Revisão Mat Financeira2

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Revisão – Matemática 
financeira 
Aula 9 a 16
Por Nayara Brito
01.
Revisão Matemática financeira – Aula 9 a 16
Descrevendo os temas 
02. Resumo de cada tema 
03. Resolução de exercícios. 
Sumário
 
Ao se observar o sistema comercial, verifica-se que o 
valor do dinheiro se altera ao longo do tempo e que 
isso decorre de vários fatores econômicos, incluindo 
a sua própria desvalorização por conta dos diversos 
fatos sociais, como fatores econômicos em espécie 
(quebra de algum banco, por exemplo), fatores 
pandêmicos, fatores sanitários e demais fatores que 
se relacionam com a própria sociedade.
Aula 9 – Introdução ao Valor do Dinheiro no 
Tempo
 
Vamos começar respondendo 2 perguntas:
Você prefere receber R$10.000,00 hoje ou R$10.200,00 daqui a um mês?
Você prefere receber R$10.000,00 hoje ou R$1.000.000,00 daqui a 20 anos?
Para responder a essas perguntas você deve considerar inúmeros fatores, mas uma coisa é certa: você com certeza prefere 10.000 hoje do que 
os mesmos 10.000 daqui a um mês! Isso nos traz a um princípio fundamental de finanças:
Valor Presente: equivale ao valor que possui hoje, no nosso exemplo os R$10.000,00.
Valor Futuro: equivale a um valor maior do que o valor que possui hoje, no nosso exemplo os valores de R$10.200,00 daqui a um mês ou 
R$1.000.000,00 daqui a 20 anos.
A atualização do dinheiro no tempo chamamos de taxa de juros. É a taxa de juros que irá determinar essa relação entre o Valor Futuro e o Valor 
Presente. 
Resumo
 
Porcentagem nada mais é que uma razão que possui 
o 100 como denominador.
Utilizamos o símbolo % para representar a 
porcentagem, 20%, por exemplo, significa que temos 
20 partes de algo que foi divido em 100. Podemos 
usar também a representação decimal (ou 
fracionária) para representar uma porcentagem.
Aula 10 – Conceitos e Métodos de 
Cálculo de Porcentagem
 
35% = 35/100
120% = 120/100
X% = x/100
p = P.i
Onde:
i = taxa percentual (%)
P = valor principal = representa o todo
p = porcentagem = representa parte do todo 
Métodos de 
Cálculo
 
Observação: a taxa percentual é trabalhada na 
forma decimal na realização dos cálculos.
 
Empresa vai continuar em 
operação (Preço de entrada)
Em uma sala de aula há 30 alunos, dos quais 40% são meninas. Quantas meninas têm na sala?
a) 10 meninas
b) 12 meninas
c) 15 meninas
d) 18 meninas
Alternativa correta: b) 12 meninas.
Utilizando a regra de três encontramos a quantidade de meninas na sala.
30 espaço – espaço 100 sinal de percentagem espaçoespaço espaço reto x espaço – espaço espaço 40 sinal de 
percentagem espaço espaçoreto x espaço igual a espaço numerador 40 espaço. espaço 30 sobre denominador 
100 fim da fraçãoreto x espaço igual a espaço 1200 sobre 100reto x espaço igual a espaço 12
Portanto, em uma sala de 30 alunos há 12 meninas.
É a proporção do reajuste
do montante em função do ciclo de
Capitalização. Uma taxa de juros, ou 
taxa de crescimento do
capital, é a taxa de lucratividade 
recebida num investimento. 
Taxas de 
juros 
A taxa Selic também é conhecida como a taxa 
básica de juros do nosso país. O valor da Selic 
é definido pelo próprio Banco Central a partir 
da reunião do Comitê de Política Monetária 
(Copom), que acontece a cada 45 dias. É com 
base nessa taxa que os bancos definem os 
juros que serão cobrados de seus clientes em 
empréstimos, por exemplo.
Taxa Selic
 
É a taxa cuja unidade de referência 
de tempo coincide com a unidade de 
tempo do prazo de capitalização.
Taxa efetiva 
ou real
Aula 11 – Taxas Equivalentes, Capitalização e 
Descapitalização
Na taxa nominal não há coincidência 
entre a sua unidade de tempo e a 
unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. 
Taxa 
nominal 
A taxa equivalente, a sua aplicação e a sua
relevância estão conectadas com o regime de 
juros compostos
Taxas de juros 
equivalentes 
No que se refere à taxa proporcional, 
trata-se de um tipo de taxa 
característico dos juros simples, 
formada proporcionalmente. .
Taxas de juros 
proporcionais
 
n2 x i1 = n1 x i2
n1 = prazo da taxa 1; n2 = prazo 
da taxa 2; i 1 = percentual da 
taxa 1; i 2 = percentual da taxa 2.
Taxas 
Proporcionais:
 
Taxas 
Equivalentes:
I q = (1 + it ) q t – 1
I q = taxa equivalente para a 
periodicidade q; I t = taxa 
equivalente para a periodicidade 
t; q = número de períodos para 
capitalização; t = número de 
períodos base. 
Exemplo 1:
Suponha que você tem um investimento de
R$ 10.000,00 com i = 3% a.m. capitalizados
mensalmente. Assim, há coincidência entre a
dimensão da taxa (3%a.m.) e a dimensão do
tempo de empréstimo (também a.m.), logo, 
esse
investimento possui taxa efetiva de 3% a.m.
Taxa efetiva ou real
 
Exemplo 2:
Para empréstimos a clientes comuns, uma
financeira cobra taxa nominal de juros de 84% 
ao ano com capitalização mensal. Para um 
empréstimo
de dois meses, qual será a taxa efetiva de 
juros?
Sabendo que a taxa nominal é de 84% a.a., a 
taxa mensal será de:
84/12 = 7% = 0,07.
Continuação exemplo 2:
Calculando a taxa efetiva para um período de 2 
meses: 
T c = (1 + i)n – 1 
T c = (1 + 0,07)2 – 1
 T c = (1,07)2 – 1 T c = 1,145 – 1 
T c = 0,145 0,145 = 14,5%
 Resposta: será de 14,5%. 
Taxa efetiva ou real
 
Sistema de capitalização composta 
significa que o juro de cada período se 
soma ao principal. Também, sobre 
esse total, incidem novos juros no 
período seguinte e assim 
sucessivamente. Sua forma de cálculo 
é: J = M – C
Aula 12 -Montante Composto e 
Registros Financeiros
 
 
Com um capital de R$ 1.800,00, foi feita uma aplicação que rende juro composto de 1,2% ao mês. Qual 
será o saldo dessa aplicação após 6 meses se, durante esse período, não houver nenhuma outra 
movimentação na conta?
Cálculo:
C=1800 M=C.(1+i)t
i= 1,2% a.m=0,012 M=1800.(1+0,012)6
M=? M=1800.(1,012)6
t= 6meses M=̃1800.(1,0742)
M= ̃R$ 1933,56
Na matemática financeira, o logaritmo tem sua 
aplicação para o cálculo do tempo que um capital 
deve ser aplicado, a juros compostos, para que 
ele gere um determinado montante. Veremos 
então os conceitos de logaritmo que devem ser 
estudados para que o logaritmo não seja um 
empecilho na resolução de problemas como 
esses.
Aula 13 – Cálculo do Prazo Composto 
com uso de Logaritmos.
 
I) O logaritmo cujo o logaritmando é 
igual a 1 e a base é qualquer, é igual a 
zero;
II) O logaritmo cujo a base e o 
logaritmando são iguais é igual a um;
III) Dois logaritmos são iguais, numa 
mesma base, se os logaritmandos 
são iguais.
CARACTERISTICAS
BÁSICAS
 
IV) Logaritmo do produto;
V) Logaritmo da divisão:
VI) Logaritmo da potência:
VII) Logaritmo de uma raiz:
 
Taxa de juros: é a proporção do reajuste
do montante em função do ciclo de
Capitalização.
Taxa efetiva ou real: é a taxa cuja
unidade de referência de tempo coincide
com a unidade de tempo do prazo de
capitalização.
Taxa nominal: não há coincidência entre
a sua unidade de tempo e a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
Aula 14 – Taxa Nominal, Efetiva e 
Real
 
 
4) Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal de $1.000,00 à taxa de 
10,20% ao ano, capitalizados mensalmente.
A taxa anual é apenas nominal e proporcional, portanto devemos convertê-la em taxa mensal, que é a 
periodicidade da capitalização. Tem-se, então,
Como 2 anos equivalem a 24 meses, o montante acumulado é dado por
Quando se contrai um empréstimo ou se recorre a
um financiamento, evidentemente, o valor recebido
nesta operação, ou seja, o principal terá que ser
restituído à financeira acrescido dos juros.
As formas de devolução do principal, mais juros
são denominados sistemas de amortização. Na
teoria, amortizar significa pagar gradualmente,
abater parte de uma dívida. Alguns termos são
bem comuns em um sistema de amortização e são
descritos a seguir: 
Sistemas de 
amortização● Prestação: o valor que será efetivamente pago a
cada período (meses ou anos, por exemplo).
● Juros: parte da prestação que corresponde à
remuneração do dinheiro.
● Amortização: parte da prestação que corresponde
à redução da dívida, sem incluir juros.
● Saldo devedor: é o valor da dívida em cada
período do empréstimo ou financiamento,
não inclui juros. O saldo devedor vai sendo
reduzido até chegar a zero, quando a dívida é
completamente amortizada.
Sistemas de 
amortização
 
O coeficiente de financiamento consiste em um fator que, 
ao ser multiplicado pelo valor a ser financiado, fornece o 
valor de cada prestação.
CF=i /[1-1 /(1+i)n]
Onde:
CF= coeficiente de financiamento
i= taxa de juros cobrada pelo financiamento
n= período ou número de parcelas mensais
Coeficiente de 
Financiamento
 
Assim como nos cálculos envolvendo juros simples e juros 
compostos, no caso do cálculo de prestações tanto a taxa 
de financiamento, quanto o período, devem estar na 
mesma unidade de tempo. Como geralmente as prestações 
são mensais, a taxa de juros também deverá ser expressa 
ao mês.
Coeficiente de 
Financiamento
 
Por exemplo, admita que uma instituição financeira 
divulgue que seu coeficiente para financiamento a ser 
liquidado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas 
atinge atualmente 0,189346 (utiliza-se geralmente 06 casas 
decimais).
Em consequência, um financiamento de $ 16.000,00 
envolve o pagamento de 6 prestações mensais e iguais de 
$ 3.029,54, ou seja:
Coeficiente de 
Financiamento
 
Coeficiente de 
Financiamento
 
PMT = PV x Coeficiente de Financiamento
PMT = $ 16.000,00 x 0,189346 = $ 3.029,54
Coeficiente de 
Financiamento
 
Este sistema também é conhecido
como sistema Price e é muito utilizado em todos
os setores financeiros, principalmente nas compras
a prazo de bens de consumo, por meio do crédito
direto ao consumidor.
No sistema Price, as prestações são iguais e
sucessivas, e cada prestação é composta por
duas parcelas – juros e amortização do capital –
cujo cálculo baseia-se numa série uniforme de
pagamentos.
Sistema francês de amortização
(Price)
 
A fórmula PMT é usada para encontrar o valor das 
prestações sem juros, utilizando variáveis como o valor da 
taxa incidida (i),o período ou número de parcelas (n), além 
do valor financiado sem juros, conhecido como vale 
presente (VP). Veja a fórmula:
PMT= PV x (1 + i)n x i(1 + i)n- 1.
Sistema francês de amortização
(Price)
 
 
Uma geladeira é vendida, pelo pagamento à vista, por R$ 1 200,00. Caso o consumidor queira parcelar o 
eletrodoméstico, será cobrada uma taxa de juros no valor de 2% ao mês. Considerando que uma pessoa 
comprou a geladeira em 12 prestações iguais, calcule o valor das parcelas utilizando o sistema Price. 
P (prestação)
V (valor à vista): 1 200
n (tempo): 12
i (taxa de juros): 2% = 2/100 = 0,02
O Sistema de Amortização Constante (SAC) ou
método hamburguês consiste na amortização
constante da dívida com base em pagamentos
periódicos decrescentes. Ou seja, quanto mais o
tempo passa, menores ficam as parcelas de quitação
do saldo devedor enquanto o valor é amortizado de
maneira constante em todos os períodos.
De forma geral, os juros e o capital são calculados
uma única vez e divididos para o pagamento em várias 
parcelas durante o prazo de quitação.
Em linhas gerais, SAC e Price são os sistemas de
amortização mais conhecidos, mas há outros.
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
 
Calculando a Amortização = Para encontrar o valor fixo da 
amortização basta dividir a dívida pelo número de parcelas. 
Calculando os Juros = Para achar os juros é muito fácil. 
Você só precisa multiplicar o valor da dívida atual (saldo 
devedor) pelos juros.
Valor da Parcela = Sabendo o valor da amortização e o 
valor dos juros você saberá o valor da prestação.
Já as parcelas dos próximos meses, terão o mesmo valor 
de amortização, já os juros serão calculados de acordo 
com a dívida atual e a prestação a somatória de ambos. 
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
 
Exemplo:
• Para encontrar o valor da amortização de uma dívida de 
300.000 que será paga em 360 prestações basta dividir 
300.000 / 360. O valor da amortização será de R$ 
833,33.
• A dívida é de 300.000 na primeira prestação. Se a taxa 
de juros for de 1% ao mês então o valor dos juros será 
de 300.000 x 1% que equivale a R$ 3000,00.
• R$ 833,33 de amortização + R$ 3000,00 de juros. Com 
isto nossa parcela será de R$ 3833,33.
 
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
 
Exemplo:
• No mês seguinte o valor da amortização será os 
mesmos R$ 833,33 já que na tabela SAC a amortização 
é constante. Já o cálculo dos juros será feito sobre o 
valor atualizado a dívida. Se no mês anterior você 
amortizou R$ 833,33 da dívida então ela estará R$ 
833,33 menor no mês seguinte. Então a dívida 
atualizada será o resultado de 300.000,00 – 833,33 que 
equivale a R$ 299.166,67. 
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
 
Exemplo:
• A para encontrar os juros do mês seguinte bastaria 
fazer 299.166,67 x 1% e encontraremos R$ 2.991,67. A 
prestação do mês seguinte será a amortização de 
833,33 + 2.991,67 dos juros. Isto equivale a R$ 3.825,00. 
Como podemos ver a primeira prestação foi de R$ 
3833,33 e a segunda prestação de R$ 3.825,00 que 
significa uma redução de R$ 8,33. Podemos observar 
que as prestações vão cair lentamente durante as 360 
prestações até atingir o valor de R$ 841,67.
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
 
Sabe aquela tática de pagar somente os juros da
fatura do cartão de crédito para que a dívida não
aumente? É basicamente isso o que acontece no
Sistema Americano de Amortização (SAA). Nele,
apenas os juros são pagos durante o período e, ao
fim do prazo para quitação da dívida, o principal é
finalmente amortizado. Assim, não há amortização
do saldo devedor durante o tempo transcorrido. O
capital só é pago ao fim do período.
Por este sistema, o devedor paga os juros
periodicamente; o valor emprestado é pago no final
do prazo estipulado para o empréstimo.
Chamando de PV o valor emprestado com a taxa de
juros i, os juros pagos em cada período são iguais e
calculados como:
Sistema americano
 
J = PV × i
Terminado o prazo, o devedor, no último
pagamento, além dos juros, salda o capital
emprestado PV.
Exemplo:
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago pelo
sistema americano no prazo de 10 meses a juros
mensais de 3% ao mês.
De acordo com o modelo de amortização
americana, a quitação do empréstimo ocorrerá no
último mês, então, nos meses anteriores a pessoa
irá pagar somente o valor dos juros.
Juros = 3% de 50.000 = 1.500
Sistema americano
 
Fluxo de caixa consiste no registro das entradas 
e das saídas de capital numa empresa. Sua 
análise possibilita maior aprimoramento na 
tomada de decisões sobre a escassez e o 
aumento de recursos na empresa servem, 
basicamente, para comparar e decidir entre 
investimentos e outras propostas financeiras 
mais vantajosas.
Aula 16 – Diagrama de Fluxo 
de caixa
 
 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, 
pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no 
quarto e 200 no quinto ano.
Convenção: dinheiro recebido Þ flecha para cima Þ valor positivo
dinheiro pago Þ flecha para baixo Þ valor negativo
 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às datas, 0, 1, 
2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referência. Neste caso, vamos 
trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto acima, concluímos que o valor presente 
- PV - do fluxode caixa será:
 
1- Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro:
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo 
segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
PLANO A:
 
PLANO B:
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
PLANO A:
Teremos para o plano A:
 
Para o plano B, teremos:
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este plano A é mais atraente 
do ponto de vista do consumidor.
OBRIGADA!
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