Exercicios (1001)-mesclado-98

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b) A função h: V P V, representada pelo gráfico abaixo, não é injetora, pois há elementos distintos 
do domínio de h que têm a mesma imagem: h(a) 5 h(b).
Isso significa que não há elementos distintos no domínio de f que tenham a mesma imagem; 
logo, f é uma função injetora.
Contraexemplos (funções não injetoras)
a) A função g: A P B, representada pelo diagrama de flechas abaixo, não é injetora, pois há ele-
mentos distintos do domínio de g com a mesma imagem: g(1) 5 g(2) 5 6.
f (a)
a
y
x
Observe que toda reta paralela ao eixo Ox que corta o gráfico de f intercepta esse gráfico em um 
único ponto:
g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A B
h(a) � h(b)
a b
y
xh
Função sobrejetora
Em um edifício de 9 andares, todos os 18 apartamentos 
estão habitados. Por medida de segurança, na portaria, 
há uma lista contendo o nome de todos os moradores e o 
número do apartamento que ocupam:
Morador(es) Apartamento
Luís e Vilma 11
Carlos, Juliana e Fábio 12
Roberto 21
Sílvia 22
...
...
Nílson, Elaine e Viviane 91
Sandra 92
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CAP 3.indb 114 03.08.10 11:34:30
Observe que toda reta que é paralela ao eixo Ox e passa por um ponto de ordenada y, com 
y > 23, intercepta o gráfico. Isso significa que todo elemento do contradomínio de f é imagem 
de algum x do domínio. Logo, f é uma função sobrejetora.
Em outras palavras, uma função é sobrejetora se, e somente se, seu contradomínio coincide 
com seu conjunto imagem.
Exemplo
O gráfico abaixo representa a função f : V P [23, 1[ tal que f (x) 5 x2 2 3
Sendo A o conjunto dos nomes dos moradores desse edifício e B o conjunto dos números 
dos apartamentos, vamos considerar a função f: A P B que associa o nome de cada morador ao 
número do apartamento da tabela anterior:
Como qualquer elemento do contradomínio de f é imagem de algum elemento do domínio, 
isto é, o contradomínio é o conjunto imagem da função f, dizemos que f é uma sobrejeção de A 
em B. Definimos:
Uma função f : A P B é sobrejetora se, e somente se, para todo elemento y do conjunto B, 
existe x no conjunto A tal que f (x) 5 y.
�3
y
x
f
Luís
Vilma
Carlos
Juliana
Fábio
Roberto
Sílvia
Nílson
Elaine
Viviane
Sandra
A
B
11
91
92
22
21
12
g
�1
�2
�5
�7
0
1
2
3
4
5
6
A B
Contraexemplo (função não sobrejetora)
A função g: A P B, representada pelo diagrama de flechas abaixo, não é sobrejetora, pois 
há pelo menos um elemento do contradomínio de g que não é imagem de nenhum elemento do 
domínio, isto é, CD(g) % Im(g).
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CAP 3.indb 115 03.08.10 11:34:30
Observe que toda reta paralela ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto. Isso sig-
nifica que todo elemento do contradomínio V de f é imagem de um único x do domínio. Logo, f é 
uma função bijetora.
Contraexemplo (função não bijetora)
A função g: A P B, representada pelo diagrama de flechas abaixo, é injetora, mas não é so-
brejetora. Logo, g não é bijetora.
Função bijetora
Oito candidatos inscreveram-se no concurso interno de 
promoção de cargo de uma empresa. Cada um deles recebeu 
um único número de inscrição dentre os números de 1 a 8. 
Sejam A 5 {a, b, c, d, e, f, g, h} o conjunto dos candidatos inscri-
tos nesse concurso e B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} o conjunto dos 
números de inscrição tal que a função f : A P B, que associa 
cada candidato ao seu número de inscrição, seja representada 
pelo diagrama de flechas ao lado:
f
a
b
c
d
e
f
g
h
1
2
3
4
5
6
7
8
A B
Como a função f é simultaneamente injetora e sobrejetora, dizemos que f é uma bijeção de 
A em B. Definimos:
Uma função f : A P B é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.
y
x
Exemplo
O gráfico abaixo representa a função f : V P V tal que f (x) 5 x3.
g
�8
�6
�4
�2
0
8
6
4
2
0
�2
A B
f
�3
�1
1
3
5
1
4
7
10
13
15
A B
Nota:
Existem funções que não são injetoras nem sobrejetoras 
e, portanto, também não são bijetoras. Por exemplo, a função 
f representada pelo diagrama de flechas ao lado não atende 
a nenhuma dessas classificações.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
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CAP 3.indb 116 03.08.10 11:34:31
Resolução
 A classificação de uma função como injetora, sobrejetora ou bijetora, por meio da lei de associação 
y 5 f (x), pode ser feita da seguinte maneira:
 I. Se, para qualquer elemento k do conjunto imagem da função f, a equação f (x) 5 k tiver uma 
única solução, então f é injetora.
 II. Se, para qualquer elemento k do contradomínio da função f, a equação f (x) 5 k tiver pelo menos 
uma solução, então f é sobrejetora.
 III. Se, para qualquer elemento k do contradomínio da função f, a equação f (x) 5 k tiver uma única 
solução, então f é bijetora.
Assim:
a) Observando que CD(g) 5 V1, considere k, com k 9 CD(g). Resolvendo, na variável x, a equação 
g(x) 5 k, temos:
 x4 5 k ] x 5 ! 4 dll k 
 Como o contradomínio é V1, sempre existe ! 4 dll k ; logo, a função é sobrejetora, pois qualquer k do 
contradomínio é imagem de algum x do domínio. 
 Note que, para k positivo, existem dois elementos distintos do domínio de g com a mesma imagem: 
 4 dll k e 2 4 dll k ; logo, a função não é injetora, portanto também não é bijetora.
 Concluímos que g é apenas sobrejetora.
b) Observando que CD(h) 5 V, considere k, com k 9 CD(h). Resolvendo na variável x a equação 
h(x) 5 k, temos:
 5 ______ 
x 2 2
 5 k ] k(x 2 2) 5 5
 Assim: kx 2 2k 5 5
 } k(x 2 2) 5 5
 Note que essa equação, na variável x, só tem solução se k % 0, pois para k 5 0 teríamos um absurdo:
 0 3 (x 2 2) 5 5
 Logo, a função h não é sobrejetora, pois existe o elemento 0 (zero) do contradomínio V de h que 
não é imagem de nenhum elemento x do domínio.
 Considerando k % 0, a equação k(x 2 2) 5 5 é equivalente a x 5 5 1 2k _______ 
k
 
 Assim, para todo k do conjunto imagem de h, isto é, para qualquer k % 0, a equação h(x) 5 k tem 
uma única solução. Portanto, h é uma função injetora. 
 Note que h não é bijetora, pois não é sobrejetora. 
 Concluímos que h é apenas injetora.
c) Observando que CD(t) 5 V, considere k, com k 9 CD(t). Resolvendo na variável x a equação 
t(x) 5 k, temos:
 2x 1 4 5 k ] x 5 k 2 4 ______ 
2
 
 Assim, para qualquer k do contradomínio da função t, a equação t(x) 5 k tem uma única solução. 
 Logo, t é bijetora.
Resolução
a) F, pois, por hipótese, há mais de um exemplar com um mesmo título. Isso significa que há ele-
mentos distintos do domínio de f que têm a mesma imagem. Portanto, f não é injetora.
b) V, pois, por hipótese, todos os livros da biblioteca são catalogados pelo título. Isso significa que, 
para qualquer título de livro catalogado nessa biblioteca, existe pelo menos um exemplar com 
esse título na biblioteca, ou seja, qualquer elemento do contradomínio de f é imagem de algum 
elemento do domínio. Portanto, f é sobrejetora.
c) F, pois, para ser bijetora, uma função deve ser injetora e sobrejetora simultaneamente, e no item 
a mostramos que f não é injetora.
6 Em uma biblioteca, todos os livros são catalogados pelo título, além 
de outros identificadores, e há títulos com mais de um exemplar.
 Considerando a função f que tem como domínio o conjunto de to-
dos os exemplares da biblioteca e como contradomínio o conjunto 
dos títulos dos livros catalogados nessa biblioteca, classificar como 
verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:a) f é uma função injetora. c) f é uma função bijetora.
b) f é uma função sobrejetora.
7 Classificar cada uma das funções a seguir como injetora, sobrejetora ou bijetora.
a) g: V P V1 tal que g(x) 5 x4 c) t: V P V tal que t(x) 5 2x 1 4
b) h: V 2 {2} P V tal que h(x) 5 5 ______ 
x 2 2
 
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
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