Cálculo Diferencial e Integral

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Cálculo Diferencial e Integral 1
Prof. Alisson C. Reinol
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UTFPR - Campus Apucarana
Departamento Acadêmico de Matemática
Prof. Alisson – UTFPR-AP2
Conteúdos
- Introdução
- Definição de derivada
- A função derivada
- Derivadas de funções elementares
- Regras de derivação
- Derivadas de funções trigonométricas
Prof. Alisson – UTFPR-AP3
Introdução
Coeficiente angular da reta
- Dada uma reta de equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (função linear), o número 𝑚 é
chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta.
𝑥
𝑦
𝜃
𝜃: ângulo de inclinação da reta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Podemos mostrar que
𝑚 = tg 𝜃
Prof. Alisson – UTFPR-AP4
Introdução
Coeficiente angular da reta
- Dada uma reta de equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (função linear), o número 𝑚 é
chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta.
𝑥
𝑦
𝑃, 𝑄: pontos da reta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Podemos mostrar que
𝑚 = tg 𝜃
ou
Dados dois pontos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) e
𝑄(𝑥2, 𝑦2) desta reta, temos que:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃
𝑥1 𝑥2
𝑦1
𝑦2
𝑄
Prof. Alisson – UTFPR-AP5
- Dado um ponto P(𝑥0, 𝑦0) no plano, a equação da reta 𝒓 que passa por
P(𝑥0, 𝑦0) e tem inclinação 𝑚 é dada por:
𝑥
𝑦
𝑃
𝑥0
𝑦0 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
Prof. Alisson – UTFPR-AP6
O problema da reta tangente
- Dada uma curva no plano, um dos problemas que motivou o estudo do
Cálculo Diferencial foi a determinação da equação da reta tangente a essa
curva num ponto 𝑃.
𝑥
𝑦
𝑃
Prof. Alisson – UTFPR-AP7
O problema da reta tangente
- Dada uma curva no plano, um dos problemas que motivou o estudo do
Cálculo Diferencial foi a determinação da equação da reta tangente a essa
curva num ponto 𝑃.
𝑥
𝑦
𝑃 Problema: Determinar a equação
da reta 𝑡.
𝑡
Prof. Alisson – UTFPR-AP8
Para resolver este problema, adotamos a seguinte estratégia:
Prof. Alisson – UTFPR-AP9
Para resolver este problema, adotamos a seguinte estratégia:
- consideramos a curva como sendo o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) e o ponto
𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 ;
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Prof. Alisson – UTFPR-AP10
Para resolver este problema, adotamos a seguinte estratégia:
- consideramos a curva como sendo o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) e o ponto
𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 ;
- seja 𝑄(𝑥, 𝑓 𝑥 ) um ponto próximo de 𝑃, com 𝑥 ≠ 𝑎;
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Prof. Alisson – UTFPR-AP11
Para resolver este problema, adotamos a seguinte estratégia:
- consideramos a curva como sendo o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) e o ponto
𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎 ;
- seja 𝑄(𝑥, 𝑓 𝑥 ) um ponto próximo de 𝑃, com 𝑥 ≠ 𝑎;
- a inclinação da reta secante 𝑃𝑄 é dada por:
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑠
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑚𝑠 =
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Prof. Alisson – UTFPR-AP12
- fazemos 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo do gráfico de 𝑓, o que obriga 𝑥 a
tender a 𝑎.
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
Prof. Alisson – UTFPR-AP13
- fazemos 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo do gráfico de 𝑓, o que obriga 𝑥 a
tender a 𝑎.
- quando fazemos 𝑥 → 𝑎, as retas secantes vão se aproximando da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃.
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
Prof. Alisson – UTFPR-AP14
- fazemos 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo do gráfico de 𝑓, o que obriga 𝑥 a
tender a 𝑎.
- quando fazemos 𝑥 → 𝑎, as retas secantes vão se aproximando da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃.
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
Prof. Alisson – UTFPR-AP15
- fazemos 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo do gráfico de 𝑓, o que obriga 𝑥 a
tender a 𝑎.
- quando fazemos 𝑥 → 𝑎, as retas secantes vão se aproximando da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃.
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
Prof. Alisson – UTFPR-AP16
- fazemos 𝑄 aproximar-se de 𝑃 ao longo do gráfico de 𝑓, o que obriga 𝑥 a
tender a 𝑎.
- quando fazemos 𝑥 → 𝑎, as retas secantes vão se aproximando da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃.
No limite, obtemos exatamente o
coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto
𝑃, ou seja,
𝑚𝑡: inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑓 no ponto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)).
𝑚𝑡 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
𝑃
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑡
𝑄
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑦
Prof. Alisson – UTFPR-AP17
Velocidade instantânea
- Suponha que um objeto se mova sobre uma reta com a equação 𝑠 = 𝑓(𝑡),
onde 𝑠 é a posição e 𝑡 o instante.
Prof. Alisson – UTFPR-AP18
Velocidade instantânea
- Suponha que um objeto se mova sobre uma reta com a equação 𝑠 = 𝑓(𝑡),
onde 𝑠 é a posição e 𝑡 o instante.
- No intervalo de tempo 𝑡 = 𝑎 e 𝑡 = 𝑎 + ℎ, a variação de posição será
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎). Definimos velocidade média neste intervalo de tempo
como sendo o quociente:
velocidade média =
deslocamento
intervalo de tempo
=
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
Prof. Alisson – UTFPR-AP19
- A velocidade média descreve o comportamento do objeto em um intervalo
de tempo.
Prof. Alisson – UTFPR-AP20
- A velocidade média descreve o comportamento do objeto em um intervalo
de tempo.
- Suponha, agora, que estivéssemos interessados na velocidade do objeto em
um instante de tempo específico.
Prof. Alisson – UTFPR-AP21
- A velocidade média descreve o comportamento do objeto em um intervalo
de tempo.
- Suponha, agora, que estivéssemos interessados na velocidade do objeto em
um instante de tempo específico.
- Neste caso, não seria possível utilizar diretamente a fórmula da velocidade
média, pois o intervalo de tempo seria zero, o que tornaria a equação
indefinida.
Prof. Alisson – UTFPR-AP22
- Uma maneira de contornar esse problema é calcular as velocidades médias
para intervalos de tempo pequenos entre 𝑡 = 𝑎 e 𝑡 = 𝑎 + ℎ
𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑎 + ℎ
Prof. Alisson – UTFPR-AP23
- Uma maneira de contornar esse problema é calcular as velocidades médias
para intervalos de tempo pequenos entre 𝑡 = 𝑎 e 𝑡 = 𝑎 + ℎ
- Observe que quanto menor o valor de ℎ, mais “próxima” a velocidade
média torna-se da velocidade do objeto no instante 𝑡 = 𝑎, de modo que,
quando ℎ → 0, obtemos a velocidade instantânea. Assim,
𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑎 + ℎ
velocidade instantânea = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
Prof. Alisson – UTFPR-AP24
- Observe que o mesmo tipo de limite aparece nas duas situações abordadas
anteriormente:
ou lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑎 + ℎ)
ℎ
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Prof. Alisson – UTFPR-AP25
- Observe que o mesmo tipo de limite aparece nas duas situações abordadas
anteriormente:
ou
- Esse tipo de limite surge sempre que calculamos uma taxa de variação em
qualquer ramo das ciências e nos leva à definição de derivada, que será
nosso objeto de estudo nas próximas aulas.
lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑎 + ℎ)
ℎ
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Prof. Alisson – UTFPR-AP26
Definição de derivada
Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto de seu domínio. O limite
quando existe (e é finito), é chamado derivada da função 𝒇 no ponto 𝒂.
𝑓′ 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Prof. Alisson – UTFPR-AP27
Definição de derivada
Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto de seu domínio. O limite
quando existe (e é finito), é chamado derivada da função 𝒇 no ponto 𝒂.
Observações:
1) Considerando a mudança de variáveis ℎ = 𝑥 − 𝑎, obtemos:
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
𝑓′ 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Prof. Alisson – UTFPR-AP28
2) Se 𝑓 admite derivada em 𝑎 , então dizemos que 𝑓 é derivável ou
diferenciável em 𝒂. Dizemos que 𝑓 é derivável ou diferenciável se 𝑓 for
derivável em cada ponto de seu domínio.
Prof. Alisson – UTFPR-AP29
2) Se 𝑓 admite derivada em 𝑎 , então dizemos que 𝑓 é derivável ou
diferenciável em 𝒂. Dizemos que 𝑓 é derivável ou diferenciável se 𝑓 for
derivável em cada ponto de seu domínio.
3) Geometricamente, o número 𝑓′(𝑎) é a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑓 no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)). Deste modo, a equação da reta tangente é
dada por:
𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)
Prof. Alisson – UTFPR-AP30
2) Se 𝑓admite derivada em 𝑎 , então dizemos que 𝑓 é derivável ou
diferenciável em 𝒂. Dizemos que 𝑓 é derivável ou diferenciável se 𝑓 for
derivável em cada ponto de seu domínio.
3) Geometricamente, o número 𝑓′(𝑎) é a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑓 no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)). Deste modo, a equação da reta tangente é
dada por:
𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)
4) Na Física, o número 𝑓′(𝑎) é a velocidade instantânea no instante 𝑡 = 𝑎 de
um objeto movendo-se sobre uma reta com deslocamento 𝑠 = 𝑓(𝑡), ou
seja,
𝑣 𝑎 = 𝑓′(𝑎)
Prof. Alisson – UTFPR-AP31
Exemplos:
1) Sendo 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, determine 𝑓′(1).
Prof. Alisson – UTFPR-AP32
Exemplos:
1) Sendo 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, determine 𝑓′(1).
Pela definição:
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2𝑥 + 1 − (2 ⋅ 1 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2𝑥 − 2
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2 (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 2
Prof. Alisson – UTFPR-AP33
Exemplos:
1) Sendo 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, determine 𝑓′(1).
Pela definição:
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2𝑥 + 1 − (2 ⋅ 1 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2𝑥 − 2
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
2 (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 2
Outra forma é usar o limite da observação 1):
𝑓′ 1 = lim
ℎ→0
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ℎ
= lim
ℎ→0
2 1 + ℎ + 1 − (2 ⋅ 1 + 1)
ℎ
= lim
ℎ→0
2ℎ
ℎ
= 2
Portanto, 𝑓′ 1 = 2.
Prof. Alisson – UTFPR-AP34
2) Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
𝑓 no ponto 𝑃(1, 𝑓(1)).
Prof. Alisson – UTFPR-AP35
2) Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
𝑓 no ponto 𝑃(1, 𝑓(1)).
Temos que:
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1 (𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= 1 + 1 = 2
Logo, a equação da reta tangente a 𝑓 no ponto 𝑃 1, 𝑓 1 é
𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′ 1 (𝑥 − 1)
𝑦 − 1 = 2 (𝑥 − 1) ou 𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑃
Prof. Alisson – UTFPR-AP36
3) Se 𝑓 𝑥 = |𝑥|, determine 𝑓′(1) e 𝑓′(0).
Prof. Alisson – UTFPR-AP37
3) Se 𝑓 𝑥 = |𝑥|, determine 𝑓′(1) e 𝑓′(0).
Temos que:
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
|𝑥| − |1|
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
= 1
Prof. Alisson – UTFPR-AP38
3) Se 𝑓 𝑥 = |𝑥|, determine 𝑓′(1) e 𝑓′(0).
Temos que:
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
|𝑥| − |1|
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
= 1
Agora,
𝑓′ 0 = lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
Note que:
lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0−
−𝑥
𝑥
= −1 𝑒 lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= 1
Logo, não existe e 𝑓 não é derivável em 𝑥 = 0.lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
Prof. Alisson – UTFPR-AP39
Teorema: Se 𝑓 for derivável em 𝑎, então 𝑓é contínua em 𝑎.
Prof. Alisson – UTFPR-AP40
Teorema: Se 𝑓 for derivável em 𝑎, então 𝑓é contínua em 𝑎.
Demonstração: Para provar que 𝑓 é contínua em 𝑎 , temos que mostrar que
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 . Temos que:
lim
𝑥→𝑎
(𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 ) = lim
𝑥→𝑎
(𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)) ⋅
𝑥 − 𝑎
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎
⋅ lim
𝑥→𝑎
𝑥 − 𝑎
= 𝑓′ 𝑎 ⋅ 0 = 0
Logo, lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 + lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑎 =
0 + 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎).
Portanto, 𝑓 é contínua em 𝑎.
𝑓′(𝑎)
Prof. Alisson – UTFPR-AP41
Observação: Será que vale a recíproca deste resultado? Ou seja, se 𝑓 é contínua
em 𝑎, então 𝑓 é derivável em 𝑎?
Prof. Alisson – UTFPR-AP42
Observação: Será que vale a recíproca deste resultado? Ou seja, se 𝑓 é contínua
em 𝑎, então 𝑓 é derivável em 𝑎?
Não. A função 𝑓 𝑥 = |𝑥|, por exemplo, é contínua em 𝑥 = 0, mas não é
derivável em 𝑥 = 0.
Prof. Alisson – UTFPR-AP43
Observação: Será que vale a recíproca deste resultado? Ou seja, se 𝑓 é contínua
em 𝑎, então 𝑓 é derivável em 𝑎?
Não. A função 𝑓 𝑥 = |𝑥|, por exemplo, é contínua em 𝑥 = 0, mas não é
derivável em 𝑥 = 0.
Uma função 𝑓 não será derivável em um ponto 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 quando:
a) O gráfico de 𝑓 apresentar um “bico” no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎));
Prof. Alisson – UTFPR-AP44
b) A função 𝑓 for descontínua em 𝑎.
Prof. Alisson – UTFPR-AP45
b) A função 𝑓 for descontínua em 𝑎.
c) O gráfico de 𝑓 tem uma reta tangente vertical em 𝑥 = 𝑎.
Prof. Alisson – UTFPR-AP46
A função derivada
- Dada uma função 𝑓, até agora consideramos a derivada da função 𝑓
aplicada num ponto 𝑎 de seu domínio:
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
Prof. Alisson – UTFPR-AP47
A função derivada
- Dada uma função 𝑓, até agora consideramos a derivada da função 𝑓
aplicada num ponto 𝑎 de seu domínio:
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
- Agora, iremos considerar a função denotada por 𝑓′(𝑥), cujo valor em cada
ponto 𝑥 de seu domínio é calculado como sendo:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
,
desde que o limite exista. O domínio da função 𝑓′ será
𝐷𝑓′ = {𝑥 ∈ 𝐷𝑓 / 𝑓
′ 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒}
Prof. Alisson – UTFPR-AP48
Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2.
a) Determine 𝑓′(𝑥).
b) Calcule 𝑓′ −2 , 𝑓′ 0 e 𝑓′(2).
Prof. Alisson – UTFPR-AP49
Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2.
a) Determine 𝑓′(𝑥).
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ = 2𝑥
b) Calcule 𝑓′ −2 , 𝑓′ 0 e 𝑓′(2).
Gráfico de 𝑓 Gráfico de 𝑓′
Prof. Alisson – UTFPR-AP50
Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2.
a) Determine 𝑓′(𝑥).
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ = 2𝑥
b) Calcule 𝑓′ −2 , 𝑓′ 0 e 𝑓′(2).
𝑓′ −2 = 2 ⋅ −2 = −4, 𝑓′ 0 = 2 ⋅ 0 = 0, 𝑓′ 2 = 2 ⋅ 2 = 4
Gráfico de 𝑓 Gráfico de 𝑓′
Prof. Alisson – UTFPR-AP51
Notações para a derivada: Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥: variável independente, 𝑦: variável dependente
Prof. Alisson – UTFPR-AP52
Notações para a derivada: Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥: variável independente, 𝑦: variável dependente
Temos que
são usados para denotar a função derivada de 𝑓.
𝑓′ 𝑥 , 𝑦′,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , 𝐷𝑓 𝑥 , 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
Prof. Alisson – UTFPR-AP53
Notações para a derivada: Considere a função 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥: variável independente, 𝑦: variável dependente
Temos que
são usados para denotar a função derivada de 𝑓.
Notação de Newton x Notação de Leibniz:
𝑓′ 𝑥 , 𝑦′,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , 𝐷𝑓 𝑥 , 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
Newton Leibniz
função derivada
de 𝑓
𝑓′(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
derivada de 𝑓 no
ponto 𝑎 𝑓′(𝑎) ቤ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥=𝑎
Prof. Alisson – UTFPR-AP54
Derivadas de funções elementares
Função constante
Teorema: Se 𝑓 𝑥 = 𝑐, com 𝑐 constante, então 𝑓′ 𝑥 = 0.
Prof. Alisson – UTFPR-AP55
Derivadas de funções elementares
Função constante
Teorema: Se 𝑓 𝑥 = 𝑐, com 𝑐 constante, então 𝑓′ 𝑥 = 0.
Demonstração: 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP56
Derivadas de funções elementares
Função constante
Teorema: Se 𝑓 𝑥 = 𝑐, com 𝑐 constante, então 𝑓′ 𝑥 = 0.
Demonstração:
Exemplo: Se 𝑓 𝑥 = 2, então 𝑓′ 𝑥 = 0.
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP57
Funções da forma 𝒙𝒏 e
𝒏 𝒙
Teorema: Seja 𝑛 ≠ 0 um número natural. São válidas as seguintes fórmulas de
derivação:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1
b)
c)
𝑓 𝑥 =
1
𝑥𝑛
= 𝑥−𝑛 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −𝑛 ⋅ 𝑥−𝑛−1
𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑥 = 𝑥
1
𝑛 ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑛
⋅ 𝑥
1
𝑛 −1 ,
com 𝑥 > 0 se 𝑛 for par e 𝑥 ≠ 0 se 𝑛 for ímpar 𝑛 ≥ 2 .
Prof. Alisson – UTFPR-AP58
Demonstração:
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛. Então:
𝑓′ 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎+. . . +𝑥 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1)
(𝑥 − 𝑎)
= lim
𝑥→𝑎
(𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2𝑎+. . . +𝑥 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛−1
Substituindo 𝑎 por 𝑥, obtemos 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1.
𝑛 termos
Prof. Alisson – UTFPR-AP59
b) Seja . Então:
𝑓′ 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
1
𝑥𝑛 −
1
𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑎𝑛 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
=lim
𝑥→𝑎
𝑎𝑛 − 𝑥𝑛
𝑥 − 𝑎
⋅
1
𝑥𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
= − lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
⋅ lim
𝑥→𝑎
1
𝑥𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
= −𝑛 ⋅ 𝑎𝑛−1 ⋅
1
𝑎2𝑛
= −𝑛 ⋅ 𝑎−𝑛−1
Substituindo 𝑎 por 𝑥, obtemos 𝑓′ 𝑥 = −𝑛 ⋅ 𝑥−𝑛−1.
𝑓 𝑥 =
1
𝑥𝑛
= 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛−1
(calculado no item a)
=
1
𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
=
1
𝑎2𝑛
Prof. Alisson – UTFPR-AP60
c) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑥. Então:
𝑓′ 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑥 − 𝑛 𝑎
𝑥 − 𝑎
Fazendo a mudança de variáveis
𝑢 = 𝑛 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑢𝑛
𝑣 = 𝑛 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑣𝑛
Assim,
Logo,
Substituindo 𝑎 por 𝑥, obtemos
= 𝑛 ⋅ 𝑣𝑛−1 (calculado no item a)
𝑥 → 𝑎 ⇒ 𝑢 → 𝑣
lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑥 − 𝑛 𝑎
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑢→𝑣
𝑢 − 𝑣
𝑢𝑛 − 𝑣𝑛
= lim
𝑢→𝑣
1
𝑢𝑛 − 𝑣𝑛
𝑢 − 𝑣
=
1
lim
𝑢→𝑣
𝑢𝑛 − 𝑣𝑛
𝑢 − 𝑣
=
1
𝑛 ⋅ 𝑣𝑛−1
1
𝑛 ⋅ 𝑣𝑛−1
=
1
𝑛 ⋅ 𝑛 𝑎 𝑛−1
=
1
𝑛
⋅ 𝑎
1
𝑛 −1
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑛
⋅ 𝑥
1
𝑛 −1.
Prof. Alisson – UTFPR-AP61
Exemplo: Calcule 𝑓′(𝑥), sendo:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4
b)
c)
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2
Prof. Alisson – UTFPR-AP62
Exemplo: Calcule 𝑓′(𝑥), sendo:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 4 𝑥4−1 = 4 𝑥3
b)
c)
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
= 𝑥−2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −2 𝑥−2−1 = −2 𝑥−3 = −
2
𝑥3
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 = 𝑥
2
3 ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
2
3
𝑥
2
3 −1 =
2
3
𝑥−
1
3 =
2
33 𝑥
Prof. Alisson – UTFPR-AP63
Funções da forma 𝒆𝒏 e 𝐥𝐧 𝒙
Teorema: São válidas as seguintes fórmulas de derivação:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
, com 𝑥 > 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP64
Funções da forma 𝒆𝒏 e 𝐥𝐧 𝒙
Teorema: São válidas as seguintes fórmulas de derivação:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
b)
Observação: Note que a função 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 tem a propriedade de sua derivada
ser ela mesma.
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
, com 𝑥 > 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP65
Demonstração:
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥. Então:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑒𝑥+ℎ − 𝑒𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑒𝑥
𝑒ℎ − 1
ℎ
Observe que:
Logo, 𝑓′ 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑥
𝑒ℎ − 1
ℎ
= 𝑒𝑥 ⋅ 1 = 𝑒𝑥
lim
ℎ→0
𝑒ℎ − 1
ℎ
= lim
𝑢→0
𝑢
ln 1 + 𝑢
= lim
𝑢→0
1
1
𝑢 ln(1 + 𝑢)
= lim
𝑢→0
1
ln 1 + 𝑢
1
𝑢
=
1
ln 𝑒
= 1
Fazendo a m.v.:
𝑢 = 𝑒ℎ − 1 ⇒ ℎ = ln(1 + 𝑢)
ℎ → 0 ⇒ 𝑢 → 0
Lembrando que:
lim
𝑢→0
1 + 𝑢
1
𝑢 = 𝑒
(limite fundamental)
Prof. Alisson – UTFPR-AP66
b) Seja 𝑓 𝑥 = ln 𝑥. Então:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
ln(𝑥 + ℎ) − ln 𝑥
ℎ
= lim
𝑥→𝑎
1
ℎ
⋅ ln
𝑥 + ℎ
𝑥
= lim
ℎ→0
1
ℎ
⋅ ln 1 +
ℎ
𝑥
= lim
u→0
1
𝑢𝑥
⋅ ln 1 + 𝑢 = lim
𝑢→0
1
𝑥
⋅ ln 1 + 𝑢
1
𝑢 =
1
𝑥
⋅ ln 𝑒 =
1
𝑥
Logo, 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
.
Fazendo a m.v.:
𝑢 =
ℎ
𝑥
⇒ ℎ = 𝑢𝑥
ℎ → 0 ⇒ 𝑢 → 0
Lembrando que:
lim
𝑢→0
1 + 𝑢
1
𝑢 = 𝑒
(limite fundamental)
Prof. Alisson – UTFPR-AP67
Regras de derivação
Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 são funções deriváveis, então:
a) 𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) (Regra da soma)
b) 𝑐𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐 ⋅ 𝑓′(𝑥), com 𝑐 constante
c) 𝑓𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥) (Regra do produto)
d)
(Regra do quociente)
𝑓
𝑔
′
𝑥 =
𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
𝑔 𝑥 2
, com 𝑔 𝑥 ≠ 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP68
Demonstração:
a)
b) Exercício.
(𝑓 + 𝑔)′ 𝑥 = lim
ℎ→0
(𝑓 + 𝑔) 𝑥 + ℎ − (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
+
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
Prof. Alisson – UTFPR-AP69
c)
d) Exercício.
(𝑓𝑔)′ 𝑥 = lim
ℎ→0
(𝑓𝑔) 𝑥 + ℎ − (𝑓𝑔)(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ + 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
⋅ 𝑔(𝑥 + ℎ) + lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 ⋅
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
= 0
Prof. Alisson – UTFPR-AP70
Exemplo: Calcule 𝑓′(𝑥), sendo:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 6𝑥2 + 4
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥
c) 𝑓 𝑥 =
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
Prof. Alisson – UTFPR-AP71
Exemplo: Calcule 𝑓′(𝑥), sendo:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 6𝑥2 + 4 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥4 − 6𝑥2 + 4 ′
= 𝑥4 ′ − 6𝑥2 ′ + 4 ′ = 4𝑥3 − 12𝑥
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 ′ = 𝑥 ′ ⋅ 𝑒𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥
= 1 + 𝑥 𝑒𝑥
c) 𝑓 𝑥 =
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
⇒ 𝑓′ 𝑥 =
𝑒𝑥
1 + 𝑥2
′
=
𝑒𝑥 ′ ⋅ 1 + 𝑥2 − 𝑒𝑥 ⋅ (1 + 𝑥2)′
1 + 𝑥2 2
=
𝑒𝑥 ⋅ 1 + 𝑥2 − 𝑒𝑥 ⋅ 2𝑥
1 + 𝑥2 2
=
𝑥2 − 2𝑥 + 1 ⋅ 𝑒𝑥
1 + 𝑥2 2
Prof. Alisson – UTFPR-AP72
Derivadas de funções trigonométricas
Teorema: São válidas as seguintes fórmulas de derivação:
a) 𝑓 𝑥 = sen𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥
b) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = − sen 𝑥
c) 𝑓 𝑥 = tg 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec2 𝑥
d) 𝑓 𝑥 = sec 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 ⋅ tg 𝑥
e) 𝑓 𝑥 = cossec 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −cossec 𝑥 ⋅ cotg 𝑥
f) 𝑓 𝑥 = cotg 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −cossec2 𝑥
Prof. Alisson – UTFPR-AP73
Demonstração:
a) Seja 𝑓 𝑥 = sen 𝑥. Então:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
sen 𝑥 + ℎ − sen 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2 sen
(𝑥 + ℎ) − 𝑥
2 ⋅ cos
𝑥 + ℎ + 𝑥
2
ℎ
= lim
ℎ→0
sen
ℎ
2 ⋅ cos
2𝑥 + ℎ
2
ℎ
2
= lim
ℎ→0
sen
ℎ
2
ℎ
2
⋅ lim
ℎ→0
cos
2𝑥 + ℎ
2
= 1 ⋅ cos
2𝑥 + 0
2
= cos 𝑥
Lembrando que:
sen(𝑎 + 𝑏) = 2 sen
𝑎 − 𝑏
2
⋅ cos
𝑎 + 𝑏
2
= 1
(limite fundamental)
Prof. Alisson – UTFPR-AP74
c) Seja 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. Então:
𝑓′ 𝑥 = tg 𝑥 ′ =
sen 𝑥
cos 𝑥
′
=
(sen 𝑥)′ ⋅ cos 𝑥 − sen 𝑥 ⋅ (cos 𝑥)′
cos2 𝑥
=
cos 𝑥 ⋅ cos 𝑥 − sen 𝑥 ⋅ (− sen 𝑥)
cos2 𝑥
=
cos2 𝑥 + sen2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos2 𝑥
= sec2 𝑥
Demais itens: Exercício.
Prof. Alisson – UTFPR-AP75
Exemplo: Determine a velocidade de um corpo num instante 𝑡 sabendo que sua
posição é dada por 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2 sen 𝑡.
Prof. Alisson – UTFPR-AP76
Exemplo: Determine a velocidade de um corpo num instante 𝑡 sabendo que sua
posição é dada por 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 𝑡2 sen 𝑡.
𝑣 = 𝑓′ 𝑡 = 𝑡2 sen 𝑡 ′ = 𝑡2 ′ ⋅ sen 𝑡 + 𝑡2 ⋅ sen 𝑡 ′
= 2𝑡 ⋅ sen 𝑡 + 𝑡2 ⋅ cos 𝑡
Prof. Alisson – UTFPR-AP77
Referências bibliográficas
- STWART, James. Cálculo – Volume 1. 7. ed. São Paulo – SP: Cengage Learning,
2013.
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo – Volume 1. 5. ed. Rio de
Janeiro – RJ: LTC, 2001.
- FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções,
limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo – SP: Pearson Prentice Hall, 2007.
- THOMAS, George B. Cálculo – Volume I. 11. ed. São Paulo – SP: Addison
Wesley, 2009.