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Curso: Engenharia Civil
 Disciplina: Matemática Fundamental
Tutor: Fernando Geraldo Simão
Aluno: 
A Torre de Hanói: Matemática, Lógica e Desafios Recursivos
A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças mais conhecidos e intrigantes da matemática recreativa. Criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883, esse enigma combina lógica, algoritmos e raciocínio recursivo. Ele não é apenas um passatempo curioso: tornou-se uma ferramenta educativa amplamente utilizada para ensinar conceitos matemáticos e fundamentos da computação. A história que envolve o jogo — sobre sacerdotes movendo 64 discos de ouro em um templo sagrado até o fim do mundo — contribuiu para torná-lo ainda mais fascinante e conhecido.
O jogo da Torre de Hanói é composto por três pinos verticais e um conjunto de discos de tamanhos diferentes, inicialmente empilhados em um dos pinos, do maior na base ao menor no topo. O objetivo é transferir todos os discos para outro pino, obedecendo às seguintes regras:
1. Apenas um disco pode ser movido por vez;
2. Só é permitido mover o disco que está no topo da pilha;
3. Nunca se pode colocar um disco maior sobre um menor.
Apesar da simplicidade das regras, o desafio se torna cada vez mais complexo à medida que o número de discos aumenta. Para resolver o problema da forma mais eficiente possível, usa-se uma fórmula que determina o número mínimo de movimentos necessários para completar a tarefa com n discos:
M(n)=2n−1M(n) = 2^n - 1M(n)=2n−1 
Essa fórmula vem de uma estrutura recursiva: para mover n discos de um pino para outro, primeiro é preciso mover n – 1 discos para o pino auxiliar, depois mover o maior disco diretamente ao destino, e por fim mover os n – 1 discos novamente, dessa vez para o pino final. Essa estratégia é expressa pela fórmula recursiva:
M(n)=2⋅M(n−1)+1M(n) = 2 \cdot M(n-1) + 1M(n)=2⋅M(n−1)+1 
Aplicando a fórmula para diferentes quantidades de discos, temos:
· 3 discos: M(3)=23−1=7M(3) = 2^3 - 1 = 7M(3)=23−1=7 movimentos
· 4 discos: M(4)=24−1=15M(4) = 2^4 - 1 = 15M(4)=24−1=15 movimentos
· 5 discos: M(5)=25−1=31M(5) = 2^5 - 1 = 31M(5)=25−1=31 movimentos
· 6 discos: M(6)=26−1=63M(6) = 2^6 - 1 = 63M(6)=26−1=63 movimentos
· 7 discos: M(7)=27−1=127M(7) = 2^7 - 1 = 127M(7)=27−1=127 movimentos
Como podemos perceber, a quantidade mínima de movimentos cresce de forma exponencial, o que mostra o quanto o problema se torna mais complexo com o aumento dos discos.
Esse comportamento está diretamente ligado a conteúdos trabalhados em sala de aula, como funções exponenciais, progressões geométricas e sequências recursivas. A fórmula M(n)=2n−1M(n) = 2^n - 1M(n)=2n−1 serve como um ótimo exemplo de função exponencial, ajudando os alunos a entenderem, de maneira prática, como esse tipo de crescimento funciona. Além disso, o uso de recorrência e indução matemática é uma forma eficiente de demonstrar a validade da fórmula, o que contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos estudantes. 
Na área da computação, o problema da Torre de Hanói é frequentemente utilizado para ilustrar algoritmos recursivos. Linguagens de programação como Python e C conseguem resolver o desafio com base nessa lógica, o que mostra como a matemática pode dialogar diretamente com a tecnologia e formar uma base sólida para o pensamento computacional.
A Torre de Hanói é um excelente exemplo de como um problema simples pode envolver conceitos matemáticos profundos e estimular habilidades importantes como o raciocínio lógico e a resolução de problemas. Suas regras claras e estrutura recursiva fazem dela uma ferramenta valiosa tanto no ensino de matemática quanto na introdução à programação e à ciência da computação.
A fórmula M(n)=2n−1M(n) = 2^n - 1M(n)=2n−1, além de representar a essência do jogo, também ilustra de forma prática o crescimento exponencial e a lógica de sequências recursivas. Por isso, estudar e aplicar a Torre de Hanói é uma forma rica de unir teoria e prática, tornando o aprendizado mais significativo e interdisciplinar.