MEDIDAS DE DISPERSÃO

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
1
UNIDADE 5
MEDIDAS DE DISPERSÃO
1. VARIABILIDADE
As medidas de dispersão (MD) ou de variabilidade podem ser entendidas como a dife-
rença observada no conjunto de dados a serem analisados. Podemos dizer que, quanto 
maior for esta diferença, maior será a variabilidade ou a dispersão dos dados do grupo 
avaliado. E quanto menor a diferença, menor a dispersão dos dados. Por exemplo: 
poderia ser solicitado a um encarregado de uma empresa um relatório para avaliar o 
desempenho de seus funcionários, ou seja, quais funcionários se mantêm mais cons-
tantes na quantidade de peças produzidas diariamente.
As principais medidas de variabilidade que serão abordadas nesta unidade são ampli-
tude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Da mesma forma como ocorre com as medidas de posição (já estudadas anteriormen-
te), para as medidas de variabilidade ou dispersão, o processo de cálculo para dados 
brutos e dados agrupados (tabela com nível intervalar) apresenta diferenças, por isso 
serão tratados separadamente.
2. AMPLITUDE
A amplitude total é uma medida de dispersão de fácil obtenção e é calculada pela di-
ferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados a ser analisado, ou seja:
max minR x x= −
Onde:
 R → Amplitude.
maxx → valor máximo do conjunto de dados.
min x → valor mínimo do conjunto de dados.
Observe o exemplo a seguir. Encontre a amplitude para o conjunto de dados.
3 5 6 2 5 4
max minR x x= −
6 2 4R R= − → =
U5
2Métodos Quantitativos
Medidas de Dispersão
Pode-se afirmar que a amplitude para este conjunto de dados é 4.
Observação: é importante destacar que, embora a amplitude de um conjunto de 
dados ajude a caracterizar a dispersão observada, esta medida de dispersão não 
utiliza todos os dados do conjunto, apenas os extremos. Dessa forma, se faz 
necessária a utilização de outras medidas para uma caracterização mais precisa.
3. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Para produzir uma descrição mais detalhada da dispersão de um conjunto de dados, 
deve-se fazer uso da variância e do desvio padrão.
I. Dados brutos – não agrupados
Caso se esteja calculando variância e desvio padrão para dados que caracterizem uma 
população, deve-se utilizar as seguintes fórmulas para variância populacional e desvio 
padrão populacional, respectivamente:
( )2
2 1
n
ii
x x
n
σ =
−
= ∑
( )2
1
n
ii
x x
n
σ =
−
= ∑
Onde:
2 σ → variância populacional.
 σ → desvio padrão populacional.
ix → cada elemento do conjunto de dados.
 x → média aritmética do conjunto de dados.
n → número de elementos do conjunto de dados.
Observação: o desvio padrão populacional nada mais é do que a raiz quadrada da 
variância populacional.
Já para dados provenientes de uma amostra, devem-se utilizar as fórmulas a seguir 
para calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral, respectivamente:
( )2
2 1
1
n
ii
x x
s
n
=
−
=
−
∑
( )2
1
1
n
ii
x x
s
n
=
−
=
−
∑
3 Métodos Quantitativos
U5 Medidas de Dispersão
Onde:
2 s → variância populacional.
 s → desvio padrão populacional.
ix → cada elemento do conjunto de dados.
 x → média aritmética do conjunto de dados.
n → número de elementos do conjunto de dados.
Exercício resolvido 1
Os dados a seguir representam as vendas mensais (em milhares de reais) concluídas 
por uma amostra de vendedores de uma rede de varejo. Calcule a variância amostral e 
o desvio padrão amostral para este conjunto de dados.
12,7 10,7 9,8 13,9 14,7 11,5 10,3 9,6
Resolução
Para calcular a variância amostral, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
( )2
2 1
1
n
ii
x x
s
n
=
−
=
−
∑
Primeiramente, necessita-se calcular a média aritmética ( )x para os dados apresentados.
11,65x =
A partir dessa média, para calcular a variância amostral, se fará uso do seguinte quadro, 
composto pelas colunas: 
ix → elementos do conjunto de dados.
ix x− → o desvio de cada elemento em relação à média.
( )2
ix x− → o quadro de cada desvio.
U5
4Métodos Quantitativos
Medidas de Dispersão
ix ix x− ( )2
ix x−
12,7 1,05 1,1025
10,7 -0,95 0,9025
9,8 -1,85 3,4225
13,9 2,25 5,0625
14,7 3,05 9,3025
11,5 -0,15 0,0225
10,3 -1,35 1,8225
9,6 -2,05 4,2025
Necessita-se do somatório da coluna ( )2
ix x− .
( )2
1
25,84
n
i
i
x x
=
− =∑
Substituindo este valor na fórmula da variância amostral, sabendo que 8n = , temos:
2 225,84 25,84 
8 1 7
s s= → =
−
2 3,691s ≅
Observação: para o arredondamento do resultado da variância e desvio padrão, deve-
-se utilizar um algarismo a mais do que a média.
Para calcular o desvio padrão amostral, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
( )2
1
1
n
ii
x x
s
n
=
−
=
−
∑
Como já se sabe, o desvio padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância. 
Dessa forma:
3,691 1,921s = =
Portanto, pode-se concluir que a variância amostral é 3,691 e o desvio padrão é 1,921.
Observação: pode-se utilizar o desvio padrão para comparar a dispersão de dois con-
juntos de dados. Quando maior for o desvio padrão, maior será a dispersão dos dados, 
ou seja, mais “espalhados” estarão os valores.
5 Métodos Quantitativos
U5 Medidas de Dispersão
II. Dados agrupados – tabela de nível intervalar
Para dados agrupados por meio de uma tabela de nível intervalar, calcula-se a variância 
amostral e o desvio padrão amostral utilizando as seguintes fórmulas, respectivamente:
( )2
2 1
.
1
n
ii
m x f
s
n
=
−
=
−
∑
( )2
1
.
1
n
ii
m x f
s
n
=
−
=
−
∑
Onde:
2 s → variância populacional.
 s → desvio padrão populacional.
im → ponto médio de cada classe da tabela com nível intervalar.
f → frequência de cada classe da tabela com nível intervalar.
 x → média aritmética do conjunto de dados.
n → número de elementos do conjunto de dados.
Exercício resolvido 2
A tabela abaixo indica as idades de um grupo de funcionários de uma determinada empresa.
Tabela 01. Idade (em anos) de uma amostra dos funcionários de uma empresa
IDADE (ANOS) FREQUÊNCIA f
18 24 7
24 30 6
30 36 5
36 42 2
Total 20
Fonte: elaborada pelos autores.
U5
6Métodos Quantitativos
Medidas de Dispersão
Resolução
Para iniciar o cálculo da variância, recomenda-se incluir na tabela dos dados uma nova 
coluna destinada aos valores dos pontos médios de cada classe. Para se obter os pon-
tos médios, deve-se calcular a média entre o limite inferior e superior de cada classe.
Dessa forma, teremos a coluna im (pontos médios).
Tabela 02. Incluindo coluna pontos médios
IDADE (ANOS) im FREQUÊNCIA f
18 24 21 7
24 30 27 6
30 36 33 5
36 42 39 2
Total 20
Fonte: elaborada pelos autores.
Para dar continuidade na elaboração da variância amostral, necessita-se do valor da 
média (vide unidade 4, média aritmética para dados agrupados). Assim, se obterá:
27,6x =
De forma análoga ao que foi realizado para a variância para dados brutos, cria-se um 
quadro suporte para este cálculo com as seguintes colunas: desvio de cada ponto mé-
dio em relação à média ( )im x− ; quadrado de cada desvio ( )2
im x− e multiplicação 
de cada quadrado do desvio pela frequência ( )2 .im x f− . O objetivo é utilizar a se-
guinte fórmula:
( )2
2 1
.
1
n
ii
m x f
s
n
=
−
=
−
∑
IDADE (ANOS) im f im x− ( )2
im x− ( )2 .im x f−
18 24 21 7 -6,6 43,6 304,92
24 30 27 6 -0,6 0,4 2,16
30 36 33 5 5,4 29,2 145,8
36 42 39 2 11,4 130,0 259,92
7 Métodos Quantitativos
U5 Medidas de Dispersão
Necessita-se do somatório da coluna ( )2 .im x f−
( )2
1
. 712,8
n
i
i
m x f
=
− =∑
Substituindo os valores na fórmula, teremos:
( )2
2 1
.
1
n
ii
m x f
s
n
=
−
=
−
∑
2 712,8 712,8
20 1 19
s = =
−
2 37,52s ≅
Para calcular o valor do desvio padrão amostral para dados agrupados, deve-se aplicar:
( )2
1
.
1
n
ii
m x f
s
n
=
−
=
−
∑
37,52 6,13s = ≅
Pode-se afirmar que a variância amostral para o conjunto de dados apresentado é 37,52 
e o desvio padrão amostral é 6,13.
Observação: a partir dos valores da média aritmética e dodesvio padrão, pode-se cal-
cular o que se denomina coeficiente de variação, medida que combina as relações de 
posição e dispersão em um único parâmetro (porcentual).
.100sCV
x
=
 ou 
.100CV
x
σ
=
Aplicando no exercício resolvido, teremos:
6,13 .100 22,19%
27,6
CV = ≅
4. SOFTWARE PARA DETERMINAÇÃO DAS MEDIDAS
Para o cálculo do desvio padrão a partir do Microsoft Excel, deve-se utilizar as 
seguintes fórmulas:
=DESVPAD.A(selecione_os_dados)
=DESVPAD.P(selecione_os_dados)
U5
8Métodos Quantitativos
Medidas de Dispersão
O mesmo se dá para desvio padrão amostral e desvio padrão populacional.
Exercício resolvido 3
Uma amostra dos vendedores de uma grande importadora de suprimentos para escri-
tório foi dividida em duas equipes: x e y. Abaixo encontram-se as vendas mensais (em 
milhares de reais) destes vendedores, observadas em jan/2021.
Quadro 01. Vendas (em milhares de reais) das equipes x e y em jan/2021
xi 2868,5 3804,2 3645,5 2021,7 2956,6 3615,4 2467,8 3154,7 2784,1 3904,8 2590,2 2377,6
yi 2543,8 2345,0 2322,5 2321,3 2017,4 2649,3 4903,3 4810,7 2854,0 2415,1 2866,7 1550,8
Fonte: elaborado pelos autores.
Calcule o desvio padrão amostral para cada uma das equipes e aponte qual destas 
possui maior dispersão nas vendas.
Resolução
Para iniciar, deve-se digitar todos os valores da equipe x em uma coluna da planilha e 
todos os valores da equipe y em outra coluna.
Figura 01. Inserindo dados para o cálculo do desvio padrão com o auxílio do Excel
Fonte: elaborada pelos autores, com o auxílio do Excel.
9 Métodos Quantitativos
U5 Medidas de Dispersão
Utilize a seguinte fórmula:
=DESVPAD.A(selecione_os_dados)
Para cada conjunto de dados:
=DESVPAD.A(A2:A13)
=DESVPAD.A(B2:B13)
Obtém-se os seguintes valores:
Figura 02. Cálculo do desvio padrão amostral no Excel
Fonte: elaborada pelos autores, com o auxílio do Excel.
Observa-se que a equipe y possui maior dispersão em relação à equipe x.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nos dados expressos abaixo encontram-se a produtividade (em milhares de unidade/
dia) de duas linhas de produção de uma determinada indústria.
Linha A 4,6 5,1 7,3 5,3 5,4 5,3 2,2 5,3 5,2
Linha B 5,5 5,4 5,3 5,2 2,1 2,3 5,4 5,5 5,6
Calcule a amplitude para as duas linhas de produção.
Exercício 1.
U5
10Métodos Quantitativos
Medidas de Dispersão
A partir dos dados fornecidos pelo exercício 1, calcule a variância amostral e o desvio 
padrão amostral. Utilizando os valores calculados, aponte qual das linhas de produção 
possui a maior dispersão.
Exercício 2.
Em uma prova foi coletada uma amostra de 35 notas, as quais encontram-se represen-
tadas na tabela a seguir.
Tabela 05. Notas de uma amostra de provas
NOTAS f ( )%Fr fa ( )%Fra
3,1 4,2 2 5,7 2 5,7
4,2 5,3 4 11,4 6 17,1
5,3 6,4 5 14,3 11 31,4
6,4 7,5 10 28,6 21 60,0
7,5 8,6 11 31,4 32 91,4
8,6 9,7 3 8,6 35 100,0
Total 35 100,0 
Fonte: elaborado pelos autores.
Calcule o desvio padrão amostral para estes dados.
Exercício 3.
EDUCANDO PARA A PAZ