7 Equacoes do Movimento

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Dinâmica de 
Sistemas Multicorpo
Equações do Movimento
Equações do Movimento
As equações do movimento são desenvolvidas com base na 
2ª lei de Newton, a qual diz que a força resultante exercida 
num determinado corpo, produz neste uma aceleração que 
atua na mesma direção e no mesmo sentido daquela força.
f3f2
f1
fr
m
CG
≡
m
CG
a
rf f ma= =
Esta formulação, relativa à 
2ª lei de Newton, pode ser 
escrita da seguinte forma 
O movimento dos corpos pode também ser estudado 
como um problema de equilíbrio dinâmico, usando o 
princípio de d’Alembert, o qual pode ser escrito como
em que o termo ma representa a força de inércia, que é, 
na verdade, uma força fictícia. 
O princípio de d’Alembert diz que é nula a soma de todas as forças (aplicadas e de inércia) 
que atuam num determinado corpo.
Equações do Movimento
0f ma− =
A formulação desenvolvida por d’Alembert é equivalente 
à 2ª lei de Newton, uma vez que considera a força de 
inércia como uma força aplicada.
A 2ª lei de Newton é materializada por uma equação 
diferencial ordinária de segunda ordem, que pode ser 
expressa do seguinte modo .
Uma equação diferencial ordinária é uma relação entre uma função e as suas derivadas.
Equações do Movimento
f xm=
A formulação de Newton, f=ma, foi inicialmente aplicada 
ao estudo do movimento de pontos materiais, e não de 
corpos rígidos. Estes últimos têm orientação ou rotação.
Newton pretendia estudar os corpos celestes e saber 
porque é que os planetas se moviam como moviam.
Newton chamava aos planetas esferas pesadas, sendo, por isso modelados como pontos 
materiais. Esta abordagem é aceitável e válida face às distâncias que separam os planetas.
Equações do Movimento
Euler estendeu a 2ª lei de Newton para o movimento de 
corpos rígidos finitos, estabelecendo que o momento
resultante que atua num corpo rígido é igual à variação 
temporal da quantidade de movimento angular, isto é
em que t representa o momento resultante, JCG denota o 
momento mássico de inércia do corpo em relação ao seu 
centro de gravidade e a é a aceleração angular do corpo.
Equações do Movimento
CG CGJ Jt  t a=  =
Euler introduziu o conceito de corpo rígido, que pode ser 
entendido como uma coleção de pontos materiais. Assim, 
é necessário definir a orientação dos corpos na análise do 
seu movimento.
Equações do Movimento
No espaço 2D, um corpo 
rígido fica completamente 
localizado pela posição e 
orientação, ou seja, x, y e q.
q
x
y
m, JCG y
x
As equações do movimento de translação e de rotação
de um corpo rígido, também chamadas equações de 
Newton-Euler, podem ser escritas da seguinte forma
Equações do Movimento
xf mx=
yf my=
CG CGJt q=
A análise dinâmica permite prever o movimento causado 
por forças externas aplicadas, ou vice-versa, conforme 
se trate de uma análise dinâmica direta ou inversa. 
A dinâmica direta diz respeito à previsão do movimento 
(acelerações), que resulta da aplicação de forças.
A dinâmica inversa diz respeito à determinação de ações
que dão origem a um dado movimento (acelerações).
Equações do Movimento
A figura do lado refere-se um corpo 
de 10 kg de massa, ao qual se 
aplica uma força de 100 N no 
centro de gravidade.
Equações do Movimento
f
m
CG
a
f = 100 N
m = 10 kg
a = ?
Sendo um problema de dinâmica direta, o movimento que 
resulta daquela ação pode ser definido do seguinte modo
2100
10 m/s .
10
f
f ma a
m
=  = = =
A figura do lado refere-se ao cálculo 
das reações articulares da anca de 
uma coxa, conhecido o movimento,
Equações do Movimento
200 250
m = 4,8 kg JCG = 1 kg·m2
50 N
20 N10 N·m
2 m/s2
4 m/s2
3 rad/s2
1
5
0
1
0
0
fy
fxt
x
y
fg
20 4,8 2
10,4 N.x
x xxf a fm
f
=  + = 
 = −

4,8 9,81 50 4,8 4
16,29 N.y
y yyf f
f
ma=  −  + = 
 =

CG CG 20 0,15 50 0,25 10,4 0,1 16,29 0,2 10 1 3
6,28 N m.
J
t
t a t=   +  +  −  − + = − 
 = − 

O que vimos neste vídeo?
✓ Equações do movimento de translação ou de Newton,
✓ Equações do movimento de rotação ou de Euler,
✓ Análise dinâmica direta,
✓ Análise dinâmica inversa.
Equações do Movimento
Sugestões de leitura complementar.
Equações do Movimento
Equações do Movimento
Paulo Flores
Universidade do Minho
Departamento de Engenharia Mecânica
Campus de Azurém 4804-533 Guimarães – Portugal 
Email: pflores@dem.uminho.pt 
Referências Bibliográficas
Flores, P. (2012) Análise Cinemática e Dinâmica de Mecanismos - Exercícios resolvidos e propostos. Publindústria, Porto.
Flores, P. (2015) Concepts and Formulations for Spatial Multibody Dynamics. Springer International Publishing.
Flores, P., Lankarani, H.M. (2016) Contact Force Models for Multibody Dynamics. Springer International Publishing.
Flores, P., Marques, F. (2017) Sobre a Dinâmica do Carro – Teoria e Aplicação. Publindústria, Porto.
Marques, F., Flores, P. (2021) Da Dinâmica de Sistemas Multicorpo. Quântica Editora, Porto.
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