Tudo pra prova de matematica

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Elementos de Matemática
Aula 6
Abrão Caro
Objetivos da aula
2
Após esta aula espera-se que o aluno saiba:
⚫ Resolver inequações de 1º grau.
⚫ Resolver problemas aplicados com estes temas.
Leitura sugerida
⚫ Capítulo 2.5
A
u
la
 6
 |
In
eq
u
aç
õ
es
 d
o
 1
º.
 g
ra
u
⚫ Capítulo 1.5
1) Determine os números naturais de modo que 4 +
2x > 12
Faça você
3
1) Determine os números naturais de modo que 4 +
2x > 12
Faça você
}4x|Nx{=S
>x
8>x
12x24

+
4
2
... 1 2 3 4 5 6 ...
Teste sua resposta! 
Escolha um valor de x 
do conjunto S e 
verifique se ele
satisfaz a inequação
inicial. 
4
2) Determine os números inteiros de modo que
4 + 2x  5x + 13
Faça você
5
2) Determine os números inteiros de modo que
4 + 2x  5x + 13
Faça você
}3x|Zx{=S
3x
9x3
)1(9x3)1(
13x5x24
−
−
−
−−−
++
... -6 -5 -4 -3 -2 -1 ...
Teste sua resposta! 
Escolha um valor de x 
do conjunto S e 
verifique se ele
satisfaz a inequação
inicial. 
6
3) Considere estas desigualdades
Faça você:
7






+−
+

1
4
6x
3
5x7
2
x5
A quantidade de números inteiros x que satisfaz
simultaneamente às duas desigualdades é:
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 7
3) Considere estas desigualdades
Faça você:
8






+−
+

1
4
6x
3
5x7
2
x5
Faça você:
9
4) Qual é o maior número inteiro que satisfaz a desigualdade
abaixo?
4
3
x
2
1x
+
−
Faça você:
10
4) Qual é o maior número inteiro que satisfaz a desigualdade
abaixo?
Solução: O maior inteiro que satisfaz a desigualdade é 5 
4,5x
5
27x
324x5
243x5
24x23x3
24x2)1x(3
6.4
3
x
6
2
1x
6


+
−
+−
+−
+
−
Faça você:
5) Suponha que, para realizar traduções de textos egípcios para
um museu brasileiro, um tradutor X cobre um valor fixo de R$
440,00, acrescidos de R$ 3,20 por linha traduzida. Por outro
lado, um tradutor Y, para executar o mesmo trabalho, cobra um
fixo de R$800,00, mais R$ 2,30 por linha traduzida. Nessas
condições, o número que corresponde à quantidade mínima de
linhas a serem traduzidas de modo que o custo seja menor se
for realizado pelo tradutor Y é
a) um quadrado perfeito.
b) divisível por 5.
c) um número ímpar.
d) divisível por 3.
11
Faça você:
5)
12
Elementos de Matemática
Aula 8
Abrão Caro
Função linear
Um múltiplo de x Um múltiplo de y + = Um número
1yx2 =+−
1x2y +=
bax)x(fy +==
Equação de reta:
Coeficiente 
linear
Coeficiente 
angular
2
y
x
P1 (x1, y1)
P2 (x2, y2)
Sejam P1 (x1, y1) e P1 (x2, y2) pontos de uma reta não 
vertical. Seu coeficiente angular é:
12
12
xx
yy
x
y
horizontaliaçãovar
verticaliaçãovar
a
−
−
=


==
x
y
Coeficiente Angular
4) O gráfico representa a função real definida por f(x)=ax+b. Qual 
o valor de a+b?
4
Faça você:
12
12
xx
yy
x
y
a
baxy
−
−
=


=
+=
7) O valor de um equipamento hoje é R$ 4.000,00 e
daqui a 8 anos será R$ 400,00. Admitindo depreciação
linear, responda:
a) Escreva a função depreciação. Esboce o gráfico.
b) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?
Faça você:
5
Uma propriedade comercial foi adquirida por $122.880 
e depreciada por um período de 10 anos. 
O seu valor y está relacionado ao número de meses de 
serviço x por meio da equação 
4096x + 4y = 491.250
Encontre as intersecções com os eixos x e y e use-os 
para esboçar o gráfico da equação. 
Faça você:
6
7) a) Escreva a função depreciação. Esboce o gráfico.
Faça você:
7
000.4x450V
4000b
450a
8
3600
a
08
4000400
a
+−=
=
−=
−
=
−
−
=
7) b) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?
Faça você:
8
650.2V
000.43.450V
000.4x450V
=
+−=
+−=
Resposta: O valor do equipamento é R$2.650,00
Elementos de Matemática
Aula 9
Abrão Caro
Objetivos da aula
2
Após esta aula espera-se que o aluno saiba:
⚫ Aplicações sobre funções (custo, receita, lucro, demanda, 
oferta)
Leitura sugerida
Capítulo 0 (introdução)
A
u
la
 9
 |
A
p
lic
aç
õ
es
 d
e
 f
u
n
çõ
es
Capítulo 1
Capítulo 3
Faça você
1) Dada a tabela do custo para a produção de camisetas abaixo,
escreva a função custo e esboce o gráfico.
VariávelFixototal CC)q(C +=
Função custo
1) Tabela do custo para a produção de camisetas.
a 
q2100)q(C total +=
VariávelFixototal CC)q(C +=
Função custo
1) q2100)q(C total +=
0
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60 80 100 120
C
u
st
o
 (
R
$
)
quantidade (q)
2) Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de
R$9800,00 e um custo variável por panela de R$45,00. Cada
panela é vendida por R$65,00. Esboce o gráfico da função custo,
receita e lucro em um mesmo plano cartesiano.
Faça você:
6
2)
Faça você:
7
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
0 200 400 600 800 1000 1200
R
e
ce
it
a/
C
u
st
o
/L
u
cr
o
 (
R
$
)
quantidade (q)
RECEITA
LUCRO
CUSTO 
3) Dado o gráfico do break even point (BEP), em que no eixo das
ordenadas (y) temos as funções Receita total (Rt), custo total
(Ct) e lucro total (Lt) de uma empresa no eixo das abscissas
temos a quantidade (x), responda:
a) Escreva a função receita total.
b) Qual a receita para uma produção de 5.000 unidades?
Faça você:
8
3)
Faça você:
9x5,0)x(R
)origem(0b
5,0a
800
400
a
)0,0()y,x(
)40,80()y,x(
xx
yy
x
y
pa
baxy
t
22
11
12
12
=
=
=
−
−
=
=
=
−
−
=


==
+=
2500)5000(R
2500)5000(R
x5,0)x(R
t
t
t
=
=
=
10
Ponto de nivelamento (break-even point)
0)x(L)x(C)x(R*xxSe
0)x(L)x(C)x(R*xxSe

 Lucro positivo
Lucro negativo 
ou 
prejuízo
4) Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de
motores automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00
inclui conta de energia elétrica, de água, impostos,
salários e etc. Existe também um custo variável que
depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a
unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada
pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00. Calcule
o valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e
quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para
que se tenha lucro. Esboce o gráfico do break-even point
(ponto de nivelamento).
Faça você:
11
4) Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores
automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de
energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um
custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos,
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão
no mercado seja equivalente a R$ 120,00. Calcule o valor do lucro
líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo,
precisam ser vendidas para que se tenha lucro. Esboce o gráfico do
break-even point (ponto de nivelamento).
Faça você:
Resposta: Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(x)= 79 x – 950
L(1000) = 79.(1000) – 950
L(1000) = 79.000 – 950 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00. 12
4) Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores
automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia
elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um custo
variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a
unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado
seja equivalente a R$ 120,00. Calcule o valor do lucro líquido na venda de
1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que
se tenha lucro. Esboce o gráfico do break-even point (ponto de
nivelamento).
Faça você:
Resposta: Para que se tenha lucro → receita > custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 12 
Para se ter Lucro é preciso 
vender acima de 12 peças. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5 10 15 20 25 30 35
Lu
cr
o
 (
R
$
)
quantidade (x)
13
5) O custo variável médio (custo unitário) de produção de certo
bem é de R$ 12,00, e o custo fixo associado à produção é de R$
60,00 para quantidades variáveis na faixa de 0 a 100 unidades.
Se o preço de venda, na mesma faixa, é de R$correspondente.
a) Faça as duas representações gráficas possíveis 
(Sxp) e (pxS)
Solução:
13
4) O número de sorvetes (x) demandados por semana 
em uma sorveteria relaciona-se com o preço unitário (p). 
Suponhamos que, se o preço do sorvete for R$2,10, a 
quantidade ofertada será 350 por semana e, se o preço 
for R$2,40, a quantidade ofertada será 1400. Escreva a 
função oferta e faça a representação gráfica.
 
Faça você
14
4) O número de sorvetes (x) demandados por semana 
em uma sorveteria relaciona-se com o preço unitário (p). 
Suponhamos que, se o preço do sorvete for R$2,10, a 
quantidade ofertada será 350 por semana e, se o preço 
for R$2,40, a quantidade ofertada será 1400. Escreva a 
função oferta e faça a representação gráfica.
Solução:
 Coeficiente Angular: Função oferta:
3500
1
3501400
1,24,2
x
y
m =
−
−
=


=
2x
3500
1
p
)350x(
3500
1
1,2p
+=
−=−
Faça você
15
Função oferta: 2x
3500
1
p +=
Faça você:
4)
16
Preço e quantidade de equilíbrio
O preço de equilíbrio de mercado (PE) para dada 
utilidade é o preço para o qual a demanda e a oferta 
de mercado desta utilidade coincidem. 
A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio 
é denominada quantidade de equilíbrio de mercado 
da utilidade (QE) 
17
Preço e quantidade de equilíbrio
5) Dadas as demandas e a oferta de mercado, com 
p20, determinar o preço de equilíbrio (PE) e a 
correspondente quantidade de equilíbrio (QE). Faça 
a representação gráfica.
18
Preço e quantidade de equilíbrio
5) Dadas as demandas e a oferta de mercado, com 
p20, determinar o preço de equilíbrio (PE) e a 
correspondente quantidade de equilíbrio (QE). Faça 
a representação gráfica.
Solução: p20D −= p
3
5
3
20
S +−=
19
Preço e quantidade de equilíbrio
5) Dadas as demandas e a oferta de mercado, com 
p20, determinar o preço de equilíbrio (PE) e a 
correspondente quantidade de equilíbrio (QE). Faça 
a representação gráfica (Dxp).
Solução: p20D −= p
3
5
3
20
S +−=
10p
p880
p3p52060
p520p360
p
3
5.3
3
20.3
p.320.3
3mmcp
3
5
3
20
p20
SD
=
=
+=+
+−=−
+−=−
=→+−=−
=
10D
1020D
10p
p20D
=
−=
=
−=
20
6) Consideremos a função de demanda por sorvetes 
 e a função de oferta por sorvetes
x002,010p −=
2x
3500
1
p +=
Qual o preço e a quantidade de equilíbrio? Esboce o 
gráfico do preço em função de x.
Faça você:
21
6) Consideremos a função de demanda por sorvetes 
 e a função de oferta por sorvetes
x002,010p −=
2x
3500
1
p +=
Qual o preço e a quantidade de equilíbrio? Esboce o 
gráfico do preço em função de x.
Faça você:
22
Faça você:
6) Consideremos a função de demanda por sorvetes 
 e a função de oferta por sorvetes
x002,010p −=
2x
3500
1
p +=
Qual o preço e a quantidade de equilíbrio? Esboce o 
gráfico do preço em função de x.
3500x
28000x8
x7350007000x
x002,0102x
3500
1
=
=
−=+
−=+
3p
32)3500(
3500
1
p
=
=+=
23
Faça você
7) As funções de demanda e oferta de um produto são 
dadas por:
Demanda: Oferta:
a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?
b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto 
de R$3,00 por unidade vendida, qual o novo ponto de 
equilíbrio?
x5,0100p −= x5,010p +=
24
Oferta = demanda
90x
x5,0x5,010100
x5,010x5,0100
=
+=−
+=−
55p
90.5,0100p
x5,0100p
=
−=
−=
7) As funções de demanda e oferta de um produto são 
dadas por:
Demanda: Oferta:
a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?
x5,0100p −= x5,010p +=
Faça você
25
Faça você
O custo de produção aumentará R$3,00 por unidade.
Nova curva de oferta:
x5,013p
3x5,010p
+=
++=
7) As funções de demanda e oferta de um produto são 
dadas por:
Demanda: Oferta:
b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto 
de R$3,00 por unidade vendida, qual o novo ponto de 
equilíbrio?
x5,0100p −= x5,010p +=
26
Faça você
7) Para encontrar o novo ponto de equilíbrio 
igualamos a curva de demanda com a nova curva de 
oferta e achamos x:
87x
x5,0x5,013100
x5,013x5,0100
=
+=−
+=−
27
Faça você
b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um 
imposto de R$3,00 por unidade vendida, qual o novo 
ponto de equilíbrio? x=87
50,56p
87.5,0100p
x5,0100p
=
−=
−=
28
Elementos de Matemática
Aula 11
Abrão Caro
Objetivos da aula
2
Após esta aula espera-se que o aluno saiba:
⚫ Resolver equações do 2º grau.
⚫ Resolver problemas aplicados com estes temas.
Leitura sugerida
⚫ Capítulo 2.3
A
u
la
 1
1
 |
Fu
n
çõ
es
 Q
u
ad
rá
ti
ca
s
⚫ Capítulo 1.3.3
-Se  > 0 , a equação terá duas raízes reais distintas;
-Se  = 0 , a equação terá duas raízes reais iguais;
-Se Faça você
5) Dadas a função de demanda p=10-x e a função custo
C=20+x.
a) Obtenha a função receita e faço o gráfico.
2xx10R
x)x10(R
xpR
−=
−=
=
Funções receita e lucro quadráticas
5) A função de demanda de um produto é
p=10-x, e a função custo é C=20+x.
b) Qual o preço que maximiza a Receita?
O valor x que maximiza R é x=5. Logo, o preço é
dado pela função de demanda p=10-5=5.
5
)1.(2
10
a2
b
x v =
−
−
=
−
=
Funções receita e lucro quadráticas
5) A função de demanda de um produto é
p=10-x, e a função custo é C=20+x.
c) Qual a função lucro e o preço que a maximiza?
20x9xL
x20xx10L
)x20(xx10L
CRL
2
2
2
−+−=
−−−=
+−−=
−=
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6
L
x
Funções receita e lucro quadráticas
5) A função de demanda de um produto é
p=10-x, e a função custo é C=20+x.
c) Qual a função lucro e o preço que a maximiza?
O valor que maximiza o 
lucro é x=4,5, com 
preço p=10-4,5=5,5.
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6
5,4
)1.(2
9
a2
b
x v =
−
−
=
−
=
L
x
Faça você
6) Se os custos fixos são 4, os custos variáveis por
unidade são 1 e a função demanda é p=10-2q,
obtenha:
a) A função receita. Esboce o gráfico.
b) Os valores de Q para os quais a empresa alcança o
ponto de equilíbrio. Esboce o ponto de equilíbrio no
gráfico do item anterior.
Faça você
6) Se os custos fixos são 4, os custos variáveis por
unidade são 1 e a função demanda é p=10-2q,
obtenha:
a) A função receita. Esboce o gráfico.
2q2q10)q(R
q)q210()q(R
q.p)q(R
−=
−=
=
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6
R
e
ce
it
a 
(R
$
)
quantidade (q)
Receita quadrática
5q
0q
0q)q210(
0R
=
=
=−
=
Faça você
Se os custos fixos são 4, os custos variáveis por unidade
são 1 e a função demanda é p=10-2q, obtenha:
b) Os valores de Q para os quais a empresa alcança o
ponto de equilíbrio. Esboce o ponto de equilíbrio no
gráfico do item anterior.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6
R
e
ce
it
a/
C
u
st
o
 (
R
$
)
quantidade
Ponto de equilíbrio
Receita
Custo
4qC
Cq.CC FixoVariável
+=
+=
4q
5,0q
04q9q2
4qq2q10
CR
2
2
=
=
=−+−
+=−
=
Faça você
7) Se os custos fixos são 4, os custos variáveis por
unidade são 1 e a função demanda é p=10-2q,
obtenha o lucro máximo. Esboce o gráfico.
Faça você
7) Se os custos fixos são 4, os custos variáveis por
unidade são 1 e a função demanda é p=10-2q,
obtenha o lucro máximo. Esboce o gráfico.
4q
5,0q
4q9q2)q(L
)q4(q2q10)q(L
CRL
2
2
=
=
−+−=
+−−=
−=
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5
Lu
cr
o
 (
R
$
)
quantidade (q)
Lucro quadrático
Faça você
27
8) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça
ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x
reais, este fabricante venderá por mês (600 – x)
unidades, em que 0  x  600. Assinale a alternativa
que representa o número de unidades vendidas
mensalmente que corresponde ao lucro máximo.
Esboce o gráfico da função lucro.
a) 250. 
b) 350. 
c) 150. 
d) 450. 
e) 550
Faça você
28
8)
Faça você
29
8)
0
2500
5000
7500
10000
12500
15000
17500
20000
22500
25000
0 100 200 300 400 500 600 700
Lu
cr
o
 (
R
$
)
quantidade
Faça você:
30
9) A equação de demanda de um bem é dada por
, onde p é o preço e x a quantidade. Sendo o custo
associado
Pede-se:
a) A função Lucro e o gráfico.
b) A quantidade vendida que maximiza o lucro.
3
p12
x
−
=
( ) 6x3xC +=
Faça você:
31
9) a) A função Lucro e o gráfico.
Faça você:
32
9)b) A quantidade vendida que maximiza o lucro.
Matemática1 – Inequações do 1º. Grau. 
__________________________________________________________________________________________________________________________ 
Profa. Carla da Costa Guimarães 1 
PARA APRIMORAR: 
 LISTA DE EXERCÍCIO 6 
 
LEITURA SUGERIDA 
1. Capítulo 1.5. MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. A. Introdução ao Cálculo para 
Administração, economia e contabilidade, Saraiva, 2003. 
2. Capítulo 2.5. HAZZAN, S.; BUSSAB, W.; MORETTIN, P. A. Cálculo Funções de Uma e de 
Várias Variáveis, Saraiva, 2003. 
 
Exercício 1: 
Qual a soma do menor inteiro que satisfaz (I) com o maior inteiro que satisfaz (II)? 
I. 
0
3
4x
2
3x

+
+
+
 
II. 
)1t2(t
2
t
2
1t4 2
−−
−
 
 
 
 
 
Exercício 2: 
Qual é o menor número inteiro que satisfaz a desigualdade abaixo? 
4
3
x
2
1x
+
−
 
 
Exercício 3: 
Quatro unidades do produto A, com “peso” de 1kg, custam 480 reais. Sete unidades do produto B, 
“pesando”1 kg, custam 300 reais. Sabendo-se que 10 unidades do produto A e x unidades do produto B, 
juntas, “pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 2.000 reais, então o número x é 
A) primo. B) divisível por 7. C) divisível por 5. D) múltiplo de 6. E) múltiplo de 4. 
 
Exercício 4: 
No Brasil, as leis de trânsito consideram dirigir em estado de embriaguez quando o nível de álcool no 
sangue for igual ou superior a 0,2 g por litro. Considere que N dá o “nível de álcool no sangue” (em 
gramas por litro) em função do peso p de uma pessoa (em quilogramas), depois de ela ter ingerido um 
copo de cerveja. Sabe-se que: 
I. Num copo de cerveja existem 10 g de álcool. 
II. N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no copo de cerveja e o volume (em litros) 
do fluido orgânico da pessoa. 
III. O volume do fluido orgânico de cada pessoa é numericamente igual a 70% do seu peso total p (em 
quilogramas). 
Elementos de Matemática – Inequações do 1º. Grau. 
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Prof. Abrão Caro 2 
Nas condições do enunciado, quem não deve dirigir depois de beber um copo de cerveja? 
a) Pessoas que pesam menos de 71,4 kg. 
b) Pessoas que pesam mais de 71,4 kg. 
c) Somente pessoas que pesam 71,4 kg. 
d) Somente pessoas que pesam entre 71 e 81 kg. 
e) Pessoas de qualquer peso podem dirigir após beber um copo de cerveja, pois o nível de álcool no 
sangue não atinge 0,2 g por litro. 
 
Exercício 5: 
Nos campeonatos de futebol, uma vitória vale três (3) pontos e um empate vale um (1) ponto. O 
aproveitamento de um time no campeonato é calculado pela porcentagem entre o número de pontos 
conquistados em relação ao máximo do número de pontos disputados. Num determinado momento de 
certo campeonato de futebol o time A havia conseguido uma vitória e ainda não havia perdido. Sabendo 
que esse desempenho conferiu ao time A um aproveitamento superior a 40%, calcule o número máximo 
de empates que ele pode ter conseguido até então. 
 
Exercício 6: 
Em um cofre existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos, num total de 60 unidades. Se a 
quantia T (em reais) existem no cofre e tal que R$24,00no mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções: 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 3x 
d) y = 4x 
e) y = 5x 
250.491y4x4096 =+
Elementos de Matemática – Representações gráficas. Equação de reta. 
 
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Exercício 4 
Uma empresa investe R$ 1800 em equipamentos. O contador da empresa usa o método da linha reta 
para a depreciação em 10 anos, que é a estimativa de vida do equipamento, isto é, o valor contábil do 
equipamento decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos aquele valor contábil 
será zero. Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao fim de x anos. Determine a 
equação de reta para a depreciação. 
 
Exercício 5 
Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2) 
 
Exercício 6 
Leia o texto a seguir. 
 
Sabedoria Egípcia 
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos 
raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas 
sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de 
chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam 
com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. 
Elementos de Matemática – Representações gráficas. Equação de reta. 
 
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Prof. Abrão Caro 3 
 
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto acima, utilizando uma vareta OA de 2 
metros de comprimento. No início da estação do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, 
encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, 
no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de 
reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pode, assim, 
escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: 
 
a) y = 8 – 4x b) x = 6 – 3y c) x = 8 – 4y d) y = 6 – 3x e) y = 2 – 3x 
 
Exercício 7 
Escolha quais dos pontos a seguir se encontram na reta 6y2x5 =− 
A(0,-3) , B(2,2), C(-10,-28) e D(4,8) 
Sugestão de resolução: Substitua as coordenadas (x,y) para cada ponto e verifique se a igualdade é 
verdadeira. 
 
Exercício 8 
Trace a reta 11y3x4 =+ 
Sugestão de resolução: Isole o y. Escolha valores para x e substitua na expressão de y. Faça para x 
positivos e negativos. 
 
Exercício 9 
Encontre as coordenadas dos pontos onde a reta 2y2x =− intercepta com os eixos. Em seguida trace 
seu gráfico. 
 
Elementos de Matemática – Funções: Aplicações em Receita, Custo e Lucro 
 
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Prof. Abrão Caro 
PARA APRIMORAR 
LISTA DE EXERCÍCIO 9 
 
Outros exercícios podem ser encontrados na leitura sugerida abaixo. 
LEITURA SUGERIDA 
1. Capítulo 2. MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. A. Introdução ao Cálculo para 
Administração, economia e contabilidade, Saraiva, 2003. 
2. Capítulo 3. HAZZAN, S.; BUSSAB, W.;MORETTIN, P. A. Cálculo Funções de Uma e de Várias 
Variáveis, Saraiva, 2003 
3. Capítulo 1. IAN JACQUES. Matemática para economia e administração, Pearson, 2011 
 
 
 
Exercício 1 
Considere a função receita total dada por RT = 3.q, onde 0 ≤ q ≤ 6. Represente graficamente essa 
situação. 
Exercício 2 
Considere a função RT = 13,5q, onde o preço é fixo (R$ 13,50) e “q” é a quantidade de produtos vendidos 
(0≤ q ≤ 256 unidades). Qual é o valor recebido pela metade dos produtos vendidos? 
 
Exercício 3 
Considere a função RT = 20,5.q, onde o preço é fixo (R$ 20,50) e “q” é a quantidade de produtos 
vendidos (0 ≤ q ≤ 120 unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a receita total 
atinge o valor de R$ 1.025,00? 
 
Exercício 4 
Sabendo que a função custo total CT = 1200 + 8.q está associada à produção de um determinado bem, 
determine o custo total referente à produção de 230 unidades. 
 
Exercício 5 
Sabe-se que a função custo total CT = 2000 + 25.q está associada à produção de um determinado 
bem. Qual será a produção necessária para se ter um custo total de R$ 5.000,00? 
 
Exercício 6 
Marcos fabrica determinado produto com um custo fixo de R$ 3,00 e um custo variável de R$ 0,60. 
Sabendo-se que esse produto é vendido a R$ 0,80 a unidade, Marcos precisa vender, pelo menos, “q” 
unidades do produto para não ter prejuízo. Qual é o valor de “q”? 
 
Exercício 7 
Considere as funções RT = 3.q e CT = 6 + q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada utilidade. Qual 
a função lucro total? 
 
Exercício 8 
Considere as funções RT = 3,5.q e CT = 10 + 1,5.q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada utilidade. 
Qual o ponto de nivelamento? 
Elementos de Matemática – Funções: Aplicações em Receita, Custo e Lucro 
 
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Prof. Abrão Caro 
 
Elementos de Matemática – Funções: Aplicações em Receita, Custo e Lucro 
 
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Prof. Abrão Caro 
GABARITO 
 
Exercício 1 
RT = 3q, onde 0 ≤ q ≤ 6. 
 
 
Exercício 2 
 
Portanto, o valor recebido pela metade dos produtos vendidos é de R$ 1.728,00. 
 
Exercício 3 
 
Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas cinquenta unidades do produto. 
 
Exercício 4 
Produção de 230 unidades (q = 230): 
 
Portanto, o custo total referente à produção de 230 unidades do referido bem será de R$ 3.040,00. 
 
Exercício 5 
Custo total de R$ 5.000,00 (CT = R$ 5.000,00): 
Elementos de Matemática – Funções: Aplicações em Receita, Custo e Lucro 
 
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Prof. Abrão Caro 
 
Portanto, a produção necessária para se ter um custo total de R$ 5.000,00 é de 120 unidades do determinado 
bem. 
 
Exercício 6 
Por meio das informações do problema, vamos construir as funções CT e RT: 
CT = 3 + 0,60.q (valor “gasto” pela produção de “q” unidades de determinada utilidade). 
RT = 0,80.q (valor “recebido” pela venda de “q” unidades de determinada utilidade). 
Para não ter prejuízo, pode-se afirmar que: LT ≥ 0. 
Nesse caso, a função lucro total é: LT = RT – CT 
 
Para LT ≥ 0, temos q ≥ 15 unidades. 
Portanto, para não ter prejuízo, Marcos precisa vender pelo menos 15 unidades do produto. O valor de “q” é 
de 15 unidades. 
 
Exercício 7 
A função lucro total é construída da seguinte maneira: 
 
Portanto, nesse caso, a função lucro total pode ser escrita como LT = 2.q – 6. 
 
Exercício 8 
Elementos de Matemática – Funções: Aplicações em Receita, Custo e Lucro 
 
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Prof. Abrão Caro 
 
Portanto, para cinco unidades (qe) de produtos produzidos e vendidos, não teremos lucro nem 
prejuízo (LT = 0). 
Elementos de Matemática – Demanda e Oferta – Intersecção entre retas 
 
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Prof. Abrão Caro 1 
PARA APRIMORAR 
LISTA DE EXERCÍCIO 10 
 
Outros exercícios podem ser encontrados na leitura sugerida abaixo. 
 
LEITURA SUGERIDA 
1. Capítulo 2. MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. A. Introdução ao Cálculo para Administração, 
economia e contabilidade, Saraiva, 2003. 
2. Capítulo 3. HAZZAN, S.; BUSSAB, W.;MORETTIN, P. A. Cálculo Funções de Uma e de Várias 
Variáveis, Saraiva, 2003 
3. Capítulo 1. IAN JACQUES. Matemáticapara economia e administração, Pearson, 2011 
 
Exercício 1 
Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p=10+0,2Q. Se a 
função de demanda diária por esses bolos for p=30-1,8Q, onde p é o preço e Q a quantidade. Determine: 
a) Encontre o ponto de equilíbrio (quantidade e preço) do mercado. 
b) Esboce o gráfico. 
Exercício 2 
Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: D = 20 – P e 
S = –10 + 2P, com P ≤ R$ 20,00. 
Exercício 3 
Dadas as demandas e a oferta de mercado, com p20, determinar o preço de equilíbrio (PE) e a 
correspondente quantidade de equilíbrio (QE). Faça a representação gráfica. 
p20D −=
 
p
3
5
3
20
S +−=
 
 
Exercício 4 - Intersecção de duas retas 
Uma pessoa tem $200.000 investidos, sendo uma parte a 9% e outra a 8%. Se o rendimento anual total 
dos dois investimentos é $17.200, quanto está investido a 9% e quanto a 8%? Esboce o gráfico. 
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	Slide 28para economia e administração, Pearson, 2011 
 
Exercício 1 
Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p=10+0,2Q. Se a 
função de demanda diária por esses bolos for p=30-1,8Q, onde p é o preço e Q a quantidade. Determine: 
a) Encontre o ponto de equilíbrio (quantidade e preço) do mercado. 
b) Esboce o gráfico. 
Exercício 2 
Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: D = 20 – P e 
S = –10 + 2P, com P ≤ R$ 20,00. 
Exercício 3 
Dadas as demandas e a oferta de mercado, com p20, determinar o preço de equilíbrio (PE) e a 
correspondente quantidade de equilíbrio (QE). Faça a representação gráfica. 
p20D −=
 
p
3
5
3
20
S +−=
 
 
Exercício 4 - Intersecção de duas retas 
Uma pessoa tem $200.000 investidos, sendo uma parte a 9% e outra a 8%. Se o rendimento anual total 
dos dois investimentos é $17.200, quanto está investido a 9% e quanto a 8%? Esboce o gráfico. 
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