CDXVIII ensino para dois

Prévia do material em texto

3. **Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:** 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 
\cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 
2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} 
 \] 
 
 Os pontos críticos são: 
 \[ 
 x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} 
 \] 
 
4. **Análise da Segunda Derivada para determinar se os pontos críticos são mínimos ou 
máximos:** 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x + 4) = 12x - 12 
 \] 
 
 Avaliando a segunda derivada em \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 12(1) - 12 = 0 
 \] 
 
 Para determinar se \( x = 1 \) é um mínimo, devemos verificar a concavidade ao redor 
desse ponto. Avaliamos \( f''(x) \) em um ponto antes e um depois de \( x = 1 \): 
 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 12(0) - 12 = -12 \quad (\text{concavidade para baixo}) 
 \] 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 12(2) - 12 = 12 \quad (\text{concavidade para cima}) 
 \] 
 
 Como \( f''(x) \) muda de negativo para positivo em \( x = 1 \), podemos confirmar que 
esse ponto é um mínimo. 
 
Portanto, o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) \) é **1**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor da derivada \( 
f'(x) \) em \( x = 1 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 4 
c) 8 
d) 9 
 
**Resposta:** c) 8 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor da derivada da função \( f(x) \) em \( x = 1 \), 
primeiro devemos calcular a derivada \( f'(x) \). 
 
1. **Derivada da função**: Usamos a regra do poder para derivar cada termo da função: 
 
 \[ 
 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 
 \] 
 
 A derivada \( f'(x) \) é calculada da seguinte forma: 
 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4) 
 \] 
 
 Calculando cada derivada: 
 - A derivada de \( 2x^3 \) é \( 6x^2 \). 
 - A derivada de \( -3x^2 \) é \( -6x \). 
 - A derivada de uma constante (4) é 0. 
 
 Assim, temos: 
 
 \[ 
 f'(x) = 6x^2 - 6x 
 \] 
 
2. **Substituição de \( x = 1 \)**: 
 
 Agora substituímos \( x = 1 \) na expressão da derivada: 
 
 \[ 
 f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) 
 \] 
 \[