Tema 5 - Magnetostática

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Magnetostática
Construção dos conceitos fundamentais e aplicações do campo magnético, da força de Lorentz, do fluxo
de campo magnético, da indutância e da Lei de Gauss da magnetostática na moderna teoria
eletrodinâmica clássica.
Prof. Gentil Oliveira Pires
1. Itens iniciais
Propósito
Abordar os campos magnéticos estáticos, ou magnetostáticos, sua estrutura, seu comportamento e suas
fontes, a força de Lorentz, bem como o cálculo do campo magnético a partir de correntes elétricas estáveis, a
obtenção do valor da indutância de componentes elétricos e a definição de mais uma das equações de
Maxwell: a lei de Gauss da Magnetostática.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
Objetivos
Identificar o campo magnético e a força de Lorentz.
Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.
Calcular o fluxo de campo magnético, a indutância e a aplicação da Lei de Gauss da magnetostática.
Introdução
Os Campos magnéticos, com suas causas, estrutura e consequências, são um dos tópicos mais pesquisados
e estudados, tanto cientifica como tecnologicamente. 
 
São fundamentais à completa compreensão dos fenômenos eletromagnéticos, sendo aplicados onde muitas
vezes não imaginamos: desde a geração elétrica, passando pelas comunicações, as novas tecnologias de
materiais, transportes e máquinas, até a moderna eletrônica etc. E não podemos esquecer dos fenômenos
magnéticos da natureza. 
 
Para compreender seus fundamentos e aplicações iniciais, precisamos conceituar o campo magnético e a
força de Lorentz. Também vamos analisar como obter e calcular o campo magnético a partir das fontes de
corrente elétrica. Vamos, ainda, conceituar e aplicar o fluxo de campo magnético na obtenção da Indutância
magnética e definir a segunda equação de Maxwell, que é uma lei fundamental da Natureza, a Lei de Gauss da
Magnetostática.
Magnetostática
Neste vídeo, conheça mais sobre Magnetostática.
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Paul M. Dirac
1. Campo magnético e a força de Lorentz
O campo magnético
Campos magnéticos são mediadores da Interação magnética a distância. À diferença do fenômeno elétrico,
não existe o equivalente magnético da carga elétrica. Não há “cargas magnéticas”, chamados teoricamente de
Monopolos Magnéticos.
 
Durante várias décadas, Paul M. Dirac idealizou
e propôs a existência dos Monopolos
Magnéticos que, teoricamente, resolveriam a
compreensão do valor do Quantum
fundamental da carga elétrica. Mas,
infelizmente, nunca foi encontrado um único
Monopolo Magnético em quatro dimensões do
espaço-tempo (três coordenadas espaciais +
um tempo), apesar de algumas evidências em 
três dimensões espaço-temporais (duas
coordenadas espaciais + um tempo), mas estes
aplicam-se em fenômenos físicos superficiais
como a supercondutividade e materiais com
características topológicas, que não trataremos
aqui nem são abrangidos pela teoria
eletrodinâmica clássica.
Atenção
Os campos magnéticos possuem estrutura completamente diferente dos campos elétricos, não devendo
ser confundidos com estes. Sua estrutura é rotacional, com linhas de campo contínuas e fechadas. 
Os campos eletrostáticos de cargas pontuais “nascem ou morrem” em cargas elétricas, que os geram e
detectam. Os campos magnetostáticos, por sua vez, têm trajetórias fechadas, numa curva fechada, existindo
inclusive dentro dos materiais magnéticos que os geram ou circundando suas fontes de corrente elétrica,
sempre em circulações fechadas, pois sua estrutura é rotacional.
Imã natural
Imagem do conjunto das Linhas de campo
magnético de um imã natural interagindo com 
limalha de ferro.
Estrutura Rotacional do Campo
Magnetostático de um Imã
Diagrama da representação desse campo
magnético mostrando que também há linhas de
campo magnético dentro dos materiais
magnéticos em circulações fechadas.
Se tomarmos um material magnético natural, um imã, e tentarmos separar supostos núcleos magnéticos,
chamados de polos magnéticos, quebrando o material cristalino, jamais conseguiremos obter êxito, mesmo
que chegássemos ao nível atômico.
Não existem, fisicamente, os Polos magnéticos Norte e Sul separados, sendo apenas uma
designação da convenção histórica de orientação das linhas de campo magnético.
Os polos magnéticos são apenas regiões do material onde as linhas de campo são mais concentradas e o 
campo magnético mais intenso em magnitude. 
 
As linhas de campo magnetostático rotacionam em curvas fechadas e não são divergentes como no caso
eletrostático. Ou seja, as linhas de campo magnético seguem trajetórias fechadas. 
Atenção
Essa antiga confusão, errônea na interpretação, está na aparente semelhança com a estrutura de campo
do dipolo elétrico, que no passado foi confundida com a de campo magnético, mas são campos de
natureza completamente diferentes. 
Repare nas duas figuras a seguir. À esquerda, estão representadas linhas de campo elétrico de um dipolo
elétrico. À direita, linhas de campo magnético de um imã natural. Note que as linhas mais afastadas, em
ambos os casos, são semelhantes nas trajetórias curvas nas duas figuras. Mas no dipolo elétrico (figura à
esquerda) entre as cargas elétricas, as linhas seguem no sentido da carga de atributo positiva para a carga de
atributo negativa. Já na figura à direita, entre as extremidades do imã — as regiões chamadas de polos — o
campo magnético de linhas fechadas segue em sentido oposto ao das linhas do dipolo da figura à esquerda.
Linhas de Campo de Dipolo Elétrico
Linhas de campo elétrico de um dipolo elétrico.
As linhas seguem no sentido da carga de
atributo positiva para a carga de atributo
negativa.
Linhas Magnéticas
Linhas de campo magnético de um imã natural.
Entre as extremidades do imã, as regiões
chamadas de polos, o campo magnético de
linhas fechadas segue em sentido oposto ao
das linhas do dipolo da figura à esquerda.
Esse é o motivo histórico para se referir a um imã com polos norte e sul, como se fosse possível separar esses
polos, fonte de incompreensão muito comum.
Os campos eletrostáticos e magnetostáticos são completamente distintos e possuem causas
diferentes. Sua breve semelhança nesses dois exemplos é circunstancial e mesmo aqui não podem
ser confundidos.
Assim, percebe-se que as estruturas de campo elétrico de dipolo e de campo magnético de um imã são
distintas, apesar de semelhantes nas linhas mais afastadas das fontes. 
 
Existem, essencialmente, três fontes de campos magnéticos:
01
Os campos magnetostáticos naturais dos imãs e materiais magnéticos.
02
Os campos magnetostáticos no entorno de linhas de Corrente Elétrica estacionárias, ou de espiras de
corrente elétrica, descritos pela Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.
03
Os campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações temporais de fluxos de campos elétricos,
via corrente de deslocamento de Maxwell da Lei de Ampère-Maxwell.
Vamos nos deter nos campos magnetostáticos (itens 1 e 2) e deixaremos os campos magnéticos induzidos
por variações de fluxos de campos elétricos (item 3) para mais tarde.
Origem do magnetismo natural
A origem do magnetismo natural é intrínseca, do spin quântico do elétron e da dinâmica quântica orbital
molecular e/ou atômica dos materiais magnéticos. Eles formam o que chamamos de momentos magnéticos
quânticos. 
 
Para os materiais magnéticos naturais, magnetizáveis ou campos magnéticos com fontes em correntes
elétricas, define-se classicamente o momento magnético, .
Definição: Momento magnético (MACEDO, 1976 adaptado)
"Grandeza vetorial que se pode associar a uma espira percorrida por uma corrente elétrica ou a um magneto.
O momento magnético associado a uma espira define-se pela equação , em que é a intensidade
de corrente que percorre a espira, e é um vetor normal à área subtendida pela espira, suposta plana, cujo
módulo é a medida desta área (figura à esquerda). Para o magneto natural, o seu momento magnético mede-
se pelo produto de , pelo vetor comprimento do mesmo magneto,em que e a força magnética que
age sobre a extremidade deste magneto e é o campo magnético externo que gera essa força magnética,
ou seja, (figura à direita).
Momento Magnético
Materiais magnéticos
Considerando as principais propriedades magnéticas dos materiais, podemos classificá-los como:
Paramagnéticos
Nos materiais paramagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são
permanentes, mas não interagem fortemente uns com os outros e estão
orientados aleatoriamente. Quando submetidos a um campo magnético
externo, são parcialmente orientados (alinhados) na direção desse
campo e assim aumentam a magnitude do campo externo, como na
figura a seguir. Em temperaturas usuais (ambientais) e na presença de
campos magnéticos de baixa intensidade, somente uma pequena
porcentagem das moléculas resultará alinhada devido ao seu movimento
vibracional térmico. Esses materiais são atraídos por campos magnéticos.
Quando o campo externo é desligado, seu campo de magnetização
desaparece. Exemplo: oxigênio líquido, magnésio, lítio etc.
Ferromagnéticos
Nos materiais ferromagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são
permanentes e interagem intensamente uns com os outros, o que
permite um elevado grau de alinhamento na presença de campo
magnético externo, mesmo com campos de baixa intensidade. Ainda que
não se submeta o material a um campo magnético externo, pode-se ter
momentos magnéticos atômicos fortemente alinhados, são os imãs
permanentes. Nota-se a existência de regiões delimitadas com a mesma
orientação dos momentos magnéticos, chamados de domínios
magnéticos, como na figura a seguir. O alinhamento dos domínios que
formam seu campo de magnetização pode permanecer quando o campo
externo é desligado. Em altas temperaturas, críticas de cada material, as
paredes dos domínios de magnetização (paredes de Block) são
quebradas e esses materiais se comportam com a propriedade
paramagnética. Exemplos: magnetitas, ferro, cobalto, níquel, ligas destes
(com alumínio, cobre, manganês etc.), terras-raras etc.
Diamagnéticos
Nos materiais diamagnéticos, os momentos magnéticos atômicos se
alinham de maneira oposta ao campo magnético externo, diminuindo
assim esse campo. Tal efeito ocorre em todos os materiais, sendo
pouquíssimo intenso, mas é encoberto quando os materiais possuem
também outras propriedades como a ferromagnética ou a paramagnética.
São materiais que repelem o campo magnético externo. Exemplo: cobre,
água, prata, carbono etc.
Antiferromagnéticos
Nos materiais antiferromagnéticos, o campo de magnetização se alinha
antiparalelamente ao campo externo aplicado. Há uma orientação
alternada nos momentos magnéticos atômicos vizinhos, como na figura a
seguir. Só pode ser observado abaixo de uma temperatura crítica que
depende dos materiais. Exemplo: manganês, sulfeto ferroso, cromo,
óxido de cromo etc.
Ferrimagnéticos
Nos materiais ferrimagnéticos, os momentos magnéticos dos íons
vizinhos em uma rede cristalina se alinham antiparalelamente, formando
duas sub-redes com momentos opostos de magnitude e diferentes do
campo externo aplicado, como na figura a seguir, fazendo com que uma
magnetização espontânea e oposta permaneça após o campo externo
desligado. Exemplo: ferritas.
Helimagnéticos
Nos materiais helimagnéticos, os momentos magnéticos vizinhos em uma rede cristalina fazem um ângulo
constante diferente do paralelo e do antiparalelo. Ocorre a baixíssimas temperaturas. Exemplo: bióxido de
manganês.
Força de Lorentz
A força de Lorentz é uma composição das duas
interações da Teoria Eletrodinâmica Clássica: a
interação elétrica, que é proporcional ao campo
elétrico, e a interação magnética, que é proporcional ao
campo magnético.
Vamos analisar a interação magnética, ou seja, a força magnética, para compreender essa fundamental
interação da natureza.
Demonstração
A força magnética, ou interação magnética, ocorre de duas formas:
Sobre partículas carregadas com velocidade não nula, em uma
região de campo magnético.
Para o caso (1) de partículas carregadas e com velocidade não nula, em uma região de campo magnético, a
força magnética se define fenomenologicamente como:
Que é a expressão da força magnética como um produto vetorial entre a velocidade da partícula carregada, 
, e o campo magnético, , multiplicado pela carga . A carga é uma carga de provas viajando em
velocidade constante, , na presença de um campo magnético não variável, , como na ilustração
anterior. A unidade do Sistema Internacional (S.I.) para o campo magnético é o Tesla. Assim:
Sobre linhas ou espiras de corrente elétrica na presença de campo
magnético; sendo esta última uma extensão da primeira, como
veremos.
Para o caso (2), de uma linha de corrente elétrica, , vamos generalizar a equação anterior de uma única
carga, para uma integral de elementos de cargas. Assim, a força magnética sobre uma corrente elétrica será:
Mas, , e também , em que é a densidade linear de cargas constante no filamento que
conduz a corrente . Assim, derivando no tempo a relação , temos a corrente elétrica :
Representando algebricamente a velocidade da carga como , sendo a direção de , e
substituindo , e o resultado da equação anterior, , obtemos:
Como está orientada na direção e sentido da corrente elétrica , podemos definir . Assim:
Que é a expressão da força magnética que age sobre uma linha de corrente elétrica como o produto vetorial
do elemento vetorial de corrente com o campo magnético .
Nos dois casos temos um produto vetorial, o plano formado pelas direções do vetor velocidade de uma carga
elétrica em movimento, e o campo magnético ao qual essa carga estiver submetida será ortogonal à força
magnética gerada. Da mesma maneira, o plano formado pelo vetor Elemento de Corrente Elétrica e o vetor
campo magnético, será ortogonal à força magnética gerada.
Forças magnéticas alteram a direção da trajetória de partículas carregadas submetidas ao campo
magnético, produzindo trajetórias tipicamente de classe circulares, mas não alteram o módulo de
sua velocidade, pois são forças transversas à velocidade, como se traduz da definição dessas
forças.
A força de Lorentz sobre cargas elétricas em movimento uniforme será a soma das contribuições de força
elétrica e de força magnética:
E a força magnética sobre elementos de linhas de corrente elétrica é:
Em que:
 
 é o vetor elemento de comprimento de um fio retilíneo com direção paralela a .
 
- , é o campo magnético não variável.
Regra da mão direita do produto vetorial
Na presença de campo magnético, cargas elétricas em movimento e correntes elétricas sofrem a ação da
força magnética, que as desvia, tracionando-as perpendicularmente à direção anterior. Ou seja, uma partícula
carregada, com velocidade constante em certa direção que adentre uma região de campo magnético,
perpendicular à sua velocidade, sofrerá uma força magnética ortogonal ao plano dos vetores anteriores, em
cada instante temporal, como nas figuras mostradas, satisfazendo à regra da mão direita do produto vetorial. 
 
Atenção: A figura a seguir ilustra a aplicação correta da regra da mão direita:
A regra da mão direita para o produto vetorial.
O entendimento e uso da regra da mão direita não é uma opção, vários fenômenos físicos satisfazem regras
de produto vetorial, como a força magnética e o campo magnético, que são alguns deles.
Campo magnético terrestre
O campo magnético terrestre, chamado de campo geomagnético, que compõe a magnetosfera terrestre, é
responsável por desviar partículas cósmicas e do vento solar para longe de nossa atmosfera, ou aprisioná-las
no cinturão de Van Allen, para que não atinjam a superfície terrestre, o que, de outra forma, poderia
transformar a vida planetária na superfície com a erosão da atmosfera e da água do planeta.
A força de Lorentz é a principal responsável por essa proteção, desviando as partículas carregadas
que se aproximam com grande velocidade da magnetosfera. São partículas fundamentais
carregadas e muito energéticas, transversalmente desviadas quando entram em contato comas
linhas do campo geomagnético.
Não conhecemos ainda completamente a dinâmica da fonte desse campo geomagnético protetor. Acredita-
se, baseado em modelos teóricos plausíveis e simulados, que o núcleo do planeta, metálico, dinâmico, e
altamente aquecido seja sua fonte. Contudo, a força magnética é, certamente, a grande responsável por
termos uma atmosfera relevante, água abundante e condições climáticas compatíveis com a vida, como a
conhecemos.
Fenômeno da Emissão de Massa Coronal (CME)
A imagem a seguir exemplifica o fenômeno da Emissão de Massa Coronal (CME), de um enorme jato de
partículas solares em direção à Terra. Não está em escala real, pois a Terra seria somente um pequeno ponto
no espaço comparado ao Sol, mas nos oferece a noção dessas escalas e a enorme importância da
magnetosfera terrestre como escudo de defesa do planeta diante do poder dessas emissões solares e das
partículas cósmicas do Universo.
O Campo Geomagnético Terrestre e o Vento Solar
Neste diagrama é mostrado um esquema da estrutura do campo geomagnético terrestre, onde o eixo
magnético é inclinado em relação ao eixo de rotação do planeta. 
 
O Polo Norte magnético se encontra próximo ao Sul geográfico e o Polo Sul magnético se encontra próximo ao
Polo Norte geográfico, com um ângulo de inclinação entre os eixos de rotação e magnético. As bússolas se
orientam com o Norte apontando para o Sul magnético do planeta, pois as linhas de campo geomagnéticas,
segundo a convenção adotada de orientação das linhas de campo magnéticas, seguem do Norte para o Sul
magnético. Assim, as bússolas apontam para o Sul magnético, próximo ao Norte geográfico. Por essa razão,
reconhecemos as bússolas apontando para o Norte geográfico próximo.
Figura 1- O Campo Geomagnético Terrestre.
Nesta figura temos uma foto com cores enriquecidas, obtida da sonda espacial SOHO da NASA, especializada
em acompanhar esses fenômenos. Na foto, nota-se uma gigantesca emissão de massa coronal (CME) em
direção à Terra. Repare a atuação do campo magnético terrestre na defesa planetária. Se a massa coronal
desta foto tivesse atingido a Terra sem magnetosfera, talvez você não estivesse lendo este conteúdo agora.
Figura 2 - O Vento Solar.
Auroras Boreais e Austrais
Nas regiões Polares, nos Polos Magnéticos Terrestres, que são localizações onde as linhas de Campo
Geomagnéticos são mais próximas da superfície, as partículas cósmicas, e do Vento Solar, conseguem se
aproximar muito mais da superfície planetária, produzindo um fenômeno muito interessante, mas indicativo da
penetração dessas partículas na atmosfera, as Auroras Boreais e Austrais. 
 
São partículas carregadas, principalmente de elétrons, que não foram desviadas pelo campo magnético
terrestre, nem aprisionadas por este. Elas conseguem atravessar a magnetosfera nos polos, espiralando em
torno das linhas de campo e, assim, penetram a atmosfera, interagindo com gases atmosféricos,
principalmente o oxigênio e o nitrogênio, colidindo com eles e excitando-os a níveis de energia mais altos. Ao
retornarem aos níveis de energia mais baixos, essas moléculas gasosas emitem luz. As diferentes colorações
são características da diferença energética que esses gases absorveram e emitem. Colorações verdes e
vermelhas são características do oxigênio, e os azuis e o rosa são emitidos pelo nitrogênio, a depender de
seus estados de ionização.
Mão na Massa
Questão 1
Uma partícula cósmica, carregada com , e velocidade , adentra a magnetosfera
terrestre em uma regiäo onde o campo pode ser representado por , em um sistema de
representação de coordenadas xyz, com vetores unitários .Calcule a força magnética que agirá sobre a
partícula carregada no exato instante que adentrar a região indicada no campo magnético.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Vamos aplicar diretamente a definição de força magnética:
Questão 2
Um fio retilíneo muito longo está alinhado verticalmente ao longo da direção , de um sistema coordenado 
. O fio conduz uma corrente elétrica no sentido positivo de e um campo magnético externo, 
, foi acionado onde o fio se encontra. Calcule a força magnética por unidade de comprimento que
atuará sobre o fio.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Vamos aplicar diretamente a definição de força magnética para correntes elétricas e calcular a força por
comprimento, ou seja :
Questão 3
Considere o Trabalho Mecânico de uma força magnética que atue sobre uma partícula de carga , com
velocidade , na presença de um campo magnético . Calcule esse trabalho ao longo de um
deslocamento .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 4
Considere uma partícula de massa , carregada com carga q e velocidade , inicialmente em um
movimento retilíneo uniforme. Quando a partícula adentra uma região de campo magnético , de magnitude
constante e perpendicular , sobre ela passa a agir uma força magnética. Sendo, então, acelerada, a
partícula passa a descrever uma trajetória circular. Calcule o raio dessa trajetória circular, chamada de raio de
Cíclotron.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 5
(Adaptada de GRIFFITHS, 1999). Um circuito retangular de corrente elétrica, suportando uma massa , a
sustenta verticalmente com um de seus lados em uma região de campo magnético uniforme , que aponta
para dentro da região hachurada da figura. Calcule o valor da corrente elétrica , no circuito de largura , de
forma que a força magnética equilibre exatamente a força gravitacional sobre a massa .
Marque a alternativa correta:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
A força magnética que atua sobre a linha de corrente superior e sustenta o sistema deverá ser igual, em
módulo, à força peso que atua sobre a massa, de forma a equilibrar as forças do sistema físico, como
sabemos da Mecânica de Newton. Assim,
Questão 6
Considere que você tenha sido contratado para projetar um equipamento de detecção da velocidade de
partículas carregadas, com carga elétrica conhecida e velocidade inicial . Um filtro de velocidades
de partículas. O seu detector deverá ser alinhado com a direção inicial das partículas que adentrarão uma
região de campos elétrico e magnético, perpendiculares entre si, de tal forma que, para seguir a especificação
do projeto contratado, e . Considere que você consiga alterar os valores de e 
desses campos. Calcule o módulo da velocidade inicial das partículas como função das magnitudes dos
campos elétrico e magnético.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Vamos representar no sistema de coordenadas o campo elétrico, o campo magnético e a velocidade,
como atuam vetorialmente sobre a partícula . Ambos os campos resultarão em forças sobre a partícula
carregada e, assim, acelerações. As forças elétrica e magnética terão a mesma direção, mas sentidos
opostos. A força resultante será a força de Lorentz:
Repare que se a força de Lorentz for nula, a aceleração resultante será zero e a partícula seguirá com a
mesma velocidade inicial em movimento retilíneo uniforme. Essa condição, de aceleração nula, responde ao
problema. Assim, para obter a velocidade inicial das partículas, basta ajustar as intensidades dos campos
de maneira a preservar a velocidade inicial das partículas. Portanto:
Teoria na prática
Considere uma espira de corrente elétrica na presença de um campo magnético. Como a força magnética atua
sobre uma espira que conduz uma corrente elétrica? No que resulta esse fenômeno?
Chave de resposta
Para analisar o problema, vamos simplificar a geometria de uma espira que conduz uma corrente elétrica e
depois vamos generalizar o tratamento. Vamos considerar uma espira retangular, de lados a e b,
conduzindo uma corrente elétrica I. Vejamos na figura a seguir:
Uma corrente elétrica percorre a espira no sentido anti-horário eo campo Magnético atua como
representado na figura. Perceba que a força Magnética atuará em cada segmento da espira
onde há corrente elétrica, produzindo forças perpendiculares ao campo. A soma resultante de todas essas
forças é zero. No entanto, a atuação do campo Magnético faz a espira alinhar-se com a orientação do
campo. Como as forças nos segmentos laterais, de largura a, formam um binário de forças, inclinado de um
ângulo em relação à orientação do campo, o efeito é o de um torque girando a espira de forma a alinhar-
se ao campo magnético. As forças magnéticas que agem verticalmente nesta espira também são
perpendiculares à direção do campo, formam outro binário de forças, mas estão, as duas, na mesma
direção e, assim, cancelam-se mutuamente.
O torque do binário de forças magnéticas que age na espira será:
Onde é chamado de vetor braço-de-ação do torque, ou braço de alavanca com módulo ,
sobre um ponto , e a força magnética é . ○ módulo desta força magnética é:
O torque será orientado na direção do eixo de rotação da espira, que, neste caso, faz uma linha imaginária
onde estão representadas as forças verticais e seu módulo será:
O ângulo é de inclinação do campo Magnético com o vetor normal ao plano da espira, , como
representado na figura. Repare que o produto abé a área do plano da espira. Portanto, o torque do
campo magnético sobre uma espira pode ser definido como:
Repare que reobtivemos aqui o momento magnético de uma espira de corrente elétrica, que podemos
generalizar para N espiras como:
Onde, aqui, A é a área da espira.
Assim, podemos definir o torque (vetor) do campo magnético sobre N espiras de qualquer geometria
como:
Torque do campo magnético
Neste vídeo, conheça mais sobre torque do campo magnético.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um fio de cobre, condutor de corrente elétrica, está alinhado com a direção e conduz uma corrente 
 no sentido de positivo. Considere que, sobre um trecho de desse fio retilíneo, atue um
campo magnético cuja intensidade é de , orientado da esquerda para a direita no plano , fazendo um
ângulo de com o sentido positivo do eixo . Calcule a força magnética que age sobre esse trecho do fio.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Vamos aplicar a definição de força magnética em elementos de corrente elétrica:
Questão 2
Considere o enrolamento helicoidal de um fio condutor, chamado de solenoide, composto por 50 espiras, ao
longo de um comprimento e com diâmetro . O solenoide está apoiado longitudinalmente
no primeiro quadrante do plano e foi posicionado com ângulo , entre seu eixo e a direção de um
campo magnético uniforme . Se o enrolamento conduz uma corrente elétrica , com sentido
das coordenadas positivas.
Calcule o vetor torque sobre o solenoide.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Vamos aplicar a definição de Torque sobre um conjunto de espiras, a partir do Momento Magnético. O eixo
do solenoide, que pertence ao plano , faz um ângulo de com a direção . O diâmetro do
solenoide, em metros, é: . A área de seção reta do solenoide é: .
2. Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
Fontes de campo magnético — correntes elétricas
Correntes elétricas são fonte de campos magnéticos. Já havíamos elencado esse fenômeno como uma das
três fontes dos campos magnéticos.
 
 
As primeiras evidências científicas da relação
entre campos magnéticos e correntes elétricas
datam de 1820, quando Hans Christian Oersted
identificou a relação entre o magnetismo e a
movimentação de cargas elétricas em correntes
elétricas. Oersted percebeu que as agulhas das
bússolas eram perturbadas quando próximas
de linhas de correntes elétricas.
Um mês depois, Jean Baptiste Biot e Félix
Savart mostraram qual era o comportamento da
força magnética sobre polos magnéticos de
materiais magnéticos naturais, nas vizinhanças de correntes elétricas de um fio condutor, analisando
elementos de corrente elétrica como fontes do campo que geravam a interação. 
Além destes, André Ampère, Michael Faraday e Joseph Henry fizeram importantes contribuições aos
princípios do magnetismo gerado por linhas de corrente elétrica.
 
 
 
Ampère nos apresentou, inclusive, o primeiro
modelo da origem do magnetismo natural dos
imãs, que seria gerado a partir de pequenas
circulações de correntes elétricas em espiras
minúsculas dentro dos materiais. Atualmente
sabemos que essa origem é intrínseca dos
materiais, na escala quântica. Mas seu modelo
nos mostrou uma possibilidade para explicar o
magnetismo dos materiais pela primeira vez.
Do ponto de vista do fenômeno, sempre que tivermos correntes elétricas em condutores elétricos,
ou fluxo de portadores de cargas em quaisquer meios, teremos a geração de campo magnético no
entorno desse fluxo de cargas.
Vamos analisar, por ora, os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas estáveis e uniformes, ou
seja, não variáveis. 
 
Vamos elencar o que sabemos da fenomenologia dos campos magnéticos com fontes em correntes elétricas:
Conhecimento 1
Os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas têm estrutura rotacional no entorno das linhas de
correntes. Ou seja, linhas de correntes elétricas uniformes são fontes de campos magnetostáticos que
circundam essas linhas de correntes, com direção e orientação de acordo com a regra da mão direita.
 
A figura a seguir exemplifica essa estrutura de campo magnético rotacional às linhas de correntes. Repare que
ao apontar o polegar da mão direita na direção e sentido positivo da corrente elétrica, estaremos, com os
demais dedos da mão direita, indicando a orientação positiva do campo magnético no entorno da linha.
Conhecimento 2
Correntes elétricas circulando em anéis condutores, ou espiras, produzem campos magnéticos que se
assemelham aos campos magnéticos naturais de imãs, com linhas circundando cada trecho de elemento de
corrente elétrica. No centro do anel de corrente, temos uma linha de campo magnético aparentemente linear,
ao longo do eixo do anel, mas que também se fechará em um grande arco. Diferentemente do campo
magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica (figura anterior) as linhas de campo da figura
a seguir não são simétricas em relação ao elemento de corrente, fonte do campo.
Conhecimento 3
Uma sucessão de anéis condutores de corrente elétrica, que chamamos de espiras, quando estão
justapostos, mas sem contato pois são isolados eletricamente (recobertos com material isolante) e em
formato helicoidal, formam um componente elétrico/eletrônico dos mais importantes: os solenoides, muitas
vezes chamados de bobinas longas. 
 
Solenoides são acumuladores de energia magnética, como veremos mais tarde.
O campo magnético no interior de um solenoide, quando conduz uma corrente elétrica uniforme, é linear e
quase uniforme. No seu exterior, o campo assemelha-se a um magneto natural, como na figura anterior. 
 
Na figura a seguir, temos uma representação esquemática do campo magnético de um solenoide curto. O
campo é quase uniforme no interior e como o de um magneto natural externamente. Repare que no entorno
das espiras há uma pequena circulação de campo que vaza por entre elas. Temos também o efeito de borda
que contribuirá ao campo externo. Mas os solenoides ideais são muito longos, seu comprimento é muito maior
que o seu raio, de maneira que esses vazamentos de campo pelas bordas e por entre as espiras será
fortemente reduzido e uma maior uniformidade do campo interno se verificará.
Na figura seguinte, temos uma fotografia de um solenoide com corrente elétrica ligada, orientando a limalha
de ferro no seu interior. Repare que, externamente, o efeito sobre a limalha é muito reduzido. Assim, quando
aumentamos a densidade de espiras por comprimento do solenoide, e o construímos muito longo, o resultado
é de campo magnético quase zero em distâncias maiores do que raio do solenoide, na região externa.
Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère
A estrutura e cálculodo campo magnético, com fontes em correntes elétricas uniformes, será definida por
meio da Lei fenomenológica de Biot-Savart e a Lei fundamental de Ampère. Esta última caracteriza a estrutura
do campo magnético com sua fonte em correntes elétricas uniformes e nos permite o cálculo do campo em
situações de alto grau de simetria.
Demonstração
A Lei de Biot-Savart é uma lei de campo fenomenológica que nos permite o cálculo do campo magnético em
um ponto P qualquer do espaço a partir de sua fonte, que é um elemento de corrente elétrica uniforme. Foi
obtida da análise experimental da força magnética entre linhas retilíneas de corrente elétrica.
Em que é a constante magnética e a permeabilidade magnética do vácuo. Evidentemente, para cada
meio de condução, teremos um valor diferente dessas constantes.
 
De forma análoga à carga na Lei de Coulomb da Eletrostática, aqui a fonte do campo magnético é o elemento
de corrente elétrica .
 
Lei de Ampère
Na eletrostática, sabemos que o campo eletrostático é conservativo. Isto é, o trabalho, por unidade de carga
elétrica, efetuado pelo campo eletrostático sobre uma carga de prova, em uma circulação ou trajetória
fechada, será zero. A integral do campo eletrostático em uma circulação fechada será zero. O campo
eletrostático é divergente.
Onde c é uma curva fechada qualquer.
 
Na magnetostática, podemos fazer a seguinte pergunta:
Qual é o resultado da integral do campo magnetostático em uma circulação fechada no entorno de uma linha
de corrente elétrica?
Resposta
Como o campo magnetostático tem estrutura rotacional, a resposta não será necessariamente zero.
Os campos magnéticos seguem trajetórias fechadas no entono de suas fontes. Não confunda com o
fato de o trabalho das forças magnéticas ser zero, por serem forças transversas à trajetória. Forças
magnéticas não atuam na mesma direção do campo magnético, pois são perpendiculares entre si.
As linhas de campo magnético, a partir de uma fonte
magnética, não são linhas de força magnética, pois a força
magnética é perpendicular ao campo magnético.
 
Quando Ampère se fez essa pergunta, obteve o resultado de um dos fundamentos da teoria eletromagnética.
Ao calcular o campo magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica, por meio da Lei de Biot-
Savart, percebeu que a integral deste campo magnético, em uma trajetória fechada, não é zero. Ou seja:
Lembrando que . A corrente /é a totalidade das correntes elétricas internas à curva de Ampère .
 
Este é um dos resultados mais importantes da teoria eletrodinâmica clássica. É uma lei fundamental da
natureza. Foi chamada de Lei de Ampère e é válida para qualquer curva fechada c, que chamaremos de curva
de Ampère, desde que as correntes elétricas que são fontes do campo magnético sejam constantes. Essa
integral é matematicamente chamada de uma integral de linha, que é uma integral ao longo de uma trajetória.
 
Se a integral de linha do campo magnético em uma circulação fechada, ao longo de uma curva c
qualquer, não é zero, o campo tem estrutura rotacional.
 
Se a solução desta integral de linha é proporcional à corrente elétrica total interna à curva c, então esta
corrente é a fonte do campo magnético.
• 
• 
 
Assim, na magnetostática, a Lei de Ampère é lei fundamental da natureza, que comporá uma das equações de
Maxwell, como veremos à frente. 
 
No entanto, mesmo sendo uma lei fundamental da natureza, seu uso prático para a obtenção do campo
magnético nem sempre será simples. Então, para esse fim, a usaremos em circunstâncias de alto grau de
simetria e quando a fonte do campo, a corrente elétrica, for constante. Nesses casos, seu uso aplicado é
recomendável por sua simplicidade. Nos demais casos, para o cálculo do campo magnético, recomenda-se o
uso aplicado da Lei de Biot-Savart.
Saiba mais
Leia mais sobre a definição do Ampére, no Sistema Internacional, em termos da força de repulsão
magnética entre duas linhas de corrente elétrica. 
Quando a corrente elétrica não for constante e for variável, não poderemos utilizar a Lei de Ampère
para obter o campo magnético. Nestes casos, teremos de utilizar as equações de Maxwell
completas, pois envolvem a geração induzida de campos eletromagnéticos, como veremos mais à
frente em eletrodinâmica.
Mão na Massa
Questão 1
Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento infinito, conduzindo uma corrente
constante .
Utilize a Lei de Biot-Savart e calcule, para um ponto localizado perpendicularmente à linha infinita e a uma
distância , qual é a contribuição ao módulo do campo magnético devido a um trecho da linha de corrente
elétrica delimitada pelos ângulos e , como na figura.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 2
Considere que uma espira condutora, de raio , conduza uma corrente elétrica .
Calcule a o veotor campo magnético, devido à espira, em um ponto , ao longo do seu eixo axial, a uma
distância do centro da espira.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 3
Dois circuitos semicirculares são condutores de corrente elétrica e possuem raios , com a mesma
origem radial. Estão conectados de modo que sua corrente elétrica, , circule em sentidos contrários em
cada circuito, como na figura.
Calcule o campo magnético resultante no ponto P, centro radial dos circuitos. Considere como
sentido positivo da direção perpendicular ao plano da espira o sentido para fora da tela.
Responda qual é o módulo, a direção e o sentido do campo resultante.
A
; direção radial; sentido para cima da tela.
B
; direção radial; sentido para baixo da tela.
C
; direção normal; sentido para dentro da tela.
D
; direção normal; sentido para fora da tela.
E
; direção normal; sentido para fora da tela.
A alternativa D está correta.
O campo magnético será não nulo somente onde for não nulo. Vamos subdividir o circuito em quatro
regiões de elementos de corrente e calcular, via Lei de Biot-Savart, o campo em cada região. De A -> B, B ->
C, -> D, D -> A. As regiõ̃es D -> A e B -> C, resultarão em campos magnéticos nulos, pois , já
que são paralelos. As regiões A -> B e C -> D contribuirão ao campo magnético. O circuito de A -> B
contribuirá com campo magnético para dentro da tela, enquanto o circuito de menor raio, de C -> D,
contribuirá com campo magnético para fora da tela, sendo ambas contribuições perpendiculares ao plano
da espira. Assim, já sabemos a direção do campo magnético, que será perpendicular ao plano da espira.
Vamos, então, calcular o módulo do campo e responder, ao final, sobre o vetor campo magnético:
Os dois últimos termos da equação acima são nulos, pois nesses trechos.
Percebe-se que , pois na figura . Portanto, o campo terá o módulo que calculamos,
direção normal ao plano da espira e sentido para fora da tela.
Questão 4
Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento infinito, conduzindo uma corrente elétrica constante, ,
como na figura. Utilize a Lei de Ampère e calcule, para um ponto localizado perpendicularmente à linha
infinita, a uma distância em coordenada cilíndricas, qual é o vetor campo magnético gerado por essa linha
de corrente, em função da distância radial cilíndrica, como representado na figura?
Expresse seu resultado em função da constante magnética .
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Este é um típico problema com simetria cilíndrica. A Lei de Ampère necessita do requisito do alto grau de
simetria para o cálculo do campo magnético. O campo magnético terá direção polar cilíndrica, como vimos
na estrutura do campo magnético de uma linha de corrente elétrica. Vamos traçar uma vista da seção reta
transversalmente à linha de corrente, para visualizar a direção do campo magnético orientado na direção
polar cilíndrica . Pense em um cilindro com três dimensões espaciais: radial, polare axial, , como
na imagem a seguir:
Com o uso da regra da mão direita, percebe-se que o campo atuará na direção polar cilíndrica. Então,
vamos representá-lo, aplicar a Lei de Ampère e obter o campo magnético. 
Vista em corte de seção reta transversalmente à linha de corrente elétrica:
Lei de Ampère:
Questão 5
Sejam dois fios condutores muito longos e paralelos. Ambos conduzem correntes elétricas de mesma
intensidade , no mesmo sentido e separados fisicamente por uma distância d.
Calcule a densidade linear de força magnética que atua sobre cada fio e responda também se essa força é
atrativa ou repulsiva.
A
; A força é atrativa.
B
; A força é repulsiva.
C
; A força é atrativa.
D
; A força é repulsiva.
E
; A força é repulsiva.
A alternativa A está correta.
Para calcular a densidade linear de força que atua sobre os fios muito longos, que tendem à dimensão
infinita relativamente à distância de afastamento dos fios, d, devemos, primeiro, calcular o campo gerado
por cada linha de corrente. Esses campos atuarão sobre a linha de corrente elétrica vizinha, por meio de
força magnética. As forças magnéticas serão atrativas, como na figura a seguir. A intensidade
 
da força magnética que atua sobre cada fio longo, dividido pelo comprimento do fio, será a densidade
linear de força que procuramos.
Vamos calcular os campos magnéticos sobre cada fio longo e depois a densidade linear de força
magnética. O cálculo do campo foi executado no exercício anterior, mas vamos repeti-lo, por consistência
e, em seguida, responder ao problema. Cada linha de corrente elétrica gera um campo magnético:
Lei de Ampère:
Então, de acordo com o diagrama anterior de forças magnéticas sobre os dois fios, sabemos sua direção e
sentido. Precisamos do módulo dessas forças, lembrando que os elementos de corrente elétrica são
perpendiculares aos campos sobre cada linha de corrente:
Questão 6
Um solenoide de comprimento , raio e composto por espiras justapostas, conduz uma corrente
elétrica uniforme . Considere que tenhamos uma situação ideal, ou seja, que o seu comprimento seja muito
maior do que seu raio cilíndrico, e que a densidade linear de espiras seja suficientemente alta.
 
 
Nessas condições, calcule o campo magnético no interior do solenoide, ao longo de sua direção axial .
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Vejamos a figura a seguir. Vamos escolher essa curva de Ampère retangular, com alto grau de simetria para
a aplicação da Lei de Ampère, de forma que o campo no interior do solenoide tenha módulo constante.
Vamos, ainda, considerar, como já discutido antes, que o campo do lado de fora do solenoide seja
pouquíssimo intenso e, em situação ideal, vamos aproximá-lo a zero nessa região. A corrente elétrica total
interna à curva de Ampère será igual à corrente em uma espira multiplicada pelo número de espiras
internas à curva de Ampère, isto é, o número de espiras internas à curva é igual à densidade de espiras e
pela largura da curva .
Então, na região 3, o campo será considerado nulo, pela baixa intensidade; nas regiões 2 e 4, o produto
escalar no integrando da lei de Ampère, , será zero, pois esses vetores são perpendiculares; e a
única região onde o campo será não nulo é a região 1, na curva de Ampère da figura a seguir.
Este é o campo magnético interno ao solenoide ideal.
Teoria na prática
Cabos coaxiais são largamente usados em transmissões de dados e sinais de TV. Seu uso se deve à
capacidade em reduzir sensivelmente ruídos eletromagnéticos externos ao sinal transmitido. Um cabo coaxial
é constituído de uma malha condutora elétrica envolvendo um filamento condutor elétrico interno. Vamos
considerar que a corrente elétrica tenha o mesmo valor em magnitude nos dois condutores, o que geralmente
ocorre, com a diferença que os sentidos das correntes são opostos em cada condutor. Então, consideremos
um cabo coaxial, ao longo da direção de um sistema coordenado cilíndrico, que conduz uma corrente
elétrica uniforme, no sentido positivo de , pelo condutor interno de raio e a mesma corrente , no
condutor em forma de malha condutora com raio , no sentido negativo de . Ou seja, . s
condutores são separados mecanicamente por um material isolante elétrico. Vamos obter o campo magnético
entre os dois condutores e o campo magnético do lado de fora do cabo coaxial.
 
 
 
Chave de resposta
Para o cálculo do campo magnético, vamos usar a lei de Ampère de forma aplicada.
Vamos fazer uma simplificação quanto à constante de permeabilidade magnética dos materiais e
considerar que, neste problema, as permeabilidades magnéticas sejam praticamente iguais a . Assim, a
lei de Ampère será redigida como:
Vejamos a representação dos campos magnéticos na figura a seguir. Repare que esses campos
magnéticos atuam na direção polar cilíndrica em sentidos opostos, pois as correntes elétricas são
opostas. Vamos calcular a resultante dos campos magnéticos.
A aplicação da regra da Mão-Direita nos mostra o sentido de atuação dos campos magnéticos. Na figura,
as correntes elétricas foram representadas como diferentes para podermos calcular cada contribuição ao
campo magnético de fontes de correntes elétricas diferentes. Veremos que o campo representado como 
 na figura, que seria uma resultante dos campos, a depender das fontes e suas orientações, mas será,
neste problema, igual a zero. O campo magnético nulo no exterior não gera interferências magnéticas na
vizinhança. Além disso, temos o efeito de blindagem eletrostática que também é verificado nesse tipo de
cabo. No problema em questão, somente haverá campo não-nulo, na região entre os condutores, descrito
pela curva de Ampère . Externamente o campo será nulo.
Curva : (região )
Ou seja, há campo magnético descrito pela curva de Ampère com raio . 
Curva : (região )
Como as correntes elétricas do problema são iguais, , o campo magnético resultante 
descrito pela curva de Ampère , com raio , será nulo. Ou seja, nessa situação ideal, o campo
magnético externo ao cabo será zero, .
Campo magnético de cabos coaxiais
Neste vídeo, conheça mais sobre Campo magnético de cabos coaxiais. 
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere um condutor retilíneo que conduz uma corrente elétrica e apresenta um trecho com
formato semicircular de raio , como na figura. 
 
 
Calcule o campo magnético no ponto , centro do semicírculo, e responda: Qual é o módulo, a direção e o
sentido do campo magnético no ponto ?
A
; direção radial; sentido para dentro da tela.
B
; direção normal; sentido para dentro da tela.
C
; direção normal; sentido para fora da tela.
D
; direção normal; sentido para dentro da tela.
E
; direção normal; sentido para fora da tela.
A alternativa B está correta.
Vamos usar a lei de Biot-Savart. Os elementos de corrente serão tangentes ao trajeto da corrente
elétrica. O vetor unitário é definido a partir da fonte do campo, , até o ponto de medida P. O uso da
regra da mão direita, no produto vetorial, nos diz que o campo no ponto P estará na direção normal ao
plano da figura e no sentido para dentro da tela. Agora, vamos calcular o módulo do campo:
O raio do semicírculo se mantém inalterado na integração e a integral no mesmo semicírculo resulta em 
. Então:
Questão 2
Um solenoide em anel completo, como o da figura, é chamado de toroide de seção transversa circular.
Considere que um determinado toroide, como este da figura, contenha espiras ao longo de um anel
completo. Se o toroide for ligado a uma corrente elétrica uniforme , um campo magnético não uniforme se
estabelecerá em seu interior. Considere que as espiras tenham dimensões de menor raio igual a be maior raio
igual a , ou seja, haverá campo magnético não uniforme na regiãob .
 
Calcule o vetor campo magnético para a distância radial no interior do toroide. Use para a
permeabilidade magnética.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Como temos alto grau de simetria, vamos aplicara Lei de Ampère em uma curva de Ampère, c, em anel
com simetria polar. O campo magnético terá módulo constante ao longo de c.
3. Fluxo Magnético, Indutância e Lei de Gauss na Magnetostática
Fluxo de campo magnético
O fluxo de campo magnético é definido de forma semelhante à definição de fluxo de campo elétrico. É
essencialmente a contagem líquida do número de linhas de campo magnético que atravessam uma superfície.
 
A figura a seguir exemplifica diagramaticamente um elemento de área aberta com seu vetor unitário
normal e as linhas de campo magnético, tipicamente curvas, atravessando esse elemento de área.
Consideremos uma superfície com elementos infinitesimais de área dA e seus vetores normais unitários a
cada elemento de área. O elemento de fluxo de campo magnético e a correspondente integral aberta
desses elementos, , serão definidos como:
Em que o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor normal ao elemento de área dA foi
incorporado com o produto escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo elétrico.
 
A unidade de fluxo de campo magnético no Sistema Internacional de unidades (S.I.) é o Weber (Wb).
Se linhas de campo atravessarem superfícies sucessivas, como as superfícies definidas por diferentes espiras
em um solenoide ou bobina, contabilizaremos o fluxo por cada superfície. 
 
Portanto, duas superfícies iguais em uma bobina contabilizarão duas vezes ao fluxo de campo, pois a área
será duplicada, e assim sucessivamente para qualquer número de superfícies.
Lei de Gauss da magnetostática
Quando lidamos com a Lei de Gauss da Eletrostática, , compreendemos que a fonte do
campo eletrostático é a carga elétrica interna à superfície gaussiana, e que a estrutura desse campo é
divergente, ou seja, as linhas de campo eletrostático "nascem ou morrem" em cargas elétricas. No entanto, o
campo magnetostático tem estrutura rotacional, com linhas de campo fechadas, mesmo dentro dos materiais
magnéticos naturais.
 
Se estabelecermos uma integral de fluxo fechada para o
campo magnetostático, qual será a resposta dessa
integral, já que não temos cargas puntuais magnéticas na
teoria eletrodinâmica clássica?
Resposta
Esta é a resposta exata: não há cargas magnéticas puntuais. Não há monopolos magnéticos. A
integral de Gauss total do campo magnetostático será zero. Esse resultado também nos mostra
matematicamente a razão da estrutura do campo magnetostático ser rotacional. A integral de Gauss
é zero e assim a divergência desse campo é zero, ou seja, o campo é rotacional.
Uma simples equação demonstra a beleza de todas as nossas discussões sobre a estrutura do campo
magnetostático: a Lei de Gauss do campo magnetostático.
Em que é o fluxo de campo magnético total e c é a superfície gaussiana fechada de suporte dessa
integração.
 
Significa que a totalidade das linhas de campo magnéticas, que chamamos de número líquido total de linhas
que atravessam uma superfície gaussiana fechada, será sempre zero. Como as linhas de campo
magnetostáticas são fechadas, rotacionais, todas as linhas que entram em uma superfície fechada sairão
desta e não contabilizarão no fluxo total.
Atenção
A Lei de Gauss da magnetostática, somada à Lei de Ampère e à definição da força magnética,
caracterizam toda a magnetostática, pois explicam a estrutura rotacional do campo, a inexistência de
monopolos magnéticos, a interação magnética e a Lei de Biot-Savart pode ser extraída destas. 
Vamos aplicar esses princípios na demonstração do conceito de Indutância.
Demonstração
Indutância
Quando ligamos uma corrente elétrica ou um fluxo de portadores de cargas, verificamos a geração de campo
magnético, descrito pela Lei de Ampère ou, alternativamente, pela Lei de Biot-Savart. Os campos magnéticos
têm as correntes elétricas como suas fontes. Vamos desconsiderar por um instante os campos magnéticos
naturais.
 
Além disso, podemos calcular o fluxo aberto de campo magnético que atravessa ou incide sobre uma
superfície, que nominamos de uma integral de Gauss aberta.
Vamos definir que o fluxo de campo magnético possa ser obtido direta e linearmente da corrente
elétrica com uma constante de proporcionalidade que chamaremos de indutância. Contudo, o fluxo
pode alcançar a vizinhança ou atuar no próprio sistema que o gera. Assim, temos duas classes de
indutâncias: a indutância mútua e a autoindutância .
Pense em dois circuitos elétricos. Cada qual com sua corrente elétrica, e .
 
O fluxo de campo magnético que incidirá sobre o circuito Nº 1 será oriundo do campo magnético gerado pelo
próprio circuito Nº 1, que se somará à contribuição ao fluxo de campo oriundo do circuito Nº 2. 
 
Isto é, o campo magnético gerado pelo circuito Nº 2 contribuirá para o fluxo que atravessa o circuito Nº 1,
assim com o próprio campo do circuito Nº 1 contribuirá a esse fluxo. Da mesma forma, ocorrerá no circuito Nº
2.
Atenção
O campo magnético também satisfaz ao princípio de superposição e todas as contribuições ao campo
magnetostático serão somadas, mesmo que oriundas de fontes diversas. Assim, o fluxo também deverá
satisfazer esse princípio. 
Então, o fluxo de campo magnético sobre o circuito Nº 1 será:
Em que é a autoindutância do circuito Nº 1, que dependerá de sua geometria, como veremos, e é a
indutância Mútua, que dependerá da geometria do circuitoNº 2 e das configurações geométricas relativas dos
dois circuitos, Nº 1 e Nº 2.
 
A unidade SI da indutância é o Henry (H):
Podemos definir a unidade física da constante de permeabilidade em termos da unidade de fluxo de campo
magnético:
 
Mão na Massa
Questão 1
Consideremos o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico com espiras justapostas, grande
comprimento , alta densidade de espiras por comprimento e área de seção reta . Vamos considerar que
esse solenoide conduza uma corrente elétrica uniforme constante e esteja isolado de outras fontes de
campos magnéticos.
Calcule o fluxo de campo magnético ao longo do interior deste solenoide.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 2
Consideremos novamente o problema do solenoide ideal. Um componente eletrônico com espiras
justapostas, grande comprimento , alta densidade de espiras por comprimento e área de seção reta .
Vamos considerar que esse solenoide conduza uma corrente elétrica uniforme constante e esteja isolado
de outros campos magnéticos. Calcule sua autoindutância .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Neste problema, devemos continuar a partir da questão anterior, quando expressamos o fluxo de campo
magnético a partir do campo magnético de um solenoide ideal nas mesmas configurações. Então, como 
,
Entretanto, o fluxo de campo magnético do solenoide, isolado, pode ser definido em termos das constantes
de indutância e de correntes elétricas como:
Como o solenoide está isolado de outras fontes magnéticas, o segundo termo não se aplicará:
Portanto,
Note que a autoindutância depende da geometria e configuração do indutor (solenoide), sua área de seção
reta , comprimento e o número de espiras .
Questão 3
Seja um solenoide de 10 cm de comprimento, de área e 150 espiras. Calcule sua autoindutância .
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Para solucionar o problema, precisamos calcular o campo magnético e o fluxo de campo no interior de um
solenoide. Como já fizemos isso, podemos aproveitar esses resultados. Porém, é necessário tomar cuidado,
pois esses cálculos não devem ser tratados como “fórmulas” a serem memorizadas. É preciso exercitá-los,
para que possamos responder a qualquer problema. Vejamos:
Questão 4
Seja um fio condutor disposto verticalmente por onde percorre uma corrente elétrica uniforme, no sentido
de baixo para cima. 
Calcule a indutância mútua, , da espira condutora retangular, lateral ao fio como na figura, considerando
que tanto a superfície da espira retangular como o fio condutor pertençam ao mesmoplano coordenado. As
dimensões da espira retangular são descritas na figura.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
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Questão 5
Dois solenoides, um longo e outro curto, com comprimentos e respectivos raios , são
alinhados no mesmo eixo axial , de maneira que o solenoide curto e de menor raio, , esteja inserido
dentro do solenoide longo e de maior raio, . O solenoide interno, curto e de menor raio, possui espiras,
enquanto o solenoide externo, longo e de maior raio, possui espiras. Considere que os dois solenoides
tenham grande densidade linear de espiras. A figura a seguir é apenas ilustrativa. 
Se o solenoide longo e externo conduz uma corrente elétrica uniforme , calcule a indutância mútua do
solenoide curto, interno, de raio .
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Manteremos a mesma estratégia de resolução: calcular o campo magnético, o fluxo de campo e depois a
indutância. O campo magnético interno de um solenoide ideal já foi calculado. Vamos utilizar esse
resultado. Se houver dúvidas, basta retornar ao exercício 6 da seção Mão na massa do módulo 2 . 0 cálculo
de fluxo de campo deve seguir a definição de fluxo de campo aberto, somando todas as contribuições
de área de cada espira. Assim, como nesse problema, teremos , então .
Eis o campo magnético gerado pelo solenoide longo, externo e de raio , com corrente :
O fluxo de campo magnético no solenoide curto, interno e de raio , com espiras, considerando que
o campo é uniforme, será:
Obs.: É muito comum expressar essa resposta em termos do número de enrolamentos por comprimento
linear, . Nesse caso, a resposta seria .
Questão 6
Vamos abordar novamente o problema anterior, mas com outro olhar. Então, sejam dois solenoides, um longo
e outro curto, com comprimentos e respectivos raios , alinhados no mesmo eixo axial , de
maneira que o solenoide curto e de menor raio, , esteja inserido dentro do solenoide longo e de maior raio, 
. O solenoide interno, curto e de menor raio, possui espiras, enquanto o solenoide externo, longo e de
maior raio, possui espiras. Considere que os dois solenoides tenham grande densidade linear de espiras.
A figura a seguir é apenas ilustrativa. 
Se o solenoide longo e externo conduz uma corrente elétrica uniforme , e o solenoide curto e interno
conduz uma corrente elétrica , calcule o fluxo de campo magnético total do solenoide curto e interno, de
raio .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
O fluxo de campo magnético é composto por duas contribuições, uma autoindutiva e outra de indutância
mútua.
A contribuição de indutância mútua já foi calculada no problema anterior:
Então, vamos obter a autoindutância do solenoide curto e expressar o fluxo total por esse indutor interno. 
Para o cálculo da autoindutância, reutilizaremos o resultado obtido anteriormente, quando do cálculo da
autoindutância de um solenoide ideal, e adaptaremos a este caso.
No exercício 2, obtivemos: .
Neste problema, vamos adequar os dados:
Mas , então:
L1 = μ0 (N1)2l1 π (r1)2
Portanto, o fluxo total de campo magnético sobre o solenoide curto será:
E assim,
Teoria na prática
Um toroide de seção transversa retangular ideal contém N espiras justapostas e perpendiculares a um anel
completo. Se esse toroide for ligado a uma corrente elétrica uniforme , um campo magnético não uniforme
se estabelecerá em seu interior. Considere que as espiras tenham as dimensões de um retângulo, como na
figura a seguir do corte em seção transversa da peça. Ou seja, haverá campo magnético não uniforme em seu
interior. A fotografia a seguir ilustra esse componente na realidade. Calcule a autoindutância deste toroide
ideal de seção retangular, como descrito nas duas figuras seguintes. Use para a permeabilidade
magnética.
Chave de resposta
Então, vamos seguir a estratégia de solução já adotada: Calcular o campo magnético, o fluxo de campo
magnético e a Indutância. Como temos alto grau de simetria, vamos aplicar a lei de Ampère em uma curva
de Ampère em anel fechado com simetria polar, como fizemos antes:
Campo magnético para uma curva c interna ao toroide:
Fluxo de Campo magnético:
Como a área de incidência do fluxo de campo magnético, em cada espira do Toroide, será um retângulo de
lados , como ilustrado na ultima figura das três anteriores, a medida de integração de área
desta região será :
 
Como os vetores unitários direcionais, (polar cilíndrico) e (normal), da superfície da cada espira do
Toroide, estão na mesma direção e orientação, temos . Assim,
Portanto,
Esse é o fluxo sobre uma espira do Toroide de seção retangular. O fluxo sobre espiras do mesmo
Toroide de seção retangular será obtido multiplicando-se esse fluxo por :
Portanto, a autoindutância do torioide será:
E, mais uma vez, a indutância resulta ser função da geometria do indutor. 
Obs.: A autoindutância de um Toroide de seção transversa circular tem cálculos mais complexos, mas em
certos limites de suas dimensões e para efeitos práticos, se aproxima do presente cálculo do Toroide de
seção retangular.
Cálculo de autoindutância de um toroide
Neste vídeo, conheça mais sobre Cálculo de autoindutância de um toroide.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Calcule a autoindutância por unidade de comprimento de um longo solenoide de raio , com espiras por
comprimento.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Vamos considerar que o solenoide esteja alinhado com a direção e está conduzindo uma corrente
elétrica . Vamos, ainda, calcular o campo para uma curva de Ampère retangular, como fizemos antes,
com lado . Como , temos:
Para o cálculo de fluxo de campo devemos aplicar a definição de fluxo de campo aberto, somando todas as
 contribuições de área de cada espira. Assim, como , então :
Como , onde é o comprimento do Solenoide, então, .
Mas e como a solicitação foi da autoindutância por unidade de comprimento, então:
Questão 2
Um campo magnético uniforme de módulo igual a , na direção de positivo, atravessa uma superfície
plana e quadrada de arestas iguais a 10 cm . A superfície está inclinada, formando um ângulo de entre a
sua normal e a direção do campo. Calcule o fluxo de campo magnético que atravessa essa superfície.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Como o campo é uniforme, , o fluxo se simplifica..
4. Conclusão
Considerações finais
Os fenômenos magnéticos fazem parte do nosso dia a dia. Eletroímãs, geradores elétricos, materiais
magnéticos, mídias magnéticas, bobinas, indutores, campos magnéticos etc. Não há como pensar em
eletromagnetismo sem o estudo dos fenômenos magnéticos e da magnetostática.
 
É fundamental que você perceba que todos os itens de estudo da eletrodinâmica clássica, mesmo aqueles
aparentemente mais teóricos, têm aplicação tecnológica e fazem parte da nossa sociedade tecnológica
contemporânea.
 
Neste tema, você estudou os campos magnéticos estáticos com fontes naturais e de corrente elétrica
uniforme, as leis que regem esses campos magnetostáticos, suas aplicações ao cálculo de fluxos de campos
magnéticos e um pouco sobre os indutores. Não deixe de experimentar as indicações complementares na
seção Explore +.
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Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
 
Motores de Corrente Contínua e as Bobinas de Helmholtz no livro Física para cientistas e engenheiros,
de Paul Tipler.
Materiais Magnéticos e o Efeito Hall no livro Física III — Sears & Zemansky.
Capítulo 1 do livro Fundamentos de Física vol. 1, de David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick, para
rever o conteúdo de produto vetorial, da álgebra vetorial aplicada. 
 
Pesquise sobre os Simuladores de Campos Magnéticos do Projeto Phet, da Universidade do Colorado,
Boulder.
Referências
BARROS,L. M. Física teórica experimental III. 1 ed. Rio De Janeiro: SESES, 2017.
 
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019. 3 v.
 
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. Rio De Janeiro: LTC,
2018.
 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.
 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. 6 ed. Rio De Janeiro: LTC, 2011.
 
YOUNG, H. D.; Freedman, R. A. Física III — Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. 3 v.
	Magnetostática
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Magnetostática
	Conteúdo interativo
	1. Campo magnético e a força de Lorentz
	O campo magnético
	Atenção
	Imã natural
	Estrutura Rotacional do Campo Magnetostático de um Imã
	Atenção
	Linhas de Campo de Dipolo Elétrico
	Linhas Magnéticas
	01
	02
	03
	Origem do magnetismo natural
	Definição:  Momento magnético (MACEDO, 1976 adaptado)
	Materiais magnéticos
	Paramagnéticos
	Ferromagnéticos
	Diamagnéticos
	Antiferromagnéticos
	Ferrimagnéticos
	Helimagnéticos
	Força de Lorentz
	A força de Lorentz é uma composição das duas interações da Teoria Eletrodinâmica Clássica: a interação elétrica, que é proporcional ao campo elétrico, e a interação magnética, que é proporcional ao campo magnético.
	Demonstração
	Sobre partículas carregadas com velocidade não nula, em uma região de campo magnético.
	Sobre linhas ou espiras de corrente elétrica na presença de campo magnético; sendo esta última uma extensão da primeira, como veremos.
	Regra da mão direita do produto vetorial
	Campo magnético terrestre
	Fenômeno da Emissão de Massa Coronal (CME)
	O Campo Geomagnético Terrestre e o Vento Solar
	Auroras Boreais e Austrais
	Mão na Massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Teoria na prática
	Torque do campo magnético
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	Calcule o vetor torque sobre o solenoide.
	2. Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
	Fontes de campo magnético — correntes elétricas
	Conhecimento 1
	Conhecimento 2
	Conhecimento 3
	Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère
	Demonstração
	Lei de Ampère
	Resposta
	As linhas de campo magnético, a partir de uma fonte magnética, não são linhas de força magnética, pois a força magnética é perpendicular ao campo magnético.
	Saiba mais
	Mão na Massa
	Questão 1
	Seja uma linha de corrente elétrica, de comprimento infinito, conduzindo uma corrente constante .
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Calcule o campo magnético resultante no ponto P, centro radial dos circuitos. Considere como sentido positivo da direção perpendicular ao plano da espira o sentido para fora da tela. Responda qual é o módulo, a direção e o sentido do campo resultante.
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Campo magnético de cabos coaxiais
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	3. Fluxo Magnético, Indutância e Lei de Gauss na Magnetostática
	Fluxo de campo magnético
	Lei de Gauss da magnetostática
	Se estabelecermos uma integral de fluxo fechada para o campo magnetostático, qual será a resposta dessa integral, já que não temos cargas puntuais magnéticas na teoria eletrodinâmica clássica?
	Resposta
	Atenção
	Demonstração
	Indutância
	Atenção
	Mão na Massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Cálculo de autoindutância de um toroide
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências