Apresentação - Circuitos Trifásicos - Aula 2

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ENGENHARIA ELÉTRICA
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
AULA 2
Professor: Daniel Butters – danielmbutters@hotmail.com
TEMAS ABORDADOS NESTA AULA
• Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada
• Ligações em estrela
• Relação entre os valores de linha e fase para ligações estrela
• Resolução com gerador e carga em estrela
• Ligações em triângulo
• Relação entre os valores de fase e de linha para ligação triângulo
• Resolução de circuitos com gerador e carga em triângulo
SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E 
EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA
• Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados são sistemas em que as tensões nos terminais dos geradores são
senoidais, de mesmo valor máximo e defasadas entre si em 120°, com linha constituída por 3 ou 4 fios na qual as
impedâncias próprias e mútuas entre os fios fase e o fio de retorno (neutro) são iguais em cada fio.
• Nesta aula trataremos de sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada ligados em estrela e
triângulo e estudaremos os conceitos e as relações entre valores de fase e linha em tais circuitos.
• Já uma carga trifásica equilibrada é constituída por 3 impedâncias complexas iguais, ligadas em estrela ou em
triângulo.
• Como os três circuitos são eletricamente independentes, podemos interligar os pontos 𝑁𝐴,𝑁𝐵 e 𝑁𝐶 , o qual representaremos por N,
sem que essa interligação venha a causar qualquer alteração no circuito.
LIGAÇÕES EM ESTRELA
• Para três cargas representadas por três impedâncias quaisquer,
porém iguais entre si (carga equilibrada), temos inicialmente, três
circuitos monofásicos, nos quais circularão as correntes:
Neste circuito circularão correntes de mesmo valor
eficaz e defasadas entre si em 120°.
• Teremos os pontos 𝑁′𝐴,𝑁′𝐵 e 𝑁′𝐶 em um mesmo potencial que o ponto N, logo, podemos também interligá-los, designando-os por N’.
𝑰𝐴 =
𝑽𝐴𝑁𝐴
𝒁
=
𝑉∠0°
𝑍∠𝜑
=
𝑉
𝑍
∠ −𝜑
𝑰𝐵 =
𝑽𝐵𝑁𝐵
𝒁
=
𝑉∠ − 120°
𝑍∠𝜑
=
𝑉
𝑍
∠ −120° − 𝜑
𝑰𝐶 =
𝑽𝐶𝑁𝐶
𝒁
=
𝑉∠120°
𝑍∠𝜑
=
𝑉
𝑍
∠ 120° − 𝜑
LIGAÇÕES EM ESTRELA
• A corrente que circula pelo condutor NN’ é dada por:
𝑰𝑁𝑁′ = 𝑰𝐴 + 𝑰𝐵 + 𝑰𝐶
• Como as correntes 𝑰𝐴,𝑰𝐵 e 𝑰𝐶 possuem o mesmo valor eficaz,
porém defasadas entre si em 120°, temos que:
𝑰𝑁𝑁′ = 𝑰𝐴 + 𝑰𝐵 + 𝑰𝐶 = 0
Observação:
Uma grande vantagem do sistema trifásico é que para a transmissão da mesma potência são utilizados 3 ou 4
fios, enquanto seriam necessários 6 fios caso fossem utilizados 3 circuitos monofásicos.
• Em um sistema simétrico e equilibrado com carga
equilibrada a corrente que percorre o fio neutro é nula, e,
portanto, poderia ser retirado do circuito.
O condutor que interliga os pontos N e N’ recebe o
nome de fio neutro ou quarto fio.
• Em um circuito estrela Y, as
correntes de fase são iguais às
correntes de linha, no entanto
as tensões de fase e tensões de
linha são diferentes.
• Os valores de fase serão
indicados com um índice F e os
valores de linha serão indicados
com índice L ou em alguns
casos sem índice algum.
• Fica evidente que a
determinação das tensões e
correntes de fase em um circuito
trifásico com gerador Y e carga
em Y, resume-se à sua
determinação simples para o
caso de um circuito monofásico,
constituído por uma bobina
(fonte) e uma impedância.
• Dessa forma os três circuitos
monofásicos formaram um circuito
trifásico:
LIGAÇÕES EM ESTRELA
Ao esquema de ligação obtido é dado o nome de circuito trifásico simétrico com
gerador ligado em “estrela” (Y) e carga “equilibrada em estrela” (Y), dando-se o
nome de “centro-estrela” ao ponto N ou N’.
A partir deste circuito podemos definir:
▪ Tensão de fase: tensão medida entre qualquer um dos terminais do gerador ou da carga e o centro-estrela.
▪ Tensão de linha: tensão medida entre dois terminais do gerador ou da carga (exceto o centro-estrela).
▪ Corrente de fase: corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou, a corrente que percorre cada
uma das impedâncias da carga;
▪ Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à carga (exclui-se o
neutro).
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE LINHA E 
FASE PARA LIGAÇÃO ESTRELA
• Para a ligação estrela, as correntes de linha e de fase são
iguais, isto é:
𝑰𝐴𝑁 = 𝑰𝐴 , 𝑰𝐵𝑁 = 𝑰𝐵 , 𝑰𝐶𝑁 = 𝑰𝐶
• As tensões de linha são dadas pela diferença de tensão entre
as fases:
• Como:
𝑽𝐴𝐵 = 𝑽𝐴𝑁 − 𝑽𝐵𝑁
𝑽𝐵𝐶 = 𝑽𝐵𝑁 − 𝑽𝐶𝑁
𝑽𝐶𝐴 = 𝑽𝐶𝑁 − 𝑽𝐴𝑁
𝑽𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑽𝐴𝐵
𝑽𝐵𝐶
𝑽𝐶𝐴
= 𝑽𝐴𝑁
1
𝛼2
𝛼
− 𝑽𝐴𝑁
𝛼2
𝛼
1
= 𝑽𝐴𝑁
1 − 𝛼2
𝛼2 − 𝛼
𝛼 − 1
• Logo, as tensões de linha em função das tensões de fase para
uma fonte simétrica ligada em estrela podem ser dadas por:
1 − 𝛼2 = 1 − −
1
2
−
3
2
𝑗 = 3
3
2
+
1
2
𝑗 = 3 ∠30°
𝛼2 − 𝛼 = 𝛼2 1 − 𝛼2 = 𝛼2 3 ∠30°
𝛼 − 1 = 𝛼 1 − 𝛼2 = 𝛼 3 ∠30°
𝑽𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑽𝐴𝐵
𝑽𝐵𝐶
𝑽𝐶𝐴
= 3∠30° 𝑽𝐴𝑁
1
𝛼2
𝛼
=
𝑽𝐴𝑁 3∠30°
𝑽𝐵𝑁 3∠30°
𝑽𝐶𝑁 3∠30°
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação
estrela, com sequência de fase direta, passa-se de uma das tensões
de fase à de linha correspondente multiplicando-se o fasor que a
representa pelo número complexo:
𝟑∠𝟑𝟎°
• Analiticamente, para sequência inversa teremos:
𝑽𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑽𝐴𝐵
𝑽𝐵𝐶
𝑽𝐶𝐴
= 𝑽𝐴𝑁
1
𝛼
𝛼2
− 𝑽𝐴𝑁
𝛼
𝛼2
1
= 𝑽𝐴𝑁
1 − 𝛼
𝛼 − 𝛼2
𝛼2 − 1
• Matricialmente:
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE LINHA E 
FASE PARA LIGAÇÃO ESTRELA
• Portanto, as tensões de linha em função das tensões de fase para uma fonte simétrica ligada em estrela, sequência direta podem ser
dadas por:
𝑽𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑽𝐴𝐵
𝑽𝐵𝐶
𝑽𝐶𝐴
= 3∠30° 𝑽𝐴𝑁
1
𝛼2
𝛼
=
𝑽𝐴𝑁 3∠30°
𝑽𝐵𝑁 3∠30°
𝑽𝐶𝑁 3∠30°
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação estrela, passa-se de uma das tensões de fase à de linha
correspondente multiplicando-se o fasor que a representa pelo número complexo:
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂 → 𝟑∠𝟑𝟎° 𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 → 𝟑∠ − 𝟑𝟎°
• Analiticamente, para sequência inversa teremos:
𝑽𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑽𝐴𝐵
𝑽𝐵𝐶
𝑽𝐶𝐴
= 3 ∠ − 30° 𝑽𝐴𝑁
1
𝛼
𝛼2
=
𝑽𝐴𝑁 3 ∠ −30°
𝑽𝐵𝑁 3 ∠ −30°
𝑽𝐶𝑁 3 ∠ −30°
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE LINHA E 
FASE PARA LIGAÇÃO ESTRELA
• Podemos chegar às mesmas conclusões graficamente, utilizando
trigonometria no diagrama de fasores. De fato, 𝑽𝐴𝐵 é dada pela soma
vetorial de 𝑽𝐴𝑁 com 𝑽𝑁𝐵 = −𝑽𝐵𝑁:
Sequência direta Sequência inversa
• Para o caso da determinação das tensões de fase
conhecendo-se as tensões de linha, supondo-se
uma sequência de fase direta, e para um gerador
trifásico simétrico aterrado (VNN’ = 0) temos:
𝑽𝐴𝑁
𝑽𝐵𝑁
𝑽𝐶𝑁
=
𝑽𝐴𝐵
3 ∠30°
1
𝛼2
𝛼
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na
ligação estrela, com centro estrela aterrado
(VNN’ = 0), passa-se de uma das tensões de linha à de
fase correspondente multiplicando-se o fasor que a
representa pelo número complexo:
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂 → Τ𝟏 𝟑∠𝟑𝟎°
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 → Τ𝟏 𝟑∠ − 𝟑𝟎°
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE LINHA E 
FASE PARA LIGAÇÃO ESTRELA
• A componente VNN’ representa uma tensão que é somada aos valores de fase e, portanto, representa um deslocamento do centro-estrela
em relação à terra. De fato, as tensões dadas podem ser representadas por uma fonte de VNN’ ligada entre a terra e o centro-estrela de
três geradores 𝑽𝐴𝑁 = 𝑬, 𝑽𝐵𝑁 = 𝛼2 𝑬, 𝑽𝐶𝑁 = 𝛼 𝑬, , conforme pode ser visto na figura a seguir:
Observação:
Se tratando de um gerador trifásico
simétrico aterrado, a tensão de fase está
determinada, desde que se conheçam as tensões
de linha, pois nesse caso VNN’ = 0. Na hipótese do
gerador não estar aterrado, conhecemos as
tensões de fase em relação ao centro-estrela,
porém, com relação à terra as tensões estão
indeterminadas, pois, nesse caso, não temos
elementos para a determinação do deslocamento
do centro-estrela (neutro) em relação à terra.
RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM 
GERADOR E CARGA EM ESTRELA
• Como exemplo, vamos analisar o circuito da figura a seguirno
qual conhecem-se as tensões de fase do gerador (sequência
direta) e as impedâncias da linha e da carga, respectivamente,
Z’ e Z. O objetivo é encontrar as correntes nas três fases.
• No circuito em questão
conhecemos:
𝑽𝒇𝒂𝒔𝒆 =
𝑽𝐴𝑁
𝑽𝐵𝑁
𝑽𝐶𝑁
= 𝐸∠𝜃
1
𝛼2
𝛼
𝒁 = 𝑍∠𝜑1 𝑒 𝒁′ = 𝑍′∠𝜑2
• Realizando a análise nas malhas,
NAA’N’B’BN e NBB’N’C’CN, e
adotando as correntes 𝜸 e 𝜷, temos:
𝑽𝐴𝑁 − 𝑽𝐵𝑁 = 2𝜸 𝒁 + 𝒁′ − 𝜷 𝒁 + 𝒁′
𝑽𝐵𝑁 − 𝑽𝐶𝑁 = −𝜸 𝒁 + 𝒁′ + 2𝜷 𝒁 + 𝒁′
• Resolvendo o sistema
de equações:
𝜸 =
1
3 𝒁 + 𝒁′
2 𝑽𝐴𝑁 − 𝑽𝐵𝑁 + 𝑽𝐶𝑁
𝜷 =
1
3 𝒁 + 𝒁′
−2 𝑽𝐶𝑁 − 𝑽𝐴𝑁 + 𝑽𝐵𝑁
• Sendo um sistema
trifásico simétrico:
𝑽𝐵𝑁 + 𝑽𝐶𝑁 = 𝑽𝐴𝑁 𝛼2 + 𝛼 = −𝑽𝐴𝑁
𝑽𝐴𝑁 + 𝑽𝐵𝑁 = 𝑽𝐴𝑁 1 + 𝛼2 = −𝛼 𝑽𝐴𝑁 = −𝑽𝐶𝑁
𝜸 =
𝑽𝐴𝑁
𝒁 + 𝒁′
𝑒 𝜷 =
−𝑽𝐶𝑁
𝒁 + 𝒁′
• Logo:
• Portanto:
𝑰𝐴 = 𝜸 =
𝑽𝐴𝑁
𝒁 + 𝒁′
=
𝐸∠𝜃
𝒁 + 𝒁′
𝑰𝐵 = 𝜷 − 𝜸 =
1
𝒁 + 𝒁′
−𝑽𝐶𝑁 − 𝑽𝐴𝑁 =
𝑽𝐵𝑁
𝒁 + 𝒁′
=
𝛼2 𝐸∠𝜃
𝒁 + 𝒁′
= 𝛼2 𝑰𝐴
𝑰𝐶 = −𝜷 =
𝑽𝐶𝑁
𝒁 + 𝒁′
=
𝛼 𝐸∠𝜃
𝒁 + 𝒁′
= 𝛼 𝑰𝐴
RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM 
GERADOR E CARGA EM ESTRELA
• Logo, o circuito simplificado com a utilização do “neutro fictício”:
Observação:
Olhando sob outro ponto de vista, como trata-se de um
sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga
equilibrada, os pontos N e N’ estão ao mesmo potencial,
permitindo a interligação entre tais pontos, através de um
condutor, sem interferir no circuito, o que chamamos de “neutro
fictício”. Nesta situação a resolução do circuito se dá como se
tivéssemos apenas que resolver o circuito monofásico.
• Dessa forma fica evidente que:
𝑰𝐴𝐴′ =
𝑬
𝒁 + 𝒁′
, 𝑰𝐵𝐵′ =
𝛼2 𝑬
𝒁 + 𝒁′
= 𝛼2 𝑰𝐴𝐴′ , 𝑰𝐶𝐶′ =
𝛼 𝑬
𝒁 + 𝒁′
= 𝛼 𝑰𝐴𝐴′
• Logo, utilizando matrizes:
𝑰𝐴𝐴′
1
𝛼2
𝛼
=
𝑬
𝒁 + 𝒁′
1
𝛼2
𝛼
• Podemos notar que as malhas AA’N’ANAA, BB’N’BNBB
e CC’N’CNCC são três circuitos monofásicos
eletricamente independentes.
LIGAÇÕES EM TRIÂNGULO
• Para três cargas representadas por três impedâncias
quaisquer, porém iguais entre si (carga equilibrada),
temos inicialmente, três circuitos monofásicos:
• Logo, podemos interligar os pontos C e NB sem alterar nada no
circuito. Interligando os pontos C e NB teremos automaticamente C’ e
N’B em um mesmo potencial, logo, podem ser interligados e podemos
substituir os condutores C-C’ e NB-N’B por um único condutor.
• Temos ainda a malha AA’N’ANAA eletricamente independente do
restante do circuito, portanto, de forma análoga, podemos interligar os
pontos ANC e A’N’C, que designaremos por A eA’, respectivamente.
• Por fim, como as tensões 𝑽𝐵𝑁𝐵
, 𝑽𝐶𝑁𝐶
e 𝑽𝐴𝑁𝐴
possuem amplitudes
iguais porém defasadas em 120° entre si, temos que os pontos B e NA
estão em um mesmo potencial, logo também podemos interliga-los
pois:
𝑽𝐵𝑁𝐴
= 𝑽𝐵𝑁𝐵
+ 𝑽𝐶𝑁𝐶
+ 𝑽𝐴𝑁𝐴
= 0
LIGAÇÕES EM TRIÂNGULO
• A condição necessária para que seja possível ligar um gerador
em triângulo sem que haja corrente de circulação é que:
𝑽𝐴𝑁𝐴
+ 𝑽𝐵𝑁𝐵
+ 𝑽𝐶𝑁𝐶
= 0
Ao esquema de ligação obtido é dado o nome de circuito trifásico
simétrico com gerador ligado em “triângulo” (∆) e carga
“equilibrada em triângulo” (∆). Na ligação triângulo não existe o
quarto fio ou fio neutro.
Observação:
Em um circuito triângulo ∆, as tensões de fase são iguais
às tensões de linha, no entanto as correntes de fase e
correntes de linha são diferentes.
• De acordo com as definições anteriores, as tensões de fase são:
1. No gerador: 𝑽𝐴𝑁𝐴
= 𝑽𝐴𝐵 , 𝑽𝐵𝑁𝐵
= 𝑽𝐵𝐶 , 𝑽𝐶𝑁𝐶
= 𝑽𝐶𝐴
2. Na carga: 𝑽𝐴′𝑁′𝐴 = 𝑽𝐴′𝐵′, 𝑽𝐵′𝑁′𝐵 = 𝑽𝐵′𝐶′, 𝑽𝐶′𝑁′𝐶 = 𝑽𝐶′𝐴′
• As correntes de fase são:
1. No gerador: 𝑰𝑁𝐴𝐴 = 𝑰𝐵𝐴 , 𝑰𝑁𝐵𝐵 = 𝑰𝐶𝐵 , 𝑰𝑁𝐶𝐶 = 𝑰𝐴𝐶
2. Na carga: 𝑰𝐴′𝑁′𝐴 = 𝑰𝐴′𝐵′ , 𝑰𝐵′𝑁′𝐵 = 𝑰𝐵′𝐶′ , 𝑰𝐶′𝑁′𝐶 = 𝑰𝐶′𝐴′
• As correntes de linha são:
𝑰𝐴𝐴′ , 𝑰𝐵𝐵′ , 𝑰𝐶𝐶′
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE FASE 
E LINHA PARA LIGAÇÃO TRIÂNGULO
• Para a ligação triângulo, as tensões de fase e de linha são
iguais, isto é:
𝑽𝐴𝑁𝐴
= 𝑽𝐴𝐵 , 𝑽𝐵𝑁𝐵
= 𝑽𝐵𝐶 , 𝑽𝐶𝑁𝐶
= 𝑽𝐶𝐴
• As correntes de linha são dadas aplicando a lei de Kirchhoff
para correntes para as correntes de fase:
• Como:
𝑰𝐴𝐴′ = 𝑰𝐴′𝐵′ − 𝑰𝐶′𝐴′
𝑰𝐵𝐵′ = 𝑰𝐵′𝐶′ − 𝑰𝐴′𝐵′
𝑰𝐶𝐶′ = 𝑰𝐶′𝐴′ − 𝑰𝐵′𝐶′
𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑰𝐴𝐴′
𝑰𝐵𝐵′
𝑰𝐶𝐶′
= 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼2
𝛼
− 𝑰𝐴′𝐵′
𝛼
1
𝛼2
= 𝑰𝐴′𝐵′
1 − 𝛼
𝛼2 − 1
𝛼 − 𝛼2
• Logo, as correntes de linha em função das correntes de fase para
uma fonte simétrica ligada em triângulo podem ser dadas por:
1 − 𝛼 = 1 − −
1
2
+
3
2
𝑗 = 3
3
2
−
1
2
𝑗 = 3 ∠ −30°
𝛼2 − 1 = 𝛼2 1 − 𝛼 = 𝛼2 3 ∠ −30°
𝛼 − 𝛼2 = 𝛼 1 − 𝛼 = 𝛼 3 ∠ −30 °
𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑰𝐴𝐴′
𝑰𝐵𝐵′
𝑰𝐶𝐶′
= 3∠ −30° 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼2
𝛼
=
𝑰𝐴′𝐵′ 3∠ −30°
𝑰𝐵′𝐶′ 3∠ −30°
𝑰𝐶′𝐴′ 3∠ −30°
• Analiticamente, para sequência inversa teremos:
𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑰𝐴𝐴′
𝑰𝐵𝐵′
𝑰𝐶𝐶′
= 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼
𝛼2
− 𝑰𝐴′𝐵′
𝛼2
1
𝛼
= 𝑽𝐴𝑁
1 − 𝛼2
𝛼 − 1
𝛼2 − 𝛼
• Matricialmente:
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação
triângulo, com sequência de fase direta, passa-se de uma das
correntes de fase à de linha correspondente multiplicando-se o
fasor que a representa pelo número complexo:
𝟑∠ −𝟑𝟎°
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE FASE 
E LINHA PARA LIGAÇÃO TRIÂNGULO
• Portanto, as correntes de linha em função das correntes de fase para uma fonte simétrica ligada em triângulo, sequência direta
podem ser dadas por:
𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑰𝐴𝐴′
𝑰𝐵𝐵′
𝑰𝐶𝐶′
= 3∠ −30° 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼2
𝛼
=
𝑰𝐴′𝐵′ 3∠ −30°
𝑰𝐵′𝐶′ 3∠ −30°
𝑰𝐶′𝐴′ 3∠ −30°
• Analiticamente, para sequência inversa teremos:
𝑰𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 =
𝑰𝐴𝐴′
𝑰𝐵𝐵′
𝑰𝐶𝐶′
= 3 ∠30° 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼
𝛼2
=
𝑰𝐴′𝐵′ 3 ∠30°
𝑰𝐵′𝐶′ 3 ∠30°
𝑰𝐶′𝐴′ 3 ∠30°
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação triângulo, passa-se de uma das correntes de fase à de linha
correspondente multiplicando-se o fasor que a representa pelo número complexo:
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂 → 𝟑∠ − 𝟑𝟎° 𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 → 𝟑∠𝟑𝟎°
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE FASE 
E LINHA PARA LIGAÇÃO TRIÂNGULO
• Podemos chegar às mesmas conclusões graficamente, utilizando
trigonometria no diagrama de fasores. De fato,𝑰𝐴𝐴′ é dada pela soma
vetorial de𝑰𝐴′𝐵′ com𝑰𝐴′𝐶′ = −𝑰𝐶′𝐴′:
Sequência direta Sequência inversa
• Para o caso da determinação das correntes de fase
conhecendo-se as correntes de linha, supondo-se
uma sequência de fase direta, e para um gerador
trifásico simétrico (ICIRC= 0) temos:
𝑰𝐴′𝐵′
𝑰𝐵′𝐶′
𝑰𝐶′𝐴′
=
𝑰𝐴𝐴′
3 ∠ −30°
1
𝛼2
𝛼
Para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na
ligação triângulo, com (ICIRC = 0), passa-se de uma das
correntes de linha à de fase correspondente
multiplicando-se o fasor que a representa pelo número
complexo:
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂 → Τ𝟏 𝟑∠ − 𝟑𝟎°
𝑺𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 → Τ𝟏 𝟑∠𝟑𝟎°
RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE FASE 
E LINHA PARA LIGAÇÃO TRIÂNGULO
• O valor de 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 não influencia no valor da corrente de linha, logo, para um mesmo valor de corrente de linha podemos ter qualquer
valor de 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 . Sendo o valor de 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 qualquer, existem infinitos valores de correntes de fase aos quais corresponde a uma única terna de
valores de linha. A componente 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 representa uma corrente de circulação.
Observação:
Para uma carga trifásica equilibrada alimentada por um sistema de tensões trifásico simétrico, a componente de corrente de
circulação 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 será sempre nula. Desta forma, as correntes de fase podem ser obtidas a partir das correntes de linha, pois neste
caso obrigatoriamente 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 = 0.
Nos sistemas trifásicos, não é usual a utilização da ligação em triângulo para um gerador, pois a tensão gerada não é puramente
senoidal, isto é, existe uma componente de 3ª harmônica que dará lugar a uma corrente de circulação.
𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑠 3𝜔𝑡 ; 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑠 3 𝜔𝑡 − 2𝜋/3 = 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑠 3𝜔𝑡 ; 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑠 3 𝜔𝑡 + 2𝜋/3 = 𝐸𝑀 𝑐𝑜𝑠 3𝜔𝑡
𝑽𝐴𝑁𝐴+ 𝑽𝐵𝑁𝐵
+ 𝑽𝐶𝑁𝐶
≠ 0 𝑒 𝑰𝐶𝐼𝑅𝐶 ≠ 0
RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM 
GERADOR E CARGA EM TRIÂNGULO
• Como exemplo, vamos analisar o circuito trifásico simétrico e
equilibrado em que temos um gerador ligado em triângulo que
alimenta por meio de uma linha de impedância Z’ uma carga
com impedância de fase Z, ligada em triângulo. O objetivo é
encontrar as correntes de fase na carga.
• Usaremos uma alternativa de resolução, baseada nas simetrias
existentes neste circuito. Considerando a sequência de fase
direta, temos as correntes de fase dadas:
• Vamos utilizar a lei de Kirchhoff para tensões juntamente com a lei de Ohm à
malha AA’B’BA e, utilizando as simetrias do sistema, determinaremos o valor
das correntes: 𝑰𝐴′𝐵′, 𝑰𝐵′𝐶′ e 𝑰𝐶′𝐴′.
• Sendo:
• Como 𝑰𝐴 − 𝑰𝐵 = 3 𝐼𝐹:
• Conhecendo agora o módulo da corrente de fase e conhecendo os ângulos de
fase dados no início da questão temos que:
𝑰𝐴′𝐵′ = 𝐼𝐹∠0°, 𝑰𝐵′𝐶′ = 𝐼𝐹∠ −120° , 𝑰𝐶′𝐴′ = 𝐼𝐹∠120°
𝑽𝐴𝐵 = 𝑰𝐴 𝒁
′ + 𝑰𝐴′𝐵′ 𝒁 − 𝑰𝐵 𝒁
′ = 𝑰𝐴 − 𝑰𝐵 𝒁′ + 𝑰𝐴′𝐵′ 𝒁
𝑰𝐴 − 𝑰𝐵 = 3 𝐼𝐹∠ −30° − 𝛼2 3 𝐼𝐹∠ −30° = 3 𝐼𝐹∠ −30° . 1 − 𝛼2
= 3 𝐼𝐹∠ −30° 3 ∠ 30° = 3 𝐼𝐹
𝑽𝐴𝐵 = 3 𝐼𝐹 𝒁′ + 𝑰𝐴′𝐵′ 𝒁
• Como 𝑰𝐴′𝐵′ = 𝐼𝐹:
𝑽𝐴𝐵 = 3 𝐼𝐹 𝒁′ + 𝐼𝐹 𝒁 𝑽𝐴𝐵 = 3 𝒁′ + 𝒁 𝐼𝐹 𝐼𝐹 =
𝑽𝐴𝐵
3 𝒁′ + 𝒁
𝑰𝐴′𝐵′ =
𝑉
3 𝒁′ + 𝒁
∠0°, 𝑰𝐵′𝐶′=
𝑉
3 𝒁′ + 𝒁
∠ −120° , 𝑰𝐶′𝐴′=
𝑉
3 𝒁′ + 𝒁
∠120°
RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM 
GERADOR E CARGA EM TRIÂNGULO
• Logo, o circuito equivalente em estrela:
• Dessa forma fica evidente que:
𝑰𝐴𝐴′ =
𝑽𝐴𝑁
𝒁′ +
𝒁
𝟑
=
3 𝑽𝐴𝑁
3 𝒁′ + 𝒁
, 𝑰𝐵𝐵′ = 𝛼2
3 𝑽𝐴𝑁
3 𝒁′ + 𝒁
, 𝑰𝐶𝐶′ = 𝛼
3 𝑽𝐴𝑁
3 𝒁′ + 𝒁
• Conhecendo as correntes de linha, podemos obter as correntes de fase:
• Poderíamos chegar ao mesmo resultado, neste caso, substituindo a
carga ligada em triângulo por outra que lhe seja equivalente, ligada em
estrela.
• Como a carga é equilibrada, a transformação triângulo–estrela ocorre
através da substituição da impedância da carga em triângulo que vale
𝒁∆, pela impedância da carga equivalente ligada em estrela que vale:
Τ𝒁𝒀 = 𝒁∆ 3
• Como trata-se de um sistema trifásico simétrico e equilibrado,
poderíamos substitui o gerador em triângulo por outro equivalente em
estrela, de modo que a tensão de linha seja a mesma, ou seja:
𝑽𝐴𝑁 =
𝑽𝐴𝐵
3 ∠30°
• Dessa forma, podemos resolver a questão da mesma forma que foi
resolvido o problema anterior, no caso do circuito estrela.
𝑰𝐴′𝐵′ =
𝑰𝐴𝐴′
3 ∠ −30°
=
3 𝑽𝐴𝑁
3 𝒁′ + 𝒁
3 ∠ −30°
=
3 𝑽𝐴𝐵
3 ∠30°
3 𝒁′ + 𝒁 3 ∠ −30°
= 𝑰𝐴′𝐵′ =
𝑽𝐴𝐵
3 𝒁′ + 𝒁
• Logo, utilizando matrizes: 𝑰𝑓𝑎𝑠𝑒 = 𝑰𝐴′𝐵′
1
𝛼2
𝛼
=
𝑽𝐴𝐵
3 𝒁′ + 𝒁
1
𝛼2
𝛼
Obrigado e bom estudo!