Juros Simples e Compostos

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Juros Simples e Compostos
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
Diferença entre juros simples e compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
Diferença entre juros simples e compostos com o passar do tempo.
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período.
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula: Sendo,
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja: 
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.
Exemplo:Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Veja também: Juros Compostos
Exemplo
Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
Solução
Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.
Veja também: 9 exercícios de juros compostos com gabarito comentado
Aprenda mais com exercícios de matemática financeira.
Exercícios Resolvidos
Questão 1
Cálculo do montante
Qual o montante de uma aplicação de R$500,00, a uma taxa de 3% ao mês, em um período de 1 ano e 6 meses, nos sistemas de juros simples e compostos?
Juros simples
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Juros compostos
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Questão 2
Cálculo do capital
Um certo capital foi aplicado por um período de 6 meses. A taxa foi de 5% ao mês. Após esse período, o montante era de R$5000,00. Determine o capital.
Juros simples
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Juros compostos
Ver Resposta
Questão 3
Cálculo da taxa de juros
Qual seria a taxa mensal de juros de um investimento de R$1000,00 em um período de oito meses que obteve um montante de R$1600,00.
Juros simples
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Juros compostos
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Questão 4
Cálculo do período da aplicação (tempo)
Um capital de R$8000,00 foi investido a juro mensal de 9%, obtendo um montante de R$10360,00.
Quanto tempo esse capital ficou investido?
Juros simples
Ver Resposta
Juros compostos
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Questão 5
UECE - 2018
Uma loja vende um aparelho de TV, com a seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Ver Resposta
Você pode se interessar por mais exercícios de juros simples fáceis (resolvidos).
Equivalência de capitais
Em Matemática financeira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em uma transação serão deslocadas no tempo.
Diante deste fato, fazer uma análise financeira implica comparar valores presentes com os valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em diferentes momentos.
Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o valor futuro para t períodos de tempo, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente.
Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i)n pelo valor presente, ou seja:
Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos fazer uma divisão, isto é:
Veja também: Porcentagem
Exemplo:
Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.
Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?
Solução
Se a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido.
Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma mesma data.
Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o esquema abaixo:
Usando a fórmula para dois e três meses:
Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25.
Exercício resolvido
Questão 6
Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
Juros Compostos
Rafael C. Asth 
Professor de Matemática e Física
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Os Juros Compostos são calculados considerando a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).
Para compreender melhor, suponha uma aplicação de R$ 10.000,00 no regime de juros compostos, por 3 meses a taxa de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?
	Mês
	Juros
	Valor
	1
	10% de 10.000 = 1000
	10000 + 1000 = 11000
	2
	10% de 11.000 = 1100
	11000 + 1100 = 12100
	3
	10% de 12.100 = 1210
	12100 + 1210 = 13310
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$ 13.310,00.
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática financeira. São eles:
· Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento.
· Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.· Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano.
· Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros.
Fórmula de juros compostos
Para calcular o montante (valor final) em regime de juros compostos, utiliza-se a expressão:
Onde,
M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Perceba que o montante é o capital mais os juros, assim, para calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula:
J: juros
M: montante
C: capital
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos.
Exemplo 1
Se um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$ 800,00, qual será o valor da taxa mensal de juros?
Resolução
Sendo:
C = 500
M = 800
t = 4
Aplicando na fórmula, temos:
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês.
Exemplo 2
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 5.000,00, à taxa de 1% ao mês?
Resolução:
Sendo:
C = 5000
i = 1% ao mês (0,01)
t = 1 semestre = 6 meses
Substituindo, temos:
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim:
O juro recebido será de R$ 307,60.
Exemplo 3
Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 20.000,00 gere o montante de R$ 2. 648,64, quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos?
Resolução
Sendo:
C = 20.000,00
M = 21.648,64
i = 2% ao mês (0,02)
Substituindo:
Este tipo de equação exige a aplicação de logaritmos para sua resolução.
Aplicando o logaritmo de base 10 a ambos os lados da igualdade:
O tempo deverá ser de 4 meses.
Juros simples: fórmula, como calcular e exercícios
Rafael C. Asth 
Professor de Matemática e Física
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Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo.
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem.
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado.
Exemplo
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobrará uma taxa de juros de 6% na compra, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar?
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6% a esse valor, então temos:
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12,00 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212,00. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60,00 a mais do valor inicial.
Logo, o valor total da televisão será de R$ 1060,00.
Fórmula: como calcular o juros simples?
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por:
J = C . i . t
Onde,
J: juros
C: capital
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100.
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital).
Sua fórmula será:
M = C + J → M = C + C . i . t
Da equação acima, temos, portanto, a expressão:
M = C . (1 + i . t)
Exemplo 1
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
Sendo:
C = 1200
i = 2% ao mês = 0,02
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma unidade de tempo da taxa de juros.
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360,00.
Exemplo 2
Um capital de R$ 400,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, resultou no montante de R$ 480,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
Considerando,
C = 400
i = 4% ao mês = 0,04
M = 480
temos:
Aprenda mais com:
Leia também:
· Exercícios de Juros Simples
· Exercícios de juros simples fáceis (resolvidos)
· Exercícios de Juros Compostos
· Juros Simples e Compostos
· Matemática Financeira
· Porcentagem
· Exercícios de Porcentagem
· Razão e Proporção
Exercícios resolvidos sobre juros simples
Para compreender melhor a aplicação do conceito de juros simples, vejamos abaixo dois exercícios resolvidos, sendo que um deles caiu no Enem em 2011.
Exercício 1
Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final pagará para a Lúcia.
Ver Resposta
Exercício 2
(Enem-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em um aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
	
	Rendimento Mensal (%)
	IR (imposto de renda)
	Poupança
	0,560
	isento
	CDB
	0,876
	4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Ver Resposta
Juros simples: fórmula, como calcular e exercícios
Rafael C. Asth 
Professor de Matemática e Física
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Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo.
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem.
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado.
Exemplo
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobrará uma taxa de juros de 6% na compra, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar?
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6% a esse valor, então temos:
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12,00 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212,00. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60,00 a mais do valor inicial.
Logo, o valor total da televisão será de R$ 1060,00.
Fórmula: como calcular o juros simples?
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por:
J = C . i . t
Onde,
J: juros
C: capital
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100.
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital).
Sua fórmula será:
M = C + J → M = C + C . i . t
Da equação acima, temos, portanto, a expressão:
M = C . (1 + i . t)
Exemplo 1
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?
Sendo:
C = 1200
i = 2% ao mês = 0,02
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformarem meses para ficar na mesma unidade de tempo da taxa de juros.
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360,00.
Exemplo 2
Um capital de R$ 400,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, resultou no montante de R$ 480,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?
Considerando,
C = 400
i = 4% ao mês = 0,04
M = 480
temos:
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· Razão e Proporção
Exercícios resolvidos sobre juros simples
Para compreender melhor a aplicação do conceito de juros simples, vejamos abaixo dois exercícios resolvidos, sendo que um deles caiu no Enem em 2011.
Exercício 1
Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final pagará para a Lúcia.
Ver Resposta
Exercício 2
(Enem-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em um aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
	
	Rendimento Mensal (%)
	IR (imposto de renda)
	Poupança
	0,560
	isento
	CDB
	0,876
	4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Ver Resposta
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