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LISTA DE EXERCÍCIOS – SEÇÃO 2 
Questão 1. O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse 
tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; (c) a máxima tensão de cisalhamento e 
(d) as direções principais. 
𝜎𝑖𝑗 = [
2 1 −4
1 4 0
−4 0 1
] 
 
Respostas: 
(a) 𝐼1 = 7,0 MPa; 𝐼2 = −3,0 MPa; e 𝐼3 = −57,0 MPa; 
(b) 𝜎1 = 5,84 MPa; 𝜎2 = 3,75 MPa; e 𝜎3 = −2,60 MPa; 
(c) 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 4,22 MPa; 
(d) �̂�1 = [−0,711 −0,396 0,587]𝑇; �̂�2 = [−0,226 0,917 0,328]𝑇; �̂�3 = [0,665 −0,100 0,740]𝑇 
Questão 2. O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse 
tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; (c) a máxima tensão de cisalhamento e 
(d) as direções principais. 
𝜎𝑖𝑗 = [
4 1 0
1 −6 2
0 2 1
] 
Respostas: 
(a) 𝐼1 = −1,0 MPa; 𝐼2 = −31,0 MPa; e 𝐼3 = −41,0 MPa; 
(b) 𝜎1 = 4,11 MPa; 𝜎2 = 1,51 MPa; e 𝜎3 = −6,62 MPa; 
(c) 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 5,37 MPa; 
(d) �̂�1 = [−0,99 −0,112 −0,072]𝑇; �̂�2 = [−0,098 0,244 0,964]𝑇; �̂�3 = [−0,091 0,963 −0,25]𝑇 
 
Questão 3. A viga de madeira está submetida a uma carga de 12 kN. Sabendo que os veios da madeira no ponto 
A formam um ângulo de 25° com a horizontal, conforme indicado, determine as tensões normal e cisalhante 
atuantes perpendicularmente aos veios devido à carga aplicada. 
 
Respostas: 𝜎1 = 2,29 MPa, 𝜎2 = −7,20 kPa e 𝜃𝑝 = −3,21° 
Questão 4. Para a viga mostrada, submetida internamente às forças e momentos indicados, determine as tensões 
principais e a tensão cisalhante máxima nos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
Respostas: 
Ponto A: 𝜎1 = 0, 𝜎2 = −36,6 MPa e 𝜏max = 18,30 MPa 
Ponto B: 𝜎1 = 16,6 MPa, 𝜎2 = 0 e 𝜏max = 8,30 MPa 
Ponto C: 𝜎1 = 14,2 MPa, 𝜎2 = −8,02 e 𝜏max = 11,1 MPa 
Questão 5. O tubo de perfuração mostrado a seguir possui um diâmetro externo de 75 mm, uma espessura de 
parede de 6 mm e um peso de 0,8 kN/m. Sabendo que este tudo está sendo submetido a um torque e a uma carga 
axial conforme indicado, determine: (a) a tensão principal; (b) a tensão cisalhante máxima no plano em um 
ponto de sua superfície na seção 𝑎. 
 
Respostas: 𝜎1 = 24,5 MPa, 𝜎2 = −34,0 MPa e 𝜏max = 29,2 MPa 
 
 
 
Questão 6. A viga mostrada a seguir é solicitada por um carregamento triangular distribuído. Para essa viga, 
determine as tensões e direções principais no ponto A, localizado na parte superior da alma. 
 
Respostas: 𝜎1 = 64,9 MPa, 𝜎2 = −5,15 MPa e 𝜃𝑝 = 15,74° 
Questão 7. Um tubo de papel é formado ao enrolar uma tira de papelão em espiral e colar as bordas, conforme 
ilustrado. Determine a tensão cisalhante atuante na emenda, que está inclinada a 50° em relação à horizontal, 
quando o tubo é submetido a uma força axial de compressão de 200 N. O papel possui 2 mm de espessura e o 
tubo tem um diâmetro externo de 100 mm. 
 
Resposta: 𝜏𝑥𝑦 = 160 kPa 
Questão 8. O eixo maciço a seguir está submetido a um torque, um momento fletor e uma força cortante, 
conforme indicado. Determine as tensões principais atuantes nos pontos A e B. 
 
Respostas: 𝜎1 = 5,50 MPa e 𝜎2 = −0,611 MPa 
 
 
 
Questão 9. A estrutura mostrada a seguir é responsável por suportar a carga distribuída triangular indicada. 
Determine as tensões normal e cisalhante no ponto D que atuam perpendicular e paralelamente aos veios da 
madeira, respectivamente. Os veios nesse ponto formam um ângulo de 35° com a horizontal, conforme 
mostrado. 
 
Respostas: 𝜎𝑥 = 75,3 kPa e 𝜏𝑥𝑦 = −78,5 kPa. 
Questão 10. O reservatório cilíndrico de pressão possui raio interno de 1,25 m e espessura de parede de 15 mm. 
Ele é fabricado a partir de chapas de aço soldadas ao longo de uma emenda inclinada a 45°. Determine as 
componentes de tensão normal e de cisalhamento atuantes ao longo dessa emenda quando o reservatório é 
submetido a uma pressão interna de 8 MPa. 
 
Respostas: 𝜎𝑥 = 500 MPa e 𝜏𝑥𝑦 = −167 MPa. 
Questão 11. O eixo maciço mostrado a seguir é solicitado por um momento torçor, um momento fletor e uma 
força cortante. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima nos pontos A e B. 
 
 
 
 
Respostas: 
Ponto A: 𝜎1 = 5,50 MPa, 𝜎2 = −0,611 MPa e 𝜏max = 3,06 MPa 
Ponto B: 𝜎1 = 1,29 MPa, 𝜎2 = −1,29 MPa e 𝜏max = 1,29 MPa