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Engenharia Econômica
Prof. Ricardo Reolon Jorge
Por que Estudar Engenharia Econômica
O campo de aplicação de Engenharia Econômica é amplo, tanto no ambiente empresarial como no ambiente privado. 
Algumas situações nas quais se aplicam o conhecimento de Engenharia Econômica.
AMBIENTE EMPRESARIAL
	Estudos de viabilidade econômica e financeira de projetos de investimentos
	Avaliação do sistema de amortização mais adequado de financiamentos de recursos (Sistema de Amortização Constante, Sistema de Prestações Constantes etc.).
	Avaliação da alternativa mais vantajosa: comprar ou fazer.
	Oferecer descontos aos clientes para antecipar pagamentos ou mesmo pagar a vista.
	Avaliação de empresas ou de suas ações.
AMBIENTE PRIVADO
	Estudos de viabilidade financeira para aquisições de bens a prazo (casa, automóvel, geladeira etc.).
	Avaliação do sistema de amortização mais adequado de financiamentos de recursos (Sistema de Amortização Constante, Sistema de Prestações Constantes etc.).
	Avaliar se é mais vantajoso comprar agora ou poupar para comprar determinado bem no futuro.
	Avaliar as vantagens e desvantagens de se pagar a vista ou a prazo.
	Determinar o valor de uma empresa ou de suas ações para decidir sobre investimento nestes ativos.
ATIVIDADE
A Loja de Departamentos Teresina publicou a seguinte oferta de uma Smart TV HD LED:
De: R$ 10.800,00
Por: R$ 7.200,00 em 10 prestações de R$ 720,00, sem juros.
Ou: R$ 6.768,00 para pagamento a vista.
Considere que um consumidor interessado, possa realizar as seguintes operações:
a) 	Retirar o valor de um investimento que lhe proporciona rendimentos de 0,75% ao mês e adquirir a vista.
b)	Realizar um empréstimo bancário com juros de 1,25% ao mês e adquirir a vista.
c) 	Adquirir em 10 prestações conforme anunciado pela loja.
Qual a melhor alternativa?
ATIVIDADE
Suponha que o cliente tem R$10.000,00 em conta corrente para tomada da decisão.
Caso ele retire o valor de um investimento que lhe proporciona rendimentos de 0,75% ao mês ele deixará de receber R$525,08 de juros (custo de oportunidade) com custo total de R$7.293,08.
Realizar um empréstimo bancário com juros de 1,25% ao mês e adquirir a vista ele pagará de juros R$895,21 com custo total de R$7.663,21.
Custo total de R$7.200,00.
O que é Engenharia Econômica?
“[...] a engenharia econômica envolve formular, estimar, avaliar os resultados econômicos, quando alternativas para realizar determinado propósito estão disponíveis. Outra maneira de definir engenharia econômica é considerá-la um conjunto de técnicas matemáticas que simplifica a comparação econômica. (BLANK; TARQUIN, 2008).
Aplicações do Conhecimento de Engenharia Econômica
São exemplos típicos de problemas que necessitam da aplicação do conhecimento de Engenharia Econômica:
a) Efetuar o transporte de mercadorias com frota própria ou terceirizada.
b) Construir ou alugar um novo prédio para expansão da fábrica.
c) Decidir pela modernização ou substituição de uma máquina em uso.
d) Avaliar a viabilidade econômica a respeito do investimento em um novo equipamento.
Antes de decidir por uma das alternativas, deve-se realizar um estudo de viabilidade que envolve:
aspectos técnicos que são associados às restrições tecnológicas.
aspectos econômicos que objetivam conhecer se os investimentos são rentáveis e, qual deles oferece o maior retorno. 
aspectos financeiros que estão relacionados à disponibilidade de recursos já existentes e a possibilidade de obtê-los. 
ATIVIDADE
A empresa de logística Teixeira de Freitas pretende se instalar na cidade de Fortaleza para atender toda a região nordeste. 
Duas possibilidades estão em estudo, alugar um galpão ou adquirir um terreno e construir um galpão.
Pesquisas realizadas indicam que o valor do aluguel é de R$ 50.000,00 mensais. Um terreno na mesma região está sendo comercializado por R$ 800.000,00. A construção de um galpão com a mesma área daquele que pretende alugar é estimada em R$ 500.000,00.
É possível decidir sobre a melhor alternativa com base nos dados apresentados? 
Caso a resposta seja negativa, que dados você acrescentaria?
Princípios Fundamentais de Engenharia Econômica
Princípio 1: Uma unidade monetária hoje (R$ 1,00) vale mais que uma unidade monetária no futuro.
Um conceito fundamental em engenharia econômica é que o dinheiro tem um valor de tempo. Este conceito é a base fundamental para a avaliação de qualquer projeto de engenharia.
 
Princípio 2: A única coisa que conta são as diferenças entre as alternativas.
Uma decisão econômica deve basear-se nas diferenças entre as alternativas em estudo. Qualquer coisa comum entre as alternativas é irrelevante para a decisão. Uma decisão econômica deve basear-se no objetivo de fazer o melhor uso de recursos limitados. Sempre que uma escolha é feita, algo é sacrificado. O custo de oportunidade é o valor da melhor alternativa sacrificada.
Princípios Fundamentais de Engenharia Econômica
Princípio 3: A receita marginal deve ser superior ao custo marginal.
Qualquer atividade econômica deve ser justificada com base no seguinte princípio econômico fundamental: a receita marginal deve ultrapassar o custo marginal. A receita marginal é a receita gerada ao incrementar uma atividade e, o custo marginal é o custo adicional incorrido pelo aumento desta atividade.
 
Princípio 4: Não se assume risco adicional se não houver um ganho adicional.
Os investidores exigem um ganho mínimo que deve ser maior do que a inflação esperada ou qualquer risco percebido. 
à Vista ou à Prazo
À vista: o pagamento ou recebimento ocorre no ato da operação de compra ou venda, ou seja, imediatamente.
À prazo: o pagamento ou recebimento irá ocorrer em data posterior à operação de compra ou venda. 
Desse modo, o comprador ficará com uma dívida (o valor da operação será liquidado no futuro). 
O vendedor ficará com um direito a receber no futuro. 
A liquidação da dívida ou do direito a receber poderá ocorrer em parcela única ou em prestações a serem pactuadas no ato da operação.
Elementos de Matemática Financeira Aplicados em Engenharia Econômica
Elementos de Matemática Financeira Aplicados em Engenharia Econômica
O juro é o valor do dinheiro no tempo 
Os juros funcionam como um aluguel pago aos donos do capital
Existe uma lei muito importante no mundo financeiro: o dinheiro tem valor no tempo. Receber R$ 10 mil hoje vale mais que receber a mesma quantia daqui a um ano. Os juros fazem a diferença. Funcionam como um aluguel pago aos donos do capital. Numa economia de mercado, eles são essenciais e, teoricamente, têm sua razão de ser. Se você discorda disso, tente descobrir alguém que aceite emprestar um imóvel ou um dinheiro sem exigir o pagamento de aluguel ou de juros. Vai ser (quase) impossível encontrar.
Elementos de Matemática Financeira Aplicados em Engenharia Econômica
Exemplos
Exemplo 1: um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final de 1 ano:
	Juros = R$ 1.000,00 x (20 ÷ 100)
	Juros = R$ 1.000,00 x 0,20
	Juros = R$ 200,00
 
Exemplo 2: Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos. Ao final de 1 ano, reembolsou R$ 10.700,00. Nesta aplicação, os juros ganhos correspondem a: 
	R$ 10.700,00 – R$ 10.000,00 = R$ 700,00
A taxa de juros percentual é (R$ 700,00 ÷ R$ 10.000,00) x 100% = 7% ao ano.
ATIVIDADE
Sebastião Laranjeiras pretende adquirir um veículo seminovo que facilitaria sua locomoção de casa para o trabalho e a faculdade. Em janeiro viu um modelo em oferta em uma revendedora que lhe chamou a atenção: preço à vista, R$ 12.000,00 ou pagamento em uma única parcela de R$ 18.000,00 no final do mês de dezembro daquele ano. 
Sebastião possui a importância de R$ 12.000,00 que está aplicada em um banco, com rendimento anual de 20%.
Se fosse com você, o que faria?
Resgataria os R$ 12.000,00 da aplicação financeira e compraria à vista?
Manteria o dinheiro aplicado e compraria o veículo para pagar R$ 18.000,00 em dezembro?
Tipos de Taxas de Juros
Taxa nominal
A taxa nominal diz respeito a uma taxa de juros válida para umaunidade de tempo que não coincide com o prazo da aplicação.
Por exemplo: uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por um prazo de 6 meses com taxa de juros de 10% ao ano. 
Neste caso, tem-se que a taxa nominal é de 10% ao ano. 
Para determinar a taxa semestral é preciso calcular a taxa proporcional ou taxa equivalente, de acordo com o critério ou regime de capitalização dos juros.
Tipos de Taxas de Juros
Taxa efetiva
corresponde a taxa de juros que de fato se paga ou se recebe em uma operação após determinado período de tempo. É obtida pela seguinte equação:
Por exemplo: uma aplicação de R$ 10.000,00 após um ano rendeu R$ 1.000,00 de juros. Neste caso, a taxa efetiva é:
		Taxa efetiva = 10% ao ano
Tipos de Taxas de Juros
Taxa Real
A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva, desconsiderando-se a inflação do período de tempo da aplicação. É obtida pela seguinte equação:
Por exemplo: uma aplicação proporciona 10% de taxa efetiva ao ano. No ano a inflação foi de 4%. Neste caso, a taxa real é:
			taxa real = 5,77% ao ano.
Tipos de Fluxos de Caixa
Aspectos Importantes dos Fluxos de Caixa
Os momentos de ocorrência dos fluxos de caixa podem ser tratados como postecipados, antecipados ou diferidos.
Os valores correspondentes ao investimento inicial são registrados na data zero, embora possa haver desembolsos em diferentes momentos antes do funcionamento do projeto.
O valor correspondente a depreciação, incluso nos custos, não representa efetivamente desembolso de caixa e, por isso, deve ser somado ao lucro após o Imposto de Renda e a Contribuição Social.
Para as receitas, custos e despesas, deve-se observar o regime de competência, ou seja, o momento de ocorrência dos mesmos, independentemente se os valores correspondentes sejam recebidos ou pagos em momentos distintos.
Aspectos Importantes dos Fluxos de Caixa
Os valores estimados das receitas, custos e despesas devem refletir moeda de mesmo poder aquisitivo em todos os períodos de tempo do horizonte temporal do fluxo de caixa.
Não devem ser incluídos os gastos que não podem ser alterados pela decisão de implementar ou não o projeto e, por isso, são tratados como irrecuperáveis. 
Exemplo: antes de iniciar o estudo de viabilidade econômica e financeira de aquisição de máquinas que serão utilizadas na fabricação de um novo produto, a empresa realiza gastos com sondagens de mercado para avaliar a receptividade desse produto pelos consumidores (sunk cost).
Conceitos de Valor Presente e Valor Futuro
Ilustração de Valor Presente e Valor Futuro
ATIVIDADE
Mara Rosa que vivia se endividando para adquirir bens de uso pessoal, conseguiu, com muita determinação quitar suas dívidas em diversas lojas de departamentos. Agora, ela pretende juntar dinheiro e, depois adquirir os bens desejados, como bolsas, sapatos, roupas da moda etc.
Em dezembro, recebeu R$ 10.000,00 relativos ao 13º salário e férias. Pretende realizar uma aplicação financeira e gastar somente o rendimento recebido no próximo mês de julho. 
Pede-se: Qual o rendimento obtido neste prazo de aplicação, considerando que a taxa de juros simples é de 2% ao mês? 
Critérios (ou Regimes) de Capitalização dos Juros
São dois os regimes de capitalização:
SIMPLES
COMPOSTO
A distinção básica entre juros simples e juros compostos é relativa ao “valor base” sobre o qual incide a taxa de juros. 
Juros Simples
No regime de juros simples o “valor base” sobre o qual incide a taxa de juros é representado pelo Capital Inicial, por exemplo, o valor de uma aplicação financeira. 
Durante o prazo da aplicação financeira não há a incidência de juros sobre juros como ocorre no regime de juros compostos.
Assim, uma aplicação de R$ 1.000,00 hoje, à taxa de juros simples de 1,0% ao mês, para ser resgatado daqui a 6 meses, terá proporcionado R$ 60,00 de juros e atingirá o Montante de R$ 1.060,00.
Juros Simples
	MÊS	BASE DE CÁLCULO	JUROS	MONTANTE
	0	1.000,00	0,00	1.000,00
	1	1.000,00	10,00	1.010,00
	2	1.000,00	10,00	1.020,00
	3	1.000,00	10,00	1.030,00
	4	1.000,00	10,00	1.040,00
	5	1.000,00	10,00	1.050,00
	6	1.000,00	10,00	1.060,00
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros calculados em cada período de tempo são somados ao capital, formando, assim, o Montante (capital + juros). Sobre esse Montante, incide juros no período de tempo seguinte, formando um novo Montante e, assim sucessivamente, até o final de uma aplicação.
Assim, uma aplicação de R$ 1.000,00 hoje à taxa de juros de 1,0% ao mês, para ser resgatado daqui a 6 meses, terá proporcionado R$ 61,52 de juros e atingirá o Montante de R$ 1.061,52.
Juros Compostos
	MÊS	BASE DE CÁLCULO	JUROS	MONTANTE
	0	1.000,00	0,00	1.000,00
	1	1.000,00	10,00	1.010,00
	2	1.010,00	10,10	1.020,10
	3	1.020,10	10,20	1.030,30
	4	1.030,30	10,30	1.040,60
	5	1.040,60	10,41	1.051,01
	6	1.051,01	10,51	1.061,52
Juros Simples x Juros Compostos
Regras Básicas
Nas equações, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. 
Se uma aplicação é realizada pelo período de um mês, mas os juros definidos por uma taxa anual deve-se transformar a taxa de juros anual para o período de tempo indicado na operação, no caso, mensal, ou vice-versa. 
Taxas Proporcionais
No regime de juros simples, duas taxas são proporcionais quando expressas em unidades de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital para um mesmo período de tempo gerar o mesmo Montante. 
Assim, o valor dos juros é linearmente proporcional ao tempo da aplicação. 
Exemplo de taxas proporcionais: 
2% ao mês = 24% ao ano. 
Assim, o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00 por 12 meses será R$ 12.400,00.
Taxas Equivalentes
No regime de juros compostos, duas taxas são equivalentes quando expressas em unidades de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital para um mesmo período de tempo, gerarem o mesmo Montante. 
Exemplo de taxas equivalentes: 
1% ao mês = 12,6825% ao ano. 
Assim, o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00 por 12 meses será R$ 11.268,25.
Equação para taxas equivalentes:
EXERCÍCIOS
1. Na última década a população da cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil e, a população da cidade B passou de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades apresentou maior taxa de crescimento relativo? 
2. Trajano de Moraes tem um salário de R$ 2.000,00. Irá receber um aumento de 15%. Qual o novo salário do Trajano de Moraes?
3. Miguel Pereira recebeu um aumento de 15% de modo que seu salário atual é de R$ 4.600,00. Qual era o salário de Miguel Pereira?
4. Mariana investiu R$ 10.000,00 em ações da empresa Alfa. Ao final do primeiro ano, as ações dessa empresa tiveram desvalorização de 10% e, ao final do segundo ano, tiveram valorização de 10%. Isso significa que depois de dois anos Mariana poderia vender suas ações e recuperar o valor investido?
5. Calcular o valor a ser resgatado (juros simples) de uma aplicação de R$ 105.000,00 por:
	a. 8 meses à taxa de 2% ao mês
	b. 11 meses a taxa de 12% ao semestre
	c. 1 ano e 6 meses a taxa de 24% ao ano
6. Lauro de Freitas realizou uma aplicação financeira no Banco Ouro Branco no valor de R$ 300.000,00 por 18 meses, à taxa de 48% ao ano (juros simples). Pede-se:
O valor dos juros dessa aplicação.
O valor a ser resgatado ao final de 18 meses.
7. Calcular a taxa mensal proporcional (juros simples) de juros de:
	a. 12,6% ao ano
	b. 6,2% ao quadrimestre
	c. 12,36% ao semestre
	d. 117,6% ao ano
	e. 64,80% ao biênio
8. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:
	a. 240% ao ano
	b. 6,4 % ao quadrimestre
	c. 0,75% ao mês
9. Qual a taxa de juros para dezoito meses proporcional à taxa de 18% ao ano?
10. Qual o rendimento que R$ 750,00, aplicados a juros simples, produz após 3 trimestres à taxa de 12% ao ano?
11. Quanto de juros se obtém de um capital de R$ 3.200,00, aplicados à taxa de 18% ao semestre durante dois bimestres? (juros simples)
12. Durante quantos meses o capital de R$ 2.500,00, aplicados à taxa de 18,6%ao semestre, produz juros de R$ 620,00? (juros simples)
13. Qual a taxa de juros simples anual que um capital de R$ 10.000,00 deve ser aplicado para que triplique em 4 anos?
14. Uma geladeira está sendo anunciada por uma loja com as seguintes condições de pagamento: 
- preço a vista: R$ 2.500,00
- preço parcelado: 40% de entrada e R$ 1.600,00 em 45 dias
Qual a taxa mensal de juros simples praticada no preço parcelado?
15. Manoel Vitorino aplicou R$ 1.250,00 no Banco Ouro Verde por oito meses com remuneração de 1,35% ao mês. Quanto deverá resgatar? (juros compostos)
16. O Sr. Assis emprestou R$ 1.500,00 a juros compostos de 2,0% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 1.000,00 e, um mês após esse pagamento, quitou o empréstimo. Determine o valor do último pagamento.
17. Medeiros Neto fez uma aplicação de R$ 3.200,00, por nove trimestres no Banco Ouro Preto. Os juros correspondem a 1,5% ao mês. Qual o valor a ser resgatado? (juros compostos)
18. Miguel Calmon aplicou R$ 2.500,00 por oito meses no Banco Diamantina. Resgata o Montante de R$ 2.872,20. Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação? (juros compostos)
19. Calcular o valor a ser resgatado de um investimento no valor de R$ 8.000,00, admitindo-se as seguintes taxas de juros e prazos: a) 4,5% ao mês e 3 anos; b) 4,5% ao bimestre, 1 ano e 6 meses; c) 14,5% ao ano, 120 meses (juros compostos)
20. Qual o valor dos juros de uma aplicação de R$ 1.600,00 durante sete meses, com a taxa de 1,16% ao mês? (juros compostos)
21. João Pessoa irá necessitar de R$ 15.000,00 daqui a nove meses. Quanto deverá aplicar hoje em um banco para resgatar o valor desejado, considerando que a taxa de juros é de 1,5% ao mês? (juros compostos)
22. Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de R$ 12.600,00 que proporciona juros de R$ 5.400,00 durante seis meses. (juros compostos)
23. Paulo Afonso possui duas dívidas junto ao Banco Turmalina. A primeira, no valor de R$ 5.400,00 vence daqui a oito meses e, a segunda, no valor de R$ 12.000,00, vence daqui a dez meses. Paulo procurou o gerente do banco desejando quitar as duas dívidas. O gerente informa que a taxa de juros praticada pelo banco é de 1,9% ao mês. Qual o Valor Presente das duas dívidas? (juros compostos)
24. Um investimento de R$ 32.000,00 proporcionou um Montante de R$ 36.914,19 depois de alguns meses. Sendo de 1,2% ao mês a taxa de juros, determinar o prazo da aplicação. (juros compostos)
25. Para uma taxa de juros de 1,7% ao mês, qual das duas alternativas de pagamento é mais vantajosa: a) pagamento de R$ 11.000,00 a vista (na data zero); b) R$ 3.000,00 de entrada, R$ 4.000,00 em 60 dias e R$ 4.200,00 em 90 dias. (juros compostos)
26. Marília obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para ser quitado em único pagamento depois de 6 meses, com juros de 9% ao ano. Caso ela resolva quitar o empréstimo depois de 5 meses, quanto deverá desembolsar? Juros compostos
27. Conceição obteve um empréstimo de R$ 12.000,00 para ser quitado em único pagamento depois de 4 meses, com juros de 12% ao ano. Passados os quatro meses, Conceição procurou o gerente do banco e negociou a prorrogação do pagamento desse empréstimo em mais 2 meses, com juros de 4% ao mês. Quanto Conceição desembolsou para quitar o empréstimo?
28. Determine a taxa de juros mensal equivalente a 16% ao ano?
29. Qual a taxa de juros semestral equivalente à taxa de 2% ao mês?
30. Determine as taxas mensais de juros equivalentes às seguintes taxas: 
a) 15% ao ano; b) 0,03% ao dia; c) 9% ao trimestre.
31. Verificar se as seguintes taxas de juros são equivalentes: 
a) 3,03% ao trimestre e 19,6141% para dezoito meses; b) 2,75% ao bimestre e 4,30% ao trimestre; c) 18,75% ao ano e 5,8955% ao quadrimestre.
32. Calcular a taxa equivalente a 14% ao ano para os seguintes prazos: 
a) dois meses e meio; b) um trimestre.
Observação: na solução o correto é 2 meses e meio e não 2 anos e meio!
Documento_do_Microsoft_Word.docx
Valor do Dinheiro no Tempo
Uma mesma quantia de dinheiro possui valores diferentes em momentos distintos no tempo. Assim, receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. Uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária amanhã. Algumas razões:
· O dinheiro disponível hoje pode ser reinvestido, proporcionando juros, levando, portanto, a uma quantia maior no futuro.
· A quantia possuída hoje é certa ao passo que no futuro, ela é incerta.
· O poder aquisitivo muda com a passagem do tempo causado pela inflação. Isso implica que, com a quantia possuída uma pessoa pode adquirir um bem hoje, situação que pode não ser possível no futuro.
Nos estudos de Engenharia Econômica, os valores dos fluxos de caixa de um projeto de investimentos ocorridos em diferentes momentos no tempo devem ser descontados ou capitalizados para uma mesma data por uma taxa apropriada, permitindo com isso, comparações ou agregações.
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Valor do Dinheiro no Tempo 
Uma mesma quantia de dinheiro possui valores diferentes em momentos distintos no tempo. 
Assim, receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. Uma unidade 
monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária amanhã. Algumas razões: 
• O dinheiro disponível hoje pode ser reinvestido, proporcionando juros, levando, 
portanto, a uma quantia maior no futuro. 
• A quantia possuída hoje é certa ao passo que no futuro, ela é incerta. 
• O poder aquisitivo muda com a passagem do tempo causado pela inflação. Isso 
implica que, com a quantia possuída uma pessoa pode adquirir um bem hoje, situação 
que pode não ser possível no futuro. 
Nos estudos de Engenharia Econômica, os valores dos fluxos de caixa de um projeto de 
investimentos ocorridos em diferentes momentos no tempo devem ser descontados ou 
capitalizados para uma mesma data por uma taxa apropriada, permitindo com isso, 
comparações ou agregações. 
Valor do Dinheiro no Tempo 
Uma mesma quantia de dinheiro possui valores diferentes em momentos distintos no tempo. 
Assim, receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. Uma unidade 
monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária amanhã. Algumas razões: 
• O dinheiro disponível hoje pode ser reinvestido, proporcionando juros, levando, 
portanto, a uma quantia maior no futuro. 
• A quantia possuída hoje é certa ao passo que no futuro, ela é incerta. 
• O poder aquisitivo muda com a passagem do tempo causado pela inflação. Isso 
implica que, com a quantia possuída uma pessoa pode adquirir um bem hoje, situação 
que pode não ser possível no futuro. 
Nos estudos de Engenharia Econômica, os valores dos fluxos de caixa de um projeto de 
investimentos ocorridos em diferentes momentos no tempo devem ser descontados ou 
capitalizados para uma mesma data por uma taxa apropriada, permitindo com isso, 
comparações ou agregações. 
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Juros
Ao realizar depósitos em uma conta de poupança, ao final de certo tempo, o saldo desta conta é superior à soma dos depósitos efetuados. 
Ao solicitar certo valor de financiamento para aquisição de um bem, uma pessoa irá restituir ao agente financeiro, um montante superior ao valor solicitado. 
Nos dois casos, os juros constituem a diferença. 
Assim, pode-se dizer que o dinheiro é um bem que possui um custo e, esse custo corresponde aos juros, recebidos ou pagos.
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Juros 
Ao realizar depósitos em uma conta de poupança, ao final de certo tempo, o saldo desta conta 
é superior à soma dos depósitos efetuados. 
Ao solicitar certo valor de financiamento para aquisição de um bem, uma pessoa irá restituir 
ao agente financeiro, um montante superior ao valor solicitado. 
Nos dois casos, os juros constituem a diferença. 
Assim, pode-se dizer que o dinheiro é um bem que possui um custo e, esse custo corresponde 
aos juros, recebidos ou pagos. 
Documento_do_Microsoft_Word2.docx
Taxa de Juros
A taxa de juros é um índice utilizado para a remuneração do capital, determinandoo valor dos juros. 
· Exemplo 1: quando alguém realiza uma aplicação de dinheiro, busca ser remunerado por uma taxa pactuada com a instituição financeira. 
· Exemplo 2: quando alguém realiza um empréstimo de dinheiro junto a um banco, irá pagar na forma de prestações, além do valor emprestado, um adicional correspondente ao custo do dinheiro (juros).
Portanto, a taxa de juros determina o custo do dinheiro quando se obtém um empréstimo ou o rendimento que se recebe quando se faz uma aplicação financeira.
 As taxas de juros devem ser suficientes para remunerar:
· O risco envolvido na operação (financiamento ou aplicação).
· A perda do poder de compra do capital decorrente da inflação, pelo tempo que esse capital for aplicado ou emprestado.
· O valor correspondente ao capital aplicado ou emprestado.
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Taxa de Juros 
A taxa de juros é um índice utilizado para a remuneração do capital, determinando o valor dos 
juros. 
• Exemplo 1: quando alguém realiza uma aplicação de dinheiro, busca ser remunerado 
por uma taxa pactuada com a instituição financeira. 
• Exemplo 2: quando alguém realiza um empréstimo de dinheiro junto a um banco, irá 
pagar na forma de prestações, além do valor emprestado, um adicional correspondente 
ao custo do dinheiro (juros). 
Portanto, a taxa de juros determina o custo do dinheiro quando se obtém um empréstimo ou o 
rendimento que se recebe quando se faz uma aplicação financeira. 
 As taxas de juros devem ser suficientes para remunerar: 
– O risco envolvido na operação (financiamento ou aplicação). 
– A perda do poder de compra do capital decorrente da inflação, pelo tempo que 
esse capital for aplicado ou emprestado. 
– O valor correspondente ao capital aplicado ou emprestado. 
Taxa de Juros 
A taxa de juros é um índice utilizado para a remuneração do capital, determinando o valor dos 
juros. 
• Exemplo 1: quando alguém realiza uma aplicação de dinheiro, busca ser remunerado 
por uma taxa pactuada com a instituição financeira. 
• Exemplo 2: quando alguém realiza um empréstimo de dinheiro junto a um banco, irá 
pagar na forma de prestações, além do valor emprestado, um adicional correspondente 
ao custo do dinheiro (juros). 
Portanto, a taxa de juros determina o custo do dinheiro quando se obtém um empréstimo ou o 
rendimento que se recebe quando se faz uma aplicação financeira. 
 As taxas de juros devem ser suficientes para remunerar: 
– O risco envolvido na operação (financiamento ou aplicação). 
– A perda do poder de compra do capital decorrente da inflação, pelo tempo que 
esse capital for aplicado ou emprestado. 
– O valor correspondente ao capital aplicado ou emprestado. 
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Documento_do_Microsoft_Word3.docx
Diagrama de um fluxo de caixa convencional
Entradas de Caixa (+) R$ R$ R$ R$ R$ R$
Períodos de tempo 0 1 2 3 4 5 6
Saídas de Caixa (-) R$		
image4.emf
Diagrama de um fluxo de caixa convencional 
Entradas de Caixa (+) R$ R$ R$ R$ R$ R$ 
 
 
 
Períodos de tempo 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
Saídas de Caixa (-) R$ 
 
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MÓDULO 1. Conceitos de Engenharia Econômica 
 
1. 
 Cidade A Cidade B 
População anterior 100.000 habitantes 40.000 habitantes 
Nova população 125.000 habitantes 50.000 habitantes 
Aumento populacional 25.000 habitantes 10.000 habitantes 
Taxa de crescimento relativo 25% 25% 
 
2. 
Salário atual 2.000,00 
Aumento percentual 15% 
Aumento salarial 300,00 
Novo salário 2.300,00 
Ou 
Novo salário = 2.000,00 × (1 + 0,15) 
Novo salário = 2.000,00 × 1,15 
Novo salário = 2.300,00 
 
3. 
Salário atual 4.600,00 
Aumento percentual 15% 
Relação salário atual/salário anterior 1,15 vezes 
Salário anterior 4.000,00 
Ou 
Salário anterior = 4.600,00 ÷ 1,15 
Salário anterior = 4.000,00 
 
 
 
 
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4. 
Investimento em ações 10.000,00 
Desvalorização do primeiro ano 10% → (10.000,00 × 0,10 = 1.000,00) 
Valor das ações ao final do primeiro ano 9.000,00 
Valorização do segundo ano 10% → (9.000,00 × 0,10 = 900,00) 
Valor das ações ao final do segundo ano 9.900,00 
 
 
 
 
 
5. 
a. juros de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 8) 
𝑉𝐹 = 121.800,00 
b. juros de 12% ao semestre = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 11) 
𝑉𝐹 = 128.100,00 
b. juros de 24% ao ano = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 18) 
𝑉𝐹 = 142.800,00 
6. 
juros de 48% ao ano = taxa de 4% ao mês 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 300.000,00 × 0,04 × 18 
𝐽 = 216.000,00 
𝑉𝐹 = 300.000,00 × (1 + 0,04 × 18) 
𝑉𝐹 = 516.000,00 
 
 
 
 
image13.emf
4. 
Investimento em ações 10.000,00 
Desvalorização do primeiro ano 10% → (10.000,00 × 0,10 = 1.000,00) 
Valor das ações ao final do primeiro ano 9.000,00 
Valorização do segundo ano 10% → (9.000,00 × 0,10 = 900,00) 
Valor das ações ao final do segundo ano 9.900,00 
 
 
 
 
 
5. 
a. juros de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 8) 
𝑉𝐹 = 121.800,00 
b. juros de 12% ao semestre = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 11) 
𝑉𝐹 = 128.100,00 
b. juros de 24% ao ano = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 18) 
𝑉𝐹 = 142.800,00 
6. 
juros de 48% ao ano = taxa de 4% ao mês 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 300.000,00 × 0,04 × 18 
𝐽 = 216.000,00 
𝑉𝐹 = 300.000,00 × (1 + 0,04 × 18) 
𝑉𝐹 = 516.000,00 
 
 
 
 
image14.emf
4. 
Investimento em ações 10.000,00 
Desvalorização do primeiro ano 10% → (10.000,00 × 0,10 = 1.000,00) 
Valor das ações ao final do primeiro ano 9.000,00 
Valorização do segundo ano 10% → (9.000,00 × 0,10 = 900,00) 
Valor das ações ao final do segundo ano 9.900,00 
 
 
 
 
 
5. 
a. juros de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 8) 
𝑉𝐹 = 121.800,00 
b. juros de 12% ao semestre = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 11) 
𝑉𝐹 = 128.100,00 
b. juros de 24% ao ano = taxa de 2% ao mês 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝑉𝐹 = 105.000,00 × (1 + 0,02 × 18) 
𝑉𝐹 = 142.800,00 
6. 
juros de 48% ao ano = taxa de 4% ao mês 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 300.000,00 × 0,04 × 18 
𝐽 = 216.000,00 
𝑉𝐹 = 300.000,00 × (1 + 0,04 × 18) 
𝑉𝐹 = 516.000,00 
 
 
 
 
image15.emf
7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre= 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
image16.emf
7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre = 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
image17.emf
7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre = 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
image18.emf
7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre = 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
image19.emf
7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre = 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
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7. 
a. 12,6% ao ano = 1,05% ao mês 
b. 6,2% ao quadrimestre = 1,55% ao mês 
c. 12,36% ao semestre = 2,06% ao mês 
d. 117,6% ao ano = 9,8% ao mês 
e. 64,8% ao biênio = 2,7% ao mês 
 
8. 
a. 240% ao ano = 60% ao trimestre 
b. 6,4% ao quadrimestre = 4,8% ao trimestre 
c. 0,75% ao mês = 2,25% ao trimestre 
 
9. 
18% ao ano = 27% para um ano e meio 
 
 
 
10. 
12% ao ano = 3% ao trimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 750,00 × 0,03 × 3 
𝐽 = 67,50 
 
 11. 
18% ao semestre = 6% ao bimestre 
𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.200,00 × 0,06 × 2 
𝐽 = 384,00 
 
12. 
18,6% ao semestre = 3,1% ao mês 
𝑛 =
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑖 
𝑛 =
620,00
2.500,00 × 0,031 
𝑛 = 8 meses 
 
image21.emf
13. 
𝑖 = (
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑛) × 100 
𝑖 = (
20.000,00
10.000,00 × 4) × 100 
𝑖 = 50% 
 
14. 
preço a vista = 2.500,00 
entrada: 2.500,00 × 0,40 = 1.000,00 
valor financiado: 2.500,00 – 1.000,00 = 1.500,00 
juros: 1.600,00 – 1.500,00 = 100,00 
𝑖 = (
100,00
1.500,00 × 45) × 100 
𝑖 = 0,148148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
0,148148% ao dia = 4,44444% ao mês 
 
 
 
15. 
𝑉𝐹 = 1.250,00 × (1 + 0,0135)8 
VF = 1.391,55 
 
16. 
Valor da dívida depois de dois meses 
𝑉𝐹 = 1.500,00 × (1 + 0,02)2 
VF = 1.560,60 
 
Saldo devedor após o pagamento de R$ 1.000,00 
SD: 1.560,60 – 1.000,00 = 560,60 
𝑉𝐹 = 560,60 × (1 + 0,02)1 
VF = 571,81 
 
17. 
𝑉𝐹 = 3.200,00 × (1 + 0,015)27 
VF = 4.783,36 
 
image22.emf
13. 
𝑖 = (
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑛) × 100 
𝑖 = (
20.000,00
10.000,00 × 4) × 100 
𝑖 = 50% 
 
14. 
preço a vista = 2.500,00 
entrada: 2.500,00 × 0,40 = 1.000,00 
valor financiado: 2.500,00 – 1.000,00 = 1.500,00 
juros: 1.600,00 – 1.500,00 = 100,00 
𝑖 = (
100,00
1.500,00 × 45) × 100 
𝑖 = 0,148148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
0,148148% ao dia = 4,44444% ao mês 
 
 
 
15. 
𝑉𝐹 = 1.250,00 × (1 + 0,0135)8 
VF = 1.391,55 
 
16. 
Valor da dívida depois de dois meses 
𝑉𝐹 = 1.500,00 × (1 + 0,02)2 
VF = 1.560,60 
 
Saldo devedor após o pagamento de R$ 1.000,00 
SD: 1.560,60 – 1.000,00 = 560,60 
𝑉𝐹 = 560,60 × (1 + 0,02)1 
VF = 571,81 
 
17. 
𝑉𝐹 = 3.200,00 × (1 + 0,015)27 
VF = 4.783,36 
 
image23.emf
13. 
𝑖 = (
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑛) × 100 
𝑖 = (
20.000,00
10.000,00 × 4) × 100 
𝑖 = 50% 
 
14. 
preço a vista = 2.500,00 
entrada: 2.500,00 × 0,40 = 1.000,00 
valor financiado: 2.500,00 – 1.000,00 = 1.500,00 
juros: 1.600,00 – 1.500,00 = 100,00 
𝑖 = (
100,00
1.500,00 × 45) × 100 
𝑖 = 0,148148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
0,148148% ao dia = 4,44444% ao mês 
 
 
 
15. 
𝑉𝐹 = 1.250,00 × (1 + 0,0135)8 
VF = 1.391,55 
 
16. 
Valor da dívida depois de dois meses 
𝑉𝐹 = 1.500,00 × (1 + 0,02)2 
VF = 1.560,60 
 
Saldo devedor após o pagamento de R$ 1.000,00 
SD: 1.560,60 – 1.000,00 = 560,60 
𝑉𝐹 = 560,60 × (1 + 0,02)1 
VF = 571,81 
 
17. 
𝑉𝐹 = 3.200,00 × (1 + 0,015)27 
VF = 4.783,36 
 
image24.emf
13. 
𝑖 = (
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑛) × 100 
𝑖 = (
20.000,00
10.000,00 × 4) × 100 
𝑖 = 50% 
 
14. 
preço a vista = 2.500,00 
entrada: 2.500,00 × 0,40 = 1.000,00 
valor financiado: 2.500,00 – 1.000,00 = 1.500,00 
juros: 1.600,00 – 1.500,00 = 100,00 
𝑖 = (
100,00
1.500,00 × 45) × 100 
𝑖 = 0,148148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
0,148148% ao dia = 4,44444% ao mês 
 
 
 
15. 
𝑉𝐹 = 1.250,00 × (1 + 0,0135)8 
VF = 1.391,55 
 
16. 
Valor da dívida depois de dois meses 
𝑉𝐹 = 1.500,00 × (1 + 0,02)2 
VF = 1.560,60 
 
Saldo devedor após o pagamento de R$ 1.000,00 
SD: 1.560,60 – 1.000,00 = 560,60 
𝑉𝐹 = 560,60 × (1 + 0,02)1 
VF = 571,81 
 
17. 
𝑉𝐹 = 3.200,00 × (1 + 0,015)27 
VF = 4.783,36 
 
image25.emf
13. 
𝑖 = (
𝐽
𝑉𝑃 × 𝑛) × 100 
𝑖 = (
20.000,00
10.000,00 × 4) × 100 
𝑖 = 50% 
 
14. 
preço a vista = 2.500,00 
entrada: 2.500,00 × 0,40 = 1.000,00 
valor financiado: 2.500,00 – 1.000,00 = 1.500,00 
juros: 1.600,00 – 1.500,00 = 100,00 
𝑖 = (
100,00
1.500,00 × 45) × 100 
𝑖 = 0,148148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
0,148148% ao dia = 4,44444% ao mês 
 
 
 
15. 
𝑉𝐹 = 1.250,00 × (1 + 0,0135)8 
VF = 1.391,55 
 
16. 
Valor da dívida depois de dois meses 
𝑉𝐹 = 1.500,00 × (1 + 0,02)2 
VF = 1.560,60Saldo devedor após o pagamento de R$ 1.000,00 
SD: 1.560,60 – 1.000,00 = 560,60 
𝑉𝐹 = 560,60 × (1 + 0,02)1 
VF = 571,81 
 
17. 
𝑉𝐹 = 3.200,00 × (1 + 0,015)27 
VF = 4.783,36 
 
image26.emf
18. 
𝑖 = [(
2.872,20
2.500,00)
1
8
− 1] × 100 
i = 1,75% ao mês 
 
19. a. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)36 
VF = 39.019,03 
 
19. b. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)9 
VF = 11.888,76 
 
19. c. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,145)10 
VF = 30.984,53 
 
20. 
𝐽 = 𝑉𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
𝐽 = 1.600,00 × [(1 + 0,0116)7 − 1] 
J = 134,53 
 
21. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
15.000,00
(1 + 0,015)9 
VP = 13.118,88 
 
22. 
𝑖 = [(
18.000,00
12.600,00)
1
6
− 1] × 100 
i = 6,1248% ao mês 
 
23. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 +
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
image27.emf
18. 
𝑖 = [(
2.872,20
2.500,00)
1
8
− 1] × 100 
i = 1,75% ao mês 
 
19. a. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)36 
VF = 39.019,03 
 
19. b. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)9 
VF = 11.888,76 
 
19. c. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,145)10 
VF = 30.984,53 
 
20. 
𝐽 = 𝑉𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
𝐽 = 1.600,00 × [(1 + 0,0116)7 − 1] 
J = 134,53 
 
21. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
15.000,00
(1 + 0,015)9 
VP = 13.118,88 
 
22. 
𝑖 = [(
18.000,00
12.600,00)
1
6
− 1] × 100 
i = 6,1248% ao mês 
 
23. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 +
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
image28.emf
18. 
𝑖 = [(
2.872,20
2.500,00)
1
8
− 1] × 100 
i = 1,75% ao mês 
 
19. a. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)36 
VF = 39.019,03 
 
19. b. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)9 
VF = 11.888,76 
 
19. c. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,145)10 
VF = 30.984,53 
 
20. 
𝐽 = 𝑉𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
𝐽 = 1.600,00 × [(1 + 0,0116)7 − 1] 
J = 134,53 
 
21. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
15.000,00
(1 + 0,015)9 
VP = 13.118,88 
 
22. 
𝑖 = [(
18.000,00
12.600,00)
1
6
− 1] × 100 
i = 6,1248% ao mês 
 
23. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 +
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
image29.emf
18. 
𝑖 = [(
2.872,20
2.500,00)
1
8
− 1] × 100 
i = 1,75% ao mês 
 
19. a. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)36 
VF = 39.019,03 
 
19. b. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)9 
VF = 11.888,76 
 
19. c. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,145)10 
VF = 30.984,53 
 
20. 
𝐽 = 𝑉𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
𝐽 = 1.600,00 × [(1 + 0,0116)7 − 1] 
J = 134,53 
 
21. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
15.000,00
(1 + 0,015)9 
VP = 13.118,88 
 
22. 
𝑖 = [(
18.000,00
12.600,00)
1
6
− 1] × 100 
i = 6,1248% ao mês 
 
23. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 +
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
image30.emf
18. 
𝑖 = [(
2.872,20
2.500,00)
1
8
− 1] × 100 
i = 1,75% ao mês 
 
19. a. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)36 
VF = 39.019,03 
 
19. b. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,045)9 
VF = 11.888,76 
 
19. c. 
𝑉𝐹 = 8.000,00 × (1 + 0,145)10 
VF = 30.984,53 
 
20. 
𝐽 = 𝑉𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
𝐽 = 1.600,00 × [(1 + 0,0116)7 − 1] 
J = 134,53 
 
21. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
𝑉𝑃 =
15.000,00
(1 + 0,015)9 
VP = 13.118,88 
 
22. 
𝑖 = [(
18.000,00
12.600,00)
1
6
− 1] × 100 
i = 6,1248% ao mês 
 
23. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 +
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛 
image31.emf
𝑉𝑃 =
5.400,00
(1 + 0,019)8 +
12.000,00
(1 + 0,019)10 
VP = 4.645,16 + 9.941,21 
VP = 14.586,37 
 
24. 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 
 
36.914,19
32.000,00 = (1 + 0,012)𝑛 
1,153568 = 1,012𝑛 
 
log 0,0620432 = 𝑛 × log 0,0051805 
𝑛 = 
0,0620432
0,0051805 
 n = 12 
 
25. 
a. pagamento à vista = 11.000,00 
b. valor presente do pagamento parcelado 
𝑉𝑃 = 3.000,00 +
4.000,00
(1 + 0,017)2 +
4.200,00
(1 + 0,017)3 
 VP = 3.000,00 + 3.867,39 + 3.992,88 
 VP = 10.860,27 
 
 
 
 
 
26. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,09)
5
12 − 1] × 100 
i5meses = 3,6560% 
𝑉𝐹 = 5.000,00 × (1 + 0,036560)1 
VF = 5.182,80 
 
image32.emf
𝑉𝑃 =
5.400,00
(1 + 0,019)8 +
12.000,00
(1 + 0,019)10 
VP = 4.645,16 + 9.941,21 
VP = 14.586,37 
 
24. 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 
 
36.914,19
32.000,00 = (1 + 0,012)𝑛 
1,153568 = 1,012𝑛 
 
log 0,0620432 = 𝑛 × log 0,0051805 
𝑛 = 
0,0620432
0,0051805 
 n = 12 
 
25. 
a. pagamento à vista = 11.000,00 
b. valor presente do pagamento parcelado 
𝑉𝑃 = 3.000,00 +
4.000,00
(1 + 0,017)2 +
4.200,00
(1 + 0,017)3 
 VP = 3.000,00 + 3.867,39 + 3.992,88 
 VP = 10.860,27 
 
 
 
 
 
26. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,09)
5
12 − 1] × 100 
i5meses = 3,6560% 
𝑉𝐹 = 5.000,00 × (1 + 0,036560)1 
VF = 5.182,80 
 
image33.emf
𝑉𝑃 =
5.400,00
(1 + 0,019)8 +
12.000,00
(1 + 0,019)10 
VP = 4.645,16 + 9.941,21 
VP = 14.586,37 
 
24. 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 
 
36.914,19
32.000,00 = (1 + 0,012)𝑛 
1,153568 = 1,012𝑛 
 
log 0,0620432 = 𝑛 × log 0,0051805 
𝑛 = 
0,0620432
0,0051805 
 n = 12 
 
25. 
a. pagamento à vista = 11.000,00 
b. valor presente do pagamento parcelado 
𝑉𝑃 = 3.000,00 +
4.000,00
(1 + 0,017)2 +
4.200,00
(1 + 0,017)3 
 VP = 3.000,00 + 3.867,39 + 3.992,88 
 VP = 10.860,27 
 
 
 
 
 
26. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,09)
5
12 − 1] × 100 
i5meses = 3,6560% 
𝑉𝐹 = 5.000,00 × (1 + 0,036560)1 
VF = 5.182,80 
 
image34.emf
𝑉𝑃 =
5.400,00
(1 + 0,019)8 +
12.000,00
(1 + 0,019)10 
VP = 4.645,16 + 9.941,21 
VP = 14.586,37 
 
24. 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 = (1 + 𝑖)𝑛 
 
36.914,19
32.000,00 = (1 + 0,012)𝑛 
1,153568 = 1,012𝑛 
 
log 0,0620432 = 𝑛 × log 0,0051805 
𝑛 = 
0,0620432
0,0051805 
 n = 12 
 
25. 
a. pagamento à vista = 11.000,00 
b. valor presente do pagamento parcelado 
𝑉𝑃 = 3.000,00 +
4.000,00
(1 + 0,017)2 +
4.200,00
(1 + 0,017)3 
 VP = 3.000,00 + 3.867,39 + 3.992,88 
 VP = 10.860,27 
 
 
 
 
 
26. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,09)
5
12 − 1] × 100 
i5meses = 3,6560% 
𝑉𝐹 = 5.000,00 × (1 + 0,036560)1 
VF = 5.182,80 
 
image35.emf
27. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,12)
4
12 − 1] × 100 
I4meses = 3,8499% 
𝑉𝐹4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.000,00 × (1 + 0,038499)1 
VF4meses = 12.461,99 
 
𝑉𝐹2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.461,99 × (1 + 0,04)2 
VF2meses = 13.478,89 
 
28. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,16)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,2445% 
 
29. 
𝑖𝑠 = [(1 + 0,02)
6
1 − 1] × 100 
is = 12,6162% 
 
30. a. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,15)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,1715% 
30. b. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,0003)
30
1 − 1] × 100 
im = 0,9039% 
30. c. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,09)
1
3 − 1] × 100 
im = 2,9142% 
 
31. a. 
𝑖18𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,0303)
18
3 − 1] × 100 
image36.emf
27. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,12)
4
12 − 1] × 100 
I4meses = 3,8499% 
𝑉𝐹4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.000,00 × (1 + 0,038499)1 
VF4meses = 12.461,99 
 
𝑉𝐹2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.461,99 × (1 + 0,04)2 
VF2meses = 13.478,89 
 
28. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,16)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,2445% 
 
29. 
𝑖𝑠 = [(1 + 0,02)
6
1 − 1] × 100 
is = 12,6162% 
 
30. a. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,15)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,1715% 
30. b. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,0003)
30
1 − 1] × 100 
im = 0,9039% 
30. c.𝑖𝑚 = [(1 + 0,09)
1
3 − 1] × 100 
im = 2,9142% 
 
31. a. 
𝑖18𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,0303)
18
3 − 1] × 100 
image37.emf
27. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,12)
4
12 − 1] × 100 
I4meses = 3,8499% 
𝑉𝐹4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.000,00 × (1 + 0,038499)1 
VF4meses = 12.461,99 
 
𝑉𝐹2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.461,99 × (1 + 0,04)2 
VF2meses = 13.478,89 
 
28. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,16)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,2445% 
 
29. 
𝑖𝑠 = [(1 + 0,02)
6
1 − 1] × 100 
is = 12,6162% 
 
30. a. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,15)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,1715% 
30. b. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,0003)
30
1 − 1] × 100 
im = 0,9039% 
30. c. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,09)
1
3 − 1] × 100 
im = 2,9142% 
 
31. a. 
𝑖18𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,0303)
18
3 − 1] × 100 
image38.emf
27. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,12)
4
12 − 1] × 100 
I4meses = 3,8499% 
𝑉𝐹4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.000,00 × (1 + 0,038499)1 
VF4meses = 12.461,99 
 
𝑉𝐹2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.461,99 × (1 + 0,04)2 
VF2meses = 13.478,89 
 
28. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,16)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,2445% 
 
29. 
𝑖𝑠 = [(1 + 0,02)
6
1 − 1] × 100 
is = 12,6162% 
 
30. a. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,15)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,1715% 
30. b. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,0003)
30
1 − 1] × 100 
im = 0,9039% 
30. c. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,09)
1
3 − 1] × 100 
im = 2,9142% 
 
31. a. 
𝑖18𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,0303)
18
3 − 1] × 100 
image39.emf
27. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,12)
4
12 − 1] × 100 
I4meses = 3,8499% 
𝑉𝐹4𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.000,00 × (1 + 0,038499)1 
VF4meses = 12.461,99 
 
𝑉𝐹2𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12.461,99 × (1 + 0,04)2 
VF2meses = 13.478,89 
 
28. 
𝑖𝑞 = [(1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,16)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,2445% 
 
29. 
𝑖𝑠 = [(1 + 0,02)
6
1 − 1] × 100 
is = 12,6162% 
 
30. a. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,15)
1
12 − 1] × 100 
im = 1,1715% 
30. b. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,0003)
30
1 − 1] × 100 
im = 0,9039% 
30. c. 
𝑖𝑚 = [(1 + 0,09)
1
3 − 1] × 100 
im = 2,9142% 
 
31. a. 
𝑖18𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = [(1 + 0,0303)
18
3 − 1] × 100 
image40.emf
i18 = 19,6141% → são equivalentes 
 
 
 
31. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,0275)
3
2 − 1] × 100 
it = 4,15% → não são equivalentes 
31. c. 
𝑖𝑞 = [(1 + 0,1875)
4
12 − 1] × 100 
iq = 5,8955% → são equivalentes 
 
32. a. 
𝑖2 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜 = [(1 + 0,14)
2,5
12 − 1] × 100 
i2 anos e meio = 2,7674% 
32. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,14)
1
4 − 1] × 100 
 
image41.emf
i18 = 19,6141% → são equivalentes 
 
 
 
31. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,0275)
3
2 − 1] × 100 
it = 4,15% → não são equivalentes 
31. c. 
𝑖𝑞 = [(1 + 0,1875)
4
12 − 1] × 100 
iq = 5,8955% → são equivalentes 
 
32. a. 
𝑖2 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜 = [(1 + 0,14)
2,5
12 − 1] × 100 
i2 anos e meio = 2,7674% 
32. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,14)
1
4 − 1] × 100 
 
image42.emf
i18 = 19,6141% → são equivalentes 
 
 
 
31. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,0275)
3
2 − 1] × 100 
it = 4,15% → não são equivalentes 
31. c. 
𝑖𝑞 = [(1 + 0,1875)
4
12 − 1] × 100 
iq = 5,8955% → são equivalentes 
 
32. a. 
𝑖2 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜 = [(1 + 0,14)
2,5
12 − 1] × 100 
i2 anos e meio = 2,7674% 
32. b. 
𝑖𝑡 = [(1 + 0,14)
1
4 − 1] × 100