Estatística básica Toledo e Ovalle (1)

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BAS I CA 
Geraldo Lucio Somat6rio. 0 operador somat6rio facilita sobremaneira a 
indica�ao e a formula�ao de medidas, bem como algumas opera�5es alge­
bricas desenvolvidas pela Estatistica. E por essa razao que o assunto sera 
apresentado neste livro como uma especie de apendice ao Capitulo 1. 
Para designar somat6rio, utiliza-se a letra grega sigma mahisculo: l:. , 
0 simbolo deve ser lido como "somat6rio de" ou "soma de". Assim, por 
exemplo, seja o seguinte conjunto de mimeros:X= {3,6, 9, 12, 15}. A soma 
1970/1975. 
Solu¢o: 
1.1.1. Divide-se a popul�lio de cada regilio pela do Estado em cada 
ano, multip licando-se o quociente por 100. Os resultados estao na 
Tabela 1. 28. 
TABELA 1.28 
Populw;io (%) 
Regiiies N'! .i 1970 1975 
I Grande Scio Paulo 45,5 50,9 
II Litoral 4,7 4,8 
Ill Vale do Pararba 4,5 4,3 
IV Sorocaba 6,2 5,7 
v Campinas 11,8 11,4 
VI Ribeiriio Preto 8,0 7, 1 
VII Bauru 3, 1 2,5 
VIII S. J. do Rio Prato 5,3 4,4 
IX Ar�tuba 3,0 2,7 
x Presidente Prudente 4,0 3,2 
XI Mar Ilia 3,9 3,1 
EST ADO 100,0 100,0 47 
N'! 
I 
II 
Ill 
IV 
v 
VI 
VII 
VIII 
IX 
x 
XI 
48 
1.1.2. Para determinar as taxas de crescimento em 5 anos, dividimos 
a popula�ao de 1975 de uma certa regiao pela popula�ao em 1970 da 
mesma regiiio. Exemplo: Para a Grande Sao Paulo teremos: �O 
1
4:
3
1 
;
4 
= 
, 
= 1,287, ou seja, cresceu 28, 7% em cinco anos. Para o Estado teremos: 
20 577 ,0 
17 885,8 
= 1,150, ou seja, cresceu 15% em cinco anos. As demais 
estao na Tabela 1.29. 
TABELA 1.29 
Regioes 
Taxa de crescimento 
1970-75 (%) 
Grande Slio Paulo 28,7 
Litoral 16,6 
Vale do Parafba 10,8 
Sorocaba 4,8 
Campinas 10,5 
Ribeiriio Preto 2,2 
Bauru - 7,1 
S. J. do Rio Preto -3,9 
Arac,atuba 1 ,9 
Presidente Prudente -8,0 
Mar Ilia -7.4 
ESTA DO 15,0% 
I. 2. Calcular os seguintes somatorios: 
4 
1.2.1. L (xi + 2) para x = 2, 3 , 4, 5. 
i=l 
4 
1.2.2. L (xi + 2)2 para x = 1, 2, 3 , 4. 
i=l 
Soluffio: 
4 4 4 4 
1.2.1. L Xj + L 2 = L Xj + (4 x 2) = L Xj + 8 = 
i=l i=l i=l 
= 2 + 3 + 4 + 5 + 8 = 22 
4 4 4 
i=l 
1.2.2. L (xi + 4xi + 4) = L xl + 4 L X; + 16 = 
i=l i=l i=l 
= l + 4 + 9 + 16 + 4(1 + 2 + 3 + 4) + 16 = 
= 34 + 40 + 16 = 90 
Distribuifiio de Frequencias 
No primeiro capitulo, ao se enunciarem as formas de apresentayiio de 
dados numericos, foi mencionada a apresentayiio tabular das series estatis­
ticas. Uma das vantagens das tabelas estatisticas e a de condensar, de forma 
consistente, as informay5es necessanas ao estudo desejado. Isto porque, 
freqiientemente, o estudo de um determinado fenomeno requer a coleta de 
uma grande massa de dados numericos, dificil de ser tratada se esses dados 
nao forem organizados e condensados em uma tabela. No caso especifico das 
seriayOes, acontece normalmente que, ao coletar os dados referentes ao fenO­
meno objeto de estudo, o analista se defronta com valores que se repetem 
algumas vezes, sugerindo sua apresentayiio atraves de tabelas onde somente 
apareyam valores distintos uns dos outros. Essa providencia favorece eviden­
temente uma arnilise e interpretayiio mais rapida da natureza e comporta­
mento do fenomeno observado. Neste capitulo sera desenvolvido um tipo 
de tabela que condensa uma coleyiio de dados conforme as freqiiencias ou 
repetiyoes de seus valores. 
2.1. DADOS BRUTOS 
Feita a coleta, os dados originais ainda niio se encontram prontos para 
anatise, por nao estaren1 numericamente organiZados. Por essa raziio, costu­
ma-se chama-los de dados brutos. Tomando-se, por exemplo, as alturas dos 
alunos em uma sala de aula e anotando-se os resultados em uma lista da qual 
constem os nomes dos alunos em ordem alfabetica, ninguem garantira que 
os valores correspondentes as alturas observarao uma determinada ordem 
numerica, crescente OU decrescente. Mais provavel e que estejam desorgani­
zados, uma vez que a ordem das alturas nao corresponde necessariamente a 
ordem alfabetica. A lista de alturas e, portanto, uma lista de dados brutos, 
que sao aqueles valores a que se chegou pela simples coleta, sem qualquer 
preocupayiiO quanto a sua ordenayiiO. 49 
50 
Na Tabela 2 .1, estao relacionados os valores correspondentes ao consu­
mo individual de energia eletrica, medido em quilowatts-hora, em um grupo 
de 50 usuarios. 
TABELA 2.1 
Consumo Mensal de Energia Elitrica, por 50 Usuarios Particulares - KWH 
58 62 80 57 8 126 136 96 144 19 
90 86 38 94 82 75 148 114 131 28 
66 95 121 158 64 105 118 73 83 81 
50 92 60 52 89 58 10 90 94 74 
9 75 72 157 125 76 88 78 84 36 
Como pode ser observado, as cifras estao dispostas de forma desorde­
nada. Em razao disso, pouca informayao se consegue obter inspecionando os 
dados anotados. Mesmo uma informayao tao simples como a de saber os 
consumos maximo e minimo requer um certo exame dos dados da tabela, 
2.2. ROL 
0 rol e uma lista em que os valores estao dispostos em uma determi­
nada ordem, crescente ou decrescente. Dispondo os dados de acordo com o 
consumo, obtem-se uma ordenayao da Tabela 2.1. 
TABELA 2.2 
Con1umo Mensal de Energia Ellrtrica por 50 Usuarios Particul•es - KWH 
3 
8 
10 
19 
28 
36 
38 
50 
52 
57 
58 75 89 118 
58 76 90 121 
60 78 90 125 
62 80 92 126 
64 81 94 131 
66 82 94 136 
72 83 95 144 
73 84 96 148 
74 86 105 157 
75 88 114 158 
Essa classificayao dos dados proporciona algumas vantagens concretas 
com relayao a sua forma original. Em primeiro lugar, ela torna possivel visua­
lizar, de forma bem ampla, as variayoes de consumo, uma vez que os val ores 
extremos sao percebidos de imediato. Em Segundo lugar, e possivel observar­
-se uma tendencia de concentrayao dos valores na faixa de 50-90 kwh. Apesar 
de o rol propiciar ao analista mais informayoes e com menos esforyo de 
concentrayao do que os dados brutos, ainda assim persiste o problema de 
a analise ter que se basear nas 50 observayoes individuais. 0 problema se 
agravara quando 0 numero de dados for muito grande. 
2.3. TABELA DE FREOUENCIAS 
As tabelas de freqiiencias sao representayoes nas quais os valores se 
apresentam em correspondencia com suas repetiyoes, evitando-se assim que 
eles apare�m mais de uma vez na tabela, como ocorre com o rol. 
Uma empresa fabricante de instrumentos de precisao esta interessada 
em saber o numero de aparelhos defeituosos rejeitados pela seyao encarregada 
do controle de qualidade. As estatisticas, fornecidas por essa seyao, referem-se 
ao periodo de 1971a1974. 
� J 
0 
1971 6 
1972 10 
1973 3 
1974 7 
TABELA 2.3 - EMPRESA X 
Numero Mensal de Aparelhos Defeituosos 
F M A M J J A s 
2 5 6 0 8 7 .6 3 
9 7 6 3 4 6 4 5 
6 7 9 3 1 4 6 5 
2 5 8 6 4 2 5 1 
0 N 
4 5 
4 0 
3 5 
6 5 
Os dados brutos, apresentados na Tabela 2.3, nao informam muita coisa 
sobre o fenomeno "numero de aparelhos defeituosos", sendo dificil extrair 
deles muitas conclusoes, sem esforyo de concentrayao. Observa-se, entretanto, 
que os valores que constam da tabela aparecem repetidos, como o 0 (zero), 
por exemplo, que aparece duas vezes. Esse fato ira sugerir, naturalmente, que 
se condensem todos os resultados em uma tabela, estabelecendo a correspon­
dencia entre o valor individual e o respectivo numero de vezes que ele foi 
observado. 
0 nuniero de observayoes ou repetiyoes de um valor ou de uma modali­
dade, em um levantamento qualquer, e chamado freqiiencia desse valor OU 
dessa modalidade. Uma tabela de freqiiencias e uma tabela onde se procura 
fazer corresponder os valores observados da variavel em estudo e as respectivas 
freqiiencias. A tabela de freqiiencias proporciona uma apresentayao estetica­
mente mais vantajosa dos dados, facilitando ainda a verificayao do comporta­
rriento do fenomeno. E possivel, por outro lado, com a utilizayao de uma 
tabela de freqiiencias, a obtenyao de estatisticas (medidas) com menos 
calculo, e, conseqiientemente, em menos tempo do que se esse trabalho fosse 
realizado a partir dos dados brutos. 
As tabelas de freqiiencias podem representar tanto valores individuais 
como valores agrupados em classes. 
2.3.1. Distribui�ao de Frequencias de Dados Tabulados 
Niio-Agrupados em Classes 
Utilizando OS dados da Tabela 2.3, e possivel construir uma tabela de 
D 
8 
1 
4 
2 
freqiiencias de valores nao-agrupados em classe, ou seja, uma tabela onde os 51 
52 
valores da variavel aparecem individualmente. Este tipo de apresentayliO e 
utilizado para representar uma variavel discreta ou descontinua. 0 exemplo 
e dado pela Tabela 2.4. 
TABELA 2.4 - EMPRESA X 
NumeroMensal de Aparelhos Defeituosos 
Numero de 
Contagem ou Numero de 
j Aparelhos com 
Defeito fxjJ 
Tabula�o Meses ffj) 
1 I 0 r I 2 I I 
2 I 1 n I 3 
3 I 2 0 I 4 
I 
ISi 
I 
4 I 3 I 5 
5 I 4 ISi r I 7 
6 I 
5 ISi n I 
8 I I 
7 I 6 ISi 0 I 9 
8 I 7 0 I 4 
9 
I 
8 n 
I 
I I 3 
10 I 9 r I 2 
11 I 10 I I 
1 
I I 
11 
I fj = 48 
j=I 
Na primeira coluna, encabeyad� pelo fndice j, aparecem os numeros 
correspondentes a ordem dos valores da variavel. 0 indice j sera utilizado, 
neste livro, sempre que se estiver trabalhando com tabelas de frequencias 
(dados tabulados). Para operar - com os dados brutos, usar-se-a o indice i. 
Na segunda coluna, encabeyada por Xj, sao anotados os valores da 
variavel. 
A terceira coluna e uma coluna auxiliar, utilizada para que se possa 
processar a contagem dos valores repetidos, sem grande esforyo. 
A ultima coluna, encabeyada por fj, apresenta as freqiiencias, que sao 
os resultados numericos provenientes da contagem. A soma das freqiiencias 
e sempre igual ao numero total de valores observados: 
� 
� 
k e 0 extremo superior do intervalo de valores do indice j. 
fj e 0 numero de observayoes de um valor 
Ne o numero total de valores observados 
(1) 
Normalmente, depois de construida, a tabela apresentara apenas as 
colunas encabeyadas por Xj e f;. 
2.3.2. Distribui\:io de FrequAncias de Dados Agrupados em Classes 
Muitas vezes, mesmo com o risco de se sacrificar algum detalhe mani- . 
festado na ordenayao de valores individuais, ha vantagem em resumir os dados 
originais em uma distribuiyao de freqiiencias, onde os valores observados nao 
mais aparecerao individualmente, mas agrupados em classes. 
Quando a variavel objeto do estudo for continua, sera sempre conve­
niente agrupar os valores observados em classes. Se, por outto lado, a variavel 
for discreta e o numero de valores representativos dessa variavel for muito 
grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em classes. Neste ultimo 
caso, o procedimento visa a evitar certos inconvenientes, como: 
a. grande extensao da tabela, dificultando, tanto quantci os dados brutps, a 
leitura e a interpreta�o dos resultados apurados. 
b. Aparecimento de diversos valores da variavel com freqiiencia nula. 
c. lmpossibilidade ou dificuldade de visualizar;ao do comportamento do 
fenomeno como um todo, bem como de sua variar;ao. 
Um teste de estatistica, contendo 100 perguntas do ti po certo-errado, 
foi aplicado em uma tunna de 500 estudantes. A Tabela 2.5 apresenta os 
resultados do teste. 
TABELA 2.5 
Resultados do Teste de Estatlstica 
Classes Freqiiiincias 
Notas fj 
01--10 5 
10.f--20 15 
201--30 20 
301--40 45 
401--50 100 
501--60 130 
601--70 100 
701--80 60 
801--90 15 
901--100 10 
10 
I fj = 500 
j=l 
53 
54 
Para a constru9ao dessa tabela, nao ha necessidade de se ordenarem os 
valores originais. Pode-se partir diretamente da lista de dados brutos. E facil 
ver, por outro lado, que, na distribui9ao de freqilencias de valores agrupados 
em classes, nao figuram mais os valores exatos de cada item em particular. 
Nao e possivel, da mesma forma, obter diretamente da tabela o valor exato 
dos itens mais alto e mais baixo. Apesar disso, a tabela informa, de imediato, 
a tendencia de a serie se concentrar em torno de um valor central, alem de 
proporcionar uma visao panoramica do comportamento da variavel, o que 
seria impossivel de se fazer a partir da lista dos dados brutos. 
0 simbolo f--- indica inclusao na classe do valor situado a sua 
esquerda e exclusao do valor situado a sua direita. Assim, na Tabela 2.5 a 
primeira classe (Ol---10) congrega valores de 0 (zero), inclusive, ate 10, 
exclusive. 
Ha outros simbolos para representar o intervalo de classe: 
0 --l 10: A classe cornpreende valores de 0, exclusive, ate 10, inclusive. 
0 -- 10: A classe cornpreende valores de 0, exclusive, ate 10, exclusive. 
0 f---i 10: A classe cornpreende valores de 0, inclusive, ate 10, inclusive. 
2.4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUICAO DE FREQUENCIAS 
Para construir uma tabela de freqilencias, e necessario conhecer alguns 
termos pr6prios e de uso corrente, bem como o procedimento tecnico mais 
adequado. Esses termos serao listados a seguir. 
2.4.1. Frequencia Simples Absoluta 
A freqilencia simples absoluta de uma classe ou de um valor individual 
e o numero de o'bserva9oes correspondentes a essa classe ou a esse valor. A 
freqilencia simples absoluta, OU simplesmente freqilencia, e sirnbolizada por 
fj. Na Tabela 5: 
!1 = 
5 
!2 = 15 
f3 = 20 
!10 10 
2.4.2. Amplitude Total: Ar 
A amplitude total OU intervalo total e a diferen9a entre 0 maior e 0 
menor valor observado da variavel em estudo. Se, por exemplo, no teste que 
deu origem a Tabela 2.5, a maior nota tivesse sido 97 e a menor 1, a ampli­
tude total do conjunto de valores observados seria: 
Ar = 97 - 1 = 96 
A amplitude total do exemplo da Tabela 2.1, por outro lado, sera: 
At = 158 - 8 = 150 
2.4.3. Classe 
Classe de freqiiencia, OU, simplesmente, classe, e cada um dos grupos 
de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de valores 
observados da variavel. 
Uma determinada classe pode ser identificada por seus extremos ou 
pcla ordem em que ela se encontra na tabela (valor do indice j). Na Tabela 2.5: 
Classe 0 I--- 10 
Classe 80 I-- 90 
ou primeira classe (j = 1) 
ou nona classe (j = 9) 
0 numero de classes, em uma distribuic;:ao de freqiiencias, e represen­
tado por k. E importante que a distribuic;:ao conte com um numero adequado 
de classes. Se esse numero for escasso, os dados originais ficarao tao compri­
midos que pouca inforrnac;:ao se podera extrair da tabela. Se, por outro lado, 
forem utilizadas muitas classes, havera algumas com freqiiencia nula ou muito 
pequena, e 0 resultado sera uma distribuic;:ao irregular e prejudiciat a inter­
pretac;:ao do fenomeno como um todo. 
Para determinar o numero de classes ha diversos metodos. A regra de 
Sturges, um dos metodos, estabelece que o numero de classes e igual a: 
I k= 1+3,3 log10N I 
k = numero de classes 
N = numero total de observa�0es 
Exemplo: 
a) Se 0 numero de observac;:oes for 500: 
N = 500 
k = 1 + 3,3 log 500 
log 500 = 2,69897 
k = 1 + (3,3 x 2,69897) = 1 + 8,906601 
k = 9,906601 ou, arredondando, 
k = 10 
b) Se N = 50 
k = 1 + 3,3 log 50 
k = 1 + (3,3 x 1,69897) = 1 + 5,606601 = 6,606601 
k .. 7 
(2) 
Esses dois exemplos revelam um dos inconvenientes resultantes da apli­
cac;:ao da formula de Sturges, que e o de propor um numero demasiado de 
classes para um numero pequeno de observac;:oes e relativarnente poucas 
classes, quando o total de observac;:oes for grande. 55 
56 
Truman L. Kelley, em The Grouping Data for Graphic Portrayal, sugere 
os seguintes numeros de classes, com base no numero total de observayoes, 
para efeito de representayao grafica: 
5 10 25 50 100 200 500 1.000 
2 4 6 8 10 12 15 15 
Mesmo conhecendo esses e outros criterios de determina�ao do numero 
de classes, o analista devera ter em mente que a escolha dependera antes da 
natureza dos dados e da unidade de medida em que eles forem expressos do 
que de regras muitas vezes arbitrarias e pouco flexiveis. 
2.4.4. Limites de Classes 
a) Limite Superior e Limite Inferior 
Os limites de classe sao seus valores extremos. A segunda classe do 
exemplo da Tabela 2.5 tern como limites os valores 10 e 20. 0 valor 10 e 
denominado limite inferior ou limite minimo de classe, enquanto o valor 20 
e den�minado limite superior. 
Os valores 0 e 100, por representarem, respectivamente, o limite 
inferior da primeira classe e 0 superior da ultima, sao tambem denominados 
limite inferior e limite superior da distribui�o. 
Para a construyao de uma tabela de freqilencias e muito importante a 
escolha dos limites das classes, de forma que seus pontos medios (item 2.4.6) 
coincidam, tanto quanto possivel, com a concentra�ao dos valores reais. Alem 
disso, e recomendavel que os limites de classe sejam representados porn(1meros inteiros. Por outro lado, ao estabelecer os limites de classe, deve-se 
ter cuidado para evitar interpreta�oes ambiguas. Por exemplo, os limites: 
30 
40 
50 
Cruzeiros 
40 
50 
60 
Eles nao sao claros, em virtude de nao se saber em que classe devem 
ser incluidos os valores 40 e 50. Se os valores originais estiverem arredon­
dados para inteiros, sera correto escrever: 
Cruzeiros 
30 a 39 
40 a 49 
50 a 59 
Entretanto, se os valores originais aparecerem com precisao ate centavos, 
esses lirnites nao serao claros. Utilizando essa ultima representa9ao, nao se 
teria certeza quanto a em que classe se deveriam incluir valores tais como 
39,4, 39,8, 49,7 etc. 0 problema estaria solucionado se os limites fossem 
escritos da seguinte rnaneira: 
30,00 
40,00 
50,00 
Cruzeiros 
a 
a 
a 
39,99 
49,99 
59,99 
Entretanto, esse terceiro tipo de distribui�o nao e muito aceito, em 
virtude de problernas de ordem estetica. 
Para evitar os inconvenientes apresentados pelas tres formas auteriores 
de apresenta9ao de dados em tabelas de freqiiencias, alguns autores sugerem 
a seguinte representa�o: 
Cruzeiros 
30 1----------- 40 
40 50 
50 60 
ficando subentendido que na primeira classe devem estar inclufdos os valores 
rnaiores ou iguais a 30 ate valores que sejam menores que 40, e assim 
sucessivamente. 
Se o leitor tiver que trabalhar com uma tabela que ja esteja montada 
e onde OS }imites de classe estejam expressos de forma diferente a sugerida 
por esse livro, sera conveniente conhecer a no�o de limites reais de classe. 
b) Limites Reais de C/asse 
Considere a Tabela 2.6, em que se exemplifica urna distribui9ao de 
freqiiencias. 
TABELA 2.6 
Classes fj 
2,50 a 2,59 1 
2,60 a 2,69 2 
2,70 a 2,79 7 
2,80 a 2,89 4 
2,90 a 2,99 2 
16 57 
58 
A primeira classe, cujos limites sao 2,50 e 2,59, congregaria, na reali­
dade, valores compreendidos no intervalo de 2,495 a 2,595. Esses limites sao 
denominados limites reais de classe. Na pratica, os limites reais sao obtidos 
pela media aritmetica entre o limite superior de urna classe e o limite inferior 
de classe seguinte. 0 limite superior real da primeira classe sera, entao: 
2,59 + 2,60 
= 2 595 
2 
, 
c) Limites niio Definidos 
Urna classe com limite indefinido OU aberto e aquela que inclui todos 
os valores da variavel menores que um certo limite superior especificado, ou 
maiores que um limite inferior especificado. 
TABELA 2.7 
Acionistas da G.L.T. S.A. - Componentes Eletronicos 
Numero de Bfoes 
1 a 99 
100 a 499 
500 a 999 
1 000 a 9 999 
10 000 OU ma is 
TOTAL 
Acionistes 
fj (1.000) 
20 
70 
50 
45 
5 
190 
A utilizac;:ao desse expediente prejudica a representac;:ao e analise dos 
dados. Nao se sabe, na realidade, se a media de ac;:oes possuidas pelos 5 000 
acionistas com 10.000 ou mais a90es e um numero muito pr6ximo ou muito 
afastado desse limite inferior. Nao e possivel, por conseguinte, utilizar a 
tabela po.ra calcul�s em que se requeira grande exatidao, como, por exemplo, 
para estirnar a media de ac;:oes por acionista. 
2.4.5. Amplitude do lntervalo de Classe 
A amplitude do intervalo de classe ou simplesmente intervalo de classe 
e o comprimento da classe, sendo geralmente definida como a diferenc;:a entre 
seus limites superior e inferior. Essa definic;:ao nlio e evidentemente geral, urna 
vez que, se for utilizada para calcular o intervalo de classe, qualquer uma 
das formas de representac;:ao das classes anteriormente propostas podera 
conduzir a intervalos diferentes. 
Para determinar, entao, a amplitude do intervalo de classe, deve-se 
tomar a diferenc;:a entre dois limites inferiores ou entre dois limites superiores 
sucessivos de classe. Esse procedimento e verdadeiro sempre que as classes 
tiverem a mesrna amplitude. 
No exemplo da Tabela 2.6, tem-se: 
a) Amplitude do intervalo de classe obtida pela diferenl(a entre dois limites 
superiores sucessivos: 
2,69 - 2,59 = 0,10 
A amplitude do intervalo da segunda classe e igual a 0,10. 
b) Amplitude do intervalo de classe obtida pela diferen�a entre dois limitcs 
inferiores sucessivos: 
2,70 - 2,60 = 0,10 
que e a amplitude do intervalo da segunda classe. 
Se a amplitude da segunda classe fosse determinada, para esses limites,' 
de acordo com a primeira defini9ao, resultaria em um valor diferente do' 
obtido pelo ultimo criterio: 
2,69 - 2,60 = 0,09 * 0,10 
Se as classes forem representadas como sugerido na Tabela 2.6, a ampli­
tude de classe, estabelecida conforme a primeira defirri9ao, somente coincidira 
com a calculada de acordo com a segunda quando sua determina9ao for 
efetuada a partir dos limites reais de classe. Assim, a amplitude do intervalo 
da segunda classe ficara: 
2,695 - 2,595 = 0,10 
E recomendavel construir tabelas onde os intervalos de classe sejam 
iguais. Evitam-se, assim, equivocos na interpreta9ao da varia9ao do fenomeno. 
Entretanto, a adoyao desse procedimento pode, em certas ocasioes, resultar 
em uma distribuiyao de freqiiencias muito deformada, o que nao acontece 
se as amplitudes forem desiguais. Quando, por um motivo qualquer, tecnico 
ou estetico, os intervalos tiverem amplitudes desiguais, a nova amplitude 
devera ser um multiplo da primitiva, preferencialmente 0 dobro, 0 quintuplo 
e o decuplo. 
2.4.6. Ponto Medio de Classe - xi -
0 ponto medio OU valor medio de classe e 0 valor que a representa, 
para efeito de calculo de certas medidas. Na distribuiyao de freqiiencias com 
valores agrupados em classes, considera-se que os resultados incluidos em 
cada classe distribuem-se uniformemente por seu intervalo. Por essa razlio, a 
escolha do ponto medio para representar todos OS valores de uma classe e 0 
procedimento mais coerente, uma vez que esse ponto, por suas caracteristicas, 
deve ser eqiiidistante dos limites de classe. 
Para obter o ponto medio de uma classe, basta acrescentar ao seu limite 
inferior a metade da amplitude do intervalo de classe. Esse procedimento 
podc ser adotado, qualquer que seja a representa9ao tabular escolhida. Assim, 
por exemplo, o ponto medio da primeira classe da distribni9ao da Tabela 2.7 
sera determinado como segue: 
Primeira classe: 2,50 a 2,59 
Amplitude do intervalo: 0,10 
Metade da amplitude: 0,05 59 
0 ponto medio da primeira classe seni, entao: 
X1 = 2,50 + 0,05 = 2,55 
Para obter os pontos medios das classes seguintes, basta acrescentar ao 
ponto medio da classe precedente a amplitude do intervalo de classe (se for 
constante), como indicamos na Tabela 2.8. 
Quando as classes forem representadas conforme aparece na Tabela 2.5, 
ou seja, quando o limite superior de uma classe for igual ao inferior da 
seguinte, 0 ponto medio podera ser calculado atraves da media aritmetica dos 
limites do intervalo. Assim sendo, o ponto medio da primeira classe sera: 
Primeira classe: 0 f---10 
Xl -
- 0 + 10 -- 5 Ponto medio: 
2 
TABELA 2.8 
'i 
Ponto mt!!dio Classe Xj 
2,50 a 2,59 1 2,55 
2,60 a 2,69 2 2,55 + 0,10 = 2,65 
2,70 a 2,79 7 2,65 + 0,10 = 2,75 
2,80 a 2,89 4 2,75 + 0,10 = 2,85 
2,90 a 2,99 2 2,85 + 0,10 = 2,95 
16 
2.5. TIPOS DE FREOUENCIAS 
Uma tabela de freqiiencias pode representar e caracterizar um dos 
seguintes tipos de freqiiencias: 
- Freqiiencia Simples 
-- Freqiiencia Acumulada 
a) Freqii.encia Simples Absoluta 
60 Simbolo: f; 
{ Absoluta 
Relativa 
"Abaixo de" 
(crescente) 
"Acima de" 
( decrescente) 
{ Absoluta 
Relativa 
{ Absoluta 
Relativa 
2.5.1. Freqiiencias Simples 
A freqilencia simples absoluta e o numero de repeti9oes de um valor 
individual ou de uma classe de valores da variavel. Trata-se do caso visto ate 
o presefite. A soma das freqilencias simples absolutas em uma tabela e 
chamada freqilencia total e corresponde ao numero total de observa9oes. 
� 
� 
(3) 
Considerem-se os exemplos dados pelas Tabelas 2.9 e 2.10. 
TABELA 2.9 - EMPRESA X 
Relatorio de lnsp�io. NCimero de Defeitos por P�a 
Numero de Defeitos 
Xj 
0 
1 
2 
3 
4 
Numero de Per:as 
fj 
5 
10 
18 
12 
5 
Na Tabela2.9, a freqilencia simples absoluta do valor zero e 5, indicando 
que esse numero aparece cinco vezes no levantamento efetuado. Ha, portanto, 
cinco pe�s com nenhum defeito. 
TABELA 2.10 
Notas Obtidas por 500 Alunos em um Teste de Estatlstica 
Notas Nes correspondentes a esse valor 
ou a essa classe. Para obter a freqtiencia absoluta acumulada (acima de), basta 
somar a freqtiencia simples absoluta da classe ou do valor individual as 
freqi.iencias simples absolutas das classes ou dos valores individuais posteriores. 65 
66 
TABELA 2.18 
Notas Obtidas por 500 Alunos em um Teste de Estatfstica 
Notas fj 
Fj 
"Acima de" 
01-- 10 5 500 
101-- 20 15 495 
201-- 30 20 480 
301-- 40 45 460 
401-- 50 100 415 
501-- 60 130 315 
601-- 70 100 185 
701-- 80 60 85 
801-- 90 15 25 
901--100 10 10 
500 
Considere-se o exemplo da Tabela 2.16. 0 valor F5 = 415 indica que 
houve quatrocentos e quinze alunos com notas iguais ou superiores a 40. 
b) Frequencia Relativa Acumulada 
A freqiiencia relativa acumulada "acima de" classe ou do valor indi­
vidual j, exemplificada na Tabela 2.17, e igual a soma da freqiiencia simples 
relativa dessa classe ou desse valor com as freqiiencias simples relativas das 
classes ou dos valores posteriores. Da mesma forma como no caso anterior, 
pode-se obter as freqiiencias relativas acumuladas "acima de" a partir: 
TABELA 2.17 
Notas Obtidas por 500 Alunos em um Teste de Estatlstica 
I Descordo Deacordo I 
Notas 'i I frj (%) Fj com o item (a) com o item (b) 
I Acimade 
I Frj (%) Frj 
I Acimade Acimade 
Of-- 10 5 : 1 500 100 500/500 = 1 ,00 OU 100% 
101-- 20 15 I 3 495 99 495/500 = 0,99 OU 99% 
201-- 30 20 I 4 480 96 480/500 = 0,96 OU 96% 
301-- 40 45 I 9 460 92 460/500 = 0,92 OU 92% 
401-- 50 100 I 20 415 83 415/500 = 0,83 OU 83% 
501-- 60 130 
I 
26 315 63 315/500 = 0,63 OU 63% I 
601-- 70 100 I 20 185 37 185/500 = 0,37 OU 37% 
701-- 80 60 I 12 85 17 85/500=0,17 OU 17% 
801-- 90 15 I 3 25 5 25/500 = 0,05 OU 5% 
901--100 10 I 2 
I 
10 2 10/500 = 0,02 OU 2% 
500 I 100 
a) da defini�ao de freqilencias acumuladas; 
b) da defini�o de freqilencias relativas. 
2.6. ROTEIRO PARA A ELABORACAO DE UMA TABELA DEFREOUENCIAS COM DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
Para a constru�o de uma tabela de frequencias, e conveniente adotar-se 
um roteiro que, embora baseado em criterios relativamente arbitrarios, facilita 
e torna mais operacional o trabalho de quern ira montar a tabela. 0 roteiro 
proposto consta dos seguintes passos: 
a) Lista de dados brutos que pode ou nio ser transformada em rol. 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados. 
At= 
Maior valor 
do conjunto 
Menor valor 
do conjunto 
c) Escolher o numero de classes (k). Alguns autores prop(iem que se escolha 
arbitrariamente entre um minimo de cinco e um maximo de vinte classes, ressaltando, 
todavia, que, quanto maior o numero de observa¢es, maior devera ser o numero de 
classes e vice-versa. No item 2.4.3 desse cap{tulo Coram apresentados dois criterios mais 
objetivos para a determina�iio do numero de classes: a formula de Sturges e a tabela 
de Kelley, os quais, eventualmente, poderiio ser utilizados pelo leitor. 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe. A amplitude do intervalo 
de classe sera igual ao quociente entre a amplitude total da serie e 0 numero de classes 
escolhido. 
At 
Amplitude do Intervalo de Classe = k (7) 
Muitas vezes, ao efetuar a divisiio acima, pode-se chegar a um resultado nio 
muito conveniente, sob o aspecto de montagem das classes. Neste caso, convem arre­
dondar o nlimero correspondente a amplitude do intervalo de classe a que se chegou 
para um numero mais adequado, que facilite os c8lculos (arredondamento arbi­
trario ). 
e) Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, 
numeros inteiros. 
O Construir a tabela de freqilencias, conformc sugerido anteriormente. 
EXERCiCIOS RESOLVIDOS 
2.1. A tabela abaixo representa os salarios pagos a l 00 operarios da empresa 
GLT & Cia. 
2. l. l . Determinar: F requencias absolu tas acumuladas ( "abaixo de''); 
frequencias simples relativas e frequencias relativas acumuladas ("abai­
xo e acima de''). 
2.1.2. Quantos operarios ganham ate dois salarios mfnimos? 67 
68 
N'! de salarios Numa caracteristica comum 
objeto de estudo. 
2.10. 2. Os fenomenos de Massa sao: 
a. aqueles em que as caracteristicas observadas niio valem para os indiv{duos; 
b. aqueles que niio podem ser definidos por uma simples observa«;lio; 
c. aqueles que irlio compor os fenomenos coletivos. 
2.10.3. A variavel e discreta quando: 
a. dados dois valores reais, podemos encontrar pelo menos um valor entre 
eles; 
b. a menor diferen11a niio nula entre dois valores dados for finita; 
c. dados dois valores reais, a diferen1----
Exportai;:ao efetiva 
(acumulada) 
/ 
/ 
/ 
J F M A M J J A S O N D 
60 000 
50 001 
40 000 
30 000 
20 000 
10 000 
0 
trativos, economicos ou de qualquer outra natureza combinam as tres formas 
de apresentayao de dados. lsto porque, na pratica, poucas pessoas tern habi­
lidade com mimeros, e as que tern dificuldade consultarao, via de regra, 
apenas o grafico. Por outro !ado, a maior parte das pessoas nunca examinara 
as tabelas estatfsticas, preferindo analisar os graficos e eventualmente 
procurar no texto a informayao adicional necessaria. 
3.2.3. Uso lndevido dos Graficos 
Muitas vezes, o uso indevido dos graficos pode trazer uma ideia falsa 
dos dados que estao sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. 
Vejamos, atraves de um exemplo, como esse fato pode ocorrer. Os tres 
graficos apresentados a seguir representam o mesmo fenomeno atravesdo 
mesmo grupo de dados. A primeira impressao e a de que OS tres graficos 
representam dados nitidamente diferentes. 
No Grafico 3.2, as flutua96es das vendas parecem ser moderadas; ja no 
Grafico 3.4, tem-se a impressao de que a flutuayao das vendas nao manifesta 
praticamente tendencia alguma, exceto leve flutuayao. Trata-se, na realidade, 
de um problema de construyao de escalas. Enquanto o Grafico 3.2 se apre­
senta com uma escala mais ou menos convencional, os demais revelam pro­
pory6es consideravelmente diferentes para as escalas em que foram divididos 
os dois eixos. 
Examinando superficialmente os tres graficos e nao prestando muita 
atenyao as escalas e a outros detalhes tecnicos, o leitor certamente recebera 
impressoes diferentes sobre a flutuayao das vendas. 77 
GRAFICO 3.2 - VENDAS DO ARTIGO Y G RA FICO 3.3 VEN DAS DO ART I GO Y 
4 
.. 
e 
·;;; 3 
N 
2 
" 
.. 
"O 2 
.. 
.. 
>O 
.J:. 
:E 
0 
J F M A M J J A S O 
1975 
.. 
e 
·a; 
N 
2 
" 
.. 
"O 
.. 
.. 
>O 
.J:. 
:E 
3,0 
2,9 
2,8 
2,7 
2,6 
2,5 
2,4 
J M M J S 
/ 1975 
GRAFICO 3.4 - VENDAS DO ARTIGO Y 
.. 
e 
·a; 
N 
2 
" 
Cl) 
"O 
.. 
"' 
>O 
.J::. 
:E 
4 
3 
2 
0 
J F M A M J J A s 0 
1975 
3.2.4. Principais Tipos de Graficos 
3.2.4.1. Graficos em Barras (horizontais) 
Os graficos em barras tern por finalidade comparar grandezas, por meio 
de retiingulos de igual largura e alturas proporcionais as respectivas grandezas. 
Cada barra (ou coluna) representa a intensidade de uma modalidade do 
78 atributo. 0 Grafico 3.5, em barras, representa as vendas efetuadas pela 
empresa V ASIGLASS S.A., fabricante de vasilhas de vidro, conforme os 
diferentes tipos desses recipientes, expressando-se as vendas de cada tipo 
como percentagem das vendas totais. 
As magnitudes das barras sao representadas pelos respectivos compri­
mentos e seu trayado e feito tendo-se como referenda uma escala horizontal. 
Em geral, as divisoes da escala se prolongam em trayos verticais por todo o 
grafico, facilitando assim a leitura do comprimento de cada barra. A identi­
ficayao da barra e inscrita a esquerda do grafico. 
GRAFICO 3.5 - VASIGLASS S.A. 
VENDAS DE VASILHAS, POR TIPO, EXPRESSAS COMO PERCENTAGEM 
DAS VENDAS TOTAIS, 1972 
TIPOS DE VASILHAS 0 5 10 15 20 25 30 35 40% 
Para al imentos (boca I arga) 
Farm6cia e cosm8ticos 
Utilidade geral 
Garrafas de cerveja 
Lie ores 
Alimentos (boca estreita) 
Garrafas de refrigerantes 
Vasilhas caseiras 
0 5 10 15 20 25 30 35 40% 
Ha quatro orientayoes gerais a sercm observadas na construyao de um 
grafico em barras horizontais: 
a) As barras so diferem em comprimento, e nio em largura, a qual e 
arbitraria. 
b) As barras devem vir separadas umas das outras pelo mesmo espac;o, o qua! 
deve ser suficicnte para que as inscric;oes que identificam as diferentes 
barras nao tragam confusiio ao leitor. Como regra pratica pode-se tomar 
o espac;o entrc as barras com·o aproxirnadamente a metadc ou dois terc;os 
de suas larguras. 
c) As barras dcvem ser desenhadas observando sua ordem de grandeza, 
para facilitar a leitura e analise comparativa dos valores. Normalmente, a 
ordem e decrcscente, a barra superior representando o maior valor. Cate­
gorias gerais que costumam vir com inscric;oes do tipo "outros", "demais" 
etc. aparecerao representadas na barra inferior, mesmo que seu compri­
mento exceda o de alguma outra, uma vez que ela representa o agrupa­
rnento de classes relativamente pouco importantes. 
d) Um grafico, construldo para mostrar grandezas absolutas, devera ter uma 
linha zero claramente definida e uma escala de quantidades ininterrupta, 79 
caso contnirio a leitura e a interpretar;iio do gr:ifico poderiio ficar 
distorcidas. 
Existem outros tipos mais elaborados de graficos em barras. Entre eles 
destacam-se tres: o grafico de barras compostas, o graficocostuma-se colocar no topo ou no interior de cada coluna 
o valor correspondente a sua altura. Esse procedimento permite eliminar a 
escala. 
A Tabela 3.1 apresenta a produyao media mensal de carvao betumi­
noso efetuada por um certo pafs, no periodo de 1965 a 1972. 
Atraves do Grillco 3.9 podemos ver como a Tabela 3.1 ficara reprer 
·sentada. 
Os graficos em colunas podem aparecer de diversas maneiras, dentre as 
quais se destacam tres: graficos em colunas superpostas, graficos de porcen­
tagens complementares e graficos em colunas remontadas. 
Grtificos em Co/unas Superpostas 
0 grafico em colunas superpostas corresponde ao grafico de barras 
compostas. Tanto um quanta o outro servem para representar compara­
tivamente dois ou mais atributos. 0 Grafico 3.10 apresenta a produ�o de 
televisores portateis e de televisores com mais de 20 polegadas da Empresa Y. 
GR,\FICO 3.10 - PRODUCAO DE TELEVISORES - EMPRESA Y 1970-1973 
3500 
3000 
2 500 
2 000 
1 500 
1 000 
500 
0 
1970 1971 1972 1973 
Grdficos de Porcentagens Complementares 
3 500 
3000 
2 500 
2 000 
1 500 
1 000 
500 
0 
� Maisde20 
� Polegadas 
llllllD Portateis 
0 mesmo fato representado pelo grafico de colunas superpostas pode 
ser visto tambem em termos de participa�o percentual de cada tipo de 
televisor no total produzido. 
Cada coluna do grafico corresponde a 100%, e suas partes componentes 
sao obtidas por meio de uma regra de tres simples. Para exemplificar: a 
produ�o total de televisores em 1970, cujo valor e igual a altura da primeira 
coluna do Grafico 3.10, corresponde a 100%; entao, a produyao de televisores 
portateis correspondera, em 1970, a x por cento. Esquematicamente, 
2 500 ----- 100% 
2000 ----- x 
= 2000 x 100 
= 800!. x 2 500 10 83 
GRAFICO 3.11 - EMPRESA Y - PRODUCAO DE TELEVISORES 1970-1973 
84 
% % 
100 100 
80 
60 
40 
20 
0 
1970 1971 1972 
80 
60 
40 
20 
0 
1973 
Mais de 20 
Polegadas 
lllllllllllll Portateis 
Obtem-se a porcentagem do complemento por diferen9a: porcentagem 
de televisor es com mais de 20 polegadas: 100 - 80 = 20%. E assim se 
procede sucessivamente, ate completar o grafico. / 
Grdfico em Colu�s Remontadas 
0 grafico em colunas remontadas presta-se aos mesmos prop6sitos que 
o grafico em barras agrupadas. Ela permite que as compara9oes entre as 
grandezas dos atributos sejam feitas mais facilmente. No Grafico 3.12 estao 
representadas as vendas da empresa Y, discriminadas de acordo com o fa to de 
as vendas serem destinadas ao mercado externo ou ao interno. 
GRAFICO 3.12 - VENDAS DA EMPRESA Y 
VENDAS INTERNAS X VENDAS PARA 0 EXTERIOR - 1968-1972 
Vendas 
(1.000 cruzeiros) 
700 
600 
500 
400 
300 
200 
100 
0 
1969 1970 1971 
Vendas 
(1.000 cruzeiros) 
700 
600 
500 
400 
300 
200 
100 
0 
1972 
lllllllll 
Vendas 
lnternas 
Vendas ao 
Exterior 
3.2.4.3. Graficos Pict6ricos (Pictogramas) 
Os graficos pict6ricos ou pictogramas sao construi'dos a partir de fi­
guras ou conjunto de figuras representativas da intensidade ouos 
valores de cada segmento como percentagens do total, trayando-se o grafico 87 
88 
GRAFICO 3.16 - PRODUCAO BRASILEIRA OE CAMINH0ES PESADOS 
PERiODO 1962-1966 
30 000 
20 000 
10 000 
0 
1962 1963 1964 1965 �966 
GRAFICO 3.17 - PRODUCAO ACUMULADA DE CAMINHCES PESADOS 
BRASIL - 1962-1966 
140 
120 
100 
80 
60 
40 
20 
0 
1962 1963 1964 1965 1966 
correspondente a partir dai. A largura das faixas de cada segmento fornecera 
a respectiva participac;ao percentual na producrao de caminhoes. 
Para esclarecer melhor o calculo das porcentagens (participas;ao percen-
tual de cada segmento ), e apresentado a seguir 0 calculo da participas;ao 
GRAFICO 3.18 - PRODUCAO BRASILEIRA DE CAMINHOES PESADOS 
PARTICIPACAO PERCENTUAL DE CADA SEGMENTO - 1962-1966 
% 
80 
60 
40 
20 
0 
1962 1963 1964 1965 1966 
percentual do segmento Diesel na producrao de caminhoes pesados no 
ano de 1963: 
Produ\(ao do ano (segmento Diesel). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 096 
Produ\(ao do ano (segmento Gasolina) . . . . . . . .... . . . . . . 15 928 
Produ¢o total do ano (gasolina mais Diesel) .. . . . . . . . . . 24 024 
A participacrao percentual do segmento Diesel e determinada por meio 
de urna regra de tres simples, lembrando que a producrao total do ano 
representara 100%. 0 clilculo ficara: 
24 024 ----- 100% 
8096 ----- x 
8 096 x 100 
x = 
24 024 
= 33'73 
Portanto, a participas;ao percentual do segmento Diesel na producrao 
do ano de 1963 foi da ordem de 33,7%. A participac;ao percentual do 
segmento gasolina podera ser obtida por diferen\:a: 100,0%- 33,7% = 66,3%. 
Da mesrna forma procede-se para os outros anos., ate completar a tabela. 89 
90 
3.2.4.6. Graficos em Setores 
Os gnificos em setores ou setogramas sao usados para representar 
valores absolutos ou porcentagens complementares. Desta forma, a repre­
senta?o de porcentagens complementares pode ser feita atraves de diferentes 
tipos de giaficos: 
a) Graficos em Setores 
b) Grwcos em Barras Compostas 
c) Grwcos em Colunas (porcentagens complementares) 
d) Grwcos em Faixas Complementares 
0 grafico em setores tambem e conhecido coma gr:ifico circular ou 
cartograma em setores. Para construi-lo, parte-se do fato de que o nfunero 
total cie graus de um area de circunferencia e 360. Assim, o riumero total 
de valores analisados (100%, se quisermos representar as porcentagens com­
plementares) correspondera a 360°. Cada uma das parcelas componentes do 
total dos valores podera, entao, ser expressa em graus, e a correspondencia 
se fara atraves de uma regra de tres simples. Exemplificando: 
TABELA 3.3 
PRODUCAO AGRICOLA DO ESTADO A - ALGUNS PRODUTOS 
1972 
��������������������� / 
Produtos Ousntidade (t) 
Caf6 ............ . 
A�ucar ........... . 
Milho . . . . . . • . . . . . • 
Feijao ........... . 
Total ........ . 
Fonte: X (dados fictfcios) 
400 000 
200 000 
100 000 
20 000 
720 000 
Constr6i-se preliminarmente uma nova tabela (como a de numero 3.4), 
da qual constem os elementos necessarios a constru�iio dos graficos, ou seja, 
OS angulos representatiVOS dos valores (OU porcentagens) individuais de cada 
produto. 
0 calculo dos angulos oorrespondentes as quantidades exportadas e 
desenvolvido a partir da informa�lio relativa a exporta?o total, 720 000 
toneladas, a qual devera representar 360°: 
Cdlculo do Setor Co"espondente ao Cafe 
720 000 ---- 360° 
400 000 ----
0 
x 
TABELA 3.4 
Produtos Quantidade ft) Angulos correspondentes (Graus) % 
Caf� . . . . - ... . . . . 400 000 200 55,5 
Ac,:ucar . . . . . . . . . . 200 000 100 27,8 
Milho . . . . . . . . . . . 100 000 50 13,9 
Feijao ........... 20 000 10 2,8 
Total . . . . . . . . . . . 720 000 360° 100,0 
= 400 000 x 360 
= 2000 x 
720 000 
Calculo do Setor Correspondente ao Af!Lcar 
720 000 ----- 360° 
200 000 ----
�o 
200 000 x 360 
= 1000 x = 
720 000 
Calculo do Setor Correspondente ao Mi/ho 
720 000 ---- 360° 
100 000 ----
0 x 
100 000 x 360 = 500 x = 
720 000 
C124 
8 4.2.3. Media harmonica, 132 
4.2.4. Media quadratics, 138 
4.3. Moda, 143 
4.3.1. Determinac;:iio da moda de valores niio-tabulados, 143 
4.3.2. Determinac;:iio da moda para valores tabulados, 144 
4.4. Medians, 152 
4.4.1. Determinac;:iio da mediana de valores niio-tabulados, 152 
4. 4. 2. Determinac;:iio da mediana de valores tabulados niio-agr.up�os 
em classes, 154 
4. 4. 3. Determinac;:iio da mediana de valores tabulados agrupados 'em 
classes, 157 
4.5. Considerac;:oes adicionais sobre a media aritmetica, a moda 
e a mediana, 164 
4.5.1. Relac;:iio empfrica entre a media, a moda e a mediana, 164 
4.5.2. Caracterfsticas da media, da medians e da moda, 166 
4.6. Ouartis - decis - percentis (ou centis), 169 
4.6.1. Ouartis, 169 
4.6.2. Decis, 170 
4.6.3. Percentis ou centls, 171 
5 - MEDIDAS DE DISPERSAO, 181 
5.1. lntrodur;iio, 181 
5.2. Medidas de dispersiio absoluta, 182 
5.2.1. Amplitude total ou intervalo total, 182 
5.2.2. Desvio quartil ou amplitude semi-interquartilica, 184 
5.2.3. Desvio medio, 183 
5.2.4. Desvio-padriio, 191 
5.2.5. Variiincia, 210 
5.3. Medidas de dispersiio relativa, 219 
5.3.1. Desvio quartil reduzido, 219 
5.3.2. Coeflciente de variar;io, 220 
6 - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 227 
6. 1 . lntrodur;iio, 227 
6. 2. Momentos, 227 
6.2.1. Momento natural (absoluto) de ordem r, 227 
6. 2. 2. Momento de ordem r em relac;:iio a uma origem qualquer x , 230 
6.2.3. Momento centrado na media de ordem r, 232 
6.2.4. Relar;iio geral entre os momentos centrados na media e os 
momentos naturals, 235 
6.2.5. Relac;:iio entre momentos centrados na media e momentos 
centrados em uma origem arbitraria, x , 237 
6.2.6. Processo breve para o calculo dos momentos, 241 
6. 2. 7. Controle de Charlier e correc;:iio de Sheppard para os 
momentos, 246 
6. 3. Medidas de assimetria ou de enviesamento, 249 
6.3.1. Metodo de comparac;:iio entre medidas de tendencia central, 251 
6.3.2. Coeficiente de Pearson, 253 9 
6.3.3. Coeficiente quartil de assimetria, 256 
6.3.4. Coeficiente de assimetria entre os percentis 10 e 90, 257 
6. 3. 5. Coeficiente momenta de assimetria, 259 
6.4. Medidas de curtose, 260 
6.4.1. Coeficiente percentilico de curtose, 261 
6. 4. 2. Coeficiente momenta de curtose, 263 
7 - NOMEROS..fNDICES, 311 
7. 1. lntroducao, 311 
7.2. Conceito de relative, :312 
7.2.1. Relative (relacao) de preco (p, t), 312 
7.2.2. Relative (relacao) de quantidade (q , t), 313 
7.2.3. Relative (relai;:oes) de valor (v , t), 316 
7. 3. Criterios (testes) de avaliacao de adequai;:ao da f6rmula de um 
indice, 317 
7.3.1. ldentidade, 317 
7.3.2. Reversao (inversao) do tempo, 318 
7.3.3. Circular, 319 
7 .3.4. Decomposicao das causas (inversao dos fatores), 320 
7. 4. Elos de relative e relative em cadeia, 321 
7. 5. Empregos de medias simples e ind ice agregativo simples, .323 
7. 5. 1 . Media aritmetica simples de relatives, 323 
7. 5. 2. Media harmonica simples de relatives, 324 
7. 5. 3. Media geometrica simples de relatives, 325 
7. 5. 4. fndice agregativo simples (ind ice de Bradstreet), 331 
7. 5. 5. Restrii;:oes ao emprego de indices simples, 333 
7. 6. Emprego de indices agregativos ponderados, 342 
7. 6. 1 . fndice de laspeyres OU metodo da epoca-basica, 342 
7.6.2. fndice de Paasche OU metodo da epoca atual, 344 
7. 6. 3. fndice de Fischer (ind ice ideal), 345 
7.6.4. fndice de Marshall-Edgeworth, 346 
7.6.5. fndice de Drobish, 347 
7. 6. 6. fndice de Divisa, 348 
7. 6. 7. F6rmulas modificadas, 348 
7. 7. Construi;:ao de series de numeros-indices - mudani;:a de base, 355 
7. 7. 1 . Base fixa, 356 
7. 7. 2. Base m6vel encadeada, 356 
7. 7. 3. Vantagens e desvantagens dos metodos, 358 
7.7.4. Mudani;:a de base na pratica - metodo abreviado, 358 
7. 7. 5. Conjugai;:ao de duas ou mais series de numeros-indices 
em uma s6, 359 
7. 8. Conceito de deflater e de poder aquisitivo, 360 
7.8.1. Deflater, 360 
7. 8. 2. Poder aquisitivo, 363 
7. 9. Taxa real ou taxa deflacionada, 365 
7 .10. Alguns indices especiais, 366 
10 7.10.1. fndice de Preco por Atacado - IPA, 366 
,. 
7.10.2. Iodice Geral de Precos - I GP, 373 
7.10.3. Deflator lmplicito de Preco e Iodice de Quantum, 375 
7.10.4. Iodice Relacao de Trocas, 379 
7.10.5. Iodice da Capacidade de lmportar, 379 
7.10.6. Iodice de Precos aoConsumidor - ICV - (Iodice do Custo 
de Vida), 382 
7 .10. 7. Iodice de Correcao Monetaria - Obrigacoes Reajustaveis do 
Tesauro Nacional, 385 
7. 11 . Exercfcios propostos, 388 
8 - CORRELACAO E REGRESSAO, 412 
8.1. Relacao entre variaveis, 412 
8.2. Correlacao linear simples, 412 
8.2.1. Medida de correlacao, 412 
8.2.2. Correlacao linear positiva, 413 
8.2.3. Correlacao linear perfeita positiva, 413 
8.2.4. Correlacao negative, 414 
8.2.5. Correlacao perfeita negativa, 414 
8.2.6. Correlacao nula, 415 
8.2.7. Correlacao espuria, 416 
8.2.8. Calculo pratico do coeficiente de correlacao linear, 416 
8.2.9. Exercicios propostos, 418 
8.2.10. Correlacao ordinal, 419 
8. 2. 11 . Exercicios complementares, 423 
8. 3. Analise de regressao, 424 
8.3.1. Regressao linear simples, 424 
8.3.2. 0 poder explicativo do modelo, 430 
8.3.3. Regressao linear por transformacao, 434 
8.3.4. Exercicios complementares, 445 
8.3.5. Regressao polinomial - ajuste por parabola, 449 
8.3.6. Exercicios propostos, 454 
Referinclas Blbllogr6ficas, 459 
11 
Introdufiio Geral a 
Compreensiio da Estatistica 
1.1. CONSIDERACOES GERAIS 
A utilizayao da Estatistica e cada vez mais acentuada em qualquer ati· 
vidade profissional da vida moderna. Nos seus mais diversificados ramos de 
atuayao, as pessoas estao freqiientemente expostas a Estatistica, utilizando-a 
com maior ou menor intensidade. lsto se deve as multiplas aplicayoes que o 
metodo estatistico proporciona aqueles que dele necessitam. 
Apesar disso, existem muitas concepyOeS erroneas acerca da natureza 
desta disciplina. A ideia que um leigo possa fazer da Estatistica difere em 
muito da de um profissional. E comum, por exemplo, as pessoas formai:em 
conceitos distorcidos a respeito de um estatistico profissional. Para alguns, 
trata-se de um individuo que tern a capacidade de manipular numeros para 
demonstrar seus pontos de vista. Alguns estudantes, por outro lado, tendem 
a admiti-lo como alguem que, auxiliado por sua calculadora, tern a faculdade 
de converter qualquer assunto em um estudo "cientifico". Toda essa aura 
criada em torno da disciplina tern provocado, em estudantes e profissionais, 
uma dupla atitude: de apreensao, quanta a dificuldade de absoryao de seu 
conteudo, e de expectativa, quanto a sua potencialidade como instrumento 
auxiliar de resoluyao de problemas. Por essa razao, e extremamente dificil 
apresentar uma definiyao de Estatistica, alem do que muitos de seus 
conceitos fundamentais nao apresentam uma definiyao explicita, ou, se a 
apresentam, esta nao se revela suficientemente clara para dar uma ideia defi­
nitiva de seu significado. 
E possivel distinguir duas concepyaes para a palavra ESTAT(STICA: 
a) No plural (estat{sticas), indica qualquer cole�o consistente de dados 
numericos, reunidos com a finalidade de fornecer informa,.oes acerca de 
uma atividade qualquer. Assim, por exemplo, as estat{sticas demogiaficas 
referem-se aos dados numerioos sobre nascimentos, falecimentos, matri-
m0nios, desquites etc .. As estatlsticas economicas consistem em dados 13 
14 
numericos relacionados com emprego, produ�iio, pre�s, vendas e com 
outras atividades ligadas aos varios setores da vida economica. 
b) No singular, indica a atividade humana especializada ou um corpo rinci­
palmente a um conjuntopor exemplo, o custo de produ¢o de um artigo como a 
soma dos seguintes custos parciais: materia-prima, mao-de-obra e diversos, o 
94 grafico triangular e muito util. 
100 
GRAFICO 3.23 
Ao tomar o ponto A no interior do triangulo, por exemplo, e necessario 
que sua leitura seja feita nas tres escalas: as escalas que fornecerao a partici­
pai;:lio percentual nos custos de produi;:ao, da materia-prima, da mlio-de-obra 
e de diversos. A partir do ponto em questao, trayam-se paralelas aos eixos 
das escalas ate o lado oposto aos vertices (linhas continuas ). Para determinar 
a participaylio percentual de cada atributo, bastara efetuar a leitura do 
comprimento dessas paralelas, na escala correspondente. 
3.2.4.10. Graficos Representativos de Distribui9oes de Frequencias 
Os graficos usados para a representayao de distribuiy6es de freqiiencias 
simples e acumuladas slio graficos tipicamente de analise. A representaylio 
das freqiiencias simples e feita atraves do histograma OU do polfgono de. 
freqiiencias, enquanto as freqiiencias acumuladas slio representadas pelo poli­
gono de freqiiencias acumuladas ou ogiva de Galton. 
a) Histogramas 
0 histograma e um grafico formado por um conjunto de retangulos 
justapostos, de forma que a area de cada retangulo seja proporcional a 
freqiiencia da classe que ele representa. Assim sendo, a soma dos valores 
correspondentes as areas dos retangulos sera sempre igual a freqiiencia total. 
0 histograma e construido tomando-se como referencia dois eixos 
coordenados. No eixo horizontal, ou eixo das abscissas, slio anotados os. 95 
valores individuais da variavel em estudo, ou os limites das classes. Por 
conseguintc, a dimensao horizontal de cada retiingulo representara a classe. 
No eixo vertical, ou eixo das ordenadas, sera construida a escala onde serao 
lidos os valores relativos ao numero de observa�es ou freqiiencias da classe. 
A area de cada retiingulo do histograma corresponde a freqiiencia da classe 
que o retiingulo representa. Para determinar a altura do retangulo, basta 
tomar a formula de calculo da area de um retiingulo: 
I S=bX h I 
onde: b = base do retiingulo = amplitude do intervalo de classe 
h = altura do retiingulo 
s = area do retiingulo = freqiiencia da classe 
(1) 
Para tra9de 
ate 80.000 d6lares. Se o interesse recair na porcentagem de empresas com 
ate 80.000 d6lares exportado, a leitura se fara na escala das freqiiencia� 
relativas acumuladas. 0 resultado sera 48,5%. 
GRAFICO 3.29 - REPRESENTACAO DAS FREQU�NCIAS ACUMULADAS "ACIMA DE" 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
17 ---
10 
100 
90 
80 
70 
60 
50 
40 
lQ- 26% 
20 
10 Volume 
0 .L._.,_....L_--L_---1. _ __,1 __ L__J..__-=:::;;;;.i.._.J.+. 0 Exportado 
50 60 70 80 90 100 110 120 (US$ 1000) 
Para saber, por exemplo, o numero (ou a porcentagem) de empresas 
com volume de exportayao superior a 90.000 d6lares, basta fazer, no 
grafico, a correspondencia entre essa quantia e a freqiiencia acumulada, 
absoluta ou relativa. Os valores correspondentes serao: 
Fj = 17: ha dezessete empresas com um volume de exportayao igual ou 
superior a 90.000 d6lares. 
Fri 
= 0,26 ou 26%: vinte e seis por .cento das empresas analisadas (dentre 
as 65) apresentaram um volume de exportayao igual ou superior a 
90.000 d6lares. 
e) Grafico em Hastes (Bastiio) 
Muitas vezes, o interesse recai na representayao grafica de dados nao 
agrupados em classes, o que acontece quando os valores da variavel em 
estudo aparecem individualmente. A representayao grafica, neste caso, difere 
um pouco daquilo que foi visto ate o presente. 101 
Na inspeylio de um lote com 1 000 peyas de precisao, produzidas por 
uma empresa fabricante de instrumentos 6ticos, encontraram-se os resul­
tados reproduzidos na Tabela 3.9. 
Numero de defeitos 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
TABELA 3.9 
NtJmero de PBfBS - fj -
(Freqiiencia do numero de defeitos) 
40 
120 
340 
290 
160 
30 
Total 1 000 
A representaylio grillca do fenomeno acima podera ser feita atraves 
do grafico em hastes ou grafico em bastoes (Grafico 3.30). Poderia, altero 
nativamente, ser feita a representaylio atraves de um histograma com bases 
unitarias. Neste ultimo caso, as freqiiencias serao numericamente iguais as 
alturas dos retangulos do histograma. A f6rmula S = b X h sera aplicada, 
agora, da seguinte maneira: 
Freqiiencia (S) = Base (J) X Altura (h) 
S=JXh=h 
s = h I 
GRAFICO 3.30 
Numero de Pe�as fj 
360 
-
300 
240 
180 
120 --
60 
0 .T 
. 
0 1 2 
102. 
--
--
T 
3 4 5 
frj Porcentagem das 
Pe�s 
36 
30 
24 
18 
12 
6 
Nl'.lmero de 
Defeitos 
GRAFICO 3.31 
Numero de P�as 
fj 
360 
300 
240 
180 
120 
60 
0 2 3 4 5 
frj (%) Porcentagem 
das Pei;:as 
. 36 
30 
24 
18 
12 
6 
Numero de 
Defeitos 
Para estabelecer as bases dos retangulos, a partir dos valores da variavel 
(numero de defeitos, no caso), procede-se da seguinte maileira: 
1 
Seja x; um valor qualquer da variavel. Fazendo-se ix; � 21' teremos 
o limite inferior da base do retangulo. Para obter o limite superior basta 
somar � a x;: ix; +�I· Procede-se da mesma maneira para todos os valores, 
cujas freqiiencias se deseja representar atraves de retangulos. 
Observa(:io: Nern sempre as bases dos retangulos serao unitarias. 
f) Graficos em Escada 
A representa�ao das freqiiencias acumuladas para valores individuais e 
feita mediante o uso de um grafico em escada, conforme a figura do Grafico 
3.32. A representa�ao das freqiiencias acumuladas com o recurso do poligono 
de freqiiencias acumuladas, embora encontrada, nao e rigorosa, raziio por que 
nao sera exemplificada. 
Os dados que deram origem ao Grafico 3.32 siio os constantes da 
Tabela 3.10. 103 
GRAFICO 3.32 
Numero de Pec;:as 
Fj 
1 000 
900 
800 
700 
600 
500 
400 
300 
200 
100 
I 
I 
I 
___J 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
,------, 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
r--1 I 
I I I 
I I I 
� 
I I 
- I I I 
. 
0 2 3 4 
TABELA 3.10 
Frj (%) 
100 
90 
80 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
I 
5 
Freqiiincias acumuladas 
Numero de defeitos 
Fj Frj (%) 
0 40 4 
1 180 18 
2 520 52 
3 810 81 
4 970 97 
5 1 000 100 
g) Exemplos de Curvas de Frequencias 
Numero de 
Defeitos 
As curvas de frequencias (poligono de frequencias polido ), em geral, 
apresentam um formato, de certo modo, caracteristico, assemelhando-se ao 
contorno de um sino, evidenciando uma forte concentra«;ao dos valores em 
104 torno do centro da distribui«;ao. 
Mesmo que a semelhan9a com um sino seja muito grande, e bem pro­
vavel que, na pratica, a curva apresente uma certa deforma9ao (distor9ao) 
para a esquerda ou para a direita. Quanto a esse aspecto, e possivel distinguir 
tres configura96es (Veja o Capitulo 6) para as curvas em forma de sino: 
GRAFICO 3.33 
1. C.ur:va sem Oeform�lo 
(Simdtrica> 
2. Curva com Deform� 
ii Direita 
x 0 
3. Curva com Oeforma(f:io 
8 Esquerda 
Outros formatos de curvas de freqiiencias podem scr cncontrados. 
Sao apresentados a seguir alguns exemplos: 
0 
GRAFICO 3.34 
1. Curva em Form• de U 
(Antimodall 
h) A Curva de Lorenz· 
x 0 
2. Curva em Form1 de J 
(Amodal) 
x 0 
3. Curva em Forma de J 
lnvertido (Amodall 
A curva de Lorenz e um tipo de grafico usado para representar con­
ccntra9lio ou desigualdade de renda de receita, de riquezas etc. Na Tabela 
3.11 estao registradas as informa96es relativas ao numero de depositantes de 
um banco pequeno, agrupados segundo o volume de dep6sitos e o total 
depositado em cada classe: 105 
TABELA 3.11 
NOMERO DE DEPOSITANTES E VOLUME DE DEPOSITOS DO BANCO X 
(VALORES ACUMULADOSI 
Numero de Volume de 
Va/ores percentuais 
Dep6sitos 
Menos de 
Menos de 
Menos de 
Menos de 
Menos de 
Menos de 
500 
1 000 
1 500 
2 000 
2 500 
5 000 
Menos de 10 000 
Acima de 10 000 
Depositantes 
(acumulado) 
770 
980 
1 090 
1 160 
1 200 
1 310 
1 380 
1 410 
Dep6sitos na classe 
Depositantes Dep6sitos 
(acumulado) 
% % 
102.100 54,6 3.4 
255.100 69,5 8,6 
388.400 77,3 13,1 
505.100 82,3 17,0 
609.000 85,1 20,5 
1.002.800 92,9 33,7 
1.465.000 97,9 49,2 
2.976.200 100,0 100,0 
Como pode ser observado na tabela acima, 1 310 depositantes foram 
responsaveis por um volume de dep6sitos inferiores a 5.000 cruzeiros, com 
um volume total de dinheiro depositado da ordem de 1.002.800. Em termos 
percentuais, pode-se afirmar que 92,9% dos depositantes foram responsaveis 
por apenas 33,7% do volume total depositado. 0 Grafico 3.35 representa 
todas as rela�oes percentuais entre o numero de depositantes e o volume 
total depositado. 
A linha diagonal do gnifico representa completa igualdade. Quanto 
mais a curva de Lorenz se afasta da diagonal, maior sera a desigualdade. 
Assim, por exemplo, pode-se ler que 54,6 por cento dos depositantes sao 
responsaveis por apenas 3,4 por cento dos dep6sitos. 
GRAFICO 3.36 - CONCENTRACAO DE DEPOSITOS A VISTA 
BANCO X - CURVA DE LORENZ 
Porcentagem de 
Dep6s;tos 
100 �-----------
90 
80 
70 
60 
60 
40 
30 
20 
10 
0 IL-.....-....==;::=;::::::;=---�-_j 
10 20 30 40 60 60 70 80 90 100 
106�--�------- ----P- o r_c�_• age.:..._m_d_e_De�� -•-io _n�t".:...__....1 
Medidas de Posifiio 
4.1. INTRODUde 
tendencia central ou promedias; as quais sao assim denominadas, em virtude 
da tendencia de os dados observados se agruparem em torno desses valores 
centrais. A moda, a media aritmetica e a mediana sao as tres medidas de 
tendencia central ou promedios mais utilizados para resumir o conjunto de va­
lores representativos do fenomeno que se deseja estudar. Outros promedios 
menos usados sao a media geometrica, harmonica, quadratica, cilbica e 
biquadratica. 
4.2.M�DIA 
A medida de tendencia central mais comumente usada para descrever 
resumidamente uma distribuii;ao de freqiiencias e a media, ou mais propria-
mente, a media aritmetica. Ha varios tipos de medias, os quais serao exami- 107 
108 
nados a seguir: media aritmetica, media geometrica, media harmonica, media 
quadratica, media cubica, media biquadratica. 0 leitor ccrtamente devera 
estar mais familiarizado com a media aritmetica, devido a freqiiencia com 
que dela se utiliza. 
4.2.1. Media Aritmetica 
Simbolo: x (le-se "x trayo" ou "x barra"). 
A media aritmetica de um conjunto de numeros pode ser de dois 
tipos: simples ou ponderada. 
a) Media Aritmetica Simples 
A media aritmetica simples de um conjunto de numeros e igual ao 
quociente entre a som� dos valores do conjunto e o numero total de valores. 
Suponha que em um escrit6rio · de consultoria a empresar ha cinco 
contfnuos que recebem os seguintes salarios mensais: Cr$ 800,00, Cr$ 780,00, 
CrS 820,00, Cr$ 810,00 e Cr$ 790,00. A media aritmetica dos salarios 
ou o salario medio mensal dos contfnuos desse escrit6rio sera de 800 cruzei­
ros, de acordo com a definiyao. 
on de 
x = 
800 + 780 + 820 + 810 + 790 
= 
4.000 
= 800 
5 5 
Genericamente, podemos escrever: 
x; = valor genenco da observaylio 
n = numero de observay0es 
(1) 
A media aritmetica simples sera calculada sempre que os valores nao 
estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados individual­
mente, como e o caso, por exemplo, dos dados brutos. No exemplo acima, 
a variavel x representa os salarios dos contfnuos. Conseqiientemente; 
Xi = 800 
Xz = 780 
X3 = 820 
X4 = 810 
X5 = 790 
i = {l , 2, 3, 4, 5} 
n = 5 
5 
Ix; 
i=l 
5 
b) Media Aritmetica Ponderada 
A media aritmetica e considerada ponderada quando os valores do 
conjunto tiverem pesos diferentes. Tratando-se de media simples, todos OS 
valores apresentam igual peso. Obtem-se uma media aritmetica ponderada 
atraves do quociente entre o produto dos valores da variavel pelos respectivos 
pesos e a soma dos pesos. 
Assim, por exemplo, um professor pode realizar quatro provas por 
ano em sua materia, atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4 . 
. Se um aluno tiver recebido as notas 8, 7; 9 e 9, nessa ordem, sua nota 
final sera a media aritmetica ponderada 8,5, obtida da seguinte maneira: 
M"d. F. l 
_ (8 X 1) + (7 X 2) + (9 X 3) + (9 X 4) _ 
cla ma - 1 +2+3+4 . -
8 + 14 + 27 + 36 
= --------
10 
85 
10= 8,5 
O mesmo resultado seria obtido se fossem adotados pesos relativos, 
como indicamos na Tabela 4.1. 
TABELA 4.1 
Provas Pesos relativos Notas Produtos 
1� 
1 
0,1 8 0,8 - = 
10 
2� 
2 
0,2 7 1.4 - = 
10 
3� 
3 
0,3 9 2,7 = 
10 
4� 
4 
0.4 9 3,6 -= 
10 
Soma dos pesos relatives: 1,0 Media ponderada = 8,G 
Soma dos produtos 
Quando se usam pesos relativos, o denominador sera sempre igual a 
unidade, e a media aritmetica ponderada seni igual a soma dos produtos 
dos valores da varravel pelos respectivos pesos relativos. Assim sendo, a 
media aritmetica ponderada sera igual a soma dos valores constantes da 
ultima coluna da Tabela 4.1. 
No exemplo apresentado, os pesos dos valores da variavel sao fixados 
previamente, para efeito de calculo. Tratando-se, todavia, de distribuiyoes de 
freqiiencias, os pesos dos valores da variavel nao sao atribuidos arbitraria­
mente, mas correspondem ao numero de vezes que cada valor ocorrer. 
Assim, por exemplo, admitamos que as notas atribuidas a vinte alunos 
em um teste de estatistica sejam as seguintes, dispostas em o.rdem crescente: 109 
110 
4, 5, 5, 5, 5; 
5, 6, 6, 6, 6; 
6, 6, 7, 7, 7; 
7, 7, 8, 8, 8. 
A nota media obtida mediante a utiliza�ao da formula (I) seni: 
n 20 
L X; L Xj 
i=l i=l x =--- = ---
n 20 
= 
4+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+8+8+8 
= 
20 
= 
= 
124 
= 6 2 20 ' 
Portanto, a media aritmetica simples das notas e �.2. Como os valores 
da variavel aparecem repetidos, e possfvel adotar 0 numero de observa�oes 
ou freqilencia de cada um deles como peso ou fator de pondera�ao. Assim, 
por exemplo, a nota sete aparece cinco vezes. E indifercnte, portant, 
para efeito de calculo da media SOmar 0 numero sete cinco vezes OU 
multiplicar esse valor por cinco. 
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 = 35 
E possivel proceder da mesma fonna para os demais valores de 
variavel, como se observa no desenvolvimento seguinte: 
OU 
4+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+8+8+8 x = --------------------� 
20 
- - (4 x 1) + (5 x 5) + (6 x 6) + (7 x 5) + (8 x 3) 
x-
1 + 5 + 6 + 5 +3 
0 numerador da primeira expressao representa a opera�ao necessaria 
para 0 calculo da media aritmetica simples, de acordo com a formula (1 ). 
0 denominador e 0 numero total de observa�OeS. 
Ja o numerador da segunda expressao apresenta o procedimento para 
0 calculo da media ponderada, onde cada valor da variavel e multiplicado 
pela respectiva freqiiencia. 0 numero quatro apareceu uma vez, o cinco e o 
sete apareceram cinco vezes, o seis apareceu seis vezes e o oito tres vezes. 
Ao inves de considerar cada nota do aluno individualmente, como e feito 
para 0 calculo da media aritmetica simples, toma-se 0 valor tantas vezes 
quantas ele tiver ocorrido. 0 denominador da segunda expressao e calculado 
pela soma das freqilencias de cada valor da variavel, o que equivale a 
freqiiencia total, ou numero total de valores observados. Retomando os 
calculos: 
(4 x 1) + (5 x 5) + (6 x 6) + (7 x 5) + (8 x 3) 
X = 
1 + 5 + 6 + 5 +3 
= 
= 
4 + 25 + 36 + 35 + 24 
= 
124 = 
6 2 20 20 ' 
Esse resultado e o mesmo que o obtido pelo emprego da formula (1 ), 
porque 0 principio dos metodos e 0 mesmo, diferindo apenas a forma 
de calculo. 
Genericamente, se os valores xi. x2, . .. , Xk ocorreremfi. [2 • . . . , fk 
vezes, respectivamente, a media aritmetica do conjunto sera calculada por: i' 
k 
I x;fi 
/ = 1 
x = _,:__ __ _ 
k 
I Ii 
j=l 
Xj = valores da varravel, OU pontos mediOS. de classe 
k 
L Ji = n = mimero total de observa�oes 
j=l 
(2) 
k = numero de classes ou de valores individuais diferentes da variavel 
Na Tabela 4.2, condensamos os resultados do exemplo. 
TABELA 4.2 
Xj 'i 
4 1 
5 5 
6 6 
7 5 
8 3 
5 
I fj = 20 = n 
j=l 
Xjfj 
4 x 1 = 4 
5X5=25 
6X6=36 
7 x 5 = 35 
8X3=24 
5 
L Xjfj = 124 
j=l 
k = 5 
n = 20 
Normalmente, para o clilculo da media aritmetica ponderada recorre-se 
a uma tabela desse tipo, o que possibilita maior rapidez de opera�ao e 
organiza�o dos valores. 
Quando os valores estao agrupados em classes, a tabela requer mais 
uma coluna, necessaria para dispor os pontos medios de classes, como 
indicamos na Tabela 4.3 . 111 
112 
TABELA 4.3 
Classes 'i Xj Xjfj 
101--20 5 15 75 
201--30 10 25 250 
301--40 15 35 525 
401--50 10 45 450 
501--60 5 55 275 
5 5 
I'j=45=n I Xjfj = 1 575 
j=l 
x = _,_i_=_i __ 
n 
j = l 
5 
I Xjfj 
= j=l \= 1575 
45 45 
c) Propriedades da Media Aritmetica 
I) Primeira Propriedade 
35 
A soma algebrica dos desvios de um conjunto de numeros tomados 
em rela�ao a media aritmetica e zero. Simbolicamente: 
on de, 
n 
I d; = 1: (x; - x) = o 
i=l 
k 
I difj = 1:(xi - x)fj = o 
j.=1 
�l = x; - x e i = { 1, 2, ... , n} 
dj = 
Xj - X e j = {l, 2, . . . , k} 
A comprova�ao dessa propriedade e simples: 
Para Dados Brutos 
n n n 
I d; 
= I (x; - x) 
= I 
i =l i=l i =l 
x; -
(3) 
para dados brutos 
para dados tabulados 
Como x e uma constante, para um dado conjunto de valores, 
n 
Ix= nx 
i=l 
Mas, 
n n 
L x; L x; 
n 
i=l 
e, assim, nx = n 
i=l 
L x =---= x; 
n n 
i=l 
En tao, 
n n n n n 
L d; = L x; - L x = L x; - L x; = 0 
i=l i=l i=l i=l i=l 
Para Dados Tabuhdos 
k k k k 
L di = 
L (Xj - x)fj = L Xjfj L xfi 
j=l j=l j=l j=l 
Mas, k 
k k L Xjfj 
k 
I xfi 
= x I Ii = nx = n 
j=l 
= L Xjfj 
n j=l j=l j=l 
Portanto, 
k k k k k 
I dj = I Xjfj -
L xfi L Xjfj - L Xjfj = 0 
j=l j=l j=l j=l j=l 
Exemplo 1: 
Consideremos os salarios recebidos pelos cinco continuos. 
x = {780, 790, 800, 810, 820} 
A media dos salarios e x = 800, e a soma dos desvios sera zero, 
como na Tabela 4.4. 
Exemplo 2: 
x; 
780 
790 
800 
810 
820 
TABELA 4.4 
5 5 
d; = Xj -X 
780 - 800 = -20 
790 -800 = -10 
800-800= 0 
810 - 800 = 10 
820 -800 = 20 
I d; := I (x; - soo1 = o > 
i=l i=l 
n 
L d; = o 
i=l 
Com os dados da Tabela 4.5, comprovar a primeira propriedade 
da media. 113 
Xj 
4 
5 
6 
7 
8 
Notas 
Xj 
4 
5 
6 
7 
8 
TABELA 4.5 
Numero de alunos 
fj 
1 
5 
6 
5 
3 
n = 20 
A media aritmetica das notas e x = 6,2, conforme visto anterior­
mente. A Tabela 4.6 pennite operar mais rapidamente 
TABELA 4.6 
fj Xjfj dj = Xj - 6,2 djfj = (Xj - 6,2) fj, 
1 4 4:..... 6,2 = -2,2 (-2,21 x 1 = -2,2 
5 25 5 -6,2=-1,2 (-1,21 x 5 = -6,0 
6 36 5·_ 6,2 = -0,2 (-0,21 x 6 = -1,2 
5 35 7 -6,2 = 0,8 (0,81 x 5 = 4,0 
3 24 8 -6,2 = 1,8 (1,81 x 3 = 5,4 
5 s 
n = 20 L Xjfj = 124 I djfj = o 
j=I j=I 
II) Segunda Propriedade 
A soma dos quadrados dos desvios tomados em rela�o a media 
aritmetica e um mfnimo. 
Para dados brutos 
n n 
L (x; - x)2 0 e (x0 - x)2 > 0 => n(x0 - .X)2 > 0. 
Assim sendo, a diferen�a 
(S2 - Si)= n(x0 -- x)2 
C sempre positiva, para Xo i= X, OU seja, 
S2 -- S1 > 0 
Daf tiramos 
S1 --
I ± f;=45 = n/ I ± x; f;=l 5751 ± lx;-35J2
f;=6 000 
.r• I _ _ J-'J . J t 
s 
L:x;f; 
j=l x = -=----
n 
Como se observa, 
1 575 = 35 
45 
Ix; - 36J2f; 
115 - 30125 = 1 125 115 -36125 = 2 205 
125 - 301210 = 250 1 12� - 3612 10· = 1 210 
135 -· 301215 = 375 i 135 - 361215 = 15 
145 - 3012 10 = 2 250 1 145 -- 3612 10 = 810 
155 - 30125 = 3125 I 155 - 36125 = 1 805 
5 s 
L Ix; -3012f; = 7 125 L Ix;-36J2f; = 6 045 
j··i j�1 
s 5 s 
L (x; - 35)2!;aritmetica e 
possivel desenvolver um processo breve de calculo da media, menos direto 
que o anterior, mas que proporciona o mesmo resultado. Neste caso, faz-se 
uso de uma variavel transformada, denominada variavel reduzida, cuja 
expressao e a seguinte: 
Dados Brutos: 
I 
, _ X; - Xo 
d· - ---1 c 
Dados Tabulados: 
I 
, _ Xj - Xo 
. di - -'-
-c--
onde x0 e c sao constantes arbitrarias. 
(11) 
(12) 
Das formulas (11) e (12) deduzimos facilmente as express5es da 
media aritmetica simples e ponderada, com a utiliza�o da variavel redu­
zida d'. 
Para o caso da media aritmetica simples, fazemos 
, x; - x0 
d; = --­
c 
x; = x0 + cdj 
Conforme a defini�ao da media aritmetica simples, podemos escrever 
x = 
n 
Ix; 
i=l 
n 
i=l 
= ------
n 
A ultima expressao pode ser desenvolvida como segue: 
n II n 
I (xo + cdj) I Xo + I 
i=l i= 1 i=l 
x= = n n 
n n 
I Xo cz: dj 
i=l 
n 
Portanto, 
X = Xo 
+ i=l 
n 
n 
I di 
i=l +c ---n 
X:Xo = -- + c K 
cdj 
= 
n 
I dj 
i=l 
n 
(13) 
Da mesma forma chegaremos a expressao da media aritmetica pon-
derada: 
Assim, 
-". _ Xj - Xo 
Uj - c 
Xj = x0 + cdj 
k k 
L Xjfi 
j=l 
n 
L (xo + c� = 1 
Xg Xg Xg 
10 X 60 X 360 
= 
216 000 
= 
l 
60 60 60 216 000 
Observafiio: Conforme pode ser observado, enquanto que a soma dos 
desvios em rela�ao a media aritmetica x e igual a zero, 0 produto dos 
quocientes dos itens pela media geometrica e um. Utilizando OS dados do 
exemplo acima, 
3 
:L x; 
i=i IO+ 60 + 360 430 
= x =--- = 
n 3 3 = 143,333 ... 
± d; = (10 - 4;0) + (60 -
4;0) + 
1=i 
(360 - 4;0) = 0 
II) Segunda Propriedade 
Series que apresentam o mesmo m1mero de elementos com a mesma 
128 soma total tern a mesma media aritmetica, enquanto series que apresentam 
o mesmo numero de elementos com o mesmo produto tern a mesma media 
geometrica. 
Exemplo 13: 
Comprovar a segunda propriedade da media geometrica tomando 
X = {8, 12, 5} e Y = {2, 50}. 
Calculando as medias geometricas, 
Xg = y8 X 12,5 = y'100 =· 10 
Yg = v 2 x 50 = v'10Q = 10 
Assim, Xg = Jg. 
III) Terceira Propriedade 
A media geometrica e menor OU igual a media aritmetica. 
I xg 
�x I (20) 
A desigualdade Xg 0 
Desenvolvendo o primeiro membro 
x� + x� - 2xix2 ;;;. 0 
Somando e subtraindo a quantidade 2xix2 ao primeiro membro da 
desigualdade, teremos 
x� +x� + 2xiX2 - 2XiX2 - 2X1X2;;;. 0 
OU 
(Xi + X2)2 - 4XiX2 > 0 
Dai tiramos 
OU 
(Xi + X2)2 
4 ;;;. X1X2 
( X1 + X2 )2 
2 ;;;. X1X2 
Extraindo a raiz quadrada 
Xi + X2 
2 ;;;. vx;x:;, 
e 
129 
130 
o que equivale a x ;;;i: Xg uma vez que 
X1 + X2 __: - � -
2 
= X e V X 1 X2 = Xg 
A generalizayao para n valores pode ser conseguida da mesma forma. 
IV) Quarta Propriedade 
Quanto maior a diferenya entre os valores ongma1s maior sera a 
diferenya entre as medias aritmetica e geometrica. 
Exemplo 14: 
Consideremos os seguintes conjuntos de numeros: 
x = {2, 2} 
y = {14, 16} 
w = {8, 12} 
z = {2, 50} 
As medias aritmetica e geometrica de cada um dos conjuntos sao 
as indicadas na Tabela 4.20. 
TABELA 4.20 
Conj unto 
Media aritmltica MtJdia geomltrica 
x xg 
x = {2, 2} 2 2 
y = {14, 16} 15 14,97 
w = {8, 12} 10 9,80 
z = {2, 50} 26 10 
Examinando a Tabela 4.20, percebe-se claramente que as diferenyas 
entre as duas medias acentuam-se a medida que os valores originais da 
variavel se diferenciarn. 
d) Aplicafoes da Media Geometrica 
Serao apresentadas, a tftulo de ilustrayao, tres aplicayoes da media 
geometrica: 
- Media de Relafoes 
Consideremos os dados da Tabela 4.21. 
TABELA 4.21 
Empress 
Capital 
Dfvida 
Re/Bflo Relar;io 
lfquido capital/dfvida dfvida/capital 
A 2.500 1.000 2,5 0,4 
B 1.000 2.000 0,5 2,0 
3.500 3.000 
Calculando a media aritmetica das duas relai;:aes, teremos: 
Relai;:ao capital/divida: :X1 
= 2,5 + 0,5 = 1,5 2 
Relai;:ao divida/capital: :X2 
= 0,4 + 2,0 = 1,2 2 
Como essas relai;:oos sao o inverso uma da outra, poderia parecer um 
contra-senso que o produto de suas medias nao seja igual a um, o que rear. 
mente acontece: 
.--I (-1.-5 
-
x -1.-2)_>_1.....,I 
Entretanto, esse aparente absurdo decorre do fato de nao havermos 
atribuido as relai;:oos seus pesos corretos antes de calcular a media. Teriamos 
o seguinte resultado, se os pesos houvessem sido considerados: 
(2,5 x 1 000) + (0,5 x 2 000) = 1 1667 1000+2 000 ' 
0 numerador dessa expressao corresponde ao capital liquido total 
(3.500), enquanto que 0 denominador e igual a divida total (3.000). 0 re­
sultado l ,i 667 deve ser interpretado como a relai;:ao media entre capital 
e divida, entre as duas empresas consideradas. 
Analogamente, determinamos a media das relai;:0es da divida versus 
capital Ii qui do: 
(0,4 x 2 500) + (2,0 x 1 000) 
= 0,8571 2 500 + 1 000 
ou, com o emprego dos totais 
. 3 000 
3 500 = 0,8571 
Multiplicando as duas medias, obtemos: 
1 1.1667 x o,8571 = 1 I 
Conforme se pode verificar, nesses calculos os pesos atribufdos as 
relay6es nao sao iguais. Caso se deseje que isso ocorra, pode-se recorrer a 
media geometrica. Assim, 
Relai;:ao capital/dfvida: Xg1 
= 
y 2,5 X 0,5 = 
v'T,25 = 1,1180 
Relayao dfvida/capital: Xg2 = y 0,4 X 2,0 = � = 0,8944 
0 produto dessas medias sera igual a um: 1,1180 x 0,8944 = 1. 
A escolha dentre as medidas dependeni, nesse e em outros casos, do 
fim que se persiga. Se, para uma determinada empresa, se deseja estabelecer 
uma relai;:ao do tipo capital/dfvida que seja independente da dfvida ou do 
capital das diferentes empresas envolvidas, e recomendavel o uso da media 131 
geometrica. Se o que se deseja saber e a relayao capital liquido/divida de 
um certo numero de empresas, ap6s a consolidayao, a cifra correta sera 
obtida atraves da media aritmetica, ou achando a relayao pelos totais. 
II - Media em Distribuiroes Assimetricas 
Uma distribuiyao de freqiiencias pode encontrar-se deformada a direita 
(assimetrica). Contudo, se usarmos os logaritmos dos valores da variavel, 
com um intervalo de classe constante para os logaritmos, a curva se trans­
formara em simetrica. Neste caso, a media geometrica revela-se mais apro­
priada que a aritmetica. 
III - Media de Taxas de Variariio 
A media geometrica e usada em certas ocas1oes, para determinar 
taxas medias. Assim, por exemplo, suponhamos que um individuo tenha 
investido um capital de Cr$ 500,00 em 1973. Ap6s um ano de aplicayao, 
essa importancia ascendeu a Cr$ 650,00. Reaplicando essa ultima quantia, 
ao final de mais um ano seu montante situava-se em torno de Cr$ 910,00. 
A taxa media de aumento de capital sera obtida mediante o Cl:\lculo de urria 
media geometrica. 
Calculemos, inicialmente, as taxas de aumento de capital, periodo a 
periodo: 
Perfodo Taxa 
1973-1974 650 1,3 - = 500 
1974-1975 910 1,4 - = 650 
Taxa media: .,/ 1,3 X 1,4 = 1,3491 
A taxa media de aumento do capital investido no perfodo de dois 
anos foi de 34,91 %. 
4.2.3. Media Harmonica 
Simbolo: Xh· 
Definiriio: A media harmonica de um conjunto de valores x; e o 
inverso da media aritmetica dos inversos. 
De acordo com ess:l definiyao, pode-se afirmar que o valor Xk e a 
media harmonica de um conjunto de valores, se a operayao que iguala os 
dois conjuntos for a adiyao dos inversos. Para um conjunto den valores da 
variavel, podemos escrever 
1 
+ 
1 
+-
1
-+ ... +-l-= +-l-+ ... +-
1
-
132 Xh Xh Xh Xh Xi X2 Xn 
n - = 
Xh 
= 
xh 
n ( 1 ) 
I x. i=l I 
n 
I x; 
i=l 
n 
OU 
Daf se conclui que o inverso da media harmonica e a media aritmetica 
dos inversos dos valores da variavel. 
a) Media HarmfJnica Simples - (Dados Brutos) 
Dado o conjunto de n valores x 1, x2, • • • , Xn, a media harmonica do 
conjunto sera 
OU 
.----------------. 
1 
+ _1 1 + ... +-
Xi X2 Xn 
Xh =--­
n 1 
I x. i= 1 I 
n 
n 
n 
n 1 
? Xj I =.1 
Exemplo 15: 
(21) 
Calcular a media harmonica simples dos seguintes corijuntos de nu­
meros: 
x = { 10, 60, 360} 
y = {2, 2, 2, 2} 
n 
xh =----: n 1 
3 ------- = 
1 1 1 
Yh 
Ix. i=l I 
w+60+36o 
n 4 --- = -------
n 1 .!.+.!.+..!.+..!_ 
� Yi 
2 2 2 2 
b) Media Harmonica Ponderada 
3 x 360 
43 
= 25,12 
4 x 2 
-4- = 2 
A media harmonica ponderada de um conjunto de numeros, dispostos 
em uma tabela de freqiiencias, e dada pela seguinte expressao: 133 
134 
k 
It; n 
Xh = 
;=1 
= 
k 1 k k I; 
I 
1 
I L X·f; -!; x; 
j=1 I ;=1 x; ;=1 
(22) 
k 
It; 
;=1 
Exemplo 16: 
Uma pessoa adquiriu quatro camisas ao preyo unitario de trinta 
cruzeiros e duas camisas a cinqiienta cruzeiros cada uma. Para calcular o 
preyO medio pago por camisa, hli duas formas de procedimento: 
I) Cdlculo pela Media Harm0nica 
Os dados do problema poderiarn ser expressos da seguinte forma: 
A pessoa gastou 120 cruzeiros em camisas de 30 cruzeiros e 100 cruzeiros 
em camisas de 50 cruzeiros a unidade. Neste caso, os valores da variavel sao 
os preyos porcamisa, e seus pesos as quantidades gastas em camisas. Portanto, 
1 220 xh = (...!...) (...!...\ = 
4 + 2 = 36,67 
120 
_30_ 
+ 100 _so)_ 
120 + 100 
II) Cdlculo pela Media Aritmetica 
Os valores da variavel sao os preyos por camisa, mas agora os pesos 
sao o numero de camisas compradas. Por conseguinte, 
-
= 
(4 x 30) + (2 x 50) = 
220 
= 36 67 x 4+2 6 ' 
Os princfpios dos dois metodos sao simples. Estamos calculando 
media de taxas, ou seja, cruzeiros por camisa. 0 numerador de ambas as 
expressoes representa a quantia total gasta com camisas (220 cruzeiros), 
enquanto 0 denominador e igual ao numero de camisas adquiridas. Quando 
sao empregados os pesos do denominador, aplica-se a media aritmetica 
(pesos 4 e 2); quando se empregam os pesos do numerador, usa-se a media 
harmonica (120 e 100). 
Outro exemplo onde se pode empregar indiferentemente qualquer 
uma das medias e o da obtenyao da velocidade media de um veiculo 
(quilometros por hora). Sendo os pesos os quilometros percorridos, utiliza-se 
a media harmonica·, e se OS pesos forem horas invertidas O calculo e feito 
atraves da media aritmetica. 
Exemplo 17: 
Calcular a media harmonica dos dados constantes da Tabela 4.22. 
Classes fj 
11--- 3 2 
31--- 5 4 
51--- 7 8 
71---- 9 4 
91---11 2 
k 
I 'i=20=n 
j=l 
Devemos ter 
- n 
Xh = 
k I I x:ii j=t I 
Xh = _1Q_ = · 4 96 
4,03 ' 
TABELA 4.22 
Xj 
2 
4 
6 
8 
10 
c) Propriedade da Media Harmonica 
1 
-Xj 
1 
2 
1 -
4 
1 
6 
1 
8 
1 
10 
fj 
-Xj 
2 . 1= 1,00 
4 
4= 1,00 
�= 133 6 • 
4 
5= 0,50 
2 10 = 0,20 
5 f; 
I _L =403 
x· ' 
j=l I 
A media harmonica e menor OU igual a media geometrica para 
valores da varilivel diferentes de zero. 
(23) 
Por extensao de raciocinio e de acordo com a terceira propriedade 
da media geometrica, podemos escrever 
I Xh,;;;; Xg,;;;; x I (24) 
Genericamente, podemos enunciar: A media harmonica de um con-
junto de numerOS positiVOS e menor OU igua} a media geometrica, e esta, 
por sua vez, e menor OU igual a media aritmetica. 
Verifiquemos a desigualdade Xh Xg > xh 
6 > 5,21 > 4,38 
18.2) Y = po, 10, IO} 
Yg 
n 
I Yi 
= i=l 
. 
= 
10 + 10 + 10. = 30 
= 10 
n 3 3 
� = '!../ 10 x 10 x 10 = � = 10 
137 
n 
Yh = n 1 
I -
i=l Xj 
3 
1 1 1 
10+10+10 
3 10 =-3-= 
10 
Como todos OS valores da serie sao iguais, y = Yg = Yh. 
18.3) z = {10,1, 10,1, 10,2, 10,4, 10,5} 
z = 10,1 + 10,1 + 10,2 + 10,4 + 10,5 = 51,3 = 10 2600 5 5 ' 
zg = ;_; 10,1 X 10,1 X 10,2 X 10,4 X 10,5 = 
= ;,; 113 622,8184 = 10,2587 
5 5 Zh = -------------= --�-
_l_ + _l_ + _l_ + _l_ + _l_ 
0,4874508 
10,1 10,1 10,2 10,4 10,5 
= 10,2574 
Conforme a relaylfo (25) 
x + Xh 
Xg = 2 
para valores pouco diferentes da variavel. Assim, fayamos 
z + Zh 10,2600 + 10,2574 = = 10,2587 = zg 2 2 
= 
4.2.4. Media Ouadratica 
Simbolo: Xq· 
Definifao: A media quadratica de um conjunto de n valores x; e 
a raiz quadrada da media aritmetica dos quadrados. Podemos dizer, entao, 
que Xq e a media quadratica de um conjunto de valores Xj se a opera�o 
que igualar os dois conjuntos for a adi�o dos quadrados. 
(xq )2 + (xq )2 + . . . + (Xq )2 = x� + x� + ... + x! 
n n 
I (xq)2 =I x: 
i=l i=l 
n 
n(xq)2 = L xt 
i=1 
a) Media Quadrdtica Simples 
OU 
n 
I x: 
(xq)2 = i=1 
n (26) 
Para o conjunto de n valores x1, x2, • • • , Xn, a media quadratica 
simples sera calculada atraves da seguinte expressao, obtida a partir da 
138 (26), mediante a extrayao >de raiz quadrada. 
Exemplo 19: 
Calcular a media quadratica dos conjuntos 
x = {2, 2, 2} 
Solu�iio: 
19.1) 
19.2) 
y = (2, 3, 4, 5} 
+ 22 + 22 
3 = /IF= 2 
-
= 
�
= 
j 12 + 32 + 42 + 52 
Yq � � ' 4 = 
/54--: = ..; 4 = y'13,5 = 3,67 
b) Media Quadrdtica Ponderada 
(27) 
Quando os valores da variavel estiverem dispostos em uma tabela 
de freqiiencias, a media quadratica sera determinada pela seguinte expressao: 
k k 
I x/fj I xf Jj 
Xq = 
j=l 
= [=1 
(28) 
k n 
I fj 
j=l 
Exemplo 20: 
Calcular a media quadratica dos valores constantes da Tabela 4.23 
Xq = 
k 
I xj fj 
j
=l = /2298 = · I 54 7143 = 7 40 n ../� v ' ' 139 
140 
TABELA 4.23 
Classes fj 
2 2 Xj Xj Xj fj Xjfj 
21--- 4 5 3 9 45 15 
41--- 6 10 5 25 250 50 
61--- 8 12 7 49 588 84 
81--- 10 10 9 81 810 90 
101--- 12 5 11 121 605 55 
5 k 
n = 42 I xffj= 2 298 L Xjfj=294 
j=l j=1 
A media aritmetica desse conjunto e igual a 7' OU seja, 
k 
I x11; 
x = j= 1 = 
294 
= 7 
n 42 
c) Propriedades da Media Quadrtitica 
I) Primeira Propriedade 
A media quadratica de uma constante e igual a Constante. 
Xq 
= 
Para x 1 = x2 = . . . = ·x0, teremos 
n 
"\' x2 
L... 0 
i= 1 
n 
I Xq 
= x0 I 
fl = = 
n 
para x; = Xo. 
« 
= Xo 
0 exemplo 19 confirma numericamente essa propriedade. 
II) Segunda Propriedade 
OU 
(29) 
Multiplicando ou dividindo todos os valores de um conjunto de 
numeros por um valor constante e arbitrario, a media quadratica flea 
multiplicada ou dividida por essa constante. 
Fa�amos c a constante e Yi = ex;. Entao, 
fl;[= 
n 
I (cx;)2 
i=l 
Yq = = n 
n 
JI:_ 
I 
2 X; 
c2 i= 1 = = c 1 
n n 
I Yq = CXq 
III) Terceira Propriedade 
para Yi = ex;. 
n 
I c
2x� 
I 
i=l 
n 
CXq 
Sempre que OS valores de x forem positivos e valida a relac;ao. 
I Xq ;;;;. x ;;;;. Xg ;;;;. Xh I 
= 
(30) 
(31) 
A igualdade se verifica quando os valores da variiivel forem iguais 
(constantes). Assim e que, para X1 = X2 = . .. = Xo. 
� � Xq = j 4-- = Xo 
conforme a expressao (29). 
Da mesma forma, Xq = x = Xg = Xh para x1 = x2 = ... = x0• 
Ocorrera a desigualdade para valores de variavel nem todos iguais. 
Para comprovar a desigualdade, mostraremos que Xq > x. Para isso, parti­
remos da seguinte relac;ao: 
n 
L (x; - x)2 > o, 
i=l 
uma vez que se trata de soma de quadrados de valores diferentes. 
Desenvolvendo o primeiro membro da desigualdade, 
n n 
I (x; - x)2 =I (xl + x2 - 2x;x) = 
i=I i=l 
" n n = I x� + I x2 - 2x I Xj = 
I 
i=1 i=l i=t 
n 
I X; 
n i=l 
= I x� + nx2 - 2Xn = 
I n 
i=I 141 
142 
n n 
= I 2 + nx2 - 2nx2 = I x� - nx2 >O Xj l 
j=I i=I 
Assim, se 
n 
I x: - nx2 > O, 
i=I 
segue-se que 
Mas 
n 
n 
I 2 
I 2 > nx2 Xj 
Xj OU 
i=I i=I > x2 
n 
n 
I xt 
I Xq > x I i=i
n 
x: . Entlio, x: > x2 e, finalmente, . . 
0 exemplo 20 comprova essa propriedade. 
0 bserv(lfi5es: 
I) A media quadratica e largamente utilizada em Estatistica, principal­
mente quando se pretende calcular a media de desvios (x - x), em vez de 
amedia dos valores originais. Neste caso, a media quadratica e denominada 
desvio-padrlio, que e uma importante medida de dispersao, objeto do pr6ximo 
capftulo. 
II) Outras medias menos usadas em Estatistica slio a media cubica e 
a media biquadratica, as quais sao calculadas respectivamente atraves das 
seguintes expressoes: 
a) Media CUbica 
Xe= 3 n 
para a Media Cubica Simples 
k 
I xJt; 
;=1 
n para a Media Cubica Ponderada Xe= 3 
b) Media Biquadrdtica 
jf":7 
Xbq = J � para a Media Biquadrtitica Simples 
(32) 
(33) 
(34) 
k 
'L xilj 
1�1 _;_ ___ para a Media Biquadrdtica Ponderada (35) 
n 
/\ 
Simbolo: M0 ou X 
4.3. MODA 
A moda e outra medida de tendencia central, havendo outras deno­
mina�oes para designa-la: norma, valor dominante, valor tipico. Generica­
mente, pode-se definir a moda como o valor mais freqiiente, quando 
comparada sua freqiiencia com. a dos valores contiguos de um conjunto 
ordenado. Quando afirmamos que o salario modal de uma empresa e igual 
a dois mil cruzeiros, queremos dizer que esse e o salano percebido pelo 
maior n6mero de pessoas dessa empresa. 0 termo moda foi utilizado prirneira­
mente por Karl Pearson em 1895, talvez como uma associa�ao a sua 
concep¢o na linguagem comum. 
4.3.1. Determina�o da Moda de Valores Nio-Tabulados 
Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda sera o valor 
predominante, o valor mais freqiiente desse conjunto. Evidentemente, um 
conjunto de valores pode nao apresentar moda, sendo, entao, denominado 
conjunto amodal, caso em que todos os valores da varravel em estudo 
ocorreram com a mesma intensidade (freqiiencia). Por outro lado, po­
demos ter conjuntos plurimodais, quando houver mais de um valor predo­
minante. 
Exemplo 21: 
Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores: 
x = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8} 
y = {4, 4, 5, 5, 6, 6} 
z = {l, 2, 2, 2, 3, 3;4, 5, 5, 5, 6, 6} 
w = { l, 2, 3, 4, 5} 
A moda de cada um dos conjuntos sera: 
Moda de X: M0 = 6. 0 valor 6 e o mais freqilente (3 ocorrencias). 
Moda de Y: Esse conjunto e amodal, pois seus tres valores apareceram duas 
vezes cada um. Nao ha, portanto, predominancia de nenhum 
valor do conjunto sobre os outros. 
Moda de Z: M0 = 2 e M0 = 5. Trata-se de um conjunto bimodal, uma 
vez
1 
que tanto o 2 valor 3 como o S apresentaram o maior numero 
de observa,.oes. 
Moda de W: Esse e outro conjunto amodal. 143 
4.3.2. Determina�o da Moda para Valores Tabulados 
Os valores da variavel dispostos em uma tabela de freqiiencias podem 
apresentar-se individualmente ou agrupados em classes. No primeiro caso, a 
determina�ao da moda e imediata, bastando, para isso, consultar a tabela, 
localizando o valor que apresenta a maior freqiiencia. Esse valor seni a 
moda do conjunto. Assim, por exemplo, a moda do conjunto apresentado 
na Tabela 4.24 e M0 = 3. Esse resultado indica que a rejei�ao de 3 pe�as 
defeituosas por mes foi o resultado mais observado. 
TABELA 4.24 - EMPRESA X 
Numero de P�as de Precisiio Defeituosas Devolvidas Mensalmente pelo 
Controle de Qualidade 
Numero de pe�as com defeito 
Xj 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Numero de meses 
'i 
7 
2 
4 
6 
8 
4 
2 
1 
I 'i = 21 
j=l 
Tratando-se de uma tabela de freqiiencias com valores tabulados e 
agrupados em classes, o procedimento n:io e imediato, sendo disponfveis 
alguns metodos de calculo distintos. Qualquer que seja 0 metodo adotado, 
0 primeiro passo para determinar a moda e localizar a classe que apresenta 
a maior freqiiencia, comumente chamada de classe modal. 
a) Moda Bruta 
0 metodo mais rudimentar de calculo da moda em tabelas de fre­
qiiencias com valores agrupados em classes consiste em tomar o ponto 
medio da classe modal. Esse valor recebe o nome de moda bruta. Exami­
nando os dados da Tabela 4.25, por exemplo, podemos dizer que a terceira 
cla�se e a classe modal e a moda bruta seni seu ponto medio: M0 = 35. 
Os dois metodos que apresentaremos a seguir sao mais elaborados e 
baseiam-se nao apenas na freqiiencia da classe modal, mas tambem nas 
freqiiencias das classes adjacentes. 
b) Metodo de King 
O metodo de King, para o calculo da moda elaborada, baseia-se na 
influencia das freqiiencias das classes adjacentes sobre a classe modal. 
Considerando essas freqiiencias, esta-se admitindo implicitamente que a 
144 moda se desloca dentro do intervalo de classe para um determinado ponto 
TABELA 4.25 
Classes 
101--20 
201--30 
301--40 
401--50 
501--60 
3 
5 
7 
6 
Classe Modal: 301--40 
Moda Bruta: 35 
n = 22 
(valor), de tal sorte que as distancias desse ponto aos lirnites de classe 
sejam inversamente proporcionais as freqiiencias das respectivas classes 
adjacentes. Assim e que, quanto maior for a freqiiencia da classe adjacente, 
menor seni a distancia do ponto a essa classe. 
Para comprovar o que dissemos, fa�amos: 
l; = limite inferior da classe modal; 
ls = limite superior da classe modal; 
di = distancia do ponto (moda) ao limite inferior; 
d2 = distancia do ponto (moda) ao limite superior; 
!ant = freqiiencia simples da classe adjacente anterior a classe modal; 
f post = frequencia simples da classe posterior a classe modal. 
Como di e d2 sao inversamente proporcionais as freqiiencias das 
classes adjacentes, podemos escrever: 
d2 fant 
di 
= 
!post 
A propriedade das propor�aes permite-nos escrever: 
d2 +di f ant +/post 
= ---�-
di !post 
0 numerador do primeiro membro da expressao equivale a amplitude 
do intervalo de classe: d2 +di = c. Assirn, 
_ fant +/post 
- /post 
e = 
C • /post 
fant + fpost 
Para determinar a moda, basta acrescentar a distancia di ao lirnite 
inferior da classe modal. 
M0 = I + di = I + c 
!post 
fant +[post 
(36) 
145 
146 
Como pode ser notado, o metodo de King nlio leva em consifant + /post 
9 90 M0 = 30 + 10 3 + 9 = 30 + 
U 
Graficamente 
A -- -
50 60 x 
c) Metodo de Czuber 
I M0 = 37,5 
GRAFICO 4.2 
0 metodo de Czuber, para o calculo da moda elaborada, leva em 
considera�ao nao apenas as freqiiencias das classes adjacentes, mas tambem 
a freqiiencia da classe modal. 0 ponto que corresponde a moda divide o 
intervalo da classe modal em duas partes, as quais sao proporcionais as 
diferen�as entre a freqiiencia da classe modal e as das respectivas classes 
adjacentes. 
Fa�mos, entao, 
t.i = Imo - lant = (frequencia da classe 
anterior); 
62 =Imo - f post= (freqiiencia da classe 
posterior); 
= limite inferior da classe modal; 
ls = limite superior da classe modal; 
modal) - (freqiiencia 
modal) - (freqiiencia 
di = distancia da moda ao. limite inferior da classe modal; 
d2 = distancia da moda ao limite superior da classe modal. 
Segundo o princfpio do metodo de Czuber, 
d2 /J.2 
di t:,.1 
da classe 
da classe 
Recorrendo novamente a propriedade das propor�oes, 
d2 + di b.2 + b.i 
= 
Lembrando que d2 + di = c, amplitude do intervalo de classe, e 
colocando di em evidencia, 
[:, i 
di = c 
b.2 + !:;,.l 
Como d1 e a distancia entre o limite inferior da classe modal e a 
moda, essa seni determinada por 
OU 
!:;,.l 
M0 = I + d 1 = I + c --­
t::,.2 + ll1 
fmo - !ant 
M0 = I + c ---------
2/mo - Uant +/post) 
Exemplo 24: 
(37) 
Determinar a moda, pelo metodo de Czuber, usando os dados do 
exemplo 23. 
De acordo com a formula 37, 
= 30 
c = lO 
b. 1 = f mo - /ant = lO - 3 = 7 
62 =/mo -/post= 10 - 9 = l 
b.1 
M0 =I+ c ----
1::,.1 + b.2 
7 
= 30 + lo m = 30 + 8,75 = 38,75 
I M0 = 38,75 1 
c. l) Determinariio Grdfica da Moda pelo Metodo de Czuber 
Para determinar graficamente a moda, Segundo 0 metodo de Czuber, 
partiremos de um histograma. Por simplifica�ao, construiremos apenas os tres 
retangulos correspondentes as classes de interesse. 149 
0 
150 
s 
P=Mo 
Temos que: 
At =Imo - /ant; 
L'.2 =Imo - /post; 
T 
1, 
I = limite inferior da classe modal; 
ls = limite superior da classe modal; 
c = amplitude do intervalo de classe (constante). 
GRAFICO 4.3 
x 
Consideremos os seguintes triangulos semelhantes QRS e QTU. Em 
virtude da propriedade dos triangulos semelhantes, podemos escrever a 
seguinte proporyao: 
Mas, 
CQ 
= 
QD 
SR TU 
CQ = M0 - l 
SR = t:.1 
Assim sendo: 
M0 - l 
A 1 
QD =ls - Mo 
TU = t:.2 
A determina¢o de M0 e feita a partir dessa ultima relayao: 
(M0 - I )t:.2 =Os - Mo)A1 
M0 A2 -- l b.2 = ls A1 -- M0 A1 
M0t:.2 + M0A1 = I A2 + l5A1 
I t:.2 + lsA1 
Mo =
----­
A1 + A2 
Como 18 = I + c, o denominador da expreSSfo ficar4: 
I f:i.2 + lsA1 =I A2 + (I + c)f:i.1 =I f:i.2 + / A1 + cA1 = 
=I (f:i.1 + A2) + cA1 
Portanto, 
I (A 1 + A2) + c f:i.1 
Mo = -------­
f:i.1 + f:i.2 
f:i.1 
= 1 + c ' 
f:i.1 + A2 
conforme a expressio (37). 
Examinando a Figura 4.3, podemos afirmar, entao, que a moda 
corresponde a abscissa P = M0 do ponto de interse�o Q das linhas 
RT e SU. 
Observ0f6es: 
I) 0 lei tor que estiver familiarizado com os conhecimentos de catculo 
podera encontrar a formula de Czuber atraves de uma parabola construida 
de modo a passar pelos pontos medios da classe modal e das classes contfguas 
a ela. Desse modo, a parabola Y = ax2 + bx + c passara pelas extremidades 
das tres ordenadas: f ant. fmo e [post· 
Em seguida deverao ser determinados os parametros da parabola, a, b, 
c, atraves de um sistema de tres equa�aes a tres inc6gnitas, com a origem 
no ponto medio da classe modal, chegando-se a seguinte expressao: 
fant + fpost -- 2fmo 2 
+ 
fant + fpost 
+ I' y = 
2 
2 x 
2 
x Jmo c 
� '--v--1· 
a b c 
0 maximo de y (freqilencia) e obtido por deriva�o. 0 valor de x, 
correspondente ao valor maxima de y' sera dado por 
x = 
fant - fpost X __£__ 
!ant + fpost - 2[ mo 2 
Mudando a origem para o limite inferior da classe modal, obtem-se: 
Assim, 
, cifmo - fant) A1 
x = =c ----
2fmo - ifant + fpost) A1 + A2 
I M0 = I + x' = I + c __ 
f:i._l _ 
_ 
f:i. 1 + A2 
2) Seria possivel obter outras formulas da moda considerando outros 
criterios, como, por exemplo, utilizando as freqilencias de todas as classes. 
Entretanto, todo esse rigor nao se justifica, em virtude do pouco uso 
dessa medida. 151 
152 
4.4. MEDIANA 
Simbolo: Md OU x. 
A mediana e a terceira medida de tendencia central e pode ser defi· 
nida como o valor que divide uma serie ordenada de tal forma que pelo 
menos a metade ou cinqilenta por cento dos itens sejam iguais ou maiores 
do que ela, e que haja pelo menos outra metade ou cinqilenta por cento de 
itens maiores do que ela. A mediana e considerada uma separatriz, por ser 
um promedio que divide a distribui9ao ou conjunto de dados em partes 
iguais. Trata-se de uma medida muito utilizada na amilise de dados estatis­
ticos, especialmente quando se atribui pouca importancia aos valores extremos 
da varili vel. 
Elemento Mediano 
Por ser uma separatriz, isto e, em virtude de a mediana se constituir 
em um valor que separa a distribui¢o em partes de tal sorte que uma fra¢o 
(0,5 ou 1/2) de valores lhe seja inferior e os restantes superiores, podemos 
concluir que essa medida apresenta um numero de ordem. Assim e que, 
ordenando os valores da serie, a mediana e um valor que ocupa uma deter­
minada ordem ou posi9ao na serie ordenada. 0 numero que indica a ordem 
em que se encontra o valor correspondente a mediana e denominado ele­
mento mediano, cujo simbolo e EMd· 
4.4.1. Determina�o da Mediana de Valores Nio-Tabulados 
A determina9ao da mediana de valores nao-tabulados processa-se a 
partir de um rol ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrer duas hipoteses 
com rela9ao ao numero de observa96es n: que ele seja impar ou par. Veremos 
os dois casos. 
a) 0 Numero de Observaroes e fmpar 
0 procedimento para o calculo da mediana quando a lista de valores 
contiver um nilmero fmpar de observa9oes requer, em primeiro lugar, que 
se determine a ordem em que se encontra a mediana na serie. Deve-se, 
entao, encontrar o valor do elemento mediano, o que e feito da seguinte 
forma: 
I EMd=� I (38) 
O passo seguinte sera localizar a mediana na lista de valores, de 
acordo com o resultado obtido no calculo do elemento mediano. 
Exemplo 25: 
Calcular a mediana do seguinte conjunto de numeros: 
x = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} 
Solurao: 
A primeira providencia a ser adotada seria a de ordenar os valores. 
Neste exemplo, os valores da serie ja se encontram ordenados. 
Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano, utilizando 
a formula (38), uma vez que o numero de observay5es e impar (n = 7). 
E - � - 2-±_J_ - 4 Md - 2 - 2 -
Ressalte-se o fato de que o valor 4 e um numero ordinal. Assim, 
E Md = 4 indica que a mediana e o valor que se en contra na quarta posiyao 
da lista ordenada de valores, e 0 quarto numero da serie. 
Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontra 
no quarto lugar da lista. Esse numero c;orrespondera a mediana do conjunto. 
No exemplo: 
�, M.-d
-
=
-
12
--., 
Observe que existem tres valores menores do que doze (2, 3 e 6) e 
tres valores maiores (15, 23 e 30), o que corresponde a cinqilenta por 
cento (ou metade) de itens maiores e menores do que a mediana. 
b) 0 Num ero de Observafoes e Par 
0 procedimento para calcular a mediana de ·um numero par de obser­
vay5es e ligeiramente diferente do adotado para 0 caso em que n e impar. 
Assim e que 0 elemento mediano Sera determinado, agora, atraves da 
seguinte expressao: 
I E Md = ; I (39) 
· Exemplo 26: 
Calcular a mediana do conjunto: 
x = (3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20}. 
So/ufiio: 
Como vemos, n = 8. 
0 elemento mediano sera, de acordo com a formula (39), 
n 8 
EMd =1=2= 4 
Seguindo a mesma linha de raciocinio do exemplo anterior, identifi­
carfamos a mediana coma 0 quarto elemento da lista, OU seja, Md= 12. 
Entretanto, esse procedimento de identificayao resultaria em um valor da 
mcdiana que contrariaria a defini\:ao, uma vez que naoteriamos a mesma 
propor9ao de valores menores e maiores do que o valor doze. Haveria, 153 
154 
entiio, tres valores menores do que doze (3, 6 e 9) e quatro maiores 
(14, 15, 17 e 20). 
Toda vez que houver um numero par de observa�oos a lista apresen­
tara dois valores centrais e a mediana sera determinada calculando a media 
aritmetica deles. No exemplo, teriamos: 
Md = 12 + 14 = 13 
2 
Percebe-se, agora, a ocorrencia de igual numero de valores maiores 
(14, 15, 17 e 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana. 
4.4.2. Determina\:iO da Mediana de Valores Tabulados 
nio Agrupados em Classes 
Quando os valores da variavel estiverem ja tabulados, o procedimento 
a ser adotado sera praticamente identico ao anterior. 
Em primeiro lugar, deve-se verificar se o numero de observa�oes e 
impar ou par e, conforme o caso, aplicar as formulas (38) ou (39), para o 
calculo do elemento mediano. 
Em seguida, acrescentamos uma coluna a tabela de freqiiencias original, 
onde serao determinadas as freqiiencias acumuladas. Comparando o resultado 
obtido no calculo do elemento mediano com os valores constantes dessa 
coluna, determinaremos a mediana. 
Exemplo 27: 
Calcular a mediana dos valores apresentados nas Tabelas 4.28 e 
4.29. 
TABELA 4.28 TABELA 4.29 
Va/ores FrsqiilJncias Valor• F mqiilncias 
Xj fj Xj fj 
2 5 3 3 
3 10 4 6 
4 15 5 9 
5 12 6 8 
6 5 7 6 
7 3 8 3 
n = 50 n = 35 
Solufao: 
a) 0 numero de observa�OeS da variavel, conforme a Tabela 4.28, e 
n = 50. Assim sendo, fazemos: 
n 50 EMd =1= 2 = 25 
A mediana devera ser o vtges1mo quinto elemento, se levarmos em 
considera\:li'O os valores do conjunto ordenados, ou seja: 
{2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . ' 7, 7, 7} 
0 passo seguinte sera o calculo das freqilencias acumuladas, o que 
sera feito com o recurso da tabela auxiliar 4.30. 
TABELA 4.30 
Xj fj Fj 
2 5 5 
3 10 15 
4 15 30 
5 12 42 
6 5 47 
7 3 50 
n = 50 
Examinando a coluna das freqilencias acumuladas verificaremos que 
ate o valor dois, inclusive, existem cinco observa\:oes, o que equivale a 
dizer que o quinto elemento da lista e igual a dois. Portanto, a mediana 
nao pode ser dois, uma vez que ela equivale ao vigesimo quinto valor, e 
ate dois temos apenas cinco observa\:OeS. Assim, iremos percorrendo a 
coluna ate encontrar um valor (freqilencia acumulada) igual ou maior que 
o elemento mediano. A freqilencia acumulada seguinte e quinze, que, por 
ser inferior a vinte e cinco, indica que tres nao e a mediana. Ja a freqilencia 
acumulada ate o valor quatro da variavel e superior a vinte e cinco. Portanto, 
a mediana desse conjunto e 
I Md= 41 
Observ()fiio: Em virtude de o numero de observa\:OeS ser par, teremos 
dois valores centrais, que no caso sao iguais. Assim, 
1Md=�=41 
b) 0 conjunto de observa\:oes, neste caso, e fmpar: n = 35. 
0 elemento mediano sera: 
E - � -
35 + 1 18 Md - 2 - 2 
A mediana sera o decimo oitavo valor da lista. A Tabela 4.31 mostra 
que ate cinco, inclusive, temos dezoito observa�es. Conseqilentemente, 155 
156 
TABELA 4.31 
Xj fj Fj 
3 3 3 
4 6 9 
5 9 18 
6 8 26 
7 6 32 
8 3 35 
n = 35 
Se tivessemos os valores dispostos individualmente, teriamos a seguinte 
lista: 
/1 =3 /2 =6 fs =6 !6 =3 
� ,.....--..... 
3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8 
i 
Md= 5 ou 189 elemento da lista 
Exemplo 28: 
Calcular a mediana dos valores constantes da Tabela 4.32. 
TABELA 4.32 
Xj fj Fj 
3 3 3 
4 6 9 
5 9 18 
6 8 26 
7 6 32 
8 4 36 
n = 36 
Solu�iio: 
Temos n = 36 � n e par. Entao, 
n 36 EMd =1=2= 18 
A mediana e o decimo oitavo elemento, numero esse que coincide 
com o valor da freqilencia acumulada ate cinco: F3 = 18. Mas como quando 
n for par a mediana seni igual a media aritmetica dos dais valores centrais, 
teremos: 
Md=�=55 
2 ' 
4.4.3. Determina�o da Mediana de Valores Tabulados 
Agrupados em Classes 
Quando os valores da variavel estiverem agrupados em classes, o 
calculo da mediana seni realizado por interpola�ao. Tratando-se de dados 
agrupados, admite-se que os valores da variavel na distribui�ao de freqiiencias 
distribuam-se continuamente. A mediana seni, neste caso, o valor da variavel, 
para o qual metade ou cinqiienta por cento da freqiiencia total ( �) flea 
situada abaixo e outra metade acima dele. Geometricamente, isso equivale 
a dizer que a mediana e 0 valor de x (eixo das abscissas) que corresponde a 
perpendicular que divide o histograma em duas partes que apresentam 
areas iguais. 
No Grafico 4.4, o histograma apresenta-se dividido pela linha tracejada 
OP em duas partes exatamente iguais quanto as suas areas. 
GRAFICO 4.4 
45 
0 E 40 
35 I 
30 I 
I 
25 101 30 
20 
I 
I 
15 
35 I 
I 
10 20 I 40 
I 25 
5 10 I 15 
A 8 
0 10 20 30 40 \;so 60 70 80 x 
Md=42,5 
A mediana sera, entao, a abscissa correspondente a linha OP, a qual 
divide o histograma em duas partes iguais. Em virtude de as areas dos 
retangulos do histograma corresponderem as freqiiencias das respectivas 
classes, OP seni tal que a soma das areas situadas a sua esquerda OU a sua 
direita seni sempre igual a metade da freqiiencia total, ou seja, igual ao 
elemento mediano. Examinando o Grafico 4.4, podemos ver que 
n = 10 + 20 + 35 + 40 + 25 + 15 + 5 = 150, 
e que 
157 
158 
Dessa forma, podemos afirmac que a linha OP devera dividir o histograma 
em duas partes, sendo a area de cada uma delas igual a 75. Observando 
novamente a figura verificaremos que as areas APOD e PBEO correspondem 
respectivamente as freqiiencias 10 e 30. Portanto, ate chegar a linha OP, a 
area total sera igual a 75, incluindo APOD: 
APOD 
t 10 + 20 + 35 + 10 = 75 
Considerando a area a direita da linha OP, teremos igualmente uma 
area numericamente igual a 75, incluindo PBEO. 
PBEO 
t 
30 + 25 + 15 + 5 = 75 
Para encontrar a mediana, basta verificar qual o valor da variavel 
(eixo das abscissas) que divide o histograma em duas partes iguais. 0 proce­
dimento e simples. Se somarmos as freqiiencias das tres primeiras classes, 
chegaremos a 65 observayoos, que correspondem ao valor numerico da 
soma das areas dos respectivos retangulos do histograma. Podemos dizer, 
entao, que ate o valor 40 da variavel (abscissa) houve 65 observayoos. 
Como precisamos de 75 observayOeS ( E Md = 
1 ;0 
= 75) para chegar a 
mediana, ha n�cessidade de consideram�os �ais dez valores (observ�goos) 
da classe segumte. Em termos proporC1ona1s, devemos considerar 
40 
de 
valores da classe mediana. Uma vez que a amplitude do intervalo de classe 
e igual a dez, para chegar a mediana iremos considerar apenas uma fra9ao 
dessa amplitude, ou seja: � . Simbolicamente: 
AP = 4010 • AB = !Q_ • 10 = 2 5 40 ' 
Assim, a mediana sera igual a: 
Md = 40 + 2,5 = 42,� I Md = 42,5 I 
0 mesmo resultado seria obtido a partir do poligono de freqiiencias 
acumuladas. Consideremos irlicialmente a Tabela 4.33, que recomp0e os 
dados do problema anterior. 
TABELA 4.33 
Classes 'i Fj 
10 f-- 20 10 10 
20 f-- 30 20 30 
30 f--40 35 65 
Classe Mediana- 40 f--50 40 105 EMd = 75 
50 f--60 25 130 
60 f-- 70 15 145 
70 f--80 5 150 
150 
Fj Frj(%) 
160 Loo 
140 
120 80 
100 
60 GRAFICO 4.5 
80 
EMd=75-
·-·-·-
-50% 
60 40 
40 
20 
20 
0 
0 10 20 30 40"' 50 60 70 80 x 
Md=42,5 
Examinando o poligono de freqiiencias acumuladas representado no 
Gnifico 4.5, podemos ver que a mediana ea abscissa do ponto P do poligono 
de freqiiencias acumuladas, cuja ordenada e o elemento mediano (EMa = 75), no caso de freqiiencias absolutas, e cinqiienta por cento, no caso de freqiien­
cias relativas. Para calcular o valor da mediana, recorremos aos triangulos 
semelhantes, RQP e RST, que gozam da propriedade: 
RQ = PQ 
RS ST 
Para determinar a mediana, teremos que fazer: 
Md= I + RQ 
onde I = limite inferior da classe mediana. 
Mas 
En tao, 
RQ =RS · PQ 
ST 
RS = c = amplitude do intervalo de classe 
PQ = EMd - Fant 
Fant = freqiiencia acumulada ate a classe anterior a classe mediana 
ST = freqiiencia simples da classe mediana = fmuito numeroso de individuos, que sao semelhantes 
quanto a pelo menos uma caracteristica especifica. Freqiientemente, os 
metodos deterministas sao inaplicaveis ao estudo de caracteristicas pr6pria� 
de conjuntos muito numerosos de fodividuos, face a extrema complexidade 
ou mesmo as condi96es peculiares e a natureza do fenomeno estudado. 
Trata-se, em particular, do caso em que o conjunto das ocorrencias rela­
cionadas com o comportamento da caracteristica analisada esta sujeito ao 
acaso. Atraves de uma tecnica de sintese, que e uma caracteristica de seus 
metodos, a Estatistica torna possivel analisar os padroes de comportamento 
da caracteristica em estudo, conseguindo superar a ir.cetermin�9ao que se 
manifesta em casos particulares. 
Fisher refere-se a Estatistica como o ramo da Matematica Aplicada 
dedicado a analise de dados de observa9ao. A despeito das criticas que esta 
coP.cep9ao possa merecer, ela evidencia claramente dois aspectos importantes 
do metodo estatistico: o tratamento quantitativo a ser aplicado ao fenomeno 
e � observa9ao, tomada em seu sentido mais amplo. Assim sendo, qualquer 
ciencia experimental nao pode prescindir das tecnicas proporcionadas pela 
Estatistica, citando-se, a guisa de exemplo, a Fisica, a Biologia, a Adminis- · 
tra9ao de Empresas, a Economia, a Psicologia, a Agronomia e outras. Todos 
esses ramos de· atividade profissional tern necessidade de um instrumental 
que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenomenos de massa 
ou coletivos, cuja mensura9ao e analise requerem uin conjunto de obser­
va96es de fenomenos individuais ou particulares. Esse mecariismo de amilise 
refere-se a um processo de generaliza9ao, a partir de resultados individuais. 
Assim, se for observado um certo padrao de regularidade nos resultados de 
um experimento qualquer, provavelmente existe uma caracteristica corres­
pondente a uma ampla classe de experiencias. Verificando-se a comprova9ao 
dessa caracteristica atraves de testes estatisticos adequados, pode-se fazer a 
generaliza9ao da caracteristica para todas as categorias de fenomenos seme­
lhantes. 
Para esclarecer e fixar melhor o conceito de Estatistica, sera inte­
ressante dizer-se alguma coisa sobre aquilo que ela nao e. 
Em primeiro lugar, a Estatistica nao e, de forma alguma, um metodo 
mediante o qual se pode provar tudo aquilo que se deseja. Na realidade, nao 
ha nada nos metodos estatisticos capaz de evitar que um indivfduo super-
ficial ou inescrupuloso extraia de um estudo estatistico suas pr6prias con­
clus0es, apesar da existencia dos dados numericos. Em segundo lugar, a 
EstatiStica nao e simplesmente uma coleyao de dados (estatisticos) nem 
constitui um substituto do pensamento abstrato. te6rico ou do exame minu­
dente dos casos excepcianais. Dessa forma, os metodos estatisticos nao se 
opoem, de modo algum, a analise qualitativa dos casos particulares. Ambos 
OS metodos se completam. Alem disso, nao e correto afirmar-se que a EstJ­
tistica somente seja aplicavel em presenya de um grande numero de caso� 
ou que nao possa ser usada em estudos exploiat6rios. 
Para estabelecer o ambito dos estudos da disciplina e adotando-se um 
esquema pratico de raciocinio, pode-se dizer que a Estatistica compreende 
duas funyoes (ou campos) hem amplas. A primeira funyao e descritiva, e a 
segunda e indutiva. 
1.2. ESTATISTICA DESCRITIVA E ESTATISTICA INDUTIVA 
1.2.1. Estatrstica Descritiva 
Principalmente em pesquisa social, o analista defronta-se amiude com 
a situayao de dispor de tantos dados que se torna dificil absorver completa­
mente a informayliQ que esta procurando investigar. E extremame.rt.ti_ dificil; 
captar intuitivamente todas as infomiayoes que os dados contem. Eneces­
sario, portanto, que as informayoes sejam reduzidas ate o ponto em que se 
possa interpreta-las mais claramente. Em outras palavras, e indispensavel 
resumi-las, atraves do uso de certas medidas-sinteses, mais comumente conhe­
cidas como estatisticas descritivas ou simplesmente estatisticas. Por conse­
guinte, a estatistica descritiva e um numero que sozinho descreve uma 
caracteristica de um conjunto de dados. Trata-se, portanto, de um numero­
-resumo que possibilita reduzir os dados a proporyoes mais facilmente inter­
pretaveis. Evidentemente, ao resumir os dados atraves do uso de estatisticas 
descritivas, muita informayao ira necessariamente se perder, alem de ser 
provavel a obtenyao de resultados distorcidos, a menos que eles sejam inter­
pretados com muita precauyao. 
Em um seritido mais amplo, a Estatistica Descritiva pode ser inter­
pretada como uma funyao cujo objetivo e a observayao de fenomenos de 
mesma natureza, a coleta de dados numericos referentes a esses fenomenos, a 
organizayao e a classificayaoMd 
I Md =I + c 
EMd -
F,,. 
. [Md 
No exemplo, teremos: 
75 - 65 . 100 Md = 40 + 10 40 = 40 + 40 = 42,5 
(40) 
Md= 42,5 159 
160 
Observaroes: 
1) Tratando-se da distribuiyao de freqiiencias de dados tabulados 
agrupados em classes, o elemento mediano seni sempre igual a E Md = � , 
nao se fazendo distinyfo entre numero par OU fmpar de observay6es. 
2) 0 calculo da mediana pode ser feito a partir das freqiiencias 
relativas. Neste caso, 
0,50 - Frant 
Md= I+ c ----­
frMd 
(41) 
Fr ant = frequencia reiativa acumulada ate a classe anterior a med1ana 
frMd = 
freqiiencia simples relativa da classe mediana 
No exemplo acima: 
65 75 - 65 
0•50 -
150 150 
Md = 40 + 10 = 40 + 10 ----
40 40 
150 150 
= 40 + 10 � =
· 
42,5 
Exemplo 29: 
Calcular o consumo mediano de eletricidade (kw/hora) dos 80 uswirios, 
utilizando os dados do exemplo 7. 
a) Por formula. 
b) Por interpola"iio. 
c) Graficamcnte. 
Solu�iio: 
A Tabela 4.34 apresenta os dados do problema. 
"TABELA 4.34 
Consumo Numero de Fj kwh usuarios: fj 
5 i:-- 25 4 4 
251--- 45 6 10 
451--- 65 14 24 
651--- 85 26 50 
85 f---105 14 64 
105 f---125 8 72 
125 1--145 6 78 
145 1--165 2 80 
80 
a) Primeiro Metodo: Resolurao por Formula 
Para aplicayao da f6nnula, precisamos dos seguintes dados: 
n 80 
EMd =1=2= 40 
Classe mediana: 6Sf---
-
85, uma vez que, ate 85, temos cinqiienta 
observayaes, e ate 65 apenas 24. 
/. = limite inferior da classe mediana = 65 
c = amplitude do intervalo de classe = 20 
f Md = freqilencia simples da classe mediana = 26 
Fant = freqilencia acumulada ate a classe anterior a classe mediana = 24 
Conforme a formula (40), devemos ter: 
EMd - Fant Md=! +c ---- = 65 + 20 40 - 24 = 
fMd 
= 65 + 320 = 65 + 12 31 26 ' 
26 
I Md= 77,31 I 
0 consumo mediano, por conseguinte, e de 77,31 kwh. 
b) Segu.ndo Metodo: Por Interpolarao 
Admite-se que o consumo se distribui continuamente e o consumo 
mediano e o valor tal que metade dos 80 valores lhe seja inferior e metade 
superior. Para obter a mediana, devemos localizar o quadragesimo elemento, 
ja. que EMd = 40. Percorrendo a Tabela 4.34 na coluna de freqiiencias 
acumuladas, verificaremos que o quadragesimo elemento encontra-se na 
quarta classe: 65f----85. Como ate a terceira classe, inclusive, acumulamos 
24 observaiyoes, precisamos de mais 16 para completar as 40 necessarias. 
Assim sendo, se tomarmos todo o intervalo da quarta classe, estaremos 
considerando todas as observaiyaes dessa classe (26). Entretanto, interessam­
-nos apenas 16 observayoes para atingir o ponto que corresponde a mediana. 
Para saber que parcela. do intervalo da classe mediana (c = 20) devemos 
levar em consideraiyao, faremos a seguinte regra de tres simples: 
{26 ----20 
16 ----- x 
x = 20 ;6 
16 = 12,31 
Acrescentando-se esse valor ao limite inferior da classe mediana, 
chegaremos a 
.... , M_d_=_6 _5 -+-12-, -31 _=_ 7_7-,3 -1--.I 
valor igual conseguido com o uso da f6rmula (40). Na realidade, esse ultimo 
e apenas o resultado de interpolaiyao. Assim, de acordo com o que vimos 
acima, 161 
on de 
= 
20 x 16 
= 20 � x 26 26 
20 = c 
16 = 40 
- 24 = EMd - Fant 
26 =[Md 
Substituindo os numeros pelos simbolos que os representam, temos 
EMd - Fant 
x=c 
f Md 
que, somado ao limite inferior da classe mediana (/ ), reproduz a formula (40). 
EMd - Fant 
Md =I+ c ----
[Md 
c) Terceiro Metodo: Determinariio Grtifica da Mediana 
Inicialmente construiremos o poligono de freqtiencias acumuladas 
(ogiva). 
N(lmerode 
Usu6rios 
80 
70 
60 
60 
EMd =40 
30 
20 
10 
Fj 
Pon:entagem de 
Usudrios 
Fri(%} 
100 
76 
- -- - - -- 60 
26 
O 5 25 45 66 \ss 106 126 146 166 Consumo kwh 
Md= 77,31 
GRAFICO 4.6 
A partir do eixo das ordenadas na altura correspondente ao elemento 
mediano (40), no caso de freqtiencias absolutas, ou a cinqtienta por cento, 
no caso de freqtiencias relativas, tra�amos uma paralela (linha interrompida) 
ao eixo das abscissas, ate encontrar o ponto P na ogiva. ·nesse ponto, 
baixamos uma perpendicular ao eixo das abscissas, encontrando nesse o 
valor da variavel representativo da mediana Md = 77 ,31. E natural que 
a leitura da mediana no grafico s6 pode ser realizada aproximadamente. 
0 valor exato so se consegue mediante a aplica�ao da formula (40), ou 
162 pelo metodo de interpola�ao, que lhe e equivalente. 
Exemplo 30: 
Calcular a mediana do problema do exemplo 29: 
a) Utilizando a formula das freqiiencias relativas; e 
b) Graficamente, atraves do histograma. 
Solufiio: 
a) Primeiro Metodo: Por Fonnu/a 
A Tabela auxiliar 4.35 fornece OS dados necessarios para 0 calculo 
da mediana. 
TABELA 4.36 
Consumo Numerode 
kwh usu6rios: fj 
5l--25 4 
251--45 6 
451--65 14 
Classe Mediana 651--85 26 
851--105 14 
1051--125 8 
1251--145 6 
1451--165 2 
n = 80 
0 elemento mediano, como vimos, e 
n 80 
EMd =1= 1= 40. 
Porcentagem de 
usuarios: ''i (%) 
5,0 
7,5 
17,5 
''Md 32,5 
17,5 
10,0 
7,5 
2,6 
100,0 
Fri 
6,0 
12,5 
30,0 
62,5 
80,0 
90,0 
97,5 
100,0 
Em termos porceqtuais, o elemento mediano corresponde a cinqiienta 
por cento da distribuiyao. Com esse valor, localizamos -a classe mediana 
(65f--85). Assim sendo; teremos, de acordo com a formula (41), 
Md = I + c 
0,50 - Frant 
= 65 + 20 
0,50 - 0,30 
= 
fr Md 0,325 
= 65 + 
0 
:
25 
= 65 + 12,31 I Md= 77,31 I 
' 
b) Segundo Metodo: Por Grtifico 
Observando o Grafico 4.7, podemos notar que ate a ierceira classe 
(45 f--65), inclusive, houve 24 observayoos (4 + 6 + 14). Como o elemento 
mediano e igual a 40, precisamos ainda tomar 16 _observayoos das 26 da 
classe seguinte (40 ___:___ 24). Em termos proporcionais, precisamos de ;� c, 
onde c e a amplitude do intervalo de classe. 
16 ����������� 
26 X 
20 = 12,31 Md= 65 + 12,31 = 77,31 
163 
NUmero de 
usuarios 
'i 
28 
24 
20 
16 
12 
8 
4 14 
0 6 26 45 
10 
-c-
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
16 � 
I 
I 
I 
I 14 
2,311 
66 \ 85 105 126 
MU= 77,31 
146 165 
= 80 
EMd= -!!J! =40 
Classe Med;ana: 65 I-- 85 
= 20 
Consumo �h 
GRAFICO 4.7 
4.5. CONSIDERACOES ADICIONAIS SOBRE A MEDIA 
ARITMETICA, A MODA E .A MEDIANA 
164 
Dentre as varias medidas de tendencia central, seguramente a media 
aritmetica e a mais utilizada. Entretanto, existem casos que justificam o 
emprego de outra medida. Antes de entrarmos nesses pormenores, vejamos 
como podem ser relacionadas as tres principais medidas de tendencia central: 
media (aritmetica), moda e mediana. 
4.5.1. Rela�o Empfrica entre a M6dia, a Moda e a Mediana 
Karl Pearson desenvolveu uma f6rmula empirica de relaylio entre a 
media, a moda e a mediana. Existem algumas condiyoos a serem satisfeitas 
para que a relaylio proposta por Pearson se verifique com maior aproximaylio: 
a) A distribuiQiio (curva) de freqiiencias deve ser unimodal. 
b) A distribui9ao de freqiiencias deve ser fracamente assimetrica. 
c) 0 numero de observaQoes deve ser suficientemente grande e · pequena 
a escala de unidades que divide a distribuiQiio. 
A relayliO de Pearson e a seguinte: 
I x -M0 = 3(x - Md) I (42) 
Se quisermos calcular cada medida a partir dessa relaya'o, teremos: 
x 3Md -Mo 
-
2 
M0 = 3Md - 2x (43) 
Md= 2x +Mo 
3 
Exemplo 31: 
Utilizando os dados dos exemplos 7 e 29, calcular a media, a moda 
(Czuber) e a mediana e comparar os resultados com os da relayao empirica 
de Pearson. 
Solu(iio: 
lnicialmente, reproduziremos na Tabela 4.36 OS dados necessarios a 
resoluc;ao do problema. 
TABELA 4.36 
Classe Modal 
Classe Medians 
Devemos ter: 
k 
Consumo 
kwh 
51---- 25 
251---- 45 
451---- 65 
651---- 85 
851----105 
1051---- 125 
1251---- 145 
1451---- 165 
Numerode 
usufJrios: fj 
4 
6 
14 
26 
14 
8 
6 
2 
n = 80 
L Xjfi 6 360 = 79 5 j=l 
n 80 ' 
Xj 
15 
35 
55 
75 
95 
115 
135 
155 
Xjfj 
60 
210 
770 
1 950 
1 330 
920 
810 
310 
6 360 
x = 79,5 
Fj 
4 
10 
24 
50 
'64 
72 
78 
80 
n = 80 
k = 8 
b.1 Mo= I + c --­
t::..1 + t::..2 
= 65 + 20 (26 - l4) = 75 (26 - 14) +(26 - 14) 
I M0 = 75 l 
Md = l + c EM�:aFant = 65 + 20 40 2� 24 = 77,31 IMd = 77,311 
Pela relac;ao empfrica 
Mo = 3Md - 2.X = (3 X 77,31) - (2 X 79,5) = 
= 231,93 - 159,0 = 72,93 £: 73 
Md = 2.X + Mo = (2 X 79,5) + 75 78 3 3 
M0 = 73 
I Md= 78 I 
- 3Md - Mo - (3 X 77,31) - 75 78,465 ::::: 78,5 I x = 78,5 - 2 - 2 . 165 
Como pode ser visto, nao ha uma discordancia acentuada entre as 
medidas calculadas pelos dois processos. 
4.5.2. Caracterrsticas da Media, da Mediana e da Moda 
Uma forma util de comparar as medidas de tendencia central e 
atraves da utilizayao de um diagrama. Devemos, entretanto, lembrar, antes 
de qualquer considerayao, que tais medidas se baseiam em conceitos distintos. 
Assim e que a media aritmetica e a soma dos valores observados dividida 
pelo numero total deles; a mediana e 0 valor que divide a serie em duas 
partes iguais quanta ao numero de valores de cada parte e a moda e o 
valor em cuja vizinhanya tendem a se concentrar os valores da serie. 
a) Conceitos Fisicos das Medidas de Tendencia Central 
Conforme dito anteriormente, o conceito de media aritmetica corres­
ponde ao de centro de gravidade estudado em Ffsica. Esse fato nos revela 
que essa medida e afetada de maneira acentuada pelos valores extremos da 
serie, o que nao acontece com a moda e a mediana. Assim, por exemplo, 
Numero de 
Observat;:6es 30 
25 
20 
15 
10 
5 
0 
.( Empregado B 
' ........................ 
2 x =2 3 Minutos 
Os tempos obtidos por B revelam sua menor eficiencia em relat;:ao a A. 
GRAFICO 4.8 
duas series podem apresentar a mesma media mas suas distribuiyOeS serem 
diferentes. Suponhamos que dois empregados executem uma determinada 
tarefa, em media, em dais minutos, sendo esse resultado calculado a partir 
de um certo numero de observayCies realizadas. Alguem poderia estar 
tentado a concluir, com base nessa informayao, que ambos os empregados 
apresentaram a mesma eficiencia. Um exame mais acurado da distribuiyao 
dos tempos de execu\:aO da tarefa pode, entretanto, revelar resultados 
discrepantes para essas pessoas, conforme pode ser notado no Grafico 4.8, 
na pagina anterior. 
Outro Grafico muito ilustrativo da influencia dos valores extremos 
166 sobrc a media e 0 4.9. 
GRAFICO 4.9 
A c52lEJ�� 
Mo l • 
cS 2l El �jB El 2l 2l El 
Md 
As disposi\!OeS A e B, embora revelem a mesma media aritmetica, 
nao podem ser eonsideradas iguais. Em A, OS oito itens situados a esquerda 
da media estlio compensados por apenas um que se encontra muito a sua 
direita, de modo que o centro de equilfbrio esteja em x. Em B, os mesmos 
oito itens a esquerda da media sao compensados por seis a sua direita. Nessa 
dispoSi\!lIO, e pOSSlVel ainda vislumbrar 0 posicionamento tipiCO das medidas 
de tendencia central em distribui�es ligeiramente assimetricas a direita. 
Em termos de uma curva de freqiiencia, percebe-se melhor esse posiciona­
mento (Gnifico 4.10). 
GRAFICO 4.10 
MoMd 'i" 
SitN$1o de nttdi9 arhmttiA.. d• ,.....,. • • mead! .,. um• diltribuil;lo com _.....,.. ii diNIU 
No exemplo 30, tivemos os seguin tes result ados, que confirmam o 
que acabamos de dizer no que se refere a disposi�ao0 valor que 0 divide em duas partes iguais quanto ao numero 
de elementos, isto e, cinqilenta por cento ou dois quartos dos valores 
do conjunto sao menores, e os dois quartos restantes sao maiores do que ele. 
O elemento mediano e calculado, como veremos, atraves da seguinte expressao: 
2n n 
EMd = EQ, = 4 - 2 
c) Terceiro Quartil 
Simbolo: Q3 
DefinifiiO: Dado um conjunto ordenado (ordem crescente) de valores, 
0 terceiro quartil e 0 valor que divide 0 conjunto em duas partes tais que 
setenta e cinco por cento ou tres quartos dos valores sejam menores e 
vinte e cinco por cento ou um quarto sejam maiores do que ele. 0 elemento 
que indica a ordem em que n encontra o terceiro quartil e calculad0, para 
dados tabulados, como segue: 
EQ = 
3n 
• 4 ' 
oride n e 0 nilmero de valores observados� 
Genericamen te, para determinar a ordem ou posi�ao do quartil a 
ser calculado, usaremos a seguinte expressao: 
onde: 
� 
�. 
i = numero do quartil a ser calculado 
n = m'.imero de observa�0es. 
Sfmbolo: D; i = l , 2, . . . ' 9 
(44) 
4.6.2. Decis 
A defini�ao dos decis obedece ao mesmo principio da dos quartis, 
com a modifica�ao da porcentagem de valores que ficam aquem e alem do 
decil que se pretenda calcular. Assim, por exemplo: 
a) Primeiro Decil: D1 
0 primeiro decil de um conjunto ordenado (ordem crescente) de valores 
e o valor que divide um conjunto em duas partes tais que dez por cento ou 
um decimo dos valores sejam menores e nove decimos ou noventa por cento 
sejam maiores do que ele. 0 elemento que indica a posi�ao do segundo decil 
e calculado pela seguinte expressao: 
. 
n 
ED =-1 10 
b) Segundo Decil: D2 
Trata-se do valor que divide o conjunto em duas partes, tais que vinte 
por cento ou dois decimos dos valores sejam menores e oitenta por cento 
ou oito decimos dos valores sejam maiores; para saber a ordem do segundo 
decil, usamos a expressao: 
2n ED= -
2 10 
De especial interesse e o quinto decil, que divide o conjunto em duas 
partes, tais que cinco decimos ou cinquenta por cento dos valores sejam 
menores e cinco decimos ou cinquenta por cento dos valores restantes 
maiores do que ele. Assim sendo, o quinto decil e igual ao segundo quartil, 
que por sua vez e igual a mediana. 0 elemento que indica a ordem do quinto 
decil e igual ao elemento mediano, ou seja: 
E =Sn = !: = 2n D, 10 2 . 4 
Podemos, entao, afirmar que 
I Md= Ds = Q2 I 
De uma forma geral, para calcular os decis, recorreremos a seguinte 
expressao que define a ordem em que o decil se encontra: 
(45) 
on de 
n = numero de valores observados 
i = numero que identifica o decil a ser calculado 
4.6.3. Percentis ou Centis 
Sfmbolo: C; i = 1, 2, 3, . . . ' 99 
Neste caso; cada parte em que foram subdivididos os valores do 
conjunto, atraves dos novcnta e nove centis, contara com um centesimo 
ou um por cento dos valores do conjunto. 
0 elemento que definira a ordem do centil, em uma distribui�ao de 
frequencias de valores tabulados agrupados em classes, sera encontrado 
pelo emprego da expressao: 
on de 
1�
=
�1 
� 
i = numero identificador do centil 
n = nilmero total de observa�oos 171 
172 
E oportuno lembrar que os centis englobam todos os decis e quartis. 
Assim, por exemplo: 
a) Decimo Centi/: C10 
0 decimo centil dividira o conjunto ordenado (ordem crescente) de 
valores em duas partes, tais que dez por cento ou dez centesimos dos 
valores do conjunto sejam menores e noventa por cento ou noventa cente­
simos sejam maiores do que ele. Teremos, entao: 
Ec,o 
10 X n n 
= 100 = 1Q = O,ln OU 
EDi 
I X n n O,ln = 10 = = IO 
b) Vigesimo Centi/: C20 
O vigesimo centil e igual ao segundo decil, porque 
20 X n 2n 
Ec20 = 100 = 0,2n = ED, =lo = 0,2n 
c) 0 vigesimo quinto centil e igual ao primeiro quartil, porque 
25n n } 
Ee = - = - = 0 25n 
25 100 4 ' 
Ec,s = EQ, 
In 
EQ = - = 025n 
I 4 ' 
Esquematicamente, indicamos na Tabela 4.37 as equivalencias entre 
centis, decis e quartis. 
A formula de caiculo dos centis sera: 
· Ee; - Fant 
C;=l+c r 
JC; 
Exemplo 32: 
(47) 
Utilizando os dados do problema 29, calcular as seguintes medidas 
(p. 160): 
a) Trigesimo centil: C30 
b) Quinquagesimo centil: C50 
c) Septuagesimo quinto centil: C75 
d) Decimo quinto .centil: C15 
e) Vigesimo quinto centil: C2s 
O Nono decil: D9 
TABELA 4.37 
Centi/ Dec ii auartil Justificativa pelo 
C10 D1 -
C20 0-z -
C2s - a1 
C30 D3 -
C40 D4 -
Cso Ds al=Md 
c60 06 -
C70 07 -
C1s - a3 
Cso Ds -
C90 D9 -
Solu�iio: 
a) Trigesimo Centi/: C30 
Ee; 
10n Ec•o = 100 = 0, 1n 
20n Ec20 = 100 = 0,2n 
Ec,s 
25n n 
= 100 = 0,25n =4 
JOn Ee» = 100 = O,Jn 
40n Ee"' = 100 = 0,4n 
50n Ecso = 100 = 0,5n 
E _ 60n _ 
c(/J 
-
100 - 0,6n 
70n Ec10 = 100 = 0,7 n 
75n Jn Ec,s = 100 = 0,75n =4 
80n Ecao = 100 = o,an 
E _ 90n _ 
C90 - 100 
- 0,9n 
1n E01 = 10 =0,1n 
2n Eo2=10 =0,2n 
'1n n Ea1 = 4 =4 = 0,25n 
Jn Eo3=10 =O,Jn 
E = 
4n 
=0 4n D4 10 ' 
{ "" 
E05 = 10 = 0,5n; 
n 2n EMd=2= 4 =0,5n 
6n E06 = 10 = 0,6n 
7n Eo, = 10 =0,7n 
Jn Ea2 = 4 = 0,75n 
8n E08=10 =O,Sn 
9n Eo, = 10 =0,9n 
a. I) Elemento que define a ordem ou posi�ao do trigesimo centil: 
i. n Ee;= 
100 
conforme a expressao (46). 
Neste caso, i = 30 e n = 80. Assim, 
E _ 30 X 80 = 2 400 = 24 
C,o - 100 100 
Portanto, o trigesimo centil sera o vigesimo quarto elemento do con­
junto ordenado de valores. 
a.2) Localiza�ao da classe onde se encontra o trigesimo centil. 
Percorrendo a coluna das freqiiencias acumuladas, verificaremos que o 
vigesimo quarto elemento da lista se encontra na terceira classe: 
451-----65. Como esse valor coincide com a freqiiencia acumulada 
ate a terceira classe, deduziremos, de imediato, que C30 = 65. 173 
a.3) Aplica1tlio da formula. 
GRAFICO 4.11 
174 
Para comprovar que C30 = 65, apliquemos a f6rmula{47): 
Eci - Fant 
Ci = I + c ----­
lei 
Neste caso, 
l = limite inferior de classe onde se encontra o trigesimo centil: 
45 
c = amplitude do intervalo de classe: 20 
Eci = elemento indicativo da ordem ou posil(lio do trigesimo centil: 
E = 
30 X 80 = 
240 C30 100 
. 
Fant freqiiencia acumulada ate a classe anterior a classe onde se 
encontra o trigesimo centil: 10 
lei = lc30 = freqiiencia simples de classe onde se encontra o 
trigesimo centil: 14 
Assim, 
C30 = 45 + 20 
24 
-
10 
= 45 + 20 = 65 
14 
C30 = 65 
Interpreta1tlio: Trinta por cento (30%) dos usuarios apresentaram um 
consumo de ate 65 kwh, enquanto. que setenta por cento apresentaram 
um consumo superior a 65 kwh. 
Graficamen te, 
N7 86 14 ' ' 
e) Vigesimo Quinto Centi/: C2s 
e. l ) Ordem ou posiylio do C25 
E _ 25 X 80 = 209 
Cis 
-
100 
Da mesma forma, 
EQ = l X 80 = 209 
I 4 
Concluimos, entlio, que C25 
= 
Q1• 
e.2) Classe onde se encontra o vigesimo quinto centil: 451----65. 
e.3) Calculo do vigesimo _quinto centil. 
20 - 10 
C25 = 45 + 20 
14 
= 45 + 14,29 = 59,29 
I C::is = Q1 = 59,29 
f) Nono Decil: D9 
f.1) Ordem ou posiylio do D9 
D 
_ 9 X 80 
= 729 9 -
IO 
De igual modo, 
90 x 80 
C90 = 
lOO 
= 729 
En tao, C90 = D9. 
f.2) Classe onde se encontra o nono decil: 1051--125. 
f.3) Calculo do nono decil 
D9 = 105 + 20 
72 - 64 
= 125 
8 
D9 = C90 = 125 
Esse resultado ja era previsto, uma vez que 72 e um valor que coincide 
com o encontrado na coluna de freqiiencias acumuladas. 
Exemplo 33: 
lnterpretar os seguintes resultados do problema 32. 
a) C30 = 65 
b) C25 = 59,29 
c) D9 = 125 
Soluriio: 
a) C30 = 65 
0 valor 65 refere-se ao consumo de energia em kwh. Como esse valor 
corresponde ao trigesimo centil, podemos afirmar que trinta por cento dos 
oitenta usuarios consumjram ate 65 kwh, ensiuanto que setenta por cento 
consumiram mais de 65 kwh. Em termos da onlem ou posiyao que o trigesimo 
centil ocupa na distribuiyao do consumo pelos usuarios, temos, conforme 
foi visto: Ec30 = 24°. 
b) C25 = 59,29 
Neste caso, podemos dizer que um quarto ou vinte e cinco por cento 
dos usuarios consumiram ate 59,29 kwh. Conseqtientemente, tres quartos ou 
setenta e cinco por cento dos oitenta usuarios consumiram mais de 59,29 kwh. 
Notar que 
E 
_ 25 X 80 _ 
E 
80 
C2s - 100 - Q1 = 4 
c) D9 = 125 
0 nono decil corresponde ao nonagesimo centil. Assim, podemos dizer 
que nove decimos ou noventa por cento dos usuarios apresentaram um 
consumo de energia igual ou inferior a 125 kwh, e dez por cento um 
consumo superior. 
EXERCfCIOS PROPOSTOS 
4.1.- A tabela abaixo representa os salarios pagos a 100 operanos da empresa 
GLT &Cia. 
N9 de sa/srios Navaliar o grau de variabilidade ou dispersao dos valores de um 
conjunto de numeros, lan�aremos rnio das estatfsticas denominadas medidas 
de dispersao. Essas nos proporcionarao um conhecimento mais completo 
do fenomeno · a ser analisado, permitindo estabelecer compara�aes entre 
fenomenos de mesma natureza e mostrando ate que ponto os valores se 
distribuern acima ou abaixo da tendencia central. 
Iremos tratar de dois tipos de medidas de dispersao: 
I) Medidas de Dispersiio Absoluta 
a) Amplitude total; 
b) Amplitude serni-interquartt1ica; 
c) Desvio rnedio; 
d) Variincia e desvio-padrao. 
II) Medidas de Dispersiio Re/ativa 
a) Desvio quartil reduzido; 
b) Coeficiente de varia,.S:o de Pearson; 
c) Coeficiente de varia�ao de Thorndike; 
d) Coeficiente do intervalo quartiL 
5.2. MEDIDAS DE DISPERSAO ABSOLUTA 
5.2.1. Amplitude Total ou lntervalo Total 
Simbolo: At 
DefinifiiO: A amplitude total de um conjunto de numeros e a diferen�a 
entre os valores extremos do conjunto. 
Exemplo I: 
182 Calcular a amplitude total dos seguintes conjuntos de numeros: 
A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45} 
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} 
c = {-4, -3, -2, 3, 5} 
Solu¢o: 
Para o conjunto A, temos: At = 35 - 3 = 32 
Para o conjunto B, temos: At = 23 - 17 = 6 
Para o conjunto C, temos: At = 5 - (-4) = 9 
Se os dados vierem dispostos em uma tabela de freqtiencias, com os 
valores agrupados em classes, ha duas formas de se definir a amplitude total: 
Primeiro Metodo: At = Ponto m�dio da ultima classe - ponto medio 
da primeira classe. 
Segundo Metodo: At = Limite superior da ultima classe - limite 
inferior da primeira classe. 
Exemplo 2: 
Calcular a amplitude total dos valores dispostos na Tabela 5.1. 
TABELA 5.1 
Classes fj 
101-20 5 
201-30 12 
301-40 20 
401-50 14 
501-60 10 
601-70 4 
n = 65 
Solu¢o: 
Pelo primeiro metodo: At= 65 - 15 = 50. 
I At= 50 I 
Nesse metodo OS valores extremos sao eliminados. 
Pelo segundo metodo: At = 70 - 10 = 60. 
Restriflies ao Uso da Amplitude Total 
Xj 
15 
25 
35 
45 
55 
65 
Embora a amplitude total seja a mais simples das medidas de dispersao, 
ha uma forte restri?o ao seu uso em virtude de sua grande instabilidade, 
uma vez que ela leva em conta apenas os valores extremos da serie. Compa-
remos os conjuntos A e B do exemplo I : 183 
184 
Con jun to Mlidia Amplitude 
x total: At 
A= {10, 12, J3, 15, 20, 25, 45} XA = 20 AtA = 35 
8 = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} xs = 20 Ats= 6 
A media aritmetica de cada um 
Md==> 
03 ==> 
TABELA 5.3 
Classes fj 
101--20 5 
201--30 10 
301--40 15 
401--50 20 
501--60 15 
601--70 10 
701--80 5 
80 
E - � = 80 = 200 Q. - 4 4 . 
EMd = 2: = 2 X
4 
80 = 409 
3n 3 X 80 
EQ3 = 4 = 4 = 609 
De acordo com esses dados, calcularemos: 
Q = 30 + 10 20 - 15 = 33 33 1 
15 
' 
40 - 30 
Q2 = Md = 40 + IO -w-- = 45 
60 - 50 Q3 = 50 + IO 
15 = 56,67 
Dq = 56
,
67 ; 33,33 = l l ,67 
Fj 
5 
15 
30 
50 
65 
75 
80 
{ Md - Dq = 45 - 11,67 = 33,33 = Q1 
Md+ Dq = 45 + 11,67 = 56,67 = Q3 
Como a distribuiyao e simetrica, OS limites do intervalo Md ± Dq 
coincidem com os quartis primeiro e terceiro, o que equivale a dizer que 
esse intervalo compreende cinquenta por cento das observay6es (40 obser­
vay6es). 
ObservQfoes: 
1. 0 desvio quartil apresenta como vantagem o fato de ser uma medida 
facil de calcular e de interpretar. Alem do mais, nllo e afetado pelos 
186 valores extremos, grandes ou pequenos, sendo recomendado, por conse-
guinte, quando entre os dados figurem valores extremos que nao se 
consideram representativos. 
2. 0 desvio quartil devera ser usado preferencialmente quando ·a medida de 
tendencia central for a mediana. 
3. Trata-se de uma medida insensfvel a distribuiyao dos itens menores que 
Qi, entre Qi e Q3, e maiores que Q3• 
5.2.3. Oesvio M6dio 
Sfmbolo: Dm 
0 desvio medio OU media dos desvios e igua) a media aritmetica dos 
valores absolutos dos desvios tomados em relayao a uma das seguintes 
medidas de tendencia central: media ou mediana. 
a) Desvio Medio para Dados Brutos 
Quanda os valores nao vierem dispostos em uma tabela de freqiiencias, 
o desvio medio sera calculado, de acordo com a definiyao, atraves do emprego 
de uma das seguintes f6rmulas: 
n 
L Ix; - xi 
i=i 
Dm= ----­n 
onde d; = (x; - x) = desvio em relayao a media aritmetica. 
n 
L Ix; -Mdl 
i=i 
Dm= -----­n 
onde d; = x; - Md = desvio em relayao a mediana. 
(2) 
(3) 
As barras verticais indicam que silo tomados os valores absolutos, 
prescindindo do sinal dos desvios. Pode um dos n desvios ser tornado como 
se fosse positivo. 
Exemplo 4: 
Calcular o desvio medio dos con1untos de nfuneros apresentados no 
exemplo 1: 
A = {10, 12, 13, 20,25, 34, 45} 
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} 
c = {-4, -3, -2, 3, 5} 
Os dados necessarios para 0 calculo do desvio medio silo: 
XA = 10 + 12 + 13 + 20 + 25 + 34 + 45 159 = 22,714 7 =1 
MdA = 20 
XB = 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 140 = 20 
7 7 
MdB = 20 187 
Xj 
10 
12 
13 
20 
25 
34 
45 
Xj 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
188 
Xc=(-4)+(-3)+(-2)+3+5=-1 =-0,2 5 5 
Mdc = -2 
Desvio Media do Conjunto A 
TABELA 5.5 
Xj-X lxi-xl Xj-Md 
10 -22,714 = -12,714 12,714 10 -20 = -10 
12 -22,714 = -10,714 10,714 12-20=-8 
13 -22,714 = -9,714 9,714 13-20=-7 
20 -22,714 = -2,714 2,714 20-20=0 
25 -22,714 = 2,286 2,286 25-20 = 5 
34 - 22,714 = 11,286 11,286 34-20=14 
45-22,714 = 22,286 22,286 45-20 = 25 
Llxi- xl = o Llxi-xl=11.714 
x = 22,714 
Md= 20 
Usando as formulas (2) e (3), chegaremos a: 
Pela Media 
7 
L Ix; - 22,7141 
i=l Dm =-------7 
Pela Mediana 
7 
L: 1x;- 201 
71�14 = 10,245 
lxi-Mdl 
10 
8 
7 
0 
5 
14 
25 
Llxi-Mdl =69 
Dm = 10,245 
Dm = _i=_i _____ 69 = 9 857 7 7 ' Dm = 9,857 
Desvio Media do Conjunto B 
TABELA 5.6 
Xj-X lxi-xl 
17 -20=-3 3 
18-20=-2 2 
19 -20 = -1 1 
20-20= 0 0 
21 -20 = 1 1 
22 -20 = 2 2 
23-20 = 3 3 
L(Xj-X) = 0 Llxi-xl= 12 
� 
� 
x;-Md 
17 -20 = -3 
18-20=-2 
19 -20 = -1 
20-20 = 0 
21 -20 = 1 
22-20= 2 
23-20= 3 
lxj-Mdl 
3 
2 
1 
0 
1 
2 
3 
Llx;-Mdl= 12 
Neste caso, o desvio medio e igual, tanto quando calculado a partir 
da media como da mediana, uma vez que x =Md= 20. 
Pela Media 
7 
I Ix; - 201 
i=l 12 1,714 Dm = 1,714 Dm = -= 
7 7 
Pela Mediana 
7 
I Ix; - 201 
i=l 
Dm 7 
Desvio Medio do Conjunto C 
Xj 
-4 
-3 
-2 
3 
5 
x;-x 
(-4) -(-0,2) = -3,8 
(-3) -(-0,2) = -2,8 
(-2) -(-0,2) = -1,8 
3 -(-0,2)= 3,2 
5 -(-0,2)= 5,2 
x = -0,2 
Md=-2 
12 1,714 =-= 
7 
TABELA 5.7 
lx;-xl x;-Md lx;-Mdl 
3,8 -4-(-2)=-2 2 
2,8 -3-(-2)=-1 1 
1,8 -2 :-(-2)=0 0 
3,2 3-(-2)=5 5 
5,2 5-(-2)=7 7 
�lx;-xl = 16,8 �lx;-Mdl= 15 
Como ocorreu para o primeiro conjunto, o desvio medio neste caso 
e menor quando tornado em relayliO a mediana do que em relayliO a 
media. 
Pela Media 
�Ix; - (-0,2)1 16 8 
Dm = 
5 = S :::: 3,36 
Pela Mediana 
·� Ix; - (-2)1 15 
Dm = 
5 
=
s 
= 3 
b) Desvio Medio para Dados Tabulados 
Dm = 3,360 
Dm = 3 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de frequencias, agrupados 
ou na:o em classes, sera:o usadas as seguintes f6rmulas: 
Cdlculo pela Media 
k• 
L lx1 - xlfj 
j=t 
n (4) 
onde x1 representa um valor individual ou um ponto medio da classe. 189 
190 
Cdlculo pela Mediana 
k 
I lxj - Mdlfj 
= j=l 
Dm 
Exemplo5: 
n (5) 
Calcular o desvio medio dos valores representativos do consumo de 
energia eletrica (em kwh) de 80 usuarios (exemplo 7 do Capftulo 4). 
TABELA 6.B 
I(= 79,5 Md= 77.31 
NUmero de 
I Consumo Usu,rios x; "i'i Xj-X lx;-xlf; Xj-Md lx;-Mdlf; F; 
f; 
5f-25 4 15 60 -64.5 64.6 x 4 =258 -62.31 62.31 x 4 = 249.24 4 
25f-45 6 
I 
35 210 -44.5 44.5 x 6 = 267 -42.31 42.31 x 6 = 253.86 10 
45f-65 14 55 770 -24.5 24.5 x 14 = 343 -·22.31 22.31 x 14 = 312.34 
1: 65f-85 26 75 1 960 -4.5 4.5X26=117 -2.31 2.31 x 26 = 60.06 
85f-105 14 95 1 330 I 15.5 15,5 x 14 = 217 17,69 17,69 x 14 = 247,66 
105f-125 8 115 920 I 35,5 35,5 x 8 = 284 37,69 37,69 x 8 = 301,52 72 
125f-145 6 135 810 55.6 55,5 x 6 =333 57,69 57,69 x 6 = 346,14 78 
145f-165 2 155 310 75,5 75.5X2=151 77,69 77,69 x 2 = 155.38 80 
I 80 "i:x;f;= 6 380 "i:lx1-xlf1= 1 970 °i:lx1-Mdlf;= 1 926,2 
A media aritmetica fo1 calculada no exemplo 7 (x = 79,5), e a 
mediana no exemplo 29 (Md = 77 ,31) do capftulo precedente. Teremos, 
entao: 
Cdlculo pela Media 
8 
I lxi - 79,5 lfj 
_,_i_=_ l ----- = 1 970 = 24 625 80 80 ' 
Ctilculo pela Mediana 
8 
I IXj - 77,31 lfj 
.._i_= l _____ = l 926,2 = 24,078 80 80 
Temos novamente neste exemplo o desvio medio, calculado com base 
na mediana, menor que o calculado com base na media aritnietica. 
Observ(lfoes: 
1. 0 desvio medio resulta mais vantajoso que as medidas de dispersao 
precedentes, principalmente pelo fato de, em seu calculo, levar em consi­
derayao todos os valores da distribuiyao. 
2. 0 desvio medio, calculado levando-se em considerayao os desvios em 
torno da mediana, e minimo, OU seja, e menor do que qualquer desvio 
medio calculado com base em qualquer outra medida de tendencia central. 
3. Apesar de o desvio medio expressar aceitavelmente a dispersao de uma 
amostra, nao e tao frequentemente empregado como o desvio-padrao, o 
qual sera descrito mais adiante, pois este se adapta melhor a uma ampla 
gama de aplica�0es. Alem disso, 0 desvio medio despreza 0 fato de 
alguns desvios serem negativos e outros positivos, pois essa medida os 
trata como se fossem todos positivos. Todavia sera preferido o uso do 
desvio medio em lugar do desvio-padrio, quando esse for indevidamente 
influenciado pelos desvios extremos. 
5.2.4. Desvio-padrio 
Simbolo: S 
0 desvio-padrio e a medida de dispersio mais usada, tendo em 
comum com o desvio medio o fato de em ambos serem considerados os 
desvios com rela�ao a x. S6 que, no calculo do desvio-padrio, em lugar de 
serem usados os valores absolutos das discrepancias ou desvios calculam-se 
os quadrados desses. 
No capitulo anterior vimos que a media quadratica de um conjunto 
de nfuneros (item 2.4) e a raiz quadrada da media aritmetica dos quadrados 
dos valores desse conjunto. Pois bem, o desvio-padrao nao e seniio uma 
media quadratica dos desvios em rela�o a media aritmetica de um conjunto 
de nfuneros, ou seja, e a raiz quadrada da media aritmetica dos quadrados 
dos desvios, estes tomados a partir da media aritmetica. 
a) Desvio-padr(fo de Dados Brutos 
Seja o seguinte conjunto de nfuneros: X = {x1, X
2
, • • • , Xn}. 0 desvio­
-padrio OU a media quadratica dos desvios OU afastamentos em rela�ii'O a 
media aritmetica desse conjunto Sera definido por: 
M S= = 
n 
(x; - x)2 
n 
(6) 
onde d; = (x; - x). 
Se desenvolvermos o numerador da expressao sob o radical, chegaremos 
a f6rmula desenvolvida do desvio-padrao: 
I:(x; - x)2 = I:(xJ + x2 - 2x;x) = I:xf + I:x2 - 2I:x;x = 
= I:xJ + nx2 - 2xI:x; = 
2 ( I:x; )2 2(I:x;) (I:x;) _ 
= I:x1 + n -- - · 
n n 
2 
n(I:x;)2 2 (I:x;)2 
2 
(I:x;)2 
= I:x1 + 2 
= I:x; -
n n n 
Dessa forma, podemos escrever: 
S= _!_ [ I:x? -
(I:x;)2 ] 
n 1 n 
(7) 
191 
Observafao: 
Quando o desvio-padrao representar uma descriyao da amostra e nao 
da popula�o, caso mais freqiiente em estatistica, o denominador das 
expressoes 6 e 7 seni igual an -1, em vez den. A razao desse procedimento 
reside no fato de que, utilizando o divisor (n - 1), obtem-se uma estimativa 
melhor do parametro de populayao. Alem do mais, apenas (n -1) das 
discrepancias (x; - x) do independentes, uma vez que essas (n - 1) dis­
crepancias determinam automaticamente a n-6sima. Para valores grandes 
de n(n > 30) nao M grande diferenya entre os resultados proporcionados 
pela utiliza�o de qualquer dos dois divisores, n ou n - 1. Entretanto, 
daremos preferencia para a formula que proporciona uma estimativa mais 
justa do desvio-padrao da popula�o, ou seja 
S= = 
(8) 
1 n 
L. xt = 
i=l 
Exemplo 6: 
Calcular o desvio-padrao de cada um dos conjuntos de numeros do 
exemplo 1. 
Xi 
10 
12 
13 
20 
25 
34 
45 
�xi= 159 
Desvio-padriio do conjunto A = {IO, 12, 13, 20, 25, 34, 45}. 
TABELA 5.9 
F6rmula Original 
Xi-X 
- 12,714 
-10,714 
- 9,714 
- 2,714 
2,286 
11,286 
22,286 
2 . 2 di = lxi-xl 
161,646 
114,790 
94,362 
7,366 
5,226 
127,374 
496,666 
�lxi-xl2 = 1 007.430 
F6rmula Desenvolvida 
2 xi 
100 
144 
169 
400 
625 
1 156 
2 025 
2 �xi = 4 619 
Resolvendo pela f6rmula original, devemos ter: 
s = f___!_ f d� = /_J_ f (x; - x)2 .J;, - 1 ?- 1 .Jti - 1 L.. 
1=1 ;�1 
192 onde n = 7 e x = 22,714. 
s R 1 ± (Xi - 22,714)2 = A x 1.007,430 = 
i=l 
..; 167,905 = 12,958 SA = 12,958 
UI ilizando a f6rmula desenvolvida: 
S= !.� [};xf - �] 
s = J� [ 4.619 - �] = j} [4.619 _ 
25;81] = 
= )! (4.619 - 3.611,571) = jl.00�·429 
= 
= ..; 167,905 = 12,958 I SA = 12,958 
Como pode ser observado,as duas expressi5es para o calculo do 
desvio-padrlio slio equivalentes. 
Desvio-padrao do conjunto B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}. 
Teremos, neste caso, 
x = 20 
n = 7 
Pela Formula Original 
Sa= /_J_ �(x; -XJ2 = L..!.._ �(x; - 20)2 = 
.Jn-I ..j ? - 1 
t [01 -20)2 + (18-20)2 + (19 -20)2 + (20-20)2 + (21-20)2 + (22-20)2 + (23 -20)2 ] = 
= J t [ 9 + 4 + I+ 0 +I + 4 + 9 ] = j'i[ = .j 4,667 = 2,160 Sa= 2,160 
Pela Formula Desenvolvida 
S = /�1-[};x-� _- (};-xi)-2] Jn - 1 I n 
Temos: 
};xi = 172 + 182 + 192 + 202 + 212 + 222 + 232 ,= 
= 289 + 324 + 361 + 400 + 441 + 484 + 529 = 2.828 
(};xi)2 _ (17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23)2 
= 
7 - 7 
= (1�)2 = 19;00 = 2.800 
193 
194 
s = j} [2.828 - 2.800] 
I s8 = 2,160 I 
/28 = .v 6 = v4,667 = 2,160 
Desvio-padrllo do conjunto C = {-4, -3, -2, 3, 5}. 
A m6dia do conjunto e x = -0,2 e n = 5 
Pela Formula Original 
1 2 2 2 2 2 S= s=T 1-4-(-0,2)1 +1-3-(-0,2)) +1-2-(-0,2)1 +13-(-0,2)1 +15-(-0,2)) 
+ (-l,8)2 + (-2,8)2 + (-1,8)2 + (3,2)2 + (5,2)2 
= 
= j-} (14,44 + 7,84 + 3,24 + 10,24 + 27,04) = j t x 62,8 = ..fTS,'i = 3,962 Sc = 3,962 
Pela Formula Desenvolvida 
Os dados do problema sllo: 
n = 5 
T.xf = (-4)2 + (-'3)2 + (-2)2 + 32 + 52 = 
= 16 + 9 + 4 + 9 + 25 == 63 
(T.x;)2 
= ((-4) + (-3) + (-2) + 3 + 5]2 = (-1)2 = 0 2 n 5 5 ' 
S = }. _J_ [T.x� - (T.x;)2 ] 
= n - 1 ' n 
= /62,8' = - '157 = 3 962 v � � lJ,t ' 
Js � l ( 63 - 0,2] = 
Sc= 3,962 
Observa�oes: 
1. Notar que 0 desvio-padrao e maior do que 0 desvio medio para OS tres 
conjuntos, conforme pode ser visto confrontando-se os resultados ora 
conseguidos com os do exemplo 4. 
Conjunto 
A 
8 
c 
TABELA5.10. 
Desvio-padrao 
12,958 
2,160 
3,962 
Dnvio m«Jio 
10,245 
1,714 
3,360 
SA> DmA 
Ss > Dms 
sc > Dmc 
2. Se calcularmos o desvio-padrao utilizando as f6rmulas (6) e (7), ou 
seja, adotando o divisor n, e possivel chegar aos mesmos resultados 
que os conseguidos atraves das f6rmulas (8 ), mediante o emprego do 
fa tor 
Ji5 (9) 
Esse fator e conhecido como fator de corre�ao de Bessel. · Assim, 
j l;(x; - x)2 �· n S= · X --= 
n n - 1 
= 
�1:(x; - x)2 
= 
j l;(xi - x)2 
�(n -1) n - 1 
No exemplo anterior, retomamos o calculo do desvio-padrao do 
conjunto B, utilizando o divisor n =. 7. Devemos ter, de acordo com a 
f6rmula (6): 
s 
= 
j l;(x; - x)2 = j1 007•430 = - '143 919 = 11 997 
n 7 v ' ' 
Aplicando a corr�ao de Bessel: 
�= c:c:= . tr=1080 .j n::i ..;� ./6 ' 
Ss = 1,080 X 11,997 :::: 12,958 Ss = 12,958 
b) Desvio-padriio de Dados Tabulados 
Quando os valores vierem dispostos em uma tabela de freqiiencias, o 
calculo do desvio-padrao se fara atraves de uma das seguintes f6rmulas: 
S= 
k k 
L djf; L (x1 - x)2f; 
/=1 = �1_·=_1 ____ _ 
n n 
(10) 
ou, pela f6rmula desenvolvida, 
on de 
S= 
k 
( f y,f,\)2 
_!__ ""' Xj
2
f,. -� 
n � I n 
/=1 
(11) 
d1 = x1 - x = desvio em tomo da media; 
Xj = valor isolado da variavel, OU ponto medio da classe, se OS 
valores vierem agrupados em classe. 
Pelos mesmos motivos expostos anteriormente, sera dada preferencia 
ao divisor n - l, em vez de n, no caJ.culo do desvio-padrao para dados ta­
bulados. 
(Xj - X)2f; 
S= 
n -1 (12) 
195 
196 
[± x/lj I =1 
OU 
S= (13) 
n 
utilizando a formula desenvolvida. 
Essa ultima e facilmente deduzida a partir da (12). Tomemos apenas 
a expressao do numerador de (12): · 
k 
I (xi - x)2f; 
j=l 
n 
Assim, 
S= 
Exemplo 7: 
Com os dados do exemplo 5, calcular o desvio-padrao da distribui9ao 
de freqiiencias do consumo de energia eletrica (kwh): 
TABELA 5.11 
Numero de 79,5 
Consumo U1ulrios "i "i1i (Xj-X) (Xj -xJ2 '"i - x:J21i xf1i 
'1 
S f--- 25 4 16 60 -64,6 4 160,26 16 641,0 900 
25 f--- 45 6 36 210 -44,6 1 980,26 11881,6 7 360 
46f--- 65 14 55 770 -24,5 600,25 8 403,5 42 350 
65 f--- 85 26 75 1 950 -4,5 20,25 526,5 146 250 
85 f---105 14 96 1 330 15,5 240,26 3 363,5 126 360 
105f---125 8 116 920 35,5 1 260,25 10 082,0 105 800 
1251---145 6 135 810 55,5 3 080,25 18 481,5 1o9360 
1451--- 165 2 155 310 75,5 5 700,25 11 400,6 48 050 
°'£fj= 80 °'£xj'J=6 360 °'£(Xj- X)2 fj = 80 780 "£xj 'i = 586 400 
A media aritmetica do consumo ja foi calculada· anteriormente: 
x = "'£x;fj = 6.360 = 79 5 
n 80 ' 
Cdlculo do Desvio-padrtio pela Formula Original ( 12) 
S = 
(x; - 79 ,5)2/j 
n -1 80 -1 
= j 80 7 80 =. 11 022 532 = 31 977 79 v ' ' s = 31,977 
0 desvio-padrao do consumo de energia eletrica e 31,977 kwh. Recorde­
-se qu� o desvio medio, calculado no exemplo 5, resultou em Dm = 
24 ,625 kwh. 
Pela f6rmula (13) 
s2 = 
[ ( k ) 2 
k I x;IJ 
_l_ ' x�f, _ ;=1 = 
n -1 L... I i n j=l 
= 6_ [586 400 - 40 449 600] = ../79 80 
= /80780 = - '1022 532 = 31 977 ..; � v . ' ' 
c) Propriedades do Desvio-padrtio 
I -Primeira Propriedade 
s = 31,977 
Somando ( ou sub train do) um valor constante e arbitrario, x0, a cada 
elemento de um conjunto de numeros, o desvio-padrao nao se altera. 
Essa propriedade e valida tanto para dados brutos como para dados 
tabulados. Verificaremos essa propriedade para dados brutos por uma 
questao de simplicidade, mas sem perda da generalidade. 
Fa�amos x0 igual a constante arbitr y = -1 = 
n 
-2-1+0+1+2+3+4 7 
= 
7 
=
1
=1 
s = j(y;-y)
2 
= ·Y n -1 
(-2 -1)2 + (-1 -1)2 + (0 -1)2 + (2 -1)2 + (3 -1)2 + (4 -1)2 = 
7-1 
= j9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9 = fi8 = 2 160 
6 ../ 6 ' Sy= 2,160 
Por conseguinte, 
I Sx =Sy I 
on de 
Yi =Xi -x0 =Xi - 19 
0 leitor podera resolver o mesmo exercicio utilizando as f6rmulas 
desenvolvidas 
Sx=!.� [T,xl-�] 
Sy = j. � 1 
[ T-y{ -(T-�i)2] 
Exemplo 9: 
Considerando os mesmos dados do exemplo 8, adicionando a constante 
arbitrana x0 = 2 a cada elemento do conjunto, comprovar a primeira pro­
priedade do desvio-padrio. Utilizar af6rmula desenvolvida(8). 
Temos: 
x = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} 
X0 = 2 e n = 7 
Daf, tiramos 
y = {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25} 
ja que 
Yi = Xf + x0 = Xi + 2 
Assim sendo, 
S _1_ ['T,x�-(T-xi)2] =J� . [2 . 828 - (140)2 ] = x= n-1 1 n 7 - 1 · 7 
= }! [2 828 - 19�00 ] = }! [2 828 - 2 800] 
fi8 = J 
6 = ../4,667 = 2,160 � Sx = 2,160 
s = 0_ ['T,y� -('T-Y1)2] =J�· [3 416 - (154)2] = y Jn - 1 I n 7 - 1 7 199 
= )! [3 416 -
23 ;16 ] = )! [3 416 - 3 388] = 
=JI[- = y 4,667 = 2,160 � Sy = 2,160 
Xj 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
"I:.x;= 140 
('I:.x;)2 = 19 600 
TABELA 5.12 
2 Xj 
289 
324 
361 
400 
441 
484 
529 
"I:. 2 x; = 2 828 
Yi =x; + 2 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
"I:.y;=154 
(.l:y;)2 = 23.716 
I 
I 
2 
Y; 
361 
400 
441 
484 
529 
576 
625 
2 LY; =3 416 
Dessa forma, podemos dizer que os conjuntos abaixo possuem o 
mesmo desvio-padrao S = 2,160. 
x = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} 
Y = {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25} onde Yi =Xi + 2 
Z = {l,2, 3, 4, 5, 6, 7} onde Zi =Xi - 16 
W = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4} onde Wi = Xi - 19 
P = {l 001, 1 002, 1 003, 1 004, 1 005, 1 006, 1 007} onde 
Pi =Xi + 984 
S = {l 017, 1 018, 1 019, 1 020, 1 021, 1 022, 1 023} onde 
Si =Xi + 1 000 
Exemplo 10: 
Com os dados do exemplo 7, comprovar, por subtra9ao, a primeira 
propriedade do desvio-padrao, fazendo x0 = 75. 
TABELA 5.13 
NfJmerode 
Conwmo Usulrios "i "i'i x]t; Yj "ljfj y]fj 
'i 
5 I--- 25 4 15 60 900 15-75= -60 -240 14 400 
251--- 45 6 36 210 7 360 36-75=-40 -240 9 600 
451--- 66 14 65 770 42 360 56-75=-20 -280 5 600 
651--- 85 26 75 1 960 146 260 75-75 = 0 0 0 
851---106 14 95 1 330 126 360 95-75= 20 280 5 600 
1051---125 8 115 920 105 800 115 - 75= 40 320 12 800 
1251---145 6 135' 810 109 360 135-75= 60 360 21 600 
1451---166 2 155 310 48 060 165-75= 80 160 12800 
l:fi= sci l:xjfj = 6 360 l:x} 'i = 586 400 l:yjfj= 360 l:yJ'i = 82 400 
200 
No exemplo 7, ja foi calculado o desvio-padrao de X. Assim, pela 
formula (13): 
on de 
s = _l_ [�x?f' . . _ (�x;fi)2] =jj_(586 400 - 505 620) = 
n -1 I Jj n 79 
= � = 31,977 Sx= 31,977 
0 desvio-padrao de y sera dado por 
S = _l - [� ?[,. - (� Y;/j )2 ] = / __ 
1_ [82 400 - (3
. 
60)2 ] = 
n-1 Y11 n y'80 - l 80 
= ji [82 400 - 129 600 J = J. j_ (82 400 - 1 640) = 79 · 80 79 
= � =31,977 
Yi= x; - 75 
Sy= 31,977' I 
II - Segunda Propriedade 
Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante e arbitrario, c, 
cada elemento de um conjunto de m'.uneros, o desvio-padrao flea multi­
plicado (ou dividido) pela constante. 
Da mesma forma que a primeira propriedade, a segunda e valida tanto 
para o calculo com dados brutos como com dados tabulados, agrupados ou 
nao em classes. 
on de 
Assim, consideremos os seguintes conjuntos de m'.uneros: 
x = {X1, Xz, X3, . • . , Xn} 
Y = {yi, Yz, y3, · · · , Y n} 
Xi 
Yi =c 
0 desvio-padrlro de X sera dado pela formula original 8. j�(x; - x)2 s -x- n-1 
e o deYporl - j}:;(yj - y)2 Sy - n - 1 
De acordo com a quinta propriedade da media, se multiplicarmos 
(ou dividirmos) todos os elementos de um conjunto de numeros por uma 
constante arbitraria, a media do conjunto ficara multiplicada (ou dividida) 
por essa constante. Assim sendo 201 
202 
Xi 
Yi =7 
Podemos escrever, entlo, 
- x 
y 
=
.
c-
-j"T,(yi - Y'f -Sy - -
n - 1 
-
(
Xi x
)
2 �
[
l l2 
T- c - c T- --C(Xi -x) 
= n-1 n-1 
= n - 1 
�� � quando � (14) 
Da mesma forma, podedamos mostrar que, se Y = cX, segue-se que 
I Sy = cSx I (15) 
T, [c(Xi - x)l2 
s -j"T.(yi - y)2 
=J
T,(cxi -cx)2 
= ----- = y- n-1 n-1 
=) 
T.c2(Xi - x)2 
= j
c2T-(Xi - x)2 
= n-1 n-1 
j T-(xi -x)2 
= c n -1 = cSx 
Exemplo 11: 
Dados os conjuntos de nfuneros 
X = {l, 2, 3, 4, 5} e 
y = {10, 20, 30, 40, 50}, 
Sy= cSx 
comprovar a segunda propriedade do desvio-padrao. 
Temos, neste caso, 
n - 1 
X = {l, 2, 3, 4, 5} - � Yi� CXi = lOxi Y = {10, 20, 30, 40, SO} c = 10 
De acordo com a segunda propriedade do desvio-padrlo, devemos ter: 
Yi= cx1 => Sy= cSx = lOSx 
Pela f6rmula original (8), 
j T-(Xi -x)2 . - "T.Xi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = � = 3 Sx = n - l onde x = n = 
- 5 5 
e 
jJ;(y; - y)2 - J;y; 
Sy = n _ 1 onde y = -n- = 
= 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 = 30 5 5 
Entio, 
_ jJ;(x; - 3)2 _ 
Sx 
-
5 - 1 . -
- j(l - 3)2 + (2 - 3)2 + (3 - 3)2 + (4 - 3)2 + (5 - 3)2 = 
-
4 
- j4 + 1 + 0 + 1 + 4 = (10 = '25 .= 1 581 -
4 .J 4 v .,,) ' 
jI:(y; - 30)2 
Sy= 5 - 1 . = 
= (10 - 30)2 + (20 - 30)2 + (30 - 30)2 + (40 - 30)2 + (50- 30)2 = 
4 
= J 400 + 100 + � + 100 + 400 = JI¥- = ./250 = 15,81 
Assim, 
Sy = c • Sx 
.J. .J. .J. 
15,81 = 10 x 1,581 
Utilizando agora a f6rmula desenvolvida, conforme dados da Tabela 
auxiliar 5.14, 
TABELA 5.14 
2 2 x; JC; Yi Y; 
1 1 10 100 
2 4 20 400 
3 9 30 900 
4 16 40 1 600 
5 25 50 2.500 
2 I:x; = 15 I:x; = 55 I:y; = 150 2 I:y; = 5 500 
(I:x;l2 = 225 (I:Y;l2 = 22 500 
Sx = / _J_ [J;x? - (J;x;)2 ] = 6_ [55 - 225] = ../ n - 1 I n ../5 - 1 5 
= )! (55 - 45) = � = ....rr:s = 1,581 
203 
204 
Sy = 6_ [� x� _ (�Y;)
2 J = . /ii [s 500 _ 22 500] = Jn - 1 .I n J4 5 
js.soo - 4 soo {lOoO . rycn = 
4 
= ..j 
�
-
4
- = v ... so = 15,81 
Exemplo 12: 
x· 
Consideremos os dados do exemplo 10 e fayamos Yi = -f . 
Neste caso, c = 5. 
TABELA 5.15 
Consumo Numero de 
Yj = � Usuarios Yjfj 
2 Yj fj Energia Xj 
'i 
51-- 25 4 15 15/5 = 3 
251-- 45 6 35 35/5 = 7 
451-- 65 14 55 55/5 = 11 
651-- 85 26 75 75/5 = 15 
85 I---- 105 14 95 95/5 = 19 
105 I---- 125 8 115 115/5=23 
125 I---- 145 6 135 135/5 = 27 
1451-- 165 2 155 155/5 = 31 
.'i:Jj = 80 
Do exemplo 10, tiramos 
Sx = 31,977 
12 36 
42 294 
154 1 694 
390 5 850 
266 5 054 . 
184 4 232 
162 4 374 
62 1 922 
�Yjfj = 1 272 2 
� Vj fj = 23.456 
0 desvio-padrao de Y = ; devera ser igual a 6,3954, ou seja, 
Sy = 31,977 
= 6 3954 
5 ' 
Aplicando a formula desenvolvida, 
1 [� 2,. (�Yjfj)
2 ]-Sy = n-=1 ""'YjJj - n 
-
= _1 [23 456 - (1 272)2 J = 
79 80 
6__[23 456 - 1 617 984 ] 
= ../79 80 
)* (23 456 - 20 224,8) = � = 
= .J 40,90126 = 6,3954 
Sx = 31,977} 
Sy = 6,3954 
III - Terceira Propriedade 
Y= ...K_ e c=5 
5 
Sx Sx 
� S y= 7 = -
5
-
0 desvio-padrao e maior que 0 desvio medio. 
Essa propriedade pode ser comprovada numericamente, atraves dos 
resultados dos exemplos 4 e 6 para dados brutos e 5 e 7 para dados 
tabulados. 
No exemplo 4, foram apresentados os seguintes conjuntos: 
A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}; 
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}; e 
c = {-4; -3; -2; 3; 5}, 
cujos desvios medios e desvios-padrao sao (Veja Tabela 5.10): 
SA = 12,950 DmA = 10,249 
S8 = 2,160 
Sc= 3,962 
Dm8 = 1,714 
Dmc = 3,360 
Os resultados dos exemplos 5 e 7 fornecem-nos: 
S = 31,977 kwh e Dm = 24,625 kwh. 
d) Processo Breve para o Ca/culo do Desvio-{Xldriio 
0 desvio-padrao pode ser calculado com o recurso de formulas simpli­
ficadoras, as quais tornam mais rapida a solu¢o dessa medida. Tais formulas 
derivam diretamente das duas primeiras propriedades do desvio-padrao. 
A variavel a ser utilizada e chamada, como vimos no caso da media (Cap. 4, 
4.2.1, item d), de variavel reduzida: 
Xi - Xo 
dj = ---
c 
Xj - Xo 
dj = �-
c
--
para dados brutos 
para dados tabulados 
Utilizando essas variaveis em lugar das originais, podemos obter o 
desvio-padrao dessas ultimas atraves das seguintes formulas: 
Para dados brutos: 
Sx= c 
n 
I_1_0_ =1 (1 -0,5) = 0,5 
50 50-30 
-1-0-=2 (2 -0,5) = 1,5 
60 60-30 
_1_0_ =3 (3 -0,5) = 2,5 
6 
L.dr= 3 
i=t 
(l::djl2 = 9 
Calculemos inicialmente d': 
n 
L,d; 
d'=� 
n 
3 =-=OS 6 ' 
(d�-d'l2 
I 
6,25 
2,25 
0,25 
0,25 
2,25 
6,25 
l:: {dj -d')2 = 17,50 
d�2 
I 
4 
1 
0 
1 
4 
9 
l::dj2 == 19 
207 
208 
A f6rmula original (16) nos da: 
L(dj-d')2 � Sx = c 
n- I = lOV -y--5- = 10�= 
= IO X 1,8708 = 18,708 
Sx = IO X I,8708 = 18,708 
.j, .j, 
c SD' 
0 mesmo resuitado seria alcanyado usando a formula desenvolvida: 
Sx = c _I_ [Ld'.2 - (Ldj)2] = IO 
n - I 1 n 
= IO j f 09 - 1,5) =IO JIJf = 10 X I,8708 = I8,708 
Exemplo 14: 
Calcular o desvio-padrao do consumo de energia eletrica, usando os 
dados do problema I 2. 
· 
· 
Para calcular o desvio-padra:o pelo processo breve, escolheremos x0 e 
c usando os mesmos criterios que os apresentados para o calculo da media 
aritmetica pelo processo breve, quais sejam: 
I. Xo = ponto medio da classe de rnaior freqiiencia, se k (numero de classes) 
for par, ou ponto medio de uma classe intermediaria, se k for fmpar. 
2. c = amplitude do intervalo de classe ou diferenya entre dois valores conse­
cutivos (para tabelas de freqiiencias com valores isolados ). 
Classes fj Xj 
5 1--- 25 4 15 
251-- 45 6 35 
45 1-- 65 14 55 
651-- 85 26 75 
85 1-- 105 14 95 
105 f-- 125 8 115 
125 1-- 145 6 135 
145 f--- 165 2 155 
k = 8 (par) Lfj=80 
x0 =76ec=20 
TABELA 5.17 
, Xj -75 di=-w-
15 -75 =-3 20 35-75 =-2 20 55 -75 = -1 20 75 -75 
20=0 
95-75 = 1 20 115 - 75 =2 20 135 -75 =3 20 155-75 =4 20 
df'j dj2fj 
-3X 4=-12 (-3) (-121=36 
-2 x 6= -12 (-2) (-12) = 24 
-1 x 14 =-14 (-111-14) = 14 
0 x 26 = 0 ox O=O 
1 x 14 = 14 1x14=14 
2X 8=16 2X16=32 
3X 6= 18 3X18=54 
4X 2=8 4X 8=32 
'f,djfj= 18 
'f,dj2fj=206 
('f,df fj12 = 324 
Como sabemos, o desvio-padrao do consumo de energia eletrica pelos 
80 usuarios e Sx = 31,977 kwh. 
A formula desenvolvida permite chegar ao mesmo resultado com 
muito menos trabalho e numeros bem menores: 
Sx = c _1_ ['f-d'.21,. - ('f-djt/]= 
n - 1 I I n 
= 20) -1- (106- 182)= 2oji_fio6 - 324) = 80 - 1 80 79 ,. 80 
= 20)206 - 4,o5 = 20 fiOfJ5 = 20../2 5563 = 79 ..; � 
' 
= 20 x 1,5988 = 31,977 
-1- -1-
c X SD 
I Sx = 31,977 I 
Evidentemente, o mesmo resultado seria obtido se escolhessemos 
qualquer outro valor para x0 e para c. 0 leitor podera comprovar isso 
fazendo, por exemplo, x0 = 95 e c = 10. 
e) /nterpreta�iio do Desvio-padriio 
0 desvio-padrao nao tern uma interpretayao fisica, como ocorre com 
a media, mediana, moda e OS quantis. Contudo, e possivel interpreta-lo de 
fortna analitica. Consideremos, por exemplo, que dois estudantes tenharn 
obtido os seguintes resultados em 5 provas de Estatistica, realizadas ao longo 
do ano letivo: 
Estudante A : 40 50 60 70 80 
Estudante B: 20 40 60 80 100 
Ambos os estudantes foram aprovados na disciplina, pois suas medias 
foram iguais a 60: 
xA = 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300 = 60 5 5 
Xo = _20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 300 = 60 
D 5 5 
Entretanto, a variayao das notas em torno das respectivas medias 
difere do aluno A para o aluno B, esse ultimo apresentando maior dispersao 
do que aquele. E possivel perceber ainda que a diferenya entre pares 
sucessivos de notas do aluno B e igual a duas vezes a do aluno A, que a 
amplitude total das notas de B e igual ao dobro da de A. Assim sendo, 
podemos afirmar que o aluno B apresentou resultados com uma variayao 
media igual ao dobro da do aluno B. 0 desvio-padrao das notas permite 
comprovar o que foi dito: 209 
210 
j'E(x;- x)2 
= n -1 . 
= (40 - 60)2 + (SO -60)2 + (60 -60)2 + (70 -60)2 + (80 -60)2 
s -1 = 
= 
j 400 + 100 + � + 100 + 400 = '1250 = s ../TO 
(20 - 60)2 + (40 -60)2 + (60 - 60)2 + (80 - 60)2 + (100 -60)2 
SB= 
S -1 = 
= jJ .600 + 400 + � + 400 + 1 600 
= .jTOOO = 10 ../TO' 
I SB= 2SA I 
Por ai se depreende que o desvio-padrao e realmente uma medida 
satisfat6ria de dispersao, embora nao se possa afumar muita coisa quanto i 
sua magnitude. 
5.2.5. VariAncia 
Sfmbolo: S2 
a) Defini¢o da Vari4ncia 
Conforme se pode perceber pelo sfmbolo, a varrancia e o quadrado 
do desvio-padrio, OU, se se preferir, 0 desvio-padrllo e a raiz quadrada da 
variancia. Dessa forma, pode-se dizer que a formula da variincia e igual i 
eJ;tpressao do desvio-padrllo, sem o sinal do radical. Adiantamos que as 
defini�oes que se seguem aparecem com a corre�ao de Bessel, isto e, com o 
divisor n - 1. 
Varidncia de Dados Brutos 
Processo longo n 
L (x; -x)2 
s2 = _;=_1 ____ = 
n -1 
4-
f6rmula original 
Processo breve 
_1 [f x? _ (t. Xt )'] 
n-1 L.. 1 n 
i=l 
• 
f6rmula desenvolvida 
n [ (n )2 ] 
c2 I 2 I d' 
s2 = __ ;_= _1 ____ = � � d'.2 - i=1 I 
n-1 n-1 L.. 1 n 
i=l 
(20) 
(21) 
Varidncia de Dados Tabulados 
Processo longo 
k 
I (x; - x)2f; 
s2 = �;_=1 ___
__ - 1 
n-1 - n-1 
Processo breve 
k 
c2 I (dj - a')2t; 
k 
(± x;f;)2 
2 ;=1 
L x;f;- n j=l 
;=1 82=-�-----
n -1 
[ k 
·( ± djfj)2 
_1_ ' d'.2f,. -_1_· =_1 -� 
n - l L.. 1 1 n /=1 
Exemplo 15: 
Calcular a variincia dos seguintes conjuntos de numeros: 
A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45} 
B = {17 , 18, 19, 20, 21, 22, 23} 
c = {-4; -3; -2; 3; 5} 
(22) 
(23) 
No exemplo 6, ja foi calculado o desvio-padrllo de cada conjunto. 
Os dados para a determinayao de variancia foram extraidos desse exemplo. 
Sabemos que 
xA = 22,714 
xs = 20 
xc = -0,2 
Entao, 
�(x; - 22,714)2 
s� = ------ = 167 ,905 7 - 1 
s2 = 'B 
�(x; - 20)2 
7 -1 = 4,667 
�[x; - (-0,2)]2 
5 - 1 
= 15,7 
Exemplo 16: . 
Calcular a variincia do consumo de energiil eletrica de 80 uswirios, 
com os dados do exemplo 7. 
k 
I 
II - Segunda Propriedade 
2 2 Sy= Sx 
2 2 Sy= Sx 
(24) 
Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante e arbitrario, c, 
cada elemento de um conjunto de numeros, a variancia flea multiplicada 
(ou dividida) pelo quadrado da constante .. 
Para 
x 
y=­
c 
y =ex 
=EIJ 
OU 
> S2 2s2 y = c x 
III - Terceira Propriedade 
(25) 
(26) 
Consideremos dois conjuntos de n1 e n2 valores, respectivamente, 
sen do 
S� = variancia (parcial) do primeiro conjunto. 
sJ = variancia (parcial) do segundo conjunto. 
x1 = media (parcial) do primeiro conjunto. 
x2 = media (parcial) do segundo conjunto. 
x = media geral, incluindo os valores dos dois conjuntos. 
A variancia combinada das duas distribuiyoos sera dada por 
1 2 2 - - 2 - - 2 
2 (n1 - )S1 + (n2 - l)S2 + (n1 - l)(x - x1) + (n2 - l)(x - x2) s = -------�--,------=---------� 
ni + n2 - 2 
(27) 
Examinando a primeira expressa:o, pode-se dizer que a variancia combi­
nada consta de duas parcelas: 
- Media aritmetica ponderada das variancias parciais 
(n1 - l)s: + (n2 - l)Si 
(primeira parcela) 
ni + n2 - 2 
2 - Variancia (ponderada) das medias parciais 
(n1 - l)(.X - .X1)
2 
+ (n2 - l)(.X - .X2)
2 
Exemplo 17: 
A estatura media de um grupo de 50 rapazes e de 172 cm, com 
variancia de 36,69 cm2 , e a de um grupo de 40 moyas e de 161 cm, com 
variancia de 27 ,04 cm2 • Qual a media, a variancia e o desvio-padrao das 
estaturas dos dois grupos reunidos? 
Cdlculo da Media Geral 
Para calcular a media do conjunto formado por todas as estaturas, 
tanto as dos rapazes como as das moyas, recorreremos a terceira proprie­
dade da media aritmetica (expressao 6 do capitulo anterior). 
k 
L x1n1 
/=1 
on de 
XJ = medias parciais 
n1 = numero de elementos do conjunto j 
/=1 
Neste caso, 
j = 1,2 e k=2.X1 = 172 n1 = 50 
X2 = 161 n2 = 40 
(172 x 50) + (161 x 40) 
-
8 600 + 6 440 
x = 
50 + 40 - 90 
= 
= 167,11 x = 167,11 cm 
Cdlculo de Varidncia Combinada 
Temos s: = 36,69 e s; = 27,04 
15 040 
90 
( l)s
2 
s 
2 - - 2 - - 2 
= 
2 ni - 1 + (n2 - 1) 2 + (n1 - 1) • (x - xi) + (n2 - 1) • (x - x2) 
s = = 
ni + n2 - 2 
- (49 x 36,69) + (39 x 27,04) + 49(167,11 - 172)2 + 39(167,11 - 161)2 
-
so + 40 - 2 
= 
1.797,81 + 1 054,56 + 49 x 4,892 + 39 x 6,112 
= 
88 
= 
1 797 ,81 + 1 054,56 + 1 171,69 + 1 455,95 
= . 
88 213 
Cdlculo do Desvio-padriio Combinado 
Basta extrair a raiz quadrada do resultado anterior. 
S = vfsl = J 62,27 = 7 ,89 cm. 
A justifica tiva te6rica da terceira propriedade da variancia e bem 
simples. Consideremos para tanto as seguintes variaveis: 
X1 com media .X1, variancia S� e n1 valores 
X2 com media .X2 , variancia s; e n2 valores 
Tomemos ainda 
x = media geral e s 2 
= varrancia geral. 
A variancia geral sera calculada somando todos os quadrados dos 
desvios tanto dos valores de X1 como de X2 em torno da media geral .X, e 
dividindo o resultado por (n1 + n2 - 2) ou por (n1 + n2), dependendo 
de como se toma o denominador. Faremos a demonstraylio para esse ultimo 
caso por questao de simplicidade. Partiremos entJo da seguinte expressao 
de variancia conjunta: 
n1 n2 
� -2 � -2 
2 ._ (X1 - X) + ._ (X2 - X) 
S = n1 + n2 
OU 
n1 n2 
1; 
2 
+ 1; (x2 -x>2 
= 
Enti'o, 
(n1 + n2)S2 
= n1S� + n'ls; + n1 (x - xif + n2 (x - x2)2 
OU 
2 n1S� + n'ls; + n1 (x - xif + n2 (x - x2)2 
S = n1 + n2 (28) 
Se em lugar de n1 e n2 tivessemos usado (n1 - 1) e (n2 - 1), chega­
rfamos a expressi'o 27. 
No caso particular de as tres medias coincidirem, x1 = x2 c: x, a 
expressi'o (28) ficara reduzida a uma media ponderada das variincias: 
2 n1S� + n2Si s = �����-n 1 + n2 (29) 
c) Controle de Charlier 
A prova de Charlier e utilizada para averiguar a exatidi'o do calculo 
da media e da variancia ( e conseqiientemente do desvio-padri'o) principal­
mente quando utilizamos o processo breve de calculo dessas medidas em 
uma tabela de freqiiencias. Essa prova baseia-se na seguinte equa?o: 
Para comprovar essa igualdade, tomemos inicialmente 
(d] + 1 )2 = dj2 + 2dj + 1 
Multiplicando ambos os membros por fi, 
(dj + 1 )2fi = dj2/j + 2dj/j + fi 
Aplicando o operador sornat6rio 
I;(dj + 1)2fi = I;dj2/j + 2I;dj/j + "i:.fi 
Exemplo 18: 
(30) 
Utilizar o controle de Charlier para a variancia e a media usando os 
dados do exemplo 14. 
No exemplo 14, fizemos x0 = 75 e c = 20. 
TABELA 6.18 
C/8#81 'i x; d' 1 djf; dj'f; dj+ 1 (dj + 112 (dj + 1i2f1 (dj +1)f 
5 f--- 25 4 15 -3 -12 36 -2 4 16 -8 
25 f--- 45 6 35 -2 -12 24 -1 1 6 -6 
45 f--- 65 14 56 -1 -14 14 0 0 0 0 
65 f--- 85 26 75 0 0 0 1 1 26 26 
85 f--- 105 14 95 1 14 14 2 4 56 28 
105 f--- 125 8 116 2 16 32 3 9 72 24 
125 f--- 145 6 135 3 18 64 4 16 96 24 
145 f--- 165 2 155 4 8 32 5 25 50 10 
I 
l:f; = 80 l:df'; = 18 l:dj2f; = 206 :!:ldj+1)2f1=322 .
:!:ldj+tlf;=98 
215 
Os dados necessarios para a prova de Chartier sao OS seguintes: 
L(dj + 1)2/j = 322 
Ldj2f; = 206 
2Ldjf; = 2 X 18 = 36 e Lfj = n = 80 
Ld}2f; + 2Ldjf; + Lf; = 206 + 36 + 80 = 322 = L(dj + 1)2/j 
0 que garante a exatidao dos calculos. 
Para comprovar a exatidao do calculo de media pelo processo breve, 
devemos partir da igualdade 
L(dj + l)f; = Ldjf; + L/j (31) 
facilmente demonstravel 
(dj + l)f; = djf; + f; 
Aplicando L 
L(dj + l)fj = Ldjf; + Lf;. 
A Tabela 18 nos fornece os valores necessarios: 
L(dj + l)f; = 98 
Ldjf; = 18 
Lf; = 80 
-> Ldjfj + Lf; = 18 + 80 = 98 = 
= L(dj + l )fj 
d) Cor:re¢o de Sheppard para a Varidncia 
Normalmente, quando os dados estiverem agrupados em classes, 
ocorrem erros resultantes desse agrupamento, no calculo da variancia e do 
desvio-padrao. Isto porque admitimos, ao agrupar os dados em classes, que 
esses se distribuem simetricamente dentro de cada classe, razao pela qual 
foi adotado o ponto medio de classe no cfilculo de medidas como a media 
e a variancia. Ocorre, porem, que os dados nem sempre se distribuem 
simetricamente em torno do ponto medio. Em conseqiiencia, o erro 
de agrupamento aumenta o desvio-padrao e com grau tanto maior quanto 
mais extensos forem os intervalos e menor o numero total de obser­
vay6es. 
Para corrigir o erro de agrupamento, usa-se um termo corretivo pro­
posto por Sheppard, o qual e subtrativo em virtude de o agrupamento em 
geral aumentar o valor da variancia e do desvio-padrao. 
Nao existe um consenso entre os autores quanto a utilidade da 
correyii'o de Sheppard. Isto porque, muitas vezes, ela tende a supercorrigir a 
variiincia quando nao substitui erros anteriores por novos. 
Neste livro apresentamos esse t6pico apenas por compromisso com a 
literatura. Nao vemos, por outro lado, razoes que justifiquem seu emprego 
216 na pratica. 
Formula de Sheppard: 
Consideremos S2 a variancia de um conjunto de valores dispostos em 
uma tabela de freqiiencias. Tomemos ainda 
c = amplitude do intervalo de classe 
s; = variancia corrigida 
I Si � s' - -r;- I 
Exemplo 19: 
(32) 
Aplicar a correyiio de Sheppard para a variancia e desvio-padrao do 
consumo de energia eletrica, usando os dados dos exemplos 7 e 16. 
Os valores de que precisamos slro os seguintes: 
s2 = 1 022,532 (kwh)2 
s = 31,977 
c =20 > c2 =400 
Aplicando .a correyiio de Sheppard, 
2 2 c2 400 8 Sc = S - IT = 1 022,532 - l2 = 9 9,199 
Sc = js2 - � = y989,199 = 31,452 
e) Relaroes Empiricas entre as Medidas de Dispersfio 
Quando as distribuiyOeS se apresentarem fracamente assimetricas (pe­
queno enviesamento ), podemos usar algumas relayoes empfricas para deter­
minar certas medidas de dispersao a partir de outras. Tais relayoes slio: 
Dm = ±s 5 
Exemplo 20: 
(33) 
(34) 
Comprovar a relayiO empirica entre 0 desvio quarti1ico, desvio medio 
e desvio-padrao para o problema do consumo de energia eletrica por 
80 usuarios. 
Os resultados correspondentes ao desvio medio e ao desvio-padrlro ja 
foram obtidos anteriormente: 
Dm = 24,625 (exemplo 5) 
S = 31,977.(exemplo 7) 217 
218 
Usaremos uma tabela auxiliar para proceder ao catculo do desvio 
quartil. 
TABELA 5.19 
Numero de 
·consumo Usullrios Fj 
fj 
Sf--- 25 4 4 
25f--- 45 6 10 
45f--- 65 14 24 
651---- 85 26 50 
851----105 14 64 
105f---125 8 72 
125f---145 6 78 
145f---165 2 80 
on de 
n = 80 
A f6rmula 1 nos fornece: 
D -
Q3 - Qi 
q - 1 
E n 80 __ 20o Q. =4=4 
Q3 = terceiro quartil 
Qi = primeiro quartil 
E 
_ � _ 3 X 80 = 600 
Q, - 4 - 4 
n 4- Fant 20 10 Qi =I + c !. = 45 + 20 - = 45 + 14,286 = 14 Q, 
= 59,286 
3n 
4 - Fant 
Q3 =I + c f. 
Q, 
= 85 + 20 60 - 50 
= 85 + 14,286 = 14 
= 99,286 
Q3 - Qi = 99,286 - 59,286 = 20 Dq = 2 2 
Se usarmos as rela�0es empfricas, teremos: 
4 4 Dm = 5S = 5 X 31,977 = 25,582 
2 2 D = -S = - X 31 977 = 21 318 q 3 3 ' ' 
Dq = 20 
Como pode ser observado, as f6rmulas empiricas slio validas para este 
problema, nlio havendo grande discrepancia entre os valores determinados 
empiricamente e os caiculados atraves das f6rmulas de definiylio das respec­
tivas medidas. 
Por outro lado, 
Dm Desvio Medio 4 = =-= 080 S Desvio-padrlio 5 ' 
Dq Desvio Quartil 
S 
= 
Desvio-padrlio 
Neste problema temos: 
Dm 
= 
24,625 
= O 77 
s 31,977 ' 
Dq 20 
s 
= 
31,977 
= 0•63 
2 
=-= 0667 
3 ' 
5.3. MEDIDAS DE DISPERSAO RELATIVA 
Para determinadas classes de problemas, as medidas de variabilidade ou 
disperslio relativa em uma distribuiylio de freqiiencias proporcionam uma 
avaliayao mais apropriada do grau de dispersao da variavel do que as de 
disperslio absoluta. A disperslio relativa permite ainda comparar duas ou mais 
distribuiyOes, mesmo que essas se refiram a diferentes fenomenos e sejam 
expressas em unidades de medida distintas. As medidas de disperslio resultam, 
em geral, de comparayao entre uma medida de dispersao absoluta e um 
promedio, sendo seu resultado expresso em termos percentuais. 
5.3.1. Desvio Quartil Reduzido 
Simbolo: Dq, 
0 desviomais 
alguma coisa sobre as rendas das familias. Este conjunto, esta cole�ao de 
observayoes, constituiria a populayao, ou seja, representaria todas as observa­
yOeS possiveis relativas ao assunto, que e a caracteristica que se pretende estu­
dar. Poder-se-ia limitar a popula9ao apenas ao Estado de Sao Paulo. Agora, o 1 
estudo censitario das rendas das fam11ias abrangeria apenas aquele Estado. 
E importante ficar bem claro que uma populayaO e estudada em termos 
de observa9oes de caracteristicas nos individuos, e nao em termos de pessoas 
ou objetos em si. Assim, por exemplo, as alturas dos cidadaos do Brasil cons­
tituem uma popula9ao. Poderia haver uma populayao correspondente aos 
pesos desses mesmos cidadaos. 
Quanto ao numero de elementos, a populayao pode ser finita ou infi­
nita. A primeira e aquela que apresenta um numero limitado de individuos. 
Muitas vezes, entretanto, o numero de observa9oes e infinito. A populayao 
sera, entao, infinita. Esta ultima normalmente esta associada a processos. 
Assim, se um tecnico de laborat6rio quisesse pesar um certo material, por 
maior que fosse o cuidado na experimentayao ele poderia, em cada pesagem, 
obter uma leitura de certo modo diferente. Qualquer numero de observa9oes 
que ele realizasse nao constituiria uma popula9ao completa, pois os resul­
tados poderiam nao ser uniformes. 0 processo de pesagem poderia, desta 
forma, continuar indefinidamente, prevalecendo as condiyoes basicas do 
experimento. 0 numero de tais medi9oes (observa9oes) tenderia a ser iilfi­
nito, dando origem a uma popula9ao infinita. Uma popula9ao infinita devera, 
entao, ser concebida apenas como um esquema conceitual e te6rico. 
1.4.2. Amostra 
A amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte sele­
cionada da totalidade de observa9oes abrangidas pela popula9ao, atraves da 
qual se faz um juizo ou inferencia sobre as caracteristicas da populayao. 
As caracteristicas da amostra sao chamadas de estatisticas (descritivas), sendo 
simbolizadas por caracteres latinos, enquanto que os parametros da popu­
la9ao terao como simbolos, via de regra, os caracteres gregos. Nesse texto, a 
preocupayao seni, portanto, a de descri9ao da amostra atraves da comumente 
chamada Estatistica Descritiva. 
Suponha-se, para exemplificar, que se pretenda conhecer o conteudo de 
ferro natural a ser exportado por um navio. 0 agregado ou populayao 
consiste em todo o minerio de ferro a ser exportado por esse navio. Parte do 
minerio e examinada, a fim de determinar seu teor de ferro, com o objetivo 
de tirar uma conclusao a respeito do teor de ferro natural do embarque 
completo. A parte de mineral selecionado constitui a amostra do embarque. 
' 
Uma vez que se fara inferencia sobre todo o minerio embarcado a partir de 17 
18 
apenas Utna pOryaO dele, a base do proceSSO e a infonnayao incompleta OU 
de amostra. 
1.5. FENOMENOS ESTATISTICOS 
0 fenomeno em estatistica relaciona-se com qualquer evento que se 
pretenda analisar, cujo estudo seja passivel da aplicayao da tecnica estatistica. 
A Estatfstica dedica-se ao estudo dos fenomenos de massa, que sao resul­
tantes do concurso de um grande numero de causas, total ou parcialmente 
desconhecidas, que serao chamadas de "fenomenos estatisticos". 
E possivel nao se conhecerem exatamente as causas subjacentes aos 
fenomenos, pois pode-se estuda-los atraves de suas manifestayoes, desco­
brindo-se neles alguns aspectos globais, sem remontar a essas causas. 0 que 
caracteriza tais fenomenos (sociais, biol6gicos etc.) e o fato de serem eles 
provenientes de um concurso de causas nem sempre totalmente conhecidas 
pelo analista. 
Os fenomenos classificam-se em tres tipos: 
1.5.1. Fenomenos Coletivos ou Fenomenos de Massa 
Os fenomenos coletivos sao aqueles que nao podem ser definidos por 
uma simples observayao. A natalidade, a mortalidade, a nupcialidade, o preyo 
medio de veiculos usados, vendidos diariamente em uma grande cidade, 
sao fenomenos coletivos. 
' 
1.5.2. Feoomenos lndividuais ou Particulares 
-OS fenomenos individuais sao aqueles que irao compor os fenomenos . 
coletivos. Cada nascimento, cada individuo que morre, cada casamento que 
ocorre, cada veiculo usado que se vende diariamente em uma grande cidade, 
sao fenomenos individuais. 
1.5.3 Fenomenos de Multidio 
Os fenomenos de multidao distinguem-se dos fenomenos coletivos pelo 
fato de as caracteristicas observadas para a massa nao se verificarem para o 
particular, para o individuo isoladamente. 
De acordo com a forma como se manifestam, os fenomenos podem ser 
classificados sob dois aspectos: 
a) Fenomenos Tipicos 
Os fenomenos tipicos sao aqueles que se manifestam de forma regular, 
revelando um comportamento definido. 
b) Fenbmenos Atipicos 
Os fenomenos atipicos referem-se aqueles fenomenos cuja manifestayao 
se da atraves de um comportamento irregular, nao revelando uma tendencia 
definida. 
1.6. ATRIBUTO E VARIAVEL 
Embora na grande maioria dos problemas estatisticos os dados sejam 
de natureza quantitativa, isto nem sempre acontece. Os dados muitas vezes 
se apresentam sob o aspecto qualitativo. Por essa razao, costumam-se dividir 
os dados estatisticos segundo dois aspectos: 
1.6.1. Presen(:CI ou Ausencia de um Atributo 
0 observador podera limitar-se a notar a presenya ou ausencia de um 
atributo em uma serie de individuos, e contar o numero dos que o possuem 
e o dos que dele carecem. Seria possivel, por exemplo, classificar individuos 
segundo o sexo. Haveria, entlio, duas classes distintas de dados observados: 
uma classe representando os individuos de sexo masculino e outra os de sexo 
feminino. Ve-se claramente, atraves do exemplo, que a variayao nlio e quanti­
tativa. Costuma-se estabelecer uma correspondencia entre os resultados 
possiveis e numeros, de modo a se ter sempre um carater numerico associado 
a observayliO estatistica. 
Quando os dados estatisticos apresentam um carater qualitativo, o 
levantamento e os estudos necessarios ao tratamento desses dados slio 
designados genericamente como estatistica de atributo. Considera-se um 
carater como qualitativo quando as modalidades que o comp0em formam 
um conjunto amorfo, nlio estruturado numericamente, ou seja, quando nlio 
ha ligaylio entre essas modalidades, independentemente do fato de consti­
tuirem um conjunto completo. 
Os atributos admitem dois tipos de classificaylio: 
1. ClassificafiiO Dicotomica ou Dicotomia 
Existe uma dicotomia quando cada classe em que o atributo e consi­
derado admite uma subdivislio em apenas duas subclasses. Por exemplo, a 
classifica�ao dos individuos de uma localidade quanto ao sexo. 
2. Classi[icafiio Mu/tip/a ou Policotomica 
Ocorre uma policotomia quando cada classe se subdivide em mais de 
duas subclasses. A classificaylio das pessoas segundo o estado civil e uma 
policotomia. 
1.6.2 Variavel 
0 observador podera tambem anotar ou medir a intensidade efetiva de 
um carater variavel em cada um dos objetos ou pessoas observadas. Pode, por 
exemplo, registrar a idade das pessoas ao morrer, a estatura ou o peso dos indi­
vfduos, o rendimento das fam11ias em uma grande cidade, o numero de empre­
gados dispensados, por mes, em uma grande empresa e assim por diante. 
Os resultados das observayoes serlio expressos sempre atraves de valores 
numericos. Os dados sao de carater nitidamente quantitativo, e o conjunto 19 
dos resultados possui uma estrutura numerica. Dir-se-a, entao, que se trata de 
estatistica quantitativa ou estatistica de variavel. 
1.7. VARIAVEL DESCONTiNUA OU DISCRETA E 
VARIAVEL CONTfNUA 
Tratando-se de estatistica de variavel, e possivel distinguir duas cate­
gorias de variavel: discreta, ou descontinua, e continua. 
1.7.1. Variavel Discreta ou Oescontinua 
Suponha que uma instituis:ao de ensino esteja interessada em saber 
qual 0 numero de alunos presentes as aulas de um determinado professor' em 
certo periodo da vida escolar. Se X simbolizar esse ntimero, entao X sera 
uma variavel que s6quartil e uma medida de disperslio relativa resultante do 
quociente entre o desvio quartil reduzido e a mediana. Simbolicamente, 
Q3 - Q; 
_ Dq _ 2 
Dq, - Md - --M-'d--
= 
1--------�ou---------1 
Q3 - Qi Dq, = 2Md X 100 
Exemplo 21: 
(35) 
Retomemos os dados do exemplo 20 e calculemos o desvio quartil 
reduzido: 
Temos: Dq = 20 219 
n --Ft 2 an 
Md= I + c Ji 
Md 
�-24 2 65 + 20 26 
320 
= 65 + 26 = 65 + 12,31 = 77,31 
Dq 20 
Dq, =Md 
X 100 = 77 31 X 100 = 25,87% 
' 
= 
Md= 77,31 
Dq, = 25,87% 
5.3.2. Coeficiente de Varia�o 
0 coeficiente de variayao ou coeficiente de varia�o relativa e uma 
porcentagem cujo calculo resulta da comparayiio entre o desvio-padrao ou o 
desvio medio e a media ou a mediana. Definiremos os seguintes coeficientes 
de variayiio: 
a) Coeficiente de Variariio de Pearson 
Simbolo: C Vp 
0 coeficiente de varia�o de Pearson e igual ao quociente entre o 
desvio-padrao e a media aritmetica. 
s 
CVp =--=­
x 
ou-----1 
s 
CVp=--=--· 100 
x 
Exemplo 22: 
(36) 
Para exemplificar o conceito de CVp, suponhamos que uma empresa 
fabricante de pneumaticos tivesse desenvolvido um novo produto com um 
cordel que proporcionasse maior resistencia as flexoes repetidas e maior 
resistencia a tra9ao do que o original. Tendo submetido esse componente a 
prova, chegou-se a conclusao de que a resistencia as flexoos repetidas, 
testada em um aparelho de dobrar cordeis, foi, em media, de 139 minutos 
com desvio-padrao de 15 minutos contra a media de 88 minutos e desvio­
·padrao de 14 minutos do cordel comum. Comparando os valores dos 
desvios-padroes, parece nao haver diferenya significativa quanto a dispersao 
dos tempos de resistencia a flexiio. Entretanto, deve-se ter presente que o 
desvio-padrao para o novo cordel se refere a uma maior resistencia media as 
flex0es repetidas, e e neste aspecto que se baseia o conceito de dispersao 
relativa refletido pelo resultado do indice CVp. Calculemos, entao, o CVp 
220 para os dois casos. 
Para o novo cordel: 
I CVp = -& = 0,108 OU 10,8% 
Para o cordel antigo: 
I CVp = * = 0,159 OU 15,9% 
Comparando os resultados, ve-se que a variayao relativa e muito menor 
para o novo cordel do que para o antigo. 
Suponhamos agora que o novo cordel tenha sido submetido a um 
teste de resistencia a trayao, tendo sido obtidos os seguintes resultados: 
Resistencia media a trayao
·
: 18 libras 
Desvio-padrao: 0,73 libras 
O coeficiente de variacao de Pearson sera igual a 
CVp = �;; = 0,03989 
' 
OU 3,99% 
Exemplo 23: 
Poderfamos estar interessados em saber se o novo cordel apresenta 
maior dispersao de resistencia a trayao ou a flexoes repetidas. Neste caso, 
nao e possfvel comparar as dispersoes absolutas, uma vez que as unidades de 
medida e os fenomenos sao distintos. Estarfamos comparando, se assim 
procedessemos, minutos (unidade de tempo) com libras (unidade de peso). 
Por essa razao, a (mica comparayao compatfvel com a natureza dos dados e a 
proporcionada pela dispersao relativa. Dessa forma, terfamos: 
TABELA 5.20 
ResisttJncia Dispersao Re/ativa (%) 
As Flexoes Repetidas CVp = 10,8 � 11 
Tra.;lfo CVp = 3,99 � 4 
Muitas vezes e util considerar o coeficiente de variayao de Pearson 
como o desvio-padrao das porcentagens dos valores em relayao a media, 
conforme pode ser esclarecido no exemplo seguinte: 
Exemplo 24: 
Tomemos o seguinte conjunto de numeros: X = {2, 3, 7} e calculemos 
o CVp. 221 
222 
Xj 
2 
3 
7 
"E.Xj = 12 
e 
TABELA 5.21 
(xj-X) (Xj-X)2 
-2 4 
-1 1 
3 9 
"E.lxi-x12 = 14 
_ �Xi 12 x=-n=3=4 
S2 �(xi -x)2 
= _!± = 7 x= n-1 2 
Sx = ft= 2,6458 
CVp = 8! = 2•646 = 0 66 OU 66% 
x 4 , CVp = 66 
Consideremos agora o conjunto Y, formado pela razao entre os valores 
de x e a media X, OU seja, 
lremos verificar que o desvio-padrao de Y, Sy, sera igual ao coeficiente 
de varia�o de Pearson, calculado anteriormente: 
TABELA 5.22 
Xj 
(%) Yi= x • 100 n- ¥ 
2 4. 100 = 50 -50 
3 4. 100 = 75 -25 
7 4. 100 = 175 75 
"E.Yj = 300 
y = �Yi = 300 = lOO n 3 
(yj- y)l 
2.500 
625 
5.625 
"£ (Yj - ¥12 = 8.800 
s: = ��i_-tf -8·�00 = 4.400 => Sy= v' 4.400 2!: 66% 
Por conseguinte, 
I CVp =Sy 
Em resumo, quando comparamos dispersaes, podem ocorrer tres tipos 
de situay0es: 
1. As series vem expressas na mesma unidade de medida, e suas medias sao 
iguais OU muito pr6ximas. Neste caso, e valido comparar OS valores de s, 
nao se obtendo informayao adicional significativa com o uso do CVp. 
Exemplo 25: 
Um teste de estatistica aplicado a dois grupos de SO alunos apresentou 
os seguintes resultados: 
Grupo 
A 
B 
TABELA 5.23 
Midis das Notas 
6 
6,2 
Desvio-padrlio das Notas 
2 
1,5 
Nao ha necessidade de muito esforyo de raciocinio para concluir que 
o grupo B apresentou menos dispersao, tanto absoluta como relativa. Apenas 
para confirmar: 
Grupo 
A 
B 
TABELA 5.24 
CVp 
2 
6 = 0,33 
�=025 6 ' 
2. As series podem apresentar-se expressas nas mesmas unidades de medidas, 
mas as medias aritmeticas sao significativamente diferentes. As comparay5es 
podem ser feitas atraves da dispersao absoluta ( desvio-padrao ). Entretanto, 
nestas circunstiincias, poder-se-a obter uma comparayao mais reveladora, 
utilizando medidas de dispersao relativa, como o coeficiente de Pearson. 
Trata-se do caso apresentado no exemplo 22, quando comparamos a 
resistencia media dos cordeis as flexoes repetidas. Como se recorda, as medias 
para os dois tipos de cordel eram bem diferentes (139 contra 88). 
3. As series podem vir expressas em unidades de medida diferentes. Neste 
caso, e totalmente inviavel estabelecer comparayao a partir do desvio-padrao 
(dispersao absoluta), sendo plenamente justificavel o exemplo do coeficiente 
de variac;:ao de Pearson. 223 
0 exemplo 23 visa exatamente a esclarecer esse aspecto do uso do 
coeficiente de variayao de Pearson. 
b) Coeficiente de Variarao de Thorndike 
Sfmbolo: CVT 
· 0 coeficiente de varia�o de Thorndike e igual ao quociente entre o 
desvio-padrao e a mediana. 
s CVr = Md 
OU 
s CVr = Md • 100 
Exemplo 26: 
(37) 
Calcular o coeficiente de Thorndike com os dados do exemplo relativo 
ao consumo de energia eletrica de 80 usuarios comerciais. 
Os dados para resolver o problema ja sao conhecidos: 
s = 31,977 
Md= 77,31 
CV. = 31•977 
• 100 = 41,36% T 77,31 
O coeficiente de Pearson para o mesmo problema e 
CVp = 31•977 
• 100 = 40,22% 79,5 
c) Coeficiente Quart([ico de Variarao 
Sfmbolo: CVQ 
Esse coeficiente e definido pela seguinte expressao: 
OU 
Exemplo 27: 
(38) 
Calcular o coeficiente quartflico de variayao para o consumo de energia 
224 eletrica por 80 usuarios, usando os dados do exemplo 20. 
No exemplo 20, foram calculados o primeiro e terceiro quartis, cujos 
valores sao: 
Q3 = 99,286 
Qi = 59,286 
CV. = 
99,286 - 59,286 
Q 99,286 - 59,286 
40 
---
= 0,252 OU 25,2% 
158,572 
CVQ = 25,2% 
EXERCiCIOS PROPOSTOS 
5.1. Com os dados do exercicio 4.1 do Capftulo 4, determinar: 
5 .1.1 . Desvio Quartil. 
5.1.2. Desvio Medio. 
5.1.3. Desvio-padrao. 
5.2. Com os dados do exercfcio 2.4 do Capftulo 2, determinar: 
5.2.1. A variancia da distribui9ao. 
5.2.2. 0 desvio-padrao. 
5.2.3. 
5.2.4. 
0 coeficiente de varia9ao de Pearson. 
0 desvio quartil. 
5.3. Dados os conjuntos de numeros A = { 1.000, 1.001, 1.002, 1.003, 
1.004, 1.005} e B = {0, 1, 2, 3, 4, S} podemos afirmar que: 
a) o desvio-padrao A e igual a 1.000 vezes o desvio-padrao de B; 
' 
-
b) o desvio-padrao de A e igual ao desvio-padrao de B; 
c) o desvio-padrao de A e igual ao desvio-padrao de B multiplicado 
pelo quadrado de 1.000; 
d) o desvio-padrao de A e igual ao desvio-padrao de B dividido por 
1.000; 
e) o desvio-padrao de A e igual ao quadrado do desvio-padrao de B. 
SA. Realizou-se uma prova de estatfstica para duas turmas, cujos resultados 
foram os seguintes: 
Turma A: x = 5 e S = 2,5 
Turma B: x = 4 e S = 2 
Esses resultados permitem afirmar que: 
a) a turma B apresenta maior dispersao absoluta; 
b) a dispersao absoluta e igualpara ambas as turmas; 
c) a dispersao relativa e igual a dispersao absoluta; 225 
226 
d) a dispersao relativa e a absoluta para a turma B sao iguais; 
e) a dispersao relativa da turma A e igual a da turma B. 
5.5. A tabela abaixo representa a vida util de postes telefonicos de madeira: 
Anos N9 de Postes 
Substitufdos 
0,5---; 2,5 11 
2,5---; 4,5 47 
4,5---; 6,5 87 
6,5---; 8,5 134 
8,5 ----110,5 200 
10,5 ----112,5 198 
12,5 ----114,5 164 
14,5 ----116,5 102 
16,5 ---; 18,5 48 
18,5 ---i20,5 6 
20,5 ----122,5 3 
Pede-se: 
5.5.1. o desvio-padrlro. 
5.5.2. o coeficiente de varia�lfo. 
RESPOSTAS DOS EXERCfCIOS PROPOSTOS 
5.1. 5.1.1. 1,88 
5.1.2. 2,02 
5.1.3. 2,48 
5.2. 5.2.l. 0,2169 
5.2.2. 0,4657 
5.2.3. 21,2% 
5.2.4. 0,2509 
5.3. b 
5.4. e 
5.5. 5.5.1. 3,767 
5.5.2. 0,353 OU 35 ,3% 
Medidasde 
Assimetria e Curtose 
6.1. INTRODUCAO 
As medidas de assimetria e curtose sao as que restam para completarmos 
o quadro das estatisticas descritivas, que proporcionam, juntamente com 
as medidas de posiyao e de dispersao, a descriyao e compreensao completas 
da distribuiyao de freqilencias estudada. 
Como ja foi dito anteriormente, as distribuiyoes de freqilencias nao 
diferem apenas quanto ao valor medio e a variabilidade, como tambem 
quanto a sua forma. Do ponto de vista desse ultimo aspecto, as caracteristicas 
mais importantes sao o grau de defonnayao ou assimetria e o grau de 
achatamento ou afilamento da curva de freqilencias ou do histograma. Para 
estudar as medidas de assimetria e curtose, e necessario o conhecimenfo 
de certas quantidades conhecidas como momentos. 
6.2. MOMENTOS 
Os momentos podem ser caracterii.ados como quantidades numericas, 
calculadas a partir de uma distribuiyao de freqilencias (ou de probabilidades), 
e que sao utilii.adas para fornecer descriyoes resumidas da distribuiyao estu­
dada. Dentro da ampla classe dos momentos estao inclufdas duas importantes 
medidas estudadas anteriormente: a media e a variiincia. 
Como vemos, a noyao de momento e generica e abrange igualmente 
aquelas duas medidas. Apenas nos as tratamos. separadamente devido a sua 
grande importancia no contexto da Estatistica Descritiva. 
6.2.1. Momento Natural (Absoluto) de Ordem r 
Sfmbolo: m; onde r e um numero inteiro positivo. 
0 momento natural de ordem r de um conjunto de niJmeros e definido 
da seguinte forma: 227 
228 
a) Para Dados. Brutos 
I 
m = 
r 
x� + xr + . . . + x� 
n 
b) Para Dados Tabelados 
k 
Ixffi 
I /=1 
m, = 
n 
(1) =---
n 
(2) 
Quando os valores estiverem agrupados em classes x1 serao os pontos 
medios de classe. 
Exemplo 1: 
Calcular os momentos naturais de primeira, segunda, terceira e quarta 
ordens do conjunto de numeros x = {2, 3, 5, 7, 8}. 
Recorramos a tabela auxiliar 6.1 para realizar OS cfilculos: 
(r = 1) 
x; 
2 
3 
5 
7 
8 
s 
Ix;= 25 
i=l 
5 
TABELA6.1. 
(r= 2) (r = 3) 
2 x; x� 
I 
4 8 
9 27 
25 125 
49 343 
64 512 
5 
Ixf = 151 Ixl = 1.015 
i=l i=l 
(r-= 4) 
4 x; 
16 
81 
625 
2.401 
4.096 
5 
Ixt=1.219 
i=l 
Momento natural de primeira ordem (ou primeiro momento natural) 
5 
Ix; 
=� = 2+3+5+7+8 =�=5 
5 5 5 
Notar que o momento natural de primeira ordem e a pr6pria media 
aritmetica, ou 
Momento natural de segunda ordem (segundo momento natural) 
n 
L,xr 
I i= 1 m2=--
n
- = 
x2 + x2 + x2 + x2 + x2 
1 2 3 4 5 
5 
= 
= 
4 + 9 + 25 + 49 + 64 
5 
= 1;1 = 30,2 I m� = 30,2 I 
Momento natural de terceira ordem (terceiro momento natural) 
n 
L,xr 
i=l x� + xi + xt + x! + xf =---= = 
n 5 
= 
= 23 + 33 + 53 + 73 + 83 
5 
8 + 27 + 125 + 343 + 512 
5 
= 
= l.�15 = 203 I m� = 203 I 
Momento natural de quarta ordem (quarto momento natural) 
n 
L,xt 
i=1 x� + xi + xj + x: + x: =---= 
= 
n 5 
24 + 34 + 54 + 74 + 84 
5 
= 
16 + 81 + 625 + 2.401 + 4.096 
5 
7.219 = -
5
- = 1.443,8 
........ m-� -=-1-.44-3- .-8__,I 
Exemplo.2: 
Calcular o momento natural de primeira, segunda, terceira e quarta 
ordens da seguinte distribui\:ao de freqi.iencias: 
Classes 'i •j 
10 f---20 2 1 15 
20 f---30 4 25 
30 f---40 5 I 35 
40 f---50 8 45 
50 f---60 5 55 
60 f---70 4 65 
70 f---80 2 75 
7 
L 'i=30 
j=l 
TABELA 6.2 
Xjfj I "/'i 
30 I 450 
100· 2.500 
175 I 6.125 
360 I 16.200 
27.5 I 15.125 
260 I 16.900 
150 11.250 , I ' ? xjfj=1.350 ?x/ti=68.550 
/=:1 /"'I 
I 
I 
I 
I 
I 
xjfi x/fi 
6.750 I 101.250 
62.500 1.562.600 
214.375 7.5031125 
729.000 I 32.805.000 
831.875 I 45.753.125 
1.098.500 71.402.500 
843.750 63.281.250 
7 7 
L x/'i = 3.1ss.1so L x/'i = 222.4os.1su 
j=J i·-1 229 
-
230 
Momento natural de primeira ordem: r = 1 
7 
Ixjt; 
I j=l 
= 
1.350 
= 45 mi =�-n-- 30 
Momento natural de segunda ordem: r = 2 
7 
Ix/1; 
m� = 45 
I _ j=l - 68.550 _ 
2 285 m2 - n - � - . m� = 2.285 
Momento natural de terceira ordem: r = 3 
7 
Ixlt; 
j=
1n = 
3.78�0750 
= 126.225 
Momento natural de quarta ordem: r = 4 
7 
m� = 126.225 
Ixlt; 
m;· = 
i=1
n = 
222.4��·750 
= 7.413.625 1 m; = 7.413.625 
6.2.2. Momento de Ordem r em Rela�o a uma Ori gem Qualquer x 0 
Sfmbolo: xomr 
0 momento de ordem r em relayao a origem arbitraria x0 e definido 
da seguinte maneira: 
a) Para Dados Brutos 
n 
L (xi - xoY 
i=l 
n 
b) Para Dados Tabulados 
k 
L (Xj - xof f; 
j=l 
xomr = ____ n __ _ 
Exemplo 3: 
(3) 
(4) 
Considerando x0 = 4, calcular os momentos de primeira e segunda 
ordens do conjunto x = {2, 3, 5, 7, 8} em relayao aquela origem. 
TABELA6,3 
4 
t 
Ix; - xol2 
x; Ix; - xol 
2 2-4=-2 (-2)
2 
= 4 
3 3-4=-1 (- 1 1
2 
= 1 
5 5-4=1 1
2 
= 1 
7 7-4=3 3
2 
= 9 
8 8-4=4 4
2 
= 16 
'E.x; = 25 'E.(x; - 4) = 5 l;(x/ - 41
2 
= 31 
Recorrendo a f6rrnula (3), obteremos o 
Momento de primeira ordem em relaylio a origem x0 = 4; r = I 
'f.(Xi - 4)1 
5 
= 
= 
(-2) + (-I) + I + 3 + 4 
= I 5 
e o Momento de segunda ordem em relayao A origem x0 = 4; r = 2 
'f.(Xj- 4)2 
- (-2)2+(-1)2+12 + 32 +42 
Exemplo 4: 
5 
-
5 
= 
4 +I+ I +9 + 16 
= B_ = 6 2 5 5 ' 
Dada a tabela abaixo, calcular os momentos de primeira, segunda e 
terceira ordens em relayao a origem x0 = 40: 
TABELA 6.4 
Claa.1 fj "i (Xj-Xg) lxj-xoifj lxj-xol'fj lxj-xol'fj 
10t---- 20 2 15 15-40= -25 -50 1.250 -31.250 
20t---- 30 4 25 25-40=-15 -60 900 -13.500 
30t---- 40 5 35 35-40= -5 -25 125 -625 
40t---- 50 8 45 45-40= 5 40 200 1.000 
50 I-- 60 6 55 55-40= 15 75 1.126 16.876 
601-- 70 4 65 65-40=25 100 2.500 62.500 
70 I-- 80 2 75 75-40=35 70 2.450 86.750 
I:fj=30 2: (Xj - 401fj = 160 I:(2 -51=-3 (-312 = 9 (-313 = -27 
(3 -51=-2 (-212 =4 (-213= -8 
(5 -51=0 02 =O 03 =O 
(7 -51 =2 22 =4 23 =8 
(8-51 =3 32 =9 33 =27 
5 5 s 
(x;-xJ4 
81 
16 
0 
16 
8r 
5 
:L x;=25 :L (x;-51=0 L (x;-xl2=26 L (x;-xl3=0 :Ltx;-xl4= 194 
i=l i=l i=l i=l 
Momento centrado de primeira ordem 
�(x; - x) o m1 = = -= 0 ==> m1 = 0 
n 5 
Momento centrado de segunda ordem (variancia) 
i=l 
�(x; - x)2 26 m2 = 
n 
= 5 = 5,2 ==> m2 = 5,2 
233 
234 
Momento centrado de terceira ordem 
l:(x; - x)3 0 m3 = n =5= 0 > 
Momento centrado de quarta ordem 
l:(x; - x)4 
194 m4 = n = -
5
- = 38,8 > m4 = 38,8 
Notar que os momentos centrados de primeira ordem sa-o sempre nulos. 
m1 = 0 
Exemplo 6: 
Usando os dados da distribuiyll'o de freqtiencias do exemplo 4, calcular 
os quatro prirneiros momentos centrados. Usando uma tabela auxiliar, temos: 
TABELA 6.6 
Class.s f; Xj Xjfj (xj - X)fj fx; - xPt; fJ(j - XJ3 fj 
10 t-- 20 15 30 1-JOJ x 2 = -60 1.800 -54.000 
20 t-- JO 4 25 1tlO 1-20) x 4 = -80 1.600 -32.000 
30 t-- 40 5 35 175 l-10IX5=·-50 500 -5.000 
40 1--- 50 45 360 OX8=0 0 
50 t-- 60 55 275 10 x 5 = 50 500 5.000 
60 t-- 70 65 260 20X4=80 1.600 32.000 
70 f-- 80 75 150 30X2=60 1.800 54.000 
-
n=30 'f.xjfj = 1.350 Eix;-451f;=O Elx;-4512f;= 7.800 'ilx1-�)3fj = 0 
x = "'E.xifi = 1.350 = 45 n 30 · x = 45 
Momento centrado de prirneua ordem: 
k 
L (x i - x)ft 
j=l 0 m1 = -'---- n--- = _3_0_ = 0 => 
Momento centrado de segunda ordem (variancia): 
k 
L (xi - x)2
fi 
m2 = ..:..i_=_1 __ n ___ = 7 ·:: = 260 > 
fx; - XJ4fj 
1.620.000 
640.000 
50.000 
0 
50.000 
640.000 
1.620.000 
EIXf- xl4f; =4.620.ooo 
m2 = 260 I 
Momento centrado de terceira ordem: 
k 
L (x; - x)3f; 
j=t 0 m3 = n = 30 = 0 m3 = 0 
Momento centrado de quarta ordem: 
k 
L (x; - x)4f; 
j= t m4 = �--n---- = 
I m4 154.ooo 
4.620.000 
30 = 154.000 
6.2.4. Rela�o Geral entre os Momentos Centrados na Media 
e os Momentos Naturais 
E possivel determinar os momentos centrados na media a partir dos 
momentos naturais (hem como a partir dos momentos centrados em rela�o 
a uma origem arbitniria x0). Para chegarmos a relayao geral entre tais 
momentos, partiremos da expressao (6): 
k 
L (x; - x)'t; 
j = l m, = 
_,_ ___ n __ _ 
Desenvolvendo o segundo membro de 6, 
_ 1 � [ r (r) r-t(-) + (r) r-2(-)2 + mr - n f..... Xj - l Xj X 2 Xj X - • • • 
J = l 
+ (-I)s(:)x;-s(x)s + ... + (- l)r-1(r�1)x1(x)'-1 + 
+ (-1)'(x)'] t; 
onde s m1 = m1 - 1 m1 • m1-1 = m; - m;-= 0 
Parar= 2 ==> m2 =m� -(i)m: • m�-1 +(;)(m;)2m�-2 
= m� - 2(m;)2 + (m;)2 = m� - (m;)2 
, (3) , , (3)( ')2 , Parar=3 => m3=m3 - 1 m1•m3-1 + 2 m1 m3-2 
(3) m4 = m� - ( i)m:m�-1 + ( �)(m;)2m�-2 
- (�)(m;)3m�-3 +(!)m;)4m�-4 = 
= m� - 4m; ·mi+ 6(m;)2m� - 4(m;}3 • m; + 
236 + (m;)4 = m� - 4m; • mi+ 6(m;)2� - 3(m;)4 
Em resumo, 
r m, 
1 m1 = 0 
2 , ( ')2 m2 = m2 - m1 
3 m3 = m� - 3m;m� + 2(mD3 (8) 
4 m4 = m� - 4m;m� + 6(m�)2m� - 3(m�)4 
Exemplo 7: 
Usando os dados do exemplo 2, calcular os seguintes momentos: 
m1, m2, m3 e m4. 
No exemplo 2, foram calculados os quatro primeiros momentos na­
turais cujos resultados sao: 
m� = 45 m� = 2.285 m� = 126.225 m� = 7.413.625 
Levando esses resultados nas express5es indicadas acima, 
m1 = 45 - 45 = 0 
m2 = m� - (mD2 
= 2.285 - (45)2 
= 2.285 - 2.045 = 260 
m3 = m� - 3m;m� + 2(m;)3 
= 126.225 - 3. 45 • 2.285 + 
+ 2(45)3 = 126.225 - 308.475 + 182.250 = 0 
m4 = m� - 4m;m� + 6(m;)2m� - 3(mD4 
= 7.413.625 -
- 4 • 45 • 126.225 + 6 • (45)2 
• 2.285 - 3 • (45)4 
= 
= 7.413.625 - 22.720.500 + 27.762.750 - 12.301.875 = 
= 154.000 
I m1 = 0 I I m2 = 260 I I m3 = 0 I I m4 = 154.000 
Esses resultados podem ser confrontados com os valores obtidos no 
exemplo 6. 
6.2.5. Relat;io entre Momentos Centrados na Mlkiia e Momentos 
Centrados em uma Origem Arbitraria x0 
Da mesma forma como no caso anterior, e possivel estabelecer rela�oes 
entre m, e x0m,. Apresentaremos apenas as express5es dos quatro primeiros 
momentos e as rela�oes serao desenvolvidas a partir das formulas para dados 
agrupados em classes. As formulas (4) e (6) estabelecem 
k 
L (x1 - Xo)'fj 
j=I 
xomr = 
n 
e m, = 
k 
L (x1 - x)'fj 
j=I 
n 237 
238 
onde x; representa um ponto medio de classe generico. 
Fa\:amos, para simplificar, x; - x0 = D;. Assim, podemos escrever 
k 
LDffj 
j=I 
xomr = n 
Essa expressao representa, em ultima analise, a media aritmetica pon­
derada das r-esimas potencias dos desvios D; = x; - x0 , ou, mais simples­
mente: 
Dessa forma, 
Para r = I > x0m1 = l5 
r = 2 > xom2 = fj2 
-3 r = 3 > x0m3 = D 
-4 r = 4 > x0m4 = D 
(9) 
Vejamos agora como relacionar os momentos centrados na media com 
os centrados em uma origem arbitraria x0• 
a) Para 
"i:.(x; - x)fj 
r = I > m1 = = 0 n (primeira propriedade 
da media) 
b) Demonstrafiio para r = 2 
Como se sabe, D; = Xj - x0 ou x; = D; + x0 
Multiplicando por fj 
x;fj = (D; + Xo )fj = D;f + Xofj 
Aplicando "i:., 
"i:.x;fj = "i:.D;f; + "i:.xof; = "i:.D;fj + Xo "i:.fj 
Dividindo por "i:.f = n, . ---n 
'J:,x·J;· "i:.D·J;· :£fr __ I _I = __ /_/ 
+ Xo -- OU 
n n ..n-
ou ainda 
X = 15 + Xo 
(x; - x) = x; - (l5 + x0) = x; - xo - 15 = (D; - 15) 
� 
D; 
Nestas condi«;oes, 
k k 
L (xi - x)2 ii L (Di - l5)2 ii j= l 
= 
j=l m2 =�-
-n--- = n 
l [ 2 = - "LD· /,· -n I I 
�ifi
r = 
"L�/fj -
(
L�ii 
)
2 
c) Demonstra¢o para r = 3 
k 
.i. .i. 
L (Dj - D)3 ii 
j=l l [ 2 m3 = n = n LD/fj - 3DLDiii + 
+ 3 (l5)2 r.Diii - (f5)3Lfj] = 
OU 
(10) 
= __ ,_I - __ ,_, • __ I _I + 3 _,_, - ___ 
,
_ :0:: 
LD�J;· 3LD·J;· LD?-J;. 
(
LD·J;-0 
Q
LD·J;i
)
3 
n n n n n 
= "f.D/ii - 3 LDjii 
• 
"f.Dj fj 
+ 2(
"£,Djfj 3 
OU n n n n 
d) Demonstra¢o para r = 4 
-4 
(11) 
L(Dj - D) fj l [ 4 - 3 - 2 m4 = n = n LD/ii - 4D"f.Djf; + 6(D)2"i,Diii -
- 4(l5)3"f.Difi + (D)4'f-ii] = 
"i,D�J;· 
(
"i,D·J;·
) (
LD�fi
) (
LD·J;·
)
2 
• 
"LD1°?-J; 1· _ 
= --1- 1 - 4 --1-1 --1-1 + 6 -1-1 n n n n n 
("LD·J;-
)
3 
(
LD·J;·
) (
"f.D·J;·
)
4 - 4 --1-1 • __ , _, 
+ __ , _, 
239 n n n 
240 
Exemplo 8: 
m4 = x0m4 - 4(x0m1)(x0m3) + 6(x0m1)2(x0m2) -
- 3(x0m1)
4 (12) 
Calcular os quatro primeiros momentos centrados na media, a partir 
dos momentos centrados em rela\:iio a origem x0 = 40, com os dados dos 
exemplos 4 e 6. 
De acordo com os resultados dos exemplos 4 e 6, temos: 
m1=0 40m1=5 
m2 = 260 40m2 = 285 
m3 = 0 40m3 = 4.025 
m4 = 154.000 40m4 = 193.625 
Confirmaremos tais resultados atraves das formulas demonstradas 
acima: 
a) Momento centrado de primeira ordem: m1 
m1 = 0 
b) Momento centrado de segunda ordem: m2 
m2 = 40m2 -- (40m1)2 = 285 - 52 = 260 
c) Momento centrado de terceira ordem: m3 
m3 = 40m3 - 3(40m1)(40m2) + 2(40m1)
3 = 
= 4.025 - 3(5)(285) + 2(5)
3 = 
= 4.025 - 4.275 + 250 = 0 
d) Momento centrado de quarta ordem: m4 
m4 = 40m4 - 4(40mi)(40m3) + 6(40m1)2(40m2) - 3(40m1)
4 = 
= 193.625 - 4 • 5 • 4.025 + 6 • 52 
• 285 - 3 • 54 = 
= 193.625 - 80.500 + 42.750 - 1.875 = 154.000 
0 resultado seguinte nao foi ainda calculado. 
_ '1:.(Xj -40)4/j _ 
40m4-
n 
-
m4 = 154.000 
lOs momentos podem ser calculados atraves do processo breve (ou 
metodo abreviado ), o qual parte dos mesmos principios que aqueles ja 
apresentados para a media e para 0 desvio-padrao (OU variancia ). Como 0 
leitor deve recordar-se, o processo breve e desenvolvido com o recurso da 
variavel transformada dj,tambem chamada de Msvio reduzido, cuja defini-rao 
e, para dados agrupados em classes: 
, Xj - Xo 
di=�-­c 
onde Xj = ponto medio de classe generico; 
x0 = constante arbitraria, geralmente escolhida como o ponto 
medio de classe de maior freqtiencia; 
c = amplitude do intervalo de classe. 
Para apresentar as formulas que deverao ser usadas no calculo dos 
momentos atraves do processo breve, recorreremos a um exemplo, o que 
facilitara a demonstra-rao e a comprova-rao dos resultados. 
Exemp/o 9: 
A Tabela 6. 7 fornece os dados relativos ao quociente de inteligencia de 
480 alunos de determinada escola. Calcular as seguintes quantidades: 
a) 94m1 
b) 94m2 
c) 94m3 
d) 94m4 
i) m
'
1 
j) m
'
2 
k) m
'
3 
I) m
'
4 
TABELA 6.7 
Quociente de Numero de 
I nteliglincia Estudantes 
681--- 72 4 
12r-- 76 9 
761--- 80 16 
801--- 84 28 
84r-- 88 45 
881-'--- 92 66 
921--- 96 85 
961--- 100 72 
100 I-- 104 54 
1041--- 108 38 
1081---112 27 
112 r--116 18 
1161--- 120, 11 
120 I-- 124 5 
124 l-'---128 2 
n = 480 
241 
Xj 
70 
74 
78 
82 
86 
90 
94 
98 
102 
106 
110 
114 
118 
122 
126 
242 
Utilizaremos, para n calculos necessarios, a Tabela 6.8 auxiliar. 
TABELA6.8 
fj , Xj-94 
di= -
4
- df'j dj2fj d/ ti dj4fi 
4 -6 -24 144 -864 5.184 
9 -5. -45 225 -1.125 5.625 
16 -4 -64 256 -1.024 4.096 
28 -3 -84 252 -756 2.268 
45 .... 2 -90 180 -360 720 
66 -1 -66 66 -66 66 
85 0 0 0 0 0 
72 1 72 72 72 72 
54 2 108 216 432 864 
38 3 114 342 1.026 3.078 
27 4 108 432 1.728 6.912 
18 5 90 450 2.250 11.250 
11 6 66 396 2.376 14.256 
5 7 35 245 1.715 12.005 
2 8 16 128 1.024 8.192 
15 
L fj=n=480 �df'j=236 �dj2fj=3.404 �dj3ti=6.428 �dj4fj=14.588 
j=I 
I - Oilculo dos momentos centrados na origem Xo = 94. 
Antes de procederrnos aos calculos, devemos lembrar que 
, Xj - Xo Xj - 94 
di = c = 
4 
ou seja, 
x0 = 94 (media arbitraria) 
c = 4 (ponto medio de classe). 
Os momentos centrados em rela¢o a origem x0 apresentam a seguinte 
propriedade: 
onde dj 
. r 'f.dj' fj 
xomr = c -n-
= Xj - Xo 
c Xj 
�[� -..xol'fj 
= n n 
= 
�(cdj)'fj c'�dj' fj , 'f.dj' fj 
= = c --.-
n n n 
(13) 
Em particular, 
'l;djf; 3 'l;dj3f; 
Xomt = c -n- x0m3 = c n 
2 'l;dj2 f; 4 'l;dj4f; 
xom2 = c -n
- xom4 = c - n
--
No problema em questio, teremos, de acordo com os valores cons­
tantes da tabela 8: 
'l;d'fi 94m1 = 4 _J_j_ = 4 X 236 
= 1 9667 I 94m1 = 1,9667 
480 480 ' . 
2 'l;dj2 f; 16 x 3-404 94m2 = 4 • "480 = 
480 
. = 113,4667 
I 94m2 = 113,4667 I 
'l;d!3 Ii 64 x 6.428 94m3 = 43 
• � = 
480 = 857,0667 
I 94m3 = 857,0667 I 
4 'l;dj4f; 256 x 74.588 94m4 = 4 • � = 
480 = 39.780,2667 
I 94m4 = 39.780,2667 I 
II - Cdlculo dos momentos centrados na media. 
Neste caso, recorreremos as identidades 10, 11 e 12. 
Momento de primeira ordem centrado na media: m1 
mi = 
'l;(x; - x)f; = ..!_ ( 2-:xfi· - 'l;x"·) n n II 11 = l..(2-:x;f; - x2-:f;) = n .._.., 
'l;x;f; xJ( _ _ 
= -- --=x -x=O 
n J( 
I m1 = 0 
n 
Momento de segunda ordem
, 
centrado na media: m2 
Tomemos a rela?o 10 
m2 = x0m2 - (x0m1)2 
No problema em questao: 
m2 = 94m2 - (94mi)2 = 113,4667 - {l,9667)2 = 109,5988 
I m2 = 109,5988 I 
Momento de terceira ordem centrado na media: m3 243 
244 
Devemos ter agora, conforme expressao {11 ), 
m3 = xom3 - 3(xom1)(xom2) + 2(xom1)3 = 
= 857,0667 - 3(1,9667)(113,4667) + 2(1,9667)3 = 202,8158 
m3 = 202,8158 I 
Momento de quarta ordem centrado na media: m4 
A relayao 12 nos da 
m4 = x0m4 - 4(x0m1Hx0m3) + 6(x0m1)2(x0m2) - 3(x0m1)4 "" 
= 39.780,2667 - 4{1,9667)(113,4667) + 
+ 6(1,9667)2(113,4667) - 3(1,9667)4 = 35.627,2853 
m4 = 35.627,2853 I 
III - Cdlculo dos momentos naturais 
Da mesma forma como fizemos para os momentos centrados numa 
origem arbitraria Xo, podemos utilizar 0 metodo abreviado para 0 calculo 
dos momentos naturais. 
'Partiremos da relayiio 
x· - x0 d} = / = desvio reduzido, c 
de onde tiramos Xj = cdj +. x0 
Assim, 
. m' = LxJfj = L(cdj + x0)'fj 
r n n 
Para r=l 
m� = 
L(cdj + x0)fj = 
CLdjfj + Xo L/j 
= c 
Ldjfj 
+ Xo n n n 
Ld/fi -, = Xo + c --= x0 + cd n . 
m� = x0 + cd' 
Para r = 2 
{14) 
, 
m"l = L(cdj + xo)2fj 1 
n = n [LC2dj2fj + 2cXoLd}fj + Xo2Lfj] :::: 
2 
Ldj2fj 
+ 2cx 
Ldjfj 
+ xl =c-n
- o n 
I 2 'i:.djfj 2 'i:.dj2 ii m2 = Xo + 2cxo-- + c --·-
Parar=3 
n n 
'i:.(cd! + x )3/i· 1 I - I 0 I - [r, 3d '31'. + 3 2 "'f.d '21'. + m3 - n - n C j Jj C Xo j Jj 
+ 3cx02'i:.djfj + xJ'i:.ii] 
Para r = 4 
, _ 'i:.(cdj + xo>4ii 1 [ 4 14 3 13 m4 - n = n. c "'f.di f; + 4c x0'i:.dj ii + 
+ 6c2x'6r.dj2ii + 4cxgr.dfii + x:r.ii] 
13 14 
3 'i:.dj f; 4 'i:.dj ii 
+ 4c x0 -- + c --
n n 
Em termos do problema: 
Momento natural de primeira ordem: m; para x0 = 94 e c = 4 
Basta recorrer agora aos dados expostos na Tabela 8. 
m; = 94 + 
4 :8i
36 
= 95,9667 m; = 95,9667 
Momento natural de segunda ordem: m; 
m2' = (94)2 + 2 X 4 X 94 X 236 
+ 42 X 3·404 
= 480 480 
= 8.836 + 369,7333 + 113,4667 = 9.319,2 
m; = 9.319,2 I 
Momento natural de terceira ordem 
I = (94)3 + 3 X 4 x (94)2 x 236 + 3 X 42 X 94 x 3.4o4 
+ m3 480 480 
(15) 
(17) 
+ 43 x 64��8 = 245 
= 830.584 + 52.132,4 + 31.997,6 + 857,0667 = 915.571,06 
m� = 915.571,06 I 
Momento natural de quarta ordem 
I 
= 944 
+ 4 x 4 X 943 x 236 
+ 6 x 42 x 942 x 3·404 + m4 480 480 
+ 4 x 43 x 94 x 6.428 
+ 44 x 74.588 = 
480 480 
= 78.074.896 + 6.533.927,3 + 6.015.548,4 + 322.257,06 + 
+ 39.780,27 = 90.986.409 
I I 
. 
I _ m4 = 90.986.409 _ 
0 leitor podera comparar os resultados acima calculando os momentos 
centrados na media a partir desses momentos naturais, utilizando as ex­
pressoes (8). Os resultados deverao ser pr6ximos dos seguintes ja calculados 
nesse exemplo (as pequenas diferen9as, porventura existentes, deverao ser 
resultantes de arredondamentos): 
m1 = 0 
m2 = 109,6 
m3 = 202,8 
m4 = 35.627,3 
6.2.7. Controle de Charlier e Corre�o de Sheppard para os Momentos 
a) Controle de Charlier 
0 controle de Charlier, apresentado no capitulo precedente, pode ser 
generalizado a todos os momentos, sendo de grande utilidade no processo 
breve de determinac;:ao dessas quantidades, quando os dados vierem dispostos 
em tabelas de freqiiencias. 0 controle proposto por Charlier recorre as 
seguintes identidades: 
I;(dj + l)f; = I;djfj + n �I;f; 
I;(dj + 1)2!; = I;dj2fi + 2"'Edffj + n 
"'E(dj + 1)3!; = I;dj3f; + 3I;dj2fj + 3I;djfj + n 
(18) 
"'E(dj + 1)4!; = "'Ed}4fj + 4"'Edj3fj + 6"'£dj2fj + 4"'Edjfj + n 
Exemplo 10: 
Com os dados do problema 9, utilizar o controle de Charlier para 
comprovar os calculos daquele problema. 
A Tabela 6.8 fornece os seguintes valores, os quais deverlfo ser utili-
246 zados no desenvolvimento do controle de Charlier: 
n = "T.,f; = 480 
"T.,dffj = 236 
"l:,,dj2fj = 3.404 
"T.,dJ3fj = 6.428 e 
"l:,,dJ4fj = 74.588. 
A Tabela 6.9 apresenta as demais quantidades necessarias para se 
processar o controle. As tres primeiras colunas foram repetidas por conve­
niencia apenas. 
TABELA6.9 
Xj t; d: 
I 
dj+ 1 ldj+ 11f; ldj + 1Pt; ldj + 1i3r; ldj + 114f1 
70 4 -6 -5 -20 100 - 500 2.500 
74 9 -5 -4 -36 144 -576 2.304 
78 16 -4 -3. -48 144 -432 1.296 
82 28 -3 -2 -56 112 -224 448 
� 45 -2 -1 -45 45 -45 45 
90 66 -1 0 0 0 0 0 
94 85 0 1 85 85 85 85 
98 72 1 2 144 288 576 1.162 
102 54 2 3 162 486 1.458 4.374 
106 38 3 4 152 608 2.432 3.728 
110 27 4 5 135 675 3.375 16.875 
114 18 5 6 108 648 3.888 23.328 
118 11 6 7 77 539 3.773 26.411 
122 5 7 8 40 320 2.560 20.480 
126 2 8 9 18 162 1.458 13.122 
n= _T.f;=480 T.V:tf+11f;=716 'I:, V:tf + 1 l2f; = 4.356 T.V:tj + 1l3f1=17.828 T.Vif +114f;= 122.148 
}";(dj + l)f; == 716 e (r.dffj + n) == 236 + 480 == 716 
r.(dj + 1)2!; == 4.356 e ("T.,dJ2fj + 2"J;djfj + n) = 
== 3.404 + (2 x 236) + 480 = 4.356"J;(dj + 1)3!; == 17.828 e ("J;dj3fj + 3"J;dj2fj + 3"J;djfj + n) == 
== 6.428 + (3 x 3.404) + (3 x 236) + 480 == 17.828 
"J;(dj + 1)4!; == 122.148 e ("T.,dJ4fj + 4"kdj3fj + 6"kdj2fj + 
+ 4"kdjfj + n) == 74.588 + (4 X 6.428) + 
+ (6 x 3.404) + (4 x 236) + 480 == 122.148 
Esses resultados perrnitem afirmar que os caJ.culos dos valores cons­
tantes da Tabela 8 estao corretos. 
b) Co"effio de Sheppard para os Momentos 
Os momentos centrados sao corrigidos atraves das seguintes express6es, 
onde c == amplitude do intervalo de classe: 247 
248 
Var!iincia corrigida (momento centrado de segunda ordem corrigido) 
m2 ( corrigido) = m2 - /
2 
c2 
.-------OU ------1 
1 2 s2 ( corrigido) = s2 - TI c 
Momento centrado de quarta ordem corrigido 
c2m2 7c
4 
m4 ( corrigido) = m4 - -2- + 240 
onde m2 = s2• 
(19) 
(20) 
Observa�o: os momentos de primeira e terceira ordem nao sao corrigidos. 
Exemp/o 11: 
Usando OS dados do problema 9, corrigir, pelo metodo de Sheppard OS 
momentos centrados (na media) de segunda e quarta ordens. 
Os momentos centrados na media, de segunda e quarta ordens, obtidos 
no exemplo 9, sao: 
m2 = 109,5988 m4 = 35.627,2853 e c=4 
Assim, 
2 42 
a) m2 (corrigido) = m2 - TI = 109,5988 - TI = 108,2655 
I m2 (corrigido) = 108,2655 I 
2 7c
4 
b) m4 (corrigido) = m4 -
c ;2 
+ 240 
= 
42 x 109,5988 7 x 4
4 
= 35.627,2853 -
2 + � 
= 
= 34.757,9616 
m4 (corrigido) = 34.757,9616 
Observa�o: Quando os momentos se referirem a popula�ao, ao inves de 
serem simbolizados por m serao pela letra grega µ (pronuncia-se mi). Assim, 
µ; = momento natural de ordem r para a popula�ao; 
xoµ; = momento de ordem r em rela�ao a origem arbitraria x0; 
µ, = momento de ordem r centrado da media. 
Na populayao, 
µ: OU simplesmente µ representa a media (momento natural de primeira 
ordem); 
µ� ou a2 (sigma) designa a variancia (momento centrado de segunda 
ordem). 
6.3. MEDIDAS DE ASSIMETRIA OU DE ENVIESAMENTO 
Assimetria, como o pr6prio nome insinua, significa desvio ou afasta· 
mento da simetria. Em outros termos, assimetria e o grau de deformayao 
de uma curva de freqiiencias (polfgono po lido). 
Quanto ao grau de deformayao ou assimetria, podemos ter tres tipos 
de curvas de freqiiencia: 
a) Curva Simetrica ou Distribuifffo Simetrica 
Uma distribuiyao de freqiiencias simetrica apresenta como caracteris­
tica principal o fato de as tres medidas de tendencia central mais usadas -
moda, media aritmetica e mediana - serem iguais. Em termos graficos, a 
curva de freqiiencias apresentara as duas caldas com a mesma configurayao 
(Grafico 6.1). 
GRAFICO 6.1 - CURVA DE i=REQU£NCIAS SIMETRICA, 
SEM DEFORMACAO 
er x=Md=Mo 
x =Md= Mo j (21} 
Xj 
b) Curva ou Distribuifffo de Frequencias As simetrica Positiva ou 
Desviada (Deformada) a Direita 
Toda distribuiyao deformada e sempre assimetrica. Entretanto, a assi­
metria pode dar-se na cauda esquerda ou na direita da curva de freqiiencias. 
Uma distribuiyao com deformayao positiva se apresenta com uma 
cauda mais alongada a direita da ordenada maxima (ordenada correspondente 
a moda) do que a esquerda. 0 Grafico 6.2 ilustra melhor. 249 
250 
Nas distribui�oos assimetricas a direita, ha uma predominancia de 
valores superiores a moda. Os valores concentram-se na extremidade inferior 
da escala. Nestas circunstancias podemos escrever: Mo Mo > Assimetria positiva 
x = Mo > Simetria 
x ' x = 
n 
"£x;f ; - I x = --
n 
"£x;f; 
- I x = --
n 
Cdlculo das Modas (Metodo de Czuber) 
= = 36,82 55 
1.575 = 35 45 
1.825 = 33,18 
55 
fMo - fant 
Da Tabela 6.13 >Mo =I+ c 2 F - {F + [, . ) = JMo Vant post 
20 - 15 = 40 + 10 (2 x 20) - (15 + 5) = 
= 42,50 
15 - 10 
Da Tabela 6.14 > Mo = 30 + 10 (2 X 15) _ (10 + 10) = 
= 35 
20 - 5 
Da Tabela 6.15 ===>Mo= 20 + 10 (2 X 20) _ (5 + 15) = 
252 = 27,50 
Temos, entlfo, 
Primeira Distribuiylfo 
x = 36,82 e Mo = 42,5 ===> x Assimetria Nega-
tiva 
Segunda Distribuiylfo 
x = 35 e Mo = 35 x = Mo Simetria 
Terceira Distribuiylfo 
x = 33,18 e Mo= 27,5 x >Mo Assimetria Posi­
tiva 
6.3.2. Coeficiente Hndice) de Pearson 
Uma medida usada muito freqiientemente para avaliar o grau de 
assimetria ou de deformaylfo de uma distribuiylfo e o coeficiente sugerido 
por Karl Pearson, o qual se calcula mediante as expressoes: 
a) Primeiro Coeficiente de Enviesamento (ou Assimetria) de Pearson 
Sfmbolo: e1 
Definiyao: 
x -Mo 
s 
b) Segu,ndo Coeficiente de Assimetria de Pearson 
Sfmbolo: e2 
Definiylfo: 
3(x - Md) 
s 
Observa�s: 
(24) 
(25) 
1. Alguns autores preferem o s{mbolo Sk em lugar do sfmbolo e pa�a 
designar a assimetria de uma distribuiylfo;S e k correspondem as primeiras 
letras da palavra inglesa "skewness", traduzida por deformaylfo ou assi­
metria. 
2. A expresslio 25 decorre da relaylfo empirica proposta por Pearson, apre­
sentada no Capitulo 4 (expresslfo 42): 
(x - Mo)=== 3(x - Md) 
Da expresslfo (24) tiramos, por substituiylio: 
x -M0 ::: 3(x - Md) 
s s 
que e a formula (25) vista acima. 
Como essas relay6es slfo aproximadas e nao exatas, somente quando a 
distribuiylfofor simetrica elas se equivalerlfo. 253 
A (24) tern o inconveniente de requerer a determina9lio previa da moda. 
Tratando-se, entretanto, de distribui9oes que nao se apresentem com 
forte assimetria, deve-se dar preferencia a expressao (25). 
3. A expresslio (25) pode alcanyar um valor te6rico de ±3. Todavia, nao 6 
comum o aparecimento de curvas de freqilencias com deforma9lio 
superior a ± 1. 
Exemplo 13: 
Admitindo-se que numa distribui9lio de freqilencias x = 95, Md= 90 
e s = 33,33, calcular o segundo coeficiente de Pearson e interpretar o 
resultado. 
= 3(x -Md) e2 
s 
j e2 = 0,45 ou 45% 
Exemplo 14: 
3(95 - 90) 
33,33 
15 
33 33 = +o.45 
' 
===> Assimetria positiva 
Calcular o primeiro e o segundo coeficientes de Pearson para as distri­
bui90es de freqilencias do exemplo 12. 
Os valores necessarios para determinar as medidas que comporlio o 
coeficiente de Pearson ja se encontram calculados nas tabelas constru{das 
na solu9ao do exemplo 12. 
Stlgunda Oi6tribu!Po Terct1in1 Di1tribuifio 
(Tabela 131 (Tabela 141 ITabela 151 
ii = 'E.x;fj = 2.025 = 36 82 · n 66 ' ii= 'E.x;f; = 1.5 75 = 35 n 4 5 ii= 'E.xjfj. = 1.825 = 33 18 n 5 5 ' 
Mode (Czuborl 
Mo= 40 + 10 12 X 2�� = 11,5
5 + 51 = 42,5 0 Mo= 30+1012 x 11:,::: :�o+ 101 
=36 Mo =20+1012 x 2::;:=�5 + 151 =27,50 
.!!.-Fant 
Md=!+ c-2 __ = 30+10 27,5-15 = Md= 30+10 22,5
15-
15 =35 
fMd 15 
Md=30+10 27�;25 =31,67 
254 
=38.33 
Ji 
curva sim�trica 
b) Cdlculo do Segundo Coeficiente de Pearson 
A formula 25 nos da 
ez = 
3(.X - Md) 
s 
Primeira Distribuii;io 
3 (36,82 - 38,33) 
62 = 
11,24 
= 
=-0.40 
Assimetria negativa 
Segunda Distribuii;io 
82 = 
3 (35 -35) 
= 0 
11,68 
Assimetria nu la > 
� simetria 
Terceira Distribuii;io 
= 
33,18 -27,50 
046 81 12,45 
• 
Assimetria positiva 
Terceira Distribuii;io 
.3 (33,18 - 31,67) = 
83 = 
12,45 
= 0,36 
Assimetria positiva 
Os primeiro e segundo coeficientes de Pearson difei:em em valor, mas 
nao em sinal, como pode ser observado nos resultados apresentados nas 
Tabelas 18 e 19. 255 
256 
6.3.3. Coeficiente Quartil de Assimetria 
Sfmbolo: eQ 
Outra medida de assimetria freqiientemente usada e o coeficiente 
quartil de assimetria, que, em seu calculo, recorre aos tres quartis. Trata-se 
de uma medida muito util quando nlro for possfvel empregar o desvio-padriio 
como medida de dispersao, mas apenas alguma medida que dependa dos 
quartis . 
0 coeficiente quartil de assimetria e definido pela seguinte relayiio: 
(Q3 - Md) - (Md - Qi) 
eQ 
(Q3 - Md) + (Md - Qi) 
OU (26) 
Q3 -2Md+ Qi eQ = 
Q3 - Qi 
a qual revela que a assimetria e uma quantidade tomada como o quociente 
entre a diferenya entre os afastamentos dos quartis e sua soma. 
0 coeficiente quartil de assimetria assume valores entre os limites 
+l e-1. 1..----1- �-e-Q-�-1 ....... I 
Exemplo 15: 
Calcular o coeficiente quartil de assimetria para as tres distribuiyoes 
do exemplo 12. 
A mediana (segundo quartil) das tres distribuiyoes ja foi calculada no 
exemplo anterior: 
Primeira distribuiyiio: Md = 38,33 
Segunda distribuiyiio: Md = 35 
Terceira distribuiyiio: Md = 31,67 
Resta calcular os primeiro e segundo quartis: 
Primeira Distribuit;io 
n 
01 =l+c 
4-Fant 
'a, 
= 
= 20 + 10 13•75 - 5 = 28 75 10 ' 
3n 
03 =·/ + c 
4 -Fant 
'o, 
= 
=40 + 10 41,25-30 = 20 
=45,625 
Ssgunda Distribuir;lo 
o, =20+ 10 11,25-5 = 10 
=26,25 
Q = 40 + 10 33,75 - 30 
3 10 
= 43,75 
= 
Terceira Distribuir;iio 
a, = 20 + 10 13,75 - 5 = 20 
= 24,375 
0 =40+1041,25-40 
3 10 
= 41,25 
= 
Determinemos agora o coeficiente quartil de assimetria. 
Primeira Distribuirao 
Q3 - 2Md +Qi 45,625 - 2 x 38,33 + 28,75 
= = 
Q3 - Qi 
- 2,285 
16 875 
= - 0•135 
' 
45,625 - 28,75 
eQ = - 0,135 > Assimetria Negativa 
Segunda Distribuifiio 
43,75 - 2 x 35 + 26,25 
eQ = 
43,75 - 26,25 
I eQ = o I > Simetria 
Terceira Distribui¢o 
=0 
41,25 - 2 x 31,67 + 24,375 
eQ = 
41,25 - 24,375 
2,285 
= 
16,875 
= 0•135 
I eQ = 0,135 I ==> Assimetria Positiva 
6.3.4. Coeficiente de Assimetria entre os Percentis 10 e 90 
Sfmbolo: ec 
0 coeficiente de assimetria entre os percentis 10 e 90 obedece ao 
mesmo principio que o coeficiente quartil de assimetria, mas, neste caso, 
temos um quociente entre a diferenya entre os afastamentos dos percentis 
em relayao a mediana (quinquagesimo centil) e sua soma. Em termos de 
f6rmula: 
(C90 - Md) - (Md - C10) 
(C90 - Md)+ (Md - C10) 
,__�����ou�����-- Assimetria Negativa 
= O 
> Simetria 
Terceira Distribuifllo 
49,5 - 2 x 31,67 + 20,25 ec = 
49,5 "'."" 20,25 
= ��
5 
= 0,219 
' -1 e-c =-0-,2 -19--.1 ===:> Assimetria Positiva 
6.3.5. Coeficiente Momenta de Assimetria 
Slmbolo: eM 
Outra medida utilizada para avaliar a assimetria de uma distribui¢o 
de freqiiencias e o coeficiente momenta de assimetria, calculado com base 
nos momentos centrados da segunda, terceira e quarta ordens, que e definido 
por: 
on de 
Vb. (b2 + 3) 
mi m4 
b1 = -3 e b2 = -2 m2 m2 
(28) 
Algumas vezes utiliza-se apenas a raiz quadrada de b1 para representar 
o coeficiente de assimetria, ou seja: 
onde m2 = s2 e '17ii; = s. 
Exemplo 17: 
=--
s3 (29) 
Com os dados do exemplo 9, calcular o coeficiente momento de 
assimetria da distribui�o dos coeficientes de inteligencia. 
Precisaremos, para resolver o problema, dos seguintes dados ja calcu­
lados no exemplo 9 (item II), os quais serao arredondados ate a segunda 
casa decimal: 
m2 = 109,60 >mi = 12.012,16 ===> m: = 
= 1.316.532,74 ===> v'm� = 1.147,40 
m3 = 202,82 > mi = 41.135,95 
m4 = 35.627,29 
Com esses dados, podemos calcular o coeficiente momenta de assi­
metria. Antes, porem, e Conveni.ente determinar OS valor es de bl e b2• 
(202,82)2 
(109,60)3 
41.135•95 
= 0,0312457 1.316.521,74 259 
260 
e VF; = 0,1768 
b = 
m4 
= 
35.627,29 
= 2 9659 2 2 12 012 16 ' m2 
. 
' 
VF; (b2 + 3) 
eM 
= = 
1 2(5b2 - 6b1 - 9) 
= 
0,1768 (2,9659 + 3) 
= 2[(5 x 2,9659) - (6 x 0,0312457) - 9] 1,0548 1,0548 
= 2(14,8295 - 0,1875 - 9) = 2 x 5,6420 = o,o93 
==:> Pequena Assimetria Positiva _ 
eM2 
= 
Vf}; 
= 
202,82 
= 0,1768 � 1.147,40 
6.4. MEDIDAS DE CURTOSE 
eM2 
= 0,1768 
A curtoseou excesso indica ate que ponto a curva de frequencias de 
urna distribui�ao se apresenta mais afilada ou mais achatilda do que urna 
curva-padrao, denorninada curva normal. De acordo com o grau de curtose, 
podemos ter tres tipos de curvas de frequencia: 
a) Curva ou Distribui¢o de Frequencias Mesocilrtica 
Se a curva de frequencias apresentar um grau de achatamento equiva­
lente ao da curva normal, ela sera denominada curva mesocfutica (Grafico 6.4). 
GRAFICO 6.4 - CURVA DE FREQUISNCIAS NORMALMENTE ACHATADA 
(MESOCURTICAI 
b) Curva ou Distribuifiio de Frequendas Platic:Urtica 
Urna curva platicfutica apresenta-se com alto grau de achatamento, 
superior ao da normal, conforme pode ser observado no Grafico 6.5. 
c) Curva ou Distribuifiio de Frequencias Leptocilrtica 
Urna curva leptocurtica revela um alto grau de afilamento, superior ao 
normal. 
GRAFICO 6.5 - CURVA DE FREQUENCIAS EXCESSIVAMENTE ACHATADA 
(PLATICURTICAI 
GRAFICO 6.6 - CURVA DE FREQUENCIAS MUITO AFILADA 
(LEPTOCURTICAI 
Para avaliar o grau de curtose de uma curva ou distribui�ao de fre­
qtiencias, usaremos dois tipos de medidas: 
6.4.1. Coeficiente Percentrlico de Curtose 
Simbolo: k 
0 coeficiente percenti1ico de curtose e a medida mais elementar usada 
para avaliar o grau de curtose de uma distribui�ao ou curva de freqtiencias. 
E definido pela seguinte expressao: 
k = Dq · I C90 - Cao _ 
(30) 
261 
262 
on de 
Q3 - Qi 
Dq = Desvio quartilico (Capitulo 5)" = 
2 
C90 = Nonagesimo centil 
C1o = Decimo centil 
Se 
k = 0,263 > curva ou distribui?o mesocurtica 
k > 0,263 ==> curva ou distribuiyao platicurtica 
k curva ou distribuiyao leptocurtica 
Exemplo 18: 
Calcular o coeficiente percentilico de curtose das distribuiy6es de 
frequencias apresentadas no exemplo 12. 
Os dados necessarios para determinar o coeficiente percentilico de 
curtose encontram-se ja calculados nos exemplos 15 e 16, a saber: 
Primeira Distribuit;iio 
03 = 45,625 
01 = 28,75 
(03 - 011 = 16,875 
03 - 01 
Dq = 2 = 8,4375 
C90 = 49,75 
C10 = 20,5 
(C90 - C1ol = 29,25 
Segunda Distribuii;iio 
03 = 43,75 
01 = 26,25 
(03 - 011 = 17,5 
Dq = 8,75 
C90 = 51 
C10 = 19 
(C90 - C1ol = 32 
Terceira Distribuii;iio 
03 = 41,25 
01 = 24,375 
(03 - 011 = 16,875 
Dq = 8,4375 
C90 = 49,5 
C10 = 20,25 
(C90 - C1ol = 29,25 
0 calculo do coeficiente agora e imediato: 
Primeira Distribuirilo 
Ds 
k= 
C9-0 - C10 
I k = o,288 
Segunda Distribuirilo 
k = 
Dq 
C90 - C10 
1 k = 0,273 1 
Terceira Distribuirilo 
D 
k = q 
C90 - C10 
k = 0,288 
= 
8,4375 
= 0 288 29,25 ' 
> Distribui?o Platicurtica 
8•75 = 0 273 
32 ' 
> Distribuiyao Platicurtica 
8,4375 = 0 288 
29,25 ' 
> Distribuiyao Platicurtica 
6.4.2. Coeficiente Momento de Curtose 
Simbolo: b2 
· 0 coeficiente mQmento de curtose utiliza-se do quociente entre o 
momento centrado de quarta ordem e .o quadrado do momento centrado 
de segunda ordem ( variancia ), ou seja: 
OU (31) 
Obserw�o: A quantidade b2 aparece na formula do coeficiente momento 
de assimetria apresentado anteriormente (item 6.3.5). 
Se b2 = 3 > distribuiyao ou curva mesoc6rtica 
Exemplo 19: 
b2 distribui�o ou curva platicurtica 
b2 > 3 > distribui�o ou curva leptoc6rtica. 
Calcular o coeficiente momento de curtose da distribuiyao dos coefi­
cientes de inteligencia com os dados do problema 9. 
Recorreremos aos seguintes valores ja calculados no exemplo 9. 
m4 = 35.627,29 
m2 = s2 = 109,60 > mi = 12.012,16 
Entao, 
= 
35.627,29 
2 966 - 3 0 
12.012,16 = ' = ' 
b2 = 2,966 === 3,o I ==> Distribui�o Mesocurtica 
A curtose pode ser medida igualmente pelo coeficiente c2: 
I C2 = b2 - 3 
Teriamos, entao: 
c2 = 0 curva mesocurtica 
c2 > 0 · > curva leptocurtica 
c2 curva platicurtica 
(32) 
263 
264 
EXERCfCIOS PROPOSTOS 
6.1. Dada a distribui�o de salarios abaixo, determinar: 
6.1.1. A mediana. 
6.1.2. Primeiro quartil. 
6.1.3. Terceiro quartil. 
6.1.4. Momento natural de H ordem. 
6.1.5. Momento natural de 2� ordem. 
6.1.6. Desvio quartil. 
6.1.7. Momento centrado de 2� ordem. 
6.1.8. Segundo coeficiente de assimetria de Pearson. 
Sa/Arias Freqiiincias 
201---25 10 
251---30 15 
301--- 35 20 
351--- 40 18 
401-- 45 4 
67 
6.2. Com os dados do exercicio anterior, determinar: 
6.2.1. Primeiro coeficiente de assimetria. 
6.2.2. Coeficiente quartil de assimetria. 
6.2.3. Coeficiente percentilico de curtose. 
6.3. A tabela abaixo apresenta a porcentagem de bacterias encontradas 
por cm em 100 amostras de determinado produto. 
Classes Freqiiincias 
% fj 
0,0----10,1 2 
0, 1 ----1 0,2 5 
0,2 ----1 0,3 10 
0,3----10.� 15 
0.4 ----10,5 18 
0,5 ----10,6 18 
0,6----10,7 15 
0,7 ----10,8 10 
0,8 ----1 0,9 5 
0,9 ----l 1,0 2 
100 
Pede-se: 
6.3.1. Coeficiente percentilico de curtose. 
6.4. 
6.3.2. Coeficiente quartil de assimetria. 
6.3.3. Primeiro coeficiente de assimetria. 
6.3.4. Segundo coeficiente de assimetria. 
6.3.5. Coeficiente de assimetria entre os percentis 10 e 90. 
Determinar o coeficiente percentilico de curtose dos dados da tabela 
seguinte: 
ClaSSllS 
21-- 4 
41-- 6 
61-- 8 
81---10 
101---12 
2 
8 
10 
8 
2 
30 
6.5. Assimetria ou enviesamento : 
a) ocorre quando uma curva de frequencias apresenta um desvio-padrao 
grande; 
b) e o grau de deforma9ao de uma curva de freqilencia; 
c) e o achatamento de uma curva de freqilencias; 
d) e o desvio de uma curva de freqilencias com rela9ao a uma origem 
arbitraria; 
e) n.r.a. 
6.6. Dados os resultados: 
M0 = 30 
Md= 28 
x = 22 
podemos afirmar que a curva de freqilencias e: 
a) mesocurtica; 
b) simetrica; 
c) assimetrica negativa; 
d) assimetrica positiva; 
e) assimetrica leptocurtica. 
6. 7. 0 coeficiente de curtose para uma determinada distribui\:ifo de fre· 
qilencias apresentou o seguinte resultado: k = 0,278. Podemos, entio, 
afirmar que a curva e: 
a) assimetrica positiva; 
b) leptocurtica; 
c) mesocurtica; 
d) simetrica; 
e) platicurtica. 
6.1. 6.1.1. 
6.1.2. 
32;13 
27,25 
RESPOSTAS DOS EXERC[CIOS PROPOSTOS 
265 
266 
6.1.3. 36,46 
6.1.4. 31,83 
6.1.5. 1.045,80 
6.1.6. 4,61 
6.1.7. 32,76 
6.1.8. -0,16 
6.2. 6.2.1. -0,30 
6.2.2. -0,06 
6.2.3. 0,29 
6.3. 6.3.1. 0,272 
6.3.2. zero 
6.3.3. zero 
6.3.4. zero 
6.3.5. zero 
6.4. 0,295 
6.5. b 6.6. c 6.7. 
OUTROS EXERC[CIOS COM SOLUC0ES 
1. Seja a tabela abaixo: 
ClaSS111 
1001--110 
1101--120 
1201--130 
1301---140 
1401--150 
Freqiilncia1 
2 
4 
6 
6 
2 
e 
a) construir o histograma da distribui�ao de freqiiencias correspondente 
(freqiiencias absolutas e freqiiencias relativas). 
b) construir o poligono de freqiiencias absolutas e relativas. 
c) construir o polfgono de frequencias acumuladas "abaixo de" (absolutas e 
relativas). 
2. Tres moedas foram lan�adas duzentas vezes, sendo anotado o nfunero de 
coroas que apareceram em cada lance. 
Nfunero de coroa1 
Xf 
0 
1 
2 
3 
Numero de lanCBI 
'i 
16 
51 
84 
49. 
a) Construir o grafico correspondente a distribui�ao de freqiiencias expressa 
pela tabela. 
b) Construa a tabela de freqiiencias absolutas acumuladas e o grafico 
corresponden te. 
3. Os dados abaixo representam os acidentes com veiculos ocorridos no 
munidpio de Gerivo no periodo de 1966 a 1970. 
Numero de acidentes Numero de meses 
fj 
1 0001---1 100 3 
1 1001---1 200 8 
1 2001---1 300 10 
1 3001---1 400 20 
1 4001---1 500 11 
1 5001--1 600 5 
1 6001---1 700 3 
a) Construir o poligono de freqiiencias absolutas e relativas. 
b) Construir o poligono de freqiiencias acumuladas absolutas e relativas. 
c) Qua! a percentagem de meses com mais de 1 400 acidentes? 
d) Qual a percentagem de meses com menos de 1 500 acidentes? 
e) Qual a percentagem de meses com mais de 1 300 e menos de 1 600 aci­
dentes? 
4. Uma empresa procurou estudar a ocorrencia de acidentes com seus 
empregados, tendo, para isso, realizado um levantamento abrangendo um 
periodo de 36 meses, conforme tabela: 
Numero de operarios 
acidentados par mis (xjl 
1 
2 
3 
4 
56 
7 
8 
9 
10 
Numero de meses 
(fjl 
1 
2 
4 
5 
7 
6 
5 
3 
2 
a) Construir um grafico representando as freqiiencias simples absolutas. 
b) Construir um grafico representando as freqiiencias acumuladas "abaixo 
de". 267 
268 
c) Em quantos por cento dos meses houve seis empregados acidentados? 
d) Em quantos por cento dos meses houve ate quatro empregados aci­
dentados mensalmente? 
5. Uma empresa apresentou a seguinte evolu�ao de vendas de um de seus 
artigos, no periodo de dois anos, computados trimestralmente: 
Peflodo ft) 1971 1972 
Trimestres 19 29 39 49 19 29 39 49 
Vendas 100 120 95 90 120 140 113 108 
Representar a evolu�ao das vendas, atraves de um grafico em linha. 
6. Um produto e vendido por apenas tres empresas, em um determinado 
mercado. Em 1972, para um total de 18 000 unidades vendicias, tivemos 
a seguinte distribui�ao das vendas pelas tres empresas: 
Empress A B c 
Vendas 7 200 4 800 6 000 
Representar graficamente (grafico em setores) a distribui�ao das vendas 
de cada empresa (distribui�ao absoluta e percentual). 
7. Calcular a media aritmetica do seguinte conjunto de valores: {5, 7, 3, 
2, 9, 10, 11, 6, 5, 2}. 
8. A tabela seguinte representa a distribui1Jao dos salarios mensais dos ope­
rarios de uma empresa. 
Sa/Brios Numero de 
(Cr$) empregados ff) 
2801-- 400 15 
4001-- 520 30 
5201-- 640 20 
6401-- 760 10 
7601-- 880 4 
8801--1 000 
Calcular 0 Salano medio pago aos operanos. 
9. Uma prova de estatistica realizada numa classe com cinqiienta alunos 
apresentou os seguintes · resultados: 
Notas (xj) 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
NC? de alunos (fj) 2 4 5 6 7 8 7 5 3 2 
Calcular a media aritmetica das notas. 
10. Seja o seguinte conjunto de nfuneros: {5, 7, 9, 11, 13}. Mostrar que 
somando ou subtraindo, a cada valor do conjunto, a constante 4, a 
media resultante ficara somada ou subtraida dessa quantidade. 
11. Considere o seguinte conjunto de mimeros: {210, 212, 223, 231, 242, 
253, 264, 275}. 
a) Calcular a media aritmetica desses nfuneros pelo metodo normal. 
b) Calcular a media aritmetica pelo metodo abreviado, fazendo Xo = 230 
(media arbitraria). 
c) Compare os resultados. 
12. Dada a seguinte distribui�ao de frequencias: 
Classes 
Ol-- 4 
41-- 8 
81---12 
121---16 
161--20 
201---24 
241---28 
281---32 
a) Calcular a media aritmetica pelo metodo normal. 
2 
4 
7 
16 
26 
12 
6 
2 
b) Fazendo agora x0 = 16 (media arbitraria), calcular a media pelo 
metodo abreviado. 
13. Um aluno recebeu as seguintes notas finais: 82 em Matematica, 90 em 
Estatistica, 65 em Hist6ria e 70 em Geografia. Atribuindo-se a essas 
materias, respectivamente, os pesos 3, 3, 2, 1 calcular a media aritmetica 
das notas recebidas pelo aluno. 
14. Em uma classe, dez alunos tern 18 anos de idade, quinze tern 19 
anos, catorze tern 20 anos, e um tern 21 anos. Calcular a idade media 
da classe. 
15. Se tomarmos x0 = 10 como a media arbitraria de um conjunto 
de mimeros, chegaremos aos seguintes desvios, calculados em rela�ao 
a x0: {-4, -1, 2, 0, 3, -3, 5, 1}. Calcular a media verdadeira do 
conjunto. 269 
16. Considere a seguinte distribuiyiio de freqiiencias: 
Vari,val (x) 870 871 872 873 874 875 876 
Fr«1iilncias (f) 2 4 6 8 7 4 
Calcular a media aritmetica dos valores pelos metodos normal e abreviado. 
Para 0 segundo metodo, tomar Xo = 873. 
17. A tabela seguinte refere-se a uma distribui�o de freqiiencias do compri­
mento de cem barras de ferro: 
Comprirmmto (cm) Numero de barras (f) 
751----100 2 
100 I-- 125 4 
125 I-- 150 11 
150 I-- 175 18 
175 I-- 200 31 
200 I-- 225 22 
225 I-- 250 9 
250 I-- 275 2 
275 I-- 300 1 
Calcular a media aritmetica das cem barras, usando o metodo abreviado 
e fazendo x0 = 187,5 e c = 25. 
18. Sejam os seguintes conjuntos de nfuneros: A= {10, 11, 12, 13, 14, 15} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Calcular a media aritmetica dos dois conjuntos 
e comparar os resultados, 
19. Calcular a moda dos seguintes conjuntos: A = {3, 5, 7, 9, ll};B = {3, 5, 
5, 7, 7, 7, 9, 9, 11} e C = {l, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 11}. 
20. Numa certa seyiio de uma empresa foram levantadas as idades dos fun­
cionarios, chegando-se aos seguintes resultados: 
ldades (x) 25 26 27 28 29 30 
N9 de emprsgados (f) 2 4 6 7 5 
Qual a idade modal dos empregados dessa seyiio? 
21. Calcular a moda dos valores apresentados na tabela abaixo. 
a) Pelo metodo de King. 
270 b) Pelo metodo de Czuber. 
Classes fj 
10f--20 5 
20f--30 10 
30f--40 15 
40 1--50 8 
501--60 2 
40 
22. Seja a seguinte tabela: 
Classes 
Freqiiencias acumuladas 
"Abaixo de" 
Of-- 4 
41-- 8 
Sf-- 12 
121--16 
161--20 
201--24 
241--28 
281--32 
a) Qual e a classe modal? 
2 
6 
13 
29 
55 
67 
73 
75 
b) Qual e o valor da moda bruta da distribui�ao? 
c) Determinar a moda pelo metodo de Czuber (pela formula e grafica­
mente ). 
23. Determinar o elemento mediano dos seguintes conjuntos de numeros: 
A = {2, 4, 11, 13, 16, 18, 20} e 
B = {2, 4, 11, 13, 16, 18}. 
24. A tabela abaixo apresenta as notas obtidas por vinte alunos, em uma 
prova de Estatistica: 
Nora (x) 2 3 4 5 6 7 8 
/119 de alunos ff) 2 3 5 4 3 2 
Determinar a nota mediana. 
25. As notas obtidas por 21 alunos em uma prova de Conhecimentos Gerais 
estao anotadas na tabela abaixo: 
Notas (x) 4 5 6 7 8 9 10 
/119 de alunos ff) 2 4 5 4 4 
Calcular a nota mediana da classe. 271 
272 
26. Calcular a mediana da seguinte distribui�ao de freqtiencias: 
Classe.s Freqiilncia.s (f} 
401-- 50 1 
501-- 60 3 
601---- 70 6 
701--- 80 11 
801--- 90 19 
901----100 35 
1001---110 27 
1101--120 15 
1201---130 14 
1301---140 7 
1401---150 5 
1501---160 2 
1601--170 
27. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retangulos foram anotadas 
as freqtiencias simples absolutas, calcular a mediana do conjunto (Gra­
fico XIV). 
GRAFICO XIV 
rif1h __ 
1
.._
0 
__ 
2
_.
0 
___ 30..__ __ 40...._ _ __.50.__ __ 60......___,.� Classes 
28. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retangulos foram anotadas 
as freqilencias simples relativas, calcular a mediana do conjunto (Gra­
fico XV). 
GRAFICO XV 
15% 20% 30% 25% 10% 
__, __ __._ __ ..._ __ '--_ __._ __ .....___.� Classes 
10 20 30 40 50 60 
29. Dado abaixo o poligono de freqiiencias relativas acumuladas, determinar 
a mediana do conjunto (Grafico XVI). 
F rj Pol (gono de freqii6ncias relativas acumulades 
100 
90 
80 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
GRAFICOXVI 
0 .....__,._ _ __..__ _ _._ __ .._...._ ........ __ ..._ _ __._ JC 
50 150 250 350 400 450 550 650 
30. Seja o seguinte histograma, no interior de cujos retangulos estao anotadas 
as freqiiencias simples absolutas (Grafico XVII). 
100 200 
5 6 4 3 
300 400 500 600 
GRAFICO XVII 
JC 
273 
a) Calcular a media, a moda (Czuber) e a mediana do conjunto. 
b) Calcular a moda, usando a rela�io de Pearson. 
31. Seja a seguinte distribui�ao de freqiiencias: 
501-- 60 
60r--- 70 
701-- 80 
80r--- 90 
901--100 
1001--110 
1101--120 
Freqiiincias ff) 
8 
10 
17 
13 
9 
6 
2 
a) Calcular o primeiro, o segundo e o terceiro quartis. 
b) Calcular o primeiro, o segundo e o oitavo decis. 
c) Calcular o vigesimo, o trigesimo quarto e o septuagesimo quinto centis. 
32. Dado o poligono de freqiiencias abaixo, calcular o primeiro quartil e a 
mediana da distribui�o (Grafico XVIII). 
GRAFICO XVIII 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
0 10 20 30 40 50 
33. Seja a seguinte tabela de freqiiencias: 
Clas!llll f 
Of-- 20 2 
201---- 40 3 
401---- 60 6 
601---- 80 3 
801----100 2 
27 4 Calcular a media, a moda e a mediana. 
60 
34. A amplitude total de urn conjunto de n6meros e 500. Se a distribui�ao 
de freqiiencias apresenta vinte classes, qual devera ser o limite inferior e 
0 ponto medio da quinta classe, se 0 limite superior da primeira classe 
e igual a 35? 
35. Dado o conjunto de n6meros, A = {-10, -5, 2, 3, 6, 9, 10}, qual e 
o valor da amplitude total do conjunto? 
36. Calcular o desvio medio do seguinte conjunto de n6meros:A = {300, 400, 
500, 600, 700}.37. Dada a distribui�ao de freqiiencias abaixo, calcular 0 desvio medio. 
2 3 4 5 6 
3 5 5 3 
38. Considere a seguinte tabela de freqiiencias: 
1,5.1--1,6 
1,61--1,7 
1,71--1,8 
1,81---1,9 
1,91--2,0 
2,01--2,1 
2.11---2.2 
f 
4 
8 
12 
15 
12 
8 
4 
Calcular o desvio medio da distribui�o. 
39. Calcular a variincia e o desvio padrio dos seguintes conjuntos de n6meros: 
A= {O, 0, 0,1, 1, l} e B = {-2,-1, 0, 1, 2}. 
40. A distribui�o de freqiiencias seguinte representa o n6mero de pe�as 
defeituosas produzidas por uma maquina em 31 dias de observa�ao. 
Calcular o desvio padrao do n6mero de pe�s defeituosas pela f6rmula 
original e pela f 6rmula desenvolvida. 
N9 de di• (f) 
2 3 4 
3 5 15 5 3 
41. A distribui�ao de freqiiencias dos pesos de cem operarios de uma fabrica 
e a seguinte: 
c1- (f>B$os} N9 de operlrios (f} 
501--58 10 
581--66 15 
661--74 25 
741--82 24 
821--90 16 
_
_ so
_
1--__ e
_
8_
� 
____ 10 __
__ 
275 
276 
Calcular o desvio padrao dos pesos dos cem operarios, pela f6rmula ori­
ginal e pela f6rmula desenvolvida. 
42. Usando os dados do problema 41, calcular o desvio padrao pelo processo 
breve, fazendo x0 = 70. 
43. A distribuiyao da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas 
casas pertencentes a uma empresa imobiliaria encontra-se na tabela 
abaixo. 
Renda semanal Numero de casas (f) 
751----125 12 
1251----175 26 
1751---- 2251 45 
2251----275 60 
2751---- 325 37 
3251---- 375 13 
375f---425 7 
Calcular o desvio padrao da renda semanal, pelo processo breve e com o 
uso da variavel reduzida, fazendo x0 = 250 e c = 50. 
44. Dados os conjuntos de m1meros, 
A = {220, 230, 240, 250, 260} e 
B = {20, 30, 40, 50, 60}, 
que relayao existe entre os desvios padr5es dos dois conjuntos? 
45. Considere os seguintes conjuntos de m1meros: 
A = {10, 20, 30, 40, 50} e 
B = {100, 200, 300, 400, 500}. 
Que relayao existe entre os desvios padroes dos dois conjuntos de 
nfuneros? 
46. Um teste de estatistica foi aplicado em duas classes, e os resultados da 
avaliaylio foram os seguintes: 
ClasseA { :X=6 
ClasseB { x=7 
s=2 s=l 
Calcular o coeficiente de variayao de Pearson para os dois conjuntos. 
47. Considere os seguintes resultados relativos a tres tabelas de freqiiencias: 
Distribui�io A 
X=50 
Md=50 
Mo= 50 
Distribui�io B 
X=4S 
Md=49 
Mo =50 
Distribui�io C 
X= 51 
Md=50 
Mo =49 
Quanta ao enviesamento das curvas de freqiiencia correspondentes, que 
tipo de distribuiyao temos em cada caso? 
48. Examinando o Grafico XIX, indicar qual das distribuiyOeS apresenta um 
desvio padrao maior (supor que as areas sob as curvas sejam iguais). 
8 
GRAFICOXIX 
49. Considere o polfgono de freqiiencias relativas acumuladas do Grafico XX. 
GRAFICO XX 
Fr FreqUlnciu relatives 
acumuladas 
100 
90 
so 
..Eq3---------------------
70 
60 
50 _Emd·-----------------
40 
30 
20 
10 
0 100 200 300 400 500 
a) Calcular o desvio quartilico. 
b) Calcular a mediana. 
600 700 
277 
278 
50. Calcular o valor do primeiro coeficiente de assirnetria de Pearson usando 
os resultados do problema 4 7, sabendo-se que as variancias das distri­
bui�oes sao, respectivamente: sJ = 4, sj = 4, st: = 2,25. 
51. Sejam as seguintes tabelas de freqiiencias 
I U m 
Classes fj CIS!J$1JS fj Claues 
101--20 2 101--20 3 10.1--20 
201--30 4 201--30 5 201--30 
301---40 6 301---40 7 301---40 
401--50 4 401---50 2 401---50 
501---60 2 501--60 501----60 
a) Calcular o prirneiro coeficiente de assirnetria de Pearson. 
b) Calcular o segundo coeficiente de assirnetria de Pearson. 
c) Calcular o coeficiente quartil de assirnetria. 
52. Seja a seguinte tabela de freqiiencias: 
Classes fj 
1001--200 2 
200 I-- 300 22 
3001--400 52 
4001--500 22 
5001--600 2 
Calcular o coeficiente de curtose da distribuicao. · 
RESOLU1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
80 
x = �x · f = 41 720 = 521 5 n 80 ' 
fj Xj' fj 
1 0 
2 2 
4 8 
5 15 
6 24 
7 35 
8 48 
7 49 
5 40 
3 27 
2 20 
50 268 
340 5 100 
460 13 800 
580 11 600 
700 7 000 
820 3 280 
940 940 
41 720 
- T-xr fj 268 x = = - = 5 36 n 50 ' 
A nota media e, portanto, 
5,36. 
10. lnicialmente, temos: 
Xi = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = � = 9 5 5 
Somando-se 4 a cada um dos valores do conjunto original, teremos: 
{9, 11, 13, 15, 17}. A media desse novo conjunto sera: 
x 2 = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = � = 13 5 5 
A media resultante e igual a media do conjunto original mais a constante 
4. Subtraindo-se, agora, a constante 4 de cada valor do conjunto original, 
teremos: 285 
286 
{1 3 5 7 9} -= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 , , , , e X3 5 5 . 
Esse valor e igual a media do conjunto original menos a constante 4. 
11. a) Metodo normal: 
x 
210 
212 
223 
231 
242 
263 
264 
275 
1:.x; = 1 910 
x = �xi= 1 910 = 238 75 
n 8 ' 
b) Metodo abreviado: x0 = 230 
x;- x0 = 
d; 
-20 
-18 
- 7 
1 
12 
23 
34 
45 
Ll;=10 
�d· 
X =Xo +-
1 
n 
- 70 x = 230 +--s 
x = 230 + 8,75 = 238,75 
c) Os resultados sao absolutamente iguais. 
12. a) Metodo normal 
C/11$111$ Pontomldio 
01--- 4 2 
41--- 8 6 
81---12 10 
121--16 14 
161--20 18 
20t--24 22 
241--28 26 
281--32 30 
'i 
2 
4 
7 
16 
26 
12 
6 
2 
75 
xi• fi 
4 
24 
70 
224 
468 
264 
156 
60 
1 270 
-x-· __ �r f; 
t 210 
n 
=15== 
== 16,93 
13. 
14. 
15. 
b) Metodo abreviado: x0 = 16 
Ponto mtJdio fxj) dj=Xj- Xo 
2 -14 
6 -10 
10 - 6 
14 - 2 
18 2 
22 6 
26 10 
30 14 
-28 
-40 
-42 
-32 
52 
72 
60 
28 
70 
- T.df 70 x = x0 + 
n 
= 16 +75= 16 + 0,93 � 16,93 
Nam (x) PBS06 (p) 
82 3 
90 3 
65 2 
70 1 
9 
/dade Xj N9 de alunos fj 
18 10 
19 15 
20 14 
21 1 
40 
ldade media da classe: � 19 anos. 
"£d, - J x =x0 +­n 
x • p 
246 
270 
130 
70 
716 
Xjfj 
180 
285 
280 
21 
766 
x = 10 + (-4) + (-1) + 2 +8 0 + 3 + (-3) + 5 + 1 
3 = 10 +g-= 10 + 0,375 = 10,375. 
- 716 
x =9 � 79,6 
'T.xj· fj x = = 
n 
. = 766 
= 19 15 40 ' 
287 
288 
16. a) 
Xj 'i 
870 2 
871 4 
872 6 
873 8 
874 7 
875 4 
876 1 
32 
Xj, fj 
1 740 
3 484 
5 232 
6984 
6 118 
3 500 
876 
27 934 
-x = Der fj = 21 934 = 
n 32 
= 
872,9375 
b) Metodo abreviado: x0 = 873 
dj = Xj- X o 'i dj. 'i 
-3 2 -6 
-2 4 - 8 
-1 6 -6 
0 8 0 
1 7 7 
2 4 8 
3 1 3 
32 -2 
X = Xo 
+ "Edrfj __ 2 
n 
873 
+ �
2 
= 873 - 0,0625 
= 
872,9375 
17. Xo = 187,5 e c = 25 (constante arbitraria). Entao, o desvio reduzido, 
d'; seni: 
Xj -Xo 
d'; = c 
Classes 
751---100 
1001---125 
1251---150 
1501---175 
1751---200 
2001---225 
2251---250 
2501---275 
2751---300 
'i 
2 
4 
11 
18 
31 
22 
9 
2 
1 
100 
Xj-187,5 
25 
xi 
87,5 
112,5 
137,5 
162,5 
187,5 
212,5 
237,5 
262,5 
287,5 
dj=-xj-XO 
, Xj-XO 
df'i dj=--
c 
-100 -4 - 8 
- 75 -3 -12 
- 50 -2 -22 
- 25 -1 -18 
0 0 0 
25 1 22 
50 2 18 
75 3 6 
100 4 4 
-10 
('l;d,. ![\ 10 
x = x0 + -J;-!1-..Jc = 187,5 + �OO • 25 = 187,5 - 2,5 = 
= 185 
0 comprimento medio das barras observadas e 185 cm. 
18. Media do conjunto A: 
- '£x 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 75 
XA = -n = 
6 
= 6 = 12,5 
Media do conjunto B: 
XB = 
'£x 
= 
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
= 
.!..?_ 
= 2 5 
n 6 6 ' 
Os valores do conjunto A sao iguais aos valores do conjunto B mais a 
constante 10. En tao, a media de A devera ser igual a media de B mais a 
constante 10. Trata-se de uma decorrencia da quarta propriedade da 
media. 
19. Moda do conjunto A: nlio M moda, pois nao M predominancia de 
qualquer valor sobre os demais. 
Moda do conjunto B: M0 = 7 
{M = 5 
Moda do conjunto C: M: 
= 7 
0 conjunto e bimodal 
20. A idade modal e 28 anos, porqtJe a freqiiencia de 28 e maior do que a 
de qualquer outro valor do conjunto. 
21. Classe modal:.30f---40 
a) Pelo metodo de King: 
£ = 30 IMo = £ +
/pot;:. /ant • 
cl 
fpost = 8 8 M0 = 30 + 
8 + 10 • 
10 
fant = 10 
c = 10 80 
= 30 + 18 + 4,44 = 34,44 
b) Pelo metodo de Czuber: 
£ = 30 
81 = 15 -10 = 5 
82 = 15 -8 = 7 c = 10 
!Mo=£+ 
81 A� 82 •cl 
= 30 + -5 - • 10 = 
5 + 7 
- 30 + 1Q. = 30 + 4,17 ::: 34,17 -
12 289 
290 
22. Para calcular a moda precisamos, inicialmente, construir a tabela de 
freqilencias simples. 
28 
24 
20 
16 
12 
8 
4 
Classes Freqiiincias acumuladas Fj fj 
01-- 4 2 2=2-0 
41-- 8 6 4=6 - 2 
8 1--12 13 7 = 13 -6 
12 t--16 29 16 = 29 -13 
16 t--20 55 26=55-29 
20 1--24 67 12 = 67 -55 
24 1--28 73 6 = 73 --' 67 
28 t--32 75 2 = 75 - 73 
a) Classe modal: 161---20 
b) Moda bruta: M0 = 18 (ponto medio da classe modal) 
c) Determin�ao da moda (f6rmula de Czuber): 
I Mo = 
2 
+ D.1 ; D.2 • c I 
16 
D.1 = 26 - 16 = 10 
D.2 = 26 - 12 = 14 
c = 4 
' I \ I " 
I� 
' \ 
\ 
\ 
10 40 
Mo 
= 10 + 14 • 
4 = 16 + 24 = 
= 16 + 1,67 == 17,67 
GRAFICO XIII 
0 .____,_�_._�....____..._.._._�......_�..___._.Xj 4 8 12 16 20 24 28 32 
Mo= 17,67 
23. Para o conjunto A, temos 
ri+l 7+1 -
EMd =- 2- =- 2-= 4 
0 elemento mediano sera entlio o 49 da lista. Para o conjunto B o ele-
d. , n 6 3 mento me 1ano sera =2 =2= . 
24. Para calcular a mediana recorremos as freqilencias acumuladas: 
Numero 
Notas de alunos 
Xj fj 
2 
3 2 
4 3 
5 5 
6 4 
7 3 
8 2 
0 elemento mediano e i�ual -a 
' Ti 20 
2=2= IO. 
Freqiiencias 
acumuladas 
"Abaixo de" Fj 
1 
3 
6 
11 
15 
18 
20 
Pelas freqilencias acumuladas verificamos que ate a nota 5 acumulamos 
11 observa�OeS. Portanto, a mediana e a nota 5. 
25. Calculemos primeiramente as freqilencias acumuladas "abaixo de": 
Not/ls 
Numero de 
Xj alunos 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
0 elemento mediano e 
n + 1 
= 
21 + 1 
= 11 2 2 ' 
2 
4 
5 
4 
4 
Freqiilncia 
fj acumulada Fj 
3 
7 
12 
16 
20 
21 
que corresponde a nota 7. Portanto, a mediana e a nota 7. 291 
26. 
292 
Classes fj FffJQiiiJncias acumuladas Fj 
40f-- 50 . 1 
50f-- 60 3 
60f-- 70 6 
70f-- 80 11 
80f-- 90 19 
90f--100 35 
100f--110 27 
110f--120 15 
120f--130 14 
130f--140 7 
140f--150 5 
150 .f--160 2 
1601:--170 1 
146 
. , n 146 
0 elemento med1ano e 73: 2= 2 = 73. 
A classe mediana e: 90f--100. 
JI = 90 
c = 10 
!Md= 35 
Fant = 40 
Md = 90 + 73 - 40 
• 10 
35 
1 
4 
10 
21 
40 
75 
102 
117 
131 
138 
1.43 
145 
146 
330 Md = 90 + 35 = 90 + 9,43 = 99,43 
27. Somando-se as freqtiencias temos: 
�fj = 8 + 13 + 19 + 14 + 7 = 60 
0 elemento mediano e: EJfJ = 62° = 30. Entlio, a classe da mediana ea 
terceira classe. Assim, 
M = 30 + 30 - 21 
• 10 = 30 + 9o = 30 + 5 = 35 d 
!8 18 
28. A mediana dos valores corresponde aquele valor ate o qual temos 50% 
das observa�6es. Para chegarmos ate esse valor teremos que acumular as 
percentagens de observa�6es ate que atinjamos os 50% das observa�0es. 
Somando-se as percentagens das duas primeiras classes teremos 35% das 
observ�oes. Para atingirmos os 50% precisamos ainda de 15%, exata-
mente a metade da percentagem de observacy6es da terceira classe. Por 
conseguinte, o valor de mediana e Md = 35, ou o ponto medio c.Ja 
terceira classe. 
29. Como temos o poligono de freqilencias acumuladas, basta localizar no 
eixo vertical a freqilencia acumulada cujo valor e 50%. Tracyando uma 
paralela ao eixo das classes, atingiremos o polfgono de freqilencias em um 
ponto a partir do qua! tracyamos uma perpendicular ao mesmo eixo das 
classes. Essa perpendicular encontrara o eixo das classes exatamente no 
ponto correspondente ao valor da mediana. Portanto Md = 400. 
30. Vamos, inicialmente, construir a distribuicyao de freqilencias: 
Classes fj Xj Xj • fj 
1001---200 2 150 300 
2001---300 5 250 1 250 
3001---400 6 350 2 100 
4001---500 4 450 1 800 
5001---600 3 550 1 650 
20 7 100 
a) x = fa�. fj = 7 ;go = 355 (media) 
l M0 = 300 + l+2 · 100 = 333,33 (moda) 
Md = 300 + 
lO �- 7 • 100 = 350 (mediana) 
b) Pela relac;ao de Pearson devemos ter: 
M0 = 3Md - 2x 
M0 = 3 • (350) - 2(355) = 1 050 - 710 = 340 
31. Vamos primeiramente calcular as freqilencias acumuladas:pode assumir valores inteiros, inclusive zero. Mais preci­
samente, diz-se que X sera uma variavel discreta quando a menor diferen9a 
nao-nula entre dois valores possiveis dessa variavel for finita. 
Deve-se notar que, teoricamente, X pode variar em todo o conjunto de 
numeros inteiros racionais, e nao apenas inteiros positivos de zero a infinito. 
Normalmente a variavel discreta resulta de contagem, razao pela qual 
seus valores sao expressos atraves de nutneros inteiros nao-negativos. 
1.7.2. Variavel Continua 
Se X representar, por exemplo, o numero de metros percorridos por 
um atleta durante certo periodo de tempo em uma pis ta circular, X nao sera 
certamente uma variavel discreta. Agora, X pode assumir o valor de qualquer 
numero real positivo, uma vez que para o calculo do comprimento da circun­
ferencia e necessario introduzir 0 numero real rr. 
Formalmente, diz-se que X e uma variavel continua quando, ao passar 
de um valor real a para outro valor b, assume todos os valores intermediarios 
entre a e b. Assim sendo, pode-se dizer que a variavel continua resulta normal­
mente de mensura9ao, e a escala numerica .de seus possiveis valores corres­
ponde ao conjunto R dos numeros reais. 
Para se fazer uma ideia concreta da variavel continua, basta pensar em 
um filete de mercurio de um termometro com escala centigrada. Ao dilatar-se 
o filete da temperatura a da escala para a b, ele passara por todas as tempe­
raturas intermediarias. 
1.8. FASES DO METODO ESTATiSTICO (ESTATiSTICA DESCRITIVA) 
Quando se pretende empreender um estudo estatistico completo, 
existem diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar 
aos resultados finais do estudo. Essas etapas ou opera9oes sao chamadas fases 
20 do trabalho estatistico e sao de ambito da Estatistica Descritiva. 
As fases principais sao as seguintes: 
- Defini�ao do Problerna 
- Planejamento 
- Coleta dos Dados 
- Apura�o dos Dados 
- Apresenta�o dos Dados 
- Analise e Interpreta�o de Dados 
1.8.1. Defini�ao do Problema 
A primeira fase do trabalho estatfstico consiste em uma defini9ao ou 
formula�ao correta do problema a ser estudado. Alem de considerar detida­
mente o problema objeto do estudo, o analista devera examinar outros levan­
tamentos realizados no mesmo campo e analogos, uma vez que parte da 
informa�ao de que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada . nesses 
ultimos. Um fabricante de sabonete, que deseja lan�ar um produto novo no 
mercado, poderia estar interessado em um estudo sobre as caracteristicas dos 
consumidores atuais. Nao havendo estudos. semelhantes, ele devera formular 
o problema com base em sua pr6pria experiencia. Uma lista de fatores rele­
vantes devera resultar dessa investiga�o preliminar: numero de unidades 
consumidas por familia em cada ano, numero medio de pessoas que compoe 
cada familia, numero de membros adultos da familia, as marcas preferidas 
e assim por diante. Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar e o 
mesmo que definir corretamente o problema. 
1.8.2. Planejamento 
0 passo seguinte, ap6s a defini�ao do problema, compreende a fase do 
planejamento, que consiste em se determinar o procedimento necessario para 
resolver o problema e, em especial, coma levantar informa�oes sabre o 
assunto objeto do estudo. Que dados deverao ser obtidos? Como se deve 
obte-los? E preciso p/anejar o trabalho a ser realizado, tendo em vista o obje­
tivo que se pretende atingir. 
Mais . especificamente, na fase do planejamento a preocupa�ao maior 
reside na escolha das perguntas, bem como sua correta formula�ao, qualquer 
que seja a modaiidade de coleta dos dados. 
E nessa fase que sera escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. 
Sob esse aspecto, pode haver dois tipos de levantamento: 
1. levantamento censitario, quando a contagem for completa, abrangendo 
todo o universo. 
2. levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial. 
Outros elementos importantes que devem. ser tratados nessa mesma 
fase sao o cronograma das atividades, atraves do qual sao fixados os prazos 
para as varias fases, os custos envolvidos, o exame das informa�oes dispo- 21 
niveis, o delineamento da amostra, a forma como serao escolhidos os dados 
e assim por diante. Os livros mais especfficos sobre pesquisa de mercado 
poderao ser consultados, caso o leitor tenha maior interesse ne�e assunto. 
1.8.3. Coleta dos Dados 
0 terceiro passo e essencialmente operacional, compreendendo a coleta 
das informayoes propriamente ditas. Formalmente, a coleta de dados se refere 
a obtenylio, reunilio e registro sistematico de dados, com um objetivo deter­
minado. 
Antes de se tecer qualquer outra considerayao sobre esta fase do 
metodo estatistico, convem estabelecer uma distinylio entre os dados estatis� 
ticos. 
Uma empresa, por exemplo, pode valer-se de·diversas fontes ao utilizar 
os dados em seus trabalhos estatisticos. Assim, os seus registros contabeis 
podem conter muitas informayoes uteis para outros fins, que nao meramente 
o da avaliaylio do ativo, do passivo e do patrimonio, e a determinaylio dos 
lucros e perdas. Os varios departamentos de uma organizaylio, no curso de 
sua atividade normal, mantem igualmente registros de natureza estatistica. 
Pode ocorrer, entretanto, que os registros da pr6pria empresa nao propor­
cionem toda a informaylio necessaria para resolver determinado problema. 
Por exemplo, para se saber se uma queda nas vendas esta sendo experimen­
tada tambem por outras empresas do mesmo setor industrial em que opera, 
a empresa nao ira recorrer simplesmente a seus registros internos. Podera 
haver algum organismo especializado que reuna os dados e os distribua em 
forma de publicayoes ou de qualquer outra maneira. De qualquer modo, os 
registros internos nao serao suficientes nesta situaylio, necessitando a empresa 
recorrer a fontes externas para obter as informayoes desejadas. Se a empresa 
precisasse saber a opiniao dos consumidores sobre algum aspecto particular 
do seu produto, um exame direto sobre eles seria recomendavel. E possivel, 
pois, distinguir dois tipos de fontes externas, as quais darao origem a duas 
especies de dados: dados primarios e dados secundarios. 
Dados Primlirios 
Os dados silo primarios quando slio publicados ou comunicados pela 
pr6pria pessoa ou organizaylio que os haja recolhido. 
Dados Secundirrios 
Os dados slio secundarios quando sao publicados ou comunicados por 
outra organizaylio. 
Um conjunto de dados e, pois, primario ou secundario em relayao a 
alguem. As tabelas do Censo Demografico slio fontes primanas. Quando 
determinado jornal publica estatisticas extraidas de varias fontes e relacio­
nadas com diversos setores industriais, os dados slio secundarios para quern 
22 desejar utilizar-se deles em alguma pesquisa que esteja desenvolvendo. Embora 
muitas vezes possa ser conveniente recorrer a fontes secundarias, e mais 
seguro trabalhar com fontes primarias, por varias razoes: 
1. Uma fonte primana oferece, em geral, inform�ao mais detalhada do que 
uma fonte secundaria. 
2. E mais provavel que as defini�0es de termos e de unidades figurem somente 
nas fontes primarias. 
3. 0 uso da fonte secundaria traz o risco adicional 'de erros d� transcri�o. 
4, Uma Conte primaria podera vir acompanhada de copias dos impressos 
utilizados para coletar as informa�oes, juntamente com o procedi­
ritento adotado na pesquisa, a metodologia seguida e o tipo e tamanho 
da amostra. 
Essas informa�oos proporcionam ao usuario uma ideia do grau de 
garantia que os dados oferecem. 
A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras, direta ou indi­
retamente. 
Coleta Direta 
A coleta e direta quando e obtida diretamente da fonte, como no caso 
da empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferencia dos consumi­
dores pela sua marca. 
Ha tres tipos de coleta direta: 
a) Coleta Continua 
b) Coleta Periodica 
c) Coleta Ocasionill 
A coleta de dados e continua quando estes sao obtidos ininterrupta­
meqte, automaticamenteFreqiiencia 
acumulada Fj 
2 
7 
13 
17 
20 
Classes fj Freqiiencia acumulada Fj 
501-- 60 8 8 
601-- 70 10 18 
701--- 80 17 35 
801-- 90 13 48 
901---100 9 57 
1001---110 6 63 
1101---120 2 65 
65 293 
294 
a) l classe do 19 quartil 
Qi = 60 + 16•25 - 8 
• IO = 68,25 IO 
29 quartil 
65 EMd = Eq2 =1 = 32,5 
classe med1ana: 70 f-- 80 
Md = Q2 = 70 + 
32•5 - 18 
• IO = 78,53 17 
32} s = c • --· - . T,d>2·f; - pf 
n·-1. II n 
d/'J 
-36 
-52 
-45 
0 
37 
26 
21 
-49 
s =so j...l... {409 - (-49)2} = 50 )396,9950 
= 
199 200 199 
= sov'l,9949 =so x t,4124=10,62 
.2 d if/ 
1 08 
1 04 
45 
0 
37 
52 
63 
409 
299 
300 
44. A = {220; 230; 240; 2SO; 260} 
Xj x;-x fx;-xP 
220 -20 400 XA = 240 
230 -10 100 
240 0 0 SA = /1¥"= 
250 10 100 y'250 = lS,81 
260 20 400 
0 1 000 
B = {20; 30; 40; SO; 60} 
x; x;-x fx;-xP 
20 -20 400 :XB= 40 
30 -10 100 
Ss=� 40 
= 
0 0 
50 10 100 = y'250 = lS,81 
60 20 400 
. Portanto, I SA = Ss I de acordo com a primeira propriedade do desvio 
padrao. 
45. A =;:= { 1,.0; 20; 30; 40; SO} 
X; x;-x 
10 -20 
20 -10 
30 0 
40 10 
50 20 
B = { 1 00; 200; 300; 400; SOO} 
X; 
100 
200 
300 
400 
500 
X·-X 
I , 
-200 
-100 
0 
100 
200 
400 
100 
0 
100 
400 
1 000 
fx;-xP 
40 000 
10 000 
o · 
10 000 ' 
40oo0 
100000 
xB=300 
/100000 Ss = ../ �= y25 000 = y250 X I 02 = 10 ..(250 
Como SA = v'BO; teremos: 
I Ss = IOSA I 
de acordo com a segunda propriedade do desvio padrao. 
46. Conjunto A Conjunto B 
S 2 I VA= x=6=
3 
5 I Vs= g=7 
0 
. t A t . di - l ti l>l conJun o apresen a maior spersao re a va porque T 1 . 
4 7. Distribuiylio A: distribuiylio simetrica porque X = Md = M0• 
Distribuiylio B: distribuiyliO assimetrica negativa OU a esquerda, porque 
X Q = 500 - 300 = 100 2 
Md = 400 (determinaylio direta no grafico) 
Distribui�o A Distribui�o B Distribui�io C 
J( = 
50 
J( = 48 x = 51 
Md=
50 
Md=49 Md=50 
M0 =50 M0 =50 M0 =49 
s = 2 s = 2 s = 1,5 301 
302 
Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. 
a) Distribui�ao A: 
x - Mo 
= 
50 - 50 = 0 As= S 2 
b) Distribui�ao B: 
x -M0 48 - 50 2 As= S = 2 =-
2=-l > 
assimetrica negativa 
c) Distribui�ao C: 
x -M0 
As= s 
51 - 49 2 
= =- = 1,5 1,5 
=::::> assimetrica positiva 
1,33 => 
51. Para calcular os coeficientes pedidos, temos necessidade de saber o valor 
das seguintes medidas: X. M0, Md, S, Q1 e Q3• 
(/) Classes fj Xj 
101-----20 2 15 
201-----30 4 25 
301-----40 6 35 
401-----50 4 45 
501-----60 2 55 
18 
-· = "1:.xf = 
630 = 35 x 
N 18 
Xj • fj 2 Freqiilincias 
x jfj acumuladas Fj 
30 450 2 
100 2500 6 
210 7 350 12 
180 8 100 16 
110 6 050 18 
630 24 450 
N 
2- Fant 9 - 6 30 
Md = £ + 
[ 
· c = 30 + -6-
• IO = 30 + 6 = 
= 30 + 5 = 35 
Ll, 2 
M0 (Czuber) = £ X Lli + b.2 • c = 30 + 2 + 2 • IO = 
= 30 + 20 = 30 + 5 = 35 4 
(II) 
N -- Fant 
Q.e na vigencia de um determinado periodo: um ano, 
por exemplo. Os registros de nascimento, de casamento, de 6bito podem ser 
considerados como uma forma de coleta direta continua. 
A coleta de dados e peri6dica quando e realizada em perfodos curtos, 
determinados, de tempos em tempos. 0 recenseamento demografico, a 
cada dez anos, e o censo industrial, anualmente, sao exemplos de coleta 
peri6dica. 
A coleta de dados e ocasional quando os dados forem colhidos espora­
dicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma emergencia. 
A coleta de casos fatais em um surto epidemico e o registro de pedidos de 
um determinado artigo que uma grande empresa recebe em um dia de greve 
sao fonnas de coleta ocasional. 
Coleta Indireta 
A Coleta dos dados e indireta quando e inferida a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, ou atraves do. conhecimento de outros fenO- 23 
24 
menos que, de algum modo, estejam relacioriados com o fenomeno em 
questao. E feita, portanto, por dedu90es e conjeturas, podendo ser realizada: 
a) Por analogia 
b) Por proporcionaliza�ao 
c) Por indfoios 
d) Por avalia�iio 
A coleta de dados e feita por analogia quando o conhecimento de um 
fenomeno e induzido a partir de outro que com ele guarda rela96es de 
casualidade. 
A coleta de dados e feita por proporcionaliza9ao, quando o conheci­
mento de um fato se induz das condi96es quantitativas de uma parte dele. 
A coleta por indicios se da quando sao escolhidos fenomenos sintoma­
ticos para discutir um aspecto geral da vida social. 
A coleta e feita por avaliayao quando, atraves de informa96es fide­
dignas ou estimativas cadastrais, se presume o estado quantitativo de um 
fenomeno. 
1.8.4. Apura�io dos Dados 
Antes de come9ar a analisar os dados, e conveniente que lhes seja dado 
algum tratamento previo, a fim de torna-los mais expressivos. A quarta etapa 
do processo e, entao, a da apura9ao ou sumariza9ao, que consiste em resumir 
os dados, atraves de sua contagem e agrupamento. E um trabalho de conden­
sa9ao e de tabula9ao dos dados, que chegam ao analista de forma desorgani­
zada, tornando impossivel a tarefa de apreender todo o seu significado pela 
simples leitura. 
Hli varias formas de se fazer a apura9ao, dependendo das necessidades 
e dos recursos disponiveis do interessado: manual, mecanica, eletromecanica 
ou eletronica. 
A apurayao e manual quando nao recorre a qualquer maquina para ser 
realizada. Quando a apurayao for feita com o auxilio de maquinas mecdnicas, 
como as de somar e de calcular, comuns em qualquer escrit6rio, ela seni 
meciinica. 
A apurayao eletromecdnica e realizada com maquinas que diferem das 
itnteriores pelo fato de suas engrenagens internas serem movidas a energia 
eletrica. Finalmente, as maquinas eletronicas dao origem ao Ultimo tipo de 
apura9ao. Essas maquinas efetuam as opera96es atraves de impulsos eletricos, 
dispensando qualquer tipo de engrenagem, o que lhes confere uma velocidade 
infinitamente maior que a das anteriores. 
Por conseguinte, atraves da apurayao, tem-se a oportunidade de con­
densar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de numeros, o 
qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenomeno na sua 
totalidade. 
Entretanto, a contrapartida da melhor aprecia�ao dos dados em seu 
conjunto e a perda correspondente de detalhes, uma vez que se trata de um 
processo de sintetiza�ao. 
1.8.5. Apresenta�iio dos Dados 
A apresenta�ao ou exposic;ao dos dados observados constitui a quint� 
fase do metodo estatlstico. 
Ha duas formas de apresentac;ao, que naci se excluem mutuamente: 
1. Apresenta�ao Tabular 
A apresentac;ao tabular e uma apresentac;ao numerica dos dados. Con­
siste em dispor os dados em linhas e colunas distribuidas de modo ordenado, 
segundo algumas regras praticas adotadas pelos diversos sistemas estatfsticos. 
As regras que prevalecem no Brasil foram fixadas pelo Conselho Nacional de 
Estatistica. Tais regras acham-se publicadas e dispoom sobre os elementos 
essenciais e complementares da tabela, a especificac;ao dos dados e dos sinais 
convencionais, o procedimento correto a ser desenvolvido no preenchimento 
da tabela e outros dispositivos importantes. 0 leitor que estiver interessado 
podera adquirir essas normas junto a qualquer agencia do IBGE, uma vez que 
nlfo e o objetivo desse livro entrar nesses pormenores. As tabelas tern a van­
tagem de conseguir expor, sinteticamente e em um s6 local, os resultados 
sobre determinado assunto, de modo a se obter uma vislfo global mais rapida 
daquilo que se pretende analisar. 
De maneira mais formal, define-se como tabela a disposic;ao escrita que 
se obtem, fazencio-se referir uma colec;ao de dados numericos a uma deter­
minada ordem de classificac;ao. 
2. Apresenta¢o Grd[ica 
A apresentaylfo grafica dos dadosnumericos constitui uma apresentac;ao 
geometrica. Embora a apresentac;ao tabular seja de extrema importancia; no 
sentido de facilitar a analise numerica dos dados, nlfo permite ao analista 
obter uma visao tlfo rapida, facil e clara do fenomeno e sua variac;ao como a 
conseguida atraves de um grafico. No Capitulo 3, serlfo desenvolvidos os 
diversos tipos de graficos e sua utilizac;ao. 
1.8.6. Analise e lnterpreta�lo dos Dados 
A ultima fase do trabalho estatistico e a mais importante e tambem a 
mais delicada. Nesta etapa, o interesse maior reside em tirar conclusoes que 
auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A analise dos dados esta­
tisticos esta ligada essencialmente ao calculo de medidas, cuja finalidade 
principale descrever o fenomeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado 
pode ser expresso por numeros-resumos, as estatisticas, que evi,denciam 25 
caracteristicas particulares desse conjunto. 0 significado exato de cada um 
dos valores obtidos atraves do calculo das varias medidas estatisticas dispo­
niveis deve ser hem interpretado. E possivel mesmo, nesta fase, arriscar 
algumas generalizar;oes, as quais envolverao, naturalmente, algum grau de 
incerteza, porque nao se pode estar seguro de que o que foi constatado para 
aquele conjunto de dados (a amostra) se verificara igualmente para a popu­
lar;ao. 0 processo de generalizar;ao, como afirmado anteriormente, esta alein 
do escopo deste livro, constituindo um campo mais avanr;ado da Estatistica, 
que e 0 da Estatfstica Indutiva OU lnferencia Estatistica. 
1.9. AS SERIES ESTATISTICAS 
Uma vez coletados OS dados, nao e conveniente apresenta-los para ana­
lise, sob a forma a que se chegou pela simples apurayao. Muitas vezes o con­
junto de valores e extenso e desorganizado, e seu exame requer maior 
atenr;ao. Alem disso, com_o ja foi salientado, ha o perigo de se perder a visao 
global do fenomeno analisado, quando a lista de dados for extensa e desor­
denada. 
Por outro lado, se a lista original de valores puder ser apresentada de 
uma forma mais simples· e compacta, havera menor dificuldade em interpretar 
os dados e trabalhar com eles. Reunindo, pois, os valor,es em tabelas com­
pactas, consegue-se apresenta-los e descrever-lhes a varutr;ao mais eficiente­
mente. Essa condensayao dos valores permite ainda a utilizar;ao de represen­
tar;ao grafica, que normalmente representa uma forma mais util e elegante 
de apresentar;ao da caracteristica analisada. Enfim, qualquer processo de 
representar;ao que contribua para proporcionar uma visao mais sintetica do 
fenomeno estudado, sem tirar-lhe a precisao primitiva, contribuira igualmente 
para facilitar e encaminhar qualquer desses estudos, quer seja o de caracteri­
zayao de um conjunto, o de comparayao com outros semelhantes ou ainda o 
de previsao de valores possiveis. E o caso, por exemplo, da serie estatistica. 
Uma serie estatistica define-se como toda e qualquer coler;ao de dados 
estatisticos referidos a uma mesma ordem de classificayao: quantitativa. No 
sentido mais amplo, serie e uma sucessao de numeros referidos a qualquer 
variavel. Se OS n\.tmeros expressarem dados estatisticos, a serie sera chamada 
de serie estatfstica.Em sentido mais estreito, pode-se dizer que uma serie 
estatistica e uma sucessao de dados estatisticos referidos a caracteres quali­
tativos, ao passo que uma sucessao de dados estatisticos referidos a caracteres 
quantitativos configurara uma seria�ao. Em outros termos, a palavra serie e 
usada normalmente para designar �m conjunto de dados dispostos de acordo 
com um carater variavel, residindo a qualidade serial na disposir;ao desses 
valores, e nao em uma disposiyao temporal ou espacial de individuos. Para 
diferenciar uma serie estatistica de outra, ha que se levar em conta, entao, 
26 os tres caracteres presentes na tabela que as apresenta: 
- A Epoca (fator temporal ou cronologico) a que se refere o fenomeno analisado. 
- 0 Local (fator espacial ou geogr.ifico) onde o fenomeno acontece. 
- 0 Fenomeno (especie do fato OU fator especificativo) que e descrito. 
As series estatisticas podem ser de quatro tipos, conforme varie um 
desses caracteres ou fatores. Embora seja a variayao desses elementos a 
caracteristica diferenciadora das series, costuma-se dividi-las em dois grupos� 
0 das series hom6gradas e 0 das heter6gradas. 
1.9.1. Serie Homograda 
Serie homograda e aquela em que a variavel descrita apresenta variayao 
discreta OU descontinua. Sao series hom6gradas a serie temporal, a serie 
geografica e a sene especifica. 
1.9.2. Serie Heterograda 
A serie heterograda e aquela na qual 0 fenomeno OU 0 fato apresenta 
gradayoes ou subdivis.Oes. Embora fixo, o fenomeno varia em intensidade. 
A distdbuiyiiO de freqiiencias OU seriayiiO e uma sene heterograda. 
1.9.3. Os Ouatro Tipos de series Estatfsticas 
As series estatisticas, conforme visto, diferenciam-se de acordo com a 
variayiiO de um desses tres elementos: epoca, local, fato. 
1. Serie Temporal 
A Serie temporal, igualmente chamada serie cronol6gica, serie historica, 
serie evolutiva ou marcha, identifica-se pelo carater variavel do fator crono­
logico. Assim, deve-se ter: 
a) Elemento Variavel: epoca (fator cronol6gico) 
b) Elementos Fixos: local (fator geografico) 
fenomeno (fator especificativo) 
Exemplo: 0 diretor de marketing da empresa G.L.T. S.A., fabricante de 
componentes eletronicos, deseja examinar a evolu�iio de suas vendas em 
1975, mes a mes. Para tanto, solicitou ao Departamento de Analise de 
Mercado a tabela da qua! constam os valores de vendas no perlodo desejado 
(Tabela 1.1 ). 
Como pode ser observado, o unico carater variavel e o tempo, aqui 
representado pelos meses. 
Da mesma forma, os valores sucessivos apresentados pelo censo demo­
grafico de uma cidade formariio a marcha da populayiio dessa cidade. 
2. Serie Geogrtifica 
Tambem denominada serie territorial, sene espacial OU Serie de locali­
zayiiO, a serie geografica apresenta como elemento ou carater variavel 
somente o fator geografico. Assim: 27 
a) Elemento Variavel: local (fator geognifico) 
b) Elemenfos Fixos: epoca (fator cronol6gico) 
fenomeno (fa tor especificativo) 
TABELA 1.1 - G.L.T. S.A. - INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRONICOS 
Vandas - Mercado lnterno - 1975 
Meses 
Janeiro 
Fevereiro . . . . . . . . . . . . . . . . . • 
Man;:o . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 
Abril . . • . . . . . . . • . . • . . . . • . . 
Maio . . . . . . . . • • . • . • . . • . . . • 
Jun ho . . • • . . . . . . . . • . . . • . . . 
Jul ho . . . . . . • . . . • . . • . • . . . . 
Agosto ................... . 
Setembro . . . • . . . . . . . . . . . . . . 
Ou tu bro .................. . 
Novembro . • • . . · . . . . . . . . . . . . . 
Dezembro . . . .. . • . • . . . . . . . . . . 
TOTAL ANUAL . . . . . . . . . • . . . . 
Fonte: Departamento de Analise de Mercado. 
Vendas (em mi/hares de cruzeiros) 
2300 
1 800 
2 200 
2 210 
2360 
2600 
2690 
3 050 
3 500 
344 0 
3 100 
2 760 
31.510 
Se o diretor de marketing da G.L.T. S .A . desejar saber, agora, o com­
portamento das vendas dessa empresa efetuadas nos varios Estados do Brasil, 
durante o exercicio fiscal de 1975, o fator diferenciador das vendas seria o 
geografico. 
A tabela correspondente ficaria assim: 
TABELA 1.2 - G.L.T. S.A. - INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRONICOS 
Vendes por Unidade da Federat;lio - · 1975 
Unidades da Federa�5o 
Minas Gerais . • . •. . . . . . . . . • . . • 
Parana . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • 
Rio Grande do Sul . . • . • . • • . . • . 
Rio de Janeiro . . • • • • . · • • . • . . . . 
Sio Paulo . • . • • • • • • _ • . • . . . . • . 
Outros • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
TOTAL - BRASIL • . . . • • . . . . • • 
28 Fonte: Departamento de Analise de Mercado. 
Vendas (em mi/hares de cruzeiros) 
4.000 
2.230 
6.470 
8.300 
10.090 
420 
31.510 
3. Serie Especifica 
A serie especffica recebe tambem outras denominay6es: serie cate­
g6rica OU serie por categoria. Agora, 0 carater variavel e 0 fenomeno. 
a) Elementu Variavel: fenomeno (fator especificativo) 
b) Elementos Fixos: epoca (fator cronologico) 
.local (fator geogr3fico) 
Suponha que o diretor de marketing esteja agora interessado em. 
conhecer o comportamento das vendas de cada um de seus produtos, os 
quais foram agrupados em tres categorias ou linhas, dada a grande variedade 
de componentes fabricados pela empresa. A tabela contendo essas infor­
mayoes representaria uma serie especifica. 
Os dados da Tabela 1.3 revelam que cinquenta por cento do fatura­
mento da empresa G.L.T. S.A. sao representados pelos produtos da linha C. 
Esse fato revela a importancia de urna tabela, como forma de apresentayao 
sintetica e elegante dos valores representativos de um fenomeno qualquer. 
Os tres tipos de serie apresentados constituem exemplos de series 
hom6gradas. 
TABELA 1.3 - G.L.T. S.A. - INPUSTRIA DE COMPONENTES ELETRONICOS 
Vendas por Linha de Produto - 1975 
Linha do Produto 
Linha A . . . . . . . . . . . . . . . . . • . 
Lin ha B . . . . • . • • . • . • . . • . • . • 
Linha C . . . • • • . . . • • • . . . • • . • 
TODOS OS PRODUTOS . . . . . . . . • 
Fonte: Oepartamento de Analise de Mercado. 
4. Distribuifffo de Freqilencias - Seriafiio 
Vendas (em mi/hares de cruzeiros) 
6.450 
9.310 
15,750 
31.510 
As distribuiyoes de frequencias OU distribuiyoes por frequencias sao 
series heter6gradas. Neste caso, todos OS elementos - epoca, local e fenO­
meno - sao fixos. Embora fixo, o fenomeno ou fator especificativo 
apresenta-se agora atraves de grada9oes, isto e, OS dados referentes ao fen(>. 
meno que se esta representando sao reunidos de acordo com sua magnitude. 
Normalmente, os problemas de tabula9ao sao enquadrados nesse tipo de serie. 
Nas distribui9oes de frequencias, os dados estatisticos sao dispostos 
ordenadamente em linhas e colunas, de modo a permitir sua leitura nos 
sentidos horizontal e vertical. Na tabela resultante desse procedimento, sao 
fixos a epoca, o local e o fenomeno, estando os dados agrupados de acordo 
com a intensidade ou varia9ao quantitativa do fenomeno. 29 
TABELA 1.4 
Numero de Empregados das Virias Cla- de Salirios 
no Estado de Sio Paulo - 1968 
Classes de SaltJrios (Cr$) 
At4! 80 . • • . . . . . . . . . • . . . • . . . . . 
De 80 a 119 • . . . • . • . . • . . . . . . . . 
De 120 a 159 . . • . • . . . • . • . • . . . . 
De 160 a 199 
De 200 a 399 
De 400 a 599 
De 600 a 799 
De 800 a 999 
1.000 e mais . . . . • . • . • . • • • • • . • • 
TOTAL . . . • • • . • . • • . . . . . • . • . . 
Fonte: Servico de Estatfstica da Previctencia e Trabalho. 
Numero de Empregados. 
41 326 
123 236 
428 904 
324 437 
787 304 
266 002 
102 375 
56 170 
103.788 
2 233 542 
Um exemplo de distribuiyao de freqtiencias encontra-se na Tabela 1.4, 
que descreve os salarios no Estado de Sao Paulo em 1968, classificados e 
distribuidos Conforme O numero de empregados. 
Esta tabela apresenta o numero de empregados que percebiam, na 
epoca, um salario que estivesse incluido em uma dessas classes ou faixas 
salariais. Da mesma forma, seria possivel agruparas vendas da empresa 
G.L.T. S.A. em classes de faturamento e analisar o numero de meses em 
que se verificaram os varios faturamentos incluidos nas diferentes classes 
(Tabela 1.5). 
TABELA 1.5 - G.L.T. S.A. - INDUSTRIA DE EQUIPAMENTOS ELETRONICOS 
Numero de Meses Segundo o Faturamento 
Vendas (em mi/hares de cruzeiros) 
De 1.800 a 2.199 . . • • • • • • • • • • • • • • • • • 
2.200 a 2.599 • • • • . • . • • • • . • • . . • . . 
2.600 & 2.999 . • • . . . • • • • , . • • • • • . • 
3.000 a 3.399 • • . • . . • • • • • • • • • . • • . 
3.400 a 3. 799 . • • . • • • • • • • • • . • . • . • 
TOTAL DE MESES • . • • • • • • . • • • . . . • . . 
Fonte: Departamento de Anlilise de Mercado. 
Numero de Me1es 
1 
4 
3 
2 
2 
12 
0 processo de construyao das tabelas representativas de uma distri-
30 buiirao de freqtiencias sera visto mais adiante. 
1.9.4. Tabelas de Dupla Entrada 
As tabelas apresentadas ate o presente sao tabelas estat(sticas simples, 
as quais siio formadas por uma coluna indicadora (coluna matriz), onde 
siio inscritos os valores ou as modalidades. classificadas, e por outra coluna 
onde se inserem as ocorrencias ou as intensidades do fenomeno analisado. 
E comum, todavia, haver necessidade de apresentar, em uma (mica 
tabela, mais do que uma serie. Quando as series aparecerem conjugadas, 
tem-se uma tabela de dupla entrada. Essa tabela e apropriada, portanto, a 
apresentayiio das distribuiy5es a dois atributos, havendo duas ordens de 
classificayiio: uma horizontal (linha) e outra vertical (coluna). A Tabela 1.6 
apresenta uma tabela de dupla entrada, onde estiio conjugados dois tipos de 
serie: temporal e especffica. 
TABELA 1.6 
Populai;:io Economicamente Ativa por Setor de Atividade - Brasil 
Popula�io (1 000 hab.) 
Setor 
1940 1950 1960 
Primario ................... 8968 10 255 1 2 163 
Secundario ........ ....... .. 1 414 2 34'7 2962 
Terciario ......... . . ....... 3620 4 516 7 525 
Fonte: IPEA. 
Cada linha, encabeyada pela designayiio do setor - "primario'', "secun­
dario" e "terciario" -, constitui uma serie temporal. Por outrPorcentagem 
significa, portanto, "por cem". A soma das proporyoes e igual a 1, e a soma 
das porcentagens e sempre igual a 100, a menos que as categorias nao sejam 
mutuamente exclusivas e exaustivas. 
As porcentagens sao mais usadas do que as proporyoes para repro­
duzir resultados. Os valores constantes da Tabela 1.10 poderiam perfeita-
34 mente ser expressos em porcentagem. 
S6cios 
Praticantes 
TABELA 1.13 
Porcentagem de Sbcios Praticantes e Nio-Praticantes de Futebol 
em Dois Clubes Hipotltticos 
Clube 1 Clube 2 
Numero % Numero 
(exclusivamentel de: 
% 
Futebol de salao . . . . . . . . . . . . . 580 10,0 680 5,3 
Futebol de campo .......... . . 430 7.4 1 369 10,6 
Nfo-Praticantes . . . . . . . . . . . . . . . . 4 810 82,6 10 811 84,1 
TOTAL . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5 820 100,0 12 860 100,0 
Normalmente, as porcentagens sao arredondadas ate a primeira casa 
decimal, ajustando-se os Ultimos dlgitos, de modo que o total seja igual a 
100. 0 emprego de porcentagens requer que o numero total de casos 
seja suficientemente grande, evitando assim que sejam cometidas inter­
pretayoes equivocadas. 
Ha algumas regras gerais importantes, que orientam o emprego das 
porcentagens e das propory6es: 
1. Deve-se sempre indicar o numero de casos juntamente com as porcentagens 
ou as propor�oes. 
2. Nao se deve calcular uma porcentagem a menos que o numero que serve 
de base para 0 calculo esteja proximo de so OU mais. Se 0 numero de 
casos for muito pequeno, e prefer{vel in�car 0 numero efetivo deles, sem 
recorrer as porcentagens. 
3. Para determinar 0 numero de indiv{duos pertencentes a uma determinada 
categoria a partir do total de indiv{duos, basta multiplicar esse total pela 
propor�ao dos indiv{duos na categoria. Assim, se o clube 1 tivesse 
8 000 socios e fosse sabido que a propor�iio de praticantes de futebol 
de salao e de 0,054, 0 numero desses praticantes seria de 8 000 x 0,054 = 
= 432. Empregando·se porcentagem, chegar-se-ia ao mesmo resultado: 
Total de s6cios: 8 000 
Porcentagem de praticantes de futebol de saliio: 5,4% 
Numero de praticantes de futebol de salao: 
8 OO�
O
� 5•4 
= 432 
4. As porcentagens e propor�es tern por finalidade principal, em Estatistica, 
estabelecer compara�oes relativas. As vendas de duas emprcsas foram as 
seguintes nos dois anos comparados: 
TABELA 1.14 
Faturamento (1.000 cruzeiros) 
Aumen to 
Aumen to 
Empresa relativo 
1974 1975 
absoluto 
(percentual) 
A 2.000 3.000 1.000 50 
B 20.000 25.000 5.000 25 
% 
35 
Em termos absolutos, a empresa B teve um aumento de faturamento 
superior ao da empresa A. Entretanto, se a compara-rao for efetuada em 
termos relativos, a empresa A apresentara um desempenho hem superior: a 
porcentagem de aumento de faturamento da empresa A foi 50%, contra 
apenas 25%1 de aumento conseguidos pela empresa B. 
1. 10.3. Razao 
A razao de um numero A em rela-rao a outro numero B define-se 
como A dividido por B. A quantidade precedente e colocada no numerador, 
enquanto que a seguinte ira para o denominador. 
Atraves de uma enquete realizada em determinada cidade, descobriu-se 
que, das pessoas entrevistadas, 300 se manifestaram favoraveis a uma deter­
minada medida adotada pela prefeitura local, 400 ficaram contra a medida e 
70 eram indiferentes. Neste caso, a razao dos contrarios para os favoraveis 
a medida e de �� ; a dos favoraveis e contra para OS indiferentes e de 
(300 + 400) 
D'fi d - - d 
· ' 
70 
. 1 erentemente a proporyao, a razao po e ser supenor a 
unidade. Por outro lado, e possfvel reduzir a razao a uma expressao mais 
simples, simplificando os fa tores comuns do numerador e do denominador. 
Assim, por exemplo, a razao dos entrevistados contrarios a medida para os 
favoraveis poden1 ser expressa como j, ou, de forma equivalente, 4 : 3. 
Em certas ocasioes, e conveniente expressar a razao em termos de um 
denominador representado pela unidade. Neste caso, pode-se afirmar que a 
razao dos CODtrarios para OS favoraveis e de 1,33 para 1, C a dos favoraveis 
e contrarios para OS indiferentes e de I 0 para I. 
As propor\:oes, na realidade, representam um tipo particular de razao, 
na qual o denominador constitui o numero de casos e o numerador uma 
fra-rao daquele. Entretanto, o termo razao e usado, normalmente, quando A 
e B representam categorias separadas e distintas. 
Se houver apenas duas categorias, sera possfvel calcular a propor-rao 
diretamente a partir da razao e vice-versa. Sabendo-se, por exemplo, que a 
razao dos homens para as mulheres entre os membros associados de um 
clube e de ; , pode-se concluir que em cada cinco associados havera 
uma media de 3 homens e duas mulheres. A proporyao dos homens sera, 
entao, de � , ou 0,6. 
1.10.4. Taxa 
Taxa e uma quantidade expressa em rela\:ao a outra quantidade, como 
2 cruzeiros por quilograma, 40 quilometros por hora, 3 cruzeiros de ativo 
36 por 1 cruzeiro de passivo, 2 por cento de juros. Dessa forma, os quilometros 
por hora, por exemplo, sao obtidos dividindo-se o total de quilometros pelo 
numero total de horas. Assim, tambem, todos os demais exemplos constituem 
razoes. Uma razao, expressa em relayao a 100, e uma porcentagem. Portanto, 
uma razao e um caso particular de taxa, uma porcentagem e uma razao 
expressa de uma certa forma e uma taxa pode, as vezes, ser uma media. 
1.11. ARREDONDAMENTO DE NUMEROS 
0 arredondamento de um dado estatistico deve obedecer a algumas 
regras: 
I . Arredondamento por Falta 
Quando 0 primeiro dfgito, aquele situado mais a esquerda entre OS 
que irao ser eliminados, for igual ou menor que quatro, nao devera ser 
alterado o digito remanescente. 
Numero a arredondar 
12,489 
20,733 
35,992 
2. Arredondamento por Excesso 
TABELA 1.15 
Arredondamento para 
lnteiros 
Decimos 
Centesimos 
Numero arredondado 
12 
20,7 
35,99 
Quando 0 primeiro digito ap6s .aquele que sera ar.redondado fQr maibr 
ou igual a cinco seguido por digitos maiores que zero, o digito remanescente 
seni acrescido de uma unidade. 
Numero a arredondar 
15,504 
16,561 
17,578 
TABELA 1.16 
Arredondamento para 
lnteiros 
Decimos 
Centesimos 
3. Arredondamento de Digitos Seguidos do Cinco 
Numero arredondado 
16 
16,6 
17,58 
Quando 0 digito situado mais a esquerda dos que serao eliminados for 
um cinco ou urn cinco seguido somente de zeros, o Ultimo digito remanescente, 
se for par, nao se alterara, e se for impar sera aumentado de uma unidade. 
(TABELA 1.17) 
4. Arredondamento de Soma 
Quando se trata de soma, deve-se arredondar primciro o total, e 
posteriormente as parcelas. Ha aqui dois casos a considerar: 
a) Se a soma das parcelas da seric arrcdondada for superior ao total, deve-sc 37 
38 
Numero a arredondar 
215,500 
216,500 
216,150 
216,705 
! 
TABELA 1.17 
Arredondamento para 
lnteiro 
lnteiro 
Decimos 
Centesirnos 
Numero arredondado 
216 
216 
216,8 
216,70 
rdomar a seric original. arredondando-sc, por falta, tantas parcelas quantas 
fort·m as unidadcs l'Xcedl·ntes. Ser.Io cscolhidas as parcelas antcrior­
mente arredondadas por exccsso e cu.ias fra1;oes desprezadas representem 
o menor erro rclativo. ( TABELA 1.18) 
TABELA 1.18 
Serie original Serie arredondada Serie corrigida 
6,51 7 7 
7,50 8 8 
14,63 15 15 
20,10 20 20 
24.73 25 24. 
26,52 27 25� 
99,99 102 > 100 100 
Arredondarnentos refeitos. 
b) St• a soma das pan:elas da scrie arredondada for infntos refoitos. 
1.12. SOMATORIO 
A Matematica fornece ainda outra no�ao de grande utilidade para a 
Estatistica: