Aula 1 Eletrônica Digital

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Sistemas de numeração, álgebra
booleana e simplificação de circuitos
lógicos
Conceitos e princípios básicos de Eletrônica Digital: sistemas de numeração, álgebra Booleana, portas
lógicas e simplificação de circuitos.
Integração
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender a representação dos números em diferentes bases, sobretudo na base binária e hexadecimal.
Identificar as portas lógicas e a sua utilização para obtenção de circuitos complexos. Representar circuitos
lógicos por funções booleanas e simplificá-las empregando o mapa de Karnaugh.
Objetivos
Calcular a representação de números em diferentes bases e as operações com base binária e
hexadecimal.
Identificar as portas lógicas e a notação de funções booleanas.
Aplicar a álgebra de Boole para a simplificação de funções booleanas.
Aplicar o mapa de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas.
Introdução
Os primeiros dispositivos eletrônicos eram integralmente analógicos, mas com o passar dos anos surgiram os
digitais. Atualmente, a Eletrônica Digital está presente em praticamente todos os dispositivos que utilizamos:
celulares, carros, TVs, computadores, aviões etc. Entre as vantagens dos circuitos digitais em relação aos
eletrônicos que explicam essa substituição, destacam-se:
 
Confiabilidade, possibilidade de utilização de protocolos de verificação de erros.
Capacidade de armazenamento. Por exemplo, CDs, DVDs e Blu-rays, armazenam muito mais
informação do que discos de vinil ou fitas cassete.
Maior resistência a ruídos. Este fenômeno pode ser observado comparando a transmissão de sinal de
TV digital e o analógico.
Possibilidade de fazer dispositivos que podem ser programados para diversas tarefas. Por exemplo,
seu computador pode desempenhar diversas funções apenas alterando os programas instalados, sem
modificações no hardware (parte física do dispositivo).
Neste vídeo, conheça sobre sistema de numeração, álgebra booleana e simplificação de circuitos
lógicos.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Representação de números em diferentes bases e as operações com base binária e hexadecimal
Bases Numéricas
O sistema numérico, que utilizamos rotineiramente, utiliza 10 símbolos (também chamados de algarismos)
para representar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Combinando esses símbolos, podemos representar
qualquer valor.
Saiba mais
A utilização da base 10, ou decimal, é uma herança de nossos antepassados, que costumavam usar os
dedos das mãos para contar objetos. 
Não há nada de especial em relação ao número 10, podemos representar os números em diferentes bases. Por
exemplo, na base 8 teremos os dígitos: 0, 1, 2, 3, .... e 7, assim a representação dos números de 0 a 12 na base
8 é:
Base 10 Base 8
0 08
1 18
2 28
3 38
4 48
5 58
6 68
7 78
8 108
9 118
10 128
11 138
12 148
Note que a identificação da base é realizada com o número da base subscrito à direita do número, por
exemplo, 108.
Atenção
Perceba que essa notação não é utilizada para base 10, isso porque é convencionado que todo número
esteja na base 10, a menos que seja explícito o contrário. 
Também podemos utilizar bases de ordem superior a dez. Nesse caso, usamos as letras do alfabeto para
representar os algarismos com valor superior a 9.
Atenção
Na base 16 (ou hexadecimal) são utilizados os algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., 9, A, B, C, D, E e F. 
A base 2, ou binária, e a base hexadecimal são muito utilizadas em eletrônica digital e, por isso, recebem uma
identificação simplificada.
Dica
Os números binários são identificados utilizando a letra “b” em seu final e os hexadecimais a letra “h”. 
Na tabela, a seguir, podemos ver como são representados os números de 0 a 20 em diferentes bases.
Base 10 Base 2 Base 4 Base 7 Base 8 Base 16
0 0b 04 07 08 0h
1 1b 14 17 18 1h
2 10b 24 27 28 2h
3 11b 34 37 38 3h
4 100b 104 47 48 4h
5 101b 114 57 58 5h
6 110b 124 67 68 6h
7 111b 134 107 78 7h
Base 10 Base 2 Base 4 Base 7 Base 8 Base 16
8 1000b 204 117 108 8h
9 1001b 214 127 118 9h
10 1010b 224 137 128 Ah
11 1011b 234 147 138 Bh
12 1100b 304 157 148 Ch
13 1101b 314 167 158 Dh
14 1110b 324 207 168 Eh
15 1111b 334 217 178 Fh
16 1 0000b 1004 227 208 10h
17 1 0001b 1014 237 218 11h
18 1 0010b 1024 247 228 12h
19 1 0011b 1034 257 238 13h
20 1 0100b 1104 267 248 14h
Repare que quando os números são representados na base 2, normalmente, haverá muitos algarismos,
aumentando a probabilidade de cometermos erros ao transcrever ou operar com esses valores.
Dica
Para facilitar o manuseio, a leitura e a escrita costumamos separar os números binários em sequências
de 4 dígitos, da direita para a esquerda. Assim ao invés de escrever 2020 = 11111100100b, escreve-se
2020 = 111 1110 0100b. 
Conversão de qualquer base para a decimal
Note que a formação dos números decimais segue uma regra de acordo com a posição dos algarismos.
Iniciando pelo algarismo menos significativo, cada digito é multiplicado por 10 elevado à sua posição,
considerando a primeira posição valendo zero.
Exemplo
1528 = 8 x 100 + 2 x 101 + 5 x 102 + 1 x 103 
Dizemos que o algarismo mais à esquerda é o mais significativo (MSB – Most Significant Bit), pois está na
posição de maior valor. Igualmente, dizemos que o dígito mais à direita é o menos significativo (LSB – xLeast
Significant Bit), pois ocupa a posição de menor valor. No caso do 1528 “1” é o algarismo mais significativo e “8”
é o algarismo menos significativo.
 
A formação dos números na base decimal é apenas um caso particular. O caso geral, que vale para qualquer
base, pode ser usado para converter os números de suas bases de origem para a decimal.
Para converter um número de qualquer base para a decimal, devemos calcular o somatório de cada
algarismo multiplicado pelo valor da base elevado ao valor correspondente à posição do algarismo,
iniciando pelo menos significativo, cuja posição corresponde ao expoente 0.
Apesar de a descrição parecer complicada, o processo é bem simples, veja nos exemplos abaixo:
Exemplo 1
Converta 1A4h para o sistema decimal:
1A4h = 4 x 160 + 10 x 161 + 1 x 162 = 4 + 160 + 256 = 420
Exemplo 2
Converta 1101b para o sistema decimal:
1101b = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 + 1 x 23 = 1 + 0 + 4 + 8 = 13
Conversão da base decimal para qualquer base
Para converter um número da base 10 para qualquer base, utilizaremos o método das divisões sucessivas.
Nesse método, dividimos o número sucessivamente pelo valor da base de destino. O processo é repetido até
que o quociente seja menor que o valor da base, então, o número é formado pelo último quociente e os restos,
sendo o último quociente o dígito mais significativo e os restos colocados na ordem inversa de que
apareceram na divisão.
 
Pode parecer um processo complicado, mas no passo a passo, a seguir, veremos que é bem simples.
Passo 1
Converta 420 para a base hexadecimal:
Passo 2
Passo 3
Como o quociente do passo anterior é menor que o valor da base, paramos a divisão e formamos o número na
base hexadecimal:
Último quociente Segundo resto Primeiro resto
1 A 4
Destacando que 10 na base decimal corresponde ao algarismo A da base hexadecimal.
 
Assim, 420 = 1A4h.
 
Para agilizar o processo manual, podemos compactar a notação, como realizado nos exemplos abaixo:
Exemplo 1
Converta 21582 para a base hexadecimal:
Exemplo 2
2) Converta 102 para a base binária:
A base binária
O sistema binário é extremamente importante para eletrônica digital, pois é o utilizado nas máquinas digitais
até hoje.
Saiba mais
Seu computador funciona assim, processando enormes quantidades de 0s e 1s! 
Dessa forma, o dígito binário, também chamado de bit, é a menor quantidade de informação capaz de ser
representada nos sistemas digitais. É comum na área de computação trabalhar com agrupamentos de bits, o
conjunto de 4 bits é chamado de nibble e o de 8 bits é chamado de byte.
Convertendo entre a base binária e a hexadecimal
Como realizar a conversão entre as bases bináriae hexadecimal de maneira inteligente? 
 
Veja como deve ser feita a conversão entre as bases binária e hexadecimal no vídeo a seguir:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Operações com a base binária
Soma Aritmética
A operação de soma com binários e hexadecimais pode ser realizada da mesma forma com decimais. Sempre
que a soma de dois algarismos excede a capacidade de representação da base com apenas um algarismo,
aparece o carry, como pode ser visto abaixo.
 
Exemplo:
 
A soma 47 + 26 em decimal é realizada da seguinte forma:
Chave de resposta
Acompanhe a resolução da questão.
Em binário, a mesma soma pode ser realizada como:
Já em hexadecimal:
Note que o sistema hexadecimal pode representar, com apenas 1 algarismo, até o número 15, que
corresponde ao dígito hexadecimal “F”. No exemplo acima, F + A corresponde à seguinte soma no sistema
decimal, 15 + 10 = 25. Convertendo 25 para hexadecimal obtém-se 19h, o “1” aparece na operação de soma
como carry.
Subtração
A subtração com binários e hexadecimais, assim como a adição, é realizada de forma semelhante ao que é
feito com os decimais. Ou seja, a operação é realizada dígito a dígito. Deve se tomar cuidado especial quando
for preciso “pedir um”.
Relembrando
É preciso lembrar que uma unidade do algarismo, à esquerda, equivale ao valor da base para o algarismo
que está à direta. 
Veja o exemplo a seguir:
 
Exemplo:
 
A subtração 41 - 28 em decimal é realizada da seguinte forma:
Em binário, a mesma operação pode ser realizada como:
 
Começamos normalmente pelos algarismos menos significativos• 
Para poder realizar a operação no 3° algarismo menos significativo precisamos “pedir um” emprestado
ao 4°:
Nesse ponto da subtração, o 4° algarismo precisa “pedir um” emprestado, mas o 5° vale zero. Então,
primeiro o 5° dígito deverá “pedir um” para o sexto algarismo:
Finalmente o 3° algarismo pode pegar o valor que necessita para a substração e podemos finalizar a
operação:
Realizando a mesma operação utilizando a notação em hexadecimal:
Repare que quando o digito 9h “pede um” ele se transforma em 19h, ou seja, é somado 16 ao seu valor inicial.
Atenção
É fortemente recomendado fazer a subtração dos dígitos hexadecimais utilizando o sistema decimal,
conforme mostrado no exemplo, para evitar erros. 
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Qual a representação do número 3415 na base binária?
A 1100 0000b
B 0000 0110b
C 0110 0000b
D 0000 0011b
A alternativa C está correta.
Para converter entre duas bases quaisquer, utilizamos a base decimal como intermediária. Dessa forma,
temos 3415 = 96, seguindo o apresentado em Conversão de qualquer base para a decimal. Em seguida,
convertemos para a base binária utilizando o método das divisões sucessivas, 96 = 0110 0000b, conforme
apresentado em Conversão da base decimal para qualquer base.
Questão 2
Qual o resultado da expressão 1101 0010 0011b + 3A0h – 1011b?
A 0001 0000 1011 1000b
B 1011 1000b
C 0001 1101 0000 1000b
D 1000 0000 1101 0001b
A alternativa A está correta.
Apesar das alternativas estarem em binário, é preferível realizar a operação na base hexadecimal, evitando
erros devido à quantidade de dígitos utilizados pela representação binária. Convertendo a expressão para a
base 16 de acordo com o visto em Convertendo entre a base binária e a hexadecimal:
D23h + 3A0h – Bh
Finalmente, convertendo o valor para binário temos: 10B8h = 0001 0000 1011 1000b
2. Portas lógicas e a notação de funções booleanas
Portas lógicas
As portas lógicas são circuitos digitais capazes de implementar funções simples de variáveis binárias, também
conhecidas por variáveis booleanas. As portas lógicas são os elementos básicos de construção dos circuitos
lógicos mais complexos.
 
A variável booleana pode assumir apenas dois níveis lógicos:
Atenção
O importante é que cada variável booleana pode assumir somente um valor por vez, e que o nível lógico
0 e o 1 devem sempre ser opostos. 
Logo, se em um sistema o 0 representa chave aberta, o 1 representará a chave fechada, se o 0 representa
aparelho desligado, então o 1 representará o aparelho ligado etc.
 
A nomenclatura das portas lógicas é bastante indicativa da função que executam, facilitando a memorização.
Saber identificar uma porta lógica pela sua nomenclatura, em português ou inglês, ou por quaisquer
de seus símbolos e reconhecer suas funções lógicas é fundamental para avançar nos estudos de
Eletrônica Digital.
Porta NÃO (NOT) ou Inversora
A porta NÃO é uma porta com apenas uma entrada, cuja saída é o estado oposto ao da entrada.
Dica
Para mostrar o funcionamento das portas lógicas, utilizamos a tabela verdade, a qual é um mapa que
possui todas as possíveis combinações das entradas com os seus respectivos resultados. 
A tabela verdade da Porta NÃO e seu símbolo são apresentados abaixo:
A S
Nível lógico 0 (zero) 
Representa a ideia de não, falso.
Nível lógico 1 (um) 
Representa ideia de sim, verdade.
0 1
1 0
Figura 1 - Porta lógica NÃO | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A função NÃO é representada como , e se lê como "A barra" ou "não ".
Porta E (AND)
A porta E necessita que todas as entradas sejam verdade (estado lógico 1) para que a saída seja verdade.
Caso contrário, a saída é falsa (estado lógico 0). Essa porta realiza o que chamamos de produto lógico das
variáveis booleanas.
 
A tabela verdade e o símbolo de uma porta E de duas entradas são:
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Figura 2 - Porta lógica E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A função E é representada como ou , e se lê como "A e B " ou "A multiplica B ".
Atenção
Note que a porta lógica E pode ter tantas entradas quanto se queira. 
Por exemplo, para uma porta E de três entradas.
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Figura 3 - Porta Lógica E de 3 entradas| Fonte: Capuano, Francisco Gabriel -
adaptada.
, e se lê como "A e BeC".
Porta OU (OR)
A porta OU realiza a soma lógica das variáveis booleanas. Sua saída é verdade (1) desde que pelo menos
umas das entradas seja verdade (1). Assim como a porta E, a OU pode ter tantas entradas quanto se queira. A
simbologia e a tabela verdade de uma porta OU de duas entradas são apresentadas a seguir:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Figura 4 - Porta Lógica OU | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
S = A+B, e se lê como “A ou B” ou “A mais B”.
Atenção
É importante diferenciar a operação lógica OU que realiza a soma lógica, da soma aritmética vista no
Módulo 1. Perceba que, por exemplo, na função lógica não existe o carry. 
A simbologia e a tabela verdade para uma função OU de quatro variáveis de entrada são:
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Figura 5 - Porta Lógica OU de 4 entradas | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel -
adaptada
Note que a função lógica OU, com mais do que duas entradas, é totalmente diferente do que seria a soma
aritmética dos mesmos bits.
 
Perceba também que como cada entrada pode assumir 2 valores (0 ou 1), a quantidade de combinações
possíveis para as entradas é 2^N, com N sendo a quantidade de entradas. Então, no caso da porta OU com 4
entradas, há 2^4=16 combinações possíveis de entrada, como pode ser visto na sua tabela verdade.
Porta NÃO E (NAND)
Como sugerido pelo nome, essa porta é a negação da porta E. Ou seja, ela pode ser composta por uma porta
E seguida pela porta NÃO.
 
Simbologia da Porta NÃO E:
Figura 6 - Porta Lógica NÃO E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
A porta NÃO E opera como uma porta E seguida pela porta NÃO:
Figura 7 - Esquema da porta lógica NÃO E | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel -
adaptada.
Assim, a sua tabela verdade é dada por:
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
E a expressão lógica da porta NAND é 
Assim, como as portas E e OU, a porta NAND pode possuir múltiplas entradas.Porta NÃO OU (NOR)
Análoga a porta NÃO E, a NÃO OU é a composição da OU com a NÃO. Assim como as demais, ela pode ter
duas entradas ou mais. A simbologia, tabela verdade e expressão da porta NÃO OU são dadas a seguir:
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Figura 8 - Porta lógica NÃO OU | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada.
Porta OU EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR), XOR
A porta OU EXCLUSIVO, assim como as outras portas, pode ter mais do que duas entradas, porém esse caso
é incomum e seu funcionamento é ligeiramente diferente. Estudaremos apenas a porta OU EXCLUSIVO de
duas entradas.
 
Como o seu nome sugere, a saída da porta OU EXCLUSIVO é verdade (1), se, e somente se, uma entrada for
verdade (1) e a outra for falsa (0). Ou seja, se as entradas forem diferentes.
 
A representação da porta XOR e sua tabela verdade são:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Figura 9 - Porta lógica OU Exclusivo | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada
A expressão da porta lógica XOR é lê-se "A ou exclusivo ", ou "A XOR B".
A expressão da XOR pode ser escrita em função das portas E , OU e 
A seguir, mostramos a implementação da expressão obtida para a porta XOR:
Figura 10 - Implementação da porta XOR utilizando portas E, OU e NÃO | Fonte:
Dachi, Édison Pereira - adaptada.
Porta NÃO OU EXCLUSIVO (NOT EXCLUSIVE OR), XNOR
É a negação da porta OU EXCLUSIVO. Dessa forma, a porta XNOR possui saída verdade (1) se, e somente se,
as entradas forem iguais.
 lê-se A não ou exclusivo B , ou A XNOR B .
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Figura 11 - Porta lógica NXOR | Fonte: Capuano, Francisco Gabriel - adaptada
Obtenção da função booleana a partir dos circuitos lógicos
Veja como obter a função booleana a partir dos circuitos lógicos no vídeo a seguir:
Conteúdo interativo
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Obtenção dos circuitos lógicos a partir da função booleana
Para obter o circuito lógico a partir da expressão booleana, basta identificar as funções lógicas e as desenhar
de acordo com a precedência das operações.
 
Exemplo:
 
Desenhe o circuito lógico que implementa a seguinte expressão: 
Chave de resposta
Identificamos que as primeiras operações são o OU (A + B) e o E (C .D)
Em seguida, fazemos o E entre 
Finalmente, fazemos a operação de OU entre e C 
Obtenção da tabela verdade a partir da função booleana
Conforme a complexidade da expressão booleana aumenta, obter a tabela verdade por simples inspeção se
torna cada vez mais difícil. Nesses casos, pode-se utilizar os seguintes passos para obtê-la a partir da
expressão booleana:
Montar a tabela com todas entradas possíveis.
Criar colunas para os produtos intermediários e as preencher de acordo (repetir este passo tantas
vezes quanto o necessário).
Criar a coluna da saída e a preencher de acordo.
Exemplo:
Montar a tabela verdade da expressão: 
1° passo
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
2º passo
A B C B+C
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
3° passo
• 
• 
• 
A B C B+C C A.(B+C)
0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1
4° passo
A B C B+C C A.(B+C) S
0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
Obtenção da função booleana a partir da tabela verdade
Obter uma função booleana a partir da tabela verdade é simples, basta seguir dois passos:
1º passo
Identificar as combinações de entrada que
geram saída “1” e as reproduzir usando as
funções lógicas E e NÃO.
2º passo
Utilizar a função lógica OU para combinar as
expressões obtidas no passo anterior.
No exemplo, a seguir, está ilustrado o método junto à explicação de como ele funciona.
 
Exemplo:
 
Obter uma função booleana que gere a tabela verdade abaixo:
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Primeiro, suponha uma porta OU com entradas X e Y. Note que pela tabela verdade da porta OU se X = 1
então S = 1, como pode ser visto nas linhas em destaque da tabela verdade abaixo:
X Y S = X + Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Ou seja, , independente do estado lógico de !
 
Retomando a tabela verdade do exemplo, para que a primeira linha ( e ) possua saída 
, deve-se incluir o termo , note que esse termo produz saída 1 se, e somente se, 
. Ou seja:
A B C A·B·C
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
A B C A·B·C
1 1 0 0
1 1 1 0
Para que a linha e possua saída 1 , utiliza-se o termo 
 
Da mesma maneira, temos que para a linha tenha , utiliza-se o termo A.B.C
 
Assim, temos a seguinte tabela verdade:
A B C A·B·C
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1
Fazendo :
A B C A·B·C A·B·C A·B·C S
0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1
Esse é o resultado desejado! Logo 
Dica
Analisando o exemplo anterior, fica claro que qualquer tabela verdade pode ser expressa como uma
soma de produtos. 
Verificando o aprendizado
Questão 1
Qual é a expressão booleana do circuito abaixo?
A
B
C
D
A alternativa D está correta.
Apesar de aparentemente simples, nesse tipo de questão é muito fácil cometer enganos esquecendo um
símbolo de inversão, trocando portas, como uma NAND por uma AND, ou alguma variável
Questão 2
Qual é a expressão booleana que gera a seguinte tabela verdade:
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
A
B
C
D
A alternativa A está correta.
Obter a expressão booleana a partir da tabela verdade é o caso mais comum na prática, pois geralmente
usamos a tabela verdade para descrever um comportamento desejado e em seguida queremos o circuito
lógico capaz de reproduzir esse comportamento.
3. Álgebra de Boole para a simplificação de funções booleanas
Introdução
Neste módulo, estudaremos os teoremas e propriedades da Álgebra Booleana e veremos como eles podem
ser utilizados para simplificar as funções booleanas.
Teoremas elementares
Os primeiros 9 teoremas são bastante simples de se verificar.
 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
Para verificar os teoremas 2) e 3) basta analisar a tabela verdade da porta OU:
4) 
5) 
 
Para verificar os teoremas 4) e 5) basta analisar a tabela verdade da porta E:
6) 
 
7) 
 
Se logo 
Para verificar os teoremas 6) e 7), será analisado a tabela verdade da porta OU, com uma mudança
conveniente na ordem em que as combinações das entradas aparecem:
Para verificar os teoremas 8) e 9), será analisado a tabela verdade da porta E, com uma mudança conveniente
na ordem em que as combinações das entradas aparecem:
 
8) 
 
9) 
Propriedades
As propriedades da álgebra booleana são muito fáceis de se lembrar, pois seguem as mesmas regras da
álgebra matemática usual.
Propriedade comutativa
A propriedade comutativa é válida para a adição e para a multiplicação:
A + B = B + A
A . B = B . A
Propriedade associativa
Assim como a propriedade comutativa, a propriedade associativa é válida para a adição e para a
multiplicação:
(A + B) + C = A + (B + C)
(A. B) . C = A . (B . C)
• 
• 
• 
• 
Propriedade distributiva
A propriedade distributiva é mais abrangente na álgebra booleana do que na álgebra usual, pois além
de ser aplicada ao produto:
A . (B + C) = A . B + A . C
Também podem ser aplicadas a soma:
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Para verificar os dois casos da propriedade distributiva, analisaremos a tabela verdade:
A B C A.(B+C) A.B+A.C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
A B C A.(B+C) (A+B).(A+C)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
Para demonstrar como as propriedades e teoremas vistos até agora podem ser utilizados na simplificação das
expressões booleanas, faremos uma série de exemplos com expressões simples.
Prove as simplificações:
Exemplo1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 4:
Exemplo 5:
Exemplo 6:
Teoremas de De Morgan
Os teoremas de De Morgan são de grande importância para a simplificação de expressões booleanas. São
eles:
 
1) O complemento do produto de variáveis booleanas é igual à soma dos complementos das variáveis
individuais.
 
 
2) O complemento da soma de variáveis booleanas é igual ao produto dos complementos das variáveis
individuais.
 
Dica
Note que os teoremas de De Morgan se aplicam para uma quantidade arbitrária de variáveis. E foram
utilizadas 4 variáveis apenas para garantir a clareza da notação utilizada. 
Exemplo:
Simplifique a expressão 
Chave de resposta
Aplicando De Morgan nos termos e 
Colocando em evidência:
Renomeando , podemos escrever:
Aplicando a propriedade distributiva:
Fazendo a substituição :
Aplicando De Morgan no termo :
Note que B , pois se , temos que , assim:
Finalmente:
Simplificação de funções booleanas utilizando a álgebra booleana.
Para melhor compreender o processo visto, assista ao vídeo a seguir:
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Simplifique a expressão 
A S = C . B
B S = A + B . C
C S = A
D S = A + C + B
A alternativa A está correta.
Colocando B . C em evidência:
Como 
Pela propriedade da comutatividade:
Questão 2
Simplifique a expressão 
A
B
C
D
A alternativa D está correta.
Nesse tipo de exercício, é preciso muito cuidado ao se aplicar os teoremas de De Morgan para não cometer
erros. Lembre-se de que os teoremas de De Morgan podem ser aplicados na soma ou no produto, mas não
em ambos
Aplicando De Morgan em 
, assim: 
Aplicando De Morgan em 
, logo:
4. Mapa de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas
Introdução
No módulo anterior, vimos como simplificar expressões booleanas utilizando a álgebra boolena. Apesar desse
método ser muito prático para expressões simples, pudemos perceber que esse processo pode ser bastante
trabalhoso e complicado dependendo da complexidade da função booleana.
 
Além disso, ao realizar a simplificação pela álgebra de boole, nem sempre temos certeza de que obtivemos a
expressão mais simples possível.
Exemplo
Por exemplo, ao simplificar a expressão seria razoável parar ao obter a expressão , acreditando ter
obtido a expressão mais simples de S, porém a expressão mais simples de S nesse caso é 
A utilização do Mapa de Karnaugh permite, a partir da tabela verdade, a obtenção da função booleana mais
simples que representa um circuito de maneira sistemática, rápida e prática. Estudaremos os mapas de
Karnaugh para circuitos com 2, 3 ou 4 entradas.
Formato do Mapa de Karnaugh
Primeiro, definimos que cada combinação possível de entradas de uma função Boolena é um mintermo. Então,
para uma função de três variáveis, por exemplo, temos que o mintermo 3 é 
 
mintermo A B C
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
No mapa de Karnaugh, cada quadrado ou célula, corresponderá a um mintermo, ou seja, a uma possível
combinação possível das variáveis de entrada. A seguir, podemos observar o formato dos mapas de Karnaugh
para 2, 3 ou 4 variáveis.
Figura 12 - Mapa de Karnaugh para 2, 3 e 4 variáveis. | Fonte: O autor
Um conceito muito importante no Mapa de Karnaugh é o de vizinhança entre células. Duas células são
vizinhas quando a variação entre seus mintermos é de apenas 1 bit.
Exemplo
No mapa de 4 variáveis, as células 7 e 15 são vizinhas, pois apenas o bit A varia entre elas. As células 4 e
6 também são vizinhas, com apenas o bit C variando entre elas. 
A vizinhança pode ser identificada graficamente. Duas células são vizinhas se fazem fronteira entre si, ou seja,
compartilham uma aresta, sendo que as arestas externas opostas do mapa de Karnaugh são consideradas a
mesma aresta. Na Figura 13, as arestas externas de mesma cor são consideradas uma só para fins de
verificação de vizinhança.
Figura 13 – Mapas de Karnaugh com indicação das arestas externas. | Fonte: O autor
Assim, se uma célula está em uma borda do mapa, ela é vizinha da célula na borda oposta. Por exemplo, no
mapa de 4 variáveis, as vizinhas da célula 0 são as células 1, 2, 4 e 8.
Preenchimento do Mapa de Karnaugh
O preenchimento do Mapa de Karnaugh é feito copiando o valor da função para cada célula correspondente
do mapa.
 
Exemplo:
 
Dada a tabela verdade da função S, abaixo, preencha o mapa de Karnaugh correspondente:
mintermo A B C D S
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
Chave de resposta
Resposta
Atenção
Apesar de ser um procedimento muito simples, é preciso tomar muito cuidado nesta etapa, pois ela é
muito suscetível a erros devido à falta de atenção. Note que as células do mapa de Karnaugh não
seguem uma ordem crescente! 
Minimização utilizando mapa de Karnaugh
A minimização baseada no mapa de Karnaugh se baseia em agrupar células vizinhas nas quais o valor da
função é 1. Os agrupamentos podem ser:
Óctuplas, agrupamentos de 8 células.
Quadras, agrupamentos de 4 células.
Duplas, agrupamentos de 2 células.
Ilhas, células isoladas.
Em seguida, devemos identificar a expressão booleana que corresponde a cada agrupamento. Para tal,
observamos quais variáveis booleanas possuem mesmo valor em todas as células do grupo. A expressão do
agrupamento é o mintermo das variáveis que não alteram seu valor.
Dica
Observe nas figuras dos agrupamentos o termo correspondente a cada um deles. 
Ao realizar os agrupamentos, devemos seguir as seguintes regras:
 
Todos os “1” devem pertencer a pelo menos um agrupamento, podendo se fazer parte de diversos
agrupamentos.
Os “0”s não podem participar de nenhum agrupamento.
Devem ser priorizados agrupamentos com a maior quantidade de células possíveis.
Todos os agrupamentos devem incluir pelo menos um “1” que só pertença a ele, caso contrário, ele
deve ser descartado.
Baseando-se nessas regras, a minimização por mapa de Karnaugh deve seguir o seguinte passo a passo:
 
Montar a tabela verdade, caso ela não tenha sido fornecida. Por exemplo, se for dado a expressão
booleana ao invés da tabela verdade.
Montar o mapa de Karnaugh.
Preencher o mapa de Karnaugh.
Agrupar as óctuplas de “1”.
Agrupar as quadras de “1”, em que nem todos os “1” pertençam as óctuplas já formadas.
Agrupar todas as duplas de “1”, em que nem todos os “1” pertençam aos agrupamentos já formados.
Agrupar os “1” que não participam de nenhum agrupamento em ilhas.
Verificar se todos os agrupamentos incluem pelo menos um “1” único, descartando os que não.
• 
• 
• 
• 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
 
Seguindo esses passos corretamente, o resultado, em geral, será a soma mais simples de mintermos que
implementa a função pretendida.
Exemplo:
 
Calcule a função booleana que implementa a seguinte tabela verdade:
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Chave de resposta
Inicialmente, montamos e preenchemos o mapa de Karnaugh:
Note que não é necessário colocar os zeros, podendo deixar seu espaço “em branco”.
Em seguida, buscamos as óctuplas:
Na sequência, buscamos as quadras:
A seguir, verificamos as duplas:
Como não há nenhum “1” sobrando, não precisamos utilizar as ilhas. Verificamos também que os três
grupos incluem pelo menos uma célula de valor “1” que só eles possuem.
Por último, identificamos os mintermos de cada grupo e realizamos sua soma:
Exemplo:
 
Simplifique a expressão: 
Chave de resposta
Inicialmente, montamos a tabela verdade:
Na sequência, montamos e preenchemos o mapa de Karnaugh:
Em seguida, fazemos os agrupamentos:
Por fim, identificamos os mintermos de cada grupo e realizamos a soma deles:
Simplificação de funções booleanasutilizando o Mapa de Karnaugh
Entenda melhor a resolução do exemplo acima assistindo à explicação do professor:
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Condições Irrelevantes (Don’t Cares)
Condições irrelevantes ("X") são combinações de entradas em que, para o projetista do circuito, não importa a
saída. Essa situação ocorre, principalmente, porque nos sistemas reais, muitas vezes, há combinações
impossíveis de ocorrer.
 
O passo a passo para a simplificação, utilizando o mapa de Karnaugh, se mantém inalterado, porém haverá no
mapa de Karnaugh, além de “0”s e “1”, “X”s.
Atenção
As condições irrelevantes podem ser incluídas nos agrupamentos, mas a sua inclusão não é obrigatória. 
A inclusão ou não deve ser realizada de forma que gere os melhores agrupamentos e, assim, a expressão mais
simplificada possível.
 
Exemplo:
 
Ache a expressão simplificada do mapa abaixo:
Chave de resposta
Resposta
Verificando o aprendizado
Questão 1
Utilize a abordagem por mapa de Karnaugh para simplificar a seguinte expressão:
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
A tabela verdade da função S é dada por:
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
O mapa de Karnaugh correspondente, já com os agrupamentos, é:
E a expressão simplificada é: 
Questão 2
Calcule a expressão simplificada do mapa de Karnaugh abaixo:
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
Fazendo os agrupamentos:
A expressão simplificada é:
5. Conclusão
Considerações finais
Ao longo dos quatros módulos, apresentamos as ferramentas fundamentais da Eletrônica Digital que são
utilizadas para construir circuitos mais complexos.
 
Inicialmente, vimos como os números podem ser representados em outras bases que não a decimal e como
transitar entre as diferentes bases. Conferimos especial destaque às bases binária e hexadecimal, que são
muito exploradas na Eletrônica Digital.
 
No segundo módulo, analisamos as funções lógicas que as portas lógicas executam e como um circuito lógico
pode ser expresso como uma função booleana, além de ser introduzido o conceito de tabela verdade.
 
Em seguida, abordamos os fundamentos da álgebra booleana com enfoque em suas propriedades e teoremas
principais, e como aplicar esses conhecimentos na minimização e circuitos.
Por fim, apreciamos a simplificação utilizando o mapa de Karnaugh, uma ferramenta incrivelmente poderosa
para a obtenção de circuitos lógicos simplificados.
Podcast
Para encerrar, ouça sobre sistemas de numeração álgebra booleana e simplificação de circuitos lógicos.
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Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
 
O capítulo 9 do livro Elementos de Eletrônica Digital (indicado nas referências) para mais informações a
respeito das famílias lógicas.
Referências
CAPUANO, F. G. Sistemas digitais circuitos combinacionais e sequenciais. In: Minha Biblioteca. 1 ed. Érica,
2014. Pág. 11-60.
 
DACHI, E. P; HAUPT, A. G. Eletrônica digital. In: Minha Biblioteca. 1 ed. Blucher, 2018. Pág. 25-58
 
IDOETA, I.V.; CAPUANO, F. G. Elementos de Eletrônica Digital. In: Minha Biblioteca. 41.ed. Érica, 2012. Pág.
18-165.
 
• 
MENDONÇA, A.; ZELENOVSKY, R. Eletrônica Digital: Curso Prático e Exercícios, 2 ed. MZ Editora, 2007. Pág.
3-9 e 33-72.
	Sistemas de numeração, álgebra booleana e simplificação de circuitos lógicos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Representação de números em diferentes bases e as operações com base binária e hexadecimal
	Bases Numéricas
	Saiba mais
	Atenção
	Atenção
	Dica
	Dica
	Conversão de qualquer base para a decimal
	Exemplo
	Exemplo 1
	Converta 1A4h para o sistema decimal:
	Exemplo 2
	Converta 1101b para o sistema decimal:
	Conversão da base decimal para qualquer base
	Passo 1
	Passo 2
	Passo 3
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	A base binária
	Saiba mais
	Convertendo entre a base binária e a hexadecimal
	Conteúdo interativo
	Operações com a base binária
	Soma Aritmética
	Subtração
	Relembrando
	Atenção
	Verificando o aprendizado
	Qual a representação do número 3415 na base binária?
	Qual o resultado da expressão 1101 0010 0011b + 3A0h – 1011b?
	2. Portas lógicas e a notação de funções booleanas
	Portas lógicas
	Atenção
	Porta NÃO (NOT) ou Inversora
	Dica
	Porta E (AND)
	Atenção
	Porta OU (OR)
	Atenção
	Porta NÃO E (NAND)
	Porta NÃO OU (NOR)
	Porta OU EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR), XOR
	Porta NÃO OU EXCLUSIVO (NOT EXCLUSIVE OR), XNOR
	Obtenção da função booleana a partir dos circuitos lógicos
	Conteúdo interativo
	Obtenção dos circuitos lógicos a partir da função booleana
	Obtenção da tabela verdade a partir da função booleana
	Exemplo:
	1° passo
	3° passo
	4° passo
	Obtenção da função booleana a partir da tabela verdade
	1º passo
	2º passo
	Exemplo:
	Dica
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Qual é a expressão booleana do circuito abaixo?
	Questão 2
	Qual é a expressão booleana que gera a seguinte tabela verdade:
	3. Álgebra de Boole para a simplificação de funções booleanas
	Introdução
	Teoremas elementares
	Propriedades
	Propriedade comutativa
	Propriedade associativa
	Propriedade distributiva
	Teoremas de De Morgan
	Dica
	Exemplo:
	Simplificação de funções booleanas utilizando a álgebra booleana.
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	4. Mapa de Karnaugh para a simplificação de funções booleanas
	Introdução
	Exemplo
	Formato do Mapa de Karnaugh
	Exemplo
	Preenchimento do Mapa de Karnaugh
	Exemplo:
	Atenção
	Minimização utilizando mapa de Karnaugh
	Óctuplas, agrupamentos de 8 células.
	Quadras, agrupamentos de 4 células.
	Duplas, agrupamentos de 2 células.
	Ilhas, células isoladas.
	Dica
	Exemplo:
	Exemplo:
	Simplificação de funções booleanas utilizando o Mapa de Karnaugh
	Conteúdo interativo
	Condições Irrelevantes (Don’t Cares)
	Atenção
	Exemplo:
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Utilize a abordagem por mapa de Karnaugh para simplificar a seguinte expressão:
	Questão 2
	Calcule a expressão simplificada do mapa de Karnaugh abaixo:
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências