8 - 9 - Tensões

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MECÂNICA DOS SOLOS e GEOTECNIA
Unidade 8 – 9 Tensões. Conceitos. Distribuição de Tensões. Acréscimo de Tensões
Prof. Dr. Guillermo Ruperto Martín Cortés
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Unidade 8 – 9 Tensões. Conceitos. Distribuição de Tensões. Acréscimo de Tensões
Objetivos de Aprendizagem
1. Calcular tensões em projetos de engenharia;
2. Avaliar a propagação e distribuição de tensão no solo;
3. Entender os efeitos da tensão no solo – sugerimos estudo de caso.
4. Avaliar os efeitos dos acréscimos de tensão no comportamento dos solos;
5. Executar cálculos de tensões e compressibilidade do solo;
6. Executar cálculos de adensamento e recalque do solo.
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Unidade 8 – 9 Tensões. Conceitos. Distribuição de Tensões. Acréscimo de Tensões
Tensões principais, circulo de Mohr
Principio das tensões efetivas
Distribuição de tensões no solo
Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Teoria de Boussinesq
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Tensões principais, circulo de Mohr
Como todo material utilizado na engenharia, o solo, sob solicitações, se deforma, modificando o seu volume e forma iniciais. 
A magnitude dessas deformações do solo dependerá de:
 - As propriedades de deformabilidade (elásticas e plásticas) do tipo de solo, e
- Do valor ou valores, da carga ou cargas atuando sobre o mesmo.
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Tensões principais, circulo de Mohr
 O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas advindas do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície, ou ainda pelo alívio de cargas provocado por escavações, é de vital importância no entendimento do comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. 
É necessário conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades abaixo do terreno para a solução de problemas de recalques, empuxo de terra, capacidade de carga no solo, etc. 
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Tensões principais, circulo de Mohr
Qualquer ponto no interior da massa de solo está sujeito a esforços devido ao próprio peso, além dos gerados pelas forças externas. Estes esforços resultam em estados de tensão normal (σ) e cisalhante (τ), que variam em função do plano considerado. 
O conceito de tensão em um ponto é definido pela equação: 
 
onde ΔF é a força que atua na área ΔA. 
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Tensões principais, circulo de Mohr
 No estudo do comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio têm valores consideráveis que não podem ser ignoradas. 
As pressões que atuam na massa de solo, devem se determinar nas diversas profundidades do maciço terroso.
As pressões ocasionadas pela ação do peso próprio, (gravidade), sem cargas exteriores atuantes, são denominadas pressões virgens ou pressões geostáticas. 
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Tensões principais, circulo de Mohr
Lembremos que os solos são constituídos por partículas e que as forças aplicadas a eles são transmitidas de partícula a partícula e suportadas pelos fluidos contidos nos poros.
Partículas granulares: a transmissão de forças ocorre através das áreas de contato direto de grão a grão.
Partículas de argila: ocorre através da água quimicamente absorvida.
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Tensões principais, circulo de Mohr
Em qualquer substância contínua as forças aplicadas podem se decompor em normais e tangencias à superfície da placa.
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Tensão normal :
Tensão cisalhante:
Tensões principais, circulo de Mohr
Para a análise gráfica se representa o estado de tensões pelo círculo de Mohr, o lugar geométrico dos pontos de coordenadas σ1 e σ3 definidores do estado de tensões no ponto O, quando agem no mesmo as tensões principais, como mostra a Figura a seguir:
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Tensões principais, circulo de Mohr
O estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior de uma massa de solo, pode ser graficamente representado num sistema cartesiano de coordenadas σ e τ, coordenadas agentes no plano qualquer, quando o mesmo está sujeito às tensões σ1 e σ3.
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Tensões principais, circulo de Mohr
Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos α, procede-se da seguinte maneira:
· Marca-se no eixo das abcissas as tensões σ1 e σ3;
· No intervalo entre σ1 e σ3, traça-se o circulo de tensões, cujo diâmetro é σ1 – σ3, portanto o raio é igual a: 
Toma-se um ponto M qualquer, sobre o circulo, obtendo-se as coordenadas σα e τα;
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Tensões principais, circulo de Mohr
· Pela propriedade do circulo de Mohr, se tem que: “Todo raio que forma com o eixo das abcissas um ângulo 2α, corta o círculo num ponto M cujas coordenadas são σα e τα, definidoras do estado de tensões no ponto O submetido ao par de tensões principais σ1 e σ3.”
Pelas propriedades conhecidas, ligando-se o ponto M ao inicio do circulo, a corda define o ângulo α. O inicio do circulo é o polo.
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Tensões principais, circulo de Mohr
O centro do circulo terá as coordenadas:
 + 
Coordenadas do ponto M em função das tensões 
Raio do círculo r= 
Coordenadas de O’: e 
Então temos:
 . 
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Tensões principais, circulo de Mohr
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Essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação, são as mesmas deduzidas analiticamente, o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema muito mais simples de visualização.
Tensões principais, circulo de Mohr
Tensões em um ponto.
Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa). Assim o ponto estará em equilíbrio estável, instável ou incipiente (eminência da ruptura), dependendo da maior ou menor capacidade que a massa tem de absorver esforços (internos e/ou externos).
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Tensões principais, circulo de Mohr
Para estudar as forças atuantes em um ponto O, como se vê na Figura (Slide 17) (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões atuantes no ponto O traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e determináveis (na figura, a resultante agirá segundo a direção da gravidade).
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Principio das tensões efetivas
Mas, sobre um plano inclinado qualquer com relação à sua direção de ação, seu valor será definido por duas componentes, uma normal a esse plano e outra tangencial ou contida no plano (a componente tangencial é que terá que ser equilibrada pela resistência interna).
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Tensões de um ponto no interior de uma massa de solo.
A componente Z terá seu máximo valor ou valor absoluto por agir na direção da gravidade sobre um plano horizontal. 
Principio das tensões efetivas
Para o caso da figura (S-17) em que o plano do terreno é horizontal não haverá componente tangencial e o esforço absoluto, age normal ao plano paralelo ao da superfície.
Por isso pode-se definir o ponto O como o ponto de intersecção de três planos ortogonais entre si.
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Sistema tridimensional de tensões representadas por σ1, σ2 e σ3.
Principio das tensões efetivas
Representação infinitesimal do ponto O. Direção das tensões principais.
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Principio das tensões efetivas
O principio das tensões efetivas
Postulado por Terzaghi, para o caso dos solos saturados, o princípio das tensões efetivas é uma função da tensão total (soma das tensões nas fases água e partículas sólidas) e da tensão neutra (denominada também de pressão neutra, é a pressão existente na fase água do solo), que governa o comportamento do solo em termos de deformação e resistência ao cisalhamento.
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Distribuição de tensões no solo
Da prática, sabe-se que nos solos saturados a resistência e a deformabilidade são determinadas pela diferença entre a tensão total e a pressão neutra que é denominada de tensão efetiva.
As tensões normais desenvolvidas em qualquer plano num maciço terroso, serão suportadas, parte pelas partículas sólidas e parte pela água.
As tensões cisalhantes somente poderão ser suportadas pelas partículas sólidas.
No caso dos solos saturados, uma parte da tensão normal age nos contatos entre partículas, a outra parte atua na água existente nos poros.
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Distribuição detensões no solo
Assim, a tensão total num plano será a soma da tensão efetiva, resultante das forças transmitidas pelas partículas, e da pressão neutra, dando origem a uma das relações mais importantes da Mecânica dos Solos, proposta por Terzaghi:
 – u
Onde: é tensão efetiva do solo
 é a tensão total, e
u é a pressão neutra (poro pressão) no ponto considerado.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Devido a sua natureza de fluido, a pressão na fase água do solo não contribui para a sua resistência, sendo assim chamada de pressão neutra. 
Para visualizar um pouco melhor o efeito da água no solo imagine uma esponja colocada dentro de um recipiente com água suficiente para encobri-la (a esponja se encontra totalmente submersa). Se o nível de água for elevado no recipiente, a pressão total sobre a esponja aumenta, mas a esponja não se deforma.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Isto ocorre porque os acréscimos de tensão total são contrabalançados por iguais acréscimos na tensão neutra, de modo que a tensão efetiva permanece inalterada.
A tensão efetiva controla aspectos essenciais do comportamento do solo, em especial a compressibilidade e a resistência.
Tensão geostática vertical σv = γ . Z onde: 
σv = tensão geostática vertical total no ponto considerado;
γ = peso específico do solo;
z = equivalente a profundidade.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Pressão neutra: u = γw . Zw onde:
u = pressão neutra atuando na água no ponto considerado;
γw = peso específico da água, sendo adotado normalmente como
 γw = 10KN /m³;
Zw = equivalente a profundidade do ponto considerado até a superfície do lençol freático.
Para solos constituídos por várias camadas:
σ’ =.hi 
Onde γi e hi representam o peso específico e a espessura de cada camada considerada.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Distribuições de tensões geostáticas verticais
Solo acima do NA: 
Solo 1: Abaixo do NA = γ1
Solo 2: Abaixo do NA = γ2
Solo 3: Abaixo do NA = γ1
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Para solos no nível do terreno:
σv=γsat. Z
A tensão efetiva, correspondente à diferença entre estes dois valores, será:
σv’= σv − u = γsat . z. – γw . z, 
o que faz com que tenhamos: 
σv’= (γsat − γw).z = γsub . z,
onde γsub é o peso específico submerso do solo.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Exemplo: Determinar as tensões geostáticas verticais efetiva e total e a pressão neutra para o perfil apresentado, e traçar os diagramas correspondentes.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Cálculo das tensões geostáticas. Tensões Totais: (σ)
 σv(1) = 17,0 x 1,0 = 17,0 kN/m²
 σv(2) = 17,0 + 18,5 x 2,0 = 54,0 kN/m²
 σv(3) = 54,0 + 20,8 x 1,5 = 85,2 kN/m²
Tensões Efetivas: (σ’ = σ − u)
σ’v(1) = 17,0 − 0 = 17,0 kN/m²
σ’v(2) = 54,0 − 20,0 = 34,0 kN/m²
σ’v(3) = 85,2 − 35,0 = 50,2 kN/m²
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Pressões Neutras: (u)
u(1) = 0
u(2) = 0 + γw x 2,0 = 10,0 x 2,0 = 20,0 kN/m²
u(3) = 20,0 + 10,0 x 1,5 = 35,0 kN/m²
Tensões geostáticas e acréscimo de tensões. 
Cálculo das tensões geostáticas horizontais
As tensões geostáticas horizontais existentes em um maciço de solo servem para calcular os esforços de solo sobre estruturas de contenção: muros de arrimo, cortinas atirantadas etc. 
Estes esforços dependem dos movimentos relativos do solo, ocasionados pela instalação da estrutura de contenção. 
Para solo em repouso, as tensões geostáticas horizontais são calculadas empregando-se o coeficiente de empuxo em repouso do solo, conforme apresentado pela equação: 
 σ’h =Ko. σ′v
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões. 
Cálculo das tensões geostáticas horizontais
O coeficiente de empuxo em repouso do solo pode ser determinado através de formulas empíricas (sem consenso na sua formula), de ensaios em laboratório e de ensaios em campo. Por exemplo:
K0 = 1 - sen (Ф) 
 Onde f é o ângulo de atrito interno efetivo do solo.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões. 
Cálculo das tensões geostáticas horizontais
Valores típicos de k0 em função do tipo de solo
Areia fofa: 0,55
Areia densa: 0,40
Argila de baixa plasticidade: 0,50
Argila de alta plasticidade: 0,65
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
ACRÉSCIMO DE TENSÕES DEVIDO ÀS CARGAS APLICADAS
Sobrecarga aplicada ao terreno, produz modificações nas tensões até então existentes. 
Teoricamente, tais modificações (acarretando aumento ou diminuição das tensões existentes) ocorrem em todos os pontos do maciço solicitado. 
Dependendo da posição do ponto (elemento do terreno) em relação ao ponto ou lugar de aplicação da sobrecarga, as modificações serão de acréscimo ou decréscimo, maiores ou menores.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Distribuição de tensões no solo
A lei de variação das tensões, lateralmente e com a profundidade, constitui a denominada distribuição de tensões nos solos.
A magnitude das tensões aplicadas tende a diminuir tanto com a profundidade, como lateralmente, à medida que aumenta a distância horizontal do ponto à zona de carregamento.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Pode-se dizer que embora as perturbações no estado de tensão inicial de um maciço de solo, provocadas por um determinado carregamento, se propaguem indefinidamente, a intensidade destas perturbações (ou os valores dos acréscimos de tensão induzidos na massa de solo) diminuem bastante em profundidade e com o afastamento lateral, de modo que a influência, do ponto de vista prático, destas cargas, é limitada a uma determinada região.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Existem varias teorias em uso para a determinação dos acréscimos de tensões provenientes do carregamento de um solo, cada uma delas com suas restrições de uso.
Dentre elas:
· Solução simplificada ou hipótese simples
· Teoria da elasticidade
· Método do bulbo
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Solução simplificada ou hipótese simples
A distribuição de tensões nos solos pode ser estimada de forma muito aproximada, admitindo-se que as tensões se propaguem uniformemente através da massa de solo segundo um dado ângulo de espraiamento (por exemplo, 30º ou 45º) ou uma dada declividade (por exemplo, método 2:1). 
Essa aproximação empírica baseia-se na suposição de que a área sobre a qual a carga atua aumenta de uma forma sistemática com a profundidade, assim as tensões (σ=q/A) decrescem com a profundidade, como mostra a figura do próximo slide.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Para o caso da figura (S-40), considerando-se uma sapata retangular, as tensões induzidas na superfície do terreno são dadas por:
 
Na profundidade (z), a área da sapata aumenta de z/2 (para o método 2:1) ou tangφ0 (espraiamento) para cada lado. Assim, a tensão nesta profundidade será estimada pela equação seguinte:
 
 . 
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
O ângulo de espraiamento é função do tipo de solo, com os seguintes valores típicos:
Solos muito moles Ф0 0 70º
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
A faixa de validade para esta teoria restringe-se a:
Sobrecargas provenientes de fundações muito rígidas e/ou estruturas rígidas (chaminés, torres, obeliscos, blocos de máquinas) com tendência de recalques uniformes, as pressões tendem à uniformidade;
Profundidades muito grandes – achatamento do diagrama de pressões;
Valor de φ0 a adotar – quanto mais resistente for o solo, tanto maior será o valor de φ0.
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Tensõesgeostáticas e acréscimo de tensões
Soluções advindas da teoria da elasticidade
As tensões dentro de uma massa de solo podem também ser estimadas empregando as soluções obtidas a partir da teoria da elasticidade. Apesar das hipóteses adotadas nestas formulações, seu emprego nos casos práticos é bastante frequente, dada a sua simplicidade, quando comparadas a outros tipos de análises mais elaboradas, como o emprego de técnicas de discretização do contínuo.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Pode-se dizer também que estas soluções apresentam resultados bem mais próximos do real do que aqueles obtidos com o uso da solução simplificada.
A teoria de elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos materiais, ou seja, na proporcionalidade entre as tensões ( σ ) e deformações ( ℇ ), segundo a lei de Hooke.
Denomina-se módulo de elasticidade ou módulo Young, a razão: 
σ /ℇ = E
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Em resumo a teoria de elasticidade admite que;
- Material seja homogêneo (propriedades constantes na massa do solo);
- Material seja isotrópico (em qualquer ponto as propriedades são as mesmas independentemente da direção considerada);
- Material seja linear-elástico (tensão e deformação são proporcionais);
- A variação de volume do solo sob aplicação da carga é negligenciada;
- O solo é semi-infinito.
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Tensões geostáticas e acréscimo de tensões
Existem formulações para uma grande variedade de tipos de carregamento utilizando-se da teoria da elasticidade, denominadas de extensão da solução de Boussinesg. As mais importantes são:
Carga distribuída ao longo de uma linha – Solução de Melan;
Carregamento uniforme sobre uma placa retangular de comprimento infinito (sapata corrida);
Carregamento uniformemente distribuído sobre placa retangular;
Carregamento uniforme sobre placa circular;
Carregamento triangular de comprimento infinito;
Carregamento em forma de trapézio retangular de comprimento infinito;
Carregamento uniformemente distribuído sobre uma superfície de forma irregular – gráfico de Newmark;
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Teoria de Boussinesq
Solução de Boussinesq 
A distribuição de tensões devido a uma carga pontual aplicada perpendicularmente à superfície do terreno é conhecida como solução de Bussinesq. As hipóteses desta solução são: 
maciço homogêneo, isotrópico e continuo 
semi-espaço infinito 
comportamento elástico linear 
variação de volume do solo é desconsiderada 
 
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Teoria de Boussinesq
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Teoria de Boussinesq
Onde: Q – carga pontual na superfície do terreno
 z – profundidade
 Ip – fator de influência
O acréscimo de tensões para carga pontual é: 
Em que:
σZ = acréscimo de tensão vertical atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (kN/m2);
Q = carga concentrada atuante na superfície do solo (kN);
z = profundidade do ponto A, onde atua a tensão vertical σZ (m);
r = distância radial do ponto A, onde atua a tensão vertical σZ, ao alinhamento vertical de atuação da carga Q (ou ao eixo Z) (m); e 
π = 3,1416.
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Teoria de Boussinesq
A solução de Boussinesq não tem aplicação prática direta, mas a partir dela pode-se integrar diferentes formas de carregamento.
Para o caso de um carregamento continuo ao longo de uma faixa (como por exemplo uma sapata corrida) a solução é:
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Teoria de Boussinesq
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sendo P a carga, σ e δ os ângulos dados mostrados na figura do slide seguinte e υ o coeficiente de Poisson. 
Teoria de Boussinesq
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Teoria de Boussinesq
Soluções derivadas ou extensões da teoria de Boussinesq para casos particulares são:
Solução de Westergaard para condição extrema de anisotropia para massa de solo impedida de se deformar lateralmente.
Solução de Carothers para cargas distribuídas sob uma área retangular de comprimento infinito
Solução de Newmark para Cargas uniformes de qualquer forma
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Teoria de Boussinesq
Bulbo de pressões
Um aspecto interessante da distribuição de tensões pode ser observado com a noção do chamado bulbo de pressões. A distribuição ao longo de planos horizontais em diversas profundidades tem a forma de sino.
O lugar geométrico de pontos de igual pressão em qualquer profundidade é uma superfície de revolução, cuja seção vertical, pelo eixo da carga tem o aspecto mostrado na Figura no slide 57.
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Teoria de Boussinesq
É possível traçar-se um número infinito de isóbaras desse tipo, cada qual correspondendo a uma pressão (Δσv‘ = σz = constante). A tensão, em qualquer ponto no interior da massa limitada pela isóbara é maior que σz; qualquer ponto fora da isóbara tem tensão menor que σz.
Para efeitos práticos, considera-se que valores menores que (0,1 p0) não têm efeito na deformabilidade do solo de fundação. E, portanto, a isóbara (Δσ‘v = σz = 0,1 p0) como que limitaria a zona do solo sujeita às deformações. A figura formada por essa isóbara denomina-se bulbo de pressões.
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Teoria de Boussinesq
Bulbo de pressões
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Teoria de Boussinesq
Aplicações práticas do conceito de bulbo de pressões
Pelos resultados experimentais e pelas expressões de Δσ‘v = σz para o caso de áreas carregadas, pode-se depreender que, quanto maiores às dimensões da fundação, maiores serão as tensões a uma dada profundidade, ou, em outras palavras, quanto maiores às dimensões da placa carregada, maior a massa de terra afetada pelo bulbo de pressões.
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Teoria de Boussinesq
Inicialmente, convém que se saiba que o bulbo de pressões atinge uma profundidade Zo=α.B, conforme se mostra na figura do próximo slide, sendo B a largura (menor dimensão) da área carregada e α um fator que depende da forma desta área. 
Valores de α são fornecidos na tabela na mesma figura, calculados pela teoria da elasticidade, para o caso de base à superfície do terreno (no caso de base abaixo da superfície, os valores de α serão menores que os da tabela, deles não diferindo substancialmente, todavia). 
Em solos arenosos os valores da tabela deverão ser acrescidos de aproximadamente 20%.
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Teoria de Boussinesq
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Teoria de Boussinesq
Exemplo: Num terreno típico dos existentes no centro da cidade do Rio de Janeiro, é interessante observar a diferença entre os efeitos de uma pequena construção (4,5 m x 4,5 m) e os de uma construção maior (10 m x 10 m).
O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia, ou seja, praticamente não provocaria recalques sensíveis; o bulbo da grande construção, por outro lado, influenciaria a camada de argila mole (pressão no topo seria 30% de Po), acarretando adensamento e recalques consequentes.
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Teoria de Boussinesq
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Teoria de Boussinesq
Pressão de Contato: São as pressões sob a fundação e sobre o solo.
Sob fundações flexíveis as pressões de contato são uniformes e idênticas às que são transmitidas pelas fundações (a fundação acomoda-se perfeitamente às deformações do solo). Se as pressões são uniformes, os recalques, ao contrário, não são uniformes.
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Teoria de Boussinesq
Verifica-se que os solos coesivos (argilas) recalcam mais no centro da área carregada e menos nas bordas, o que se justifica, tendo-se em vista os valores dos recalques dados pelas expressões da teoria da elasticidade (onde as tensões são maiores no centro da área carregada). Os solos coesivos são os que mais se aproximam dos materiais ideais da teoria da elasticidade (homogêneo, isotrópico e elástico). 
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Teoria de Boussinesq
Para os solos não coesivos (areias), o módulo de elasticidade aumenta com o confinamento e, portanto, cresce da zona das bordas para a zona central da área carregada; daí os recalques serem menores no centro e maiores na bordas. Para fundações flexíveis é usual admitir que a distribuição de pressões se faça proporcionalmente às deformações.
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Teoria de Boussinesq
Sob fundações rígidas indeformáveis em relação ao solo, impondo uma deformação constante ao solo sob a superfície de carga. As pressões de contato, nesta situação, não poderão ser uniformes. Ao comparar-se com o que ocorre sob fundações flexíveis, verifica-se que, parase obter um recalque uniforme, terá que haver uma redistribuição das pressões, com diminuição no centro e aumento nas bordas para solos coesivos e, ao contrário, aumento no centro e diminuição na periferia para solos não coesivos.
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Teoria de Boussinesq
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