teorico 2,

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Estrutura da Matéria
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Francisco de Assis Cavallaro
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Relatividade Restrita
• Teoria da Relatividade;
• Relatividade Restrita;
• Referenciais;
• Dilatação Temporal;
• Momentum Relativístico;
• Massa Relativística;
• Energia Relativística.
• Permitir a obtenção de bases fundamentais sobre a Teoria da Relatividade Restrita de 
Albert Einstein, proporcionando conhecimentos sobre cinemática e dinâmica relativísticas.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Relatividade Restrita
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Relatividade Restrita
Teoria da Relatividade
Até o final do século XIX, acreditava-se que as três leis do movimento de Newton 
e as ideias associadas acerca das propriedades do espaço e do tempo forneciam 
a base para que o movimento da matéria fosse completamente compreendido. 
Entretanto, a formulação de Maxwell de uma teoria unificada do eletromagnetismo 
rompeu com esse estado confortável – a teoria era muito bem-sucedida, mas, em 
um nível fundamental, ela parecia ser inconsistente com certos aspectos das ideias 
newtonianas de espaço e tempo.
Como resultado, uma modificação radical desses conceitos e, consequente- 
mente, das próprias equações de Newton, foi necessária. Foi Albert Einstein quem, 
ao combinar os resultados experimentais e argumentos físicos de outros cientistas 
com suas próprias ideias, foi o primeiro a formular os novos princípios em termos, 
os quais espaço, tempo, matéria e energia foram bem compreendidos.
A Teoria da Relatividade foi desenvolvida por Albert Einstein de 1905 (Rela-
tividade Restrita) a 1916 (Relatividade Geral). Ela afirma que as propriedades de 
espaço e tempo dependem do estado de movimento do observador em relação a 
seu referencial (velocidade, aceleração) e de sua posição em relação a massas muito 
grandes e densas.
A partir de agora, vamos iniciar nossos estudos a respeito da relatividade restrita 
de Einstein.
Relatividade Restrita
A teoria especial da relatividade foi uma das grandes teorias da física que surgiu 
no início do século XX, quando Albert Einstein fez sua apresentação à comuni-
dade científica, em 1905. A teoria especial da relatividade de Einstein questiona 
pressupostos sobre a natureza do espaço e do tempo que eram fortemente aceitos. 
Aprendemos, na física elementar, que as leis de Newton do movimento devem ser 
consideradas em relação a algum sistema de referência. Um sistema de referência 
é chamado de sistema inercial se as leis de Newton forem válidas nesse sistema 
de referência. Se um corpo não está sujeito a uma força externa resultante, ele se 
moverá em linha reta e com velocidade constante. Se as leis de Newton são válidas 
em um sistema de referência, então, elas serão válidas em um sistema de referência 
que está se movendo em uma velocidade relativa uniforme em relação ao primeiro 
sistema. Essa afirmação é conhecida como o princípio newtoniano da relativida-
de ou, também, a invariância de Galileu.
Assim, de certa forma, a relatividade não é nova, pois Galileu já havia feito uma 
proposta nesse sentido, porém, sem pensar em questionar a relatividade do tempo 
e do espaço, apenas tentando estudar o comportamento de corpos em movimento 
em referenciais fixos e em referenciais com movimento relativo com velocidade 
8
9
constante em relação ao fixo. Assim, algumas das ideias sobre a relatividade fazem 
parte da mecânica newtoniana, mais precisamente, da mecânica galileana. Einstein 
(Figura 1), no entanto, pensava que a relatividade deveria aplicar-se a todas as áreas 
da física e não somente à mecânica. Entretanto, há alguns aspectos da relatividade 
que parecem ser incompatíveis com as leis do eletromagnetismo, sobretudo as leis 
que regem a propagação de ondas luminosas. Com isso, alguns cientistas acredita-
vam que a relatividade não se aplicava ao eletromagnetismo. O que Einstein fez foi 
mudar a nossa compreensão sobre a definição de espaço e tempo.
Figura 1 – Foto de Albert Einstein em 1904 aos 25 anos
Fonte: Wikimedia Commons
Newton mostrou que não era possível determinar o movimento absoluto no es-
paço por qualquer experimento, assim, ele decidiu usar o movimento relativo. Além 
disso, os conceitos newtonianos de tempo e espaço são completamente separáveis. 
Considere dois sistemas de referência inerciais, K e K’, respectivamente, com velo-
cidade relativa uniforme v , conforme mostrado na Figura 2. 
v�
y y’
z
z’
x
x’
O
K
O’
K’
Figura 2 – O sistema K está fi xo e o sistema K’ está se movimentando em relação a K com velocidade v

9
UNIDADE Relatividade Restrita
Lá, é mostrado o sistema K’ movendo-se à direita com velocidade v em relação 
ao sistema K, que está fixo ou estacionário em alguma posição. É resultado da te-
oria da relatividade que não há sistemas de referência absolutos (ou absolutamente 
fixos). Usamos o termo fixo para nos referir a um sistema que esteja fixo sobre um 
objeto particular, tal como um planeta, uma estrela ou uma espaçonave que está 
se movendo no espaço. A transformação das coordenadas de um ponto de um 
sistema para outro é dada por:
x’ = x – vt (1a)
y’ = y (1b)
z’ = z (1c)
De forma similar, a transformação inversa é dada por:
x = x’ + vt (2a);
y = y’ (2b);
z = z’ (2c);
em que fizemos t = t’, pois Newton considerava o tempo absoluto. As equações 
apresentadas são chamadas de transformações de Galileu. As leis de Newton do 
movimento são invariantes sob uma transformação galileana, ou seja, elas possuem 
a mesma forma algébrica nos sistemas K e K’.
No final do século XIX, Einstein estava interessado em uma característica: em-
bora as leis de Newton do movimento mantenham a mesma forma algébrica sob 
as transformações de Galileu, as equações de Maxwell do Eletromagnetismo não 
preservavam sua forma. Eistein acreditava muito nas equações de Maxwell, pois ele 
mostrou que havia um problema significativo em nossa compreensão do princípio 
da relatividade newtoniano. Em 1905, ele publicou as ideias que atacaram vários 
fundamentos da física e da ciência. Ele propôs que o espaço e o tempo não fossem 
mais entidades separadas e que as Leis de Newtonsão apenas aproximações de leis 
mais gerais. Essa teoria especial da relatividade e suas ramificações são o assunto 
desta Unidade.
Conforme os conceitos de relatividade tornaram-se úteis na pesquisa e ao desen-
volvimento, tornou-se também essencial compreender a transformação do momento, 
força e energia. Aqui, estudaremos, após o estudo da cinemática relativística (espa-
ço, tempo e velocidade), a dinâmica relativística e a relação entre massa e energia, 
que conduz a uma das mais famosas equações da física e a uma nova lei de conser-
vação de massa-energia. 
Em sua primeira teoria da relatividade, Einstein abordava os referenciais iner-
ciais, cujo movimento é realizado em velocidade relativa constante, com aceleração 
nula. Esse movimento é dito “restrito”, pois se trata de uma restrição em relação à 
teoria geral da relatividade. Por essa razão, a primeira teoria foi denominada “Teo-
ria da Relatividade Especial ou Restrita”.
10
11
Após dez anos, em 1915-16, Einstein publicou uma teoria mais abrangente, que 
considerava o movimento acelerado e sua relação com a gravidade, em que se des-
creveram, a partir dela, os buracos negros (porém, isso não foi feito nem naquela 
ocasião e nem foi feito por Einstein), a evolução do universo (tempos depois) e a 
curvatura do espaço-tempo. O conteúdo e objetivo dessa teoria eram mais genera-
lizados, sendo por essa razão denominada “Teoria da Relatividade Geral”.
Pos tulados Fundamentais da Teoria da Relatividade Restrita
Na virada do século XX, o experimento de Michelson-Morley tinha descartado a 
ideia de se encontrar um sistema inercial preferencial para as equações de Maxwell, 
mesmo porque a transformação de Galileu, que funcionou bem para as leis da 
mecânica, não funcionou para as equações de Maxwell. Esse inconveniente repre-
sentou um ponto de virada na física.
Introdução experiência de Michelson-Morley. Disponível em: https://youtu.be/bv2ataBdQ78
Ex
pl
or
Einstein (1879-1955) tinha somente dois anos de idade quando Michelson 
anunciou seu primeiro experimento com resultado nulo para a existência do éter. 
Einstein disse que começou a pensar no problema da relatividade com apenas 16 
anos, justamente acerca da conservação ou não da forma algébrica das equações 
de Maxwell em sistemas inerciais em movimento e, em 1905, quando tinha 26 
anos de idade, ele publicou sua proposta inicial com o título “Acerca da eletrodinâ-
mica dos corpos em movimento”, originalmente em alemão (Annalen der Physik 
17, nº 04, 1905). Esse foi o ponto de partida e, trabalhando sem o benefício das 
discussões com os colegas fora de seu pequeno círculo de amizade, Einstein era, 
aparentemente, desprovido de interesse em relação ao resultado nulo da Experi-
ência de Michelson-Morley. A questão se Einstein sabia ou não da experiência de 
Michelson-Morley é algo incerto. Pode-se ver, por exemplo, J. Stachel, “Einstein 
and Ether: Drift Experiments”, Physics Today (Maio de 1987, p.45).
Einstein encarou o problema de maneira mais formal e acreditava que as equa-
ções de Maxwell deveriam ser válidas em todos os sistemas inerciais. Com maes-
tria, Einstein foi capaz de juntar resultados aparentemente inconsistentes relativos 
às leis da mecânica e ao eletromagnetismo com o auxílio de apenas dois postula-
dos, que são:
• Primeiro postulado (conhecido como princípio da relatividade): as leis da 
física são as mesmas em todos os referenciais de inércia.
O Postulado 1 inclui todos os fenômenos físicos, como os mecânicos e os eletro-
magnéticos. Uma consequência desse postulado é que não existe nenhum refe-
rencial inercial principal, ou seja, o movimento absoluto não pode ser detectado;
• Segundo postulado (invariância de c): a velocidade da luz no vácuo tem o 
mesmo valor em todos os referenciais de inércia.
11
UNIDADE Relatividade Restrita
O Postulado 2 segue o primeiro e descreve uma propriedade comum a todas 
as ondas, ou seja, diz que as ondas luminosas, que se propagam no vácuo e, 
portanto, não necessitam de um meio material para se propagar, estão na 
mesma categoria que os outros tipos de onda (e.g. ondas sonoras), que neces-
sitam de um meio para se propagar.
Referenciais
Referencial é definido como um sistema de coordenadas em que observadores, 
dispondo de réguas, de cronômetros ou de qualquer outro equipamento necessário 
às mensurações, medem a posição e o tempo de objetos em movimento, conforme 
ilustrado na Figura 3. Três ideias estão implícitas nessa definição:
• Todo referencial estende-se infinitamente em todos os sentidos;
• Os observadores estão em repouso em relação ao seu referencial;
• O número de observadores e a qualidade do equipamento que foram usados 
nas observações são suficientes para medir as posições e as velocidades com 
alto nível de precisão estabelecido.
Figura 3 – Referencial inercial. Sistema de coordenadas espaço-tempo
Fonte: Wikimedia Commons
Importante!
Todos os observadores que estejam em repouso, uns em relação aos outros, pertencem 
ao mermo referencial.
Importante!
12
13
Princípio da Relatividade de Einstein
Em 1801, Thomas Young demonstrou que a luz é uma onda. Maxwell concluiu, 
em 1862, que a luz é uma onda eletromagnética, tudo isso, após a descoberta de 
Faraday, em 1831, do fenômeno da indução eletromagnética. A partir desses acon-
tecimentos, a pergunta que se fazia era sobre qual meio a luz se propagava.
O meio no qual se supunha que as ondas luminosas se propagavam foi chamado 
de éter luminífero.
No entanto, os esforços feitos para detectar e medir as propriedades do éter não 
produziam resultados.
Segundo Maxwell, consoante sua teoria do eletromagnetismo, as ondas lumino-
sas propagam-se no vácuo com a velocidade c da luz:
8
0 0
1 3 10 /c m s
e m
= @ ´ (3)
A História da Velocidade da Luz. Disponível em: https://youtu.be/bkRxUMvn_uA
Ex
pl
or
O que se pensava naquela metade do século XIX era que as leis de Maxwell do 
eletromagnetismo seriam válidas somente no referencial do éter, ou seja, a ideia-
-chave era de que a velocidade da luz variava de acordo com o referencial utilizado.
Ao final do século XIX, pensava-se que a teoria de Maxwell não obedecia ao 
princípio da relatividade clássica, pois somente se considerava o referencial do éter, 
onde, supostamente, seriam válidas as leis de eletromagnetismo.
Ainda jovem, Einstein já se perguntava sobre as inconsistências da propagação 
das ondas eletromagnéticas. Uma onda eletromagnética se sustenta porque um 
campo magnético variável induz à formação de um campo elétrico, e um campo 
elétrico variável induz à formação de um campo magnético. Todavia, para alguém 
que se move junto com a onda, os campos não são variáveis. Nesse caso, como 
poderia existir uma onda eletromagnética se propagando?
Vários anos de reflexão sobre a relação entre o eletromagnetismo e os referen-
ciais levaram Einstein a concluir que todas as leis da física, e não apenas as leis da 
mecânica, obedeceriam ao princípio da relatividade, ou seja, o princípio da relativi-
dade é o postulado fundamental do universo físico.
O princípio da relatividade de Galileu, que privilegiava um referencial, foi modi-
ficado e, então, Einstein propôs um princípio análogo muito mais geral:
Importante!
Princípio da Relatividade de Einstein: todas as leis da física preservam sua forma algébrica
em relação a qualquer referencial inercial.
Importante!
13
UNIDADE Relatividade Restrita
As Transformações de Lorentz
Os dois postulados de Einstein são usados para obter uma transformação entre 
sistemas de referência inerciais, tais que todas as leis físicas, incluindo as leis da di-
nâmica de Newton e as equações de Maxwell do eletromagnetismo permanecerão 
com a mesma forma. Podemos assumir que o sistema fixo é o K e o sistema móvel 
é o K’. Em t = t’, as origens e os eixos de ambos os sistemas são coincidentes, e o 
sistema K’ está se movendo no sentido positivo do eixo x. Um sinal de luz é emiti-
do da origem dos sistemas de referência em t = t’ = 0. De acordo com o segundopostulado, a velocidade da luz será c em ambos os sistemas e as frentes de onda 
observadas em ambos os sistemas deverãos ser esféricas e descritas por:
x2 + y2 + z2 = (ct)2 (4a)
x’2 + y’2 + z’2 = (ct’)2 (4b)
Essas duas equações são inconsistentes com as transformações de Galileu, pois 
uma frente de onda pode ser esférica apenas em um dos sistemas se o segundo 
está se movendo com velocidade v em relação ao primeiro. As transformações de 
Lorentz necessitam que ambos os sistemas tenham a mesma frente de onda esféri-
ca centrada na origem de cada um dos sistemas.
Outra ruptura clara com a física galileana é a não suposição de que t = t’. 
Cada um dos sistemas terá seus próprios relógios e réguas de medida. Visto que os 
sistemas se movimentam apenas ao longo de seus eixos x, observadores em ambos 
os sistemas concordam pela observação direta que 
y’ = y (5a);
z’ = z (5b).
Sabemos que a transformação de Galileu x’ = x – vt está errada, mas podemos 
perguntar: qual é a transformação correta? Precisamos de uma transformação li-
near de modo que, a cada evento no sistema K, há a correspondência de um, e 
apenas um, evento no sistema K’. A transformação linear mais simples é posta 
na forma:
x’ = g(x – vt) (6)
Veremos se tais transformações são suficientes. O parâmetro g não depende da 
escolha de x ou de t, pois a transformação deve ser linear. Ele deve ser próximo de 
1 para v 0,1 ou g ≈ 1,005.
Eventos e o Espaço-Tempo de Minkowski
Um evento é algo que acontece em um ponto definido do espaço e em um ins-
tante definido de tempo.
Contudo, as coordenadas de um evento, medidas em relação a referenciais dife-
rentes, são iguais, podendo concluir que as suas respectivas coordenadas espaço-
-temporais também são diferentes.
16
17
Quando descrevemos eventos em relatividade, é algumas vezes conveniente re-
presentar os eventos em um diagrama de espaço-tempo, conforme mostrado na 
Figura 4. 
Linha do Universo
B
A
0
x
ct
ctB
ctA
xA xB
Figura 4 – Diagrama de espaço-tempo de Minkowski
Por conveniência, utilizamos apenas uma coordenada espacial x para especifi-
car a posição nessa única dimensão. Também usamos ct ao invés do tempo, de 
modo que ambas as coordenadas terão dimensão (ou unidades) de comprimen-
to. Os diagramas de espaço-tempo foram concebidos por Hermann Minkowski 
em 1908 e, por esse motivo, são conhecidos como diagramas de Minkowski.
Os eventos possuem quatro dimensões. Os eventos A e B da Figura 4 são 
denotados pelas respectivas coordenadas (χA, ctA) e (χB, ctB), respectivamente.
A linha que concecta os eventos A e B representa a trajetória que vai de A para B 
e é chamada de Linha de Universo. Uma espaçonave lançada de x = 0 e ct = 0
com velocidade constante v possui uma linha de universo na Figura 5: é a linha 
com inclinação c/v. Já o sinal de luz enviado a partir da origem e tendo velocidade 
c, a linha de Universo é representada por uma reta com inclinação c/c = 1 ou ân-
gulo de inclinação de 45º. Qualquer movimento real possui ângulo de inclinação 
maior do que 45º, pois qualquer objeto em movimento possui velocidade menor 
do que a velocidade da luz no vácuo.
ct
v
c
x
0
Espaçonave
Sinal de luz
Figura 5 – Reta designando um sinal de luz e uma
espaçonave no diagrama do espaço-tempo
17
UNIDADE Relatividade Restrita
Sendo assim, podemos definir as coordenadas espaço-temporais de um evento 
medidas por observadores fixos no referencial S como (x, y, z, t), enquanto que, 
para o mesmo evento, medidas por observadores fixos no referencial S’ são (x’, y’, 
z’, t’).
Sendo diferentes as coordenadas de um evento medidas em referenciais diferentes, 
há uma variável em que os observadores, em seus respectivos referenciais, concor-
dam. Essa variável, denominada intervalo espaço-temporal s, é definida a seguir:
s2 = c2(Dt)2 – (Dx)2 (18)
Exemplo 1:
Uma bomba explode na origem de um referencial inercial. Após 2,0 µs, uma 
segunda bomba explode a uma distância de 300 m da origem. Astronautas que 
passam em um foguete medem a distância entre as explosões como sendo 200 m. 
De acordo com os astronautas, quanto tempo decorreu entre as duas explosões?
Resolução:
s2 = c2 (Dt)2 – (Dx)2 = (3 × 108)2 (2,0 × 10–6)2 – 3002
= (600 m)2 – (300 m)2 = 270 000 m2
O intervalo espaço-temporal é igual no referencial S’, ou seja, s = s’. Logo:
s2 = s’2 = 270 000 m2 = c2 (Dt’)2 – (Dx’)2 = c2 (Dt’)2 – (200 m)2
(cDt’)2 = 270 000 m2 + 40 000 m2.
Portanto, 2310000 576,8c t m m¢D = = .
Assim:
8
576,8
3 10 /
mt
m s
¢D = =
´
Portanto:
Dt’ = 1,86 µs.
Simultaneidade
A simultaneidade entre dois eventos é determinada quando os eventos realmente 
ocorreram e não quando eles foram observados. Contudo, eventos simultâneos não 
são vistos ao mesmo tempo devido à diferença dos tempos de propagação da luz 
entre os locais dos eventos e o observador.
18
19
Portanto, a simultaneidade depende do movimento do observador, sendo que, 
se a velocidade relativa entre os observadores for muito menor que a velocidade da 
luz, os desvios da simultaneidade não serão notados.
Dilatação Temporal
v
2
c t⋅∆
2
v t⋅∆
d
R
v t⋅∆
Figura 6 – Ilustração sobre dilatação temporal
Para um referencial R, que se move em relação ao local onde ocorrem eventos, 
o intervalo de tempo Dt entre os eventos é maior que o intervaloDt’ medido pelo 
referencial R’, em repouso em relação ao local dos eventos. A isso se dá o nome de 
dilatação do tempo.
Podemos definir a dilatação do tempo por intermédio das seguintes fórmulas:
Dt = gDt0 (19)
2 2
2
1 1ou
1 1 v
c
g g
b
= =
-
-
(20)
em que:
• g é o fator de Lorentz;
• v é a velocidade medida onde ocorreu o evento;
• c é a velocidade da luz no vácuo.
A Dilatação Temporal também pode ser escrita na seguinte forma:
2
21
tt
v
c
¢D
D =
-
(21)
19
UNIDADE Relatividade Restrita
Exemplo 2:
Considerando a situação anterior, suponha que um relógio, no pulso do obser-
vador de R’, registre, entre dois eventos, um intervalo de tempo Dt’ = 12 min e que 
a velocidade do vagão seja v = 0,8c. Calcule o tempo registrado por um relógio no 
pulso do observador de R:
Resolução:
( )2 2
2 2
12 12
1 0,640,81 1
tt
v c
c c
¢D
D = = =
-
- -
Logo:
Dt = 20min
Tempo Próprio
O tempo próprio é definido como o intervalo de tempo entre dois eventos que 
ocorrem na mesma posição espacial.
Paradoxo dos Gêmeos. Disponível em: https://youtu.be/98OvQpOkOIU
Ex
pl
or
Contração Espacial ou Contração de Lorentz
v
R’
Túnel
v
R
Figura 7 – Ilustração sobre a contração espacial ou contração de Lorentz
O observador em movimento que vai atravessar o túnel medirá o mesmo 
comprimento deste túnel que o observado parado?
20
21
Para um corpo que está em repouso em relação a um referencial R, esse corpo 
tem comprimento l, e para um referencial R’, que se move em relação ao mesmo 
corpo, o comprimento desse corpo é l’, sendo l’ menor que l.
A diminuição da distância entre dois objetos, medida por um observador que 
se move em relação a eles, chamada de contração espacial ou contração de 
Lorentz, só acontece na direção do movimento.
Com isso, a contração espacial é escrita conforme a seguinte fórmula:
2
21 vl l
c
¢ = - (22)
O comprimento de um objeto é máximo em relação ao referencial em que o 
objeto se encontra em repouso e é menor quando é medido em relação a qualquer 
referencial em que o objeto esteja em movimento.
A conclusão de que o espaço é diferente em relação a referenciais que se mo-
vem um em relação ao outro é uma consequência direta do fato de que o tempo 
é diferente nesse caso e ele é dilatado na mesma proporção. Observadores fixos 
em ambos os referenciais concordam em relação à velocidade relativa v. Logo, l’ 
tem de ser menor do que l. Essa é a única maneira de os observadores fixos nos 
dois referenciais conciliarem suas medidas.
Exemplo 3:
Um foguete viaja em linha reta do Sol até Saturno com velocidade constante de 
0,9c, relativo ao Sistema Solar. A distância entre Saturno e o Sol é de 1,43 × 1012 m. 
Calcule a distância entre o Sol e Saturno medida em relação ao referencial do foguete.
Resolução:
( )2 2 12 121 1 0,9 1,43 10 0,62 10l l m mb¢ = - = - ´ = ´
Adição de Velocidades Relativísticas
Consideremos a situação a seguir, em que as velocidades têm a mesma direção 
e mesmo sentido:
Ilustração sobre a adição de velocidades relativísticas: http://bit.ly/31KrUE6
Ex
pl
or
O vagão move-se com velocidade v em relação ao solo, e um objeto P move-se 
com velocidade u’ em relação ao vagão. Pode-se demonstrar que a velocidade u do 
objeto P em relação ao solo é dada por:
21
UNIDADE Relatividade Restrita
21
u vu
u v
c
¢+
=
¢
+ (23)
Ao usar essa expressão, cada velocidade terá um valor algébrico: positivo, quan-
do tem o mesmo sentido do eixo de referência, e negativo, quando tem sentido 
oposto ao movimento nesse eixo.
Se u e v forem muito menores que c, essas relações reduzem-se às equações 
newtonianas. Mas, se as velocidades forem comparáveis à da luz, é necessário usar 
a transformação relativística. O caso extremo ocorre quando v’ = c; então, qualquer 
que seja o valor de u tem-se v = c. Ou seja, está de acordo com o segundo postu-
lado da relatividade.
Exemplo 4:
Uma nave no referencial R’ move-se com velocidade 0,80c em relação ao solo 
(referencial R), quando lança um projétil com velocidade 0,60c em relação a ela e 
no mesmo sentido. Calcule a velocidade u do projétil em relação ao solo.
Resolução:
22
0,60 0,80 1,40 0,950,80 0,60 1,4811
u v c c cu cc cu v
cc
¢+ +
= = = =
¢ ×
++
Momentum Relativístico
Antes de definirmos o momentum (momento linear) ou momento relativístico, é 
necessário recordar alguns conceitos da dinâmica referentes a essa grandeza física 
chamada momento linear e de sua conservação durante as interações e as condi-
ções para que isso ocorra. 
O momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, é uma 
grandeza vetorial necessária ao estudo das interações entre corpos. É uma característica 
que todo sistema ou objeto tem relacionada à sua massa e velocidade, simultaneamente:
p mv=
 
(24)
em que m é a massa do corpo e v sua velocidade.
Há conservação do momento linear de um sistema se o momento linear ini-
cial for igual ao momento linear final. Isso ocorre sempre que o sistema puder ser 
considerado isolado de forças externas. Pela segunda Lei de Newton, sendo assim, 
o momento linear é uma constante do movimento e, nesse caso, ele é conservado.
22
23
O momento total de um sistema é definido pela soma vetorial de seus momen-
tos lineares, sendo dado por:
i i i i iP p m v= =å å

 
(25)
Contudo, essa grandeza por si só não é invariante relativisticamente, ou seja, se 
o momento linear for conservado num referencial inercial S, não haverá conserva-
ção em outro referencial inercial S’ em movimento em relação a S.
Como sabemos, são necessárias modificações apropriadas nos princípios da 
dinâmica para se adaptarem aos postulados da relatividade. Com isso, para que a 
lei de conservação do momento linear seja válida em todos os referenciais 
inerciais, é preciso que a definição de momento de um corpo seja modificada, 
introduzindo-se o fator de Lorentz em sua definição. Sendo assim, pode-se definir 
o momentum relativístico por intermédio da seguinte equação:
( )0
02
21
m vp v m v
v
c
g= =
-

 
(26)
Com essa definição, o momento linear total de um sistema isolado de partícu-
las é conservado em qualquer referencial inercial, e é dado por:
( )i i i i i iP p v m vg= =å å

 
(27)
Massa Relativística
Analisemos a seguinte situação: sendo m0 a massa medida de um objeto em re-
pouso em relação ao solo e estando, agora, esse objeto em movimento em relação 
ao chão, com velocidade v, pode-se demonstrar que, nessa nova situação, a massa 
do objeto passa a ser m, conforme a seguinte fórmula:
0
2
21
mm
v
c
=
-
(28)
em que m é chamada massa relativística, indicando que a massa em movimento 
é maior que a sua massa de repouso, isto é, a massa é função da velocidade. Assim, 
quanto maior for sua velocidade v, maior será a sua massa relativística m.
Exemplo 5:
Calcule a massa que teria uma pessoa se pudesse se mover com velocidade 0,8c, 
considerando sua massa de repouso igual a 60 kg.
23
UNIDADE Relatividade Restrita
Resolução:
( )
0
2 2
2 2
60 60 100
1 0,640,801 1
mm kg
v c
c c
= = = =
-
- -
Energia Relativística
Espaço, tempo, velocidade e momento linear são transformados pela relativida-
de; portanto, é adequado que também façamos uma modificação na definição de 
energia, em particular, a energia cinética, pois ela está relacionada com o momento 
linear da partícula.
Energia Total Relativística
Supondo a energia potencial igual a zero, a energia total relativística E é dada 
pela soma da energia cinética K com a energia de repouso E0.
Com isso, podemos definir a energia total relativística por:
E = K + E0 = K + m0c
2 (29)
que é a energia cinética mais a energia de repouso.
A energia total pode ser escrita na seguinte forma, usando-se o fator de Lorentz g:
2
2 20
0 2
21
m cE m c mc
v
c
g= = =
-
(30)
Energia de repouso (E0)
É a energia da partícula em repouso, quando sua velocidade é igual a zero. 
É uma energia associada à massa da partícula, dada por:
E = m0c
2 (31)
Energia cinética (K)
Da física clássica, a energia cinética édefinida pela expressão:
21
2
K mv= (32)
24
25
Partindo da expressão da Energia Total Relativística, podemos escrever a ener-
gia cinética K como:
K = E – E0 (33)
K = gm0c
2 – m0c
2 (34)
Trata-se de uma energia associada ao movimento. Contudo, existe uma energia 
inerente associada à massa.
Assim, podemos definir a energia cinética relativística como sendo:
K = m0c
2 (g – 1), (35)
em que g é o fator de Lorentz.
Equivalência massa-energia
A relação massa-energia, dada pela fórmula de Einstein E = mc2, tem uma ca-
racterística comum, pois a massa total do sistema é diferente no estado final do que 
era no estado inicial, ou seja, não há conservação de massa. Em todos os casos, 
observa-se uma mudança correspondente na energia, que é consistente com a as-
sociação de uma energia mc2 com a massa m.
Na fissão nuclear; um núcleo pesado como o de urânio, em repouso, quebra-
-se em duas partes que saem com energia cinética considerável. A massa total dos 
fragmentos é menor que a do núcleo original e o aumento da energia cinética é 
explicado exatamente por essa associação.
Importante!
Partículas podem ser criadas a partir de energia e, também, podem se transformar 
em energia.
Importante!
Esse é um acontecimento frequente nos aceleradores de partículas, onde, em 
certos casos, uma partícula é acelerada para colidir com uma outra partícula alvo, 
podendo gerar maior massa final (com a produção de novas partículas) em relação 
à massa de repouso da partícula alvo e a consequente liberação de energia.
É digno de esclarecimento que, em decorrência da equivalência entre massa e 
energia, todo sistema ligado, pelo fato da energia de ligação ser sempre uma quan-
tidade negativa, possui a soma das massas dos constituintes separados menor do 
que os constituintes ligados. Por exemplo, se pesarmos dois prótons e dois nêutrons 
em separado (desprezando a massa dos dois elétrons), a soma de suas massas será 
menor do que as quatro partículas ligadas formando um núcleo de hélio. Ao ligar as 
partículas, parte da massa é usada na energia de ligação.
Sirius: o maior e mais complexo laboratório brasileiro. Disponível em: https://youtu.be/lbxOSSUkgv0
Ex
pl
or
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UNIDADE Relatividade Restrita
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
O Paradoxo dos Gêmeos Explicado 
https://youtu.be/98OvQpOkOIU
Introdução Experiência de Michelson-Morley
https://youtu.be/bv2ataBdQ78
A História da Velocidade da Luz
https://youtu.be/bkRxUMvn_uA
Sirius, o maior e mais complexo laboratório brasileiro
https://youtu.be/lbxOSSUkgv0
 Leitura
O Eclipse de 1919: A Comprovação da Teoria da Relatividade Geral
http://bit.ly/2qM0EID
Teoria da relatividade de Einstein é comprovada fora da Via Láctea
https://glo.bo/2NiC2Po
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Referências
HALLIDAY , D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: óptica e 
física moderna. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica – relatividade e física quântica. 
2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. A. Física Moderna. 6. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2017.
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