Integração e Aplicações em Cálculo

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Nota: 80 
Disciplina(s): 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral 
tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral 
a várias variáveis, calcule o valor da integral de 
linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações 
paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a 
alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A 
 
-12 
 
B 
 
24 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=
(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
 
 
C 
 
15 
 
D 
 
-20 
 
E 
 
30 
Você assinalou essa alternativa (E) 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o texto: 
 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo 
de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume 
de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial 
e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada 
pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo 
fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que 
corresponde a esse valor. 
 
Nota: 10.0 
 
A 
 
25π√20u.a.25π20u.a. 
 
B 
 
20π√10u.a.20π10u.a. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
javascript:void(0)
 
livro-base p. 15-20 
 
C 
 
22π√12u.a.22π12u.a. 
 
 
D 
 
23π√13u.a.23π13u.a. 
 
 
E 
 
21π√15u.a.21π15u.a. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito 
da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 
 
é convergente com limite 3. 
 
B 
 
é convergente com limite 7. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C 
 
é convergente com limite 10. 
 
D 
 
é divergente. 
javascript:void(0)
 
E 
 
é convergente com limite infinito. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a 
alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas 
curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
13u.a.13u.a. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59 
 
B 
 
23u.a.23u.a. 
 
 
C 
 
43u.a.43u.a. 
 
D 
 
53u.a.53u.a. 
 
 
E 
 
73u.a.73u.a. 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é 
considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação 
como habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
javascript:void(0)
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. 
Nota: 10.0 
 
A 
 
∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B 
 
∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C 
 
∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D 
 
∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E 
 
∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo 
de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume 
de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
javascript:void(0)
 
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no 
intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 
 
2√10u.c.210u.c. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. 
 
livro-base: p. 21-24 
 
B 
 
3√5u.c.35u.c. 
 
C 
 
4√5u.c.45u.c. 
 
 
D 
 
5√5u.c.55u.c. 
 
E 
 
6√10u.c.610u.c. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral 
tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
javascript:void(0)
 
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada 
por: 
 
Nota: 10.0 
 
A 
 
6 
 
B 
 
10 
 
C 
 
12 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
 
 
D 
 
15 
 
E 
 
16 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O uso de funções de várias variáveispermite modelar situações problema nos quais 
uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. 
Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o 
javascript:void(0)
valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a 
função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada 
de números reais à soma de seus quadrados. 
 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) 
é: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
16 
 
B 
 
25 
 
C 
 
30 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
 
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base: p. 75-76 
 
D 
 
36 
 
E 
 
40 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
javascript:void(0)
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo 
de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume 
de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela 
reta xx. 
 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo 
Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área 
delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 
A 
 
 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 
B 
 
 
 
C 
 
1 
 
D 
 
2 
 
E 
 
 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Analise o seguinte problema: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é 
representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de 
fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a 
empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo 
produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3.. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que 
indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
120 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
B 
 
150 
 
C 
 
180 
 
D 
 
200 
 
E 
 
220