Exercicios (1001)-mesclado-226

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MANOEL 
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Grandezas e a técnica da regra de três
Grandeza
Usamos medidas para indicar o comprimento de uma corda, a velocidade de um 
automóvel, a temperatura de uma região, a profundidade de um rio etc.
Toda característica que pode ser expressa por uma medida é chamada de 
grandeza.
São exemplos de grandeza: comprimento, área, volume, velocidade, pressão, 
temperatura, profundidade, tempo, massa e vazão.
Neste capítulo, estudaremos as grandezas associadas apenas a medidas positivas, 
embora existam grandezas que possam ser associadas a medidas negativas – por exem-
plo, a temperatura. O estudo das grandezas pode ser ampliado para as medidas nulas 
ou negativas, mas não faremos isso neste capítulo.
Grandezas diretamente proporcionais
No laboratório de Física, durante o estudo do movimento de um carrinho com velo-
cidade constante, Márcio construiu a tabela abaixo, descrevendo a distância percorrida 
pelo carrinho e o tempo transcorrido para que essa distância fosse percorrida.
Com essa experiência, Márcio concluiu que:
• as grandezas distância e tempo são dependentes, pois a variação na medida 
de uma delas provocou a variação na medida da outra;
• as grandezas distância e tempo são diretamente proporcionais, pois os 
valores das distâncias percorridas são diretamente proporcionais aos tempos 
correspondentes. Por exemplo, da tabela temos:
 4 __ 
2
 5 6 __ 
3
 5 10 ___ 
5
 5 20 ___ 
10
 5 30 ___ 
15
 
Para suas conclusões, Márcio aplicou os conceitos definidos a seguir.
Distância percorrida 
(em metro)
4 6 10 20 30
Tempo transcorrido 
(em segundo)
2 3 5 10 15
Duas grandezas são dependentes quando, sob alguma condição, a variação na 
medida de uma delas provocar a variação na medida da outra.
Duas grandezas dependentes são diretamente proporcionais quando qualquer 
sequência de medidas de uma delas é diretamente proporcional à sequência de 
medidas correspondentes da outra.
Comprimento (em metro) 5 12 20 k
Preço (em real) 15 36 60 3k
Exemplos
a) Supondo que o preço de um fio seja R$ 3,00 o metro, observe a tabela, em que 
k representa um número real positivo qualquer:
 Como 5 ___ 
15
 5 12 ___ 
36
 5 20 ___ 
60
 5 k ___ 
3k
 , concluímos que o comprimento do fio e o preço 
 são grandezas diretamente proporcionais.
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Com essa experiência, Márcio concluiu que:
• as grandezas velocidade e tempo são dependentes, pois a variação na medida 
de uma delas provocou a variação na medida da outra;
• as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois os 
valores das velocidades são inversamente proporcionais aos tempos corres-
pondentes. Por exemplo, da tabela temos:
2 3 50 5 4 3 25 5 8 3 12,5
Para a segunda conclusão, Márcio aplicou o conceito definido a seguir.
Velocidade (em metro por segundo) 2 4 8
Tempo (em segundo) 50 25 12,5
Quantidade
(número de operários)
2 4 8 n
Tempo (em dia) 12 6 3 
24
 ___ n 
Duas grandezas dependentes são inversamente proporcionais quando qualquer 
sequência de medidas de uma delas é inversamente proporcional à sequência de 
medidas correspondentes da outra.
Exemplos
a) Supondo que os operários que realizam certo trabalho tenham a mesma velocidade 
de produção, observe a tabela a seguir, que relaciona o número de operários e o tem-
po para que o trabalho seja realizado, sendo n um número inteiro positivo qualquer.
Quantidade de parafusos 
produzidos
600 800 1.000 n
Tempo (em minuto) 3 4 5 
n
 _____ 
200
 
b) Supondo que a velocidade constante de produção de uma máquina seja de 200 
parafusos por minuto, observe a tabela, em que n representa um número inteiro 
positivo qualquer:
 Como 600 ____ 
3
 5 800 ____ 
4
 5 1.000 ______ 
5
 5 n ____ 
 n ____ 
200
 
 , concluímos que a quantidade de parafusos 
 produzidos e o tempo são grandezas diretamente proporcionais.
Nota:
Para entender a expressão “sob alguma condição” na definição de grandezas depen-
dentes, pense na seguinte questão: Se um carrinho percorre a distância de 50 m em 
10 s, é possível que ele percorra 100 m em 10 s? 
A resposta é sim, desde que se dobre a velocidade média do carrinho. 
Perceba, portanto, que, embora a distância percorrida pelo carrinho e o tempo corres-
pondente sejam grandezas dependentes, a variação de uma não causou variação na ou-
tra, pois uma terceira grandeza (velocidade) fez com que o tempo permanecesse cons-
tante. Porém, sob a condição de manter a mesma velocidade média do carrinho nos dois 
trechos, a resposta seria não, pois a variação da distância provoca a variação do tempo.
Grandezas inversamente proporcionais
No laboratório de Física, durante o estudo do movimento de um carrinho, Márcio 
fez o carrinho percorrer três vezes um mesmo trajeto. Em cada uma das vezes, a 
velocidade constante do carrinho foi diferente. Após a experiência, Márcio construiu 
a tabela abaixo, mostrando a velocidade e o tempo com que o carrinho completou 
o trajeto em cada uma das vezes:
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 Como 2 3 12 5 4 3 6 5 8 3 3 5 n 3 24 ___ n , concluímos que a quantidade de operários 
 e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.
b) Uma corda de 12 m de comprimento deve ser cortada em pedaços de mesmo 
comprimento. A tabela a seguir mostra a quantidade de pedaços que podem 
ser obtidos e o respectivo comprimento de cada pedaço, em que a variável k 
representa um número inteiro positivo qualquer.
 Como 3 3 4 5 2 3 6 5 12 3 1 5 k 3 12 ___ 
k
 , concluímos que a quantidade de pedaços 
 e o comprimento de cada pedaço são grandezas inversamente proporcionais.
Quantidade
(número de pedaços)
3 2 12 k
Comprimento de cada 
pedaço (em metro)
4 6 1 
12
 ___ 
k
 
Nota:
Quando estudamos a variação de duas grandezas para analisar se elas são diretamente 
ou inversamente proporcionais, devemos supor que qualquer outra grandeza seja 
fixa, isto é, não varie. Por exemplo, quando Márcio analisou as grandezas distância e 
tempo, ele fixou a velocidade; e quando analisou as grandezas velocidade e tempo, 
ele fixou a distância.
Exercícios propostos
138 Para os pitagóricos, o número era considerado a essência das coisas, 
sendo a base teórica da harmonia do universo. O filósofo grego Filo-
laus, pitagórico que viveu no século IV a.C., afirmava:
Observe, portanto, que, para Filolaus, as coisas que podem ser conhe-
cidas são aquelas que podem ser estudadas sob o ponto de vista de 
grandezas. Entre as alternativas abaixo, qual não é uma grandeza?
a) comprimento d) tristeza
b) volume e) temperatura
c) velocidade
139 (Enem) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços 
utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia 
tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as 
dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida 
da grandeza:
a) massa. d) capacidade.
b) volume. e) comprimento.
c) superfície.
“Todas as coisas que podem ser conhecidas têm 
número; pois não é possível que sem número 
qualquer coisa possa ser concebida ou conhecida.”
1,3 m
0,5 m
2,5 m
Metal
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140 (Enem) A resistência elétrica e as dimensões do condutor. 
 A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi 
estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos 
de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: 
resistência (R) e comprimento (c), dada a mesma secção transversal 
(A); resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo 
comprimento (c); e comprimento (c) e área da secção transversal (A), 
dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistorescomo fios, pode-se exemplificar o estudo 
das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figu-
ras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resis-
tência (R) e comprimento (c), resistência (R) e área da secção transver-
sal (A), e entre comprimento (c) e área da secção transversal (A) são, 
respectivamente:
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
Regra de três
A regra de três é uma técnica aplicada na determinação de um valor desco-
nhecido em problemas que relacionam grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. A regra de três pode ser simples, quando envolve apenas duas 
grandezas, ou composta, quando relaciona mais de duas grandezas.
 O nome “regra de três” teve origem em problemas que relacionam duas gran-
dezas das quais são conhecidos três valores e um é desconhecido.
Regra de três simples direta e regra de três simples inversa
A regra de três simples direta envolve duas grandezas diretamente propor-
cionais e a regra de três simples inversa envolve duas grandezas inversamente 
proporcionais.
Exercícios resolvidos
17 Um automóvel percorre a distância de 220 km 
em 2,5 h. Mantendo a mesma velocidade média, 
que distância ele percorreria em 4 h?
Resolução
Nesse problema, variam apenas duas gran-
Distância
(em quilômetro por hora)
220
x
Tempo
(em hora)
2,5
4
2�
resistência R2A
�
resistência R
fios de mesmo material
A
fios de mesmo material
�
resistência RA
2�
resistência 2RA
�
resistência R
fios de mesmo material
A
�
resistência R
fio condutor
A
�
resistência —2A R
2
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. 
Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
dezas: distância e tempo. Indicando por x a 
distância procurada, em quilômetro, esque-
matizamos: