Matemática nos séculos XV e XVI

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HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Descrever o prelúdio à matemática moderna.
 > Explicar a matemática desenvolvida no início da Idade Moderna.
 > Demonstrar técnicas da matemática dos séculos XV e XVI na sala de aula 
de matemática.
Introdução
A história da matemática possui algumas subdivisões que retratam todo seu 
desenvolvimento ao longo da história. É notório que, ao longo dos tempos, 
as teorias e os conceitos fundamentais vêm sendo aprimorados, e muito do que 
se conhece hoje já foi vastamente estudado, tendo a contribuição de muitos 
pensadores e matemáticos de renome. A Idade Moderna constitui uma fase rica na 
evolução de conceitos, teorias e teoremas da matemática, tendo sido representada 
por grandes gênios da história da matemática.
Neste capítulo, você verá quais foram os matemáticos que contribuíram para o 
avanço da matemática, muitas vezes resgatando conceitos e teorias da antiguidade 
e promovendo, a partir destes, novas formas de pensamento e novas soluções 
para problemas enfrentados nesta época. 
Matemática nos 
séculos XV e XVI
Maria Elenice dos Santos
Prelúdio à matemática moderna
Anterior à Idade Moderna descreve-se o prelúdio à matemática moderna, 
uma época marcada por transições entre o Renascimento e a Idade Moderna, 
no seu auge. Neste intervalo e considerando-se os fatos ocorridos na história 
da matemática, muitos dos documentos e obras matemáticas da antiguidade 
haviam sido resgatados, permitindo, assim, uma continuidade no fluxo de 
produções e avanços neste campo (BOYER; MERRZBACH, 1996). Além das 
contribuições antigas, essa época pode contar com uma rica produção de 
muitos matemáticos renomados que se destacaram na fase transicional da 
época da renascença para a era moderna (STEWART, 2014). 
No desenvolvimento da matemática pós-renascimento, podem-se citar 
nomes de personalidades como Galileu Galilei, Bonaventura Cavalieri, Henry 
Briggs, Thomas Harriot, Willian Oughtred, Simon Stevin, John Napier, Johann 
Kepler, François Viète e outros (BOYER; MERRZBACH, 1996; MEDINA, 2013). 
Uma forma de disseminação de conceitos e teorias matemáticas se deu a 
partir de centros de estudos e universidades. Foi uma prática advinda desde 
a época dos gregos, mas que permitiu, nessa transição, um aumento na divul-
gação de conteúdos científicos e teóricos (EVES, 2004; STEWART, 2014). Muitos 
matemáticos e estudiosos da época promoveram estudos significativos sobre 
conceitos matemáticos. Após adentrar a fase moderna, grandes nomes foram 
destaque, sendo os séculos XV e XVI os mais ricos na produção de conceitos 
da matemática (ARAGÃO, 2009; BOYER; MERRZBACH, 1996). 
François Viète e Thomas Harriot no desenvolvimento 
da matemática
O matemático François Viète é citado como uma figura lendária na história 
da matemática, e sua contribuição no desenvolvimento de conceitos e teo-
rias é notável nas áreas de aritmética, álgebra, trigonometria, geometria e 
outras igualmente relevantes (MEDINA, 2013). Sua contribuição está contida 
em obras como Canon-mathematicas (EVES, 2004). O desenvolvimento das 
ideias de Viète, sobretudo na álgebra, permitiu a esse grande matemático uma 
aproximação com o que se chamaram ideias modernas, e ele foi o pioneiro 
na classificação de incógnitas e parâmetros conhecidos na álgebra (ARAGÃO, 
2009; BOYER; MERRZBACH, 1996).
Uma das falhas cometidas por Viète foi a de utilizar-se de algumas no-
menclaturas de épocas mais antigas para apresentar algumas de suas ideias. 
Dessa forma, alguns desenvolvimentos ficaram limitados, podendo avançar 
Matemática nos séculos XV e XVI2
apenas a partir do estudo de outros matemáticos, que se mostraram mais 
visionários e mais alinhados com os termos da era moderna (STEWART, 2014). 
Viète também se fez presente no desenvolvimento de raciocínios sobre reso-
lução de cúbicas e quadráticas, descobrindo soluções e formas de encontrar 
as raízes desconhecidas dessas funções a partir de relações entre raízes e 
coeficientes (EVES, 2004).
Já Thomas Harriot fez progressos sobre os mesmos temas estudados por 
Viète em razão de ter uma diferente visão do assunto, também desenvolvendo 
raciocínios na álgebra sobre raízes e coeficientes, porém, utilizando-se de 
simbolismo para representá-los, o que Viète não fez (ARAGÃO, 2009). 
John Napier, Henry Briggs e Stevin: 
teorias e conceitos matemáticos
Das diversas áreas da matemática, foi no desenvolvimento da invenção dos 
logaritmos que John Napier e Henry Briggs deram sua maior contribuição, 
permitindo avanços significativos desses conceitos. A obra de Napier não 
é trivial, porém, o conceito de logaritmo foi explicado, ao longo da história, 
com base na progressão de potências crescentes (ARAGÃO, 2009; EVES, 2004). 
Um dos pontos de relevância sobre os estudos de Napier é que, como não 
possuía o conhecimento do conceito de base de sistemas logaritmos, como 
o sabemos hoje em dia, ele desenvolveu sua pesquisa com base em termos 
geométricos; no entanto, sua definição geométrica concordava com a descrição 
numérica que se tem hoje (BOYER; MERRZBACH, 1996).
Briggs publicou obras envolvendo cálculos de logaritmos, ampliou a tabela 
de logaritmos já existente e calculou logaritmos naturais (MEDINA, 2013). 
No âmbito da história, esse conceito da matemática foi muito bem aceito e 
promoveu grandes avanços devido à sua aplicação em alguns setores, como na 
computação dos astrônomos por parte de Johann Kepler, também matemático 
e astrônomo (EVES, 2004).
Na Idade Moderna, o confronto de ideias da antiguidade e com as novas 
instigou o crescimento de novos conceitos de ciências como a matemática 
e a física, pois tendências variadas e conflitantes surgiram ao se promover 
uma redescoberta de antigos clássicos da antiguidade e o desenvolvimento 
de novos conceitos matemáticos teóricos aplicados a situações mais práticas 
da vida em sociedade (ARAGÃO, 2009; STEWART, 2014). Nesse contexto, Stevin 
deu sua contribuição no desenvolvimento da matemática ao estudar frações 
decimais, e, embora tenha utilizado de notação mais antiga, uma notação mais 
moderna surgindo nesta época permitiu-lhe fazer avanços consideráveis. 
Matemática nos séculos XV e XVI 3
Stevin também desenvolveu estudos sobre números imaginários e notações 
algébricas, baseando-se em estudos como os de Bombelli e Oresme (BOYER; 
MERRZBACH, 1996). 
Galileu Galilei, Johannes Kepler e 
Boaventura Cavalieri: desenvolvimento 
e evolução dos conceitos matemáticos
Tanto Galileu Galilei como Johannes Kepler são lembrados na história por suas 
habilidades no desenvolvimento da ciência; no entanto, existem relatos na 
história de suas contribuições na matemática, sendo ambos representantes 
do desenvolvimento dos conceitos e das teorias matemáticas da era Moderna 
(EVES, 2004). 
Galileu Galilei, cientista italiano, é lembrado na história por sua vasta 
contribuição em muitos âmbitos da ciência, como seus estudos sobre a 
ciência natural (física), e pela invenção e comercialização de um compasso 
geométrico, revolucionário para a época (ARAGÃO, 2009; BOYER; MERRZBACH, 
1996). Além do tratado sobre o compasso geométrico, contribuiu com muitos 
dos desenvolvimentos de raciocínio lógico, os quais podem ser verificados 
nas suas obras de física e astronomia (BOYER; MERRZBACH, 1996). Galileu 
desenvolveu o número “pi”, com base em expressões numéricas que também 
foram estudados por Viète. Galileu também desenvolveu a análise infinitesimal 
que, futuramente, serviu de base na criação do cálculo por Isaac Newton e 
Leibnitz (ARAGÃO, 2009; MEDINA, 2013). Em muitos dos seus estudos, Galileu 
contou com a colaboração de seu aluno Cavalieri, que, envolvido nos muitos 
estudos do mestre, propôs soluções para muitos dos problemas matemáticos 
presentes na vida e obra de Galileu (BOYER; MERRZBACH, 1996; EVES, 2004).
Johannes Kepler, com formação em física e astronomia, valeu-se da mate-
mática para aplicá-la na astronomia, no estudo das órbitas elípticas. Buscando 
solucionar questõesenvolvendo as cônicas (elipse, parábola, hipérbole e a 
circunferência), Kepler utilizou-se do chamado princípio da continuidade, 
um conceito também, mais tarde, desenvolvido no cálculo (ARAGÃO, 2009). 
A matemática foi fundamental na elaboração das leis de Kepler, pois com-
provou matematicamente que as órbitas dos planetas comportavam-se de 
forma elíptica (BOYER; MERRZBACH, 1996).
Matemática nos séculos XV e XVI4
Para ver uma abordagem das três leis de Kepler e como este mate-
mático de renome utilizou-se de conceitos matemáticos no estudo 
das cônicas em uma abordagem de elipses para provar sua lei das órbitas, 
busque pela obra Fundamentos de física: óptica e física moderna, de Halliday, 
Resnick e Walker (2018).
A intensa produção de obras da física de Galileu e Kepler foi um dos 
motivos de avanço de conceitos da matemática, pois tanto Galileu quanto 
Kepler estavam envolvidos em grandes temas da física naquela época e ne-
cessitavam de fundamentação matemática para provar suas ideias. Embora 
não tenham sido completados, muitos dos desenvolvimentos matemáticos 
de Galileu serviram de base para futuros matemáticos desenvolverem-nos 
por completo, como foi o caso do estudo da curva, no qual Galileu não obteve 
êxito de imediato, mas cujas investigações serviram de base para os estudos 
de Torricelli (BOYER; MERRZBACH, 1996).
Nesta seção, você viu que a transição entre a época da renascença e a 
Idade Moderna deu-se com a participação em massa de muitos matemáticos 
de renome e com o desenvolvimento de grandes conceitos que levaram a 
matemática a tornar-se uma das ciências mais estudadas ao longo da história. 
A influência de nomes como Viète, Napier, Galileu Galilei e Johannes Kepler 
deixa claro que a Idade Moderna foi uma das mais ricas na produção de 
conteúdos representativos da matemática, pois muitos deles deram base 
às descobertas de matemáticos que transcenderam sua época, como René 
Descartes, Isaac Newton, Evangelista Torricelli, Blaise Pascal e outros. 
A matemática desenvolvida no início 
da idade moderna
A história retrata que a Idade Moderna compreendeu o período de 1453 até 
o ano de 1789, com base em fatos históricos marcantes marcando o início 
da era Moderna, como a tomada de Constantinopla, e seu fim, no início da 
Revolução Francesa (BOYER; MERRZBACH, 1996). Não se devem descartar os 
fatos históricos na história da matemática, pois muitos deles acabaram por 
influenciar o desenvolvimento dos conceitos e teorias da matemática (BOYER; 
MERRZBACH, 1996). O início da Idade Moderna foi marcado por muitas pro-
duções matemáticas que causaram grandes transformações nas formas de 
Matemática nos séculos XV e XVI 5
pensamento e desenvolvimento de conceitos aplicados nessa área (ARAGÃO, 
2009). 
A Idade Moderna é bem representada por seis nomes da época, uma vez 
que seus estudos foram de grande representatividade e promoveram avanços 
significativos dos conceitos matemáticos. São eles: René Descartes, Pierre 
de Fermat, Giles Persone de Roberval, Girad Desargues, Evangelista Torricelli 
e Blaise Pascal.
A época de Fermat e Descartes na história 
da matemática
A história da matemática apresenta uma riqueza na quantidade de conceitos 
e teorias desenvolvidas e que são fundamentais para explicar muitos dos 
fenômenos que conhecemos até os dias de hoje em muitas áreas do conhe-
cimento (BOYER; MERRZBACH, 1996). A Idade Moderna é marcada na história 
por seus grandes pensadores, cientistas e matemáticos. Destacam-se aqui 
figuras principais da era Moderna, como René Descartes e Pierre de Fermat 
(ARAGÃO, 2009).
Tanto Descartes quanto Fermat envolveram-se no desenvolvimento da 
geometria analítica e, na área da matemática, esta foi a maior contribuição 
de Descartes (BOYER; MERRZBACH, 1996). A obra La géometrie é de autoria 
de Descartes, na qual ele explica detalhadamente, em linguagem minuciosa, 
os conceitos e fundamentos envolvendo a geometria analítica. Descartes 
preocupou-se com a descrição geométrica, traduzindo operações algébricas 
em linguagem geométrica (ARAGÃO, 2009). Nesta obra, também é possí-
vel verificar como Descartes desenvolveu uma transformação de cálculos 
aritméticos em conceitos geométricos e como a multiplicação, a divisão e a 
extração de raízes quadradas podiam ser efetuadas geometricamente (BOYER; 
MERRZBACH, 1996). Este foi um passo grande na matemática, promovendo 
uma revolução na forma de pensar e também possibilitando aplicações mais 
abrangentes desses conceitos.
Os fundamentos geométricos estudados por Descartes e apresentados 
na sua obra máxima da matemática abrangeram o estudo de curvas e cô-
nicas e normais e retas tangentes com base em construções geométricas, 
conceitos estes que fazem Descartes er lembrado até os dias de hoje (BOYER; 
MERRZBACH, 1996). A Figura 1 retrata René Descartes e Pierre de Fermat, ma-
temáticos contemporâneos, que promoveram, independentemente, avanços 
consideráveis sobre geometria analítica.
Matemática nos séculos XV e XVI6
Figura 1. Fotografia de (a) René Descartes e (b) Pierre Fermat, matemáticos contemporâneos 
da Idade Moderna. 
Fonte: (a) (CONHEÇA..., 2020, documento on-line) e (b) Fernandes (2010, documento on-line).
a b
A contribuição de Pierre Fermat também se deu no avanço da geometria 
analítica, resgatando os conceitos já desenvolvidos na antiguidade e promo-
vendo sua evolução (ARAGÃO, 2009). Por exemplo, Fermat aprofundou seus 
estudos sobre as obras de Apolônio, que tratava de planos e também sobre 
a coleção matemática de Papus. Fermat descreveu suas ideias no tratado que 
chamou de Ad locus planos e sólidos isagoge, no qual demonstrou todo seu 
vasto conhecimento dos conceitos de geometria analítica, assim como fizera 
Descartes (BOYER; MERRZBACH, 1996; ROONEY, 2012). Fermat representou a 
geometria analítica em dimensão superior, desenvolvendo os conceitos de 
diferenciação e integração; no entanto, sua obra que contém eses relatos, 
intitulada A introdução aos lugares, não foi publicada em vida, o que concedeu 
apenas a Descartes o título de inventor da geometria analítica (ROONEY, 2012). 
Giles Persone de Roberval, Evangelista Torricelli, 
Girad Desargues e Blaise Pascal: 
desenvolvimentos matemáticos na Idade Moderna
O matemático Giles Persone de Roberval, um dos poucos a exercer as fun-
ções de matemático profissionalmente, ao longo da história destacou-se no 
desenvolvimento de um método de indivisíveis, no estudo do cicloide e no 
estudo de áreas de arcos de curvas. Além disso, demonstrou como traçar 
retas tangentes às curvas, assim como também o fizeram Descartes e Fermat. 
Matemática nos séculos XV e XVI 7
Roberval também estudou o conceito de volumes em sólidos de revolução 
(ARAGÃO, 2009; BOYER; MERRZBACH, 1996).
Sobre Evangelista Torricelli, a história retrata que ele também se dedicou 
ao estudo do cicloide e publicou seus aprofundamentos ao tema no livro 
De parabole (ARAGÃO, 2009). Esse tema gerou muitas controvérsias na época, 
pois Torricelli foi acusado de plágio, embora, de fato, os estudos publicados 
sejam de sua autoria; no entanto, eram temas similares àqueles desenvolvidos 
por Fermat (ROONEY, 2012). A Figura 2 mostra o movimento cicloide, tema que 
trouxe bastante evolução no desenvolvimento de conceitos para explicar o 
movimento de um corpo que produz esse movimento (BOYER; MERRZBACH, 
1996).
Figura 2. Representação de um cicloide em desenvolvimento.
Fonte: Barros (2020, documento on-line).
Torricelli foi um matemático notável do seu tempo e deu muitas con-
tribuições em diversos temas da matemática, como já foi citado, além de 
ter também contribuído em muitos assuntos relacionados à física (BOYER; 
MERRZBACH, 1996). 
Girard Desargues também estudou as cônicas, a interação entre cones e 
planos, e promoveu avanços de grande notoriedade na área da geometria 
projetiva. No entanto, embora seus estudos sejam de destaque e impacto na 
evolução da matemática, não foram aceitos na época, embora hoje o sejam 
(BOYER; MERRZBACH, 1996; ROONEY,2012).
Pascal é retratado na história como um prodígio na matemática. Seus 
estudos também abordaram o estudo das cônicas, um tema em alta na época 
e que deu grandes contribuições no avanço da matemática ao longo da his-
tória (ARAGÃO, 2009). Em seu livro Essay pour les coniques, Pascal descreveu 
o comportamento das cônicas; depois, utilizou-se da geometria projetiva, 
Matemática nos séculos XV e XVI8
já descrita por seus contemporâneos, e escreveu a Obra completa sobre côni-
cas, uma continuação de seu primeiro livro (ROONEY, 2012) (BOYER; MERRZBACH, 
1996). Pascal também se dedicou ao estudo dos conceitos de probabilidade 
e, assim como muitos matemáticos aqui citados, desenvolveu, conceitos de 
grande relevância ao estudar o cicloide e a integração de funções trigono-
métricas (BOYER; MERRZBACH, 1996). 
Nesta seção, foi apresentado um panorama de como se deu o desenvol-
vimento da matemática no início da Idade Moderna e quais foram as desco-
bertas e os estudos relacionados a este tema e que produziram mudanças 
significativas na forma de pensar. As contribuições de Descartes, Fermat, 
Roberval, Torricelli, Desargues e Pascal foram de grande impacto nesta época 
e até hoje o são, sendo esses conceitos e teorias ainda utilizados para explicar 
muitos dos conceitos de que a matemática trata. 
Técnicas da matemática dos séculos XV e 
XVI aplicadas à sala de aula
As ciências como a física e a matemática geralmente apresentam duas linhas 
bastante diferentes, sendo que a primeira mostra uma preocupação em relatar 
os conceitos históricos da sua história, contextualizando sobre quais foram 
os cientistas, estudiosos, filósofos, físicos e matemáticos que produziram 
todo o vasto conhecimento de ambas as ciências (ARAGÃO, 2009; BOYER; 
MERRZBACH, 1996). Por outro lado, uma segunda linha tem suas preocupações 
voltadas para a educação e as formas de ensinar em sala de aula, buscando 
abordagens efetivas e que procurem instigar a docência dessas ciências.
A transmissão de conceitos da matemática em sala de aula sempre foi um 
tema de grandes discussões, pois trata-se de uma disciplina fundamental em 
todos os níveis de educação, mas que se depara constantemente com formas 
não muito efetivas de atingir os objetivos finais no ensino, uma vez que nem 
sempre o aluno alcança o nível de compreensão estabelecido pelo plano 
curricular da referida disciplina (BOYER; MERRZBACH, 1996; SMOLE; MUNIZ, 2013).
Como já foi descrito, a história da matemática passou por muitas fases 
ao longo dos tempos, e nessa linha de tempo, tudo o que conhecemos de 
conceitos, teorias, teoremas e tratados da matemática teve sua construção 
passando pelo crivo de muitos pensadores e matemáticos (ARAGÃO, 2009; 
BOYER; MERRZBACH, 1996). Assuntos relativos à matemática que hoje têm suas 
bases muito sólidas e bem fundamentadas muitas vezes foram construídos 
gradativamente ao longo de muitos anos, e isso se aplica aos temas como 
Matemática nos séculos XV e XVI 9
aritmética, álgebra, geometria, trigonometria, estatística e cálculo diferencial 
e integral (EVES, 2004; BOYER; MERRZBACH, 1996).
O ensino da matemática em sala de aula e 
as técnicas utilizadas
O ensino de aritmética em sala de aula vem desde a época dos gregos, ou 
até de muito antes, pois desde que o homem aprendeu a contar, tornou-se 
fundamental aprender operações matemáticas, a princípio para utilizá-las em 
situações de sua vida cotidiana e, depois, como base à criação de conceitos 
mais profundos da matemática (BOYER; MERRZBACH, 1996; SMOLE; MUNIZ, 
2013). Em sala de aula, esses conceitos são trabalhados com estudantes desde 
o início da sua formação, ou seja, desde sua alfabetização. Outros conceitos, 
como álgebra, geometria, trigonometria, estatística, etc., são subsequentes à 
aritmética, uma vez que necessitam dela para o seu desenvolvimento (EVES, 
2004).
Ao longo dos tempos, o ensino veio sofrendo transformações, pois na 
época de grandes filósofos e pensadores gregos, por exemplo, muitos ti-
nham o livre pensamento e a apreciação do saber (BOYER; MERRZBACH, 1996). 
A partir da revolução industrial, a necessidade de ensino em massa produziu 
salas de aula no formato que chamamos de tradicional (carteiras dispostas 
umas atrás das outras), sendo que o aluno não tinha muita participação no 
seu processo de aprendizagem (ARAGÃO, 2009). Hoje, o quadro que se pinta 
na educação vem sofrendo mudanças e permitindo ao aluno ser mais ativo 
no seu processo de ensino e aprendizagem (BOYER; MERRZBACH, 1996).
Retratando as técnicas de ensino do início da Idade Moderna, as formas de 
se ensinar os conceitos de matemática sempre foram muito teóricas, embora 
alguns conceitos pudessem ter o apoio de representações geométricas e 
gráficas (BOYER; MERRZBACH, 1996; SMOLE; MUNIZ, 2013). O ensino da matemá-
tica pode contar com técnicas como o uso de jogos lúdicos ou de elementos 
visuais no desenvolvimento de seus conceitos (POSAMENTIER; KRULIK, 2014). 
Um exemplo da inserção de situações lúdicas é mostrado na Figura 3, onde 
se vê o conhecimento da matemática sendo construído a partir de objetos 
cujas formas permitem o desenvolvimento de vários conceitos matemáticos, 
sobretudo de geometria e trigonometria.
Matemática nos séculos XV e XVI10
Figura 3. Uso de figuras geométricas no processo de aprendizagem. 
Fonte: Marciano (2020, documento on-line).
Outro recurso que também é utilizado na matemática é o uso de gráficos 
para ilustração de resultados. Essa técnica foi aplicada e — e ainda é, até os 
dias de hoje —na matemática e em diversas outras áreas como ferramenta 
gráfica para a visualização de resultados de pesquisas, empresas, etc (BOYER; 
MERRZBACH, 1996).
Outra técnica utilizada em sala de aula e que sempre mostrou grande 
efetividade foi a experimentação (EVES, 2004). Conceitos matemáticos apli-
cados a algumas áreas do conhecimento, como a física, sempre se mostraram 
uma forma de aplicar conhecimentos adquiridos (BOYER; MERRZBACH, 1996). 
A Figura 4 mostra uma forma de aplicação da matemática na obtenção de 
informações a partir da experimentação. 
A disciplina história da matemática que é ensinada em sala de aula nos 
mostra a relevância de todo o desenvolvimento matemático ao longo da 
história (ARAGÃO, 2009; BOYER; MERRZBACH, 1996). Muitas técnicas e recursos 
didático-pedagógicos hoje utilizados em sala de aula estão pautados nas 
técnicas utilizadas já nos séculos XV e XVI, como o uso de recursos visuais 
para demonstração de fundamentos teóricos, ou mesmo o recurso da ex-
perimentação, quando os conceitos matemáticos são aplicados em outros 
contextos, como a física, química, etc. (BOYER; MERRZBACH, 1996; EVES, 2004). 
Matemática nos séculos XV e XVI 11
Figura 4. Uso da matemática para comprovação de 
conceitos da Física. 
Fonte: Vieira (2015, documento on-line).
Exemplo 
Um dos desenvolvimentos matemáticos do início da Idade Moderna foi o 
estudo do matemático François Viète sobre o número “pi”. Na matemática, 
o número π constitui uma proporção numérica definida a partir da relação 
entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Viète utilizou-se 
das formalizações de Arquimedes sobre o número π para aplicar nos seus 
cálculos sobre séries infinitas. Os estudos de Viète permitiram calcular o 
valor de π com base na equação que segue, usando o método dos limites.
Matemática nos séculos XV e XVI12
Muitas aplicações envolvendo o número π foram possíveis uma vez que 
seu valor foi calculado. Assim, demonstre três informações básicas sobre a 
circunferência utilizando o número π: o perímetro de sua circunferência, a área 
do círculo dessa circunferência e o volume da esfera que tal circunferência 
encerra (Figura 5). 
Figura 5. Informações de diâme-
tro e raio de uma circunferência.
Fonte: 123 Calculei (2020, docu-
mento on-line).
Resolução
Com base nos conceitos desenvolvidos por François Viète e sua definição 
para o número π, as informações pedidas serão obtidas a partir da Figura 5, 
utilizando-se das informaçõesde raio e diâmetro dadas.
Perímetro da circunferência
A equação para o cálculo do perímetro C de uma circunferência será dada 
por:
C = 2πR
Área do círculo da circunferência
A equação para o cálculo da área “A” do círculo de uma circunferência 
será dada por: 
A = πR2
Matemática nos séculos XV e XVI 13
Volume do círculo da circunferência
A equação para o cálculo do volume “V” do círculo de uma circunferência 
será dada por:
=
4
3
3 
Verifica-se, então, que os objetivos pretendidos neste capítulo foram 
atingidos, uma vez que a fase do início da Idade Moderna foi discutida, evi-
denciando os pontos de maior relevância do que se chamou “prelúdio à 
matemática moderna” e, assim, mostrando quais foram os matemáticos que 
contribuíram para o progresso de conceitos e teorias matemáticas desta fase, 
bem como quais foram esses conceitos. 
Referências
123 CALCULEI. Calculadora do círculo. 2020. Disponível em: https://www.123calculei.
com/Circulo/. Acesso em: 12 fev. 2021.
ARAGÃO, M. J. História da matemática. Rio de Janeiro: Interciência, 2009.
BARROS, L. Conheça mais sobre a braquistócrona. 2020. Disponível em: http://blogs.
unama.br/noticias/matematica/conheca-mais-sobre-braquistocrona. Acesso em: 
12 fev. 2021.
BOYER, C. B.; MERRZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 1996.
CONHEÇA René Descartes (1596 - 1650). 2020. Disponível em: https://sites.google.com/
site/embuscapsicologia/a-historia-da-psicologia/conheca-rene-descartes-1596---1650. 
Acesso em: 12 fev. 2021.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.
FERNANDES, M. Pierre Fermat. 2010. Disponível em: http://moniquefernandes15.blogspot.
com/2010/11/pierre-fermat.html. Acesso em: 12 fev. 2021.
MARCIANO, E. Plano de aula sobre formas geométricas: educação infantil. 2020. Disponí-
vel em: https://escolaeducacao.com.br/plano-de-aula-formas-geometricas-educacao-
-infantil/. Acesso em: 12 fev. 2021.
MEDINA, M. B. Os grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.
POSAMENTIER, A. S.; KRULIK, S. A arte de motivar os estudantes do ensino médio para 
a matemática. Porto Alegre: AMGH, 2014.
ROONEY, A. A história da matemática. São Paulo: M. Books, 2017.
SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula: reflexões e propostas para 
os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: Penso, 2013.
STEWART, I. Os maiores problemas matemáticos de todos os tempos. Rio de Janeiro: 
Zahar, 2014.
Matemática nos séculos XV e XVI14
VIEIRA, A. O que a Torre de Pisa e o levantamento de peso têm em comum? 2015. Dis-
ponível em: https://descomplica.com.br/artigo/torre-de-pisa-e-levantamento-de-
-peso-tem-algo-em-comum-o-equilibrio-estatico-desvenda-esse-misterio/4FR/. 
Acesso em: 12 fev. 2021.
Leitura recomendada
HALLIDAY, D.; RESNICK, J.; WALKER, J. Fundamentos de física: óptica e física moderna. 
10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 4.
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Matemática nos séculos XV e XVI 15