Comportamento e Projeto de Colunas

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OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
Neste capítulo, d iscut i remos o comportamento de co lunas e ind icaremos a lg u ns dos métodos usados para 
seu projeto . O capítu lo começa com uma d iscussão gera l sobre a flambagem, seg u ida pela determinação da 
carga axia l necessária para provocá-la em uma co luna idea l . Em seguida, faremos uma anál ise mais rea l ista, 
que considera qua lquer flexão na co luna . Além d isso, a flambagem ine lástica de uma co luna é apresentada 
como um tópico especia l . No fina l do capítulo, d iscut i remos a lguns dos métodos usados para projetar colu­
nas com cargas concêntricas e excêntricas feitas de materia is comuns na engenhari a . 
1 3 . 1 rga crítica 
Sempre que se projeta um elemento estrutural, é 
necessário que ele satisfaça requisitos específicos de 
resistência, deflexão e estabilidade. Nos capítulos an­
teriores discutimos alguns dos métodos usados para 
determinar a resistência e a deflexão de um elemento 
estrutural, considerando-o sempre em equilíbrio está­
vel. Todavia, alguns elementos estruturais podem estar 
sujeitos a cargas de compressão e, se forem compridos 
e esbeltos, a carga poderá ser grande o suficiente para 
provocar uma deflexão ou uma oscilação lateral. Mais 
especificamente, elementos estruturais compridos e 
esbeltos sujeitos a uma força de compressão axial são 
denominados colunas, e a deflexão lateral que ocor­
re é denominadaflambagem. Com muita frequência a 
flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha 
repentina e dramática de uma estrutura ou mecanismo 
e, por isso, é preciso dedicar especial atenção ao proje­
to de colunas para que estas possam suportar com se­
gurança as cargas pretendidas sem sofrer flambagem. 
t 
Per 
(a) 
P > Per 
� 
\ 
t 
(b) 
Figura 13.1 
A carga axial máxima que uma coluna pode supor­
tar quando está na iminência de sofrer flambagem é 
denominada carga crítica, Per (Figura 13.la) . Qual­
quer carga adicional provocará flambagem na coluna 
e, portanto, deflexão lateral, como mostra a Figura 
13.lb. Para entender melhor a natureza dessa instabi­
lidade, considere um mecanismo composto por duas 
barras sem peso, rígidas e conectadas por pinos nas ex­
tremidades (Figura 13 .2a). Quando as barras estão na 
posição vertical, a mola, de rigidez k, não está esticada 
e uma pequena força vertical P é aplicada ao topo de 
uma delas. Podemos perturbar essa posição de equi­
líbrio deslocando o pino em A até uma pequena dis­
tância Ll (Figura 13 .2b ). Como mostra o diagrama de 
corpo livre do pino, quando as barras são deslocadas 
(Figura 13 .2c) , a mola produz uma força de recupera­
ção F = k!l, enquanto a carga aplicada P desenvolve 
duas componentes horizontais, Px = P tg 8, que ten­
dem a empurrar o pino (e as barras) ainda mais para 
fora da posição de equilíbrio. Visto que 8 é pequeno, 
Ll = 8(L/2) e tg 8 = 8. Assim, a força de restauração 
da mola torna-se F = k8L/2, e a força perturbadora 
2P = 2P8. X 
Se a força de restauração for maior que a força per-
turbadora, isto é, k8L/2 > 2P8, e observando que 8 é 
cancelado, poderemos resolver P, o que dá 
p -
4 equilíbrio instável 
478 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p 
(a) 
L 
2 
_l 
p 
(b) 
F 
Figura 13.2 
nesse caso, o mecanismo estaria em equilíbrio instá­
vel. Em outras palavras, se essa carga P for aplicada 
e ocorrer um leve deslocamento em A, o mecanismo 
tenderá a sair do equilíbrio e não retornar a sua posi­
ção original. 
O valor intermediário de P, definido pelo requisito 
k8L/2 = 2P8, é a carga crítica. Aqui, 
kL Pcr = 4 equilíbrio neutro 
Essa carga representa um caso de mecanismo que 
está em equilíbrio neutro. Como Per é independente do 
(pequeno) deslocamento 8 das barras, qualquer leve 
perturbação aplicada ao mecanismo não fará com que 
ele se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a sua 
posição original. Em vez disso, as barras permanecerão 
na posição defletida. 
Esses três estados de equilíbrio são representados 
graficamente na Figura 13 .3 . O ponto de transição 
onde a carga é igual ao valor crítico P = Per é denomi­
nado ponto de bifurcação. Nesse ponto o mecanismo 
estará em equilíbrio para qualquer valor pequeno de 8 
medido para a direita ou para a esquerda da vertical. 
Em termos físicos, Per representa a carga sob a qual 
o mecanismo está na iminência de sofrer flambagem. 
p 
Equilíbrio l instável i 0onto de bifurcação 
Equilíbrio____J 
. . T neutro 1 
Equilíbrio p = kL 
----
e
-
st
-
á
-
ve
-
1
--�--�
�
-
cr
---
4
--------· e o 
Figma 13.3 
É bastante válido determinar esse valor considerando 
pequenos deslocamentos como fizemos aqui; contudo, 
é preciso entender que Per pode não ser o maior va­
lor de P que o mecanismo pode suportar. De fato, se 
uma carga maior for colocada nas barras, pode ser que 
o mecanismo tenha de sofrer uma deflexão adicional 
antes que a mola seja comprimida ou alongada o sufi­
ciente para manter o mecanismo em equilíbrio. 
Assim como ocorre com o mecanismo de duas bar­
ras que acabamos de discutir, podemos obter as car­
gas de flambagem críticas para colunas suportadas de 
vários modos, e o método usado para fazer isso será 
explicado na próxima seção. Embora no projeto de en­
genharia a carga crítica possa ser considerada como a 
maior carga que a coluna pode suportar, entenda que, 
assim como no mecanismo de duas barras, se uma co­
luna estiver em posição fletida ou flambada, ela poderá 
suportar uma carga maior ainda do que Per· Entretanto, 
infelizmente, essa carga pode exigir que a coluna sofra 
uma grande deflexão que, em geral, não é tolerada em 
estruturas de engenharia ou máquinas. Por exemplo, 
pode ser que apenas alguns newtons de força bastem 
para provocar flambagem em uma barra de medição, 
mas a carga adicional que ela pode suportar só pode 
ser aplicada após ela ter sofrido uma deflexão lateral 
relativamente grande. 
1 3 .2 Col una idea l com apoios 
de pi nos 
Nesta seção, determinaremos a carga crítica de 
flambagem para uma coluna suportada por pinos, 
como mostra a Figura 13.4a. A coluna a ser conside­
rada é uma coluna ideal, o que significa uma coluna 
perfeitamente reta antes da carga, feita de material 
homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide 
da seção transversal. Consideramos ainda que o mate­
rial comporta-se de uma maneira linear elástica e que 
• 
p 
(a) 
F 
(b) 
Figura 13.4 
(c) 
a coluna sofre flambagem ou flexão em um único pla­
no. Na realidade, as condições de perfeita retidão da 
coluna e aplicação de carga nunca são cumpridas; to­
davia, a análise a ser realizada em uma 'coluna ideal' é 
semelhante à usada para analisar colunas inicialmente 
fletidas (tortas) ou sobre as quais são aplicadas cargas 
excêntricas. Esses casos mais realistas serão discutidos 
mais adiante neste capítulo. 
Visto que uma coluna ideal é reta, teoricamente a 
carga axial P poderia ser aumentada até ocorrer fa­
lha por ruptura ou escoamento do material. Contudo, 
quando a carga crítica P,, é atingida, a coluna está na 
iminência de tornar-se instável, de modo que uma pe­
quena força lateral F (Figura 13 .4b ) , fará com que ela 
permaneça na posição defletida quando Ffor removida 
(Figura 13.4c) . Qualquer ligeira redução na carga axial 
P em relação a P,� fará com que a coluna endireite-se, 
e qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse P,,, 
provocará aumentos adicionais na deflexão lateral. 
O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se 
instável quando sujeita a uma carga axial dependerá de 
sua capacidade de restauração, que é baseada em sua 
resistência à flexão. Por consequência, para determinar 
a carga crítica e a forma da coluna quando flambada, 
aplicaremos a Equação 12.10 que relaciona o momento 
interno na coluna com sua forma defletida, istoé, 
(13 .1) 
Lembre-se de que essa equação considera que a 
inclinação da curva elástica seja pequena* e que as de­
flexões ocorrem somente por flexão. Quando a coluna 
está em posição defletida (Figura 13.5a), o momento 
fletor interno pode ser determinado pelo método das 
' Se tivermos de considerar grandes defiexões, deveremos usar a 
equação diferencial 12.4,EJ(d'v/dx2)/[l + (dvldx2)]'12 = M, que é 
mais precisa. 
p --.----,---- ! 
L 
X 
(a) 
p 
� 
I i 
L 
L 
tp 
I 
X 
n = l 
v 
v 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 479 
i } M p 
(b) 
L 
2 
L 
P = 4P,, 
� 
1 
P = 4P,, 
(c) n = 2 
Figura 13.5 
seções. O diagrama de corpo livre de um segmento na 
posição defletida é mostrado na Figura 13 .5b. Aqui, 
tanto a deflexão v quanto o momento interno M são 
mostrados na direção positiva, de acordo com a con­
venção de sinal usada para estabelecer a Equação 13 .1 . 
Somando momentos, o momento interno é M = -Pv. 
Assim, a Equação 13 .1 torna-se 
(13.2) 
480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de 
segunda ordem com coeficientes constantes. Podemos 
mostrar, pelo método das equações diferenciais ou 
por substituição direta na Equação 13.2, que a solu­
ção geral é 
As duas constantes de integração são determina­
das pelas condições de contorno nas extremidades da 
coluna. Visto que v = o em X = O, então c2 = O. E, 
considerando v = O em x = L, 
Essa equação é satisfeita se C1 = O; porém, v = O, o 
que é uma solução trivial que exige que a coluna per­
maneça sempre reta, ainda que a carga faça com que a 
coluna torne-se instável. A outra possibilidade é 
que é satisfeita se 
ou 
�L = mr 
n21r2EI 
P = L2 n = 1, 2, 3, . . . (13.4) 
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de 
modo que a carga crítica para a coluna é, portanto, 
Essa carga às vezes é denominada carga de Eu­
leT; nome que se deve ao matemático suíço Leonhard 
Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em 
1757. A forma flambada correspondente é definida 
pela equação 
1TJ v = c1 sen L 
Nessa expressão, a constante C1 representa a defle­
xão máxima vrnáx' que ocorre no ponto médio da coluna 
(Figura 13.5c.) Não é possível obter valores específicos 
para Cl' uma vez que a forma defletida exata da coluna 
é desconhecida após a flambagem. Porém, considera­
mos que essa deflexão seja pequena. 
Entenda que n na Equação 13.4 representa o núme­
ro de ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo, 
se n = 2, então, pelas equações 13.3 e 13.4, aparecerão 
duas ondas na forma flambada (Figura 13.5c), e a co­
luna suportará uma carga crítica de 4Pc, imediatamen­
te antes da flambagem. Visto que esse valor é quatro 
vezes a carga crítica e a forma defletida é instável, na 
prática, essa forma de flambagem não existirá. 
Como ocorreu com o mecanismo de duas barras 
discutido na Seção 13.1, podemos representar as ca­
racterísticas da deflexão provocada por uma carga na 
coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 13.6. O 
ponto de bifurcação representa o estado de equilíbrio 
neutro, ponto em que a carga crítica age sobre a colu­
na. Aqui, a coluna está na iminência da flambagem. 
Devemos observar que a carga crítica é indepen­
dente da resistência do material; mais exatamente, ela 
depende somente das dimensões da coluna (I e L) 
e da rigidez ou do módulo de elasticidade do mate­
rial, E. Por essa razão, no que diz respeito à flamba­
gem elástica, colunas feitas, por exemplo, de aço de 
alta resistência, não oferecem nenhuma vantagem 
em relação às feitas de aço de resistência mais baixa, 
uma vez que o módulo de elasticidade para ambos 
os materiais é aproximadamente o mesmo. Observe 
também que a capacidade de carga de uma coluna 
aumentará à medida que o momento de inércia da 
seção transversal aumentar. Assim, colunas eficientes 
são projetadas de modo que a maior parte da área da 
seção transversal da coluna esteja localizada o mais 
longe possível dos eixos principais do centroide da 
seção. É por isso que as seções ocas como tubos são 
mais eficientes do que as maciças. Além do mais, as 
seções de abas largas e colunas 'construídas' com per­
fis em U, cantoneiras, placas etc. são melhores do que 
as maciças e retangulares. 
p 
Equilíbrio \ , 
instável /Ponto de bifurcação 
Equilíbrio_) 
neutro 
Equilíbrio 
estável 
7r2EI f� L' -----"'--'-----'------- v 
o 
Figura 13.6 
p 
a 
Figura 13.7 
Também é importante entender que uma coluna 
sofrerá fiambagem em torno do eixo principal da seção 
transversal que tenha o menor momento de inércia (o 
eixo menos resistente). Por exemplo, uma coluna de 
seção transversal retangular, como uma barra de me­
dição, mostrada na Figura 13.7, sofrerá fiambagem em 
torno do eixo a-a e não do eixo b-b. O resultado é que 
os engenheiros normalmente tentam conseguir um 
equilíbrio mantendo os mesmos momentos de inércia 
em todas as direções. Então, em termos geométricos, 
tubos dariam excelentes colunas. Além disso, tubos 
quadrados ou formas para as quais I
r 
= IY também 
constituem formas constantemente selecionadas para 
colunas. 
Resumindo a discussão, a equação da fiambagem 
para uma coluna comprida e esbelta apoiada por pi­
nos pode ser rescrita, e os termos definidos da seguinte 
maneira: 
(13.5) 
onde 
P = carga crítica ou carga axial máxima na coluna c r 
imediatamente antes do início da fiambagem. 
Essa carga não deve bastar para que a tensão na 
coluna exceda o limite de proporcionalidade 
E = módulo de elasticidade para o material 
I = menor momento de inércia para a área da se­
ção transversal da coluna 
L = comprimento da coluna sem apoio, cujas ex­
tremidades estejam presas por pinos 
Para a finalidade de projeto, a Equação 13.5 
também pode ser escrita de uma forma mais útil, se 
expressarmos I = Ar2, onde A é a área da seção trans­
versal e r o raio de giração da área da seção transver­
sal. Assim, 
ou 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 481 
380 
250 f--------; 
100 
Aço estrutural 
(cre = 250 MPa) 
Figura 13.8 
1T2E (}" = ---:-cr (L/r? (13.6) 
Nessa expressão, 
O" = tensão crítica, que é uma tensão média na co­cr 
luna imediatamente antes da fiambagem. Essa 
é uma tensão elástica e, portanto, O"cr :::; O" c 
E = módulo de elasticidade para o material 
L = comprimento da coluna sem apoio, cujas ex­
tremidades estejam presas por pinos 
r = menor raio de giração da coluna, determina­
do por r = vYiÃ, onde I é o menor momento 
de inércia da área da scção transversal da 
coluna, A 
A relação geométrica L/r na Equação 13 .6 é conhe­
cida como índice de esbeltez. É uma medida da flexi­
bilidade da coluna e, como discutiremos mais adiante, 
serve para classificar colunas como compridas, inter­
mediárias ou curtas. 
É possível representar a Equação 13.6 em gráfico 
usando eixos que representam a tensão crítica em relação 
ao índice de esbeltez. Exemplos desse gráfico para colu­
nas feitas de uma liga comum de aço estrutural e alumí­
nio são mostrados na Figura 13.8. Observe que as curvas 
são hiperbólicas e válidas somente para tensões críticas 
abaixo do limite de escoamento do material (limite de 
proporcionalidade), visto que o material deve se compor­
tar elasticamente. Para o aço, a tensão de escoamento 
482 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
.. Colunas são elementos estruturais longos e esbeltos, sujeitos a cargas axiais . 
.. A carga crítica é a carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando na iminência de sofrer tlambagem. 
Essas cargas representam um caso de equilíbrio neutro. 
" Uma coluna ideal é, de início, perfeitamente reta e feita de material homogêneo e tem a carga aplicada no centroicle 
de sua seção transversal. 
.. Uma coluna acoplada por pinos sofrerá flambagem em tomo do eixo principal da seção transversal que tenha 0 
menor momento de inércia. 
" O índice de esbeltez é L! r, onde r é o menor raio ele giração ela seção transversal. A tlambagem ocorrerá em torno do 
eixo no qual esse índice tiver o maior valor. 
é (cr ) = 250 MP a [E = 200 GP a] e, para o alumínio, é e aço aço(cr ) 1 = 190 MPa [E 1 = 70 GPa]. Substituindo cr = cr na e a a cr e 
Equação 13 .6, os menores índices de esbeltez aceitáveis 
para colunas de aço e de alumínio são, portanto, (L/r) aço = 
89 e (L/r)a1 = 60,5, respectivamente. Assim, para uma 
coluna de aço, se (L/r) aço ::::: 89, a fórmula de Euler pode 
ser usada para determinar a carga de ftambagem, visto 
que a tensão na coluna permanece elástica. Por outro 
lado, se (L/r) açode inércia para um 
perfil W150 x 24 são determinados pela tabela no Apêndice B. 
Temos I, = 13,4 x 106mm4, IY = 1,83 x 106 mm4• 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 485 
Aplicando a Equação 13.11, obtemos 
(Pcr )x = 7r2EI� = 7r2 [200(106 ) kN/m2 ]13,4(100-6) m4 
(KL)x (4 m)2 
= 1 .653,2kN 
= 460,8 kN 
Por comparação, a flambagem ocorrerá torno do eixo y-y. 
A área da seção transversal é 3.060 mm2; portanto, a ten­
são de compressão média na coluna será 
= 
Per = 460,8(10
3) N _ / 2 CTcr A ? - 150,6 N mm 3.060 mm-
Visto que essa tensão é menor do que a tensão de escoamen­
to, a flambagem ocorrerá antes do escoamento do material. 
Assim, 
P = 461 kN 
çr Resposta 
OBSERVAÇÃO: Pela Equação 13.12 podemos ver que a 
flambagem sempre ocorrerá em torno do eixo da coluna que 
tenha o maior índice de esbeltez, visto que um grande índice 
de esbeltez resultará em pequena tensão crítica. Assim, uti­
lizando os dados para o raio de giração dados pela tabela no 
Apêndice B, temos 
4 m(l.OOO mm/m) 
= 60 4 66,2 mm ' 
( KL ) = 2,8 m(l .OOO mm/m) = 114,3 
r 
Y 
24,5 mm 
Por consequência, ocorrerá flambagem no eixo y-y, que é 
a mesma conclusão a que chegamos comparando as equa­
ções 1 e 2. 
A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está 
ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movi­
mente-se ao longo do eixo x (Figura 13.14a). Se conside­
rarmos que ela está fixa na base, determine a maior car­
ga admissível P que pode ser aplicada. Use um fator de 
segurança para flambagem FS = 3,0. Considere Ea1 = 70 
GPa, ue = 215 MPa, A = 7,5(10-3)m2, I, = 61,3(10-6)m4, 
IY = 23,2(10-6)m4• 
486 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
X 
(a) 
\ I I) Le = 3,5 m 
Le = 10 m 
� 
Flambagem no eixo x-x Flambagem no eixo y-y 
(b) (c) 
Figma 13.14 
SOLUÇÃO 
A fiambagem em tomo dos eixos x e y é mostrada nas figuras 
13.14b e 13.14c, respectivamente. Usando a Figura 13.12a, para 
a fiambagem no eixo x-x , K = 2, portanto, (KL)x = 2(5 m) = 
10 m. Para a fiambagem no eixo y-y,K = 0,7, portanto, (KL) = 
0,7(5 m) = 3,5 m. 
v 
Aplicando a Equação 13.11, as cargas críticas para cada caso são 
112Eix 112[70 ( 109) N/m2)[ 61,3(10-6) m4] 
(Pcr)x = 
(KL)� 
= 
(10 m? 
= 424 kN 
112Ely 112[70(109) Njm2)[23,2(10-6) m4] 
(Pcr)y = 
(KL); 
= 
(3,5 m? 
= 1,31 MN 
Por comparação, à medida que P aumenta, a coluna sofrer . d . a fiambagem em tomo o e1xo x-x. Portanto, a carga admissí-vel é 
Visto que 
Per 424 kN Pactm = FS = 3Q = 141 kN , Resposta 
Per 424 kN 
O'cr = -
A = 
3 2 
= 56,5 MPaelemento 
estrutural AB com raio de 50 mm. 
r----- 4 m -- -- 4 m --1----- 4 m ----! 
p p 
Problemas 13.22/23 
'13.24. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma 
delas tem seção transversal circular com diâmetro de 40 
mm. Determine a força máxima P que pode ser aplicada 
sem provocar ftambagem em nenhum dos elementos es­
truturais. As extremidades dos elementos estruturais estão 
acopladas por pinos. 
13.25. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma 
delas tem seção transversal circular. Se a carga aplicada for 
P = 50 kN, determine, com aproximação de múltiplos de 5 
mm, o diâmetro do elemento estrutural AB que impedirá 
que esse elemento estrutural sofra ftambagem. As extremi­
dades dos elementos estruturais estão apoiadas por pinos. 
p 
Problemas 13.24/25 
13.26. As extremidades do elo de aço-ferramenta L-2 
de uma máquina de forjar estão acopladas aos garfos por 
pinos, como mostra a figura. Determine a carga máxima 
P que ele pode suportar sem sofrer ftambagem. Use um 
fator de segurança FS = 1 ,75 para a ftambagem. Obser­
ve que, no lado esquerdo da figura, as extremidades estão 
presas por pino, ao passo que no lado direito, elas estão 
engastadas. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 489 
p p 
p p 
Problema 13.26 
13.27. O mecanismo articulado é composto por duas hastes 
de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Deter­
mine, com aproximação de múltiplos ele 5 mm, o diâmetro de 
cada haste que suportará uma carga P = 30 kN. Considere 
que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos. 
Use fator de segurança de 1,8 para ftambagem. 
*13.28. O mecanismo articulado é composto por duas has­
tes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Se 
cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga 
que o mecanismo pode suportar sem provocar ftambagem 
em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
hastes estão acopladas por pinos. 
Problemas 13.27/28 
13.29. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm 
e espessura de 12 mm. Se for mantido no lugar por um cabo 
de ancoragem, determine a maior força vertical P que pode 
ser aplicada sem provocar ftambagem no tubo. Considere 
que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
13.30. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm. 
Se for mantido no lugar por um cabo de ancoragem, determi­
ne, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro inter­
no exigido para que ele possa suportar uma carga vertical má­
xima P = 20 kN sem provocar ftambagem no tubo. Considere 
que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
490 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p 
Problemas 13.29/30 
13.31. O mecanismo articulado é composto por duas hastes 
de aço A -36, cada uma com seção transversal circular. Deter­
mine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro 
de cada haste que suportará uma carga de 4,5 kN. Considere 
que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos. 
Use fator de segurança FS = 1 ,8 para fiambagem. 
B 
�4,8 m --4�2,7 m� 
Problema 13.31 
*13.32. O mecanismo articulado é composto por duas has­
tes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Se 
cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga 
que o mecanismo pode suportar sem provocar fiambagem 
em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
13.33. Considere que as extremidades da barra de aço AB 
da estrutura estejam acopladas por pinos para fiambagem no 
eixo y-y. Se P = 18 kN, determine o fator de segurança para 
fiambagem em torno do eixo y-y devido à carga aplicada. 
E aço = 200 GPa, O' e = 360 MPa. 
p 
y 
4m 1 50 
y 
Pmblema 13.33 
13.34. Determine a carga máxima P que a estrutura pode 
suportar sem provocar fiambagem no elemento estrutural 
AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremi­
dades estão presas por pinos para fiambagem no eixo y-y e 
engastadas em ambas as extremidades para fiambagem no 
eixo x-x. E aço = 200 GPa, 0'0 = 360 MPa. 
p 
y 
4m l 50 
y 
hastes estejam conectadas por pinos. Problema 13.34 
B 13.35. Determine a força máxima P que pode ser aplicada 
-.------ ao cabo de modo que a haste de controle BC de aço A-36 
não sofra fiambagem. A haste tem diâmetro de 25 mm. 
�4,8 m --4!1--2,7 m� 
Problema 13.35 
Problema 13.32 
13.36. Determine a carga máxima admissível P que pode 
ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar fiam­
bagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é fei­
to de aço e que suas extremidades estejam presas por pinos 
para fiambagem no eixo x-x e engastadas para fiambagem 
no eixo y-y. Use um fator de segurança FS = 3 para fiamba­
gem. E aço = 200 GPa, O" e = 360 MPa. 
p 
X 
Problema 13.36 
13.37. Determine se a estrutura pode suportar uma carga 
P = 20 kN, se o fator de segurança para fiambagem do ele­
mento estrutural AB for FS = 3. Considere que AB é feito 
de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para 
fiambagem no eixo x-x e engastadas para fiambagem no eixo 
y-y. E aço = 200 GPa, O" e = 360 MPa. 
p 
X 
Problema 13.37 
13.38. Considere que os elementos estruturais da treliça 
estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural GF for 
uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine 
o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça 
sem provocar fiambagem naquele elemento estrutural. 
FLAMBAGEM DE COLUNAS 491 
p 
2 m 
X 
Problema 13.38 
*13.39. Considere que os elementos estruturais da treliça 
estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural AG for 
uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine 
o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça 
sem provocar fiambagem naquele elemento estrutural. 
H G F E 
p p 
Problemas 13.39/40 
13.40. Determine a carga máxima distribuída que pode ser 
aplicada à viga de abas largas, de modo que a haste CD não 
sofra fiambagem. A braçadeira é uma haste de aço A-36 com 
diâmetro de 50 mm. 
4 m 
D . l 
Problema 13.40 
492 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
13.41. A haste de bronze C86100 de 50 mm de diâmetro está 
engasta da em A e afastada 2 mm da parede em B. Determine 
o aumento de temperatura I:!.T que provocará a fiambagem 
da haste. Considere que o conta to em B age como um pino. 
"13.42. Considere uma coluna ideal como a da Figura 
13.12c, com ambas as extremidades engastadas. Mostre que a 
carga crítica sobre a coluna é dada por P,, = 47T2EI!U. Dica: 
Devido à deflexão vertical do topo da coluna, um momen­
to constante M' será desenvolvido nos apoios. Mostre que 
d2v/dx�P!El)v = M'IEI. A solução é da forma v = C1 sen(YP/EIJ + C
2 
cos(VPiR() + M'!P. 
B 
mm 
Problema 13.42 
*13.43. Considere uma coluna ideal como a da Figura 
13.12d, com uma extremidade engastada e a outra presa por 
pinos. Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por 
P = 20,19EI!U. Dica: devido à deflexão vertical no topo da 
c�Íuna, um momento constante M' será desenvolvido no apoio 
engastado e forças horizontais de reação R' serão desenvol­
vidas em ambos os apoios. Mostre que cf2v!dx2 + (!!.@.v = 
(R' lEI)(�. A solução é da forma v = C1sen(YP/EIJ + 
C2cos(YPIEI) + (R'IP)(L - x). �ós a aplicação das condi­
ções de contorno, mostre que tg( PIEI L) = \fPiii L. Re­
solva por tentativa e erro para a menor raiz. 
13.44. A coluna está apoiada em B e esse apoio não per­
mite rotação, mas sim deflexão vertical. Determine a carga 
crítica P . EI é constante. cr 
1------ L -----1 
B 
A 
Pmblema 13.44 
13.45. A coluna ideal está sujeita à força F em seu ponto 
médio e à carga axial P. Determine o momento máximo da 
coluna no meio do vão. EI é constante. Dica: Defina a equação 
diferencial para deflexão (Equação 13.1). A solução geral é 
v = A sen kx + B cos kx - c2xlk2, onde c2 = F/2EI, k2 = PIEI. 
r ��0 �,,
,
------�----��� 
� JL_ 
1------ !:_ ---1-- !:_ ------1 2 2 
Px·oblema 13.45 
13.46. A coluna ideal tem peso w (força/comprimento) e 
permanece na posição horizontal quando sujeita a uma car­
ga axial P. Determine o momento máximo no ponto médio 
do vão da coluna. EI é constante. Dica: definaa equação dife­
rencial para deflexão (Equação 13.1 ), com a origem no ponto 
médio do vão. A solução geral é v = A sen kx + B cos kx + 
(w/(2P))x2 - (wL/(2P))x - (wEI/P2) onde k2 = PIEI. 
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1