Cálculo Diferencial e Integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL A VÁRIAS 
VARIÁVEIS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Rodrigues 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Esta aula é a entrada para o estudo de Cálculo Diferencial e Integral a 
Várias Variáveis. Inicialmente, veremos as Funções de Várias Variáveis, pois a 
importância deste tópico nos remete ao estudo do domínio de funções e de 
curva de nível. 
Na sequência, trabalharemos com a Teoria dos Limites, porém, desta 
vez lidaremos com mais de uma variável. Enfim, seja bem-vindo(a) a uma 
matemática mais avançada e a um dos capítulos mais belos dessa ciência 
exata. 
TEMA 1 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS (I) 
Neste tema, veremos um conceito importante dentro da disciplina de 
cálculo diferencial e integral. Muito embora o conceito seja inicialmente bem 
intuitivo, os cálculos apresentados nesta aula têm forte impacto nos conceitos 
futuros da disciplina. 
1.1 Valor numérico 
O valor numérico de uma função de várias variáveis segue o mesmo 
princípio do que é visto desde a disciplina de pré-cálculo. Entretanto, é 
fundamental ter muita atenção na hora da substituição dos valores, seguindo a 
ordem das incógnitas propostas. 
Exemplo 1: sendo a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1, calcule 𝑓(2,3). 
Resolução: 
Substituindo os valores respeitando a ordem das incógnitas, 
𝑓(2, 3) = 2 + 3 + 1 
𝑓(2, 3) = 6 
Exemplo 2: sendo a função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥+𝑦
2𝑥+𝑦
, calcule 𝑓(1,2). 
Resolução: 
Substituindo os valores respeitando a ordem das incógnitas, 
𝑓(1, 2) =
1 + 2
2 ∙ (1) + 2
 
𝑓(1, 2) =
3
2 + 2
 
 
 
3 
𝑓(1, 2) =
3
4
 
Exemplo 3: sendo a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 2, calcule 𝑓(3, −2,1). 
Resolução: 
Substituindo os valores respeitando a ordem das incógnitas, 
𝑓(3, −2, 1) = 3 + (−2) − 2 ∙ (1) + 2 
𝑓(3, −2, 1) = 3 − 2 − 2 + 2 
𝑓(3, −2, 1) = 1 
1.2 Estudo do domínio 
Neste momento, começamos a questionar se é possível utilizar 
quaisquer valores no cálculo de valor numérico. A resposta para essa questão 
é a mesma que foi dada na disciplina de cálculo diferencial e integral a uma 
variável. Dessa forma, é fundamental estudar o domínio da função. 
Em síntese, podemos dizer que o domínio de uma função de várias 
variáveis é a interpretação das possíveis (ou não) restrições dos valores que as 
variáveis independentes da função podem assumir. 
Exemplo 4. Demonstre o domínio da função: 
𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦² 
Resolução: 
Sendo 𝑧 uma função de duas variáveis, então podemos dizer que 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦), logo 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦² 
Estudando o domínio, notamos que a função 𝑧 tem sua aplicação em 
uma raiz quadrada, portanto, 
1 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 
 𝑥2 + 𝑦² ≥ 1 
Fazendo uma representação desse domínio no conjunto R² (Reais em 
duas dimensões), temos graficamente todos os pontos interiores ao círculo 
(incluindo a circunferência – borda). 
 
 
4 
 
Assim, conclui-se que o domínio é 
𝐷𝑜𝑚: 𝑥2 + 𝑦² ≥ 1 
TEMA 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS (II) 
Neste tema, veremos alguns exemplos calculados de domínio de 
funções de várias variáveis. 
Exemplo 5. Demonstre o domínio da função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 + 1 
Resolução: 
Dom: nesse caso, não há nenhuma restrição de duplas de valores de 𝑥 e 
𝑦. Portanto, o domínio dessa função é o conjunto R² (Reais em duas 
dimensões), então 
𝐷𝑜𝑚: {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2} 
Exemplo 6. Demonstre o domínio da função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥 + 𝑦 − 1
 
Resolução: 
Dom: nesse caso, a restrição de duplas de valores de 𝑥 e 𝑦 vem da 
análise de que o denominador de uma fração não pode ser zero dentro do 
contexto dos números reais. Portanto, o domínio dessa função é o conjunto R² 
(Reais em duas dimensões), então 
𝑥 + 𝑦 − 1 ≠ 0 
𝑥 + 𝑦 ≠ 1 
𝐷𝑜𝑚: {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 / 𝑥 + 𝑦 ≠ 1} 
 
 
 
5 
Exemplo 7. Demonstre o domínio da função: 
𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 𝑦 + 1
𝑥 − 1
 
Resolução: 
Dom: analisando os numerador e denominador separadamente, 
𝑥 + 𝑦 + 1 ≥ 0 (i) e 𝑥 − 1 ≠ 0 (ii) 
𝑥 + 𝑦 + 1 ≥ 0 (i) 
𝑥 + 𝑦 ≥ −1 
𝑥 − 1 ≠ 0 (ii) 
𝑥 ≠ 1 
Graficamente, 
 
𝐷𝑜𝑚: {(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑅2/ 𝑥 + 𝑦 ≥ −1 𝑒 𝑥 ≠ 1} 
 Exemplo 8. Demonstre o domínio da função: 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧² 
Resolução: 
Dom: 9 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧² ≥ 0 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧² ≤ 9 , isso representa todos os pontos na casca e internos a 
uma esfera de raio 3. 
Graficamente, 
 
 
6 
 
𝐷𝑜𝑚: {(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑅2/ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧² ≤ 9 
TEMA 3 – CURVAS DE NÍVEL 
Seja k um número real. Uma curva de nível, 𝐶𝑥, de uma função 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) é o conjunto de todos os pontos(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓), tais que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘. 
Simbolicamente, escrevemos 
𝐶𝑘 = {(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐷(𝑓) | 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘} 
 De forma geral, as curvas de nível são planos de cortes paralelos ao 
plano xy (z = 0). 
Exemplo 9 
Utilizando a função 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦², estabeleça as curvas de nível nas 
cotas 𝑧 = 0 e 𝑧 =
1
2
. 
Resolução: 
Sendo o gráfico da função 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦² uma esfera de raio igual a 1. 
 
 
7 
 
Então, as curvas de nível: 
𝐶(0): 0 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, 0 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 
Portanto, 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 (circunferência de raio r = 1 no plano z = 0) 
 
𝐶(
1
2
): 
1
2
= √1 − 𝑥2 − 𝑦2 , 
1
4
= 1 − 𝑥2 − 𝑦2. 
Portanto, 
𝑥2 + 𝑦2 =
3
4
 (circunferência de raio = √3/2 no plano z = 1/2) 
 
 
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TEMA 4 – LIMITES E CONTINUIDADE 
Nesta seção, falaremos sobre limites e continuidade. 
4.1 Definição de limites 
Seguindo a definição de Gonçalves (2012, p. 69): 
Dado 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅2 e um número positivo r, a bola aberta 𝐵(𝑃0, 𝑟), de 
centro em 𝑃0 e raio r, é definida como o conjunto de todos os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈
𝑅2 cuja distância até 𝑃0 é menor que r, isto é, pelos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) que 
satisfazem |𝑃 − 𝑃0| 0, existir um 𝛿 > 0 tal que|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| 0, existe um 𝛿 > 0, então |𝑓(𝑥) − 8| 0, existe um 𝛿 > 0, então |𝑓(𝑥)− 11|