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Matemática Financeira110
A seguir, estão elencadas as possibilidades de cálculo para cada um dos quatro valores. 
8.3.1 Valor presente
Neste exemplo, assume-se que o valor futuro é zero. Desse modo, ao considerar uma dívida, 
ela será totalmente paga por meio de n prestações, sem que haja um valor residual a ser pago no final.
Assim, o valor presente de n prestações de valor PMT é dado por:
P = 
PMT
(1 + i)
 + 
PMT 
(1 + i)2
 + ... + 
PMT 
(1 + i)n
8.3.2 Valor futuro
Para essa situação, o valor presente é zero. Desse modo, em uma aplicação, serão feitas n 
aplicações de valor PMT, sem que haja um saldo original na aplicação.
O valor futuro de n prestações de valor PMT é dado por:
F = PMT . (1 + i)n-1 + PMT . (1 + i)n-2 + … + PMT . (1 + i) + PMT
8.3.3 Valor das prestações
Para o valor das prestações são apresentadas duas expressões. A primeira delas considera 
que o valor futuro é zero, já a segunda considera que o valor presente é zero.
É importante observar que uma dívida pode ser paga por meio de prestações. Assim, sabendo 
o valor presente, deseja-se saber o valor das prestações:
PMT P
i i i n
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
12( ) ( )
...
( )
Uma aplicação feita por meio de n prestações dará origem a um valor futuro. Para obter o 
valor da prestação que dá origem a um certo valor futuro, tem-se:
PMT F
i i i nn n
�
� � � � � � ��� ��
� �( ) ( ) ... ( )1 1 1 11 2
8.3.4 Número de prestações
O cálculo do número de prestações não é simples. Para conhecer o número de prestações em 
função do valor presente utiliza-se:
n
P i
PMT
i
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
log
.
log( )
1
1
Para obter o número de prestações em função do valor futuro utiliza-se:
n
F i
PMT
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
log
.
log( )
1
1
Série de pagamentos 111
Essas expressões são complexas. Desse modo, é necessário compreendê-las, não memorizá-las.
8.3.5 Taxa de juros
Conforme dito, não é possível calcular a taxa de juros quando o número de prestações é 
superior a dois. Quando o número de prestações é igual a um, não há exatamente uma série de 
pagamentos, o que existe é um valor presente e um valor futuro. 
A calculadora financeira e o Excel realizam a busca do valor da taxa de juros por meio de 
tentativas, erros e outras técnicas computacionais, que permitem que o valor seja encontrado com 
pouca dificuldade. Essas ferramentas conseguem chegar a um resultado porque são capazes de 
realizar um número grande de contas em apenas um segundo.
8.4 Exemplos de uso da HP12c, do Excel e outros cálculos
8.4.1 Cálculo do valor das prestações
O exemplo em seguida ilustra uma situação que envolve o cálculo do valor 
das prestações:
Roberto está interessado em comprar uma moto. Ele sabe que o valor 
à vista da moto é de R$ 5.000,00. Em um anúncio, ele viu que a taxa de 
juros cobrada é de 1% ao mês. Sabendo que Roberto pretende parcelar a 
moto em quatro vezes, qual será o valor das prestações?
Um dos primeiros passos para resolver essa questão é a elaboração e análise do diagrama do 
fluxo de caixa:
PV
0
PMT
1
PMT
2
PMT
3
PMT
4
Com base nas informações dispostas, é possível observar que:
n = 4; i = 1%; PV = R$ 5.000,00; FV = R$ 0,00.
Na HP12c:
Essas informações precisam ser inseridas na calculadora. Por isso, é preciso digitar:
4 n
1 i
5000 PV
0 FV
Vídeo
Matemática Financeira112
PMT
A resposta é: –1.281,41
Por que a resposta é um valor negativo? Para saber, é necessário compreender o fluxo de 
caixa: as prestações consistem em uma saída de caixa, por isso são representadas com setas para 
baixo. Assim, o valor deve ser negativo.
O sinal negativo pode ser ignorado, desde que se faça a interpretação correta. Logo, deve-
rão ser pagas quatro prestações de R$ 1.281,41.
No Excel:
Primeiramente é preciso inserir todas as informações no Excel. Elas devem ser dispostas da 
seguinte maneira:
B5 fx =PGTO(B2;B1;B3;B4)
A B C D E
1 n 4
2 i 1%
3 PV R$ 5.000,00
4 FV R$ 0,00
5 PMT (R$ 1.281,41)
Na coluna A são digitados os nomes para cada um dos valores calculados. Podem ser digitados 
quaisquer nomes, sem se preocupar com a ordem deles. Na coluna B estão os valores correspondentes 
aos nomes que aparecem na coluna A. Nas células B3 e B4 estão os valores 5000 e 0, respectivamente. 
Para formatar as células no padrão monetário, basta clicar no botão moeda ( ).
Para calcular o valor das prestações (PMT), utiliza-se a função PGTO. Os argumentos dessa 
função são: a taxa de juros (i), o número de períodos de tempo (n), o valor presente (PV) e o valor 
futuro (FV), exatamente nessa ordem. Na linha de fórmula aparece a fórmula digitada na célula 
B5; quando ela é digitada, a resposta aparece. Essa resposta corresponderá ao mesmo valor que o 
calculado na HP12c: – R$ 1.281,41. No Excel, os valores negativos estão dispostos entre parênteses 
e na cor vermelha.
Fazendo contas:
Para descobrir o valor das prestações, verifica-se que:
P PMT
i i i i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�.
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
1
1
12 3 4
Substituindo os valores:
R PMT$ . , .
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
5 000 00 1
1 0 01
1
1 0 01
1
1 0 01
1
1 0 012 3 4�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
Realizando os cálculos: