rotações por minuto ( RPM)
Obs:
Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm.
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Transmissões
São órgãos que servem para transmitir um movimento de rotação, lineares e excêntricos. Nesta unidade iremos estudar apenas os cálculos relacionados à transmissão por correias planas, correias trapezoidais, engrenagens e rodas de fricção.
Polias – Relação simples
Em nossos exemplos vamos utilizar cálculos para os sistemas de polias, porém para realizar os cálculos das engrenagens utiliza-se o mesmo raciocínio com a quantidade de dentes das engrenagens. Nos moto-redutores esse cálculo é feito pelo fabricante e indicado em sua placa juntamente com outros dados.
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CALCULANDO
A velocidade final fornecida por um conjunto transmissor depende darelação do diâmetro das polias. Polias com o mesmo diâmetro transmitem para máquina a mesma velocidade.
Polias de diâmetros diferentes transmitem velocidade maior ou menor à máquina. No caso onde a polia motora (polia que fornece o movimento) é maior que a movida (polia que recebe o movimento) a velocidade transmitida para a máquina será maior.
Quando a polia motora é menor que a polia movida, a velocidade será menor, ou seja, haverá menor rotação na saída do sistema.
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Matematicamente utiliza-se a seguinte expressão para mostrar essa relação:
R=
Onde, n1 é a rotação (rpm) da polia motora, n2 a rotação da polia movida, D2 o diâmetro da polia movida e D1 o diâmetro da polia motora.
Dada a fórmula, vamos partir para um exemplo pratico utilizando uma furadeira de bancada, onde a velocidade do motor é fixa e o objetivo é obter velocidades diferentes na broca.
Vamos aplicar a fórmula para o cálculo da rotação de saída quando a correia estiver em todas as posições?
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Encontrando o D2 ( Diâmetro da polia movida).
Um motor munido de uma polia de 180 milímetros gira a 800 RPM. Ele aciona um compressor que faz 200 RPM, pergunta-se:
O diâmetro da polia do compressor;
A relação de transmissão;
O diâmetro exato da polia do compressor, se a correia tiver um deslizamento de 5% ( o deslizamento das correias planas varia de 2 a 5%).
Encontrando o D1 ( diâmetro da polia motora)
Duas polias estão na relação de transmissão i de 3,5/1, a polia acionadora tem um diâmetro de 120 milímetros, ela aciona uma
serra circular girando a 180 RPM ( figura 8)
Qual é o diâmetro da polia montada na serra circular?
Qual é o numero de rotações por minuto da polia acionadora?
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Relações múltiplas
Nesse caso utiliza-se a mesma fórmula para o cálculo, porém deve-se realizar o cálculo por estágios, com o cuidado de observar qual é a polia motora e a movida. Observe que entre os dois estágios encontra-se a polia movida do primeiro estágio e acoplada a ela a polia motora do segundo.
Aplicando a fórmula já conhecida para calcular a rotação na saída do sistema na figura acima:
Primeiro estágio
Calculando:
Para o cálculo do segundo estágio utiliza-se a mesma fórmula e como a polia motora do segundo estágio está acoplada na polia movida do primeiro então n2=n1. Portanto o valor de n1 do segundo estágio é 400rpm.
Calculando:
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Portanto, a velocidade final do sistema é 100rpm.
Fórmula direta:
No sistema de transmissão por quatro polias representado abaixo, o eixo motor desenvolve 1000 rpm. Os diâmetros das polias medem: D1 =150 mm, D 2 =300 mm, D3 =80 mm e D4 =400 mm. Determine a RPM final do sistema.
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Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas
O problema
Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas por dobramento de chapas de aço. O seu provável cliente, além de querer uma amostra do produto que você fabrica, certamente também desejará saber quanto isso vai custar.
Um dos itens do orçamento que você terá de fazer corresponde ao custo da matéria- prima necessária para a fabricação das peças.
Para obter esta resposta, você terá de calcular o comprimento de cada peça antes de elas serem dobradas, já que você vai trabalhar com chapas.
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Como resolverá este problema?
Peças dobradas
Calcular o comprimento das peças antes que sejam dobradas, não é um problema tão difícil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos de Matemática referentes ao cálculo de perímetro.
Recordar é aprender
Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana.
Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema.
O que você viu na figura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com eles em termos de cálculo?
Você tem duas alternativas de solução:
a)
Calcular o comprimento da peça pela linha média da chapa.
b)	Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
Vamos ver se isso dá certo com a alternativa a.
Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê?
É simples: se você usar as medidas externas da peça, ela ficará maior que o necessário. Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você deve usar a linha média.
Tomando-se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
50 + 2 x 3 =
50 + 6 = 56mm
Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.
Pelo desenho da figura da página anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm. Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida que procuramos.
30 - 3 = 27mm
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Com isso, obtemos as três medidas: A = 27mm, B = 56mm e C = 27mm. O comprimento é obtido pela soma das três medidas.
27 + 56 + 27 = 110mm
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Portanto, a chapa de que você necessita deve ter 110mm de comprimento.
Tente você também
Agora vamos treinar um pouco esse tipo de cálculo.
Exercício 1
A alternativa b é um método prático. Calcule o comprimento do material necessário para a peça que mostramos em nossa explicação, usando essa alternativa. Você deverá obter o mesmo resultado.
Solução: 30 x 2 + 50 = ................ + 50 =
Peças curvadas circulares
Vamos supor agora que, em vez de peças dobradas, a sua encomenda seja para a produção de anéis de aço.
Mais uma vez, você terá de utilizar o perímetro. É preciso considerar, também, a maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformações.
Os anéis que você tem de fabricar serão curvados a partir de perfis planos. Por isso, não é possível calcular a quantidade de material necessário nem pelo diâmetro interno nem pelo diâmetro externo do anel. Você sabe por quê?
Se você pudesse pôr um pedaço de aço no microscópio, veria que ele é formado de cristais arrumados de forma geométrica.
Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se ou comprimindo-se. É mais ou menos o que acontece com a palma de sua mão se você abri-la ou fechá-la. A pele se esticará ou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.
No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado como referência para o cálculo, porque a peça ficará menor do que o tamanho especificado.
Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a peça ficará maior do que o especificado.
O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de linha neutra, que não sofre deformação quando a peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um pequeno problema aqui.
Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em Mecânica, de um ensaio, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o auxílio de equipamentos apropriados.
No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O que você poderá fazer para encontrar a linha neutra do material e realizar a tarefa?
A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar?
Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.
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Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a
soma:
100 + 80 = 180mm
O resultado obtido, você divide por 2:
180  2 = 90mm
O diâmetro médio é, portanto, de 90mm.
Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria-prima necessária. Como o comprimentodo material para a fabricação do anel corresponde mais ou menos ao perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o valor desse perímetro.
Recordar é aprender
A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é P = D . , em que D é o diâmetro da circunferência e  é a constante igual a 3,14.
P = 90 x 3,14 P = 282,6mm
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Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando ele for curvado, muito provav lmente haverá necessidade de correção na medida obtida (282,6mm).
Nesses casos, a tendência é que o anel fique maior que o especificado. Em uma empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado e fazer as correções necessárias.
Dica tecnológica
Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do diâmetro médio do anel.
Tente você também
Vamos a mais um exercício para reforçar o que foi explicado
Exercício 2
Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao seguinte desenho:
Solução: P = Diâmetro médio . 
Diâmetro médio = 31
 = 3,14
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P =
Peças curvadas semicirculares
Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do material para a peça que está no desenho a seguir?
O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta.
Mas, se você está tendo dificuldade para “enxergar” esses elementos, vamos mostrá-los com o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.
30
Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunferências absolutamente iguais. Isso significa que você pode fazer seus cálculos baseado apenas nas medidas de uma dessas circunferências.
Como você tem a medida do raio dessa circunferência, basta calcular o seu perímetro e somar com o valor dos dois segmentos de reta.
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Recordar é aprender
Como estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que, para o cálculo do perímetro, você terá de usar a fórmula P = 2  R.
Vamos ao cálculo:
P = 2  R
Substituindo os valores:
P = 2 x 3,14 x 10
P = 6, 28 x 10 P = 62,8mm
Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferências. Precisamos adicionar o valor dos dois segmentos de reta.
62,8 + 30 + 30 = 122,8mm
Portanto, o comprimento do material necessário para a fabricação desse elo de corrente é aproximadamente 122,8mm.
Tente você também
Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.
Exercício 3
Calcule o comprimento do	material	necessário
confeccionar	a
para peça forma
de	fixação		em de		“U”,	cujo
desenho é mostrado a seguir.
Solução:
Linha média: 6 / 2 =
Raio: 10 + 3 =
Perímetro da semicircunferência:
P = .........
Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........
Outro exemplo.
Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não.
Observe esta figura.
Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, um arco. Como resolver esse problema?
2R  .R = 3,14 x
2
.........
32
Como você já sabe, a primeira coisa a fazer é analisar a figura com cuidado para verificar todas as medidas que você tem à sua disposição.
Nesse caso, você tem: a espessura do material (6mm), o comprimento do segmento de reta (50mm), o raio interno do arco de circunferência (12mm) e o valor do ângulo correspondente ao arco que se quer obter (340º).
O passo seguinte é calcular o raio da linha média. Esse valor é necessário para que você calcule o perímetro da circunferência. As medidas que você vai usar para esse cálculo são: o raio (12mm) e a metade da espessura do material (3mm). Esses dois valores são somados e você terá:
12 + 3 = 15mm
Então, você calcula o perímetro da circunferência, aplicando a fórmula que já foi vista nesta aula.
P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20mm
Como você tem um arco e não toda a circunferência, o próximo passo é calcular quantos milímetros do arco correspondem a 1 grau da circunferência.
Como a circunferência completa tem 360°, divide-se o valor do perímetro (94,20mm) por 360. 94,20 □ 360 = 0,26166mm
Agora você tem de calcular a medida em milímetros do arco de 340º. Para chegar a esse resultado, multiplica-se 0,26166mm, que é o valor correspondente para cada grau do arco, por 340, que é o ângulo correspondente ao arco.
0,26166 x 340 = 88,96mm
Por último, você adiciona o valor do segmento de reta (50mm) ao valor do arco (88,96mm).
50 + 88,96 = 138,96mm.
33
Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de 138,96mm.
Tente você também
As coisas parecem mais fáceis quando a gente as faz. Faça o exercício a seguir e veja como é fácil.
Exercício 4
o
Calcule comprimento do material necessário	à
fabricação	da seguinte peça.
Solução:
Linha média: 6 /2 .......... =
Raio: 12 + .......... =
Perímetro =
............  360º =
............ x ............ =
............ + ............ + ............ =
Teste o que você aprendeu
Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.
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Exercício 5
Calcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.
a)
b)
c)
Exercício 6
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Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.
a)
b)
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Cálculo trigonométrico
A resolução de triângulos retângulos faz parte do cotidiano dos cálculos envolvidos em usinagem mecânica, desenho técnico, programação CNC, processos etc.
Neste tópico, abordaremos a resolução de triângulos retângulos, abrangendo o "Teorema de Pitágoras" e as funções básicas: seno, co-seno e tangente.
Lembramos que triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto (90 graus). Neste triângulo, o maior lado é chamado de Hipotenusa, enquanto os menores de catetos (Oposto e Adjacente) a um determinado ângulo.
Teorema de Pitágoras
O "teorema de Pitágoras" trabalha apenas com os lados do triângulo não envolvendo os ângulos.
Fórmula:
Desmembrando a Fórmula, teremos:
a) Aplicação de Seno
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Seno: A função seno envolve o cateto oposto ao ângulo implicado (cateto que está à frente do ângulo) e a hipotenusa. Assim temos:
Desmembrando a Fórmula, teremos:
b) Aplicação do co - seno
Co-seno: A função co-seno envolve o cateto adjacente ao ângulo implicado (cateto que está do lado) e a hipotenusa. Assim temos:
Desmembrando a Fórmula, teremos:
c) Aplicação da tangente
Tangente: A função tangente envolve os dois catetos, não levando em consideração a hipotenusa.
Assim temos:
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Desmembrando a Fórmula, teremos:
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Área e Perímetro de Figuras Planas
A geometria plana é a parte da matemática que estuda as relações entre as figuras planas e as figuras que têm duas dimensões: comprimento e largura ou comprimento e altura. Já a geometria espacial se preocupa com o estudo dos objetos no espaço, ou seja, estuda o objeto envolvendo três dimensões: comprimento, largura e altura.
Polígonos
Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n ≥ 3, onde três pontos
consecutivos estão em pontos distintos do plano, a união desses pontos com segmentos de reta determina um polígono.
Observe a figura:
Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono, e AB, BD, DC e CA são os segmentos que formam os lados do polígono.
Superfície Poligonal
A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o seu interior. As superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas.
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Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de lados, dessa forma eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomenclaturasdos polígonos.
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Medida de Superfície – Área
Para medir uma superfície você deve compará-la com outra unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado.
Unidade de área.
tomada
como
Aplicação 1
O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, então a medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2.
Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfície de chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias para confeccionar um baú da
carroceria de um caminhão.
A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecânica trabalhar com unidades menores, por exemplo, o mm2, que é um submúltiplo do metro. Já na construção civil utiliza-se os múltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir.
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Representação e Leitura
As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escrever 54,3 dm2 é conveniente escrever 54,30 dm2.
Quando ocorre a mudança de unidade, a vírgula se desloca duas casas para a direita ou esquerda.
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Área dos Polígonos
Área do Retângulo
Observe a figura a seguir, nela você tem um retângulo de 4 cm de altura e 9 cm de base, cuja área é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2.
Representa-se por A a área do retângulo, por b a base e por h a altura.
Área do Quadrado
O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode ser encontrada da mesma forma que o retângulo.
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A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2
Área do Paralelogramo
Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir.
Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficará com um retângulo. Para calcular a área do paralelogramo será utilizada a fórmula do retângulo.
Área do Triângulo
Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo, assim a área do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo, basta dividir por dois a área do retângulo. Veja a seguir.
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Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão em cm, tem-se:
Área do Losango
Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângulo, pois conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por oito triângulos iguais.
Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d. A área do losango é:
Substituindo as medidas do desenho você terá:
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Área do Trapézio
Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguinte: ajustar outro trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um paralelogramo.
Área do Polígono Regular
Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro, utilize o hexágono conforme figura a seguir. O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros iguais (congruentes).
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Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos quais 6 constituem a área do hexágono.
Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A = 6.ℓ.apótema.
Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura por dois, o hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogramo da figura.
Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular desde que seja dada a medida do lado e do apótema.
Aplicação 1
Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da chapa.
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Área do Círculo
Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do círculo você deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).
Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruentes, dos quais 16 constituem a área do círculo, usando a fórmula do paralelogramo terá:
A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim:
Aplicação 1
Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um diâmetro de 232,5 mm de diâmetro.
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Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande, podendo ser transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com:
Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a área de 424,35
cm2.
Área da Coroa Circular
Denomina-se coroa circular a região da figura plana formada entre duas circunferências concêntricas, conforme figura a seguir.
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Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas
dos polígonos. Aproveite!
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Exercícios de fixação
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Finalizando
Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que você possa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos abordados são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais, regra de três, porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são indispensáveis para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz.
Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional, portanto, dedique-se, o sucesso só depende de você.
Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de qualquer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha junto com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe.
Um ótimo estudo!
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