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ESTRUTURAS 
DE CONCRETO 
ARMADO II
PROF. JOÃO HENRIQUE DE FREITAS
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
05
17
32
49
62
74
90
101
111
123
132
142
147
156
166
RESERVATÓRIO
ESCADA
ELEMENTO DE FUNDAÇÃO: SAPATA
BLOCOS
ELEMENTO DE FUNDAÇÃO: ESTACA
MUROS DE CONTENÇÕES
FISSURAÇÃO E DEFORMAÇÕES
INTRODUÇÃO AO CONCRETO PROTENDIDO
INTRODUÇÃO AO SISTEMAS DE PROTENSÃO
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E ESTADOS 
LIMITES DE SERVIÇO PARA O CONCRETO 
PROTENDIDO
PERDAS DE PROTENSÃO
POSICIONAMENTO DOS CABOS AO LONGO DA 
ESTRUTURA
FORÇA CORTANTE
SOLICITAÇÕES NORMAIS
TENSÕES DE CISALHAMENTO
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INTRODUÇÃO
Este livro apresenta um esquema prático profissional para o dimensionamento e 
entendimento dos conceitos de concreto, relacionados ao estudo sobre: reservatório, 
escada, elementos de fundação, deformação e fissuração, além de apresentar o 
concreto protendido.
Podemos entender como objetivos a antecipação do aluno recém-formado a 
condições práticas, para que possa aplicar sua teoria com segurança e tranquilidade.
O desenvolvimento de uma linha de raciocínio frente a verificação de seus cálculos 
para as diversas solicitações da estrutura, desde a fase de lançamento das cargas 
até o detalhamento e desenho final das armaduras. 
O livro busca tratar os assuntos de forma direta, procurou sintetizá-lo sem perder as 
funções de suas aplicações, sempre buscando as melhores referências e as normas 
técnicas. 
O conhecimento sobre reservatório e escada pode ser encontrado no capítulo I e 
II, apresentadas em sequência. 
Os elementos de fundação estão presentes nos capítulos III, IV, I e VI, sendo de grande 
importância o estudante compreender esses capítulos como um tópico associado, 
pois todos eles pertencem a infraestrutura. 
No capítulo VII temos o estudo e interpretação do comportamento de fissuras e 
deformação no concreto armado. 
Nos capítulos VIII ao VX temos os conceitos de concreto protendido.
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AULA 1
RESERVATÓRIO
Os reservatórios usuais para abastecimento são compostos por um conjunto de 
placas ou lajes, podendo ter uma ou mais células. Podemos entender que as células 
são as subdivisões internas do reservatório. O reservatório tem como carregamento 
o peso próprio de cada elemento constituinte, sendo eles tampa, parede, fundo. O 
modelo inicial de um reservatório que vamos estudar está presente na figura 1.
Figura 1: Modelo de reservatório
Fonte: elaborado pelo autor.
O dimensionamento e detalhamento do reservatório necessita do entendimento 
de algumas condições, ou seja, a forma que o reservatório estará interagindo com o 
nível do solo, sendo elas:
• Reservatório enterrado;
• Reservatório semi-enterrado;
• Reservatório elevado.
Segundo Resmin (2017) os reservatórios possuem a capacidade de assumir 
diferentes formas, além de assumir diferentes tamanhos, sendo os mais convencionais 
com seções em planta: retangular, quadrado e circular. O espaço disponível para 
sua construção é um dos fatores que implica na escolha de sua geometria, além 
do custo e razões arquitetônicas. Do ponto de vista prático, Hanai (1981) destaca 
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que independentemente da sua geometria o reservatório deve apresentar garantia 
de estanqueidade, sem possibilidade de contaminação, com adequada ventilação e 
proteção contra a luz solar.
A partir disso, é definido qual tipo de reservatório oferecerá melhor custo benefício para 
o projeto, elevados, apoiados ou enterrados, como verificado na figura 2. O reservatório 
apresentado na figura 2.a é apoiado sobre estrutura composta por pilares, baldrame 
e blocos sobre estacas. Esse tipo é utilizado em indústrias, centros comerciais ou em 
situações onde sejam necessárias a atuação de pressão hidráulica suficiente para 
suprir aparelhos hidráulicos ou equipamentos.
Na figura 2.c, destaca-se um reservatório enterrado, o qual é adotado em edifícios, 
quando a pressão disponível na rede de distribuição pública no logradouro não é 
suficiente para elevar a água para o reservatório superior. Com isso, reserva-se 
água nesse reservatório, com recalque feito através de bombas hidráulicas. Esses 
reservatórios geralmente não estão ligados à estrutura do edifício; são também 
compostos por duas células. 
Na figura 2.b destaca-se o reservatório menos comum, em concreto armado, por 
ser apoiado ou parcialmente enterrado, este reservatório necessita de área disponível, 
podendo, assim, não ser agradável para a arquitetura do local. Este tipo é mais 
comumente utilizado para o abastecimento público e industrial.
Figura 2: Tipos de reservatórios 
Fonte: elaborado pelo autor.
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Segundo a NBR 5626 (1998) em seu item 5.2.4.8 os reservatórios para água potável 
não devem ser apoiados diretamente no solo ou quando enterrados, não devem ter 
contato direto com o solo, evita-se, assim, a contaminação proveniente do solo. Em 
casos em que é impossível atender tal exigência, procura-se executá-los dentro de 
um compartimento com distância entre as faces externas e as faces internas do 
reservatórios deve estar a 60cm do compartimento.
Geralmente os reservatórios se apoiam nos pilares do edifício, ou quando estão no 
nível do terreno apoiam-se em vigas baldrames. Uma vez definido o volume de água 
a ser reservado no reservatório e considerando a folga necessária para instalação 
de bóias e da tubulação de descarga de segurança, determinam-se as dimensões do 
reservatório, limitando-se usualmente sua altura a cerca de 2 metros a 2,5 metros 
(VASCONCELOS, 1998).
É importante destacar que a altura desses reservatórios não deve ultrapassar 3 
m, evitando esforços exagerados nas lajes de fundo. Quando a altura do reservatório 
ultrapassa 3 m é necessário realizar análises por meio de modelos numéricos (elementos 
finitos), obtendo, assim, uma melhor interpretação do comportamento do reservatório. 
A figura 3 destaca a altura que projetamos nosso reservatório.
Figura 3: Modelo de reservatório. 
Fonte: elaborado pelo autor.
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Para Souza e Cunha (1994), as caixas d’água usuais de edifícios são, em geral, de 
pequena capacidade, aproximadamente, 100 m³, para o volume de 500 m³ podemos 
classificar como de médio porte, para volume superiores a 500 m³ podemos dizer que se 
trata de um reservatório de grande dimensão. Quanto à sua subdivisão interna, ou seja, 
divisão em células que, por sua vez, trata-se de colocação de paredes intermediárias 
de modo a reduzir as dimensões das lajes que as compõem. 
Como mencionado anteriormente é indicado que o reservatório tenha mais de uma 
célula,ser levado em consideração 
para o projeto de fundações profundas por estacas é a carga admissível, bem como 
a consideração do fator de segurança global e valores característicos, ou a força 
resistente de cálculo, quando for feito considerando coeficientes de ponderação e 
valores de cálculo. 
Essas cargas e tensões devem satisfazer simultaneamente aos estados limites 
últimos (ELU) e de serviço (ELS), para cada elemento de fundação isolado, bem como 
para o conjunto.
Devemos compreender que o projeto de fundações consta de memorial de cálculo 
e dos respectivos desenhos executivos, com as informações técnicas suficientes para 
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o entendimento e execução da obra. Vale destacar que a elaboração do memorial de 
cálculo é obrigatória, devendo estar disponível quando solicitado.
Segundo a 6122/2019 temos que considerar os seguintes fatores para a determinação 
da carga admissível ou da força resistente de cálculo, são eles:
• características geomecânicas do subsolo;
• profundidade da ponta ou base da fundação;
• dimensões e forma dos elementos de fundação;
• posição do nível d’água;
• eventual alteração das características dos solos (expansivos, colapsíveis etc.) 
devido a agentes externos (encharcamento, contaminação, agressividade etc.);
• alívio de tensões;
• eventual ocorrência de solicitações adicionais como atrito negativo e esforços 
horizontais devidos a carregamentos assimétricos;
• características ou peculiaridades da obra;
• sobrecargas externas;
• inclinação da carga;
• inclinação do terreno;
• estratigrafia do terreno;
• recalques.
A NBR 6122 (2019) Destaca que a determinação da carga admissível ou força 
resistente de cálculo a partir do estado limite de serviço (ELS) pode ser realizada 
por meio de prova de carga ou por método teórico, podendo utilizar o método semi 
empírico, porém as propriedades do solo obtidas em ensaios de laboratório, in loco 
ou por meio de correlações, deve levar em consideração as modificações nessas 
propriedades causadas pela interação solo elemento de fundação. 
Outro fator a ser considerado é sobre o efeito de grupo, que segundo a NBR 6122 
(2019), define-se como efeito de grupo de estacas como o processo de várias estacas 
que interagem e constituem uma fundação, ao transmitirem ao solo as cargas que 
são aplicadas ao elemento bloco e na sequência a elas. Esta interação acarreta uma 
superposição de tensões, de tal forma que o recalque do grupo resulta, em geral, 
diferente do valor do recalque de uma estaca isolada . A carga admissível ou força 
resistente de cálculo de um grupo de estacas ou tubulões não pode ser superior à 
de uma sapata hipotética definida da seguinte forma: Sapata teria contorno igual ao 
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do grupo e estaria apoiada em uma cota superior à da ponta das fundações, sendo 
a diferença de cotas igual a 1/3 do comprimento de penetração das fundações na 
camada de suporte.
Vale destacar que tais considerações não são válidas para blocos apoiados em 
fundações profundas com elementos inclinados. 
Umas vez alcançadas as condições, deve-se verificar o espaçamento mínimo entre 
os elementos de fundação considerando a forma de transferência de carga ao solo 
e o efeito do processo executivo nos elementos adjacentes. 
Devem ser feitos o cálculo e a verificação de recalques, ainda mais quando existir 
uma camada mais compressível abaixo da camada onde se apoiam as pontas das 
estacas ou as bases dos tubulões.
5.1 Título 2 ( Dimensionamento estrutural)
Vamos neste item discutir alguns pontos que o projetista tem que levar em 
consideração em seu dimensionamento.
As estacas executadas em solos sujeitos à erosão, ou em solos muito moles ou 
que tiverem sua cota de arrasamento acima do nível do terreno, devem ser verificadas 
segundo os efeitos de segunda ordem. 
As estacas têm que respeitar o cobrimento da armadura, seguindo o critério da à 
ABNT NBR 6118/2014 em função da classe de agressividade do meio. 
Nas estacas sujeitas a tração ou flexão o projetista deve ter atenção a respeito da 
fissuração de forma a atender à ABNT NBR 6118. Recomenda-se de forma simplificada 
dimensionar as barras longitudinais considerando uma redução de 2 mm no diâmetro 
das barras, como espessura de sacrifício. 
No caso de estacas pré-moldadas deve ser atendida a ABNT NBR 16258/2014. As 
estacas metálicas executadas em solos sujeitos a erosão ou expostas ou que tenham 
sua cota de arrasamento acima do nível do terreno devem ser protegidas ou ter sua 
espessura de sacrifício definida em projeto.
Segundo a NBR 6122/2019 às estacas de concreto moldadas in loco quando 
solicitadas a cargas de compressão, com tensões limitadas aos valores da Tabela 1, 
devem ser executadas em concreto não armado, porém deve ter armadura de ligação 
com o bloco. 
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Estacas ou tubulões com solicitações que resultem em tensões superiores às 
indicadas na Tabela 1 devem ser dotados de armadura, que deve ser dimensionada 
de acordo com a ABNT NBR 6118/2014 sem considerar excentricidade de carga. A 
armadura mínima de cisalhamento também deve atender a ABNT NBR 6118/2014 e 
observar os limites da Tabela 1.
Tabela 1: Estacas moldadas in loco: parâmetros para dimensionamento
Fonte: NBR 6122/2019
Como verificado na tabela 1, para a estaca que tiver sendo solicitada apenas a cargas 
de compressão que lhe imponham tensões médias inferiores a 5 MPa, e em alguns 
casos 6 MPa, não haverá necessidade de armá-la, quando o processo executivo exija 
alguma armadura (por exemplo a estaca do tipo Franki). Então vale destacar que para 
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condições onde a tensão média ultrapassar esse valor, a estaca deverá ser armada 
no trecho que essa tensão for superior a 5 MPa, com exceção para escavada com 
fluido, até a profundidade na qual a transferência de carga, por atrito lateral, diminua 
a compressão no concreto para uma tensão média inferior a 5 MPa. 
Vale destacar que a transferência de carga corresponde à parcela de atrito lateral 
(pl) resistida pelo solo ao longo do fuste e calculado pelos métodos de Aoki-Velloso, 
Décourt-Quaresma, ou outros, como já dissemos. O dimensionamento do trecho 
comprimido da estaca com tensão superior a 5 MPa ou de qualquer outro segmento 
da mesma, sujeito a outros esforços (tração, flexão, torção ou cortante), deverá ser 
feito de acordo com o disposto na norma NBR 6118, considerando os valores para 
resistência característica do concreto e os coeficientes de majoração das cargas e 
mineração das resistências indicados pela norma e na NBR 6122 da ABNT. 
5.1.1 Título 3 ( Dimensionamento à compressão)
Para o cálculo estrutural de uma estaca sujeita a compressão com tensão média 
superior ao especificado pela NBR 6122 (2019) é feito a partir das prescrições da NBR 
6118, atendendo-se ao coeficiente mínimo de segurança global igual a 2. 
Se for constatado que a ruptura da estaca não ocorrerá por flambagem, o cálculo 
poderá ser feito conforme indicado na NBR 6118, ou seja, majorando-se a carga de 
compressão na proporção (1 + 6/h) mas não menor que 1,1, onde temos que h, medido 
em centímetros, seja o menor lado do retângulo mais estreito circunscrito à seção da 
estaca. A expressão a adotar será:
Nd = 
0,85.Ac.fcd+As.fyd____________________
(1+6/h)
Em que 
Nd – ação normal de cálculo atuante na estaca 
Ac – Área da seção de concreto fcd= fck/γc
 As - Área da seção de aço fyd= fyk/γs (γs = 1,15 – situações normais)
A armadura mínima a adotar será 0,5%.Ac, em que A é a área da seção transversal 
da estaca. 
No caso de estacas parcialmente enterradas, o comprimento de flambagem pode 
ser obtido adotando-se o modelo de Davisson e Robinson (1963),segundo esses 
autores, a estaca poderá ser substituída por outra equivalente com comprimento total 
(Le), como se mostra esquematicamente na figura 3.
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Figura 3: Obtenção do comprimento de flambagem (Lfe)
Fonte: Urbano (2012)
Conhecido o valor do comprimento de flambagem (), o cálculo é feito de acordo 
com o item 4.1.1.3 da NBR 6118, ou seja, calcula-se o índice de esbeltez dado por:
sendo I o momento de inércia da seção da estaca e A, a área de sua seção transversal. 
Se λ ≤ 40, o cálculo é feito pelo processo simplificado, como já se expôs acima.
Para 40 200.
Para o caso de seções circulares maciças, podem ser usados os ábacos das figuras 
4 a 7, extraídas dos apontamentos de aulas do professor Lobo B. Carneiro.
Figura 4.
Fonte: Urbano (2012).
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Figura 5.
Fonte: Urbano (2012).
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Figura 6.
Fonte: Urbano (2012)
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Figura 7.
Fonte: Urbano (2012).
Exemplo: Verificar se a tensão na estaca é superior a 5 MPa, caso for, calcular 
o trecho que necessitará ser armado. A estaca é maciça com diâmetro de 60 cm, 
sujeita a uma carga de compressão em seu topo de 2.800 kN e com um diagrama 
de transferência de carga para o solo, conforme indicado na figura abaixo.
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Temos as seguintes considerações.
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AULA 6
MUROS DE CONTENÇÕES
Quando temos a presença de solos instáveis aliada com a necessidade de manter 
esse solo na vertical utiliza-se elementos estruturais com a finalidade de conter a 
movimentação do solo, com a função de promover estabilidade de maciços de terra 
contra a ruptura (ANDRADE et al., 2013).
As estruturas de contenção abrangem vários métodos, podendo destacar, muros, 
cortinas ancoradas e solos grampeados. A escolha do melhor tipo de elemento de 
contenção a ser projetado depende do estudo das condições de contorno, aliado a 
viabilidade da execução do projeto (CORREA, 2017).
Os muros podem ser divididos em duas categorias. A primeira é denominada por 
muro de gravidade, ou seja, são elementos com peso próprio muito alto que possuem 
a função de conter desníveis pequenos, garantindo a estabilidade do solo por meio 
de sua inércia. Na segunda categoria temos os muros de concreto armado, como 
mostra a figura 1, que podem ser com ou sem contrafortes e com ou sem ancoragem, 
conhecido como muro de flexão (LUIZ, 2014).
Figura 1: Muro de flexão
Fonte: elaborado pelo autor. 
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Vamos discutir alguns tipos de muro que estão presentes em nosso estudo, 
destacando os muros de flexão
6.1 Título 3 (Sistema de drenagem)
No dimensionamento de muro de arrimo deve-se levar em consideração as forças 
exercidas sobre a estrutura, destacando o acúmulo de água no solo gerado por 
deficiência de drenagem. 
Segundo Gerscovich (2016) o efeito da água pode gerar o efeito direto, que é descrito 
como acúmulo de água junto à superfície do muro em contato com o solo (tardoz 
interno do muro), ou indireto, produzindo uma redução da resistência ao cisalhamento 
do maciço em decorrência do acréscimo das pressões intersticiais. Vamos dar início a 
uma discussão relacionado ao sistema de drenagem, pois trata-se de um dos fatores 
de grande parte dos acidentes envolvendo muros de arrimo.
Para que possamos ter um comportamento adequado de uma estrutura de contenção, 
é necessário a utilização de sistemas eficientes de drenagem. O sistema de drenagem é 
essencial no projeto de um muro de arrimo, a sua execução é apresentada pela norma 
NBR 15645/2008, que direciona o profissional da construção civil a dimensionar uma 
drenagem que não danifique o muro.
Segundo Gerscovich (2016) os sistemas de drenagem podem pertencer a dois 
grupos, sejam superficiais ou internos na camada de solo. Sistemas de drenagem 
superficial devem coletar e conduzir as águas que escorrem na superfície do talude 
em direção ao muro de contenção. Para o dimensionamento correto de um sistema de 
escoamento superficial deve-se considerar a área da região estudada como toda a bacia 
de captação, podemos utilizar dispositivos, como: canaletas transversais, canaletas 
longitudinais de descida (escada), dissipadores de energia, caixas coletoras etc.
O tipo de dispositivo a ser utilizado estará vinculado com a natureza da área 
(ocupação densa, vegetação etc.), das condições geométricas do talude, do tipo de 
material (solo/rocha).
Segundo Gerscovich (2016) a infiltração decorrente da precipitação de chuva pode 
alterar as condições hidrológicas do talude, reduzindo as sucções ou aumentando a 
magnitude das poropressões (Figura 6). 
Gerscovich (2016) destaca a importância da instalação de drenos internos na camada 
de solo, que visa auxiliar no escoamento interno. Tanto a alteração de sucção como 
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para poropressões, tem-se uma redução na tensão efetiva que, por consequência, uma 
redução da resistência ao cisalhamento do material, gerando assim, a instabilidade. 
Podemos destacar que as mudanças nas condições hidrológicas podem ocorrer não 
somente devido à infiltração das águas de chuva, mas por causa de vazamentos em 
tubulações de água ou esgoto.
Segundo Xavier (2011), na intersecção do tardoz com a sapata, ao longo de todo 
o comprimento do muro utiliza-se os barbacãs que possuem diâmetros que podem 
variar de 50 mm a 100 mm, dispostos de 1,5 a 2,0 metros de distância um do outro, 
com a finalidade de coletar a água do dreno.
 A Figura 6 apresenta um sistema de drenagem (superficial e interno). Sempre que 
possível, ligar os barbacãs às instalações de água pluvial.
Figura 6: a) Muro de arrimo com linhas de fluxo de água, interagindo com o sistema de drenagem; b) Muro de arrimo com as especificações.
Fonte: Gerscovich (2016).
6.2 Título 2 (Muros de Flexão)
De acordo com Gomes e Lima (2018) os muros de flexão em sua grande totalidade 
são compostos de concreto armado, pois estão sobre influências de cargas verticais, 
cargas horizontais e momentos. Vamos estudar alguns tipos de muro de flexão, visando 
seu dimensionamento. 
Muros De Concreto Armado Sem Contrafortes:
As estruturas de concreto armado sem contrafortes são esbeltas com seção 
transversal em forma de “L” ou “T”. O perfil “T” é o perfil clássico e, consequentemente, o 
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mais executado, pois garante maior estabilidade que o perfil “L” devido ao comportamento 
de sua geometria, e com isso, podem ser usados para maiores alturas. 
Podemos observar na figura 1, que a sapata encontra-seenterrada, ou seja, peso de 
uma porção de solo sobre a sapata enterrada, fator que potencializa sua estabilidade.
Segundo Domingues (1997) o dimensionamento do muro de arrimo é feito para faixa 
de 1 metro independentemente de sua extensão, considerando o comportamento do 
solo na faixa de representação, bem como, o tipo de estrutura, apoiada em sapatas e 
estacas verticais ou inclinadas. Os muros de arrimo podem apresentar também, lajes 
intermediárias (Figura 1 ) a fim de aliviar os empuxos de terra na parte interna do muro, 
e em outros casos podem ser projetados com auxílio de tirantes fixados a uma placa 
de ancoragem que, por sua vez, está fixa a uma rocha ou solo resistente evitando o 
seu deslocamento (Figura 3), critérios que serão determinados pelo projetista.
Figura 2: Muro de arrimo em concreto armado com laje intermediária.
Fonte: Adaptado de Moliterno, 1994.
Moliterno (1994) afirma que, os muros de arrimo que são projetados com lajes 
intermediárias, podem ser utilizados para alturas entre 2,00 m e 4,00 m, e os muros 
atirantados podem atingir alturas de 4,00 a 6,00 m.
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Figura 3: Muro de arrimo atirantado
Fonte: elaborado pelo autor.
Muro De Concreto Armado Com Perfil L:
De acordo com Moliterno (1994), o muro de concreto armado com perfil L deve 
ser utilizado para alturas até 2 metros. Para aumentar a estabilidade do conjunto é 
usual acrescentar um detalhe construtivo, que é o dente de ancoragem, que aumenta 
a resistência ao escorregamento. A figura 4 ilustra esse tipo de muro.
Figura 4: Muro de concreto armado com perfil L cm dente de ancoragem
Fonte: elaborado pelo autor.
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Muros De Concreto Armado Com Contrafortes
Os elementos verticais são chamados de contrafortes ou gigantes que podem ser 
construídos no lado externo da estrutura ou embutidos no terrapleno.
Para Moliterno (1994), esses elementos resistem à flexão pelo engastamento na 
sapata, o parâmetro desse tipo de muro é formado por uma laje vertical calculada 
como contínua que se apoia nos contrafortes.
Moliterno (1994), diz que esse tipo de estrutura se diferencia em casos em que o solo 
de apoio da fundação exige o emprego de estacas ou tubulões, embora nada impeça 
o emprego para alturas entre 4,00 m e 7,00 m como uma solução economicamente 
vantajosa com a execução de fundação direta.
A estrutura é dimensionada levando em consideração os momentos fletores 
gerados pelo peso próprio da laje e dos contrafortes, bem como, os empuxos de 
terra (MOLITERNO, 1994).
De acordo com Domingues (1997), o uso de elemento de ancoragem para esse tipo 
de estrutura só é necessário quando há o risco de escorregamento por ser pequeno 
a atrito do solo com a face inferior da sapata.
Moliterno (1994), esclarece que para esse tipo de estrutura apoiado em fundação 
direta o solo deve ter capacidade mínima na faixa de 2 kgf/cm², para que seja econômica 
se comparada com outras alternativas como cortinas atirantadas e fundações sobre 
estacas.
A Figura 5 demonstra os muros de concreto armado com contrafortes e vigas 
intermediárias.
Figura 5: Muros de concreto armado com contrafortes e vigas intermediárias.
Fonte: MOLITERNO, 1994.
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6.3 Título 2 (Muro de Arrimo em Concreto Armado)
Para elaboração de um projeto de muro de arrimo é necessária uma análise criteriosa 
do terreno, onde será construído o muro, visando a segurança e economia de acordo 
com as características do local.
Segundo Moliterno (1994) o engenheiro deve verificar a natureza geológica da região, 
reconhecer o tipo de solo, obter o perfil estratigráfico do local onde será executado o 
muro, além de realizar uma investigação de obras similares já executadas (compreender 
as patologias de obras existentes na região).
O projeto de um muro de arrimo, assim como qualquer outro tipo de estrutura 
seja qual for a sua seção deve passar por uma análise das condições de estabilidade 
como: tombamento, deslizamento da base, capacidade de carga da fundação e ruptura 
global (GERSCOVICH, 2016). Tais fatores são tratados na disciplina de obras de terra.
De acordo com Moliterno (1994), para verificação da estabilidade do muro deve-se 
considerar o equilíbrio estático e, em seguida, equilíbrio elástico. O empuxo de terra, 
que pode ser causado pelos aterros e cortes do terreno, é considerado o principal 
carregamento na estrutura de um muro de arrimo, pois é a resultante do empuxo de 
solo que irá promover o comportamento de tombamento da estrutura.
De acordo com Marangon (2018) o cálculo dos empuxos constitui uma das maiores 
e mais antigas preocupações da engenharia civil, a determinação do seu valor é de 
essencial importância para o cálculo e dimensionamento da estrutura. Portanto, é 
de grande importância o projetista ter conhecimento sobre as teorias de Rankine e 
Coulomb, conteúdo abordado em obras de terra.
Para o dimensionamento de elementos de fundação é necessário ter conhecimento 
da norma técnica de fundação NBR 6122 (2019). Em obras de muro de arrimo em 
concreto armado, comumente, são utilizadas sapatas, denominadas elementos de 
fundação superficial de concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de 
tração nele produzidas não sejam resistidas pelo concreto, mas sim, pelo emprego 
da armadura. Em alguns casos tem-se a implementação de elementos de fundações 
indiretas (estacas), tal escolha referente ao tipo de fundação, será feito pela análise 
do perfil estratégico do solo.
Segundo Domingues (1997), antes da especificação da armadura resistente da 
estrutura, é preciso obter as solicitações horizontais, verticais e os respectivos 
momentos atuantes na estrutura. Outro fator importante no projeto de um muro de 
arrimo é a implantação de um sistema de drenagem que tem a finalidade de eliminar 
os empuxos hidrostáticos, visto que na maioria dos projetos não se considera solo 
saturado devido à inviabilidade econômica (MOLITERNO, 1994).
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Podemos, assim, resumir os seguintes passos referentes ao projeto de um muro 
de arrimo: 
• Determinação do empuxo;
• Pré-dimensionamento do muro de arrimo;
• Verificação da estabilidade do conjunto solo-muro (verificação quanto ao 
deslizamento, rotação e capacidade suporte do solo);
• Determinação dos carregamentos e dos esforços solicitantes na estrutura;
• Cálculo da armadura resistente
Nos tópicos seguintes serão abordados, de maneira mais aprofundada, o sistema 
de drenagem, bem como, as etapas de pré-dimensionamento, cálculo dos esforços 
solicitantes e especificação das armaduras. Destaca-se que o conhecimento sobre, 
empuxos de terra, verificação da estabilidade é de suma importância, porém, nossa 
análise está direcionada para o comportamento do elemento estrutural (concreto 
armado).
6.4 Título 3 (Ponto de Aplicação do Empuxo)
Para determinar o ponto de aplicação do empuxo, devem-se considerar duas 
situações, o solo sem sobrecarga e com sobrecarga. Para solo sem sobrecarga o 
ponto de aplicação do empuxo (E) é calculado através da Eq.1, como se pode verificar 
na Figura 7.
 y=H/3 (1)
Figura 7:Ponto de aplicação do empuxo em terrapleno sem sobrecarga.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Para Caputo (1987), o efeito de sobrecarga (q) aplicado sobre o terreno pode ser 
considerado como uma altura equivalente de terra (h0), que pode ser determinada 
através da Eq.2:
h0=q/γ (2) 
Nesta condição o ponto de aplicação do empuxo é dado pela Eq. 3:y=(H/3)*( 2.h0+H_______
h0+H
 ) (3)
6.5 Título 2 (Pré-Dimensionamento do Muro de Arrimo)
A única dimensão conhecida do muro é sua altura, que é delimitada pela cota inferior 
e superior do terreno, as outras dimensões são pré-dimensionadas para, posteriormente, 
ser feita a análise das resistências das seções.
Segundo Huntington (1957), a espessura tanto da sapata quanto da parede pode 
ser igual (h) ficando dentro do intervalo indicado na figura 8.
Figura 8: Pré-dimensionamento de acordo com Huntington.
Fonte: elaborado pelo autor.
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De acordo com Domingues (1997), comumente, adota-se a largura da sapata (b) 
do muro de arrimo, como sendo 0,5H, podendo variar de 0,4H a 0,7H. Recomenda-se 
que a espessura mínima para a sapata seja de 20 cm.
Marchetti (2011), sugere para o pré-dimensionamento do muro de arrimo em concreto 
armado as seguintes dimensões mínimas e condições, que variam de acordo com as 
disposições construtivas, a figura 8 ilustra o pré-dimensionamento para a sapata sem 
inclinação, tendo uma espessura mínima de 20cm.
Figura 8.
Fonte: Marchetti (2011).
A figura 9 ilustra uma sapata com inclinação com espessura mínima variando 
entre 15 e 20 cm.
Figura 9.
Fonte: Marchetti (2011).
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A figura 10 ilustra o pré-dimensionamento para muros de arrimo com contraforte.
Figura 10.
Fonte: Marchetti (2011).
 
Para Moliterno (1994), a estrutura é calculada como uma laje vertical, em balanço e 
engastada na fundação. O pré-dimensionamento da estrutura é feito antes do cálculo do 
momento fletor atuante na base do muro, com os valores de momento fletor atuante, 
aliados ao conhecimento de carga vertical atuante, damos início ao dimensionamento. 
O momento do fletor é determinado pelo produto do empuxo pela distância do seu 
ponto de aplicação até a base, dado pela Eq, 4, onde (E) é o empuxo de terra e (y) o 
ponto de aplicação, que foi demonstrado no tópico anterior.
 M=E.y (4) 
Segundo Moliterno (1994), a altura útil da seção de concreto (d) é dada pela Eq. 5.
 d=10.√(M ) (5)
O dimensionamento da espessura do topo do muro (h) segue a NBR 6118 (2014), 
que contempla que, para laje maciça em balanço, a dimensão mínima que pode ser 
adotada é de 10 cm.
Para a largura da sapata (b) geralmente adota-se valores entre 50 % a 60 % da 
altura do muro (H), sendo a ponta (r) dimensionada com os valores compreendidos 
entre 1/6 e 1/8 da altura do muro (H) e o talão pré-dimensionado pela Eq. 6.
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T=b – (r+di) 
Para o engastamento do muro na sapata é necessário que h > di, sendo (h) a 
espessura da sapata. As espessuras das bordas devem estar entre 10 e 30 cm, 
havendo um chanfro suave na face superior da sapata (XAVIER, 2011). Na verificação 
do equilíbrio estático da estrutura, será determinada a necessidade da utilização do 
dente de ancoragem. A figura 11 ilustra o pré-dimensionamento proposto por Moliterno 
(1994).
Figura 11.
Fonte: elaborado pelo autor.
6.5.1 Título 3 (Esforços solicitantes no muro ou tardoz)
De acordo com Leonhard (2007) a estrutura real, ou suas partes podem ser 
idealizadas por meio de modelos estruturais. A determinação dos esforços solicitantes 
na estrutura do muro de arrimo é composta por dois conjuntos, que são o muro ou 
tardoz e a sapata.
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Moliterno (1994) diz que o muro recebe as ações exercidas pelo maciço caracterizado 
pelo empuxo de terra e as transfere para o elemento de fundação, que, por sua vez, 
transmite esses esforços ao solo
Para o cálculo do esforço que atua no muro é necessário averiguar a existência de 
sobrecarga no maciço de terra. Domingues (1997) diz que se houver a presença de 
sobrecarga, de veículos ou pedestres sobre o maciço de terra, terá uma distribuição 
trapezoidal de pressões. Não havendo a existência da sobrecarga a distribuição 
é triangular. A distribuição trapezoidal das pressões ocorre, pois a sobrecarga é 
transformada em uma altura (h0) que é somada à altura total (h), de tal forma que, a 
altura final (H) pode ser calculada através da Eq. 7:
H= h+h0
De acordo com Domingues (1997), os cálculos de momento fletor e esforço cortante 
na parede são determinados a partir do momento de engastamento na base do muro, 
devido à carga de solo atuante sobre o muro e aos empuxos gerados pela sobrecarga. 
A figura 12 ilustra a distribuição dos carregamentos que o muro está sujeito no caso 
de haver sobrecarga.
Figura 12.
Fonte: elaborado pelo autor.
Onde: PS é o carregamento devido à sobrecarga e Pi devido à carga de terra atuando 
sobre o muro. 
Segundo Xavier (2011), para determinar o momento fletor em uma seção qualquer 
do muro (MB), localizada a uma distância x do topo do muro, pode-se utilizar a seguinte 
Eq.8.
MB= Ps.X2_____
2
 + Pi.X3_____
6.H
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Da mesma forma, para o esforço cortante (CB), localizado a uma distância x do 
topo do muro, é possível determinar seu valor pela Eq.9.
CB = Ps . X + Ps.X2_____
2.H
 
6.3.2 Título 3 (Determinação da Armadura Resistente)
Ao se determinar os esforços solicitantes na estrutura devem-se dimensionar as 
armaduras, que tem por finalidade, absorver os esforços de tração em peças estruturais 
solicitadas à flexão e à tração (LEONHARDT, 2007).
Para o dimensionamento das armaduras se faz uso da NBR 6118 (2014) e auxílio 
das disciplinas anteriores. O dimensionamento ocorre considerando o muro como 
uma laje em balanço engastada na fundação. Moliterno (1994) diz que é conveniente 
projetar o muro com espessuras que resistem às tensões de cisalhamento, devido à 
dificuldade de execução das armaduras transversais nesse tipo de obra.
Exemplo extraído de Domingues (1997):
Projetar um muro de arrimo isolado, com fundação em sapata, para um talude 
vertical de altura 4m. Dados: 
Peso específico aparente do solo g = 18 kN/m³ ; 
Ação variável normal no terrapleno = 5 kN/m ²; 
Empuxos ativos Ka=0,33.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Fonte: elaborado pelo autor.
Dimensionamento considerando o muro como uma laje em balanço engastada na 
fundação, analise feita considerando uma laje engastada na fundação, submetida ao 
carregamento q1=1,7 kN/m² e q2=25,17 kN/m². 
Fonte: elaborado pelo autor.
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As vigas e as lajes devem ser projetadas à flexão simples nos domínios 2 ou 3, e 
não podem ser projetadas no domínio 4. Para complementar essa análise, é importante 
observar que a NBR 6118 (item 14.6.4.3) apresenta limites para a posição da linha 
neutra, que visa trabalhar com as vigas e lajes em seu comportamento dúctil, afirmando 
que quanto menor for a relação x/d (x = posição da linha neutra, d = altura útil da viga), 
maior será a ductilidade. Podemos, assim, aplicar as equações do equilíbrio para uma 
peça de concreto armado, como:
Tabela: Valores de armadura por trecho do muro.
Fonte: elaborado pelo autor.
Tabela: Valores de (diâmetro), n (número de barras), S(espaçamento entre as barras), As(ef.) (área efetiva de armadura).
Fonte: elaborado pelo autor.
Tabela: Armadura de distribuição.
Fonte: elaborado pelo autor.
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AULA 7
FISSURAÇÃO E DEFORMAÇÕES
A questão da segurança de uma estrutura é de extrema importância para todos 
os profissionais envolvidos na área da construção civil, e especialmente para aqueles 
do projeto estrutural, porque a possibilidade de uma estrutura entrar em colapso 
configura-se geralmente uma situação extremamente perigosa, por envolver vidas 
humanas e perdas financeiras por danos materiais de grande valor.
A segurança que todos os tipos de estruturas deve envolve dois aspectos principais. 
O primeiro, e mais importante, é que uma estrutura não pode nunca alcançar a ruptura. 
O segundo aspecto é relativo ao conforto, à tranquilidade das pessoas na utilização 
das construções.
A NBR 6118 (2014) trata esses dois aspectos da segurança apresentando os como, 
Estados-Limites, que são situações limites que as estruturas não devem ultrapassar. 
A segurança da estrutura contra o colapso relaciona-se ao chamado Estado-Limite 
Último (ELU), e a segurança dos usuários na utilização da estrutura relaciona-se aos 
Estados-Limites de Serviço (ELS).
No projeto das estruturas de Concreto Armado e Protendido o dimensionamento 
dos diferentes elementos estruturais é feito no chamado Estado-Limite Último (ELU), 
onde os elementos estruturais são dimensionados como se estivessem prestes a 
romper, mas isso apenas teoricamente. No entanto, para evitar que a ruptura ocorra, 
todas as estruturas são projetadas com uma margem de segurança, isto é, uma folga 
de resistência relativamente às ações e carregamentos aplicados, de tal forma que, 
para ocorrer a ruptura a estrutura teria que estar submetida a carregamentos bem 
superiores àqueles a que foi projetada.
A margem de segurança no dimensionamento dos elementos estruturais ocorre 
com a consideração dos chamados coeficientes de ponderação, que farão com que, 
em serviço, as estruturas trabalhem a uma determinada “distância” da ruína. Para 
os coeficientes de ponderação são adotados valores numéricos de tal forma que as 
ações sejam majoradas, e as resistências dos materiais sejam minoradas.
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Existem basicamente três coeficientes de ponderação, um que majora o valor das 
ações, e consequentemente os esforços solicitantes, e outros dois que minoram as 
resistências do concreto e do aço.
Por exemplo, no caso de um pilar de Concreto armado, pertencente a uma edificação, 
submetido à uma força normal de compressão de 100 kN (10 tf), o dimensionamento 
teórico do pilar é feito como se a força normal fosse 140 kN, valor calculado multiplicando-
se a força de compressão real pelo coeficiente de majoração da ações, porém, a ação 
que está atuando na edificação é 100 kN, está é a ação verdadeira. Para protegermos 
nossa estrutura de falhas de projeto, execução, condição do meio, temos o coeficiente 
que majora a ação para 140 kN, valor utilizado para a realização do dimensionamento.
Figura 1: Consideração do coeficiente de ponderação das ações: a) carga real; b) carga de projeto. 
As resistências dos materiais que compõem o pilar (concreto e o aço) são minoradas 
por coeficientes, sendo em geral 1,4 para o concreto e 1,15 para o aço. Assim, por 
exemplo, se no pilar for aplicado o concreto C30 (fck de 30 MPa = 3,0 kN/cm2 = 300 
kgf/cm2 ), o dimensionamento teórico será feito como se a resistência do concreto 
fosse menor, de valor 30/1,4 = 21,4 MPa.
No caso do aço, se aplicado o aço CA-50, com resistência de início de escoamento 
(fyk) de 500 MPa, o dimensionamento será feito como se a resistência do aço fosse 
menor, com valor (500/1,15 = 434,8 MPa).
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As resistências de 21,4 MPa para o concreto e 434,8 MPa para o aço são chamadas 
de resistências de cálculo. Embora na teoria o pilar tenha sido dimensionado no Estado-
Limite Último (ELU), estado correspondente à ruína, na realidade o pilar em serviço estará 
a uma certa “distância” da ruína, isto é, com uma margem de segurança contra a ruína, 
introduzida com a consideração dos coeficientes de ponderação no dimensionamento. 
Em resumo, segurança é quando todo o conjunto da estrutura, bem como as partes 
que a compõem, resiste às solicitações externas na sua combinação mais desfavorável, 
durante toda a vida útil, e com uma conveniente margem de segurança. Portanto, no 
projeto de uma estrutura, mesmo que seja apenas uma peça, como uma laje, uma viga 
ou um pilar, deve-se ter o cuidado de garantir as seguintes características à estrutura: 
resistência, estabilidade, utilização plena e durabilidade.
As estruturas devem também ser analisadas quanto às deformações, à fissuração 
e ao conforto do usuário na sua utilização. A fim de não prejudicar a estética e a 
utilização da construção, as estruturas não devem apresentar deformações excessivas 
(principalmente flechas), e as aberturas das fissuras devem ser limitadas, visando 
garantir a durabilidade. Esses aspectos são tratados pelos Estados-Limites de Serviço.
7.1 Título 2 (Estados Limites)
A NBR 6118 (2014) destaca que uma estrutura ou parte dela pode alcançar um 
estado limite, quando se torna inutilizável ou quando deixa de satisfazer às condições 
previstas para sua utilização. 
• Segurança;
• Funcionalidade;
• Durabilidade.
Diante desses três itens, destacado a estrutura deve atender todas as necessidades 
para as quais foi projetada. Logo, quando uma estrutura deixa de atender a qualquer 
um desses três itens, diz-se que ela atingiu um Estado Limite. Dessa forma, uma 
estrutura pode atingir um estado limite de ordem estrutural ou de ordem funcional. 
Assim, se concebe dois tipos de estados limites, a saber:
• Estados limites últimos (de ruína);
• Estados limites de utilização (de serviço).
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ESTADO LIMITE ÚLTIMO: Segundo a NBR 6118 (2014) é os elementos estruturais 
relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a 
paralisação do uso da estrutura. A segurança das estruturas de concreto deve sempre 
ser verificada em relação aos seguintes estados limites últimos:
• Estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido;
• Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no 
seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;
• Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no 
seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
• Estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;
• Estado-limite último de colapso progressivo;
• Estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no 
seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo.
ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO: Segundo a NBR (2014) é os elementos da 
edificação que correspondem à impossibilidade do uso normal da estrutura, estando 
relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto, boa utilização funcional 
da mesma, seja em relação aos usuários ou às maquinas. Podem ter origem pelas 
seguintes causas:
• Estado limite de formação de fissuras: É o estado em que há uma grande 
probabilidade de iniciar-se a formação de fissuras de flexão. Este estado ocorre 
quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual à resistência 
à tração do concreto na flexão;
• Estado limite de abertura de fissuras: Também definido como Estado limite de 
fissuração inaceitável, corresponde ao estado em que as fissuras se apresentam 
com aberturas iguais aos limites máximos especificados por normas e que 
podem ser prejudicial ao uso ou à durabilidade da peça de concreto;
• Estado limite de deformações excessivas: É o estado em que as deformações 
ultrapassam os limites máximos definidos por normas e aceitáveis para a 
utilização normal da estrutura; 
• Estado limitede vibrações excessivas;
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É importante entender que a principal diferença entre o ELU e o ELS reside no fato do 
primeiro oferecer um risco de ruína à estrutura, devendo ser reparado imediatamente, 
caso contrário temos o desabamento.
Por sua vez, o ELS está relacionado ao desempenho da estrutura e ao conforto do 
usuário, como: Alvenarias trincadas devido ao deslocamento excessivo da edificação 
(figura 2).
Figura 2: Estrutura entrando em condição de ruína.
Desta forma o estado limite mais indesejável para o engenheiro, pois significa que a 
estrutura está sob condição última, como, por exemplo, um pilar que está rompendo, 
que por consequência levará a estrutura a ruína (figura 3). 
Figura 3: Estrutura em ruína.
Fonte: elaborado pelo autor.
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E o mais importante é que o projeto estrutural deve atender simultaneamente a todos 
estados limites últimos e de serviço, tal condição remete segurança, funcionalidade 
e durabilidade para a construção.
Buscando a funcionalidade, estética e durabilidade em seu projeto, temos que um dos 
quesitos que o projetistas necessita ter cuidado é a fissura, pois a mesma caracteriza 
uma ponte para possíveis patologias, pois sendo uma abertura, ela pode ter caráter 
agressivo ou de pequena espessura no concreto.
Podemos dizer que o surgimento de fissuras no concreto armado deve-se à baixa 
resistência do concreto à tração, caracterizando-se por um fenômeno natural, porém 
indesejável. Logo destacamos que a abertura e as flechas devem ser controlada 
e analisadas, a fim de atender condições exigidas em projeto, evitando possíveis 
complicações.
O engenheiro deve garantir em seu projeto, que as fissuras e as flechas, apresentem 
valores menores que os limites estabelecidos pela NBR 6118/2014.
Quando discutimos sobre fissuras, devemos perceber que a disposição de barras 
de aço de pequeno diâmetro de maneira distribuída tende a auxiliar na estabilização 
e controle das fissuras, não levando ao perigo de corrosão do aço.
As fissuras também surgem devido ao fenômeno da retração no concreto, mas 
podem ser significativamente diminuídas com uma cura cuidadosa nos primeiros dias 
de idade do concreto, e com o uso de barras de aço dispostas próximas às superfícies 
externas da peça, a chamada armadura de pele.
Vamos na sequência estudar sobre os estados limite último das deformações e 
fissuras, compreender seus valores e critério de dimensionamento.
7.2 Título 2 (Tipos de Deformações)
As deformações no concreto podem ser classificadas em:
Deformações que dependem do carregamento: essas deformações são função 
do carregamento imposto e têm direção definida. São classificadas em deformação 
elástica imediata e deformação lenta (fluência). Deformação elástica imediata: ocorre 
por ocasião da aplicação do carregamento e é reversível. Deformação lenta: é definida 
como o aumento de deformação sob tensão constante e exerce importante influência 
no valor da flecha total.
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Deformações que independem do carregamento: essas deformações não são função 
do carregamento imposto e não têm direção definida. São funções da variação de 
volume causadas por retração e por variação de temperatura.
A retração é o fenômeno caracterizado pela redução do volume da massa de concreto 
causada principalmente pela evaporação da água contida nos poros do concreto. A 
presença dessa água livre se deve ao fato de que, em geral, a quantidade de água 
utilizada na mistura do concreto é maior do que a necessária para as reações de 
hidratação do cimento. O efeito da retração numa peça de concreto armado sob flexão 
caracteriza-se pela contração diferencial das faces do elemento, resultando em flechas. 
Esta contração diferencial é devida ao fato de que nas regiões onde há armadura, a 
contração é parcialmente impedida, provocando o abaulamento da peça. O mesmo 
abaulamento pode ser causado por variações de temperatura. Neste caso, uma face 
do elemento expande mais do que a outra, por apresentar maior temperatura.
Deslocamentos-limites
São valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado-limite de 
deformações excessivas da estrutura. A NBR 6118 (2014) classifica em quatro grupos 
básicos, são eles:
a) aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou 
efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, 
em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na 
Seção 23, da NBR 6118 (2014) ;
b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada 
da construção;
c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem 
ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem 
parte da estrutura, estão a ele ligados;
d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o 
comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação 
às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para 
o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade 
da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural 
adotado.
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Tabela 2: Valores-limites de deslocamentos que visam proporcionar um adequado comportamento da estrutura em serviço.
Fonte: NBR 6118 (2014)
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Tabela 2: Continuação
Fonte: NBR 6118 (2014)
A deformação real da estrutura está vinculado com o processo construtivo, bem 
como, as propriedades dos materiais, como: módulo de elasticidade, resistência à 
tração etc.. Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande 
variabilidade das deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão 
nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como 
materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do 
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elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no estádio I, 
desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no estádio II.
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, sendo 
obrigatória a consideração do efeito da fluência.
7.3 Título 2 (Fissuração)
A fissuração num elemento em concreto armado ocorre quando é atingida a tensão 
de ruptura por tração do concreto. Esse fenômeno é inevitável em estruturas de concreto 
em que existam tensões de tração resultantes de carregamento direto ou por restrição 
a deformações impostas. Podem ainda ocorrer por outras causas, como retração 
plástica ou térmica e expansão devido às reações químicas internas do concreto nas 
primeiras idades.
Essas fissuras devem ser limitadas por meio de cuidados tecnológicos, especialmente 
na definição do traço do concreto e nos cuidados de cura do mesmo. A consideração 
da fissuração num determinado projeto está relacionada ao tipo de obra e a finalidade 
para qual esta foi projetada.
Assim, no caso de reservatórios, por exemplo, a formação de fissuras de grandes 
aberturas pode comprometer seriamente a característica de estanqueidade exigida 
para este tipo de estrutura. Para edifícios correntes, a fissuração excessiva do concreto 
pode acarretar, além de problemas estéticos, problemas de deterioração da estrutura 
devido à corrosão da armadura, podendo conduzir ao colapso da mesma (estado 
limite último).
Pode-se dizer que para oconcreto armado a fissuração é um fenômeno inevitável, 
visto que para impedi-la, seria necessário adotar seções transversais de dimensões 
exageradas. As fissuras, entretanto, não devem se apresentar com aberturas muito 
grandes, que possam comprometer a estética, a funcionalidade ou a durabilidade das 
estruturas. Além disso, deve-se ter em conta o desconforto psicológico que fissuras 
com aberturas excessivas causam aos usuários.
Diversas são as circunstâncias que podem acarretar a formação de fissuras, 
podendo-se destacar entre elas:
• Fissuras produzidas por solicitações devidas ao carregamento: são causadas 
por ações diretas de tração, flexão ou cisalhamento, ocorrendo sempre nas 
regiões tracionadas.
• Fissuras não produzidas por carregamento: são causadas por deformações 
impostas (ações indiretas), tais como retração, variação de temperatura e 
recalques diferenciais.
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Os limites de abertura de fissuras referente a proteção das armaduras quanto à 
durabilidade segundo a NBR 6118 (2014) pode ser descrito pela abertura máxima 
característica (wk), desde que não exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, 
(conforme descrito na tabela 1) sob ação das combinações frequentes, não tem 
importância significativa na corrosão das armaduras passivas.
Porém para as armaduras ativas existe a possibilidade de corrosão sob tensão, 
esses limites devem ser mais rigorosos e função direta da agressividade do ambiente, 
dada pela classe de agressividade ambiental.
Na Tabela 1 podemos encontrar valores-limites da abertura característica (wk) 
das fissuras, visando garantir proteção adequada das armaduras quanto à corrosão. 
Entretanto, a NBR 6118 (2014) destaca que a alta variabilidade das grandezas 
envolvidas, esses limites devem ser vistos apenas como critérios para um projeto 
adequado de estruturas. Embora as estimativas de abertura de fissuras feitas em 
17.3.3.2 devam respeitar esses limites, não se deve esperar que as aberturas de fissuras 
reais correspondam estritamente aos valores estimados, isto é, fissuras reais podem 
eventualmente ultrapassar os limites recomendados.
Tabela 1: exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental
Fonte: NBR 6118 (2014)
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AULA 8
INTRODUÇÃO AO CONCRETO 
PROTENDIDO
O concreto é o material estrutural utilizado na construção civil, basicamente em todo 
o mundo, e provavelmente continuará por muito tempo. Porém, como a resistência 
do concreto à tração é baixa, é necessário inserir barras de aço nas regiões onde as 
tensões de tração atuam, conceito que já foi estudado nas disciplinas anteriores.
Antes de dar início a discussão sobre a protensão no concreto, vamos ilustrar o 
princípio da protensão através de alguns exemplos bastante significativos. Imagine-se, 
por exemplo, a situação em que uma pessoa carrega um conjunto de livros (FIGURA 
1.). Segundo Veríssimo (1998) para os livros serem carregados, sem que caiam, é 
necessária a aplicação de uma força horizontal que os comprima uns contra os outros, 
produzindo assim forças de atrito capazes de superar o peso próprio do conjunto.
Figura 1: Conjunto de livros 
Fonte: Veríssimo e Junior (1998) 
Segundo Veríssimo (1998), quando temos aplicação da força normal na superfície 
lateral dos livros, estamos promovendo a união do conjunto de livros, com o objetivo de 
se criar um componente de força contrária àquela que pode prejudicar a movimentação 
dos livros. O princípio de comprimir os livros para facilitar seu manujeio está relacionado 
com o princio de protender.
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Segundo Hanai (2005) o termo protensão é caracterizado como o principio de 
instalar um estado prévio de tensões. A protensão deve ser definida como um artifício 
para introduzir, em uma estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar 
sua resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações.
Para ampliar nosso entendimento, veja a viga de concreto armado (biapoiada) na 
figura 2. A viga ésta sujeita a um carregamneto externo que por sua vez gera momentos 
fletores positivos, com tensão normal de compressão em sua parte superior, e tensão 
normal de tração na parte inferior. Na figura 2 podemos considerar a possibilidade de 
formacao de fissuras, pois nas vigas de concreto armado, usualmente as tensões de 
tração atuantes superam a resistência do concreto à tração.
Segundo Bastos (2021) as barras da armadura localizadas na parte inferior atuam 
como ponte de transferência de tensão entre as fissuras, possibilitando o trabalho 
resistente da viga, em conjunto com o concreto comprimido da parte superior. 
Figura 2: Viga de concreto armado
Fonte: Bastos (2021).
A NBR 6118/2014 limita em 10 ‰ (10 mm/m) a deformação máxima de alongamento 
na armadura tracionada, pois a abertura da fissura é aproximadamente proporcional 
à deformação da armadura que atravessa a fissura, portanto, tensão na armadura 
devem ser limitadas a valores baixos, a fim de evitar fissuras com aberturas elevadas 
e prejudiciais à estética e à durabilidade.
Segundo Basto (2021) o fator geralmente crítico no projeto de elementos que vencem 
vãos, como vigas e lajes, é o Estado-Limite de Serviço relativo à deformação excessiva 
(ELS-DEF), ou seja, as flechas é resultado dos deslocamentos verticais. Quando temos 
flechas com valores grandes temos peças com aberturas de fissuras consideráveis, 
e consequentemente grandes deformações na armadura tracionada. Logo podemos 
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entender que nas peças fletidas em concreto armado não adianta utilizar aços com 
resistências ainda mais elevadas, pois a tensão de serviço no aço deve ser limitada 
a uma deformação máxima baixa, indicada pela NBR 6118 (2014) em em 10 ‰ (10 
mm/m).
Portanto, em vista da baixa resistência do concreto à tração, vinculado a fissuração, 
tem-se o surgimento da aplicação da protensão ao concreto, com a ideia de pré-
comprimir a região da seção transversal que depois será tracionada com a atuação 
do carregamento externo. 
Podemos entender que a protensão é aplicada como um meio de evitar aberturas de 
grande escala. Logo a protensão é um meio de ganhar maiores vãos e consequentemente 
ter um menor número de pilares, vinculado a um melhor Estado-Limite de Serviço relativo 
à deformação excessiva (ELS-DEF), sendo caracterizada com um método construtivo.
A viga mostrada na figura 3 destaca o benefício da protensão, onde o momento 
fletor provocado pelo carregamento sobre a viga induz tensões normais, máximas 
de compressão na fibra do topo (c,M) e de tração na fibra da base (t,M), e a força 
de protensão P também aplica tensões normais, de compressão na base (c,P) e de 
tração no topo (t,P).
A ideia básica que a protensão passa é de aplicar previamente elevadas tensões de 
compressão na região inferior da seção transversal da viga, para que posteriormente 
em serviço, com a atuação dos carregamentos aplicados, às tensões de tração sejam 
diminuídas ou até mesmo completamente eliminadas da seção transversal, como 
mostrado no diagrama de tensões resultantes da figura 3.
Segundo Bastos (2021) a tensão nula na base da viga é chamada de protensão 
completa: apresenta a vantagem de proporcionar peças livres de fissuras durante 
o trabalho em serviço. A protensão parcial é descrita como sendo : A protensão 
que não elimina completamente as tensões de tração atuantes na viga em serviço, 
permitindo assim uma fissuração controlada. Ou seja, a protensão parcial, é uma 
situação intermediária entre o concreto armado e o concreto protendido com protensão 
completa, isto é, uma combinação dos dois casos.Figura 3: Viga de concreto armado
Fonte: Bastos (2021).
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Segundo Bastos (2021) a força que comprime a peça (força P na Figura 3) tem 
origem pelo processo de alongamento do aço (os macacos hidráulicos realiza o 
alongamento do cabo) até atingir valor de tensão de tração inferior à tensão limite 
do regime elástico. De tal forma temos um processo simples que o aço, como 
um elástico, tender a voltar à deformação inicial nula, quando ele faz o processo 
de retornar ao seu tamanho original, o mesmo aplica uma força de compressão 
(protensão) na peça.
Temos que a utilização de aço com grande capacidade de deformação dentro 
do regime elástico é fundamental, pois temos as perdas de força que ocorrem ao 
longo do tempo, naturais do processo, fator que deve ser verificado. 
A peça protendida, ao sofrer o processo de protensão, ou seja, quando o aço 
realiza o processo de comprimir a peça, tem-se a redução ou eliminação das tensões 
de tração e fissuração no elemento de concreto, pois o sistema de protensão tende 
a combater o processo de tracao decorrente a cargas permanentes e acidentais. 
Esse desempenho do sistema de proteção proporciona às peças importantes 
vantagens técnicas e econômicas.
A Figura 4 ilustra uma viga de concreto segundo três possibilidades.
• A viga de Concreto Simples, sem armadura longitudinal de flexão, rompe 
bruscamente quando inicia uma primeira fissura, causada pela tensão de 
tração atuante que alcança a resistência do concreto à tração na flexão 
(fct,f); a força F aplicada é pequena.
• A viga de Concreto Armado armadura é colocada na região tracionada da 
viga, próxima à fibra mais tracionada. A armadura começa a trabalhar de 
maneira mais efetiva após o surgimento de fissuras, quando passa a resistir 
às tensões de tração atuantes, atuando como ponte de transferência de 
tensões entre as fissuras. Desse modo a viga rompe sob uma força F muito 
mais elevada.
• A viga de Concreto Protendido, a força de protensão excêntrica P comprime 
a viga, e equilibra as tensões de tração devidas à força externa F, prevenindo 
o surgimento de fissuras e diminuindo ou eliminando a flecha.
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Figura 4: Viga de concreto segundo três possibilidades.
Fonte: Bastos (2021)
 
Segundo Bastos (2021) a NBR 6118 apresenta as seguintes definições (itens 3.1.2, 
3.1.3 e 3.1.5):
• Elementos de Concreto Simples: elementos estruturais elaborados com concreto 
que não possui qualquer tipo de armadura ou que a possui em quantidade 
inferior ao mínimo exigido para o concreto armado.
• Elementos de Concreto Armado: aqueles cujo comportamento estrutural depende 
da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se aplicam alongamentos 
iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência.
• Elementos de Concreto Protendido: aqueles nos quais parte das armaduras é 
previamente alongada por equipamentos especiais de protensão, com a finalidade 
de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos 
da estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta 
resistência no estado-limite último (ELU).
• Armadura passiva: qualquer armadura que não seja usada para produzir forças 
de protensão, isto é, que não seja previamente alongada.
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• Armadura ativa (de protensão): armadura constituída por barras, fios isolados 
ou cordoalhas, destinada à produção de forças de protensão, isto é, na qual se 
aplica um pré-alongamento inicial.
8.1 Título 2 (Comparação entre concreto protendido e concreto armado)
Segundo Bastos (2021) para a execução de peças protendidas necessita-se de 
concretos e aços de resistências elevadas, aliado com a possibilidade da protensão 
eliminar as tensões de tração no concreto. De ordem de projeto podemos compreender 
que as peças como como as vigas e lajes podem ser projetadas com alturas menores 
que aquelas que são executadas somente em Concreto Armado, algo em torno de 65 
a 80 % da altura, o que implica em econômica.
Para termos uma análise direta, vamos considerar uma viga de cerca de 10 m, o 
custo adicional do concreto protendido, devido a materiais mais resistentes, utilização 
de dispositivos e equipamentos e projeto, tornam o concreto armado mais viável. 
Desse modo, podemos entender que a protensão é viável para vãos maiores que 10 
m, vinculado a aplicação de concretos de resistências elevadas que implica em maior 
controle de qualidade sejam pré-fabricadas ou moldadas no local.
Podemos entender que o concreto protendido (CP) e o concreto armado (CA) não 
competem entre si, na verdade são dois conceitos que se complementam, cada qual 
em sua especificação e necessidade. Nessa linha podemos até imaginar que o CP 
permite vencer vãos grandes, logo ele se trona um oponente das estruturas metálicas 
que com o CA, lembrando que as peças de concreto oferecem vantagens como maior 
resistência ao fogo e isolamento térmico do que comparado a uma peça metálica. 
Porém de uma forma geral podemos entender que um projeto de qualidade sendo ele 
em CA, CP, metálicas ou até mesmo em madeira leva diversas considerações para 
sua escolha e aplicação.
Segundo Bastos (2021) podemos destacar algumas características positivas do 
CP em relação ao CA são elas:
1) O CP utiliza concretos e aços de resistências muito elevadas, o que resulta em 
seções com menores consumos de materiais;
2) No CP geralmente toda a seção transversal permanece submetida a tensões 
de compressão, o que é adequado para o concreto, e somado à utilização de 
materiais de resistências mais elevadas, as seções em CP são menores e mais 
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leves, esteticamente mais bonitas, e muito indicadas em estruturas de grandes 
vãos;
3) O CP pode ser projetado para permanecer livre de fissuras quando atuando em 
serviço (protensão completa), e ao longo de toda a vida útil, sendo assim uma 
estrutura adequada para ambientes agressivos;
4) O CP, mesmo com protensão parcial, apresenta flechas menores;
5) CP tem melhor resistência à força cortante, devido à pré-compressão no concreto 
e à inclinação dos cabos de protensão inclinados nas proximidades dos apoios.
8.1.1 Título 3 (Vantagens e desvantagens do concreto protendido)
A protensão das armaduras em estruturas de concreto proporciona uma série 
de vantagens. Segundo Veríssimo e Junior (1998) pode-se destacar as seguintes 
vantagens:
• Permite projetar seções mais esbeltas que no concreto armado convencional, 
aliado a um melhor comportamento em seu estado limite de serviço, vinculado 
a peças de concreto protendido com menor peso próprio.
• Permite controlar a deformação elástica e limitá-la a valores menores que os 
que seriam obtidos para estruturas similares em aço ou concreto armado.
• Proporciona melhores condições de durabilidade, pois anula totalmente, ou 
parcialmente as tensões de tração, principais responsáveis pela fissuração. As 
armaduras ficam mais protegidas.
• Permite que a estrutura retorne a sua posição inicial após a atuação de uma 
ação excepcional. Cessada a causa, as fissuras abertas se fecham devido à 
ação da força de protensão.
• A estrutura normalmente possui maior resistência à comportamento repetidos, 
pois a variação de tensão no aço, proveniente de cargas dinâmicas, é muito 
pequena se comparada com o valor da sua resistência característica.
• A operação de protensão funciona como uma verdadeira prova de carga, pois as 
tensões introduzidas nessa fase são muito maiores que as correspondentes à 
situação da peça em serviço. A estrutura é testada antes de entrar em operação 
propriamente.
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Em contrapartida, podem ser relacionadas algumas desvantagens do concreto 
protendido, segundo Veríssimo e Junior (1998), como:
• Exige maior controle de execução.
• Os aços precisam de cuidados especiais de proteção contra a corrosão.
• A colocação dos cabos de protensão deve ser feita com exatidão, evitando 
erros de posicionamento dos cabos, erros de posicionamento podem produzir 
esforços não previstos, levando ao comportamento inadequado da peça e até 
mesmo ao colapso.
• A execução da protensão exige equipamento e pessoal especializados.
• As construções protendidas exigem atenção e controle superiores aos necessários 
para o concreto armado comum.
Em edifícios altos, lajes ou vigas protendidas normalmente oferecem maior esbeltez 
a estrutura horizontal, que pode prejudicar a estabilidade global da edificação. Nesses 
casos deve-se aumentar a rigidez da estrutura vertical, garantindo estabilidade global 
à estrutura.
8.2 Título 3 (Ações)
A respeito sobre as ações que atuam em uma estrutura de concreto protendido, 
tem-se a NBR 8681 que classifica as ações em: permanentes, variáveis e excepcionais. 
Podemos entender que para cada tipo de construção, as ações devem respeitar 
suas peculiaridades e as normas a ela aplicáveis.
Deste modo, no projeto das estruturas, bem como dos elementos estruturais, devem 
ser consideradas todas ações possíveis de ocorrência, desde o início da construção 
até o final da vida útil, provenientes de diferentes origens ou causas. 
Além das permanentes (peso próprio, paredes, lajes, etc.) e variáveis de utilização, 
devem ser consideradas de origem de vento, de possíveis tremores de terra, pressão 
do solo, água ou de outros líquidos, forças de impacto e explosões, aquelas que 
podem ocorrer durante a construção, as deformações provenientes da retração e 
fluência no concreto, deformações por variação de temperatura, recalques de apoio 
e movimentações das fundações, de incêndios, carregamentos dinâmicos, etc., bem 
como as forças de protensão no caso de peças protendidas.
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Vamos trabalhar de uma forma sucinta os tipos de ações, bem como, classificar 
as ações proveniente da protencao.
Ações Permanentes
As ações permanentes são definidas pela NBR 6118/2014 como aquelas que atuam 
permanentemente ao longo do tempo, compondo as seguintes cargas, peso próprio 
dos elementos, peso de elementos construtivos fixos, como paredes, e instalações 
permanentes.
As ações permanentes diretas
São constituídas pelo peso próprio da estrutura, pelos pesos dos elementos 
construtivos fixos, das instalações permanentes e dos empuxos permanentes.
• Peso Próprio: As construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura 
seja avaliado considerando-se a massa específica para o concreto simples de 
2.400 kg/m3 e 2.500 kg/m3, para o Concreto Armado e Protendido, a NBR 6118, 
apresenta no item 8.2.2.
• Peso dos Elementos Construtivos Fixos e de Instalações Permanentes: As 
massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas 
com base nos valores indicados na Tabela 1 da NBR 6120. Ou os pesos das 
instalações permanentes são considerados com os valores nominais indicados 
pelos fornecedores
• Empuxos Permanentes: Consideram-se permanentes os empuxos de terra e 
outros materiais granulosos quando forem admitidos como não removíveis.
As ações permanentes indiretas
São constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, 
deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. Vamos destacar as 
ações permanentes indiretas devido a protensão
• A NBR 6118/2014 caracteriza como uma ação que deve ser considerada em 
todas as estruturas protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos 
propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de 
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esforços hiperestáticos de protensão. O valor da força de protensão deve ser 
calculado considerando a força inicial e as perdas de protensão.
Ações Variáveis
Como o próprio nome indica, ações variáveis são aquelas que apresentam variações 
significativas de seus valores em torno de sua média, durante a vida da construção. Do 
mesmo modo que as ações permanentes, as ações variáveis são também classificadas 
em diretas e indiretas.
Segundo a NBR 6118/2014, às ações variáveis diretas são compostas pelas cargas 
acidentais previstas para o uso da construção, como ação do vento e da água, devendo-
se respeitar as recomendações feitas pelas Normas Brasileiras específicas.
Segundo a NBR 6118/2014, ações variáveis indiretas são causadas pelas variações 
da temperatura, podendo ser analisada com variação uniforme e não uniforme de 
temperatura. Tem-se as ações dinâmicas que correspondem a choques ou vibrações 
na estrutura, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das 
solicitações.
Ações Excepcionais
Segundo a NBR 6118/2014, às ações que têm duração extremamente curta e com 
baixa probabilidade de ocorrências durante a vida da construção, mas que devem ser 
previstas em projetos, quando verificar necessidade. Consideram-se como excepcionais 
as ações decorrentes de causas tais como explosões, choques de veículos, incêndios, 
enchentes ou sismos excepcionais.
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AULA 9
INTRODUÇÃO AO 
SISTEMAS DE PROTENSÃO
É importante esclarecer bem a diferença conceitual que existe entre os termos 
sistema de protensão e tipo de protensão. 
Podemos entender que o sistema de protensão refere-se basicamente a protensão 
com aderência inicial e protensão com aderência posterior. Ou seja, temos que 
compreender o comportamento de aderência da armadura protendida com o restante 
da peça em relação à cura do concreto.
Já o termo tipo de protensão se refere ao efeito final da força de protensão sobre 
uma peça, sob o ponto de vista das tensões atuantes. Pode se caracterizar como 
protensão completa ou protensão parcial. 
Podemos definir a protensão completa, denominada também de total, para casos de 
estruturas expostas a ambientes agressivos pois proporciona melhores condições de 
proteção das armaduras, reduzindo ao máximo as aberturas de fissuras combatendo 
o processo de corrosão. Nesses casos a protensão é caracterizada por eliminar 
completamente as tensões de tração no concreto. Isso significa que as peças não 
vão ter fissuras.
Para a protensão limitada temos as peças de concreto sendo submetidas a 
tensões menores do que aquelas que seriam produzidas em uma protensão completa. 
Podemos destacar como vantagens um melhor comportamento no que diz respeito 
às deformações, além de induzir ao menor consumo de armadura. Nesse tipo de 
protensão, há tensões de tração que devem ser suportadas pelo concreto. Na protensão 
parcial, podemos entender como a mais utilizada, o concreto pode fissurar porque a 
tensão de tração é maior do que a que o concreto suporta.
9.1 Título 2 (Protensão com Pré-tensão)
A pré-tensão (pré-tração) é comumente aplicada na fabricação de peças pré-
moldadas, em pistas de protensão, com o estiramento da armadura de protensão 
antes do lançamento do concreto.
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Segundo a NBR 6118/2014 o concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão 
com aderência inicial) corresponde ao sistema que promove um pré-alongamento da 
armadura ativa, com auxílio de apoios independentes na extremidade do elemento 
estrutural utilizados para a fixação da armadura ativa. 
Segundo Bastos (2021) após o término da operação de estiramento, o fio é fixado nos 
dispositivos da ancoragem ativa, e o cilindro é retirado para, sucessivamente, ir fazendo 
o estiramento dos fios seguintes. Portanto, aextremidade onde o estiramento é feito é 
chamada ancoragem ativa, e a extremidade em que não são estirados é a ancoragem 
passiva. Após todos os fios (ou cordoalhas) estirados e fixados nas ancoragens da 
pista de protensão, armadura passiva é colocada e o concreto é lançado na fôrma, 
envolvendo e aderindo ao aço de protensão dando início a fase de cura da peça. Após a 
cura, as formas são retiradas, os equipamentos que mantinham os cabos tracionados 
são liberados e os fios são cortados, transferindo a força de protensão para o concreto 
pela aderência, que nessa ocasião deve estar suficientemente desenvolvida (figura 1).
Figura 1: Processo de uma peça pré-moldada sujeito a condição de pré-tensão
Fonte: Bastos 2021 
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Segundo Veríssimo e Junior (1998), nas pistas de protensão, a armadura ativa é 
posicionada, ancorada em blocos nas cabeceiras e tracionada. A tensão de tração 
aplicada pelo cilindro é sempre inferior à tensão limite do regime elástico do aço.
9.2 Título 2 (Protensão com Pós-tensão )
Pós-tensão com aderência
A NBR 6118 (2014) define que a armadura de protensão sofre o processo de 
estiramento após o concreto da peça ter obtido a cura e a resistência necessária para 
resistir às tensões que atuam devido ao processo de protenssao.
Segundo Bastos (2021) a pós-tensão é utilizada na produção de peças em pequenas 
quantidades. Está sendo largamente aplicada na fabricação de peças pré-moldadas de 
canteiro, para aplicação em obras que necessitam de grandes vãos, como: viadutos 
e pontes rodoviárias de vãos de aproximadamente 40 m.
Segundo Bastos (2021) no interior da fôrma são colocados dutos (bainhas), dispostos 
ao longo do comprimento da peça, como ilustrado na figura 2.a, o concreto é lançado 
na fôrma, envolvendo as armaduras passivas. Após o endurecimento do concreto, 
as cordoalhas, que são denominadas de cabo de protensão (armadura ativa) são 
posicionadas dentro das bainhas, atravessando a peça de uma extremidade à outra. 
No momento que o concreto apresenta a resistência exigida em projeto, a armadura 
de protensão, fixada em uma das extremidades (ancoragem passiva), é estirada 
(tracionada) pelo cilindro hidráulico, posicionado e apoiado na própria peça na outra 
extremidade (ancoragem ativa).
Ao fim da operação de estiramento, a força no cilindro hidráulico é relaxada, e a 
armadura, tende a voltar a sua posição inicial, quando a armadura tende a voltar a sua 
posição inicial, o concreto da peça é comprimido durante a operação de retorno, e a 
protensão (tensões de compressão) é mantida por forças transferidas pela armadura, 
de maneira concentrada nas placas de aço apoiadas no concreto (Figura 2.c). 
A armadura de protensão impõe também forças transversais na peça, se a armadura 
for curva. 
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Figura 1: Processo de uma peça pré-moldada sujeito a condição de pré-tensão
Fonte: Bastos 2021
A NBR 6118 define a protensão com aderência posterior como sendo o concreto 
protendido em que o pré-alongamento da armadura ativa é realizado após o 
endurecimento do concreto, sendo utilizadas, como apoios, partes do próprio elemento 
estrutural, criando posteriormente aderência com o concreto, de modo permanente, 
através da injeção das bainhas.
Segundo Bastos (2021) os cabos de protensão (conjuntos de cordoalhas) podem ser 
estirados em estágios diferentes, proporcionando incrementos de força de protensão 
na peça, conforme existam diferentes estágios de construção e as cargas vão sendo 
progressivamente aumentadas. 
Após a operação de estiramento, a bainha é geralmente preenchida com calda (nata) 
de cimento sob pressão, com o propósito de proteger o aço e proporcionar aderência 
com o concreto, o que faz com que os dois materiais trabalhem de modo solidário, 
em conjunto, e com melhor comportamento da peça na resistência à fissuração e à 
flexão. Com a injeção de calda de cimento tem-se a pós-tensão com aderência, e sem 
a injeção tem-se a pós-tensão sem aderência, (BASTOS, 2021).
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A pós-tensão sem aderência se refere a protensão aplicada sobre uma peça de 
concreto já endurecido não havendo, entretanto, aderência entre os cabos e o concreto. 
A inexistência de aderência refere-se somente à armadura ativa, já que a armadura 
passiva sempre deve estar aderente ao concreto.
O uso de cordoalha engraxada vem sendo aplicada para o conceito de pós-tensão 
sem aderência, especialmente em lajes maciças e nervuradas, pisos industriais, vigas 
e em reforço estrutural. 
Segundo Bastos (2021) a cordoalha é envolta com graxa para diminuir o atrito 
com a capa de polietileno durante a movimentação na operação de estiramento, a 
capa por sua vez trabalha como uma bainha, impedindo o contato do concreto com 
a cordoalha. As cordoalhas são colocadas na forma da peça ou estrutura, fixadas em 
uma das extremidades por dispositivos apropriados de ancoragem, e são envolvidas 
pelo concreto após o lançamento na fôrma.
Quando o concreto adquire a resistência exigida, as cordoalhas são estiradas por 
um cilindro hidráulico e fixadas na ancoragem ativa. Como não existe aderência entre 
as cordoalhas e o concreto, a força que comprime o concreto da peça concentra-se 
apenas nas extremidades (ancoragens).
A NBR 6118 (2014) define a protensão sem aderência como o concreto protendido 
em que o pré-alongamento da armadura ativa é realizado após o endurecimento do 
concreto, sendo utilizadas, como apoios, partes do próprio elemento estrutural, mas 
não sendo criada aderência com o concreto, ficando a armadura ligada ao concreto 
apenas em pontos localizados.
A protensão com a armadura ativa dentro da peça (inserida dentro do concreto), 
representa a grande maioria dos casos de aplicação nas estruturas, mas a protensão 
externa vem sendo utilizada, em alguns casos específicos.
Sendo externa, a armadura de protensão pode ser removida ou substituída quando 
necessário, ao decorrer do tempo de utilização. A armadura de protensão externa 
configura uma parcela da armadura total, composta também por armaduras inseridas 
no concreto, que pode ser passiva, ativa, ou ambas.
Além das pontes, as aplicações mais comuns são em recuperação e reforço de 
estruturas já existentes, em estruturas circulares (silos, reservatórios), grandes tubos 
e tanques de água (figura 3).
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Figura 3: Protensão Externa
Fonte: Veríssimo e Junior (1998) 
Segundo Veríssimo e Junior (1998) A escolha de protensão com ou sem aderência 
se deve às vantagens e desvantagens que um sistema apresenta em relação ao outro.
Podemos destacar com vantagens da protensão não-aderente os seguintes critérios;
• Permite posicionar os cabos com excentricidades maiores;
• Permite a proteção do aço contra corrosão fora da obra; 
• Permite a colocação dos cabos de forma rápida e simples;
• Perdas por atrito muito baixas; 
• Eliminação da operação de injeção.
As vantagens da protensão com aderência são as seguintes: 
• aumento de capacidade das seções no estado limite último;
• melhoria do comportamento da peça entre os estágios de fissuração e de ruptura; 
• A falha de um cabo tem consequências restritas (incêndio, explosão, terremoto).
7.3 Título 2 (Principais condições de projeto)
Este capítulo pretende apresentar os principais critérios para projeto que devem ser 
considerados conforme a NBR 6118, como a classe de agressividade do ambiente, 
cobrimento de concreto, Estados-Limites, domínios de deformação, ações nas estruturas.
Alguns temas já são conhecidos pelo estudante. De tal forma iremos realizar um 
resumo sobre os temas que se assemelha ao critério de projeto para o concreto armado.
Em projeto de estrutura de concreto,as células facilitam a condição de limpeza e inspeção. A figura 4 destaca um 
reservatório com duas células.
Figura 4:Modelo de reservatório: Duas células
Fonte: elaborado pelo autor.
Segundo Vasconcelo, (1998) a tampa deve possuir aberturas independentes para 
cada uma das células, facilitando a inspeção, pois quando uma célula está vazia a 
outra está cheia, não interrompendo o abastecimento, devendo ser cobertas por placas 
pré moldadas apoiadas sobre reforços de borda das aberturas, a fim de impedir a 
penetração de água da chuva. É comum também, instalarem-se placas metálicas 
com dobradiças fixadas nos reforços da laje.
De ordem prática, podemos dizer que as aberturas são de 60x60cm e devem ser 
capazes de evitar a entrada de água de chuva ou objetos estranhos.
1.1 (Exigências de projeto)
Podemos destacar como exigências mínimas a serem definidas para o projeto de 
um reservatório, como:
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• Resistências: todas as partes que compõem o reservatório devem ser 
dimensionadas para resistir aos possíveis esforços aos quais o reservatório 
estará sujeito;
• Estanqueidade: o reservatório deve ser estanque, um recipiente fechado, que 
não permita vazamentos;
• Durabilidade: o reservatório deve ser feito para que seja durável, portanto, suas 
propriedades iniciais devem ser conservadas após longos períodos de contato 
com o líquido armazenado.
As ligações entre paredes e fundo devem ser dotadas de mísulas visando (figura 5):
• Aumentar a rigidez da ligação entre as paredes;
• Reduzir os riscos de fissuração;
• Facilitar a aplicação da impermeabilização.
Figura 5:Modelo de reservatório: Mísulas.
Fonte: elaborado pelo autor.
Segundo Vasconcelo (1998) a condição de contorno das bordas engastadas é 
ampliada pela aplicação das mísulas que são obrigatoriamente empregadas para 
garantir a estanqueidade das arestas do reservatório. As ligações entre as paredes 
e o fundo devem possuir mísulas, para aumentar o grau de engastamento entre as 
placas, reduzir os riscos de fissuração e facilitar a aplicação da impermeabilização 
como já mencionamos.
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As dimensões usuais das peças dos reservatórios d’água são mostradas na figura 
6. Em que h1, h2 e h3 são as espessuras respectivamente da tampa, parede e fundo. 
Observe que a figura 6 se trata de um reservatório enterrado: 
• Tampa h1= 7 cm;
• Parede h2= 15 cm
• Fundo h3= 15 cm
Figura 6: Indicações de espessura.
Fonte: elaborado pelo autor.
1.2 (Ações de projeto)
Como já discutimos anteriormente, os elementos dos reservatórios podem ser 
divididos em tampa, paredes e fundo, para cada elemento dessa subdivisão vamos 
considerar um conjunto de ações que atuam de diferentes formas. Em uma visão geral, 
podemos dizer que as principais ações são: peso próprio, peso do revestimento, carga 
acidental, pressão da água e empuxo do solo. Porém, o empuxo do solo só acontece 
para reservatórios enterrados e semienterrados. 
Conforme NBR 6120 (ABNT, 2019), o peso de todos os elementos construtivos da 
estrutura constituem as cargas permanentes, as quais podemos estimar a partir do 
peso específico dos materiais que compõem o reservatório, que são estabelecidos na 
referida norma. Em relação à posição do reservatório, podemos destacar alguns valores 
de carga acidental referentes à laje de cobertura com acesso ao público, tráfego de 
veículos ou outras condições específicas de cada projeto, além disso, deve-se estimar 
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a pressão hidrostática que atua sobre as paredes bem como o empuxo do solo, se 
assim for necessário.
Souza e Cunha (1994) destacam que, para reservatórios enterrados ou semi 
enterrados, demonstrados na figura 7, deve-se considerar na tampa o peso próprio 
dos elementos, cargas de solo e carga acidental. Para as paredes, atuam o empuxo 
de terra (Es) e quando o nível do lençol freático se encontra acima do fundo do 
reservatório, tem-se o empuxo de água (Ea), e a subpressão, além da pressão interna 
(pa). Entretanto, quando há possibilidade de construções futuras (retirada do solo 
adjacente ao tanque), deve-se desconsiderar a parcela de empuxo favorável em volta 
do reservatório e considerar apenas o empuxo da água que atua internamente. 
Figura 7: Reservatório, com empuxo de solo (Es), Empuxo de água (Ea), Reação do solo, Pressão interna (pa) e Cargas externas.
Fonte: elaborado pelo autor.
1.3 (Modelo de cálculo)
O projeto estrutural estabelece condições de contorno que uma estrutura deve ter 
para que seja possível sua execução, como as questões de segurança, condições 
de utilização, condições econômicas, estéticas, questões ambientais, condições 
construtivas e restrições legais. Por tal motivo, existem algumas etapas que o projeto 
estrutural explora para, ao final do processo, representar as especificações da estrutura 
de forma completa (Martha, 2017).
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Com a concepção do modelo estrutural se dá início a uma caminhada que visa 
a resposta da estrutura diante das solicitações, que pode ser expressa em termos 
de esforços internos e deslocamentos e, assim, analisar se a estrutura é capaz de 
suportar as solicitações com segurança, garantindo o (ELU) e (ELS).
Kimura (2018) esclarece que a concepção estrutural não está vinculada somente 
a um modelo de análise, e sim diversos modelos que podem ser aplicados na análise 
estrutural, como também existe a possibilidade de combinações de modelos nas 
elaborações dos projetos. Com isso, muitos estudos foram desenvolvidos, testados 
e validados a fim de desenvolver métodos alternativos para análise estrutural. Os 
modelos podem ser mais simples ou mais complexos, e a qualidade depende da 
natureza do problema estudado.
Podemos destacar que as cargas predominantes nos reservatórios são perpendiculares 
ao plano dos elementos (tampa, parede e fundo) assume-se, de forma aproximada, que 
cada componente do reservatório se comporta como uma placa isolada, ou seja, um 
elemento de laje sujeito a ações normais em sua superfície, o que permite, portanto, 
aplicar a teoria de placas para estimar seus esforços e deslocamentos. As placas são 
elementos estruturais de superfície plana, estando sujeitas, principalmente, a ações 
normais ao seu plano, que configura uma predominância dos esforços de flexão.
Segundo Vasconcelos, (1998) há várias maneiras de calcular os esforços solicitantes 
que atuam nas peças estruturais dos reservatórios, o modo mais simples de obter 
esses esforços é considerar cada parede como uma laje engastada em três bordas 
e simplesmente apoiada na borda superior (tampa).
Souza e Cunha (1994) destaca que o cálculo das caixas d’água deve-se observar os 
momentos em suas arestas (local de ligação), pois, nessa junção podem existir arestas 
cujos momentos se aproximam dos momentos de engastamento perfeito e arestas 
que possuem momentos pequenos, quase nulos, que fazem com que elas possam ser 
associadas a apoio simples (rótula). Para se saber em que caso elas se enquadram, 
é preciso realizar um estudo de tendência de deformação das lajes para cada tipo de 
reservatório. Essa tendência de deformação é determinada através da rotação das 
arestas dos elementos estruturais em função dos carregamentos atuantes (figura 7). 
Quando as rotações das placas têm o mesmo sentido não temos a abertura ou 
fechamento considerável da ligação, pode-se considerar a aresta simplesmente apoiada 
(rotulada). Quando as rotações possuem sentidos contrários temos um acréscimo 
de tensões devido à mudança dos esforços internos, podendo ocorrer abertura das 
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ligações, para esta condiçãoo projetista tem que definir a classe de 
agressividade do ambiente na qual a estrutura, ou partes dela, estará inserida, o que 
lhe auxilia a definir os parâmetros do concreto a ser aplicado, como:
• Resistência à compressão (fck);
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• Relação água/cimento máxima (a/c);
• O cobrimento (c) das armaduras pelo concreto.
A NBR 6118 apresenta como critério de projeto a agressividade ambiental, que deve 
ser classificada de acordo com o apresentado na tabela 1 como apresentado a seguir:
Tabela 1 - Classes de agressividade ambiental.
Fonte: Bastos 2021.
Segundo a 6118 os ensaios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao 
tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros 
mínimos a serem atendidos, porém na ausência destes, podemos considerar a relação 
água/cimento e a resistência à compressão do concreto, permite-se assim que sejam 
adotados os requisitos mínimos expressos na Tabela 2.
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Tabela 2: Relação entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto armado.
Fonte: Bastos 2021.
A NBR 6118 define o cobrimento mínimo da armadura como o menor valor que 
deve ser respeitado ao longo de todo o elemento projetado. Para garantir o cobrimento 
mínimo (cmín), o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), 
que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c) (Figura 4). As 
dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais.
Figura 4: Cobrimento da armadura.
Fonte: Bastos (2021) 
As obras em geral adotam valor de (∆c) próximo de 10 mm. Esse valor pode ser 
reduzido para 5 mm quando a execução for rigorosa e com controle adequado de 
qualidade. A Tabela 3 apresenta valores de cobrimento nominal com tolerância de 10 
mm, em função da classe de agressividade ambiental.
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Tabela 3: Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c = 10 mm
Fonte: Bastos (2021) 
7.3.2 Título 3 (Definições dos Estados-Limites )
Os Estados-Limites devem ser considerados no projeto das estruturas em Concreto 
Protendido, relativamente à verificação da segurança e das condições em serviço.
Apresentam-se a seguir as definições dos Estados-Limites, destacando, o estado 
limite para estrutura protendida
Conforme descrito na NBR 6118, tem-se:
Estado-Limite Último (ELU) é o estado-limite relacionado ao colapso, ou a qualquer 
outra forma de ruína estrutural,
Estado-Limite de Serviço (ELS) Os Estados-Limites de Serviço são definidos pela 
NBR 6118 como aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade, aparência 
e boa utilização das estruturas
Os Estados-Limites de Serviço definidos pela NBR 6118 (item 3.2) são:
• Estado-Limite de Formação de Fissuras (ELS-F) estado em que se inicia a 
formação de fissuras. Admite-se que este estado-limite é atingido quando a 
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tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,f (resistência do 
concreto à tração na flexão);
• Estado-Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W) estado em que as fissuras se 
apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados pela 6118. No 
caso das estruturas de Concreto Protendido com protensão parcial, a abertura de 
fissura característica está limitada a 0,2 mm, a fim de não prejudicar a estética 
e a durabilidade;
• Estado-Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF) estado em que as 
deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal, dados 
pela 6118. Os elementos fletidos como as vigas e as lajes apresentam flechas 
em serviço. O cuidado que o projetista estrutural deve ter é de limitar as flechas 
aos valores aceitáveis da norma, que não prejudiquem a estética e causem 
insegurança aos usuários;
• Estado-Limite de Descompressão (ELS-D) para esse estado tem-se que em um 
ou mais pontos da seção transversal, a tensão normal é nula, não havendo 
tração no restante da seção. Verificação usual no caso do concreto protendido. 
Situação onde a seção comprimida pela protensão vai sendo descomprimida 
pela ação dos carregamentos externos, até atingir o ELS-D (Figura 5). Esta 
verificação deve ser feita no Estádio I (concreto não fissurado, comportamento 
elástico linear dos materiais), conforme o item 17.3.4 da NBR 6118.
Figura 5: Tensões normais devidas à força de protensão (P) e ao momento fletor externo (Mext), com tensão nula em um ponto (base).
Fonte: Bastos (2021)
• Estado-Limite de Descompressão Parcial (ELS-DP) é o estado no qual garante-se 
a compressão na seção transversal, na região onde existem armaduras ativas. 
Essa região deve se estender até uma distância (ap) da face mais próxima da 
cordoalha ou da bainha de protensão (Figura 4). 
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Figura 5: Peça estrutural no estado (ELS-DP)
Fonte: Bastos (2021)
• Estado-Limite de Compressão Excessiva (ELS-CE) para esse estado, as tensões 
de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Condição que pode 
acontecer em concreto protendido. Quando o concreto é submetido a tensões de 
compressão inicia-se um processo de danificação progressiva, principalmente 
pelo crescimento de microfissuras a partir de falhas pré-existentes no concreto 
e na interface pasta-agregados. Processo este responsável pelo comportamento 
não-linear do concreto e pelo efeito Rüsch. Por isso que no projeto das peças 
protendidas em serviço é geralmente adotada a tensão de apenas 50 ou 60 % 
da resistência característica do concreto à compressão.
• Estado-Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE) estado em que as vibrações 
atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção.
Como podemos observar, é válido ter atenção a respeito dos (ELS-D), (ELS-DP), 
(ELS-CE) pois tratam sobre os critérios de serviço de peças estruturais protendidas, 
assunto de estudo neste capítulo. 
Como critério de projeto, o projetista precisa ter conhecimento da forma que a peça 
estrutural irá romper, ou seja, os domínios são justamente as diferentes formas que 
uma peça de concreto pode se romper. Segundo a NBR 6118 os procedimentos para 
projetos de estruturas de concreto são exemplificados pelo gráfico com as divisões 
dos domínios em função do encurtamento ou do alongamento máximos do concreto 
armado, e da altura da linha neutra. Podemos entender que o projetista necessita do 
conhecimento sobre a distribuição das deformações na seção transversal vinculado 
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ao domínio que seu elemento se encontra, conhecendo assim as vigas, pilares e 
tirantes, submetidas à força normal e momentos fletores, de tal forma a compreender 
a condição limite de tensão que a seção de peça pode suportar.
Destaca-se que o conhecimento sobre os domínios é essencial, porém o estudo 
sobre o comportamento dos domínios foi feito em disciplinas anteriores, logo não 
iremos nos aprofundar em tal conceito.
Segundo a NBR 6118/2014 para uma efetiva análise estrutural temos que considerar 
a interferência de todas as ações que possam produzir efeitos para a segurança da 
estrutura, levando-se em conta os possíveis estados-limites últimos e de serviço.
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AULA 10
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
E ESTADOS LIMITES DE 
SERVIÇO PARA O CONCRETO 
PROTENDIDO
No caso de estruturas de concreto armado, o procedimento comum é projetar a 
peça para atender ao Estado-Limite Último (ELU), e então verificar se a peça apresenta 
comportamento satisfatórioem serviço, ou seja, se atende às exigências dos Estados-
Limites de Serviço (ELS), como flecha, fissuração, fadiga, vibração, etc.
Segundo Bastos (2021) o concreto protendido é diferente, pois é o procedimento 
comum é projetar a peça para atender as exigências do ELS, e então verificar se a peça 
apresenta comportamento satisfatório no ELU, ou seja, se a capacidade resistente da 
peça é suficiente frente aos esforços solicitantes, e com a devida margem de segurança.
Segundo Bastos (2021) o concreto protendido (CP) é analisado assim porque as 
condições dos ELS são mais críticas que as do ELU, pois as estruturas que passam 
no ELS geralmente também atende ao ELU. Podemos destacar outra forma de projetar 
as peças de CP que garanta às condições impostas nas situações em serviço, é 
estabelecendo limites aos valores das tensões normais atuantes no concreto.
Os valores limites utilizados para projetar o CP corresponde a valores máximos 
adotados pelo engenheiro projetista, e são denominados como tensões admissíveis. O 
projeto é estruturado de modo que as tensões admissíveis não sejam ultrapassadas, 
porém não é suficiente para garantir o atendimento aos Estados-Limites, principalmente 
no que se refere à capacidade resistente, por tal motivo busca-se verificar a resistência 
da peça aos esforços solicitantes.
No caso de flexão, principalmente, a capacidade da peça à flexão deve ser 
obrigatoriamente verificada. As tensões admissíveis são estabelecidas também com 
o objetivo de evitar danos na peça durante a construção, bem como assegurar um 
bom comportamento da peça quando em serviço.
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A fissuração e a flecha, por exemplo, podem ser controladas de forma indireta, quando 
caracterizado os valores para as tensões admissíveis. Quando tem-se a condição em 
que não é permitido uma peça fissurar em serviço, a tensão admissível à tração do 
concreto deve ser escolhida de forma a atender tal condição. A peça pode trabalhar 
fissurada, a tensão admissível à tração pode ser desconsiderada, porém neste caso é 
necessário verificar a abertura da fissura, além de dimensionar uma armadura passiva 
para resistir às tensões de tração atuantes.
Para Bastos (2021) a seção deve permanecer não fissurada sob o carregamento 
de serviço (protensão completa), tensões limites (admissíveis) de tração devem ser 
impostas. Se a seção é permitida fissurar (protensão parcial), a tensão admissível à 
tração pode ser relaxada e apenas as outras tensões admissíveis permanecem. Em 
condição de serviço e não fissurada, a estrutura é considerada trabalhando em regime 
elástico, e são duas as situações críticas geralmente consideradas: 
• Tensões no concreto no instante da transferência da protensão para a peça: 
além da força de protensão, de modo geral o único carregamento que atua é o 
peso próprio da peça.
• Tensões no concreto com a peça trabalhando em serviço: além da força de 
protensão, os carregamentos que atuam são os permanentes (g) e os variáveis 
(q).
As tensões de compressão são consideradas com sinal negativo, e as tensões de 
tração com sinal positivo.
Os diagramas de tensão na seção transversal do elemento protendido presente na 
figura 1 destacam duas situações críticas.
A primeira situação equivale ao momento da transferência da protensão para a peça, 
onde atua a força de protensão (Po), e somente o carregamento externo denominado 
inicial (Mmín) sendo ocasionado pelo peso próprio da peça (Mo). Para tal condição 
geralmente a tensão de tração se localiza no topo (𝞂t,0) e a tensão de compressão 
na base (𝞂b,0)
A segunda situação corresponde a todas as perdas de força de protensão, quando 
atua o carregamento final, onde (Mmáx) corresponde ao momento fletor total atuante 
na peça em serviço (P∞ + Mmáx), devido aos carregamentos permanentes e variáveis. 
Tal condição tem tensão de compressão no topo (𝞂c,tot) e tensão de tração na base 
(𝞂t,tot) podendo ser de compressão nula ou de tração.
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Figura 1: Diagramas de tensão sob carregamentos inicial e final, e tensões admissíveis.
Fonte: Bastos (2021)
A NBR 6118 (2014) não trabalha com valores para tensões admissíveis, porém, 
estabelece que o valor limite para verificação simplificada no Estado-Limite Último 
no ato da protensão (corresponde ao instante da transferência da protensão para o 
concreto da peça) seja igual a (0,7.fckj).
Onde: 
fckj : resistências características à compressão (fckj) e à tração (fctkj), em função 
de um tempo (j);
A norma americana ACI 318 e o Eurocode 2, por exemplo, consideram as tensões 
admissíveis para o concreto mostradas na Tabela 1, para dois momentos da vida da 
peça: Instante da transferência da protensão para a peça, e após a ocorrência de 
todas as perdas de protensão. 
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Fonte: Bastos (2021)
10.1 Título 2 ( Análise da Tensão de Estiramento da Armadura de Protensão)
A NBR 6118 (2014) estabelece que o diagrama tensão-deformação dos aços de 
protensão deve ser fornecido pelo fabricante, porém na ausência do diagrama, a NBR 
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6118 oferece o diagrama simplificado (Figura 2), para os Estados-Limite de Serviço e 
Último, correspondente aos intervalos de temperaturas de 20° C e 150° C.
Figura 2: Diagrama tensão-deformação simplificado indicado pela NBR 6118 para aços de protensão.
Fonte: Bastos (2021)
Segundo Bastos (2021) o diagrama da Figura 2 podem ser feitas as seguintes 
observações:
a) fptk = resistência característica mínima à tração; fpyk = resistência característica 
de início de escoamento convencional, eqivalente à deformação residual de 0,2 
%, podendo ser determinada com as seguintes relações: fpyk = 0,85fptk para 
fios de relaxação normal (RN), fpyk = 0,90fptk para fios de relaxação baixa (RB) 
e cordoalhas de três ou sete fios. No caso de barras, a relações variam (em 
torno de 0,85) conforme a resistência e diâmetro da barra, devendo ser obtidas 
diretamente nas tabelas dos fabricantes; fptd = fptk/gs (resistência mínima de 
cálculo à tração); fpyd = fpyk/gs (resistência de início de escoamento de cálculo);
b) Adota-se o módulo de elasticidade Ep = tg a = 200 GPa para fios e cordoalhas 
(na falta de dados do fabricante e de ensaio segundo a NBR 6118). Podemos 
considerar 200 GPa para as cordoalhas conforme a NBR 7483, e Ep = 205 GPa 
para fios conforme a NBR 7482;
c) (deformação de início de escoamento de cálculo);
d) = deformação de alongamento último relativa à ruptura do aço, podendo ser 
tomado como 5 ou 6 % para fios (conforme a NBR 7482), e 3,5 % para cordoalhas 
(conforme a NBR 7483).
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O item 9.6.1.2 da NBR 6118 descreve que as operações de protensão, geram força 
de tração na armadura, que por sua vez não pode superar os valores decorrentes da 
limitação das tensões no aço correspondentes a essa situação transitória.
Após o término das operações de protensão, as verificações de segurança devem 
ser feitas de acordo com os estados-limites definido pela NBR 6118
Segundo Bastos (2021) a aplicação da força de estiramento (Pi), a tensão de tração 
na armadura de protensão (𝞂pi) deve estar dentro dos valores-limites definido pela 
NBR 6118/2014:
• Armadura pré-tracionada: A tensão (𝞂pi) da armadura de protensão no momento 
da saída do aparelho de tração deve respeitar os seguintes limites: (0,77.fptk) 
e (0,90.fpyk) para aços da classe de relaxação normal (RN). Para os aços de 
classe de relaxação baixa (RB) temos que verificar os seguintes valores (0,77.
fptk) e (0,85.fpyk); 
• Armadura pós-tracionada: A tensão (𝞂pi) da armadura de protensão no momento 
da saídado aparelho de tração deve seguir os seguintes limites: (0,74.fptk) e 
(0,87.fpyk) para aços da classe de relaxação normal(RN). Para (0,74.fptk) e (0,82.
fpyk) deve-se usar aços da classe de relaxação baixa (RB); 
• Quando utilizamos cordoalhas engraxadas o aços deve ser da classe de relaxação 
baixa, e os valores-limites da tensão (𝞂pi) da armadura de protensão na saída 
do aparelho de tração podem ser adotados sendo (0,80fptk) e (0,88fpyk).
Tabela 2: Tensões limites na operação de estiramento da armadura de protensão (NBR 6118)
Fonte: Bastos 2021
10.2 Título 2 (Verificação do Estado Limite Último no momento da proteção)
A NBR 6118/2014 apresenta as considerações relativas à verificação do Estado 
Limite Último no momento da proteção, equivalente às hipóteses básicas apresentadas 
no item da NBR 6118 - 17.2.3. Deve-se respeitar as seguintes hipóteses suplementares:
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• Considera-se resistência característica do concreto fckj correspondente à idade 
fictícia j (em dias), no ato da protensão, sendo que a resistência de fckj deve 
ser claramente especificada no projeto;
• Admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de ponderação, com as 
cargas que efetivamente atuarem nessa ocasião: γc = 1,2; γs = 1,15; γp = 1,0 
na pré-tração; γp = 1,1 na pós-tração; γf = 1,0 para as ações desfavoráveis; γf 
= 0,9 para as ações favoráveis.
Segundo Bastos (2021) a NBR 6118/2014 no item (17.2.4.3.2) descreve que a 
verificação a respeito da segurança deve considerar o estado-limite último no ato de 
protensão, verificado no estádio I, desde que as seguintes condições sejam atingidas:
• A tensão máxima de compressão na seção de concreto, alcançadas por meio 
das solicitações ponderadas (γp = 1,1) e (γf = 1,0) não pode ultrapassar 70 % 
da resistência característica fckj;
• A tensão máxima de tração do concreto não pode ultrapassar em 20% a 
resistência à tração (fctm) correspondente ao valor fckj especificado;
• Para seções transversais com tensões de tração, considera-se a armadura 
de tração, calculada no estádio II. Por questão de simplificação a força nessa 
armadura pode ser considerada igual à resultante das tensões de tração no 
concreto no estádio I.
10.3 Título 2 ( Escolha do Nível de Protensão)
Segundo Bastos (2021) a força de protensão no elemento estrutural reduz ou elimina 
a tensão de tração atuante na seção transversal, que por sua vez reduz a ocorrência 
ou não de fissuração, em função do nível de protensão. 
Podemos destacar situações onde é necessário evitar a fissuração, como: 
reservatórios, ou agentes agressivos, etc., entre outras situações em que deseja-se 
eliminar as abertura das fissuras.
Essas questões estão relacionadas com o nível de protensão, denominado como grau 
de protensão (Kp), definido como a relação entre o momento fletor de descompressão 
(M0) e o momento fletor máximo (Mmax) atuante na estrutura.
Kp= 
M0_______
Mmax.
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Para Bastos (2021) momento fletor de descompressão (Mo) é definido como o 
momento que se alcança o Estado Limite de Descompressão (ELS-D), ou seja, que leva 
a uma tensão normal zero em algum ponto da seção transversal da peça (geralmente 
a borda tracionada pelo momento fletor máximo).
O grau de protensão avalia se na seção em que atua o momento fletor máximo 
ocorre ou não tensão de tração. Uma viga fletida com kp = 1 está sob protensão total, 
e valores inferiores definem a protensão limitada e a protensão parcial. 
Segundo Bastos (2021) a tabela 3 presente na NBR 6118/2014 vincula os níveis 
de protensão com o sistema de protensão, se é pré ou pós-tração e sua classe de 
agressividade ambiental. Podemos assim de forma simples, para uma peça fletida 
sob o carregamento de serviço compreender as exigências relativas à fissuração. 
Tabela 3: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental (NBR 6118)
Fonte: Bastos (2021)
Conforme Bastos (2021) com as informações presente na tabela 3, podemos 
descrever as características dos níveis de protensão da seguinte forma:
• Para a protensão completa não são consideradas as tensões de tração, porém no 
momento em que ocorrer a combinação rara de ações, nas seções de extremidade 
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de peças pré-tracionadas e em fases transitórias de execução, até o ELS-F (início 
de formação de fissuras);
• Para protensão limitada são admitidas tensões de tração. No caso de ocorrência 
de combinação rara de ações, o ELS-F seria ultrapassado e daria início a fissuras, 
que permaneceriam fechadas após cessada a combinação;
• Para protensão parcial são admitidas tensões de tração e fissuras com aberturas 
de até 0,2 mm. 3.10
Posição dos Esforços Solicitantes nas Armaduras Ativas e Passivas
Segundo a NBR 6118 os esforços solicitantes nas armaduras ativas e passivas 
pode ser considerado aplicado no centro de gravidade, desde que:
• Os esforços nas armaduras devem ser considerados concentrados no centro de 
gravidade da peça analisada, bem como a distância deste centro de gravidade 
ao centro da armadura mais afastada, for menor que 10 % de h. As armaduras 
laterais da viga podem ser consideradas no cálculo dos esforços resistentes, 
desde que estejam convenientemente ancoradas e emendadas.
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AULA 11
PERDAS DE PROTENSÃO
Para darmos início ao nosso estudo, podemos entender que a tensão na armadura 
de protensão decresce continuamente com o tempo, rapidamente no momento inicial, 
e depois ao decorrer da vida útil da peça.
A queda de tensão se deve ao fato da armadura sofrer alongamento, por diversas 
causas, o que promove a redução da força de protensão (Figura 1). existem diferentes 
perdas ao longo da vida útil da peça, de tal forma, que quando somadas temos a 
chamada perda de protensão total, que por sua vez deve ser calculada, para poder 
prever a força de protensão efetiva final, atribuído aos projetos de peças protendidas.
Figura 1: Reduções de alongamento na armadura de protensão acompanhado pela redução de tensão.
Fonte: Bastos (2021)
Segundo Bastos (2021) podemos destacar como perdas individuais importantes:
• Escorregamento na ancoragem: após a operação de estiramento da armadura 
de protensão, o cilindro hidráulico libera a armadura, que por sua vez arrasta 
a cunha para dentro do furo cônico da peça, até a sua completa cravação, 
processo de acomodação inicial;
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• Relaxação: após o estiramento, a armadura de protensão permanece sob 
alongamento e tensão, e apresenta uma perda de tensão ao longo do tempo, 
podemos entender como propriedade natural do aço;
• Encurtamento elástico inicial: a força protensão aplicada na peça, comprime 
o concreto, que por sua vez encurta-se, e como a armadura de protensão 
simultaneamente também encurta, e consequentemente perda de força de 
protensão;
• Retração: a água livre do concreto evapora ao longo do tempo possibilitando 
uma diminuição de volume do concreto, e consequentemente o encurtamento 
da peça e da armadura de protensão;
• Fluência: tensões de compressão no concreto ao decorrer de um tempo pode 
causar deformações de encurtamento na peça ao longo do tempo, promovendo 
assim a diminuição de tensão na armadura de protensão;
• Atrito: temos atrito entre a bainha e o aço de protensão, especialmente em 
cabos curvos, que por sua vez diminui a tensão aplicada no aço.
Podemos observar que as perdas de protensão estão vinculadas ao concreto e 
ao aço, e são instantâneas ou dependentes do tempo (diferidas), como ilustrado na 
Figura 2. 
Figura 2: Distribuiçãode cada perda de protensão na perda total.
Fonte: Bastos (2021)
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Porém podemos destacar que as perdas de força de protensão também têm sua 
ocorrência vinculadas ao tipo de aplicação da protensão, ou seja, sendo pré ou pós-
tensionada, como apresentadas na Tabela 1.
As perdas que dependente do tempo podem ser interdependentes, como exemplo 
podemos destacar a relaxação, que ao diminuir a tensão no aço, reduz também a 
tensão no concreto, e assim reduz a perda por fluência, que por sua vez, reduz a 
relaxação no aço.
A intensidade das perdas de protensão pode estar vinculada com o comprimento da 
peça, conforme a posição, e geralmente, a perda que interessa está localizada em uma 
seção crítica, como por exemplo como a seção mais solicitada pelos carregamentos 
externos.
Tabela 1: Perdas de protensão e ocorrência.
Fonte: Bastos (2021)
A NBR 6118 destaca que o projeto deve prever as perdas da força de protensão em 
relação ao valor inicial aplicado pelo equipamento, ocorridas antes da transferência 
da protensão ao concreto (perdas iniciais, na pré-tração), durante essa transferência 
(perdas imediatas) e ao longo do tempo (perdas progressivas).
Para tanto a norma faz uma classificação das perdas em função do instante de 
ocorrência:
• Perdas iniciais (pré-tração): aquelas que ocorrem antes da transferência da 
protensão para a peça;
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• Perdas imediatas: aquelas que ocorrem durante a transferência da protensão 
para a peça;
• Perdas progressivas posteriores: aquelas que ocorrem após a transferência da 
protensão, crescentes ao longo do tempo de vida útil da peça.
Podemos observar que algumas perdas de protensão estão vinculadas ao tempo 
(chamadas progressivas ou diferidas), e outras perdas não são dependentes do tempo.
11.1 Título 2 ( Perdas de Protensão na Pré-tração)
Segundo Bastos (2021) a figura 3 destaca as perdas de força de protensão que 
ocorrem na armadura de protensão na pré-tração (ou pré-tensão), ao decorrer do 
tempo de vida do elemento estrutural.
Segundo Bastos (2021) podemos compreender os passos das perdas de protensão 
na pré-tração da seguinte forma (figura 3):
• Vamos adotar que a fabricação do elemento seja realizada em pista de 
protensão. Para tanto no término da operação de estiramento de um fio, o 
cilindro hidráulico solta o fio, que por sua vez possui um movimento elástico 
contrário ao alongamento, por condição física de instalação, o fio escorrega 
alguns milímetros nos dispositivos de fixação (cunha), e assim ocorre a primeira 
perda de protensão, classificada como inicial (∆Panc). Como destacado na Tabela 
1, ocorre antes da transferência da protensão.
• Podemos compreender que os fios após desvinculados do cilindro hidráulico, 
permanecem alongados ao longo da pista (estirados), fixados nas extremidades, 
e só serão relaxados quando o concreto das peças tiver a resistência necessária. 
Considerando que os fios se mantém sob tensão e com comprimento constante 
durante esse período, temos a perda por relaxação (∆Pr1), observe que a 
transferência da protensão para a peça não foi realizada, logo temos uma perda 
inicial.
• No final do estiramento de todos os fios e finalizado a execucao das fôrmas, 
o concreto é lançado, entrando em contato com os fios, e tem o processo 
de endurecimento iniciado. Temos assim o inicio do processo de ratracao do 
concreto (começa a diminuir de volume), originando a perda por retração (∆Pcs1) 
também chamada inicial.
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• Quando o concreto alcanca a resistência necessária, os fios são soltos das 
ancoragens nas extremidades da pista, nesse momento ocorre a transferência 
da protensão para a peça, dando inicio ao encurtamento da peca de concreto, 
gerando a perda de protensão por encurtamento elástico inicial (∆Penc).
• Podemos agora entender que os fios permanecem estirados no interior da 
peça, por toda sua vida útil, o que leva à perda por relaxação posterior (∆Pr2), 
condicao natural do aço, que ocorre gradativamente com o tempo, denominada 
progressiva, até a estabilização.
• O concreto continua a apresentar deformações decorrentes da retração e da 
fluência, que por sua vez geram outras duas perdas posteriores e progressivas 
(∆Pcs2 e ∆Pcc2). 
Podemos assim concluir que a perda de força de protensão total na pré-tensão é, 
portanto descrita pela seguinte equação:
Podemos entender que as três primeiras perdas são iniciais, ∆Penc é uma perda 
imediata, e as três últimas são perdas progressivas posteriores.
Figura 3: perdas de força de protensão que ocorrem na armadura de protensão na pré-tração (ou pré-tensão).
Fonte: Bastos (2021)
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Na pré-tensão, se os fios ou cordoalhas não forem retos, ou seja, terem mudança 
de direção, deve-se considerar as perda por atrito que ocorrem nos desvios (apoios 
- ver Figura 4). 
Figura 4: Fios ou cordoalhas que não sao retos.
Fonte: Bastos (2021)
A Figura 5 apresenta a variação típica de tensão na armadura de protensão em 
peça pré-moldada pré-tensionada, com cura a vapor, tensão inicial no aço de 0,8fptk 
e tensão final um pouco superior a 0,5fptk.
Figura 5: Variação típica de tensão na armadura de protensão na pré-tensão, em peça pré-moldada com cura a vapor. 
Fonte: Bastos (2021)
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11.2 Título 2 (Perdas de Protensão na Pós-tração)
Segundo Bastos (2021) o gráfico da figura 6 apresenta as perdas de força de 
protensão que ocorrem em um cabo de protensão no processo de pós-tração, ao 
decorrer do tempo de vida da peça, com alguns cabos. Podemos dar início ao processo 
de perdas quando o primeiro cabo é estiradas e devido à curvatura do cabo dentro da 
peca, origina-se o atrito entre as cordoalhas e a superfície interna da bainha, que por 
sua vez, origina a primeira perda de protensão, por atrito (∆Patr). No final do processo 
de estiramento, as cordoalhas são liberadas dando início ao processo de acomodação 
completa, proporcionada pelas cunhas, e assim ocorre a perda por escorregamento 
na ancoragem (∆Panc).
A partir do momento em que temos a completa cravação das cunhas, tem o início 
das perdas por relaxação do aço e retração e fluência do concreto (∆Pr1 , ∆Pcs1 
e ∆Pcc1), denominadas de iniciais, mesmo quando os outros cabos são estirados 
subsequentemente, pois a força de protensão total ainda não está completamente 
aplicada na peça.
Podemos entender que as perdas de protensão iniciais por relaxação da armadura 
e por retração e fluência do concreto só acontecem quando existem múltiplos cabos 
de protensão, com estiramento em instantes diferentes. Para a condição de existir 
apenas um cabo, essas perdas deixam de ser chamadas iniciais e passam a ser 
denominadas progressivas posteriores.
Na prática entende-se que a força de protensão (Po) corresponde à força aplicada 
na peça ao término da operação de estiramento de todos os cabos. Para o caso de 
peças com vários cabos, as perdas vinculadas a relaxação e por retração e fluência 
do concreto, em um cabo, acontecem no instante em que este cabo é fixado nas 
ancoragens até o instante do estiramento e fixação do último cabo.
Com o término do estiramento de todos os cabos temos o início das perdas 
progressivas posteriores em todos os cabos.
A perda inicial por fluência do concreto ocorre porque cada cabo esticado aplica 
tensões de compressão na peça, que causam fluência do concreto, logo compreendemos 
que, cada cabo que é estirado provoca perda por fluência nos cabos já instalados e 
fixados.
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FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 139Figura 6: Perdas de força de protensão com o tempo em um cabo de protensão na pós-tração.
Fonte: Bastos (2021)
Segundo Bastos (2021) temos que considerar as seguintes especificações: 
• O primeiro cabo que sofreu o processo de estiramento não causa em si próprio 
perda por encurtamento elástico imediato do concreto (∆Penc), tal motivo está 
vinculado com à medida que a peça encurta, pois o cilindro hidráulico compensa 
esse encurtamento, e no final da operação não temos o processo de perda
• O segundo cabo sofre o processo de estiramento, este ira provocar perda por 
encurtamento elástico imediato no primeiro cabo, ou seja, um cabo estirado 
causa perda por encurtamento em todos os cabos anteriormente estirados.
• Temos que o último cabo não terá a perda por encurtamento, ou seja, para a 
condição em que todos os cabos forem estirados simultaneamente temos a 
perda sendo nula em todos os cabos.
• No momento da transferência completa da força de protensão (todos os cabos 
alongados), temos as chamadas perdas progressivas posteriores, por relaxação 
do aço (∆Pr2) e por retração e fluência do concreto (∆Pcs2 e ∆Pcc2).
 
A perda de força de protensão total na pós-tensão é, portanto:
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As seis primeiras perdas são compreendidas como imediatas, e as três últimas 
são perdas progressivas posteriores. A Figura 7 apresenta a variação característica 
de tensão na armadura de protensão para peça pós-tensionada, com tensão inicial 
no aço de 0,8fptk , e um pouco superior a 0,5fptk para a tensão final. 
Figura 7: Variação típica de tensão na armadura de protensão na pós-tensão.
Fonte: Bastos (2021)
9.1 Título 2 (Valores Típicos da Força de Protensão )
Para o projeto e execução das peças de Concreto Protendido podemos destacar 
algumas situações ou etapas em que podem ser relacionadas com valores particulares 
da força de protensão, e que são responsáveis pela orientação na verificação de 
esforços solicitantes e execução da protensão na obra ou na fábrica.
Podemos observar na Figura 3 e Figura 6, que as forças de protensão são denominadas 
como, (Pi , Pa , Po , Pt e P∞), pois estão expostas em função das diferentes perdas 
de protensão que podem ocorrer.
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Segundo Bastos (2021) para uma melhor exemplificação e entendimento de tais 
forças a NBR 6118/2014 define no item 9.1, como:
• Força de Protensão (Pi): Pi é caracterizado como sendo a força máxima aplicada 
à armadura de protensão pelo equipamento de tração, ou seja, é a força máxima 
de início aplicada na armadura antes da fixação das ancoragens, tanto na pré-
tensão quanto na pós-tensão.
• Força de Protensão (Pa): Podemos entender que a força Pa ocorre somente 
na pré-tensão, sendo caracterizada como à força na armadura de protensão 
imediatamente antes à liberação das ancoragens. 
• Força de Protensão (Po): A força Po (x) é a força na armadura de protensão 
no tempo t = 0, na seção de abcissa (x), ou seja, é o valor inicial da força de 
protensão transferida ao concreto. 
• Força de Protensão (Pt): A força Pt (x) corresponde à força na armadura de 
protensão, no tempo t, na seção de abscissa (x), onde (t) é a variável no tempo 
em função das perdas progressivas posteriores.
• Força de Protensão (P∞): Força de Protensão (P∞), corresponde a força de 
protensão final, aquela após ocorridas todas as perdas.
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AULA 12
POSICIONAMENTO DOS CABOS 
AO LONGO DA ESTRUTURA
Sobre a Traçado de cabos de protensão, podemos apontar que a armadura de 
protensão pode ser retilínea, curvilínea, poligonal ou de traçado misto, respeitada a 
exigência referente à armadura na região dos apoios.
Figura 1: Traçado típico dos cabos de uma laje protendida.
Fonte: EMERICK (2002, p. 50).
Segundo a NBR 6118 (2014) Em apoios intermediários podemos observar a 
necessidade de dispor uma armadura, que possuirá um prolongamento dos vãos 
adjacentes, capaz de resistir uma força de tração igual 
Fsd=(al.d).∆Vd+Nd≥Fsd,min=0,2Vd
Nessa expressão,
• ∆Vd é caracterizada como sendo a máxima diferença de força cortante de um 
lado para o outro do apoio
• Nd é a força de tração eventualmente existente.
Podemos entender que a armadura a dispor nesse apoio é obtida para o maior dos 
(FSd) calculados para cada um dos lados do apoio.
Para podermos compreender melhor sobre o traçado, vale destacar o comportamento 
da Curvatura do Cabo de Protensão, que por sua vez devem respeitar os raios mínimos 
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exigidos em função do diâmetro do fio, da cordoalha ou da barra, ou do diâmetro 
externo da bainha.
Podemos entender que os desvios que os cabos podem, introduzir um carregamento 
contrário ao das ações externas.
A determinação deste carregamento, contrário ao das ações externas, é o chamado 
método das cargas equilibrantes. A Figura 2 ilustra este conceito. De tal forma, o cabo 
da Figura 1, irá gerar carregamentos contrários ao das ações externas.
Figura 2: Método das cargas equilibrantes.
Fonte: THOMAZ (1993, p. 4)
Para a determinação dos raios mínimos de curvatura, tem-se a possibilidade 
da realização de ensaios, desde que tenha os procedimentos de investigação 
adequadamente realizados e documentados.
Segundo a NBR 6118 (2014) Dispensa-se justificativa do raio de curvatura adotado, 
desde que ele seja superior a 4 m, 8 m e 12 m, respectivamente, nos casos de fios, 
barras e cordoalhas. Para a situação que a curvatura ocorre em região próxima à face 
do elemento estrutural, provocando empuxo no vazio, devem ser projetadas armaduras 
que garantam a manutenção da posição do cabo sem afetar a integridade do concreto 
nesta região.
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Segundo Bastos (2021) a curvatura nas proximidades das ancoragens, onde, os 
raios mínimos de curvatura dos fios, cordoalhas ou feixes podem ser reduzidos, desde 
que devidamente comprovada a possibilidade de redução por meio de ensaios.
Estas regiões, devem ter sua resistência garantida, pois o concreto pode sofrer 
fendilhamento, ou ainda da posição do cabo, uma vez que ele provocar empuxo no 
vazio.
A NBR 6118 (2014) descreve que a fixação da armadura de protensão durante a 
execução em sua posição no elemento estrutural deve ser garantida por dispositivos 
apropriados. De ordem pratica a NBR 6118 (2014) no item 18.6.1.5 descreve que os 
cabos de protensão devem ter, em suas extremidades, segmentos retos que garantam 
o alinhamento de seus eixos com os eixos dos respectivos dispositivos de ancoragem. 
Além de que o comprimento desses segmentos não pode ser inferior a 100 cm, salvo 
para os caso de monocordoalhas engraxadas, pois este valor pode ser de 50 cm.
Figura 3: Detalhe de ancoragem para o trecho parábola + reto.
Fonte: elaborado pelo autor.
Figura 4: Detalhe de ancoragem para o trecho totalmente parabólico.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Podemos observar por meio das figuras 3 e 4, o comportamento do cabo de 
protensão na saída da ancoragem, destacando o que foi discutido anteriormente, 
sendo considerado como crítico o ponto da figura 4, pois o cabo graficamente está 
criando força de corte na ancoragem, porém como fisicamente isso é impossível, o 
cabo fará uma dobra neste ponto, que é a problemática que temos que evitar, o que 
não ocorre na figura 3, já que o cabo não terá contato com a ancoragem, apenas a 
cunha de ancoragem está em contato direto.
Conforme a NBR 6118 (2014) os cabos de protensão devem ter prolongamentos 
de extremidade que se prolongam além das ancoragens ativas, com comprimento 
adequado àfixação dos aparelhos de protensão. As emendas (As) das barras da 
armadura de protensão podem ser emendadas, desde que seja realizado por rosca e 
luva. São permitidas as emendas individuais de fios, cordoalhas e cabos, por dispositivos 
especiais de eficiência. As características e a posição das emendas devem estar 
detalhadas em projeto. Podemos assim dizer que as ancoragens devem respeitar o 
disposto em 9.4.7.” (NBR 6118, 18.6.1.8).
Referente ao agrupamento de Cabos na Pós-tração, tem-se que os mesmo, ficam 
alojados em bainhas que podem ser composto por grupos de dois, três e quatro cabos 
nos trechos retos, desde que não ocorram disposições em linha com mais de dois 
cabos adjacentes.
Segundo a NBR 6118 (2014) para os trechos curvos, os cabos podem ser dispostos 
apenas em pares, cujas curvaturas estejam em planos paralelos, evitando uma possível 
pressão transversal entre eles.
Segundo Bastos (2021) a respeito dos espaçamentos mínimos podemos destacar 
que os elementos da armadura de protensão devem estar afastados entre si, para 
que seja garantido o seu perfeito envolvimento pelo concreto.
A NBR 6118 (2014) indica que os afastamentos na direção horizontal devem ser 
garantidos para que seja possível a livre passagem do concreto e, quando for empregado 
vibrador de agulha, a sua introdução e operação.
Os valores mínimos dos espaçamentos estão indicados na Tabela 1 para a pós-
tração e Tabela 2 para a pré-tração.
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Tabela 1: Espaçamentos mínimos − Caso de pós-tração
Fonte: NBR 6118 (2014) editada por Bastos (2021)
Tabela 2: Espaçamentos mínimos − Caso de pré-tração
Fonte: NBR 6118 (2014) editada por Bastos (2021)
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AULA 13
FORÇA CORTANTE
Segundo Bastos (2021) a força cortante, destacado na figura 1, são alterados pela 
força de protensão inclinada (Pd) que por sua vez introduz nas vigas tensões normais 
de compressão reduzindo assim as tensões principais de tração (sI). Temos assim as 
fissuras por efeito de força cortante, caracterizadas como fissuras de cisalhamento, 
que apresentam-se com menor inclinação que nas vigas de concreto armado.
Podemos assim entender que quanto maior o grau de protensão, menores são 
os esforços de tração na alma, sendo menor a quantidade de armadura transversal 
necessária.
O encurvamento dos cabos nas proximidades dos apoios produz uma componente 
de força contrária à força cortante solicitante, tal que:
Vsd=Vd -Pd.senα
Figura 1: Componente de força devido à curvatura do cabo.
Fonte: Bastos (2021)
Segundo Bastos (2021) podemos compreender que o banzo de concreto comprimido 
pela flexão inclina-se em direção aos apoios, formando um arco na viga entre os 
apoios, de tal forma a biela comprimida inclinada que surge (figura 2) absorve uma 
parte da força cortante. Podemos assim dizer que a tração na alma diminui. A ação 
de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigas-paredes à força cortante 
com o carregamento externo aplicado na região comprimida.
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Figura 2: Ação de arco nas proximidades dos apoios.
Fonte: Bastos (2021)
Conforme a NBR 6118 (2014) o valor de VSd. deve-se considerar o efeito da projeção 
da força de protensão na sua direção, com o valor de cálculo correspondente ao tempo 
(t) considerado. Entretanto, quando esse efeito for favorável, a armadura longitudinal 
de tração junto à face tracionada por flexão deve satisfazer à condição:
Ap.fpyd + As.fyd VSd
Essa condição visa garantir uma melhor contribuição do concreto na zona (banzo) 
comprimida pela flexão, garantindo a rigidez do banzo tracionado (Figura 3).
Figura 3: Banzo de concreto comprimido próximo ao apoio
Fonte: Bastos (2021)
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13.1 Título 2 (Força Cortante no Estado-Limite Último (ELU))
Conforme a NBR 6118, a resistência do elemento estrutural, em uma determinada 
seção transversal, deve ser considerada satisfatória, quando verificadas simultaneamente 
as seguintes condições: 
VSd ≤ VRd2
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
onde: 
• VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;
• VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto;
• VRd3 = Vc + Vsw é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por 
tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao da treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal, 
de acordo com os modelos indicados pela 6118 (2014).
Segundo Bastos (2021) a NBR 6118 possibilita o dimensionamento à força cortante 
segundo dois Modelos de Cálculo (I e II).
O Modelo de Cálculo I: Treliça clássica, com ângulo de inclinação das diagonais 
comprimidas () fixo em 45°.
O Modelo de Cálculo II: Treliça generalizada, onde o ângulo de inclinação das 
diagonais comprimidas pode variar entre 30° e 45°.
Aos modelos de treliça foi associada uma força cortante resistente (adicional) Vc 
, proporcionada por mecanismos complementares ao de treliça.
13.1.1 Título 3 (Modelo de Cálculo I)
Conforme a NBR 6118 (2014) podemos entender que o modelo I admite diagonais 
de compressão inclinadas de = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento 
estrutural, além de admitir ainda que a parcela complementar (Vc) tenha valor constante, 
independentemente de VSd .Podemos realizar a verificação da diagonal comprimida 
pela equação:
 
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VRd2=0,27.(1-(fck/250)).fcd.bw.d
Considerando fck em MPa. A parcela de força cortante a ser resistida pela armadura 
transversal é descrita como:
Vsw=Vsd + Vc
Na flexo-compressão a parcela Vc é caracterizada como:
Vc=Vco.(1+(Mo/Msd,max))≤2.Vc0
Onde temos que:
Vco=0,6.fctd.bw.d
Sendo fctd dado por:
Segundo Bastos (2021) o entendimento do cortante na peça protendida pode ser 
vinculado aos seguintes tópicos:
• Podemos entender que bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo 
da altura útil (d), porém para os casos de elementos estruturais protendidos, 
quando possuírem bainhas injetadas com diâmetro Φ> bw /8, a largura resistente 
a considerar deve ser bw - (½).∑ Φ na posição da alma em que essa diferença 
seja mais desfavorável, com exceção do nível que define o banzo tracionado 
da viga.
• Podemos entender que (d) é descrito com a altura útil da seção, sendo igual à 
distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração. 
Porém para o caso de elementos estruturais protendidos com cabos distribuídos 
ao longo da altura (d) não precisa ser tomado com valor menor que 0,8h, desde 
que exista armadura junto à face tracionada.
• O termo (s) é descrito como sendo o espaçamento entre elementos da armadura 
transversal (Asw), medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural.
• fywd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd, para 
aplicação de estribos é 70 % desse valor, para a situação de barras dobradas, 
não se tomando para nenhum dos casos valores superiores a 435 MPa. Porém 
para armaduras transversais ativas, o acréscimo de tensão devida à força 
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cortante não pode ultrapassar a diferença entre fpyd e a tensão de protensão, 
nem ser superior a 435 MPa;
• Temos que α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao 
eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45≤α≤ 90;
• Mo é o valor do momento fletor que cancela a tensão normal de compressão na 
borda da seção que sofre tracao devido ao Md,máx, que por sua vez é ocasionado 
pelas forças normais de diversas origens simultaneamente comVSd. Sendo essa 
tensão calculada com valores de γf e γp iguais a 1,0 e 0,9, respectivamente. 
Vale destacar que os momentos que geram as forças normais não podem ser 
considerados no cálculo dessa tensão, pois são considerados em MSd, devem 
ser adotados apenas os momentos isostáticos de protensão;
• MSd,máx é caracterizado como sendo o momento fletor de cálculo máximo no 
trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo 
considerado.
O momento fletor (Mo), como discutido é o momento fletor que anula a tensão normal 
na borda mais comprimida, ou seja, corresponde ao momento fletor de descompressão 
referente a uma situação inicial de solicitação, em que atuam: 
• a força normal e o momento fletor (Npd e Mpd) provocados pela protensão, 
ponderados por p = 0,9; 
• as forças normais oriundos de carregamentos externos (Ngd e Nqd), afetados por 
f = 0,9 ou 1,0, desconsiderando-se a existência de momentos fletores simultâneos.
Mo=(γp.P∞+γf.Ng+q).(Wb/Ac)+γp.P∞.ep 
A relação (Wb /Ac) corresponde à distância da extremidade superior do núcleo central 
de inércia da seção ao centro de gravidade, ou seja, corresponde à excentricidade do 
centro de pressão com a qual a tensão na borda inferior se anula. 
A área de armadura transversal é: 
Asw,α/S=Vsw/(0,9.d.fywd.(senα+cosα))
A tensão máxima imposta pela norma refere-se ao aço CA-50, pois fyd = 50/1,15 
= 435 MPa. 
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Para o dimensionamento do estribo ser feito com o aço CA-60, esta tensão máxima 
também deve ser obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o aço fosse o CA-50. 
No caso de serem utilizados os aços CA-50 ou CA-60 e armadura transversal somente 
na forma de estribos com = 90, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2 , que aplicado 
na Eq. anterior temos:
Asw,α/S=Vsw/(39,2.d)
com: Asw,90 = cm ² /cm, Vsw = kN e d = cm.
Segundo Bastos (2021) para o cálculo da parcela resistente (Vc), deve-se considerar 
a relação (Mo/MSd,máx) que por sua vez oferece uma indicação do comprtamento 
de fissuração por flexão, no ELU. Se a relação é próxima de zero (Mo tem valor muito 
pequeno), então a região estará com esforços de tração e possivelmente fissurada 
por flexão (zona b). Se a relação tem valor 1,0 (Mo tem valor próximo de MSd,máx), 
então não há fissuração (zona a), figura 4.
Figura 4: Zona (b) com fissuração e zona (a) sem fissuração. 
Fonte: Bastos (2021)
Armadura mínima para estribo vertical ( = 90) e com s = 100 cm, é descrita como:
Asw,min=(20.fct,m.bw)/(fywk)
 
• Asw,mín = área da seção transversal de todos os ramos verticais do estribo 
(cm² /m); 
• bw em cm; 
• fywk em kN/cm² ; 
• fct,m em kN/cm².
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O exemplo a seguir pertence a postila de Bastos (2021)
Dimensionar a área de armadura transversal de uma viga protendida seção I, 
biapoiada sob flexão, considerando: 
• composta por estribos verticais - concreto C35, aço CA-50;
• coeficientes de ponderação: γc = f = 1,4, γs = 1,15, p = 0,9; 
• largura da alma bw = 12 cm, altura útil da armadura de protensão dp = 90,6 cm;
• força cortante solicitante VSd = 235,4 kN; 
• força de protensão final P∞ = 686,6 kN; 
• momento fletor solicitante máximo no vão MSd = 79.593 kN.cm;
• Ac = 2.344 cm2 , Wb = 50.044 cm3 , excentricidade da armadura de protensão 
ep = 45,0 cm. 
Resolução:
O cálculo da armadura transversal será feito conforme o Modelo de Cálculo I (treliça 
clássica, = 45) e com ângulo de inclinação dos estribos de (estribos verticais para 
a viga de eixo longitudinal horizontal). 
a) Verificação da compressão nas bielas de concreto: Para não ocorrer o 
esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter 
Vsd VRd2 . Vamos assim definir o valor de VRd2 e comparar com cortantente 
solicitante Vsd. 
VRd2=0,27.(1-(fck/250)).fcd.bw.d 
VRd2=0,27.(1-(35/250)).(3,5/1,4).12.90,6 
 VRd2=631,1 kN
Vsd=235,4 ≤VRd2=631,1 kN
Podemos entender que não ocorrerá esmagamento do concreto das bielas. 
b) Cálculo da armadura transversal: Para calcular a armadura transversal devem 
ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos 
mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), tal 
condição implica em:
Vsd=Vc + Vw
Na flexo-compressão a parcela Vc é dada por:
Vc=Vco.(1+(Mo/Msd,max))≤2.Vc0
A resistência média do concreto à tração é dado por:
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A força cortante resistente Vco é dada por:
Vco=0,6.fctd.bw.d
Vco=0,6..,161.12.90,6
Vco=105 kN
O momento fletor Mo é aquele que anula a tensão normal de compressão máxima 
atuante na borda da seção transversal, e que causa a tensão (Figura 7.4), de tal forma 
temos: 
σbp∞,d+σbM0=0
Lembrando que:
σbMo=(Mo/Wb)
Figura 5: Tensões normais na viga e estado de descompressão. 
Fonte: Bastos (2021)
A tensão na base, devida à força de protensão final é:
σbp∞,d=-P∞,d.((1/Ac)+(ep/Wb))
Temos que a força de protensão final de cálculo: P∞,d = P∞,d=γp.P∞=0,9.686,6=617,9 
kN. A tensão final na base é:
Da qual é definido o valor do momento fletor de descompressão Mo :
Mo=P∞,d.((Wb/Ac)+(ep))
Mo=617,9.((50044/2344)+(45))
Mo=40.988 kN.cm
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Portanto a parcela Vc, é dado por:
Vc=105.(1+(40998/79593))
Vc=159,1 kN
2.Vc=2.105=210 kN
Vc=159,1 kN ≤2.Vco=210 kN
Portanto, a parcela da força cortante solicitante a ser resistida pelos estribos é 
dada por:
Vsw=Vsd - Vc=235,4 - 159,1=76,3 kN
Podemos assim determinar a armadura transversal:
Asw,90/S=Vsw/(39,2.d)
Asw,90/S=76,3/(39,2.90,6)
Asw,90/S=0,0215 cm²/cm
Podemos assim entender que para 1 m de comprimento da viga, tem-se:
Asw,90 = 2,15 cm2 /m.
É válido verificar a armadura mínima para estribo vertical (α=〖90〖^0) e aço CA-50 é 
dado por:Asw,min=(20.fct,m.bw)/(fywk)
Asw,min=(20.0,321.12)/(50)
Asw,min=1,54 cm²/m
Portanto, deve-se dispor a armadura calculada, de 2,15 cm² /m. Fazendo estribo 
de dois ramos 6,3 mm (Φ6,3 com 0,62 cm²):
Asw,90/S=0,0215 cm²/cm
0,62/S=0,0215 cm²/cm
S=28,8 cm
Vale destacar que deve-se verificar se este espaçamento atende ao espaçamento 
máximo permitido. 
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AULA 14
SOLICITAÇÕES NORMAIS
Podemos entender que os problemas que envolvem flexão em peças de concreto 
protendido podem ser divididos em dois grupos, que são problemas de verificação ou 
problemas de dimensionamento. 
Para realizar a verificação de um elemento estrutural, temos que ter o controle sobre 
os materiais, os carregamentos atuantes, seção transversal, às áreas de armaduras 
(ativas e passivas), bem como o valor e ponto de aplicação da força de protensão. 
Segundo Bastos (2021) os problemas que envolvem dimensionamento estão 
atrelados ao tipo de materiais, carregamentos atuantes e as tensões admissíveis. De 
tal forma o projetista deve determinar a forma e dimensões da seção transversal de 
concreto, bem como a intensidade e a posição da força de protensão e as quantidades 
de armaduras (passivas e ativas). 
Bastos (2021) descreve três diferentes procedimentos para o projeto de peças 
protendidas à flexão: 
• Podemos adotar a seção transversal e calcular o valor de excentricidade da 
força de protensão, considerando os carregamentos atuantes ou fase mais 
importante, verificando na sequência as tensões atuantes no concreto para 
diferentes estágios de carregamentos. Para finalizar podemos determinar a 
capacidade resistente à flexão da peça projetada, que pode ser alterada a fim 
de se obter um projeto melhor;
• Para a condição de grandes vãos, a peça mais eficiente pode resultar tomando 
como base as tensões admissíveis do concreto na escolha da seção transversal, 
fazendo as tensões atuantes próximas das tensões admissíveis;• Tem-se a escolha da seção transversal, seguida pela determinação das forças de 
protensão e o perfil da armadura ativa. Ao final pode-se ser feitas modificações 
de forma a atender as tensões admissíveis e exigências de resistência.
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14.1 Título 2 (Estados limites últimos devido a solicitações normais)
Para dar início ao nosso estudo podemos entender que os domínios de deformação 
estabelecem as possíveis posições da seção transversal no instante da ruptura, 
conforme o tipo de solicitação atuante. 
Como foi discutido no parágrafo anterior, o projetista deve analisar as condições 
de tensões atuantes na peça, para tanto tem-se o entendimento dos domínios de 
deformação sendo a base para tal entendimento. De tal forma temos que as peças 
protendidas estão sujeitas a erros de dimensionamento. 
Podemos ter vigas subarmadas e normalmente armadas, de tal forma que a 
ruptura tem início devido ao alongamento excessivo das armaduras ativa e passiva, 
acompanhado de fissuração da viga. 
Temos ainda a possibilidade do aumento gradativo do carregamento, as deformações 
e a fissuras aumentam, alterando a posição da linha neutra, reduzindo assim a área 
de concreto comprimido e por consequência aumento das tensões de compressão 
no concreto.
Segundo Veríssimo (1999) quando a tensão de compressão atinge o valor da 
resistência do concreto, temos o processo de esmagamento desta região, provocando 
o colapso da viga. Esse comportamento de ruptura apresenta uma grande vantagem, 
pois as flechas e as fissuras, decorrentes do alongamento da armadura, se mostram 
bastante visíveis alertando sobre a aproximação do colapso (comportamento dúctil). 
Obviamente é de grande interesse, no projeto de estruturas de concreto, dimensionar 
as vigas de maneira que tenham ruptura dúctil
Figura 1: Domínios de deformação
Fonte:Veríssimo (1999)
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Podemos assim entender que as vigas superarmadas, ou seja, com elevadas 
quantidades de armação, o concreto da zona comprimida da seção é esmagado antes 
que o aço atinja o limite de escoamento. 
Segundo Veríssimo (1999) estas condições é chamada de ruptura brusca, sem 
aviso, o que é indesejável do ponto de vista da segurança do projeto. Em vez da carga 
de colapso, adota-se como estado limite último de deformação (anterior ao colapso), 
para o qual a viga já pode ser considerada inutilizada (Figura 2). 
O projetista deve dimensionar o elemento de tal maneira que a deformada da seção 
permaneça no domínio 3 (domínio das peças normalmente armadas), que corresponde: 
εcd = 0,35% e εyd ≤ εsd ≤ 1,0%
Figura 2: Hipótese de cálculo de viga para o (ELU) 
Fonte:Veríssimo (1999)
Para as peças de concreto protendido, com aderência inicial ou posterior, o cálculo 
deve ser realizado conforme a NBR 6118, considerando a relação ao estado limite último 
de ruptura ou alongamento plástico excessivo, tomando-se como situação inicial o 
estado de neutralização. O estado convencional de neutralização é obtido por meio da 
condição em que existem apenas os esforço devidos à protensão, acrescentando-se 
solicitações que tornem nulas as tensões no concreto em toda a seção transversal 
considerada (VERÍSSIMO, 1999)
Tem-se que o estado limite último de alongamento plástico excessivo é atingido 
quando o alongamento da armadura mais tracionada alcança o valor de 1,0%, medido 
a partir do estado convencional de neutralização. 
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Segundo Veríssimo (1999) as hipóteses de cálculo são as seguintes: 
• As seções permanecem planas após a deformação. 
• Admite-se aderência integral entre o aço e o concreto. Logo, as deformações 
dos dois materiais na região de contato são consideradas iguais;
• O encurtamento de ruptura do concreto vale 0,2% na compressão axial e 0,35% 
na flexão;
• A alongamento máximo permitido convencionado para os aços é de 1,0% a fim 
de se evitar deformações plásticas excessivas. É importante lembrar que nas 
peças de concreto protendido esse alongamento máximo é contado a partir do 
estado convencional de neutralização;
• O diagrama tensão-deformação do concreto é o parábola retângulo podendo 
ser substituído por um diagrama retangular simplificado, de altura igual a 0,8x 
(figura 2);
Para melhorar nosso entendimento podemos entender que o limite convencional 
de 1,0% para a deformação no aço está vinculado à fissuração do concreto. Quando 
a deformação na armadura tracionada atinge um valor elevado, o concreto adjacente 
encontra-se fissurado e com abertura de fissuras consideráveis . Pode-se assim analisar 
que em uma peça com fissuras espaçadas de 10 cm, por exemplo, com deformação 
de 1,0% na armadura acarreta aberturas da ordem de 1,0 mm. Para tanto tem-se que, 
a deformação limite de 1,0% para a armadura deve ser medida a partir do estado de 
neutralização, ou seja, deve-se considerar 1,0% além do pré-alongamento (Hanai, 1988).
A interpretação e entendimento da deformação da armadura é importante, pois é 
a base para analisar um elemento estrutural. Vamos assim compreender primeiro o 
diagrama tensão-deformação dos aços de protensão. 
Para efeito de dimensionamento das peças estruturais, permite-se o emprego de 
diagrama simplificado, análogo ao diagrama correspondente aos aços da classe B, 
especificado pela NBR 6118. Em casos particulares, pode ser empregado o diagrama 
tensão-deformação determinado experimentalmente com amostras de aço de protensão 
a ser efetivamente empregado (NBR 7197/89). 
As TABELAS 2.1 e 2.2, elaboradas a partir de resultados de ensaios, fornecem 
valores de tensão para uma dada deformação no aço em regime inelástico. 
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Tabela1: Tensões no aço de protensão, no estado limite último
Fonte:Veríssimo (1999)
Tabela 2: Tensões na armadura passiva, no estado limite último
Fonte:Veríssimo (1999)
14.2 Título 2 (Valor de cálculo da força de protensão)
De forma geral o valor de cálculo da força de protensão é obtido através da expressão:
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Pd=γp.Pk
Segundo Veríssimo (1999) o coeficiente γp pode assumir valores distintos em 
função do efeito da força de protensão ser favorável ou desfavorável para a situação 
considerada. Podemos verificar na tabela 3 os valores de γp recomendados pela NBR 
7197 e pelo CEB para as situações em que o efeito da força de protensão é favorável 
ou desfavorável. Para condição em que temos cabos protendidos na parte superior 
da viga (banzo comprimido da peça), o efeito da protensão é desfavorável, ou seja, na 
eventualidade de o valor final da força de protensão ficar maior que o valor de projeto, 
por quaisquer razões, haverá um acréscimo de tensões de compressão nessa região 
da peça. 
Por tal motivo o coeficiente de segurança γp para essa situação vale 1,1. Em 
contrapartida, para os cabos protendidos posicionados na parte inferior da viga (banzo 
tracionado) o efeito da protensão é favorável, pois combate as tensões de tração 
decorrentes do carregamento externo.
Tabela 3: Valores do coeficiente de ponderação γp da força de protensão, para o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo.
Fonte:Veríssimo (1999)
14.2.1 Título 3 (Análise do pré-alongamento )
Podemos observar na figura 2 a situação em que uma viga protendida está submetida 
apenas à força de protensão. A tensão normal no concreto na fibra correspondente 
ao centro de gravidade da armadura vale σcp .
Figura 2: (a) situação da peça de concreto quando atuam apenas os esforços de protensão; (b) estado convencional de neutralização. 
Fonte:Veríssimo (1999)
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Segundo Veríssimo (1999) a figura 2.b representa o estado convencional de 
neutralização, ou seja, uma situação fictícia obtida através da aplicação de uma força 
externa (Pn = P + ∆P) de magnitude tal que anula a tensão no concreto na fibra 
correspondente ao centro de gravidade da armadura. 
A deformação na armadura ativa, está vinculada à força de neutralização (Pn) 
denominada como deformação de pré-alongamento, designada por εpn . 
A condição apresentada é utilizada para anular as tensões no concreto, pois consiste 
em impor à armadura ativa uma deformação adicional igual à deformação sofrida 
pelo concreto em função da tensão de compressão σcp. 
Trata-se de um processo inverso ao que ocorre na pista de protensão com aderência 
inicial, pois quando os cabos são liberados das ancoragens o esforço de protensão 
é transferido para o concreto.
Portanto temos que:
Segundo a NBR 7197 é permitido que pré-alongamento seja calculado através da 
equação (ϵpn), desde que a solicitação normal devido ao peso próprio e as outras 
ações mobilizadas pela protensão forem inferiores a 90% da solicitação total em 
serviço admitida no projeto.
14.2.2 Título 3 ( Resistência da seção ao momento fletor )
Segundo Veríssimo (1999) o procedimento de cálculo para análise da capacidade 
resistente da seção consiste, das seguintes etapas: 
• Determina-se o valor de cálculo da força de protensão; 
• Calcula-se o pré-alongamento; 
• Determina-se o alongamento e a respectiva tensão de tração no aço de protensão, 
em função da rotação da seção, provocada pelo momento fletor de cálculo. 
Através desses dados, e com o diagrama de deformações, pode-se determinar: 
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a posição da linha neutra; a resultante de compressão no concreto, a resultante 
de tração na armadura ativa; o braço de alavanca entre as resultantes de tração 
e compressão; 
• Verifica-se o equilíbrio. Caso a força de tração na armadura ativa seja menor 
que a força de compressão no concreto deve ser acrescentada uma armadura 
passiva suplementar. Caso a força de tração na armadura ativa seja maior ou 
igual à força de compressão no concreto, fica evidente que a armadura ativa é 
suficiente para suportar o carregamento atuante. Nesse caso, deve-se colocar a 
armadura passiva mínima recomendada pela norma, para a situação em questão. 
Nas figuras 3, 4 e 5 estão representadas as configurações possíveis das armaduras 
ativa e passiva em vigas protendidas:
Figura 3: cabos protendidos no banzo tracionado da peça e armadura passiva simples.
Fonte:Veríssimo (1999)
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Figura 4: cabos protendidos nos banzos tracionado e comprimido da peça e armadura passiva simples.
Fonte:Veríssimo (1999)
Figura 5: Cabos protendidos nos banzos tracionados e comprimidos da peça com armadura dupla
A NBR 7197 descreve que a segurança em relação à ruptura no ato da protensão 
deve ser verificada seguindo os procedimentos da NBR 6118 em relação ao estado 
limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo, considerando as seguintes 
hipóteses suplementares:
• Considera-se como resistência característica (fckj) do concreto o valor que 
correspondente à idade do material no ato da protensão, não se tomando valores 
superiores à resistência característica especificada no projeto.
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• Para esta verificação adota-se os seguintes valores dos coeficientes de 
ponderação: γc = 1,2 γs = 1,15 γp = 1,0 na pré-tração γp = 1,1 na pós-tração γf 
= 1,0 para as ações desfavoráveis γf = 0,9 para as ações favoráveis Devem ser 
consideradas apenas as cargas que efetivamente possam atuar nessa ocasião. 
Segundo Veríssimo (1999) pode-se considerar que a segurança em relação ao 
estado limite último de ruptura no ato da protensão, fique garantida desde que, as 
solicitações determinadas com γp = 1,1 e γf = 1,0 , respeitem as seguintes condições:
• A tensão máxima de compressão na seção de concreto simples, calculada em 
regime elástico linear, não ultrapassa 70% da resistência característica fckj 
prevista para a idade de aplicação da protensão; 
• A tensão máxima de tração no concreto, nas seções transversais, não ultrapassa 
1,2 vezes a resistência à tração correspondente ao valor fckj especificado; 
• Quando existem tensões de tração nas seções transversais, deve haver armadura 
de tração calculada com a hipótese de ser nula a resistência à tração do concreto. 
Permite-se admitir que a força atuante nessa armadura, para esta fase da 
construção, seja igual à resultante das tensões de tração no concreto. Essa 
força não deve provocar acréscimos de tensões na armadura ativa superiores 
a 150 MPa no caso de fios e barras lisas e a 250 MPa em barras nervuradas 
com ηb ≥ 1,5
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AULA 15
TENSÕES DE CISALHAMENTO
Segundo Bastos (2021) a protensão longitudinal em elementos de concreto produz 
tensões normais de compressão que contribuem para redução das tensões principais 
de tração, porém, estas tensões principais ficam mais inclinadas em relação ao eixo 
da peça. 
Segundo Veríssimo (1999) as fissuras de cisalhamento se formam com menor 
inclinação do que nas peças de concreto armado sem protensão, devido a esse 
comportamento de inclinação das tensões principais. 
Segundo Lenhardt (1979) a inclinação das bielas comprimidas fica entre 25 e 35 
graus, possuem inclinação inferior às de 45 graus da analogia clássica de treliça.
Segundo Veríssimo (1999) podemos observar em resultados experimentais que 
a protensão reduz os esforços de tração na alma das vigas, na proporção inversa 
do grau de protensão, ou seja, quanto maior o grau de protensão, menores são os 
esforços de tração na alma, por consequência, a armadura transversal necessária.
Este efeito favorável da protensão sobre os esforços de tração é explicado com 
base nos seguintes fatores:
• Na região de momentos fletores pequenos, as bielas comprimidas se desenvolvem 
com pouca inclinação;
• Na região de grandes momentos fletores, como por exemplo nos apoios 
intermediários de vigas contínuas, uma parcela da força cortante é absorvida 
na zona comprimida, de tal modo que a força de tração na alma é menor do que 
na treliça clássica, apesar da inclinação da biela nesse ponto ser de 45 graus.
15.1 Título 2 (Forças cortantes)
Segundo a NBR 7197 a determinação da força cortante a ser considerada na 
verificação ao cisalhamento, deve-se aplicar as prescrições da NBR 6118, incluindo os 
efeitos das componentes tangencial respeitando as exigências peculiares da NBR 7197. 
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Para a alma de peças submetidas a cisalhamento com bainhas de diâmetro maior 
que bw/8, a largura resistente a considerar deve ser:
bw - 1__
2
 . ∑ Φo 
para posição em que essa diferença é mais desfavorável. É permitido desprezar os 
efeitos da protensão, quando favoráveis à segurança.
Seguindo as recomendações da NBR 7197 presente no item 8, o cálculo do valor 
de Vd deve ser considerado a projeção da força de protensão na sua direção, tendo 
assim que dá força cortante atuante a componente da protensão na sua direção, 
como podemos verificar na figura 1.
Figura 1: Decomposição da força de protensão.
Fonte: Veríssimo (1999)
Segundo Leonhardt (1979) acreditava-se que no caso de vigas simples, a passagem 
de cabos parabólicos era a melhor solução, pois a componente vertical da força de 
protensão reduzia a força cortante que atuava no concreto. 
Porém, por meio de estudos e ensaios, verificou-se que a passagem para o estado 
limite último é reduzida, quando a relação entre as rigidezes dos banzose das almas 
desempenha papel importante. Ou seja, quando o tirante inferior é muito fraco, com 
comportamento deformável, as bielas de compressão que se dirigem ao apoio não 
se apoiam nele, mas sim na região de ancoragem dos cabos, que por sua vez é mais 
rígida e está situada mais acima. Com isso, temos bielas menos inclinadas e a parcela 
da força cortante absorvida pela zona comprimida na flexão é menor. 
Os estudos indicam que para as vigas com cabos inclinados, forças nos estribos 
maiores do que em vigas com cabos retos dispostos no banzo tracionado. 
Por meio do conceito discutido, recomenda-se que não se subtraia da força cortante 
a componente vertical da protensão no caso de cabos curvos. Podemos assim concluir 
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que o valor de cálculo da força cortante atuante deve ser obtido a partir da expressão 
a seguir:
Vdmax=(γg.Vgmax) + (γq.Vqmax)
Vamos agora discutir sobre o efeito da componente normal,ou seja, a força de 
protensão pode ser equiparada ao de uma força normal externa de compressão, com 
igual intensidade. A determinação da influência dessa componente normal é dada 
pela expressão:
A NBR 6118 define que para o cálculo da armadura transversal necessária à 
resistência dos esforços oriundos da força cortante, onde para o cálculo de (Mo) são 
considerados os efeitos de (Npd) e (Mpd) acrescidos dos efeitos de (Ngd) e da parcela 
(Nqd) concomitante com Vd, calculando-se esses efeitos com γf = 0,9. 
O valor de cálculo da tensão de cisalhamento no concreto, que atua na alma das 
peças (tensão de referência) , é determinado pela seguinte equação:
 
Essa tensão de cálculo () não pode ultrapassar o valor de (tensões últimas resistentes). 
Tem-se que (bw) é a largura da seção transversal.
15.1.1 Título 3 (Tensões últimas resistentes)
para peças lineares com bw (5.h) os coeficientes 0,35 e 0,30 devem ser 
multiplicados por um dos seguintes fatores, mantidos os limites absolutos
 (h em cm ):
15.1.2 Título 3 (Cálculo da armadura transversal)
A armadura transversal das peças lineares e das lajes, para resistir aos esforços 
oriundos da força cortante, deve ser calculada pela teoria clássica de Mörsch, com 
base na seguinte tensão
τd= 1,15.τwd - τc > 0
O corresponde à parcela do cisalhamento resistida pelo concreto comprimido nas 
peças fletidas, calculado pela expressão:
τc=Ψ1.√fck (fck e τc em MPa)
sendo: 
• Ψ1 = 0,15 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a 
seção
• Ψ1=0,15.(1+Mo/Mdmax) na flexo-compressão;
• Ψ1 = 0 na flexo-tração com a linha neutra fora da seção 
onde: 
• Mo é o valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos 
comprimida;
• Mdmax é o momento fletor de cálculo da seção transversal que está mais 
solicitada à flexão, no trecho considerado pelo cálculo.
A tensão na borda menos comprimida é calculada em função da eventual protensão 
(Npd e Mpd), acrescida dos efeitos de (Ngd) e da parcela de (Nqd) concomitante com 
Vd, ambos os efeitos calculados com γf = 0,9. 
Segundo Lenhardt (1979) por simplicidade e a favor da segurança, (Mdmax) pode 
ser tomado como o maior valor do semi-tramo considerado. O coeficiente ψ1, está 
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vinculado a valores que estão vinculado ao estado de solicitação longitudinal, ou seja, 
depende de como a peça é solicitada por flexão. 
Podemos entender que quando a peça é solicitada por esforços elevados de tração 
(flexo-tração com linha neutra fora da seção), não temos contribuição do concreto, 
logo podemos tomar-se ψ1 = 0. 
Para os casos de flexão simples ou de flexo-tração com a linha neutra cortando a 
seção, ψ1 pode ser considerado igual a 0,15. 
Quando temos a condição de flexo-compressão, que se inclui o caso da existência 
de protensão, o efeito favorável da força normal de compressão é considerado por 
meio de um fator de majoração, dado por:
Para o cálculo de β1, (Mo) corresponde ao momento fletor que anula a tensão 
normal na borda menos comprimida,referente a uma situação inicial de solicitação 
em que atuam: 
a) a força normal e o momento fletor (Npd e Mpd) provocados pela protensão, 
ponderados com γf = 0,9;
b) as forças normais oriundas de carregamentos externos ( Ngd e Nqd ), também 
afetados por γf = 0,9, desconsiderando-se a existência de momentos fletores 
concomitantes. 
Logo, podemos verificar que o momento Mo pode ser calculado pela expressão 
seguinte:
Mo=(γp.P∞+γf.Ng+q).(Wb/Ac)+γp.P∞.ep
lembrando que corresponde à distância da extremidade superior do núcleo central 
de inércia da seção ao centro de gravidade, ou seja, corresponde à excentricidade do 
centro de pressão com a qual a tensão na borda inferior se anula. 
Para estribos verticais a 90°, a armadura transversal pode ser calculada conforme 
indicado na NBR 6118, ou seja:
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CONCLUSÃO
Observamos no decorrer dos nossos estudos que o desenvolvimento científico é 
fruto da atividade humana, nesse contexto, para compreender o mundo que o cerca, 
o homem passa a aprimorá-lo, tendo em vista a possibilidade de novas descobertas.
A partir dessas descobertas e desenvolvimento da vida em sociedade foi possível 
estudarmos o quanto a educação modificou-se sob influência de tal desenvolvimento 
social, a fim de adequar-se às demandas de cada período, desse mesmo modo o 
perfil de estudante e de professor também foi se alterando com o tempo, até as 
características observáveis na atualidade.
Vimos também que a sociedade contemporânea é muito dinâmica e está em 
constante mudança, percebemos as mudanças nos valores, nas instituições, tudo sobre 
muita influência da tecnologia, o imediatismo e a quantidade de informação faz com 
que os alunos queiram aulas mais significativas. Nesse contexto, a complexidade da 
sociedade contemporânea nos leva a acreditar que uma forte tendência da educação 
é a formação docente para a mudança e a incerteza, para essa sociedade dinâmica 
e em constante mudança, considerando a formação integral do indivíduo.
Torna-se muito desafiador ser um profissional da educação, sobretudo na atualidade 
e esses desafios são ainda maiores pela necessidade de sujeitos ativos no processo 
educacional. Esse desafio depende da sua ação enquanto profissional e cidadão!
Sucesso!
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CONCLUSÃO
O presente livro alcançou o resultado esperado, que era de revelar ao leitor o 
verdadeiro entendimento sobre estruturas que utilizam o conceito de concreto armado 
e protendido. 
Destaca-se que o livro oferece ao leitor o entendimento das funções dos elementos: 
Reservatório, escada, elementos de fundação e concreto protendido.
Observamos que o livro “Estrutura de concreto armado II” mescla conceitos práticos, 
estudados com uma apresentação teórica das principais contribuições de autores de 
diferentes centros de pesquisas. 
Neste sentido foram discutidas as perspectivas do concreto armado e protendido 
de forma teórico prática.
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ELEMENTOS COMPLEMENTARES
LIVRO
Título: Desconstruindo o Projeto Estrutural de 
Edificios: Concreto Armado e Protendido
Autor: José Sérgio dos Santos
Editora: Editora Oficina de Textos
Sinopse: Desconstruindo o projeto estrutural: 
concreto armado e protendido é um livro sobre 
leitura e interpretação de projetos estruturais.considera-se a vinculação como engastada (figura 8) 
(Kuehn, 2002).
Figura 8: Modelo de vinculações.
Fonte: elaborado pelo autor.
Para reservatórios que não estão em contato com o solo, sendo eles elevados 
ou enterrados com proteção externa, conforme a NBR 5626 (1998) descreve, as 
paredes e o fundo são analisados como lajes com carregamento hidrostático atuando 
perpendicularmente ao seu plano. Nesse caso, a vinculação a ser considerada para 
as paredes é de três lados engatada e a borda superior apoiada. A laje do fundo é 
considerada como engastada em suas quatro bordas com as paredes. Já a laje da 
tampa pode ser analisada como simplesmente apoiada sobre as paredes, podemos 
verificar tal condição na figura 9 (Kuehn, 2002).
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a)
b)
 
Figura 9: Tipos de reservatórios (a) e (b) e suas vinculações.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Discutiremos, agora, sobre os reservatórios apoiados, enterrados ou semienterrados. 
Segundo Kuehn (2002) quando a laje do fundo funciona como um radier, temos as 
seguintes ações: peso total do reservatório e do peso da água. Porém, além disso, a 
laje é afetada pela reação do solo, portanto, a laje de fundo será analisada com as 
quatro bordas simplesmente apoiadas nas paredes, pois tendem a girar no mesmo 
sentido. As paredes devem ser consideradas engastadas entre si, pois tendem a girar 
em sentidos opostos, e simplesmente apoiadas com o fundo e com a tampa e, por 
fim, a tampa simplesmente apoiada nas paredes, conforme a figura 10.
 
Figura 10: Reservatórios apoiados
Fonte: elaborado pelo autor.
A condição de contorno das bordas engastadas é condicionada pela implementação 
de reforço na ligação entre os elementos de placa, denominado em nosso estudo 
como, mísulas. As condições de vinculações das placas para o reservatório cheio, 
conforme a figura 8, pode ser resumido em: 
• Tampa Totalmente rotulada;
• Fundo Totalmente engastado;
• Paredes rotuladas com a tampa e engastada com fundo e paredes.
Em que
pp: Pressão sobre a tampa;
pa: Pressão devido ao empuxo de água. 
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Além dos esforços de flexão, também atuam esforços de tração, que podem ser 
determinados por meio de regras empíricas de distribuição das ações ou por meio de 
coeficientes tabelados, existentes na literatura a respeito da distribuição das reações 
de apoio das lajes (figura 9) (VASCONCELOS, 1998).
Segundo Vasconcelos (1998) é de grande importância a análise das vinculações 
entre os elementos estruturais do reservatório. Pois, as arestas como o ponto de 
ligação entre os elementos, tampa, fundo e parede (lajes) é o local mais afetado pela 
abertura de fissuras, de acordo com a produção de tensões devido às condições de 
rotações entre elas. Portanto, é necessário um estudo cuidadoso das condições de 
ligação entre cada laje.
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AULA 2
ESCADA
Algumas edificações possuem desnível a ser vencido, temos assim a utilização do 
elemento estrutural escada, característica presente em praticamente todas edificações 
que possuem mais de um andar. As escadas são elementos de deslocamento vertical 
amplamente utilizados pelo homem.
Os projetos devem oferecer segurança e qualidade ao usuário, desta forma, é 
necessário que arquitetos e engenheiros façam escolhas considerando a viabilidade 
técnica e financeira da estrutura em questão. Dentro desse contexto encontram-se 
os projetos de escadas de concreto armado. 
Cunha e Souza (1998) destaca que o elemento estrutural (escada) tem como função 
unir, através de degraus sucessivos, os diferentes pavimentos de uma construção, a 
utilização de uma escada se faz necessária para qualquer edificação cujos pavimentos 
não possuam saída para o espaço livre exterior, bem como, importância do correto 
dimensionamento de uma escada, pois é uma condição primordial para aprovação 
da grande maioria dos projetos nos órgãos responsáveis.
O tipo mais usual de escada em concreto armado tem como elemento resistente 
uma laje (inclinada, figura 1) armada em uma só direção e normalmente os degraus 
não têm função estrutural. Porém, podemos ter escadas armadas em duas direções, o 
comportamento estrutural da escada está relacionado com a necessidade do projeto. 
Em projeto de escadas vamos trabalhar com condições de apoio simples ou elementos 
engastados dependendo do modelo elaborado. 
Figura 1: Modelo de laje inclinada.
Fonte: elaborado pelo autor.
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A NBR 9077/2001 recomenda, para a obtenção de uma escada adequada, a 
verificação em relação: 
s + 2 e = 60 cm a 64 cm Eq. 1
em que:
(S) representa o valor da pisada; 
(e) representa o valor da altura do degrau.
Recomendação de ordem prática: temos que algumas obras determinam valores, 
como: (s ≥ 25 cm e ≤ 19 cm). Valores fora destes intervalos só se justificam para 
escadas com fins especiais, como, por exemplo, escadas de uso eventual. 
Araújo (2014), define as espessuras de uma escada conforme apresentadas na figura 
2, pode-se assim verificar que as nomenclaturas de referência para o dimensionamento 
são: altura livre (HL) seja no mínimo igual a 2,10 m, (HV) o desnível a vencer com a 
escada, (LH) o seu desenvolvimento horizontal e (n) número de degraus.
Figura 2: Dimensões de cálculo para escada.
Fonte: elaborado pelo autor.
Considerando-se a equação Eq. 1, podemos destacar alguns exemplos de aplicação 
como:
• Escadas interiores (limite inferior): s = 25 cm; e = 18,5 cm
• Escadas interiores (limite superior): s = 28 cm; e = 17,0 cm
• Escadas externas: s = 32 cm; e = 15,0 cm
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Podemos destacar algumas recomendações de ordem prática, destacando que 
a largura da escada pode ser superior a 95 cm em geral, para edifícios residencial e 
comercial e também em hotéis recomenda-se 120 cm de largura.
Para o dimensionamento de escadas, temos que estudar os tipos de escadas e 
suas características específicas, bem como as ações que nelas atuam. A espessura 
da laje por ordem prática pode ser fixada, em função do comprimento do vão, pela 
seguinte tabela.
Vão Espessura 
L≤3m 10 cm
3mRicamente ilustrada, com mais de 100 
ilustrações, a obra explica de forma prática 
e didática como interpretar corretamente, 
principalmente no canteiro de obras, e 
transpor para o físico, os desenhos técnicos 
que compõem o projeto estrutural.
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FILME
Título: Elevado 3.5
Ano: 2010
Sinopse: Mostra o mundo das pessoas que 
vivem ao redor do Elevado Presidente Costa 
e Silva, mais conhecido como Minhocão, 
construído na zona central de São Paulo 
durante a ditadura militar. O documentário 
faz um questionamento sobre a falta 
de planejamento, o papel das grandes 
construções e como elas são capazes de 
afetar as cidades e os seus moradores.
WEB
Paulo Sérgio dos Santos Bastos, atualmente é Professor Doutor da Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho, UNESP - Campus de Bauru/SP. Tem experiência na área 
de Engenharia Civil, com ênfase em Estruturas de Concreto, atuando principalmente 
nos seguintes temas: cálculo estrutural em Concreto Armado e Protendido e dormentes 
ferroviários de concreto. Oferece o site abaixo, com conteúdos de grande valia para o 
estudante e profissional da área de estrutura de concreto armado.
ESTRUTURAS DE CONCRETO 
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REFERÊNCIAS
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de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9077: saídas de emergência 
em edifícios. Rio de Janeiro, 2001.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas 
de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2014.
ARAÚJO, J. M. de. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande: Dunas, 2014a. v. 2.
BASTOS, P. S. S. Estruturas de concreto III. Sapatas de fundações. Universidade 
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BASTOS, P. S. S. Estruturas de concreto III. Blocos de fundações. Universidade 
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BASTOS, P. S. S. Fundamentos do concreto protendido. Universidade Estadual 
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Janeiro: Editora LTC, 1987. 498 p.
DOMINGUES, P. C.. Indicações Para Projeto De Muros De Arrimo Em Concreto 
Armado. 97 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) São Carlos: EESC 
– USP, 1997.
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São Paulo: Oficina de Textos, 2016.
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projeto, investigação de subsolo, fundações superficiais, fundações profundas. São 
Paulo: Oficina De Textos, 2010.
VASCONCELOS, Z. L. Critérios para projetos de reservatórios paralelepipédicos 
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2012.
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	Reservatório
	ESCADA
	ELEMENTO DE FUNDAÇÃO: SAPATA
	BLOCOS
	ELEMENTO DE FUNDAÇÃO: ESTACA
	MUROS DE CONTENÇÕES
	fissuração e deformações
	INTRODUÇÃO AO CONCRETO PROTENDIDO
	INTRODUÇÃO AO SISTEMAS DE PROTENSÃO
	Estados limites últimos e Estados limites de Serviço para o concreto protendido
	Perdas de protensão
	POSICIONAMENTO DOS CABOS AO LONGO DA ESTRUTURA
	FORÇA CORTANTE
	solicitações normais
	Tensões de cisalhamento
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	_heading=h.63oa6v4al4e6
	_heading=h.a57e88im2hrxda escada:
Temos que considerar uma carga uniformemente distribuída de revestimento inferior, 
somado com a carga de revestimento do piso, costumam ser adotados valores no 
intervalo de 0,8 kN/m² a 1,2 kN/m² (figura 4). Porém, recomenda-se realizar uma 
análise prévia dos materiais, pois podemos ter alguns materiais empregados para o 
revestimento que possuem valores de ações mais altos do que o convencional, como, 
por exemplo, o mármore, aconselha-se utilizar um valor maior.
Figura 4:Revestimento inferior e superior da escada.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Os valores mínimos para as ações de uso, especificados pela NBR 6120/2019, são 
os seguintes:
• Escadas com acesso público: 3,0 kN/m2;
• Escadas sem acesso público: 2,5 kN/m2.
Para Rocha (1974) os valores podem ser maiores dependendo da quantidade de 
pessoas que a escada deve comportar, de tal forma tem-se os seguintes valores:
• Escadas secundárias: 2 a 2,5 kN/m²;
• Escadas de edifícios residenciais: 2,5 a 3 kN/m²; 
• Escadas de edifícios públicos: 4 a 5 kN/m².
Segundo Melges (1997) quando uma escada for constituída em degraus isolados, 
deve-se realizar uma análise supondo uma força concentrada de Q=2,5 kN, aplicada 
na posição mais desfavorável (figura 5a). Como exemplo, para o dimensionamento 
de uma escada com degraus isolados em balanço, além da verificação utilizando-se 
ações permanentes (g) considera-se uma força concentrada (Q), ilustrada na figura 5.a. 
No entanto, este carregamento não deve ser considerado na composição das ações 
que estão agindo na viga que suporta os degraus, a qual deve ser dimensionada para 
as ações de uso, juntamente com as ações permanentes, figura 5.b.
Figura 5: a) - Degraus isolados em balanço considerando-se a força concentrada variável Q; b) Ações a serem consideradas no dimensionamento da viga.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Conforme Melges (1997) quando a ação do gradil, mureta ou parede não está 
aplicada diretamente sobre uma viga de apoio, ela deve ser considerada no cálculo da 
laje (laje que compõe a escada). A rigor esta ação é uma força linearmente distribuída 
ao longo da borda da laje. No entanto, esta consideração acarreta um trabalho que 
não se justifica nos casos comuns. Sendo assim, uma simplificação que geralmente 
conduz a bons resultados consiste em transformar a resultante desta ação em outra 
uniformemente distribuída, podendo ser somada às ações anteriores. O cálculo dos 
esforços é feito, então, de uma única vez.
O peso do gradil varia, em geral, fica compreendido entre os valores de 0,3 kN/m 
a 0,5 kN/m.
Referente a mureta ou parede, temos que essa ação depende do material empregado: 
tijolo maciço, tijolo cerâmico furado ou bloco de concreto. Os valores usuais, incluindo 
revestimentos.
Segundo a NBR 6120/2019, ao longo dos parapeitos deve-se considerar as seguintes 
ações, carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima 
de 2 kN/m, conforme a figura 6.
Figura 6: Ações definidas pela NBR 6120 (1980), para parapeitos.
Fonte: elaborado pelo autor.
Discutimos sobre as ações na escada, vamos agora estudar sobre os tipos de 
escada e seu comportamento estrutural.
2.2 Título 2 (Modelos de escadas)
Serão estudadas as escadas armadas transversalmente, longitudinalmente, em cruz, 
as escadas com patamar e as escadas em balanço, além das escadas com degraus 
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isolados engastados em viga reta. Vamos discutir alguns detalhes do projeto, bem 
como seu comportamento para o dimensionamento.
Segundo Araújo (2014), a posição dos apoios define a direção da armadura principal 
da escada, que pode ser armada longitudinalmente, transversalmente ou nas duas 
direções.
As escadas armadas transversalmente:
São compostas pelo vão teórico (L) e ação distribuída uniformemente (p), os esforços 
máximos, dados por unidade de comprimento, são:
Melges et al. (1997) recomenda que se utilize a espessura h1, para dimensionamento, 
visto que não se dispõe da espessura (Hm) em todos os pontos da escada, ou seja, 
para os trechos que não têm degraus temos a espessura inferior a (Hm). 
Conforme Melges (1997) quando temos valores de (L) dentro de padrões 
convencionais , a taxa de armadura de flexão resulta em valor inferior ao encontrado 
pela mínima (asmín). No cálculo da armadura mínima, recomenda-se usar h1.
asmín = 0,15% bw.h1; 
sendo h1 ≥ 7 cm.
Permite-se usar também a espessura h, mostrada na figura 7, por ela ser pouco 
inferior a h1.
Figura 7: Escada armada transversalmente.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Denominando-se a armadura de distribuição de (asdistr), obtém-se:
asdistr≥(1/5 da armadura principal) ou (0,90 cm²/m)
Segundo Melges (1997) o espaçamento máximo indicado para as barras da armadura 
principal não deve ser superior a 20 cm, para a armadura de distribuição não podemos 
ter espaçamento superior a 33 cm. Este modelo de escada é mais aplicada para 
residências, sendo construída entre duas paredes que servem de apoio para as vigas. 
Neste caso, não se deve esquecer de considerar, no cálculo da viga-baldrame, a reação 
da escada na alvenaria.
Escadas armadas longitudinalmente:
Segundo Cunha e Souza (1998), escadas armadas longitudinalmente devem ser 
utilizadas quando não é possível criar apoios ao longo da escada. Araújo (2014) afirma 
que esse tipo de escada pode ser dimensionada semelhante a uma viga de largura 
(b), altura (h) e vão (L), conforme ilustram a figura 8.
Figura 8: Largura de cálculo de escada armada longitudinalmente.
Fonte: elaborado pelo autor.
Segundo Melges (1997) o peso próprio é em geral avaliado por (m²) de projeção 
horizontal. É pouco usual a consideração da força uniformemente distribuída por (m²) 
de superfície inclinada, figura 9. Conforme a notação indicada na Figura 8, o momento 
máximo, dado por unidade de largura, é igual a:
m= 
(pL2)____
8
 ou m= 
(pi Li
2)______
8
 
Onde:
L= Vão na direção horizontal;
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p = Força vertical uniformemente distribuída;
Li = Vão na direção inclinada;
pi = força uniformemente distribuída perpendicular ao vão inclinado.
 
Figura 9: Vão e espessura de cálculo de escada armada longitudinalmente. 
Fonte: elaborado pelo autor.
O valor da força inclinada uniformemente distribuída (pi) pode ser obtido da 
seguinte forma: considera-se largura unitária e calcula-se a força resultante que atua 
verticalmente (P); projeta-se esta força na direção perpendicular ao vão inclinado (Pi); 
divide-se essa força (Pi) pelo valor do vão inclinado (li), de forma a se obter uma força 
uniformemente distribuída (pi), na direção perpendicular ao vão inclinado. 
Supondo as mesmas condições de apoio nas duas extremidades, a força resultante 
projetada na direção do vão inclinado produzirá reações de tração na extremidade 
superior e de compressão na extremidade inferior. Porém, as tensões são pequenas 
e, em geral, não precisam ser levadas em consideração. As extremidades poderão ser 
engastadas, para este caso, deverão ser consideradas as devidas condições estáticas 
(MELGES; PINHEIRO; GIONGO, 1997).
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Escadas armadas em cruz:
Segundo Melges (1997) os esforços são calculados utilizando-se tabelas para ações 
verticais e considerando-se os vãos medidos na horizontal. Este tipo de escada está 
ilustrado na figura 10. Para o dimensionamento, na direção transversal, pode-se utilizar 
a altura h1 no cálculo da armadura mínima. Já na direção longitudinal utiliza-sea 
altura h. O cálculo das vigas horizontais não apresenta novidades.
Nas vigas inclinadas, as ações são admitidas verticais por metro de projeção 
horizontal e os vãos são medidos na horizontal.
Figura 10: Modelo de escada armada em cruz.
Fonte: elaborado pelo autor.
Escadas com patamar
Para este tipo de escada, são possíveis várias disposições conforme mostra a 
Figura 11. O cálculo consiste em se considerar a laje como simplesmente apoiada, 
lembrando que a ação atuante no patamar em geral é diferente daquela atuante na 
escada propriamente dita.
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Figura 11: Tipo de escadas
Fonte: (MANCINI, 1971) 
Nos casos (a) e (b), dependendo das condições de extremidade, o funcionamento 
real da estrutura pode ser melhor interpretado com o cálculo detalhado a seguir. 
Considera-se o comportamento estático da estrutura representado na figura 12.
Figura 12 : Comportamento estático da escada
Fonte: (MANCINI, 1971) 
A reação RB pode ser dada pela composição das compressões Ce e Cp, que ocorrem 
na escada e no patamar, respectivamente. Essas compressões podem ocorrer em 
função das condições de apoio, nas extremidades da escada. 
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Para escada simplesmente apoiada, deve-se verificar o detalhamento da armadura 
positiva. A armadura mostrada na figura 13 está sujeita a tração, saltando para fora 
da massa de concreto que, nessa região, tem apenas a espessura do cobrimento, para 
que isso não aconteça, deve-se fazer o detalhamento correto ilustrado na figura 13. 
Figura 13: modelo de detalhamento correto.
Fonte: elaborado pelo autor.
Escadas com laje em balanço
Para este tipo de escada, temos que uma de suas extremidades é engastada e a 
outra é livre. Na figura 14, o engastamento da escada se faz na viga lateral, destaca-
se que o cálculo da laje é simples, sendo armada em uma única direção, com barras 
principais sendo superiores (armadura negativa).
Figura 14 : Escada em balanço engastada na viga lateral. 
Fonte: (MANCINI, 1971) 
No dimensionamento da viga que recebe a escada, deve-se considerar o cálculo à 
flexão e à torção. Este último esforço deverá ser absorvido por pilares ou por vigas 
ortogonais à viga de suporte da escada. 
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Escadas em viga reta, com degraus em balanço
Os degraus são isolados e, se engastados na viga, podem ocupar posição central 
(figura 15.a) ou lateral (figura 15.b).
Podemos destacar na figura 15 que a escada em viga reta, com degraus em balanço 
mesmo no caso da viga ocupar posição central (figura 15.a), deve-se considerar a 
possibilidade de carregamento assimétrico ocasionando torção na viga, com ações 
variáveis (q e Q) atuando somente de um lado em conjunto. Os degraus são armados 
como pequenas vigas, sendo necessária, devido à sua pequena largura, a utilização 
de estribos.
Figura 15 : Escada com degrau em balanço com posição: a) central; b) lateral. 
Fonte: elaborado pelo autor.
Para estes casos, a prática demonstra que é interessante adotar dimensões mais 
robustas que as mínimas estaticamente determinadas, pois o baixo peso próprio 
deste tipo de escada pode ser responsável por problemas de vibração na estrutura. 
Os degraus podem também ser engastados em uma coluna, que, neste caso, estará 
sujeita à flexão composta.
Exemplo: determinar o vão da escada, espessura (H), composição de cargas, reações 
e solicitações para uma escada de uma edificação residencial, que apresenta dois vãos 
paralelos, conforme a figura 1. Os degraus têm uma altura de 16,7 cm e uma largura de 
28 cm. No lado interno dos degraus, existe um peitoril com carga correspondente a 1,5 
kN/m, considerando a carga acidental de 2,5 kN/m², reboco 0,2 kN/m², revestimento 
cerâmico 0,85 kN/m².
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Fonte: elaborado pelo autor.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Diagrama de força cortante (kN/m)
Fonte: elaborado pelo autor.
Diagrama de momento fletor (kN.m)
Fonte: elaborado pelo autor.
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AULA 3
ELEMENTO DE 
FUNDAÇÃO: SAPATA
A subestrutura ou fundação, é a parte de uma estrutura composta por elementos 
estruturais, que possuem a função de receber as cargas da edificação e transmitir 
para o solo, cargas verticais, forças do vento, etc.
A estrutura posicionada acima do solo é chamada de superestrutura. As ações que 
atuam na superestrutura de um edifício são transferidas na direção vertical, ou seja, 
as lajes transferem para as vigas e as vigas transferem para os pilares, tal condição 
de transferência de carga está vinculada a estruturas convencionais. Os elementos de 
fundação são a estrutura posicionada abaixo do nível do solo chamada de infraestrutura, 
responsável por receber as cargas da superestrutura e transferir para o solo. 
Podemos ter a seguinte interpretação: o solo geralmente tem resistência muito 
inferior à do concreto do pilar, por tal motivo, é necessário projetar algum outro tipo 
de elemento estrutural com a função de transmitir as ações ao solo.
Os elementos mais comuns para cumprir essa função são as sapatas e os blocos, 
sendo que os blocos atuam como elementos de transição das ações, dos pilares para 
as estacas ou tubulões, já as sapatas possuem a capacidade de transferir as ações 
da superestrutura diretamente para o solo por meio de sua base (Figura 1).
Figura 1: Modelo da superestrutura e infraestrutura.
Fonte: elaborado pelo autor.
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A fundação superficial, também chamada fundação rasa ou direta, é definida no item 
3.1 da NBR 6122/2019 como o “elemento de fundação em que a carga é transmitida 
ao terreno pelas tensões distribuídas sob a base da fundação, e a profundidade de 
assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a 
menor dimensão da fundação”. 
O elemento de fundação superficial mais comum é a sapata, que pela área de contato 
base-solo transmite as cargas verticais e demais ações para o solo, diretamente, 
conforme ilustrado na figura 2, onde B é a menor dimensão em planta. 
Figura 2: Configuração da sapata no solo.
Fonte: elaborado pelo autor.
A sapata é definida segundo a NBR 6122 (item 3.2) como o “elemento de fundação 
superficial, de concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração 
nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura especialmente disposta 
para esse fim.”.
Na NBR 6122/2019 (item 22.6.1), sapata é definida como as “estruturas de volume 
usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso de fundação direta.”. 
Na superfície correspondente à base da sapata atua a máxima tensão de tração, que 
supera a resistência do concreto à tração, de modo que torna-se necessário dispor 
de uma armadura resistente, geralmente na forma de malha (figura 3).
É recomendado dimensionar sapatas com altura grande o suficiente para evitar a 
armadura transversal (vertical) resistente às forças cortantes, que também atuam na 
sapata, para esse tipo de dimensionamento vamos adotar as sapatas rígidas.
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Figura 3: a) Sapata em corte, com a representação da armadura do pilar (As) e armadura na base da sapata (Asx) b) Sapata em planta com a representação 
da malha de armadura (Asx) e (Asy) .
Fonte: elaborado pelo autor.
As sapatas denominadas superficiais, geralmente são assentadas sobre solo mais 
firme, em areia compacta, ou medianamente compacta, pode existir situaçõesem 
que a sapata ficará submersa ou saturada pela presença de água. Tal problema é 
verificado em cálculos, especificando soluções para tais tipos de problemas, existem 
outras maneiras de solucionar, como: rebaixamento do lençol freático presente em 
determinado lugar, ou até mesmo através de drenagens (VELLOSO E LOPES, 2010.). 
O dimensionamento de sapatas passa por critério de análise e interpretação da 
distribuição de tensões para solo, ou seja, basicamente temos que verificar se a camada 
de solo suportará e se o concreto da sapata também irá suportar, logo, temos dois 
materiais para interpretar, bem como, a interação de ambos. 
Figura 4: Bloco de fundação direto.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Segundo a NBR 6122 (2019) o elemento de fundação superficial de concreto, 
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas 
pelo concreto, sem necessidade de armadura, é denominado bloco de fundação direto. 
Para que as tensões de tração sejam resistidas pelo concreto, o bloco precisa ter uma 
altura grande. O bloco assim trabalhará preponderantemente à compressão. 
A NBR 6122 (2019) descreve que o ângulo β (figura 4) expresso em radianos deve 
satisfazer a seguinte igualdade:
tgβ/β ≥ (σadm/fct)+1
em que: 
σadm: Tensão admissível do concreto;
fct: 0,4 fck menor ou igual a 0,8 MPa, em que fct é a tensão de tração no concreto; 
fck: Resistência característica à tração do concreto.
Um outro elemento, muito aplicado em edificações residenciais de pequeno porte 
em conjuntos habitacionais, é o radier, definido na NBR 6122 (2019) como o elemento 
de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares de uma estrutura, 
distribuindo os carregamentos. Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais 
devem ser definidas por meio de dimensionamento geométrico e de cálculo estrutural.
Os momentos fletores máximos (Mmáx) e as deflexões máximas (ymax ) do radier 
de concreto quando submetidas à ação direta de carregamentos, podem ser analisados 
por modelos unidimensionais (vigas) com o emprego do programa FTOOL, por exemplo.
Essa análise torna-se possível ao se aplicar pois se faz uma analogia de grelha, 
que é um método bastante usado para análise de lajes, principalmente devido a sua 
facilidade de compreensão e utilização. O procedimento de analogia de grelha consiste 
em substituir o radier por uma malha equivalente de vigas (grelha equivalente), conforme 
ilustra a figura 5.
Figura 5: Radier representado por grelha equivalente e apoiado no solo através de coeficientes de mola.
Fonte: elaborado pelo autor.
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3.1 Título 2 (Tipos de Sapatas)
Segundo Bastos (2019) dentro os elementos de fundação superficial, a sapata é 
a mais comum, e devido à grande variabilidade existente na configuração e forma 
dos elementos estruturais, existem diversos tipos de sapatas, como isolada, corrida, 
associada, de divisa, com viga de equilíbrio, etc. O princípio que o projetista tem que 
ter em mente é que todos os tipos de sapata possuem a mesma finalidade, porém, 
cada uma com suas características específicas.
Sapata Isolada 
A sapata isolada é a mais comum nas edificações, sendo aquela que transmite ao 
solo as ações de um único pilar. As formas que a sapata isolada pode ter, em planta, 
são muito variadas, mas a retangular é a mais comum (figura 6).
Figura 6: Sapata isolada.
Fonte: elaborado pelo autor.
Segundo Basto (2019) a sapata está sujeita a algumas ações, sendo elas em sua 
grande totalidade a força normal (N), os momentos fletores em uma direção ou duas 
direções (Mx;My) e a força horizontal em uma direção ou duas direções (Hx;Hy) conceito 
ilustrado na figura 7. 
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Figura 7: Ações da sapata
No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a utilização 
da ligação da sapata com um pilar interno (viga de equilíbrio, por exemplo), a flexão 
devido à excentricidade (e) do pilar em relação ao centro de gravidade da área da 
base da sapata deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com o solo. São 
encontradas em muros de arrimo, edificação de pequeno porte, etc. (figura 8).
Figura 8: Sapata com excentricidade, sem viga de equilíbrio.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Podemos estabelecer um limite para a sapata retangular, no qual sua dimensão 
maior da base não supere cinco vezes a largura (A ≤ 5B) , figura 9. Quando A > 5B, é 
chamada sapata corrida (BASTO, 2019)
Figura 9: Limite para sapata isolada.
Fonte: elaborado pelo autor.
Sapata Corrida
Conforme a NBR 6122-2019, sapata corrida é aquela que está sob ação de uma 
carga distribuída linearmente ou de pilares ao longo de uma mesma linha, figura 10. 
As sapatas corridas possuem maior aplicação em construções de pequeno porte, 
galpões de pequena altura, muros de divisa e de arrimo em algumas condições. Se 
caracteriza como uma solução econômica e de rápida execução, porém, é indicada 
para solo com boa capacidade de suporte para as profundidades iniciais.
Figura 10: Sapata corrida.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Sapata Associada
Segundo a NBR 6122 (2019), sapata associada é aquela que recebe a carga de 
mais de um pilar, também chamada de sapata combinada ou conjunta. Podemos ter 
tal situação em uma obra quando existe a proximidade entre os pilares. Não sendo 
viável construir uma sapata isolada para cada sapata. Neste caso, uma única sapata 
pode ser projetada como a fundação de receber dois ou mais pilares (figura 11).
Figura 11: Sapata associada com dois pilares.
Fonte: elaborado pelo autor.
Sapata com viga Alavanca ou viga Equilíbrio
É descrito, segundo a NBR 6122 (2019), como o elemento estrutural que recebe 
as cargas de um ou dois pilares e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas 
para as fundações. 
A utilização de viga de equilíbrio serve para equilibrar a excentricidade existente 
em um dos pilares, resultando em diferentes cargas no elemento de fundação. A 
reação (R1) gerada pelo pilar (P1) compensará a reação (R2) gerada pelo pilar (P2) 
temos um princípio de estática (viga de equilíbrio figura 12). Sua aplicação é comum 
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no caso de pilar posicionado na divisa de terreno, onde ocorre uma excentricidade 
(e) entre o ponto de aplicação de carga do pilar (N) e o centro geométrico da sapata 
(condição que não consegue ser resolvida com a aplicação de sapata isolada com 
excentricidade: figura 8). O momento fletor resultante da excentricidade é equilibrado 
e resistido pela viga de equilíbrio, que na outra extremidade é geralmente vinculada a 
um pilar interno da edificação, ou no caso de ausência deste, vinculada a um elemento 
que fixe a extremidade da viga no solo (figura 12), (BASTO, 2019).
Figura 12: Sapata com viga equilíbrio.
Fonte: elaborado pelo autor.
Cintas, ou baldrame 
As fundações isoladas devem ser, sempre que possível, ligadas por cintas em 
duas direções ortogonais (figura 13). Segundo Velloso e lopes (2012) as cintas são 
responsáveis por: 
• Impedir deslocamentos horizontais das fundações;
• Limitar rotações (absorvendo momentos) decorrentes de excentricidades 
construtivas;
• Definir o comprimento de flambagem do primeiro trecho de pilares, no caso 
de fundações profundas ou de sapatas implantadas a grande profundidades;
• Servir de fundação para paredes no pavimento térreo. 
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As cintas normalmente não têm o propósitode reduzir recalques diferenciais (isso 
pode ser feito, porém, com dimensões e armações fora do que é usual nessas peças). 
Por outro lado, em prédios que sofrem recalques consideráveis, estes são, em geral, 
maiores no centro da obra, e as cintas acabam sendo solicitadas à tração, portanto, as 
armações longitudinais das cintas em alguns casos devem ser devidamente ancoradas 
em suas extremidades (Velloso e lopes, 2012). 
Figura 13: a) Planta baixa das sapatas conectadas por cintas; b ) Corte do esquema estrutural: cinta e sapatas.
Fonte: elaborado pelo autor.
3.2 Título 2 (Classificação Relativa à Rigidez)
A classificação das sapatas seguindo o critério de rigidez é muito importante, pois 
direciona a forma que ocorrerá a distribuição de tensões na interação solo estrutura 
(sapata-solo), bem como o procedimento ou possível falha estrutural que pode ocorrer, 
além de auxiliar na escolha do método para o dimensionamento estrutural.
A NBR 6122/2019 classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a 
que atende a equação:
h≥(A-ap)/3 (Eq. 1)
onde: 
h = altura da sapata; 
A = dimensão da sapata em uma determinada direção; 
ap = dimensão do pilar na mesma direção.
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Podemos observar na figura 14, as medidas presentes na Eq. 1 
Figura 14: Dimensões para análise de rigidez da sapata.
Fonte: elaborado pelo autor.
A Eq. 1 deve também ser verificada para as dimensões B e bp, correspondente a 
outra direção da sapata, sendo que, para ser classificada como rígida, a equação deve 
ser atendida em ambas as direções, caso uma direção não atender a Eq. 1, tem-se 
uma sapata flexível. 
Sapatas rígidas são mais usuais em projeto de fundações, por apresentarem menor 
comportamento deformável, ou seja, são mais seguras contra a ruptura por punção. 
As sapatas flexíveis são caracterizadas pela altura “pequena” e, segundo a NBR 
6118/2014, seu uso é mais raro, sendo mais aplicável para fundação de cargas 
pequenas e solos relativamente fracos. 
Montoya (1971) diz que não é fácil estabelecer um limite para a classificação das 
sapatas, e que sua escolha necessita de cuidados e análises, pois trata-se de uma 
tarefa difícil. Segundo Bastos (2019) a classificação da sapata rígida está vinculada 
ao ângulo β, que é igual ou superior a 45° (β ≥ 45°, ver figura 15). Em caso contrário, 
a sapata é tratada como flexível (β 1,5 não é sapata, e sim, 
bloco de fundação direta (aquele que dispensa armadura de flexão porque o concreto 
resiste à tensão de tração máxima existente na base do bloco) (BASTO, 2019).
3.3 Título 2 (Distribuição de Tensões no Solo )
Segundo Bastos (2019) a tensão ou pressão de contato que a área da base de uma 
sapata exerce no solo é fundamental na interpretação da interação base da sapata-solo. 
Alguns estudos analíticos e de campo apontam que a tensão de contato sapata solo 
não é necessariamente distribuída uniformemente, e depende de alguns fatores, como:
• existência de excentricidade do carregamento aplicado;
• Intensidade de possíveis momentos fletores aplicados;
• Rigidez da fundação;
• Propriedades do solo; 
• Rugosidade da base da fundação. 
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A figura 16 destaca algumas condições de sapata carregada verticalmente, com 
pressão de contato entre a base e camada de solo, considerando o tipo de solo e 
rigidez da sapata, ou seja, se é rígida ou flexível.
Segundo Bastos (2019) sapatas flexíveis curvam-se e mantêm a pressão uniforme 
no solo, já sapatas rígidas não se curvam, e o recalque, se ocorrer, é uniforme, porém, a 
pressão no solo não é uniforme. Sapatas apoiadas sobre solos granulares, como areia, 
a pressão é maior no centro e decresce em direção às bordas da sapata. No caso de 
solos argilosos, temos a condição contrária, a pressão é maior nas proximidades das 
bordas e menor no centro. Essas características de não uniformidade da pressão no 
solo são comumente ignoradas porque sua consideração numérica é incerta e muito 
variável, dependendo do tipo de solo, e porque a influência sobre a intensidade dos 
momentos fletores e forças cortantes na sapata é relativamente pequena.
Figura 16: Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; b) sapata flexível sobre areia; c) sapata rígida 
sobre argila; d) sapata flexível sobre areia; e) distribuição simplificada. 
Fonte: Bastos, 2019.
Devido à complexidade da análise interação solo-estrutura, é comum considerar a 
uniformidade, como mostrado na figura 17, pois o erro cometido com a simplificação 
não é significativo, na maioria dos casos, o que geralmente resulta em esforços 
solicitantes maiores.
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Figura 17: Distribuição de tensões no solo.
Fonte: Bastos, 2019.
Segundo Bastos (2019) a NBR 6118/2014 considera que, no caso de sapata rígida, 
pode-se considerar plana a distribuição de tensões no contato sapata-solo, caso não se 
disponha de informações mais detalhadas. Para sapata flexível ou em casos específicos, 
mesmo com sapata rígida, essa hipótese deve ser analisada. A NBR 6118/2014 diz que 
sapata flexível necessita de análise da distribuição de tensões no contato sapata-solo.
Por fim, recomenda-se que a área da fundação solicitada por cargas centradas deve 
ser tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente distribuídas, 
sejam menores ou iguais à tensão admissível ou tensão resistente do solo.
3.4 Título 2 (Projeto de Sapata )
Detalhes Construtivos 
A NBR 6122/2019 descreve que todas as partes da fundação superficial em contato 
com o solo (sapatas, vigas de equilíbrio, etc.) devem ser projetadas sobre um lastro 
de concreto não estrutural com, no mínimo, 5 cm de espessura. No caso de rocha, 
esse lastro deve servir para regularização da superfície e, portanto, pode ter espessura 
variável, no entanto, é observado um mínimo de 5 cm. A figura 18 destaca as medidas 
mínimas e máximas, bem como o valor de ângulo do talude natural do concreto, que 
deve ser igual ou menor que .
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Figura 18: Detalhe construtivo.
Fonte: elaborado pelo autor.
Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada 
Observe na figura 19 que cA e cB são distâncias da face do pilar à extremidade da 
sapata, em cada direção. Para obtenção de momentos fletores solicitantes e armaduras 
de flexão não muito diferentes nas duas direções da sapata, procura-se determinar 
as dimensões A e B de modo que os balanços sejam iguais ou semelhantes (cA=cB).
Figura 19:Balanços iguais ou semelhantes (cA=cB).
Projeto com Considerações do CEB-70
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As metodologias para projeto de sapatas diferem quanto à seção para consideração 
dos momentos fletores. Para a verificação pelo CEB-70, os momentos fletores são 
calculados, para cada direção, em relação a uma seção de referência (S1A ou S1B) 
plana, perpendicular à superfície de apoio,ao longo da sapata e situada internamente 
ao pilar, distante da face do pilar de (0,15ap ou 0,15bp) , onde ap e bp são as dimensões 
do pilar normal à seção de referência (Figura 20). 
Figura 20: Momentos fletores, para cada direção, em relação a uma seção de referência (S1A ou S1B).
Fonte: elaborado pelo autor.
Exemplo 1: determinar as dimensões da sapata em planta, sua altura (h), sabendo 
que a sapata é classificada como rígida. A sapata é solicitada por um pilar com seção 
transversal (20 x 80) cm.
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Fonte: elaborado pelo autor.
Fonte: elaborado pelo autor.
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AULA 4
BLOCOS
Conforme a NBR 6118/2014, no item 22.7, tem-se que os blocos são estruturas 
de volume usadas para transmitir às estacas e aos tubulões as cargas de fundação, 
podendo ser considerados rígidos ou flexíveis por critério semelhante estudado para 
sapatas. Os blocos podem ser apoiados sobre um número (n) qualquer de estacas, 
sendo mais comuns os blocos sobre uma, duas ou três estacas, estes são mais usuais 
nas estruturas convencionais, ou seja, cargas relativamente baixas.
Porém, pode-se destacar que fatores como, características do solo, capacidade da 
estaca e carga do pilar também estão vinculados ao número de estacas no bloco.
Nas edificações de pequeno porte, como galpões, casas térreas e sobrados, os 
blocos sobre duas estacas são os mais comuns, podendo ter bloco sobre uma estaca 
também, pois a carga proveniente do pilar é comumente de baixa intensidade.
 Nos edifícios de múltiplos pavimentos, como as cargas são altas, a quantidade 
de estacas é de, no mínimo, três. Há também o caso de bloco assente sobre tubulão, 
para esta situação o bloco atua como elemento de transição de carga entre o pilar e 
o fuste do tubulão (Figura 1).
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Figura 1: Sistema estrutural para bloco
Fonte: elaborado pelo autor.
 
A NBR 6118/2014 no item 22.2.7.1, descreve que o comportamento estrutural de 
blocos rígidos é caracterizado por:
a) Trabalho à flexão nas duas direções, porém, com tensões de tração basicamente 
concentradas nas linhas sobre as estacas, com faixas de largura igual a 1,2 vez 
seu diâmetro);
b) Forças transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por bielas de 
compressão;
c) Trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruínas 
por tração diagonal, e sim por compressão das bielas, semelhante às sapatas.
A NBR 6118 discute sobre o bloco flexível, em que deve-se realizar uma análise 
contemplando a distribuição dos esforços nas estacas, considerando os tirantes de 
tração, até a necessidade da verificação da punção entre estaca e bloco.
A Figura 2 mostra as duas bielas de compressão inclinadas atuantes nos blocos 
sobre duas estacas.
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Figura 2: Bielas de compressão atuando no bloco de duas estacas.
Fonte: elaborado pelo autor.
A NBR 6118 descreve no item 22.7.3 que, para o cálculo e dimensionamento dos 
blocos, são aceitos modelos tridimensionais lineares ou não lineares e modelos de 
biela e tirante, além disso, a NBR 6118 destaca que na região de contato entre o pilar 
e o bloco, pode ocorrer efeito de fendilhamento que, por sua vez, deve ser considerado, 
conforme descrito no item 21.2.
Segundo Bastos (2020) o modelo de bielas e tirantes é definido com as seguintes 
características: a biela é a representação do concreto sendo comprimido e o tirante 
é a região onde tem-se tensões de tração, ou seja, onde serão acrescentadas as 
armaduras tracionadas, ver figura 3.
Nos casos em que houver excentricidades significativas ou ação de força horizontal 
de grande magnitude, o modelo de biela-tirante deve contemplar a interação solo-
estrutura acompanhado por análise do comportamento do bloco-estaca.
Conforme Bastos (2020) os modelos de cálculo mais utilizados para o 
dimensionamento de blocos sobre estacas são o “Método das Bielas” desenvolvido 
por Blévot em 1967 e o do CEB-70. O Método das bielas e tirante e o método do 
CEB-70 devem ser aplicados somente para blocos rígidos. Para blocos flexíveis, são 
aplicados métodos aplicáveis em vigas ou em lajes. 
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Figura 3: Biela atuando no concreto, região comprimida e o tirante região onde tem tensões de tração.
Fonte: elaborado pelo autor.
MÉTODO DAS BIELAS DE BLÉVOT
Segundo Bastos (2020) o método das Bielas proposto por Blévot considera uma 
treliça como o modelo resistente no interior do bloco sobre várias estacas ou para 
blocos sobre duas estacas. As forças atuantes nas barras comprimidas da treliça são 
resistidas pelo concreto e as forças atuantes nas barras tracionadas são resistidas 
por barras de aço (armadura).
A principal incógnita do modelo é a definição das bielas comprimidas (forma, 
dimensões, inclinação, etc.), o que foi resolvida com as propostas por Blévot (1967).
Segundo Bastos (2020) o método das Bielas é recomendado quando:
a) O carregamento é quase centrado. O método pode ser empregado para 
carregamento não centrado, admitindo-se que todas as estacas estão com a 
maior carga, o que tende a tornar o dimensionamento antieconômico;
b) Todas as estacas devem estar igualmente espaçadas do centro do pilar. O 
Método das Bielas é o método simplificado mais empregado, porque:
• Tem amplo suporte experimental (116 ensaios de Blévot, entre outros);
• Ampla tradição no Brasil e Europa;
• O modelo de treliça é intuitivo.
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4.1 Título 2 ( Bloco sobre uma estaca)
Segundo Bastos (2020) o bloco sobre uma estaca tem por princípio transferir a carga 
do pilar para a estaca, sendo necessário por razões de ordem construtivas, devido a 
não proporcionalidade entre a base do pilar e a cabeça de estaca. A Figura 4 mostra a 
situação, onde o bloco faz a transferência de carga do pilar de seção retangular para 
a estaca de seção circular, situação de maior ocorrência.
Segundo Bastos (2020) o bloco também é importante para a locação correta de 
pilares, chumbadores metálicos, correção de pequenas excentricidades da estaca, 
uniformização da carga sobre a estaca, etc. A armadura principal consiste de estribos 
horizontais fechados, para resistência ao esforço de fendilhamento, e estribos verticais 
construtivos, nas duas direções do bloco.
Figura 4: Bloco faz a transferência de carga do pilar de seção retangular para a estaca de seção circular.
Fonte: elaborado pelo autor.
Bastos (2020) descreve que para edificações de pequeno porte com cargas baixas 
no pilar, a armadura resulta em diâmetros pequenos, aproximadamente 4,2 ou 5 mm, 
suficientes para os estribos horizontais. Como consequência, por simplicidade os 
estribos verticais podem ser adotados com área igual à da armadura principal As , 
nas duas direções do bloco, e inclusive com o mesmo diâmetro.
A dimensão (A) do bloco, para cargas altas em pilares pode ser tomada como:
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A = fe + 2 ∙ (5 ou 10) cm (ver Figura 5)
Sendo a estaca circular denominada como (fe), resultando em um bloco quadrado 
em planta, com B = A.
No caso de edificações de pequeno porte, com cargas baixas, a dimensão A do 
bloco em planta pode ser tomada como:
A = fe + 2 ∙ (5 a 10) cm (ver Figura 5)
Figura 5: Esquema do pilar e estaca.
Fonte: elaborado pelo autor.
Podemos citar como exemplo extraído de Basto (2020): Para um pilar de um sobrado 
com estaca de diâmetro fe = 20 cm, temos um bloco com dimensões em planta de 
30 x 30 cm (Figura 6). 
Neste caso, o pilar sobre o blocodeve ter seção transversal com dimensão máxima 
≤ 25 cm, para que exista uma distância mínima de 2,5 cm entre a face do pilar e a 
face vertical do bloco. 
Para pilar com dimensões maiores deve-se aumentar as dimensões do bloco em 
planta. A altura útil (d) do bloco pode ser estimada em torno de 1,2.fe , como indicada 
na Figura 4.
Para o bloco da Figura 4 resulta: d = 1,2.fe = 1,2 . 20 = 24 cm, e h = d + 5 = 24 + 5 
= 29 cm aproximadamente de 30 cm. 
Resultando, portanto, em um bloco na forma de um cubo com 30 cm de arestas. 
Deve-se verificar que a altura útil (d) deve ser maior que o comprimento de ancoragem 
(lb) da armadura principal do pilar.
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Figura 6: Pilar do sobrado com estaca de diâmetro fe = 20 cm.
Fonte: Bastos (2021)
4.2 Título 2 ( Bloco sobre duas estacas)
Para o bloco de duas estacas, vamos seguir: Método das Bielas - Blévot. A Figura 7 
mostra o bloco sobre duas estacas, com a biela de concreto comprimido e o esquema 
de forças atuantes, conforme proposta de Blévot. Observar que a dimensão (ap) do 
pilar é na direção da distância entre os centros das estacas (e).
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Figura 7.
Fonte: Bastos (2021)
Do polígono de forças (Figura 7) são definidas a força de tração Rt na base do 
bloco e a força de compressão Rc nas bielas de concreto:
tgα= 
N/2____
Rt
 e tgα= 
d____
e
__
2 - 
ap
__
4
 
Rt= N__
8
 .(2.e-ap_______
d
)
senα= 
N/2____
R2
Altura Útil (As) bielas comprimidas de concreto não apresentam risco de ruptura 
por punção desde que o ângulo fique no intervalo 40° 55°. O ângulo α pode ser 
calculado por:
tagα= 
d____
e
__
2 - 
ap
__
2
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Substituindo α pelos ângulos 40° e 55°, temos o intervalo de variação para d:
0,419 . (e - 
ap____
2
) ≤ d ≤ 0,714 . (e- 
ap____
2
)
A NBR 6118 (22.7.4.1.4) descreve que o bloco deve ter altura suficiente para permitir 
a ancoragem da armadura de arranque dos pilares, está ancoragem pode-se considerar 
o efeito favorável da compressão transversal às barras decorrente da flexão do bloco, 
tal condição, a armadura longitudinal vertical do pilar ficará ancorada no bloco se:
d≥ lb,θ,pilar,onde lb,θ,pilar é o comprimento de ancoragem da armadura do pilar
A altura (h) do bloco é:
h=d+d, ,para d, ≥{5 cm ou aest/5}
onde (aest) é igual ao lado de uma estaca de seção quadrada,com área igual a da 
estaca de 
seção circular
Verificação das Bielas
A seção ou área das bielas varia ao longo da altura do bloco e, por tal motivo, são 
verificadas as seções junto ao pilar e junto às estacas (Figura 8), sendo: Ab = área da 
biela ; Ap = área do pilar ; Ae = área da estaca.
Figura 8: Verificação das bielas de compressão.
Fonte: Bastos (2021)
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Para a verificação das seções juntos ao pilar e estacas, temos as seguintes relações 
trigonométricas:
Na estaca: senα=Ab/Ae,onde temos que Ab=Ae.senα
 
Podemos assim considerar a equação básica da tensão, onde:
σcd=Rcd/Ab
 
Podemos descrever a força na biela de concreto como sendo:
Rcd=Nd/2.senα
Podemos assim descrever a tensão normal de compressão relativa ao pilar e a 
estaca, sendo: 
• No pilar:
σcd,pilar=Nd/Ap.senα2
• Na estaca:
σcd,pilar=Nd/2.Ap.senα2
Para evitar o esmagamento do concreto, as tensões que atuam junto ao pilar e 
estaca devem ser menores que as tensões resistentes, Blévot considerou que: 
σrd=1,4.Kr.fcd,onde podemos assumir valor de 0,9≤Kr≥0,95
Armadura principal
Como Blévot verificou que, nos ensaios, a força medida na armadura principal foi 15 
% superior à indicada pelo cálculo teórico, considera-se Rs acrescida de 15 %, temos 
assim a armadura principal, disposta sobre o topo das estacas:
As=Rsd/σsd= 
1,15.Nd________
8.d.fyd
 (2.e-ap)
A NBR 6118 (22.7.4.1.1) especifica que para os blocos rígidos a armadura de flexão 
deve ser disposta essencialmente (mais de 85 %) nas faixas definidas pelas estacas, 
considerando o equilíbrio com as respectivas bielas. As barras devem se estender de 
face a face do bloco e terminar em gancho nas duas extremidades. Deve ser garantida 
a ancoragem das armaduras de cada uma dessas faixas, sobre as estacas, medida 
a partir das faces internas das estacas. 
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Armaduras Complementares 
A NBR 6118/2014 descreve que as armaduras laterais (de pele) e superior para 
blocos com duas ou mais estacas em uma única linha, é obrigatória a colocação de 
armaduras laterais e superiores. 
• A armadura superior pode ser tomada como uma pequena parcela da armadura 
principal: 
As,sup=0,2.As
• Armadura de pele (lateral) e estribos verticais em cada face lateral:
(
Asp____
s
) min , face = ( Asw____
s
) min , face = 0,075.B (cm²/m)
onde B = largura do bloco em cm.
• Espaçamento (s) da armadura de pele vai ser o menor valor entre (d/3) ou (20 
cm).
• Espacamento (s) dos estribos verticais vais ser o menor valor entre (15 cm) ou 
(0,5. √π___
2
 .Φe).
• Nas outras posições além das estacas: S≤20cm
Figura 9: Esquema do detalhamento das armaduras do bloco sobre duas estacas.
Fonte: Bastos (2021)
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Exemplo: Determinar dimensões do bloco em planta, altura do bloco e verificação 
das bielas para um bloco solicitado por um pilar de seção transversal 20 x 40 cm, 
sobre duas estacas pré-moldadas com diâmetro (Φf) de 30 cm.
Fonte: elaborado pelo autor.
Fonte: elaborado pelo autor.
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Fonte: elaborado pelo autor.
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AULA 5
ELEMENTO DE FUNDAÇÃO: 
ESTACA
Segundo a NBR 6122/2019, podemos entender como fundação profunda aquela que 
transmite a carga proveniente da superestrutura ao terreno pela base (resistência de 
ponta) (rp), por sua superfície lateral (resistência de fuste) (rl), ou pela combinação das 
duas (rp+rl). Além disso, as fundações profundas são descritas com uma profundidade 
de assentamento maior que o dobro da menor dimensão em planta do elemento de 
fundação, conforme mostrado na Figura 1.
Figura 1: O valor do comprimento (L) é maior que o valor do diâmetro (D) 
A resistência lateral da estaca irá ser mobilizada no instante inicial de aplicação 
da carga, já a resistência de ponta só será acionada quando ocorrer o deslocamento 
da extremidade inferior da estaca.
Para simplificar nosso entendimento as duas parcelas de resistência são consideradas 
independentes, nesta simplificação considera-se que inicialmente se mobiliza apenas 
a resistência referente ao atrito lateral (rl). Quando a resistência referente ao atrito 
lateral não for mais suficiente para manter o equilíbrio, começa a ocorrer a mobilização 
da resistência de ponta (rp).
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Figura 2: Resistência de ponta (rp) e resistência lateral (rl)
A capacidade de carga de uma estaca é compreendida como sendo o menor dos 
dois valores: 
• resistência estrutural do material da estaca. 
• resistência do solo que lhe dá suporte. 
Para a obtenção da resistência do solo, podem-se usar os métodos de cálculo de 
transferência de carga, como: Aoki-Velloso, Décourt-Quaresma entre outros. 
Esses métodos são discutidos na disciplina de fundações, deixarão de ser abordadas, 
pois iremos trabalhar com apenas os aspectos da resistência estrutural do elemento 
estaca, ou seja, resistência estrutural do material.
Segundo a NBR 6122 (2019) a grandeza que deve